Um estudo de caso do professor de Matemática sobre o ensino de funções reais

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

CENTRO DE ESTUDOS GERAIS

INSTITUTO DE MATEMÁTICA

CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM MATEMÁTICA PARA

PROFESSORES DE ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO

Andréa Vieira Thees

UM ESTUDO DE CASO DO CONHECIMENTO DO PROFESSOR DE

MATEMÁTICA DA EDUCAÇÃO BÁSICA SOBRE O COMPORTAMENTO

VARIACIONAL DAS FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA

NITERÓI

2009

Todos os direitos reservados.

É proibida a reprodução total ou parcial sem autorização da universidade, do autor e do

orientador.

Andréa Vieira Thees

UM ESTUDO DE CASO DO CONHECIMENTO DO PROFESSOR DE

MATEMÁTICA DA EDUCAÇÃO BÁSICA SOBRE O COMPORTAMENTO

VARIACIONAL DAS FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA

Monografia apresentada ao Curso de Especialização

em Matemática para Professores de Ensino

Fundamental e Médio da Universidade Federal

Fluminense, como requisito parcial para obtenção do

título de Especialista em Matemática.

Orientador:

Prof. Dr. WANDERLEY MOURA REZENDE

NITERÓI

2009

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca de Pós-graduação em Matemática da UFF

T375

Thees, Andréa Vieira Um estudo de caso do conhecimento do professor de matemática da educação básica sobre o comportamento variacional das funções afim e quadrática / Andréa Vieira Thees. – Niterói, RJ : [s.n.], 2009. 102 f. Orientador: Prof. Dr. Wanderley Moura Rezende. Monografia (Especialização para professores de matemática dos ensinos fundamental e médio) – Universidade Federal Fluminense, 2009. 1. Função (Matemática). 2. Cálculo. 3. Matemática – educação. 4. Formação de professor. I. Título. CDD 515.25

Este trabalho é dedicado à memória de meu pai, Sullivan Thees,

e a toda minha família, especialmente, à minha mãe Irene, às

minhas filhas Bárbara e Marina, ao meu “quase” filho Gabriel

e ao amor da minha vida e minha luz, Lior.

Agradecimentos

Agradeço aos professores de Matemática e aos licenciandos presentes nos minicursos,

sem os quais não seria possível realizar esta pesquisa, aos colegas, professores e

coordenadores deste curso e, em particular, ao meu orientador Wanderley Rezende, por

quem tenho uma profunda admiração e sincera gratidão.

RESUMO

Com o desenvolvimento de algumas ações do projeto de pesquisa “Uma

Proposta de Emersão das Idéias Fundamentais do Cálculo no Ensino Básico de

Matemática” (Rezende, 2003b), principalmente aquelas relacionadas à realização de

minicursos ou oficinas junto a professores de Matemática da educação básica, percebeu-

se algumas dificuldades dos professores de Matemática da educação básica na resolução

de problemas que envolvem propriedades e habilidades relacionadas ao comportamento

variacional das funções reais. Isto acarretou o seguinte questionamento: Como os

professores da educação básica utilizam propriedades e habilidades relacionadas ao

comportamento variacional das funções afim e quadrática, na resolução de problemas?

Mediante este fato, tira-se como meta principal deste trabalho monográfico a

tarefa de mapear as dificuldades supracitadas, tomando como referência quatro grupos

piloto de professores de Matemática: Grupo A – participantes do minicurso apresentado

no 31º Encontro do Projeto Fundão (UFRJ/2007); Grupo B – participantes do minicurso

apresentado no V Encontro Sul Fluminense de Educação Matemática (USS/2007);

Grupo C – professores-alunos que ingressaram no Curso de Especialização em

Matemática para Professores do Ensino Fundamental e Médio do IM-UFF em 2008;

Grupo D – participantes do minicurso apresentado na Primeira Jornada de Matemática

da FFP-UERJ (2008).

Palavras-chave: educação matemática; função afim; função quadrática;

variabilidade; formação do professor.

ABSTRACT

With the development of some actions from the “A Proposal for Emersion of the

Fundamental Ideas of Calculus on Math Basic Learning” (Rezende, 2003b) research

project, mainly those related to the application of mini-courses or workshops on basic

math teachers, it was noted that teachers faced difficulties in solving problems revolving

around the properties and abilities related to the variation behavior of linear and

quadratic functions. This led to the following question: How do teachers of the basic

education use properties and skills related to variation behavior of linear and quadratic

function to solve problems?

In light of this, the main aim of this paper is to map the abovementioned

difficulties, taking as a reference four pilot groups of math teachers: Group A –

participants on the mini-course presented at the 31st Meeting of the Fundão Project

(UFRJ/2007); Group B – participants on the mini-course presented at the V Sul

Fluminense Mathematics Education Meeting (USS/2007); Group C – teachers/students

that attended the Mathematics Specialization Course for Teachers at IM/UFF in 2008;

Group D – participants of the mini-course presented at the First Mathematics Journey of

the FFP/UERJ at 2008.

Key-words: mathematic education; linear function; quadratic function;

variability; teacher´s development.

SUMÁRIO

Introdução ............................................................................................................... 15

Capítulo 1 - O Problema .......................................................................................... 18

1.1. Obstáculos de natureza epistemológica relacionados ao conceito de função .. 18

1.2. O Cálculo na formação do professor de Matemática ...................................... 20

1.3. Resgatando o conceito de função .................................................................. 23

1.4. Recomendações dos Parâmetros Curriculares Nacionais ............................... 25

1.5. O estudo da variabilidade das funções nos livros didáticos ............................ 22

1.6. O imprescindível estudo da variabilidade ...................................................... 26

1.7. O professor de Matemática, o conceito de função e a pergunta da pesquisa ... 29

Capítulo 2 - Um breve estudo da evolução histórica do conceito de função .......... 33

2.1. As tábuas na Antiguidade .............................................................................. 33

2.2. A teoria das formas na Idade Média .............................................................. 34

2.3. O estudo da variabilidade da função quadrática e a contribuição de Galileu .. 36

2.3.1. Mas afinal, o que sabia Galileu? ............................................................. 36

2.3.2. A experiência de Galileu ........................................................................ 38

2.4. O período Moderno ....................................................................................... 41

Capítulo 3 - A caracterização das funções afim e quadrática ................................. 46

3.1. Atividades introdutórias para o estudo da variação da função afim ................ 46

3.2. Caracterização da Função Afim .................................................................... 48

3.3. Atividades introdutórias para o estudo da variação da função quadrática ....... 49

3.4. Caracterização da Função Quadrática ............................................................ 52

Capítulo 4 - Pesquisa ................................................................................................ 54

4.1. Metodologia .................................................................................................. 54

4.1.1. Pesquisa naturalista ou de campo – o estudo de caso .............................. 55

4.2. Descrição da pesquisa ................................................................................... 56

4.2.1. Sujeitos da pesquisa ............................................................................... 56

4.2.2. Descrição dos instrumentos da pesquisa ................................................. 57

4.2.2.1. Questionário informativo:................................................................... 57

4.2.2.2. Atividades propostas .......................................................................... 58

4.2.2.3. Formulário de Avaliação .................................................................... 60

4.3. Resultados da pesquisa.................................................................................. 61

4.3.1. O perfil dos grupos pesquisados ............................................................. 61

4.3.2. Apresentação das categorias de análise da resolução das atividades ....... 63

4.3.2.1. Questão 1 ........................................................................................... 64

4.3.2.2. Questão 2 ........................................................................................... 68

4.3.2.3. Questão 3 ........................................................................................... 72

4.3.2.4. Questão 4 ........................................................................................... 78

4.3.3. Análise da resolução das atividades ....................................................... 81

4.3.3.1. Alguns indicadores quantitativos das resoluções ................................. 81

4.3.4. Os pontos de vista dos participantes do Grupo D .................................... 95

4.4. Conclusões parciais da pesquisa .................................................................... 97

Capítulo 5 - Considerações Gerais ......................................................................... 100

Bibliografia .............................................................................................................. 103

Apêndice .................................................................................................................. 105

Tabulação dos Dados Detalhados dos Participantes .............................................. 105

Tabulação das Resoluções das Questões pelos Participantes ................................. 106

Resolução das Atividades 1, 2, 3 e 4 ..................................................................... 113

ÍNDICE DE GRÁFICOS, FIGURAS E TABELAS

Gráfico 1 – Função Afim ............................................................................................28

Gráfico 2 – Função Quadrática e de y em função de x .............................................29

Gráfico 3 – Todos os grupos x todas as questões .........................................................82

Gráfico 4 – Todos os grupos x questão 1 .....................................................................83




Gráfico 8 – Questão 1 x Grupo ....................................................................................88

Gráfico 9 – Questão 2 x Grupo ....................................................................................90

Gráfico 10 – Questão 3 x Grupo ..................................................................................92

Gráfico 11 – Questão 4 x Grupo ..................................................................................94

Figura 1 – Representações gráficas de Oresme ............................................................34

Figura 2 – Exemplo de um gráfico de Oresme na Idade Média ....................................35

Figura 3 – Ilustração do Teorema de Merton de Oresme..............................................35

Figura 4 – Plano inclinado...........................................................................................38

Figura 5 – Detalhe do pequeno sino no plano inclinado ...............................................39

Figura 6 – Animação da demonstração experimental ...................................................39

Figura 7 – Resolução do participante 06 do grupo A ...................................................65

Figura 8 – Resolução do participante 14 do grupo D ...................................................65

Figura 9 – Resolução do participante 07 do grupo A ...................................................65

Figura 10 – Resolução do participante 09 do grupo C ..................................................66

Figura 11 – Resolução do participante 01 do grupo A .................................................66



Figura 14 – Resolução do participante 18 do grupo D .................................................67













Figura 27 – Resolução do participante 05 do grupo B ..................................................75












Tabela 1 – Valores de s, ∆s e ∆2s para ∆t = 1 segundo ...............................................40

Tabela 2 – Valores de tts 2)( para 1t ................................................................47

Tabela 3 - Valores de tts 2)( para 5,0t .............................................................47

Tabela 4 – Valores de 2

2

1)( gtts para 1t ............................................................50


2

1)( gtts para 5,0t .................................................. 50 e 51

Tabela 6 – Todos os grupos x todas as questões ..........................................................82

Tabela 7 – Todos os grupos x questão 1 ......................................................................83



Tabela 10 – Todos os grupos x questão 4 ....................................................................86

Tabela 11 – Questão 1 x Grupo ...................................................................................87

Tabela 12 – Quadro percentual comparativo da questão 1 ...........................................87







15

INTRODUÇÃO

Resumidamente, o conceito de função levou muito tempo para ser aperfeiçoado.

Contudo, apesar de ter sido explicitado apenas depois do século XVIII, algumas idéias

inerentes ao conceito primitivo de função são bastante anteriores. Com origem na busca

de filósofos e cientistas que tentavam explicar a realidade utilizando métodos que

permitissem estudar e prever fenômenos naturais, o conceito de função, segundo Caraça

(2003), apresenta duas características fundamentais: a interdependência e a fluência.

Pesquisas na área de ensino de Cálculo têm sustentado que o conceito de função

tem sido uma das principais fontes de obstáculos epistemológicos para a aprendizagem

dos conceitos básicos desta disciplina. Sierpinska (1987), Cabral (1998) e Rezende

(2003a) são alguns exemplos dessas pesquisas. Tal fato é um forte indicador de que o

ensino de funções na educação básica não vem cumprindo bem a sua missão.

Tendo como meta investigar como o tópico “Funções Reais” é abordado na

educação básica, Botelho (2005) e Souza Sá (2005) elaboraram, em suas monografias,

um mapeamento deste tema utilizando como fontes alguns dos principais livros

didáticos nacionais. Os autores observaram, conforme nos revela Rezende, a

predominância de uma abordagem algébrica e estática do conceito de função:

“Fala-se, por exemplo, em injetividade ou sobrejetividade, mas não em

crescimento ou decrescimento da função, ou melhor, em quanto e como

cresce/decresce o valor de uma função em relação à sua variável independente.

Discutem-se (caso existam) os zeros da função, mas não os seus pontos críticos,

que são, em verdade, os seus pontos ótimos. A noção de função é, desse modo,

estabelecida não no contexto da „variabilidade‟, mas, em termos de uma

correspondência estática entre os valores das variáveis „x‟ e „y‟. O gráfico da

função é, em geral, „plotado‟ através de uma tabela de valores „notáveis‟. A

curvatura das curvas que compõem o gráfico da função é, em geral, induzida

pelo acréscimo de mais pontos.” (Rezende, 2006)

Interdependência Faz com que todas as coisas estejam

relacionadas uma com as outras.

Fluência Faz com que tudo no mundo esteja

em permanente mudança.

16

Assim, pode-se dizer que, com base nos resultados de Botelho (2005) e Souza Sá

(2005), é desse modo, em termos da correspondência (x, f(x)), que se estabelece a noção

de função em alguns dos principais livros didáticos do ensino básico nacional.

Dando continuidade ao projeto de pesquisa de Rezende (2003b), Botelho (2005)

aprofundou o tema propondo atividades que enfatizam a variabilidade de cada uma das

funções polinomiais de 1º e 2º graus. Diante da dificuldade de alguns professores,

detectada durante a realização de minicursos ou oficinas, em resolver problemas que

envolvem propriedades e habilidades relacionadas ao comportamento variacional das

funções afim e quadrática, optou-se, então, por aplicar estas atividades em quatro

encontros distintos com professores de Matemática, que atuam na educação básica

(ensino fundamental e médio). Tira-se então como pergunta norteadora desta

monografia a seguinte questão: Como os professores de Matemática da educação

básica utilizam propriedades e habilidades relacionadas ao comportamento variacional

das funções afim e quadrática na resolução de problemas?

A pesquisa desta monografia engloba uma parte quantitativa, na qual os dados

foram analisados estatisticamente, e uma parte qualitativa que, através do estudo de

caso, busca retratar o dinamismo de uma situação numa forma muito próxima do seu

acontecer natural. No caso, de que forma os professores pesquisados interpretam,

raciocinam e resolvem questões onde é necessário modelar o problema e decidir qual

função pode ser usada no processo de modelagem.

Para realizar o relato deste trabalho, desenvolvemos o texto em cinco capítulos.

Numa primeira etapa, faremos uma revisão bibliográfica em torno do tema dos

referenciais teóricos que serviram como diretrizes para a condução deste trabalho.

Trata-se de apresentar e discutir os resultados da pesquisa de Sierpinska (1992). Além

disso, levam-se em conta as recomendações dos Parâmetros Curriculares Nacionais a

respeito do ensino das funções reais na educação básica e as questões epistemológicas

abordadas por Rezende (2003a).

No segundo capítulo faremos um breve estudo a respeito da evolução histórica

do conceito de função. Os tópicos apresentados vão desde a Babilônia, Grécia,

destacando a contribuição de Oresme, a oportuna experiência de Galileu Galilei, até a

época da invenção do Cálculo.

No terceiro capítulo apresentaremos a caracterização das funções reais afim e

quadrática a partir do comportamento variacional destas funções. O estudo destas

17

variações é realizado: numericamente, através de atividades de manipulação de dados

em tabelas (elaboradas com planilhas eletrônicas e/ou calculadoras); graficamente e

algebricamente.

No quarto capítulo, seguiremos detalhando a metodologia utilizada no

transcorrer desta pesquisa, as atividades propostas e traçaremos o perfil dos sujeitos da

pesquisa. Nesta etapa, também iremos explicitar de que forma foram classificadas as

respostas dos participantes e apresentaremos os resultados da pesquisa através de

tabelas e gráficos, seguidos de comentários e avaliações.

No quinto e último capítulo responderemos a nossa pergunta, destacando o que

consideramos relevante neste estudo de caso, para que o mesmo possa contribuir na

formação continuada de professores da educação básica.

18

Capítulo 1 - O PROBLEMA

“Se tudo depende de tudo, como fixar nossa atenção num

objeto particular de estudo? Temos que estudar tudo ao

mesmo tempo? Mas qual é o cérebro que o pode fazer?”

Bento de Jesus Caraça

1.1. Obstáculos de natureza epistemológica relacionados ao conceito de função

Epistemologia é um ramo do saber que, além de se preocupar com a natureza

dos objetos que compõem uma determinada área como a Matemática, por exemplo,

também se interessa pelo conhecimento e pela forma como ele é processado.

Segundo Bachelard (2006), o progresso do pensamento científico, em especial

nas ciências que possuem um elevado grau de racionalidade como a Matemática, se fez

graças à transposição de obstáculos epistemológicos. Esses obstáculos se encontram no

próprio ato de conhecer fundamentado na idéia pré-concebida que, ao interpretar fatos

segundo necessidades, acaba-se por bloquear o conhecimento, impedindo que se

levantem problemas e criem-se hipóteses fecundas.

Ainda a respeito desse fato, Bachelard (2006) comenta:

“O matematismo já não é descritivo e sim formador. A ciência da realidade já

não se contenta com o „como‟ fenomenológico; ela procura o „porquê‟

matemático.”

Considerando a importância de discutir as dificuldades presentes na educação

Matemática em geral, os obstáculos epistemológicos têm sido analisados por diferentes

autores com diferentes pontos de vista. Dentro do contexto dessa monografia, cabe

destacar a análise epistemológica do conceito de função elaborada por Sierpinska

(1992) no artigo On understanding the notion of function. Segundo a pesquisadora:

“Os estudantes têm tido problemas em fazer a ligação entre as diferentes

representações de funções: fórmulas, gráficos, diagramas, descrições verbais de

relações; em interpretar gráficos; em manipular símbolos relacionados com

funções.”1

1 Tradução nossa

19

Na busca de respostas para superar as dificuldades dos alunos no que diz

respeito ao tratamento, análise e manipulação das diferentes representações das funções,

a autora faz algumas sugestões pedagógicas consideradas importantes para o tratamento

desse conceito. Essas sugestões estão relacionadas à:

a) MOTIVAÇÃO – Motivar os alunos para que eles estejam

interessados em encontrar variações, regularidades entre variações e

que isto os levem a compreender melhor o seu mundo.

b) CONTEXTOS INTRODUTÓRIOS – Utilizar expressões analíticas

primeiramente como ferramentas de modelagem de certas situações,

buscando-se então modelos que representem uma situação real.

c) CONTEXTOS DE DESENVOLVIMENTO – Utilizar métodos de

interpolação e construção de tabelas

d) DESENVOLVIMENTO DE UM NÍVEL MAIS ELABORADO DE

COMPREENSÃO DAS FUNÇÕES – Os estudantes devem ser

capazes de perceber, não apenas como os sujeitos de variação se

modificam, mas também o que muda.

e) PRÉ-REQUISITOS – Ter consciência algébrica no nível estrutural.

f) REPRESENTAÇÕES – Fornecer uma grande diversidade de

representações de funções, adquirindo flexibilidade nas diversas

representações.

g) DEFINIÇÕES – Definições informais são suficientes em nível

secundário e apenas em níveis mais elevados expõe-se, por exemplo,

a definição de Peano.

h) DISTINÇÕES ENTRE A NOÇÃO DE FUNÇÃO E OUTRAS

NOÇÕES GERAIS – Discutir as similaridades e diferenças entre as

relações causal e funcional.

Podemos perceber a preocupação da autora com os atos de compreensão do

conceito, observando ainda os obstáculos que surgem durante tal compreensão. A partir

20

dessas considerações e analisando as dificuldades relativas ao conceito de função,

destaca-se a seguinte opinião exposta por Sierpinska (1992):

“Os estudantes devem se interessar pela variabilidade e buscar por

regularidades antes que exemplos de funções bem comportadas e definições de

Matemática elementar sejam introduzidas na sala de aula.”

As conclusões finais apresentadas pela autora indicam que o conceito de função

passa por diversas questões externas ao próprio conceito. Questões essas referentes à

sua história e a forma como se trabalha com este conceito em sala de aula, além da

forma como se encara (formal ou informalmente) sua definição e sua utilidade

(modelagem, predição, descrição de eventos). A pesquisa aponta vantagens e

desvantagens do formalismo no ensino do conceito de função e defende certas condutas

conscientes à sua abordagem como, por exemplo, tratar da motivação dos alunos com

relação ao estudo das funções, preocupar-se com os pré-requisitos ligados à habilidade

algébrica, ou ainda, utilizar diferentes representações para as funções em busca da

compreensão do seu conceito sob diferentes enfoques.

A partir dessas conclusões, tem-se a nítida consciência dos obstáculos ligados à

compreensão deste conceito, o que deveria ser suficiente para buscarmos formas mais

adequadas de abordá-lo, melhorando assim nossa prática docente com relação ao ensino

de funções na educação básica.

1.2. O Cálculo na formação do professor de Matemática

O conceito de função tem sido uma das principais fontes de obstáculos

epistemológicos para a aprendizagem dos conceitos básicos desta disciplina. Esta

afirmação, sustentada por Cabral (1998) e Rezende (2003a), encontra-se presente em

suas pesquisas na área de ensino de Cálculo. Tal fato é mais um indicador de que o

ensino de funções na educação básica não vem cumprindo bem a sua missão. Como

evidências desse fato, estão as dificuldades de aprendizagem apresentadas pelos

estudantes em relação aos problemas de taxas relacionadas e de otimização.

Analisando o universo de respostas dadas pelos estudantes a alguns problemas

de taxas relacionadas e de otimização, Cabral (1998) aponta quatro níveis de

significação: o aritmético, o algébrico, o funcional e o diferencial, identificando entre

eles uma hierarquia de natureza epistemológica. Segundo a pesquisadora, em situações

21

problema dessa natureza, os dois primeiros níveis de significação são os mais comuns.

Os alunos não conseguem definitivamente “enxergar” as quantidades variáveis

envolvidas no problema nem tampouco a relação funcional entre elas: “O difícil mesmo

é encontrar a função” – respondem os estudantes. Identificar o que varia e em função

de que varia é, sem dúvida, o primeiro passo para a resolução desse tipo de questão.

Segundo Rezende (2003a):

“Grande parte das dificuldades encontradas pelos estudantes do ensino

superior na disciplina Cálculo é conseqüência da falta de preparação, na

educação básica, para o estudo desta matéria. Ao contrário da álgebra, da

aritmética e da geometria, presentes no percurso escolar dos alunos desde as

séries iniciais até o ensino médio, as idéias do Cálculo são omitidas, abordadas

de forma superficial, ou evitadas na educação básica.”

Dentro desse contexto, o “monopólio da representação algébrica” do conceito de

função é um sinal evidente desta omissão. Em sua proposta, as idéias do Cálculo

deveriam ser tratadas a partir de uma articulação entre aritmética, a geometria, a álgebra

e a física. É evidente que problemas clássicos e resultados do Cálculo são evitados ou

simplesmente ignorados no ensino fundamental e médio. A área do círculo, a

transformação de dízimas periódicas em frações, a representação decimal dos números

reais, a soma de infinitos termos de uma progressão geométrica são exemplos de tópicos

do conteúdo programático de Matemática da educação básica que são tratados de forma

superficial.

Ao camuflar as idéias básicas do Cálculo, este passa a aparecer como uma

disciplina isolada, temida pelos alunos que sequer vêem uma relação do seu

aprendizado com sua formação, ou mesmo com as demais disciplinas da grade

curricular. No processo histórico de construção do conhecimento matemático, o Cálculo

potencializa áreas fundamentais como a geometria e a aritmética, além de ser o principal

responsável pelo desenvolvimento e organização do próprio conhecimento matemático.

Já no campo pedagógico, é comum ouvirmos de um professor de Matemática dos

ensinos fundamental e médio o argumento de que não haveria necessidade de ter

estudado Cálculo na universidade, já que não precisaria ensinar seus fundamentos aos

alunos do ensino básico. Rezende (2003a) destaca esta questão ao comentar:

“É, realmente, lamentável que „tal coisa‟ não seja ensinada de fato em etapas

anteriores do ensino de Matemática. Não da forma como é ensinado no curso

22

superior, estanque e dissociado de sua função potencializadora, mas como parte

integrante e fundamental para a construção das idéias Matemáticas e, por que

não dizer, para a própria formação do cidadão.”

No mundo de hoje, não basta perceber o crescimento/decrescimento de uma

função, mas determinar precisamente o quanto esta está crescendo/decrescendo. Com o

desenvolvimento das relações econômicas e sociais tornando-se estas cada vez mais

complexas, faz-se necessário e urgente uma revisão e ampliação das metas da formação

básica para o exercício pleno da cidadania.

1.3. Resgatando o conceito de função

O conceito de função se estabelece como uma ferramenta da Matemática que

ajuda o homem a entender os processos de fluência e de interdependência que são

intrínsecos às coisas e aos seres do nosso Universo. Segundo Caraça (2003):

“A realidade que a inteligência dos homens se esforça por compreender, o

Mundo, no seu sentido mais largo, apresenta-se com duas características

essenciais:

1- Interdependência. Todas as coisas estão relacionadas umas com as outras;

o Mundo, toda essa realidade em que estamos mergulhados, é um organismo

vivo, uno, cujos compartimentos comunicam e participam, todos, da vida

uns dos outros. (...)

2- Fluência. O Mundo está em permanente evolução; todas as coisas, a todo o

momento, se transformam, tudo flui, tudo devém. (...) De modo que, do

extremo superior da escala, do movimento prodigioso da expansão do

Universo, ao movimento, não menos prodigioso, das partículas constituintes

do átomo, tudo flui, tudo devém, tudo é, a todo o momento, uma coisa

nova.”

Portanto, saber que a variação de uma grandeza depende da variação da outra é

um aspecto importante no estudo do conceito de função. Porém, este estudo se torna

incompleto do ponto de vista epistemológico, se não estudamos como ocorre esta

variação, isto é, se não conseguimos dar qualidade e quantificar este processo de

variação.

23

Temos então um instrumento matemático (funções) inventado para uma melhor

compreensão da realidade fluente - que tem na interdependência/fluência uma de suas

características principais. Assim, para apresentar o estudo das funções de uma maneira

mais verdadeira e próxima da realidade, um caminho natural seria caracterizá-las

através de suas variações, estabelecendo dessa forma conexão mais óbvia entre a

realidade e sua origem histórica.

1.4. Recomendações dos Parâmetros Curriculares Nacionais

Com a publicação das Orientações Curriculares para o Ensino Médio pelo

Ministério da Educação, ficaram estabelecidos os princípios que orientam a

metodologia de ensino e filosofia educacional, os quais vêm sendo considerados como

os mais adequados.

“Conforme destacam os PCNEM (2002) e os PCN+ (2002), o ensino da

Matemática pode contribuir para que os alunos desenvolvam habilidades

relacionadas à representação, compreensão, comunicação, investigação e,

também, à contextualização sociocultural.” (Brasil, 2006, p.69)

Pode-se ainda considerar, no que se refere à Matemática e seus temas correlatos,

a importância dada entre a observação do mundo real e suas representações, as quais

estão relacionadas a princípios e conceitos matemáticos. Os princípios norteadores

destes parâmetros podem ser observados no capítulo inicial:

“Em nossa sociedade, o conhecimento matemático é necessário em uma grande

diversidade de situações, como apoio a outras áreas do conhecimento, como

instrumento para lidar com situações da vida cotidiana ou, ainda, como forma

de desenvolver habilidades de pensamento”. (Brasil, 2002, p.111)

“Aprender Matemática de uma forma contextualizada, integrada e relacionada

a outros conhecimentos traz em si o desenvolvimento de competências e

habilidades que são essencialmente formadoras, à medida que instrumentalizam

e estruturam o pensamento do aluno, capacitando-o para compreender e

interpretar situações, para se apropriar de linguagens específicas, argumentar,

analisar e avaliar, tirar conclusões próprias, tomar decisões, generalizar e para

muitas outras ações necessárias à sua formação”. (Brasil, 2002, p.111)

24

As Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares

Nacionais (PCNEM+), em seu volume de Ciências da Natureza, Matemática e suas

Tecnologias, destacam ainda a relevância do conceito de função na atividade

Matemática em nível médio, enfatizando o caráter integrador deste conceito. Citam

como exemplo a relação entre trigonometria e funções no que diz respeito às funções

trigonométricas e seus gráficos. Citam ainda a peculiaridade das seqüências numéricas

e, em especial, das progressões aritméticas e geométricas como casos particulares de

funções.

Destacam também a relação existente entre a geometria analítica e as funções no

que diz respeito ao estudo das propriedades dos gráficos de funções. Seguindo estas

orientações, um dos aspectos que podem ser considerados no ensino da Matemática no

primeiro ano do ensino médio, por exemplo, é a questão do infinito e da convergência a

partir das progressões geométricas infinitas e a soma de seus termos2. A respeito disto

afirma-se que:

“Essas idéias foram e são essenciais para o desenvolvimento da ciência,

especialmente porque permitem explorar regularidades.” (Brasil, 2002, p. 121)

Ainda de acordo com os PCNEM+, o estudo das funções tem relevância

fundamental pela sua interdisciplinaridade, pois a leitura e interpretação de gráficos,

assim como a compreensão de certos fenômenos são vistos em outras áreas do

conhecimento (física, química, biologia, geografia, etc.) a partir deste conceito. Dentro

deste contexto, destacamos a seguinte afirmação:

“Resumidamente, em relação às competências a serem desenvolvidas pela

Matemática, a abordagem proposta para esse tema permite ao aluno usar e

interpretar modelos, perceber o sentido de transformações, buscar

regularidades, conhecer o desenvolvimento histórico e tecnológico de parte de

nossa cultura e adquirir uma visão sistematizada de parte do conhecimento

matemático”. (Brasil, 2002, p.122)

Por outro lado, ferramentas como a calculadora e planilhas eletrônicas criam, a

cada dia, novas facilidades abrindo outros rumos para o entendimento das variações em

uma simples tabela.

2 É necessário que p < |q| < 1 para que a soma dos termos de uma PG infinita, de razão q, seja um

número real.

25

Em resumo, podemos perceber que o conceito de função é um dos elos entre

diferentes assuntos dentro da própria Matemática e que, além disso, desempenha um

papel central em diversas áreas do conhecimento, visto que é uma das ferramentas para

a compreensão de certos fenômenos e a representação das variações dos mesmos.

“A riqueza de situações envolvendo funções permite que o ensino se estruture

permeado de exemplos do cotidiano, das formas gráficas que a mídia e outras

áreas do conhecimento utilizam para descrever fenômenos de dependência entre

grandezas.” (Brasil, 2002, p.121)

Assim, os professores devem compreender que a Matemática desempenha um

papel formativo e técnico com ênfase na formação dos alunos como cidadãos plenos,

capazes de pensar matematicamente quando necessário e utilizar a Matemática no seu

dia-a-dia, e não só para aqueles que pretendem dar continuidade aos estudos nesta área

ou em áreas afins.

1.5. O estudo da variabilidade das funções nos livros didáticos

Em seu trabalho, Botelho (2005) conclui que os livros didáticos de educação

básica em geral não proporcionam um estudo sobre a variação das funções polinomiais

e justifica a importância desse estudo. Através da proposição de atividades sobre a

maneira como variam estas funções, sinaliza como esta abordagem pode ser feita. Desse

modo, o trabalho contribui para uma reflexão sobre a necessidade de inserção no ensino

médio de atividades sobre a variabilidade das funções afins e quadráticas:

“O mapeamento realizado mostrou uma ausência quase total, nos livros

didáticos, de tópicos que analisem o comportamento destas funções sob o ponto

de vista da variabilidade. Qual o motivo desta omissão? Qual a dificuldade em

se tratar, no ensino médio, de assuntos como „variabilidade‟ ou „taxa de

variação‟? (...) E se o problema não tiver uma fórmula ou um gráfico? De quais

ferramentas dispõem o aluno para modelar o problema e decidir qual a função

pode ser utilizada no processo de modelagem?” (Botelho, 2005)

Por outro lado, em seu trabalho de mapeamento das funções logarítmicas e

exponenciais nos livros didáticos, Sá (2005) cita a importância do desenvolvimento da

física no processo de “matematização” do conceito de função e destaca que é na

26

compreensão em como ocorre e crescimento ou decrescimento de uma grandeza em

função de outra que reside a idéia básica do conceito de função. Assim como Botelho

(2005), Sá (2005) conclui que esse assunto é abordado quase sempre de forma algébrica

e que o caráter variacional das funções é deixado de lado ou visto de forma muito tímida

em exercícios com resolução predominantemente algébrica.

Santos (2008) chamou a atenção para o fato de ser uma característica dos livros

didáticos evitar ou dar pouca ênfase ao processo dinâmico da construção do conceito de

função e que isso se reflete diretamente na prática pedagógica da sala de aula. Sabemos

que, em geral, o livro didático é único instrumento utilizado pelo professor, norteando o

planejamento das aulas, o ensino dos conteúdos e a resolução das atividades e

exercícios.

Usando como referência estes trabalhos, pode-se concluir que o ensino de

funções não está cumprindo o papel de auxiliar o ser humano a compreender os seus

problemas e os do mundo ao seu redor. A ausência da compreensão da variabilidade,

entre outros aspectos já levantados anteriormente, representam um desvio de natureza

epistemológica em relação ao conceito de função.

Em consonância com este pensamento Cândido, em seu trabalho, afirma que:

“A familiarização com a variação de grandezas, por meio da análise de seu

comportamento, com a identificação de padrões e regularidades, é fundamental

para que o aluno inicie processos de generalização.” (apud Botelho, 2005)

Botelho (2005) propõe então atividades que possam ser apresentadas ao aluno do

ensino médio as quais, paralelamente ao estudo algébrico das funções afim e quadrática,

enfatizam a variabilidade de cada uma destas funções. Esta proposta está alinhada com

o documento da Secretaria de Educação do Estado do Rio de Janeiro para o

desenvolvimento do currículo nas unidades escolares da Rede Pública Estadual (SEE-

RJ, 2004), onde figuram orientações para os professores de como “introduzir a idéia de

taxa de variação” e “fazer a ligação da progressão aritmética com a função afim” para o

estudo da função polinomial do 1° grau, na 1ª série do Ensino Médio.

1.6. O imprescindível estudo da variabilidade

Para desenvolver este tópico, utilizaremos como referencial teórico o trabalho de

pesquisa de Rezende (2003b) intitulado “Proposta de emersão das idéias básicas do

27

Cálculo no ensino básico de Matemática”. Para Rezende, a idéia de variação é tão

básica e natural que pode (e deve) ser trabalhada na escola desde as séries iniciais. A

variação da altura do pé-de-feijão plantado num chumaço de algodão (uma das

primeiras experiências escolares) é percebida em geral por toda criança, assim como a

variação das medidas do seu próprio corpo que “cresce” com o avançar do tempo. No

entanto, para passar da percepção sensível da variação para uma compreensão mais

sistêmica do processo de variação, um conceito fundamental da Matemática torna-se

imprescindível: o conceito de função.

Do ponto de vista histórico, Rezende (2003b) identificou que o conceito de

função entrou no âmbito do conhecimento matemático por dois notáveis caminhos: o da

filosofia natural (dos escolásticos) e o algébrico, da geometria analítica (de Descartes).

Neste último caminho, o conceito se estabelece a partir da relação implícita entre as

variáveis da equação que representa a curva. Trata-se, portanto, de uma noção estática

motivada única e exclusivamente pela descrição algébrica (equação) da curva. Neste

caso, a equação da curva ou mesmo a expressão analítica que define a função são dadas

a priori.

Já no primeiro caminho, a relação funcional era explicitada diretamente pela

curva (gráfico) que era usada especificamente para indicar como uma determinada

grandeza “y” variava em relação à outra grandeza “x”. Nesta representação dinâmica do

conceito de função, o que motiva a construção da curva é justamente o fato de ela

descrever a variação de uma grandeza em relação a outra. A expressão analítica que

define a função é, neste caso, conseqüência do modo como se dá a variação entre as

quantidades variáveis. O modo como as grandezas variam é que é o ponto de partida

para se construir o conceito de função.

Rezende (2003b) afirma que ambas as representações fizeram parte da

construção do Cálculo, mas não há como negar a importância fundamental que teve a

representação dinâmica do conceito de função na significação do conceito de derivada

como taxa de variação instantânea. No entanto, no ensino básico de Matemática, dá-se

pouca ênfase a este processo dinâmico da construção do conceito de função, conforme

podemos constatar nos trabalhos de mapeamento dos livros didáticos apresentados por

Sá (2005) e Botelho (2005). A idéia de função é estabelecida, segundo estas pesquisas,

não no contexto da “variabilidade”, mas em termos de uma correspondência estática

entre os valores das variáveis “x” e “y”. A expressão analítica que representa a regra de

correspondência é dada desde o início do processo de construção. O gráfico da função é

28

“plotado” então com o auxílio de uma tabela de valores “notáveis”, e o traçado da curva

que representa o gráfico da função é realizado por um processo indutivo. Em seguida, é

estudada uma série de propriedades algébricas da função (imagem, raízes, injetividade,

periodicidade, variação do sinal etc.), subordinando o seu significado ao exercício e

desenvolvimento de técnicas algébricas: resolução de equações e inequações algébricas,

exponenciais e trigonométricas - como se essa fosse a principal razão para se estudar

funções.

Para que se possa romper com essa caracterização algébrica do conceito de

função, o autor pondera que será preciso construir suas significações a partir do

problema fundamental da variabilidade. Isto é, caracterizar as funções reais usualmente

estudadas no ensino básico a partir do estudo de suas variações. Desse modo, a função

afim baxy , por exemplo, é aquela cuja variação de uma variável é proporcional à

variação da outra, quer dizer, xay , (figura 1). Ou, ainda de outro modo, que a taxa

de variação ax

y

é constante.

Gráfico 1 – Função Afim

Fonte: autor

Já a função quadrática cbxaxy 2 pode ser caracterizada como a função

cuja variação da variação da quantidade y em relação a x , para x fixo, é constante, o

29

que equivale dizer que a variação y é uma função afim de x , uma vez fixado o valor

de x (figura 2).

Gráfico 2 – Função Quadrática e de y em função de x

Fonte: autor

Em busca da consolidação efetiva dessas idéias, o autor propõe que as

propriedades das funções afim e quadrática sejam estabelecidas a partir de situações-

problemas do cotidiano ou de outras áreas do conhecimento. Ele destaca a própria

história do Cálculo, onde a física aparece oferecendo condições apropriadas para

emersão das idéias do Cálculo, e relembra a construção do Cálculo por Newton, através

do entrelaçamento das idéias físicas, do infinitésimo e da geometria analítica.

Diante disto, surge uma questão natural: será que o professor de Matemática da

educação básica está preparado para realizar este estudo e caracterização das funções

reais a partir do seu comportamento variacional?

1.7. O professor de Matemática, o conceito de função e a pergunta da pesquisa

Para introduzir a questão de nossa pesquisa, buscamos referência nos recentes

trabalhos de Rossini (2006) e Costa (2008).

Costa (2008) apontou, em sua pesquisa com alunos da disciplina de Funções

Reais do Curso de Especialização em Ensino da Matemática da UFRJ, as dificuldades

dos mesmos com relação a esse assunto. O autor percebeu uma predominância do

conceito de elemento/conjunto, no qual a função é descrita como uma relação entre dois

conjuntos A e B, e também na indicação, por parte dos entrevistados, do diagrama de

30

setas para representar a primeira imagem referente ao conceito de função. Ele observou,

baseando-se no quadro teórico proposto por R. Even3 (1990) em Subject Matter

Knowledge for teaching and the case of functions, que:

“...os professores não conectam os vários modos de apresentação do objeto

função e, principalmente, desconhecem as limitações intrínsecas a cada um dos

modos (diagrama de setas, tabelas, expressão algébrica).” (Even, 1990, apud

Costa, 2008)

Costa (2008) destacou ainda a dificuldade dos professores em transitar entre a

representação algébrica e a representação geométrica. Na questão do entendimento

matemático do conceito de função, ele verificou que alguns professores produziram

definições baseadas na interdependência entre grandezas como velocidade e tempo em

exemplos de movimento. O autor questionou a ausência de uma abordagem mais formal

por parte dos professores participantes de sua pesquisa.

Apesar dos professores terem completado o curso de funções reais, o

pesquisador observou ainda algumas crenças e atitudes, tais como: toda função deve ser

contínua, os procedimentos algébricos dominando a representação geométrica, a falta de

análise prévia para construção de gráficos e ainda, a dificuldade de entendimento em

relação aos números reais.

Recorremos também, aos resultados da pesquisa de Rossini (2006). Como

justificativas da pesquisa, a autora citou os limites da formação inicial dos professores,

as pesquisas que mostram o preparo inadequado para trabalhar com o conceito de

função em sala de aula, e ainda, a importância da formação continuada dos professores.

Ela levantou aspectos como a falta de uma cultura que dê valor à leitura de documentos

como, por exemplo, os tópicos sobre o ensino e aprendizagem de função encontrados

nos PCN’s e considerados por muitos professores como uma leitura difícil, uma vez que

pressupõe um conhecimento tanto do conteúdo específico, quanto do seu lado

pedagógico. Acrescentou também que um professor de Matemática ideal deveria

conhecer as “organizações Matemáticas” (os axiomas, definições, teoremas e

resultados) em torno do objeto função e desenvolver as “organizações didáticas”

correspondentes (quer dizer, o plano de aula, os exemplos que serão mostrados e todos

os recursos que serão utilizados durante a aula); conhecer as etapas principais da

3 Even, R. (1990) Subject Matter Knowledge for Teaching and the Case of Functions. Educational Studies

in Mathematics, nº 21, p. 521-544.

31

história do conceito de função; conhecer os obstáculos envolvidos na construção do

conceito; conhecer as sugestões didáticas sobre funções, variáveis, proporção, utilização

de tabelas, fórmulas e gráficos; e, por fim, conhecer as tendências em Educação

Matemática.

A leitura de teses, dissertações e trabalhos publicados em revistas especializadas

na investigação preliminar da autora, permitiu que fossem encontrados muitos pontos

em comum nas dificuldades de alunos e professores. A revisão da literatura foi dividida

em três categorias distintas: pesquisas com alunos, com professores e com professores e

alunos. Todas as pesquisas examinadas pela autora contém valiosas contribuições para a

compreensão das dificuldades dos sujeitos nelas envolvidos, mas destacamos uma em

especial, de autoria de Zuffi4 (1999), cujo objetivo era detectar modos de utilização da

“simbologia” e da “lógica” envolvidas na “linguagem Matemática do professor”, a fim

de levantar alguns fatores que pudessem estar influenciando as dificuldades dos alunos

para a compreensão do conceito de função. No final, o resultado da pesquisa aponta

para o empobrecimento da linguagem do professor em sala de aula. Rossini (2006)

endossa a pesquisa de Zuffi (1999) e vai além:

“Acreditamos que o quadro seria mais desolador, se ao invés de ter investigado

professores provenientes de uma licenciatura plena, a pesquisadora tivesse

optado por investigar professores provenientes de licenciaturas curtas, ou de

outros cursos superiores, com apenas uma complementação pedagógica para

ensinar Matemática.” (Rossini, 2006)

Diante dessa realidade, nos apresentada de forma tão transparente pelos

pesquisadores, consideramos que provavelmente esses professores, com essa concepção

de ensino, formarão alunos limitados nessa mesma concepção. Por sua vez, alguns

desses alunos poderão escolher a carreira do magistério e o ciclo recomeçaria.

Constatamos a importância das observações de Costa (2008) e Rossini (2006)

em suas pesquisas, pois além da preocupação para com o processo de aquisição do

conhecimento ser o mais completo possível, apresentaram ferramentas essenciais para a

verificação do conhecimento do professor de Matemática sobre o conceito de função.

4 ZUFFI, E. M. O tema “funções” e a linguagem Matemática de professores do Ensino Médio – por uma

aprendizagem de significados. 1999. Tese de Doutorado em Didática – Ensino de Ciências e

Matemáticas, Faculdade de Educação, USP, São Paulo, 1999.

32

Por outro lado, ainda existem pontos que merecem estudos mais apurados e que

não foram aqui abordados, como a dificuldade dos professores em tratar, no ensino

médio, de assuntos como “variabilidade” ou “taxa de variação”.

Sendo assim, trazemos a questão crucial sugerida por Botelho (2005) e que

aponta o caminho desta pesquisa:

“Poderíamos ainda, a título de reflexão, perguntar se nós, docentes do ensino

médio, trazemos estes conhecimentos consolidados em nossa bagagem didática

para que possamos transmiti-los aos alunos de forma segura.”

Esse trabalho tem como meta principal, desenvolver estudos a respeito do

conhecimento do professor da educação básica sobre o conceito de função e na

resolução de problemas que envolvem propriedades e habilidades relacionadas ao

comportamento variacional das funções afim e quadrática.

33

Capítulo 2 - UM BREVE ESTUDO DA EVOLUÇÃO HISTÓRICA

DO CONCEITO DE FUNÇÃO

Ao se fazer um relato cronológico do desenvolvimento de algum conceito

matemático surge a questão de por onde começar, pois em muitos casos é impossível

determinar quanto é preciso recuar no tempo para alcançar suas origens. Este estudo

fundamenta-se nos trabalhos de Eves (2004), Boyer (1999) e Baron (1985).

2.1. As tábuas na Antiguidade

Segundo Eves (2004), os matemáticos babilônios, em torno de 2000 a C,

utilizaram largamente as tabelas sexagenais de quadrados e raízes quadradas, de cubos e

raízes cúbicas, assim como outras tabelas. Tábuas de funções foram empregadas na

astronomia babilônica para observar os movimentos do Sol, da Lua e dos planetas e

tornaram-se os fundamentos matemáticos de todo o desenvolvimento posterior da

astronomia.

A partir da fundação da primeira escola filosófica grega por Tales de Mileto por

volta de 600 a.C. é que a forma de explicar fenômenos naturais baseada em mitos

começou a mudar. Com argumentos mais racionais, Platão (427-347 a.C.) acreditava

que conhecimento obtido apenas através da física não era muito útil, pois as coisas

materiais mudavam com o tempo, ao contrário das leis Matemáticas que são a essência

da realidade por serem imutáveis.

Mais tarde, ao longo da época da Alexandria, usando teoremas de geometria e

regras de interpolação, os astrônomos confeccionaram tábuas equivalentes às tabelas de

senos, que foram colocadas em uso pelos hindus alguns séculos mais tarde.

Mesmo considerando o conhecimento daquela época acerca de coordenadas de

corpos celestes que mudavam periodicamente ou das cordas de comprimentos diferentes

em correspondência a arcos de comprimentos diferentes, não havia, segundo Boyer

(1999), nenhuma idéia geral de funcionalidade, dependência entre quantidades ou

números sob alguma forma de gráficos, ou de tabelas, ou mesmo qualquer descrição

verbal que explicitasse uma dependência.

O autor acrescenta ainda que os gregos examinaram os problemas de

movimento, de continuidade e de infinito, mas que seu pensamento ficou distante da

34

concepção cinemática de uma quantidade fluente, característica do cálculo infinitesimal

dos séculos XVII, XVIII e XIX.

Com a ascensão da cultura árabe, após o declínio das antigas civilizações, os

métodos de tabulação foram aperfeiçoados levando ao aumento do número de “funções”

utilizadas, como as trigonométricas, mas isso não acarretou novos desenvolvimentos

relativos ao conceito de função.

2.2. A teoria das formas na Idade Média

Aristóteles era discípulo de Platão e estudava as mudanças físicas de forma

qualitativa. Este tipo de abordagem influenciaria a evolução da ciência por muito tempo,

fazendo com que o conceito de função nascesse a partir do momento em que o

movimento passasse a ser descrito de forma quantitativa.

Até o século XIII, o pensamento aristotélico impregnou as Universidades da

Europa apesar dos questionamentos de Roger Bacon (1214-1294) e Guilherme de

Ockham (1300-1382), que defendiam que verdades científicas devem ser obtidas

através da experiência. A representação mais significativa do conceito de função foi

apresentada pelo Bispo Nicolau de Oresme (1323-1382), na Universidade de Paris.

Para Baron (1985), Oresme foi a primeira pessoa que utilizou as coordenadas

para representar a velocidade em função do tempo. Ao estudar o movimento uniforme e

o movimento uniformemente acelerado, Oresme representou graficamente a velocidade

em função do tempo.

Figura 1 – Representações gráficas de Oresme

Fonte: Curso de História da Matemática – Origens e Desenvolvimento do Cálculo

Para traçar o gráfico da velocidade de um corpo que se move com aceleração

constante em função do tempo, Oresme representou pontos, instantes de tempo (ou

longitudes) e, para cada instante, traçou, perpendicularmente à reta de longitudes, um

segmento de reta vertical (latitude) cujo comprimento representava a velocidade naquele

instante. As extremidades desses segmentos estão alinhadas e formam, como se observa

35

na figura 2, o segmento de reta que descreve a variação da velocidade em função do

tempo.

Figura 2 – Exemplo de um gráfico de Oresme na Idade Média


Os termos longitudes e latitudes são usados por Oresme para designar o que

chamamos, na linguagem Matemática atual, de abscissa e ordenada. Assim, nessa teoria,

uma função pode ser definida ou por meio de uma descrição verbal de sua propriedade

ou por meio de um gráfico.

A teoria da latitude das formas, conforme nos revela Baron (1985), alcançou um

grande renome durante o século XV e na primeira metade do século XVI, em particular

na Inglaterra, na França, na Itália e na Espanha. Para ilustrar esse fato, exibiremos um

resultado demonstrado por Oresme por meio dessa teoria da latitude das formas.

Naquela época, uma aceleração constante era uma abstração teórica, pois não havia

clareza de que isto poderia ocorrer no mundo físico, como por exemplo, na queda dos

corpos. Oresme fez a demonstração desse resultado determinando a velocidade média

de um movimento uniformemente acelerado (Teorema de Merton) e provou sua

validade através de um gráfico semelhante ao mostrado na figura 3.

Figura 3 – Ilustração do Teorema de Merton de Oresme


36

Observemos que os desenhos esboçados por Oresme representam gráficos de

funções afins da velocidade em relação ao tempo. As idéias de Oresme trouxeram

contribuições importantes à representação geométrica, no que se refere à utilização pela

primeira vez de técnicas gráficas para representar toda espécie de movimento. Apesar

de não terem sido inventadas por Oresme, essas técnicas gráficas foram

substancialmente desenvolvidas por ele e, através delas, os conceitos de movimento

foram efetivamente relacionados em bases intuitivas com a ordenada, a abscissa, o

gradiente de curvas (ou retas) e o espaço que os contém.

2.3. O estudo da variabilidade da função quadrática e a contribuição de Galileu

Numerosas investigações têm mostrado como o conceito de função é de grande

relevância no estudo da álgebra e fundamental para a aprendizagem do cálculo. Da

mesma forma, o papel da história da Matemática tem se destacado como uma

ferramenta de reflexão docente na hora de abordar e apresentar situações didáticas, já

que permite identificar obstáculos e procedimentos na construção de conceitos.

Para o estudo da variabilidade da função quadrática utilizando a modelagem

como ferramenta didática, é necessária uma indagação histórica que permita evidenciar

obstáculos, oportunidades e situações que revelem “concepções quadráticas”.

Segundo o trabalho de investigação de Jhony Alexánder Villa Ochoa (2006):

“A figura de Galileu Galilei (1564-1642) é relevante nesta

construção e permitirá mostrar seu pensamento matemático no

momento em que iniciou seus estudos, em particular o estudo do

movimento como tal.”

2.3.1. Mas afinal, o que sabia Galileu?

Supomos que os saberes acumulados em seu tempo estavam à disposição para a

elaboração do novo conhecimento que, neste caso, tem haver com modelagem de

fenômenos de variação, em particular da cinemática.

Sendo assim, pode-se afirmar que a partir do mesmo conhecimento que possuía

Galileu, tanto é possível realizar um estudo do movimento, como da função quadrática.

Mesmo que esta não fosse reconhecida explicitamente por Galileu, seu pensamento

sugeria sua aceitação como tal.

37

Através de uma breve revisão da história da Matemática é possível saber que

seus conhecimentos correspondiam a conteúdos como pensamento dedutivo, geometria

euclidiana, sucessões e progressões aritméticas, seções cônicas, álgebra geométrica e

aproximações gráficas de movimento de Oresme.

Estes procedimentos, segundo Ochoa (2006), eram conhecidos no tempo de

Galileu e bastante evidenciados em sua obra, uns com maior ênfase que outros, mas

todos sendo necessários. São eles:

a) O pensamento dedutivo, através da lógica, possibilita a criação de

sistemas da mesma forma que se submete conhecimentos para

validação, os quais se consolidam como verdade (os Elementos de

Euclides são o exemplo do modelo de raciocínio que matemáticos e

culturas posteriores adotaram).

b) A geometria euclidiana com seu caráter dedutivo em relação às

noções quadráticas encontradas em os Elementos, permite a

representação de segmentos através de quantidades multiplicadas, o

que demanda uma interpretação a partir das áreas.

c) As sucessões e progressões aritméticas permitem categorizar os

números e estabelecer suas leis de formação a partir das variações das

quantidades, viabilizando a descrição do comportamento variacional

do movimento.

d) A consolidação do conceito de movimento por Galileu,

estabelecendo a ruptura da concepção de parábola como figura, que

passa a ser considerada como resultado do comportamento de

algumas variáveis.

e) O manuseio de uma álgebra sincopada, a partir da generalização da

geometria e da contribuição dos árabes, com a tradução dos trabalhos

gregos e da formalização sistemática da álgebra.

f) As aproximações gráficas de movimento de Oresme (que vimos na

parte anterior desta monografia), cujo objetivo era representar

mediante uma figura geométrica, a interdependência de quantidades

contínuas e análogas.

38

Assim, conforme nos revela Ochoa (2006), esses eram os conhecimentos

disponíveis para Galileu empreender sua explicação acerca dos fenômenos do

movimento, apresentando uma nova forma de concebê-los e representá-los para um

mundo no qual havia uma demanda por um novo conhecimento. Esta foi sua grande

contribuição, a relação da física com a Matemática e, a partir desse vínculo, a

modelagem Matemática.

2.3.2. A experiência de Galileu

Embora não existam documentos comprovando que Galileu tenha realizado este

experimento específico, recorremos ao site do Institute and Museum of The History of

Science5 para ilustrar a demonstração experimental da Lei dos Corpos em Queda Livre.

Ao que tudo indica, Galileu realizou inicialmente a experiência num plano inclinado,

para depois deduzir o que acontecia quando o plano fosse “vertical” ao solo.

Vamos então à experiência com o plano inclinado.

Figura 4 – Plano inclinado

Fonte: Institute and Museum of The History of Science

5 (http://brunelleschi.imss.fi.it/museum/esim.asp?c=404013)

http://brunelleschi.imss.fi.it/museum/esim.asp?c=404013

39

Figura 5 – Detalhe do pequeno sino no plano inclinado


O plano inclinado da figura 4, com cinco pequenos sinos (figura 5) e um

pêndulo, foi concebido para a realização de um experimento que consiste em lançar uma

pequena bola do início do plano, ao mesmo tempo em que o pêndulo é inicializado. Em

cada uma das oscilações completas do pêndulo, a bola atinge um dos pequenos sinos

colocados ao longo do plano inclinado distantes um do outro segundo a sequência finita

de números ímpares (1, 3, 5, 7 e 9).

Figura 6 – Animação da demonstração experimental


O experimento não só torna possível medir o aumento da distância percorrida

pela bola, em intervalos de tempo iguais a partir de uma posição inicial de repouso,

40

como prevê a aceleração constante durante o seu movimento, graças aos sinos

colocados em posições estratégicas durante o percurso da bola no plano inclinado.

Para interpretar os dados fornecidos por Galileu, podemos recorrer a uma tabela

que nos forneça as medidas da posição de um objeto em queda livre. Uma vez escolhido

o intervalo de tempo t (neste caso 1t )6, a medida da posição do objeto no instante

inicial (quando 0t ), a medida da posição do objeto nos instantes 1t , 2t , 3t ,

4t e 5t , e a variação da posição do objeto s (deslocamento), podemos calcular e

analisar a variação do deslocamento do objeto, conforme o exemplo a seguir:

1t

Tabela 1 – Valores de s, ∆𝑠 e ∆2𝑠 para ∆𝑡 = 1

No Movimento Uniformemente Variado (MUV), battv )( é a velocidade do

ponto no instante t . No caso da queda livre de um corpo, a aceleração a é a aceleração

da gravidade, normalmente indicada pela letra g . Nosso conhecimento da função

quadrática permite obter uma descrição completa do movimento uniformemente

variado.

As aplicações práticas relacionadas à questão da variabilidade são fundamentais

para a compreensão do conceito de função. Segundo Rezende (2003), ao introduzir os

processos dinâmicos de interpretação do conceito de função, estamos contribuindo para

a formação de um cidadão mais apto a entender as variações que ocorrem no mundo ao

seu redor.

6 t e t em unidade de tempo.

Tempo

(t)

Posição

(s)

Deslocamento

( s )

0 0 tt sss 1

1 1= s(0) +1 1

2 4 = s(1) +3 3

3 9 = s(2) + 5 5

4 16 = s(3) + 7 7

5 25 = s(4) + 9 9

41

2.4. O período Moderno

Mesmo exercendo um papel notável para o desenvolvimento da noção geral de

função, as idéias dos filósofos das escolas de Oxford e Paris, também conhecidos como

escolásticos, não se mantém dominante e um novo caminho para a construção do

conceito de função surge no século XVII. O crescimento dos cálculos matemáticos

como os progressos alcançados na trigonometria, a introdução do conceito de

logaritmos e a extensão do conceito de número, associados à criação da álgebra

simbólica por François Viète, tiveram papel decisivo para o desenvolvimento posterior

da teoria das funções. Porém, a introdução de números e símbolos somada ao

aperfeiçoamento por outros matemáticos na álgebra simbólica de Viète, não foram

suficientes para fazer avançar o conceito de função.

Entretanto, Eves (2004) nos oferece uma análise histórica importante do começo

do século XVII, em relação às invenções de novos instrumentos científicos ligados à

física e que trouxeram precisão às experimentações e mensurações das medidas

quantitativas de calor, pressão, velocidade. Com isso, as leis quantitativas da natureza

adquiriram cada vez mais força, estabelecendo relações funcionais entre valores

numéricos e quantidades físicas. Ainda assim as funções só eram abordadas através dos

métodos antigos: por descrição verbal, por tabela ou por gráfico. O autor afirma que J.

Burgi estabeleceu sua tabela de logaritmos, publicada em 1620, partindo da relação

conhecida por Arquimedes, entre a progressão geométrica das potências de uma

quantidade e a progressão aritmética dos expoentes, usando o processo de interpolação,

que o levou a compreender intuitivamente que essa relação devia ser contínua. Por outro

lado, John Napier, cujos trabalhos sobre logaritmo foram publicados em 1614 num

trabalho intitulado “Mirifici logarithmorum canonis descriptio”, partiu da comparação

de dois movimentos retilíneos contínuos.

Após a criação dos logaritmos, o método analítico para introduzir as funções por

meio de fórmulas e equações começou a se destacar através dos trabalhos de Pierre

Fermat e René Descartes que, independente um do outro, aplicaram a nova álgebra à

geometria, abrindo uma nova era em Matemática. Fermat, por exemplo, escreveu

equações de uma reta e as equações de algumas curvas do segundo grau utilizando as

notações de Viète e um sistema de coordenadas. Descartes introduziu essa idéia mais

detalhadamente na sua célebre obra chamada La Géométrie, de 1637. Pela primeira vez

e de maneira absolutamente clara, surge a idéia de que uma equação em x e y é usada

42

para representar uma dependência entre quantidades variáveis de forma que seja

possível o cálculo dos valores de uma delas em correspondência aos valores dados pela

outra.

A introdução de funções sob a forma de equações teve o efeito de uma revolução

que estendeu-se aos outros ramos da Matemática e deu origem ao estudo do cálculo, em

particular ao cálculo infinitesimal. As perspectivas sobre as aplicações das séries aos

problemas denominados “impossíveis” fizeram com que Isaac Newton e Gottfried

Wilhelm Leibniz se dedicassem ao estudo do tema da moda, série de potências e assim,

contribuíssem com a evolução do conceito de função. Os dois matemáticos representam,

com efeito, os dois pilares fundamentais do desenvolvimento do Cálculo Infinitesimal.

A primeira definição de uma função como expressão analítica aparece, no

entanto, um pouco depois do surgimento dos cálculos de Newton e Leibniz. Tal fato

acontece em um artigo de Johann Bernoulli, que costumava se corresponder com

Leibniz, publicado nas memórias da Academia Real de Ciências de Paris em 1718 sob o

título traduzido “Considerações sobre o que se tem, até o presente momento, sobre

soluções de problemas de isoperímetros”, encontrado no trabalho de Youschkevicht7

(1981):

“Chama-se função de uma grandeza variável uma quantidade composta de

alguma maneira que seja desta grandeza variável e de constantes.”

O desenvolvimento essencial do conceito de função é devido a Leonhard Euler,

discípulo de J. Bernoulli. Segundo Boyer (1999), Euler foi o construtor da notação mais

bem sucedida em todos os tempos e devemos a ele a notação )(xf para uma função em

x . Para formular uma definição que englobasse todas as classes conhecidas de relações,

Euler se volta para a noção geral de relação entre quantidades variáveis. Segundo

Youschkevicht (1981), no prefácio de sua Institutiones calculi differentialis, publicada

em 1755, Euler define função da seguinte maneira:

“Se certas quantidades dependem de outras quantidades de tal maneira que se

as outras mudam, essas quantidades também mudam, então se tem o hábito de

nomear essas quantidades funções das últimas; essa denominação tem o mais

amplo entendimento e contém em si mesma todas as maneiras pelas quais uma

quantidade pode ser determinada por outras. Se, por consequência, x designa

7 YOUSCHKEVICHT, A. P. Le concept de fonction jusqu’au milieu du XIX e siècle. In: Fragments

d´histories des Mathématiques, Brochure A.P.M. E. P., n.41, p.7 – 67, 1981.

43

uma quantidade variável, então todas as outras quantidades que dependem de x,

não importando qual a maneira, ou que são determinadas por x, são chamadas

de função de x.”

Assim como Euler, Lagrange não tinha dúvidas em considerar toda função da

análise Matemática como podendo ser representada por uma série de termos

proporcionais às potências reais da variável independente.

É comum em Matemática, surgirem discussões a respeito de uma determinada

teoria, e como não podia deixar de ser, as discussões sobre o conceito de função

ocorreram do século XVIII envolvendo Euler e Lagrange, além de Jean Lê Rond

D’Alambert, Daniel Bernoulli (filho de Johann), Gaspard Monge, Pierre Simon Laplace

e Jean Batiste Joseph Fourier. Discussões a parte, guiados ou não por considerações

físicas e uma profunda intuição matemática, esta controvérsia foi muito importante para

o progresso da física matemática e para o desenvolvimento metodológico dos

fundamentos da análise matemática. As idéias de Euler foram analisadas corretamente

por Condorcet no seu manuscrito “Tratado de cálculo integral”, no qual utiliza pela

primeira vez a expressão “função analítica”, o qual foi lido por muitos matemáticos em

Paris. Entre eles Sylvester François Lacroix, que propõe em seu “Tratado de cálculo

diferencial e integral”, publicado em 1797 a seguinte definição, citada por

Youschkevicht (1981):

“Toda quantidade cujo valor depende de uma ou várias outras quantidades, diz-

se função dessas últimas, quer se conheça quer se ignore por quais operações se

deve passar para voltar à primeira.”

A relação entre os conceitos de função e continuidade aparecem explicitamente

nos trabalhos de Euler quando este define “variação contínua”. Entretanto, a relação

entre estes dois conceitos ficará mais clara e precisa no trabalho de Augustin-Louis

Cauchy. Um ponto que deve ser notado na obra de Cauchy (1823) é a definição de

função contínua, encontrada no trabalho de Monna8 (1972):

“Quando uma função )(xf admite um único valor para todos os valores de x

compreendidos entre dois limites dados, a diferença )()( xfixf sempre

8 Monna, A F. The concept of function in the 19th and 20th centuries, in particular with regard to the

discussions between Baire, Borel and Lebesque. Arch. for Hist. of Exact Sciences, v. 9, p. 57-84, 1972.

44

sendo uma quantidade infinitamente pequena, diz-se que )(xf é função contínua

da variável x entre os limites dados.”

Outro matemático francês que dá contribuições essenciais para o

desenvolvimento do conceito de função foi Jean Baptiste Joseph Fourier. Segundo

Youschkevicht (1981), a principal contribuição de Fourier, foi a definição da série que

leva seu nome e que fornece uma generalização quanto aos tipos de funções que podem

ser estudadas:

“Em geral, a função )(xf representa uma seqüência de valores ou ordenadas

onde cada uma é arbitrária.”

Depois da definição de Fourier, que sustenta que essas ordenadas podem não

estar sujeitas a uma lei comum, foram publicadas outras, muito mais extensas,

atribuídas a Nicolai Ivanovich Lobachevsky e a Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Essas

definições são praticamente idênticas e evidenciam a possibilidade de generalização das

funções contínuas e descontínuas. Apesar dos conceitos de conjunto e de número real

ainda não terem sido estabelecidos, a definição de Dirichlet está próxima do ponto de

vista moderno. Finalmente, ao concluir o estudo do século XIX, Eves (2004) apresenta

a contribuição dada por Hermann Hankel, pela definição geral que foi incluída nos

cursos de análise Matemática no final do século XIX e início do século XX:

“Diz-se que y é função de x se para cada valor de x, em um certo intervalo,

corresponde um valor bem definido de y, sem que isso exija que y seja definido

em todo o intervalo pela mesma lei em função de x, nem mesmo que y seja

definido por uma expressão Matemática explícita de x.”

As diferentes considerações quanto ao tipo de comportamento das funções e as

relações funcionais são características de diferentes épocas e diferentes gerações de

matemáticos. Os conceitos de função são adequados para as suas épocas e supostamente

tão gerais quanto o conceito atual. Por essa razão, Euler, Lacroix, Fourier e Dirichlet

não imaginaram funções como aquelas que seriam introduzidas mais tarde, na época de

Georg Cantor, René Baire, Emile Borel e Henri Leon Lebesgue. Após contornar o

complexo obstáculo de sua representação analítica, a classe das funções ampliou-se,

45

mais funções foram descobertas e tornou-se necessário estudar as diferentes classes de

funções (contínuas, diferenciáveis, descontínuas em determinados pontos, etc.).

O final do século XIX e início do século XX são marcados pelo

desenvolvimento do conceito de função ligado à teoria dos conjuntos, à lógica

Matemática e por discussões presentes nos trabalhos de Baire, Borel e Lebesgue e

Cantor. A teoria dos conjuntos desenvolvida por este último começa a ser aceita e

introduzida gradativamente na Matemática.

Cantor introduz a noção de produto cartesiano FE de dois conjuntos

quaisquer, ligando a noção de aplicação FEf : a um subconjunto de FE ,

formada pelos pares ))(,( xfx para todos os elementos x de E .

Avançando no estudo da evolução da idéia de função, Eves (2004) enfatiza a

contribuição de Richard Dedekind, que apresenta em 1888 uma concepção geral de

função ou de aplicação fazendo uso, a exemplo de como fez Cantor, da Teoria dos

Conjuntos.

Em 1935, um grupo de jovens matemáticos franceses funda a Associação

Bourbaki a fim de organizar toda a Matemática conhecida até então. Em seu primeiro

livro da coleção Théorie des ensembles (fascicule de résultats), publicado em 1939,

encontra-se a seguinte definição de função que, segundo Monna (1972), remove todas

as dúvidas sobre o que é uma “verdadeira” função:

“Sejam E e F dois conjuntos, distintos ou não. Uma relação entre uma

variável x de E e uma variável y de F chama-se relação funcional em x , ou

relação funcional de E em F , se, qualquer que seja Ex , existe um elemento

y de F , e somente um, que esteja na relação considerada com x .

Dá-se o nome de „função‟ à operação que associa a todo elemento Ex o

elemento y de F que se encontra na relação dada com x ; diz-se que y é o

valor da função para o elemento x , e que a função está „determinada‟ pela

relação funcional considerada. Duas relações funcionais „equivalentes‟

determinam a mesma função.” (Bourbaki, 1939, p.6 apud Monna, 1972, p. 82)

Assim, pode-se dizer que desde a Antiguidade até a revolução estruturalista do

grupo Bourbaki, emergiram maneiras diferentes de perceber o objeto matemático

função, de utilizar ou enfatizar suas propriedades.

46

Capítulo 3 - A CARACTERIZAÇÃO DAS FUNÇÕES AFIM E

QUADRÁTICA

Neste capítulo pretendemos dar significado ao estudo efetivo das funções reais

afim e quadrática do ponto de vista de sua variabilidade. Esta proposta encontra-se

diretamente relacionada ao projeto de pesquisa de Rezende (2003b) que estabelece uma

“Proposta de Emersão das Idéias Básicas do Cálculo no Ensino Básico de

Matemática”. O autor considera imprescindível ao educando dominar as técnicas que

permitirão interpretar o mundo que o cerca ao completar o ensino básico. A abordagem

a ser apresentada foi inspirada historicamente nos estudos de cinemática realizados, em

sua origem, pelos escolásticos e por Galileu.

3.1. Atividades introdutórias para o estudo da variação da função afim

Considerando uma função real f e x um ponto interior de seu domínio,

admitindo x como um incremento da variável x , chamamos de variação de f (ou

simplesmente, a variação de y em relação ao incremento x por

)()( xfxxfy . Definimos então a taxa de variação relativa ou acréscimo

relativo da função pela razão 12

12 )()(

xx

xfxf

x

y

, onde 1x e 2x pertencem ao domínio

de f .

Tendo visto a definição acima podemos, inicialmente, para efeito de ilustração,

apresentar para os alunos uma atividade relacionada ao movimento uniforme onde um

objeto se desloca sempre no mesmo sentido e, além disso, em tempos iguais, percorre

espaços iguais.

Considere, por exemplo, a função RRs : , definida por tts 2)( , onde t é o

tempo em horas e )(ts é o espaço percorrido, podemos sugerir a construção de uma

tabela de valores para esta função que nos revele também os valores de s e ts / ,

em intervalos de tempo iguais no domínio da função. Este processo de “discretização” é

útil para a análise, em geral, do comportamento variacional das funções.

47

Para 1t (intervalos de 1 hora), teremos:

t (em horas) tts 2)( )()1( tstss ts /

0 0

1 2 2 2

2 4 2 2

3 6 2 2

Tabela 2 – Valores de tts 2)( para 1t

Escolhendo outro intervalo de tempo, por exemplo, 5,0t (intervalos de 30

minutos), a tabela 2 recalculada nos forneceria os seguintes resultados:

t (em minutos) tts 2)( )()5,0( tstss ts /

0 0

0,5 1 1 2

1 2 1 2

1,5 3 1 2

Tabela 3 - Valores de tts 2)( para 5,0t

A repetição da atividade acima para outros intervalos de tempo permitirá que o

aluno seja capaz de perceber que a variação de s é proporcional à variação de t, ou de

outro modo, que a taxa de variação ts / é constante, como pode ser verificado na 4ª

coluna das tabelas 2 e 3.

A verificação definitiva desta propriedade deverá ser feita por meio da álgebra.

Vejamos:

22)(2)()(

t

ttt

t

tstts

t

s

Para que o aluno “se convença” que esta propriedade “vale para qualquer função

afim batts )( ”, devemos repetir a construção da tabela para outros exemplos. E

após a vivência dessas experiências, usar a álgebra para verificar, de forma mais geral

(para uma função afim arbitrária e qualquer t escolhido) a validade do que foi

observado.

48

at

batbtta

t

tstts

t

s

)()()(

Isto significa que )()( tstts , espaço percorrido no intervalo de tempo t a

partir da posição )(ts , depende apenas de t , mas não de t .

3.2. Caracterização da Função Afim

Isto posto, podemos perceber que a função do tipo afim tem a seguinte

característica:

A taxa de variação ts / é constante

Diante disso, surge naturalmente a seguinte questão:

Será que uma função s , satisfazendo à propriedade acima pode ser considerada

do tipo afim?

O teorema a seguir nos fornece efetivamente uma caracterização da função afim.

Teorema: Seja f : → uma função monótona injetiva. Se o acréscimo

)()()( hxfhxf depender apenas de h , mas não de x , então

f é uma função afim.

A hipótese de que )()( xfhxf não depende de x se exprime, às vezes,

como “a acréscimos iguais de x correspondem acréscimos iguais para )(xf ”. Outra

maneira de exprimir esta hipótese consiste em dizer que “os acréscimos sofridos por

)(xf são proporcionais aos acréscimos dados a x ”.

As demonstrações serão omitidas aqui, mas o leitor curioso poderá encontrá-las

em (Lima, 1996).

49

3.3. Atividades introdutórias para o estudo da variação da função quadrática

Analogamente ao que se fez para a função afim, podemos pensar em introduzir a

caracterização da função quadrática para os alunos a partir de um exemplo simples que

enfoque o seu caráter variacional.

A partir dos dados fornecidos por um objeto em movimento uniformemente

variável, podemos construir tabelas com a ajuda de uma planilha eletrônica (ou mesmo

com a ajuda de uma simples calculadora), de modo a perceber como as funções

quadráticas se comportam e, sendo assim, buscar características intrínsecas a ela.

Ressaltamos que, para esta atividade não se tornar monótona para os alunos,

seria mais adequado utilizar uma planilha eletrônica. Na ausência deste recurso,

sugerimos reduzir a quantidade de linhas das tabelas, evitando assim que o foco da

atividade seja desviado pelo uso intensivo da calculadora.

Voltemos então, ao experimento de Galileu descrito no item 2.3.2 do Capítulo 2,

considerando 2

2

1)( gtts , onde 8,9g m/s

2.

A tabela 4 a seguir, nos fornece os valores da posição )(ts (em metros) na 2ª

coluna, no instante inicial 0t e no instante t0 até o instante 10 , uma vez

escolhido o intervalo de tempo 1t (variável livre). Na 3ª coluna da tabela, aparecem

os valores do deslocamento ou variação da posição s , definida por

)()( tsttss , em cada intervalo de tempo. Na 4ª coluna da tabela, aparecem os

valores da variação do deslocamento, isto é )( s 9, ou como podemos definir,

simplesmente, a variação segunda de s , )()(2 tsttss , em cada intervalo de

tempo. Na 5ª coluna da tabela, aparecem então a variação terceira da posição s3 ,

definida por )()( 223 tsttss , em cada intervalo de tempo.

9 ststtststtss 2)()())()(()(

50

t (em segundos) s (em metros) )()( tsttss )()(2 tsttss s3

0 0

1 4,9 4,9

2 19,6 14,7 9,8

3 44,1 24,5 9,8 0

4 78,4 34,3 9,8 0

5 122,5 44,1 9,8 0

6 176,4 53,9 9,8 0

7 240,1 63,7 9,8 0

8 313,6 73,5 9,8 0

9 396,9 83,3 9,8 0

10 490 93,1 9,8 0


2

1)( gtts para 1t

Por simples observação, podemos notar que a sequência de valores s é uma

progressão aritmética de razão 9,8. As colunas 3ª e 4ª da tabela 4 formam,

respectivamente, sequências constantes 8,92 s e 03 s .

Observado isto, podemos sugerir a escolha de outro valor para t , por exemplo,

5,0t e, refazendo os cálculos, chegaríamos aos seguintes resultados da tabela 5 a

seguir.

t (em segundos) s (em metros) )()( tsttss )()(2 tsttss s3

0 0

0,5 1,225 1,225

1 4,9 3,675 2,45

1,5 11,025 6,125 2,45 0

51

2 19,6 8,575 2,45 0

2,5 30,625 11,025 2,45 0

3 44,1 13,475 2,45 0

3,5 60,025 15,925 2,45 0

4 78,4 18,375 2,45 0

4,5 99,225 20,825 2,45 0

5 122,5 23,275 2,45 0


2

1)( gtts para 5,0t

Novamente, percebe-se que a tabela 5 mantém padrões similares aos da tabela 4.

Neste caso, a sequência de valores s é uma progressão aritmética de razão 2,45. As

colunas 3ª e 4ª da tabela 5 formam sequências constantes 45,22 s e 03 s .

A atividade deverá ser repetida, quantas vezes forem necessárias, até que o aluno

perceba que, para qualquer intervalo de tempo t fixado, e qualquer função quadrática

s , a sequência de valores s sempre será uma progressão aritmética com s2 constante

e 03 s .

Ao perceber estas propriedades, o aluno é levado a estabelecer conjecturas a

respeito do comportamento variacional das funções quadráticas.

Cabe ressaltar que as conjecturas construídas por meio das atividades propostas

podem e devem ser verificadas algebricamente.

De fato, considerando )()(, tsttss ttt e substituindo em

cbtatts 2)( , temos:

)()()(2

)()()(2

)()()(2

)()(

2

,

222

,

222

,

22

,

tbtattas

cbtatctbbttattaats

cbtatctbbtttttas

cbtatcttbttas

ttt

ttt

ttt

ttt

Como t está fixado, )(2 ta e )()( 2 tbta são constantes.

52

Re-escrevendo ttts , obtemos ts ttt ,.

Observemos ainda que ao calcularmos ttts ,

2 , obtemos:

tttttsttss ttt )()()(,

2

Tal fato implica que ttts ,

2 é constante em relação a t .

É imediato o fato de 0,

3 ttts .

3.4. Caracterização da Função Quadrática

Após as atividades introdutórias, a caracterização da função do tipo quadrática

pode ser realizada de maneira equivalente à que foi feita para a função afim.

Vimos na seção anterior que a função do tipo quadrática possui as seguintes

características:

a sequência de valores )()( tsttss é uma progressão aritmética

a razão desta progressão aritmética é constante e não-nula

Será que uma função )(ts pode ser considerada do tipo quadrática se satisfizer às

características acima? A resposta para esta questão está no teorema que caracteriza a

função quadrática.

Teorema: Seja f : → uma função contínua tal que, para todo Rh fixado,

o acréscimo )()( xfhxf é uma função afim de x . Então f é

uma função quadrática.

A hipótese significa que, para todo Rh e todo Rx tem-se

xxfhxf )()( , onde e não dependem de x , mas certamente podem

depender de h . Ou seja, )()()()( hxhxfhxf .

Tendo em vista o teorema de caracterização da função quadrática e sua

recíproca, uma função quadrática transforma toda progressão aritmética numa

progressão aritmética de segunda ordem e, inversamente, toda função contínua

f : → que tem esta propriedade é uma função quadrática. Portanto, uma função

53

contínua f : → é quadrática se, e somente se, transforma toda progressão aritmética

,...,, 321 xxx numa progressão aritmética de segunda ordem ,...,, 321 yyy onde

11)( yxf , 22 )( yxf , 33 )( yxf , etc.

Como destacamos no início deste capítulo, não é do escopo desta monografia

demonstrar os resultados e teoremas citados. Nem é objetivo deste trabalho incentivar o

professor a realizar tal procedimento em sala de aula com seus alunos. Concordamos

com Rezende (2008), ao acreditar que certos fatos podem e devem ser ignorados em

determinados níveis de ensino.

O rigor é uma função da maturidade matemática e cognitiva do aluno. A noção

intuitiva de continuidade pode estar associada, por exemplo, à alegoria de Euler, isto é,

“uma função é contínua se podemos desenhar o seu gráfico sem tirar o lápis do papel”.

Essa noção intuitiva, apesar de imprecisa, é legítima do ponto de vista histórico e faz

parte, sem dúvida, do discurso docente de um curso inicial de Cálculo. Qual o problema

então de usarmos essa metáfora no Ensino Médio?

54

Capítulo 4 - A PESQUISA

“O professor é aquele que faz brotar duas idéias onde

antes só havia uma.”

Elbert Hubbard

“Um professor que tenta ensinar sem inspirar em seus

alunos a vontade de aprender, fala para o vazio.”

Horace Mann

4.1. Metodologia

Neste capítulo apresentaremos os procedimentos metodológicos que foram

observados com o objetivo de realizarmos um estudo de caso do conhecimento do

professor de Matemática da educação básica sobre o comportamento variacional das

funções afim e quadrática.

O problema foi levantado a partir do desenvolvimento de algumas ações do

projeto de pesquisa “Uma Proposta de Emersão das Idéias Fundamentais do Cálculo

no Ensino Básico de Matemática” (Rezende, 2003b), principalmente durante a

realização de minicursos ou oficinas junto a professores de Matemática da educação

básica, quando se percebeu algumas dificuldades dos professores de Matemática da

educação básica na resolução de problemas que envolvem propriedades e habilidades

relacionadas ao comportamento variacional das funções afim e quadrática.

Após a fase em que se configurou o problema, foi dado início à fase de

formulação das hipóteses e de questões investigativas. Optou-se então pelo estudo de

caso, através da seleção de questões a serem resolvidas pelos sujeitos da pesquisa na

forma de atividades. A pesquisa foi desenvolvida com enfoque qualitativo, levando em

consideração que a escolha do instrumento para coleta de dados deveria estar de acordo

com a natureza do problema. Segundo Fiorentini e Lorenzato (2006):

“Considerando a educação matemática como uma prática social, o trabalho de

campo torna-se uma opção importante, pois fornece elementos que nos

permitem compreendê-la e, então, transformá-la.”

A coleta de dados foi projetada para atender às posteriores análises quantitativas

e qualitativas das respostas dos professores.

55

4.1.1. Pesquisa naturalista ou de campo – o estudo de caso

Uma vez delineado e definido o objeto de estudo, a próxima fase consiste na

construção e desenvolvimento de modos de investigar esse objeto. A denominação

“pesquisa naturalista ou de campo” significa que os estudos são coletados diretamente

no “campo”, sendo a modalidade de investigação na qual a coleta de dados é realizada

diretamente no local em que o problema ou o fenômeno acontece e pode se dar por

amostragem, entrevista, observação participante, pesquisa-ação, aplicação de

questionário, teste, atividades, entre outros.

Um tipo especial de pesquisa de campo é o estudo de caso. Ele é recomendável

para a construção de hipóteses, para confirmação ou reformulação do problema e,

sobretudo, quando se quer estudar algo singular, que tenha um valor em si mesmo,

buscando encontrar algo de universal no particular. Fiorentini e Lorenzato (2006)

complementam a questão ao afirmar que:

“O estudo de caso busca retratar a realidade de forma profunda e mais

completa possível, enfatizando a interpretação ou a análise do objeto no

contexto em que ele se encontra, mas não permite a manipulação das variáveis

e não favorece a generalização.”

O caso pode ser, por exemplo, um grupo de professores de Matemática da

educação básica com algumas dificuldades na resolução de problemas que envolvem

propriedades e habilidades relacionadas ao comportamento variacional das funções afim

e quadrática. O contexto desta monografia tende a seguir uma abordagem qualitativa,

embora isso não signifique abandonar algumas quantificações necessárias, que podem

ajudar a análise de algumas questões. Assim, elaborou-se um questionário com questões

fechadas, pois são mais fáceis de serem respondidas, compiladas e tratadas

estatisticamente, com o objetivo de caracterizar e descrever os sujeitos da pesquisa,

através de informações como ser aluno ou professor, lecionar em escola pública ou

privada e os níveis de ensino em que leciona.

A abordagem qualitativa da pesquisa, apresentada através da análise das

resoluções das atividades propostas aos professores, favorece a confirmação ou

reformulação do problema e permite propor os próximos passos.

56

4.2. Descrição da pesquisa

Esta pesquisa tem como objetivo investigar sobre o conhecimento de um grupo

de professores em relação ao comportamento variacional das funções reais afim e

quadrática. Para isto foram selecionadas algumas atividades para serem aplicadas em

quatro momentos distintos. Passemos então a descrição dos sujeitos e dos instrumentos

utilizados nesta pesquisa.

4.2.1. Sujeitos da pesquisa

A pesquisa apresentada nesta monografia foi desenvolvida durante os anos de

2007 e 2008, e aplicada em momentos distintos em quatro grupos de professores e

licenciandos em Matemática, dos quais três deles foram constituídos durante os

minicursos ministrados em parceria com o Prof. Wanderley Rezende, nos seguintes

encontros de educação Matemática:

31º Encontro Fundão - Junho / 2007

Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)

Minicurso: Funções Reais: o Caminho Histórico e o Descaminho Didático

5º Encontro Sul Fluminense de Educação Matemática (5º ESFEM) - Outubro / 2007

Universidade Severino Sombra (USS)

Minicurso: Uma Proposta Alternativa para o Ensino de Funções na Educação Básica

1ª Jornada de Matemática (1ª JORMAT) - Maio / 2008

Universidade do Estado do Rio de Janeiro (UERJ)

Faculdade de Formação de Professores (FFP)

Minicurso: Dos Escolásticos às Novas Tecnologias: uma Contribuição para o Ensino de

Funções Reais na Educação Básica

O terceiro grupo ao qual a pesquisa foi aplicada era formado por alunos da turma

de Especialização Matemática para Professores do Ensino Fundamental e Médio da

Universidade Federal Fluminense que ingressaram no curso em Março de 2008.

57

A escolha destes grupos justifica-se pelo fato destes sujeitos serem profissionais

selecionados e/ou compromissados com a sua formação. O fato de eles estarem

participando, de uma forma ou de outra, de atividades que visam à melhoria da sua

prática docente ou deles estarem fazendo um curso de Especialização em uma

instituição pública federal de qualidade, justificam a nossa seleção e nos dá a segurança

de que fizemos uma escolha acertada.

4.2.2. Descrição dos instrumentos da pesquisa

Para caracterizar e descrever os sujeitos da pesquisa foi elaborado e aplicado um

questionário fechado, o qual também serviu para obter informações relativas à situação

profissional de cada um dos participantes.

Optou-se pelo desenvolvimento de atividades propostas com o intuito de

verificar, através da observação e análise das respostas dos sujeitos pesquisados, se os

professores da educação básica estão preparados para realizar o estudo e caracterização

das funções polinomiais a partir do seu comportamento variacional.

O questionário informativo e as atividades propostas foram submetidos aos

sujeitos da pesquisa durante os encontros descritos no item 4.2.1.

Para os sujeitos da pesquisa que participaram do último grupo, elaboramos

também um formulário de avaliação que permitisse aos participantes expressar sua

opinião em relação às atividades propostas, à sequência didática apresentada e ao

conteúdo didático-pedagógico do minicurso ministrado na 1ª Jornada de Matemática –

UERJ/FFP. Algumas destas respostas e avaliações serão transcritas mais tarde.

4.2.2.1. Questionário informativo

Em cada encontro, foi aplicado um questionário informativo para qualificar os

participantes de acordo com as perguntas abaixo. Estes dados foram tabulados e

encontram-se no Anexo.

58

Responda, por favor (não precisa de identificação):

Aluno Professor

Escola que leciona: Pública Privada

Ensino: Fundamental I 1º 2º 3º 4º 5º

Fundamental II 6º 7º 8º 9º

Médio 1º 2º 3º

Superior Graduação Pós-graduação

4.2.2.2. Atividades propostas

Os problemas apresentados a seguir foram propostos para serem resolvidos pelos

participantes em até uma hora. Foi permitido o uso da calculadora e, em um dos grupos

pesquisados, a calculadora foi substituída por um computador com planilha eletrônica.

O objetivo principal desta pesquisa é investigar quais as estratégias e

ferramentas utilizadas pelos participantes para descobrir a lei de formação da função a

partir dos dados de um problema.

Atividade 1 – Fonte: Botelho (2005) – página 46

A tabela abaixo mostra a variação de posição de um trem em movimento

uniforme que passava no quilômetro 40 de uma ferrovia quando o movimento começou

a ser observado (t = 0). Depois de quanto tempo após o início da viagem, o trem passou

pelo quilômetro 120 da ferrovia?

Tempo ( horas) 0 1 2 3 4

Espaço (km) 40 70 100 130 160

59

Atividade 2 (Adaptada) – Fonte: Botelho (2005) – página 49

Um estudante anotou a posição de um móvel em movimento uniformemente

variável ao longo do tempo e obteve a seguinte tabela:

Calcular a posição do móvel nos instantes 5s e 35s.

Atividade 3 – Fonte: Lima (2001) – página 103

Uma escala N de temperatura foi feita com base nas temperaturas máxima e

mínima em Nova Iguaçu. A correspondência com a escala Celsius é a seguinte:

Atividade 4 (Adaptado) – Fonte: Lima (2001) – página 150

Uma pessoa possui um gravador de vídeo dotado de um contador que registra o

número de voltas dadas pelo carretel da direita. A fita, de 6 horas de duração, está

parcialmente gravada. O contador indica 1750 ao final do trecho gravado e 1900 ao

final da fita. Medindo o tempo de gravação correspondente às primeiras 100, 200, 300 e

400 voltas, foram encontrados os dados abaixo:

As resoluções das quatro atividades propostas podem ser visualizadas no final

deste trabalho, no anexo.

Tempo (s) 0 10 20 30 40 50

Posição (cm) 17 45 81 125 177 237

°C °N

18° 0°

43° 100°

Volta Tempo (s)

100 555

200 1176

300 1863

400 2616

Em que temperatura ferve a água na escala N ?

Quanto tempo resta de gravação na fita?

60

4.2.2.3. Formulário de Avaliação

O formulário de avaliação foi o instrumento de pesquisa aplicado no último

encontro com o objetivo de levantar as idéias e opiniões dos participantes em relação ao

minicurso apresentado. Com esta finalidade, foram elaboradas as nove seguintes

questões:

1) A idéia proposta para o estudo das funções polinomiais foi compreendida?

(a) Totalmente (b) Parcialmente (c) Não foi compreendida

2) Você acha que o estudo proposto é relevante para a formação do aluno da

educação básica? (a) Sim (b) Parcialmente (c) Não

3) Explicite os motivos da sua resposta para a questão 2.

4) Caso você tenha oportunidade, você implementaria esta sequência didática

para desenvolver o estudo da variação das funções polinomiais?

(a) Sim (b) Parcialmente (c) Não

5) Explicite os motivos da sua resposta para a questão 4.

6) Você acredita que o “aluno mediano” tenha capacidade de assimilar o

conteúdo apresentado para o estudo da variação das funções polinomiais?


7) Justifique a sua resposta para o item 6.

8) O minicurso acrescentou alguma coisa na sua formação?


9) Explicite os motivos da sua resposta para a questão 8, enumerando os

elementos que foram agregados à sua formação.

61

4.3. Resultados da pesquisa

Para apresentar sucinta e claramente os resultados da pesquisa, as informações

contidas no questionário informativo e as respostas dos sujeitos da pesquisa para as

atividades propostas foram classificadas estatisticamente e organizadas em categorias.

Para facilitar a compreensão desta investigação, recorremos ao uso das legendas a

seguir:

Grupos pesquisados

Grupo A 31º Encontro Fundão – UFRJ

Grupo B 5º Encontro Sul Fluminense de Ed. Matemática (5º ESFEM) – USS

Grupo C Turma de Especialização Matemática para Professores do Ensino

Fundamental e Médio da Universidade Federal Fluminense – UFF

Grupo D 1ª Jornada de Matemática (1ª JORMAT) – FFP/UERJ

4.3.1. O perfil dos grupos pesquisados

Os sujeitos desta pesquisa estão distribuídos nos grupos A com 25 participantes,

B com 10 participantes, C com 14 participantes e D com 19 participantes, totalizando

68 participantes. Deste total, 25 são alunos de graduação ou pós-graduação em

Matemática e não atuam como professor e o restante, 43 participantes, atuam como

professores. Inicialmente cabe ressaltar que no grupos A, B e C temos uma maioria de

participantes que atua como professores, mas a situação se inverte no grupo D, no qual a

maioria, 75% dos participantes, não leciona, conforme observado a seguir:

Grupo Participante Não atua como

professor Atua como Professor

Grupo A 25 4 21

Grupo B 10 4 6

Grupo C 14 3 11

Grupo D 19 14 5

Total 68 25 43

Dos 43 participantes que atuam como professores de Matemática, detectamos

dois participantes do grupo D formados em Pedagogia e que atuam exclusivamente

como professores de 2º e 3º ano do Ensino Fundamental I. Como esta pesquisa tem seu

62

foco na formação profissional do professor de Matemática, iremos desconsiderar esses

dois sujeitos que estão capacitados a lecionar apenas no Ensino Fundamental I.

Chegamos assim a um total de 66 participantes, sendo que 25 não atuam como professor

e 41 atuam como professor, ou seja, o equivalente a 38% e 62% respectivamente.

Destes sujeitos da pesquisa que atuam como professor, 30 trabalham em escolas

públicas, 22 em escolas privadas e 11 em ambas, conforme o quadro abaixo:

Escola que leciona

Grupo Professor Pública Privada

Grupo A 21 15 10

Grupo B 6 5 4

Grupo C 11 7 6

Grupo D 3 3 2

Total 41 30 22

A grande maioria dos 41 participantes lecionam em mais de uma turma e em

segmentos distintos, como notamos ao tabular as respostas do questionário informativo:

Ensino

Fund. II Médio Grad. Pós

Grupo Participante Professor 6º 7º 8º 9º 1º 2º 3º

Grupo A 25 21 9 8 9 8 11 12 12 2 0 Grupo B 10 6 4 4 3 5 4 4 4 3 1 Grupo C 14 11 6 5 7 4 5 6 3 3 1 Grupo D 17 3 0 0 1 1 1 1 1 2 1

Total 66 41 19 17 20 18 21 23 20 10 3

Este nível de detalhamento do perfil dos grupos pesquisados não acrescenta

informações relevantes, como também não interfere nos resultados da pesquisa, cujo

foco é realizar um estudo de caso do conhecimento do professor de Matemática da

educação básica sobre o comportamento variacional das funções afim e quadrática.

Desta forma, optamos por classificar as respostas dos participantes em relação ao

segmento de ensino que atuam. Foram considerados aqueles que atuam apenas no

ensino fundamental II (6º, 7º, 8º e 9º) e aqueles que atuam inclusive no ensino médio,

graduação ou pós-graduação.

63

Ensino

Grupo Professor Fundamental II Médio, Graduação ou Pós

Grupo A 21 4 17

Grupo B 6 1 5

Grupo C 11 3 8

Grupo D 3 0 3

Total 41 8 33

Com esta classificação podemos observar que, dos 41 participantes que atuam

como professores de Matemática, 80% atua no ensino médio, graduação ou pós-

graduação e que 20% atua exclusivamente no ensino fundamental II.

4.3.2. Apresentação das categorias de análise da resolução das atividades

Estudos sobre divergências entre corretores em provas dissertativas de

Matemática levaram-nos a buscar uma situação ideal de correção e de análise das

resoluções das atividades apresentadas pelos participantes desta pesquisa. Em seu

artigo, Moretti (2008) indica as vantagens da prática da multicorreção de provas:

“Pensamos que a explicação das divergências entre corretores é um pré-

requisito necessário para visar o objetivo da uniformização.”

A partir do reconhecimento desta situação, realizamos primeiramente um estudo

comparativo das resoluções por questão. Tanto as respostas corretas quanto as respostas

incorretas, foram classificadas visando uniformizar as resoluções dos sujeitos da

pesquisa.

Após o levantamento das similaridades encontradas nas resoluções de cada

questão, utilizamos as legendas Cn e In para classificar, respectivamente, as diversas

resoluções corretas e incorretas. Algumas respostas não estavam nem corretas, nem

incorretas, por isso não puderam ser classificadas de acordo com as categorias descritas

acima. São questões que não foram resolvidas, deixadas literalmente “em branco” (EB);

questões não finalizadas (NF) que, apesar de iniciadas, não foram terminadas,

impossibilitando sua classificação em corretas ou incorretas; e, finalmente, questões

com resolução incongruente (RI), que são questões resolvidas ou não, mas cuja

resolução está incompatível com o enunciado.

64

Em resumo, as respostas foram classificadas segundo a legenda a seguir:

Classificação Descrição

Cn Corretas

In Incorretas

EB Em branco

NF Não finalizadas

RI Resolução incongruente

Passemos então a análise dos resultados obtidos por questão, as quais foram

transcritas novamente com o intuito de facilitar a verificação dos seus enunciados.

4.3.2.1. Questão 1

A tabela abaixo mostra a variação de posição de um trem em movimento

uniforme que passava no quilômetro 40 de uma ferrovia quando o movimento começou

a ser observado (t = 0). Depois de quanto tempo após o início da viagem, o trem passou

pelo quilômetro 120 da ferrovia?

Tempo (horas) 0 1 2 3 4

Espaço (km) 40 70 100 130 160

Resposta: O trem passou pelo quilômetro 120 da ferrovia após 2 horas e 40

minutos da viagem.

Nesta questão foram identificados quatro tipos de resoluções corretas (C1, C2,

C3 e C4), dois tipos de resoluções incorretas (I1 e I2), resoluções em branco (EB),

resoluções não finalizadas (NF) e resoluções incongruentes (RI). A seguir,

apresentaremos um exemplo para cada categoria de resposta encontrada para esta

questão.

Correta do tipo 1 (C1)

Neste tipo de resolução, o participante utilizou a relação 30

t

s.

65

Figura 7 – Resolução do participante 06 do grupo A


O participante utilizou a divisão do tempo em partes proporcionais a ∆𝑠, na resolução

classificada como tipo 2.

Figura 8 – Resolução do participante 14 do grupo D


Aqui, observamos o uso da regra de três entre ∆𝑠 e ∆𝑡


66


Aqui, o participante encontrou a função afim correspondente 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 , ou ainda,

𝑠 = 𝑠0 + 𝑣𝑡 e calculou o tempo percorrido.

Figura 10 – Resolução do participante 09 do grupo C

Incorreta do tipo 1 (I1)

Neste tipo de resolução incorreta, o participante usou a expressão 2

vt.


67


O participante usou 𝑠 = 𝑣𝑡, isto é, o espaço (s) proporcional ao tempo (t).


Não finalizada (NF)


Resolução incongruente (RI)

Apresentamos um exemplo que não deixam dúvida em relação a este tipo de

classificação.


68

4.3.2.2. Questão 2

Um estudante anotou a posição de um móvel em movimento uniformemente

variável ao longo do tempo e obteve a seguinte tabela:


Resposta: No instante 5s a posição do móvel é 30 cm e no instante 35s, é 150 cm

Nesta questão foi identificada um tipo de resolução correta (C1), quatro tipos de

resoluções incorretas (I1, I2, I3 e I4), resoluções em branco (EB), resoluções não

finalizadas (NF) e resoluções incongruentes (RI). Passemos agora à ilustração das

categorias de respostas desta questão.

Tempo (s) 0 10 20 30 40 50

Posição (cm) 17 45 81 125 177 237

69


O participante utilizou os dados da tabela para encontrar a lei de formação da função

quadrática 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 e calcular a posição do móvel nos instantes 5s e 35s.


70


O participante utilizou regra de três simples entre s e t .



Neste tipo de resolução incorreta, o participante utilizou a equação 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0𝑡 +𝑎𝑡 2

2,

com 𝑎 = 0,8 𝑐𝑚/𝑠2 .



O participante faz uso de uma função linear do tipo 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 para modelar o

problema.


71

Mesmo tipo de resolução incorreta em outro exemplo:



Resolução incorreta, na qual o participante calculou s a partir da velocidade média no

intervalo.


72




Não existem elementos suficientes para classificar a resolução em um dos tipos de

incorreta.


4.3.2.3. Questão 3

Uma escala N de temperatura foi feita com base nas temperaturas máxima e

mínima em Nova Iguaçu. A correspondência com a escala Celsius é a seguinte:

Resposta: A água ferve a uma temperatura de 328º N.

°C °N

18° 0°

43° 100° Em que temperatura ferve a água na escala N?

73

Nesta questão foram identificadas dois tipos de resoluções corretas (C1 e C2),

sete tipos de resoluções incorretas (I1, I2, I3, I4, I5, I6 e I7), resoluções em branco (EB),

resoluções não finalizadas (NF) e resoluções incongruentes (RI).


O participante utilizou a função 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 para encontrar o resultado da questão.



As questões deste tipo foram resolvidas através de regra de três entre C e N .


74


O participante tentou calcular os vértices da parábola (𝑥𝑣 ,𝑦𝑣).



Nesta resolução incorreta observamos que o participante utilizou a regra de três, mas

com valores não correspondentes.


75


O participante utilizou a regra de três entre as temperaturas em ºC e em ºN.

Figura 27 – Resolução do participante 05 do grupo B


O participante utilizou )(

)(

11

22

xy

xym


76


O participante utilizou 1

0

1

0

y

x

yy

xx



O participante utilizou x

y

xx

yy

12

12


77


O participante utiliza a função 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏, encontra o valor de a corretamente, mas

erra no cálculo de 𝑏 (𝑏 = −72).




78


Resposta incorreta com informações insuficientes para ser classificada.


4.3.2.4. Questão 4

Uma pessoa possui um gravador de vídeo dotado de um contador que registra o

número de voltas dadas pelo carretel da direita. A fita, de 6 horas de duração, está

parcialmente gravada. O contador indica 1750 ao final do trecho gravado e 1900 ao

final da fita. Medindo o tempo de gravação correspondente às primeiras 100, 200, 300 e

400 voltas, foram encontrados os dados abaixo:

Resposta: Restam 39 minutos e 31 segundos de tempo de gravação na fita.

Nesta questão não foi identificado nenhum tipo de resolução correta e foram

identificadas três tipos de resoluções incorretas (I1, I2 e I3), resoluções em branco (EB),

resoluções não finalizadas (NF) e resoluções incongruentes (RI).


O participante considerou uma equação do tipo bannt )( onde n é o número de voltas

e t é o tempo correspondente.

Volta Tempo (s)

100 555

200 1176

300 1863

400 2616


79



O participante utilizou de maneira incorreta uma regra de três simples entre n e t .


80


Resolução em que o participante utilizou uma regra de três simples entre n e t.





A resposta do participante não possui dados suficientes para ser classificada ou está

incompatível com a questão.


81

4.3.3. Análise da resolução das atividades

Os resultados obtidos com a pesquisa desta monografia apresentam-se tratados

estatisticamente, através de tabelas e gráficos circulares, organizados de acordo com a

classificação descrita anteriormente e exemplificada no item acima. Para cada

grupamento de dados, corresponde um breve levantamento percentual dos resultados.

Com base nestas informações quantitativas, realizaremos uma análise buscando

aprofundar os resultados e responder a pergunta desta monografia.

4.3.3.1. Alguns indicadores quantitativos das resoluções

Para que os resultados obtidos na pesquisa pudessem ser observados de forma

organizada, optamos por apresentar tabelas e gráficos, lado a lado, de modo a fornecer

ao leitor uma interpretação mais rápida e objetiva. As legendas referentes aos setores

dos gráficos foram dispensadas, pois nas tabelas estão todas as informações necessárias

para a sua leitura e compreensão.

Iniciaremos a apresentação dos resultados com uma análise geral, constituída de

todos os grupos (A, B, C e D) e todas as questões (1, 2, 3 e 4) reunidas. Neste tipo de

análise as categorias de resposta não podem estar classificadas em Cn e In pelo fato de

cada questão (1, 2, 3 e 4) apresentar uma variedade de tipos de respostas corretas ou

incorretas que não estão relacionadas entre si. Por exemplo, uma resposta do tipo C1

relativa à questão 1 nada tem a ver com uma resposta do tipo C1 relativa à questão 2.

Sendo assim, o que consideramos ser uma categoria de respostas resumida engloba as

respostas classificadas como corretas, incorretas, em branco (EB), não finalizadas (NF)

e resoluções incongruentes (RI).

82

Todos os Grupos x Todas as Questões x Categoria de Resposta Resumida

Respostas Qtde.

Corretas 83

Incorretas 113

Em branco (EB) 51

Não finalizadas (NF) 8

Resoluções incongruentes (RI) 9

Total geral 264

A partir da observação dos dados da tabela e do gráfico, as repostas incorretas

(43%) em conjunto com as respostas em branco (19%), com as não finalizadas (3%) e

com as resoluções incongruentes (3%), perfazem uma quantidade significativa de 181

respostas, que equivalem a 68% do total, em comparação as 83 respostas corretas, que

correspondem a 32%.

Contudo, percebemos que este comportamento não é comum a todas as questões.

Sendo assim, apresentaremos os dados estatísticos das quatro questões separadamente,

mantendo os participantes ainda agrupados e classificando as respostas quanto ao tipo

de resolução.

Gráfico 3 – Todos os grupos x todas as questões

Tabela 6 – Todos os grupos x todas as questões

83

Todos os Grupos x Questão 1 x Categoria de Respostas Classificadas

Nesta organização de dados, podemos verificar as respostas corretas, incorretas,

em branco, não finalizadas e as resoluções incongruentes apresentadas pelos

participantes da pesquisa para solucionar a questão 1 (descobrir depois de quanto

tempo, um trem em movimento uniforme, passa pelo quilômetro 120 da ferrovia) e

compará-las através do gráfico com percentuais.

Percebemos, na tabela acima, que 51 participantes resolveram corretamente a

questão 1, o equivalente a cerca de 77%, e que apenas 11 resoluções foram classificadas

como incorretas, ou seja, 17%.

QUESTÃO 1

Respostas Qtde.

Corretas do tipo 1 (C1) 6




Subtotal Corretas 51

Incorretas do tipo 1 (I1) 3


Subtotal Incorretas 11

Em branco (EB) 2



Total geral 66

Gráfico 4 – Todos os grupos x questão 1 Tabela 7 – Todos os grupos x questão 1

84


Prosseguindo com o levantamento de dados, analisaremos as respostas dos

participantes para a questão 2 (calcular a posição de um móvel em movimento

uniformemente variado em dois instantes distintos) através da tabela e do gráfico

seguintes.

Na tabela chama atenção o fato de apenas um participante ter resolvido

corretamente a questão 2, enquanto que os 65 (98,5%) participantes restantes,

resolveram incorretamente (74%), deixaram a questão em branco (17%), não

finalizaram a resolução (6%) ou apresentaram resolução incongruente (2%).

Cabe observar que as questões 1 e 2, embora inseridas no mesmo contexto

(cinemática), são modeladas por funções de tipos diferentes (função afim e quadrática) e

apresentaram resultados diferentes.

O fato de 55% das resoluções incorretas serem do tipo 1, na qual o participante

utilizou regra de três simples entre ∆𝑠 e ∆𝑡, também merece um questionamento

detalhado que será feita adiante.

QUESTÃO 2

Respostas Qtde.


Subtotal Corretas 1






Em branco (EB) 11



Total geral 66

Tabela 8 – Todos os grupos x questão 2 Gráfico 5 – Todos os grupos x questão 2

85


Nesta questão (determinar em que temperatura a água ferve na escala N),

daremos continuidade ao levantamento estatístico através da tabela e do gráfico

apresentados abaixo.

Existem duas informações que merecem ser destacadas na questão 3. Primeiro, a

variedade de tipos de resolução incorreta (de I1 até I7), com destaque para as incorretas

do tipo 3, na qual 12 participantes utilizaram a regra de três direta entre as variáveis ºC e

ºN em vez de usarem a regra de três entre as variações das variáveis (modelo afim, não

linear). Este tipo de erro teve uma incidência de 50% em relação às resoluções

incorretas.

Em segundo, a quantidade de resoluções corretas (47%) está próxima da

quantidade de resoluções incorretas, em branco, não finalizadas e incongruentes (53%).

Uma sucinta comparação entre as resoluções apresentadas pelos participantes

para as questões 1 e 3, ambas modeladas pela função afim mas com respostas tão

discrepantes, leva-nos a questionar se foi a mudança do contexto (cinemática para

termodinâmica) que interferiu neste resultado.

QUESTÃO 3

Respostas Qtde.



Subtotal Corretas 31









Em branco (EB) 9



Total geral 66

Tabela 9 – Todos os grupos x questão 3

Gráfico 6 – Todos os grupos x questão 3

86


Para finalizar, apresentaremos os resultados relativos à questão 4 (encontrar o

tempo restante de gravação numa fita de vídeo) coletados na pesquisa deste trabalho.

Na distribuição acima, um ponto importante a ser realçado é que nenhum

participante apresentou uma solução correta para a questão. Também podemos

destacar que o subtotal de 29 participantes com resoluções incorretas para a questão

(44%) empatou com a quantidade de participantes que deixou a questão em branco

(44%), totalizando uma considerável maioria de 88%.

Das respostas incorretas, destacamos que 73% eram de resoluções do tipo 2, no

qual o participante utilizou uma regra de três simples entre ∆𝑛 (variação do número de

voltas) e ∆𝑡 (variação do tempo). Cabe destacar ainda que os outros dois tipos de

resoluções incorretas utilizam propriedades da função afim ou linear.

Após analisarmos os dados acima referentes às quatro tabelas e aos quatro

gráficos elaborados com todos os participantes, surge uma indagação sobre as

características de cada grupo separadamente. Para responder a este questionamento, os

resultados apresentados pelos grupos pesquisados (Grupo A – Fundão, Grupo B –

USS/Vassouras, Grupo C – FFP/UERJ e Grupo D – Especialização/UFF) em relação a

cada uma das questões serão analisados de forma comparativa.

QUESTÃO 4

Respostas Qtde.





Em branco (EB) 29



Total geral 66

Tabela 10 – Todos os grupos x questão 4 Gráfico 7 – Todos os grupos x questão 4

87

Por Grupo x Questão 1 x Categoria de Respostas Classificadas

Dando sequência aos estudos estatísticos, apresentamos as tabelas detalhadas

com os resultados da questão 1 (descobrir depois de quanto tempo, um trem em

movimento uniforme, passa pelo quilômetro 120 da ferrovia).

QUESTÃO 1

Resposta/Qtde. Grupo A Grupo B Grupo C Grupo D

Corretas do tipo 1 (C1) 5 0 1 0




Subtotal Corretas 20 8 11 12

Incorretas do tipo 1 (I1) 2 0 0 1


Subtotal Incorretas 3 2 3 3

Em branco (EB) 1 0 0 1

Não finalizadas (NF) 1 0 0 0

Resoluções incongruentes (RI) 0 0 0 1

Total geral 25 10 14 17

Pela tabela acima, percebe-se que existem algumas variações pontuais em

relação à classificação detalhada das respostas dos participantes dos grupos A, B, C e D.

No entanto, percebe-se uma aproximação nos resultados, quando efetuamos os cálculos

percentuais considerando as categorias de respostas resumidas (corretas, incorretas, em

branco, não finalizadas e incongruentes), como veremos na tabela a seguir.

Questão 1 Grupo

A %

Grupo B

% Grupo

C %

Grupo D

% Total %

Corretas 20 80% 8 80% 11 79% 12 71% 51 77%

Incorretas 3 12% 2 20% 3 21% 3 18% 11 17%

Em branco (EB) 1 4% 0 0% 0 0% 1 6% 2 3%

Não finalizadas (NF) 1 4% 0 0% 0 0% 0 0% 1 2%

Resol.incongruentes (RI) 0 0% 0 0% 0 0% 1 6% 1 2%

Total geral 25 100% 10 100% 14 100% 17 100% 66 100%

Tabela 11 – Questão 1 x Grupo

Tabela 12 – Quadro percentual comparativo da questão 1

88

A seguir apresentamos os resultados em forma de gráfico.

Como notamos, as resoluções corretas variam entre 70% e 80% nos quatro

grupos pesquisados, com maior ocorrência das resoluções corretas do tipo 4 (utilização

da função afim) no grupo C (50%), e as corretas do tipo 2 (divisão do tempo em partes

proporcionais) no grupo D (59%). Apenas no grupo A foram encontradas resolução do

tipo 3 (regra de três entre ∆𝑠 e ∆𝑡).

C120%

C220%

C320%

C420%

I18%

I24%

EB4%

NF4%

Grupo A

C240%

C440%

I220%

Grupo B

C17%

C222%

C450%

I221%

Grupo C

C259%

C411%

I16%

I212%

EB6%

RI6%

Grupo D

Gráfico 8 – Questão 1 x Grupo

89


Continuaremos, a seguir, com os resultados relativos à questão 2 (calcular a

posição de um móvel em movimento uniformemente variado em dois instantes

distintos) e suas respectivas tabelas.

QUESTÃO 2













Cabe destacar aqui que existe uma única resolução correta, a qual pertence a

um dos participantes do grupo A, e nenhuma resolução correta nos grupos B, C e D.

Questão 2 Grupo

A %

Grupo B

% Grupo

C %

Grupo D

% Total %

Corretas 1 4% 0 0% 0 0% 0 0% 1 2%

Incorretas 21 84% 6 60% 9 64% 13 76% 49 74%

Em branco (EB) 1 4% 4 40% 3 21% 3 18% 11 17%



Total geral 25 100% 10 100% 14 100% 17 100% 66 100%



90

Observaremos, a seguir, os gráficos percentuais com seus resultados detalhados.

Nota-se uma predominância da resolução incorreta do tipo 1 (regra de três

simples entre ∆𝑠 e ∆𝑡), principalmente no grupo A (60%) e no grupo D (70%) e um

alto índice de questões em branco nos grupos B (40%), C (22%) e D (18%).

C14%

I160%

I216%

I38%

EB4%

NF8%

Grupo A

I140%

I220%

EB40%

Grupo B

I136%

I214%I3

14%

EB22%

NF7%

RI7%

Grupo C

I170%

I46%

EB18%

NF6%

Grupo D


91


Verificaremos agora os resultados estatísticos da questão 3 (determinar em que

temperatura a água ferve na escala N), a partir das tabelas abaixo.

QUESTÃO 3

















Na tabela 16 pode-se verificar que o Grupo A apresentou maior percentual de

respostas corretas para essa questão. Quase não há ocorrências de resoluções não

finalizadas ou incongruentes.

Questão 3 Grupo

A %

Grupo B

% Grupo

C %

Grupo D

% Total %

Corretas 15 60% 4 40% 5 36% 7 41% 31 47%

Incorretas 5 20% 4 40% 7 50% 8 47% 24 36%

Em branco (EB) 4 16% 2 20% 2 14% 1 6% 9 14%



Total geral 25 100% 10 100% 14 100% 17 100% 66 100%



92

Os gráficos percentuais abaixo mostram alguns detalhes que devem ser

destacados, como faremos adiante.

Percebemos que existe uma predominância das resoluções corretas do tipo 2

(regra de três entre ∆𝐶 e ∆𝑁) entre os participantes dos 4 grupos pesquisados. Assim

como de incorretas do tipo 3 (regra de três entre 𝐶 e 𝑁) entre os participantes dos

grupos B, C e D.

C112%

C248%

I14%

I54%

I68%

I74%

EB16%

NF4%

Grupo AC1

20%

C220%

I340%

EB20%

Grupo B

C236%

I27%

I329%

I47%

I77%

EB14%

Grupo C

C241%

I218%

I323%

I46%

EB6%

RI6%

Grupo D


93


Para finalizar, apresentaremos os resultados detalhados da questão 4 (encontrar o

tempo restante de gravação numa fita de vídeo).

QUESTÃO 4










A ausência de resoluções corretas torna evidente a dificuldade dos participantes

em encontrar o tipo de função que serve para modelar o problema e desta forma resolver

a questão.

Destacamos também a quantidade de participantes no grupo B (70%) e no grupo

A (52%) que deixaram a resolução da questão em branco, ou seja, nem tentaram

encontrar uma solução.

Questão 4 Grupo

A %

Grupo B

% Grupo

C %

Grupo D

% Total %

Corretas 0 0% 0 0% 0 0% 0 0% 0 0%

Incorretas 9 36% 3 30% 6 43% 11 65% 29 44%

Em branco (EB) 13 52% 7 70% 4 29% 5 29% 29 44%



Total geral 25 100% 10 100% 14 100% 17 100% 66 100%



94

Para finalizar a análise estatística dos resultados desta pesquisa, seguem os

gráficos percentuais das resoluções da questão 4.

Nesta questão, prevalece a resolução incorreta do tipo 2 (regra de três simples

entre ∆𝑛 e ∆𝑡) nos grupos A, B e D, enquanto no grupo C a prevalência é da resolução

incorreta do tipo 3 (regra de três simples entre 𝑛 e 𝑡).

De qualquer forma, cabe destacar que todas as resoluções incorretas

classificadas utilizam propriedades da função afim para modelar o problema. Diante

disso, podemos levantar duas questões interessantes: por que existe uma maior

incidência de uso da função afim na resolução de problemas? Por que os resultados das

questões modeladas por uma função afim foram melhores que os resultados das

questões modeladas por uma função quadrática?

I18%

I228%

EB52%

NF4%

RI8%

Grupo A

I230%

EB70%

Grupo B

I114%

I27%

I322%

EB29%

NF7%

RI21%

Grupo C I16%

I259%

EB29%

RI6%

Grupo D


95

4.3.4. Os pontos de vista dos participantes do Grupo D

Conforme citamos no final do item 4.2 (descrição da pesquisa), para os 17

sujeitos que participaram do grupo D (composto de 3 participantes que atuam no ensino

médio, graduação ou pós-graduação e 14 que são alunos da graduação em Matemática)

elaboramos um formulário de avaliação com o objetivo de levantar as idéias e opiniões

dos participantes em relação às atividades propostas, à sequência didática apresentada e

ao conteúdo didático-pedagógico do minicurso apresentado na 1ª Jornada de

Matemática – UERJ/FFP. Neste minicurso, após a revisão histórica do conceito de

função, da resolução das questões da pesquisa propriamente dita e da apresentação

teórica, os participantes tiveram a oportunidade de acompanhar a resolução comentada

das questões propostas e, para finalizar, responderam ao formulário.

Todos os participantes compreenderam a idéia proposta para o estudo das

funções polinomiais (53% totalmente e 47% parcialmente) e consideraram relevante o

estudo proposto para a formação do aluno da educação básica. Entre os motivos

explicitados, destacamos os seguintes comentários10

:

“A dificuldade dos alunos em funções sem dar sua lei de formação é enorme.”

“Ajudaria o aluno a ser mais crítico e participativo.”

“Porque esse tipo de ensino vai fazer com que o aluno chegue a suas próprias

conclusões, ou seja, não apenas meras definições e decorebas.”

“Mostra a função de uma forma diferente, sem ser aquela situação estática, só

gráfico.”

Ao serem questionados se, caso tivessem oportunidade, implementariam esta

sequência didática para desenvolver o estudo da variação das funções polinomiais, 82%

dos participantes afirmaram que sim, com ênfase para as justificativas abaixo:

“Por ser uma boa ferramenta para o estudo de função.”

“Pois ela é de fácil compreensão e mais concreta, menos abstrata.”

Dos participantes, 18% afirmaram que implementariam esta sequência didática

parcialmente, justificando sua resposta com os seguintes argumentos:

“Apresentarei outras maneiras também.”

10

A transcrição foi feita diretamente do formulário do participante, sem revisão ortográfica.

96

“Acredito que em alguns momentos seria um pouco confuso, mas acho que será

válido.”

“Porque exige um contexto de variáveis complexas (realidade, aspectos

epistemológicos, motivacional, didáticos, etc.).”

Não houve respostas negativas para esta pergunta.

Sobre a capacidade do “aluno mediano” assimilar o conteúdo apresentado para o

estudo da variação das funções polinomiais, também obtivemos 82% de participantes

respondendo sim, e citamos alguns dos principais motivos:

“Porque não usa nada além que é ensinado no ensino médio.”

“Pois basta que o aluno organize (talvez esta seja a parte mais difícil) as

informações que lhe são dadas, e daí é só resolver o sistema e pronto.”

“Sim. Já é mais que comprovado que a utilização de novas abordagens no ensino

de Matemática contribui muito para o aluno.”

Os motivos dos 18% dos participantes, que consideraram parcial a capacidade

do “aluno mediano” de assimilar o conteúdo apresentado no estudo da variação das

funções polinomiais, foram os seguintes:

“Depende da disposição do aluno e do tempo disponível para o professor.”

“Depende daquilo que interpreto como aluno mediano. Depende da realidade em

que a sala de aula se apresenta – professor x aluno x escola.”

“Pois, muitos alunos ainda obtêm muitas dificuldades em relação às funções.”

Nesta pergunta também não houve respostas negativas.

Com exceção de um participante que alegou “não conhecer essa sequência

didática para desenvolver esse estudo” respondendo que o minicurso acrescentou

parcialmente alguma coisa na sua formação, todos os outros participantes responderam

afirmativamente à pergunta, e explicitaram os motivos da sua resposta, enumerando os

elementos que foram agregados à sua formação. Os que merecem maior destaque são:

“A questão da ordem da PA ter influência no grau da função.”

“Novos métodos para interpretação das funções.”

“Muitos conhecimentos que até então nunca tinha ouvido falar.”

“Agregou pois vi que, mesmo com problemas elementares, ainda errei a questão

por falta de atenção e conhecimento suficiente.”

97

“Acrescentou bastante, pois estou cursando licenciatura em Matemática e acho

completamente importante que os alunos compreendam o ensino como uma

coisa muito importante para suas vidas. Esse minicurso ajudou para que todos

nós possamos tentar passar o ensino de função de maneira mais simples, mais

fácil.”

Percebe-se claramente, o interesse do grupo por novos métodos de ensino, que

particularmente não estão sendo aprendidos no curso de licenciatura em Matemática. Os

participantes desse grupo, em sua maioria estudantes da graduação em Matemática,

anseiam por técnicas que os ajudem a ensinar o conceito de função de forma mais

simples e concreta, com menos definições e decorebas.

O problema detectado durante a pesquisa refere-se exatamente ao conhecimento

daquele que, daqui a alguns anos ou meses, estará frente a uma turma ensinando, em

particular, funções. Será que este futuro professor possui o conhecimento e as

ferramentas necessárias para o ensino deste tópico em particular?

4.4. Conclusões parciais da pesquisa

Os aspectos considerados relevantes para as conclusões parciais deste trabalho

envolveram o conhecimento dos professores participantes em relação ao

comportamento variacional das funções afim e quadrática. Buscamos examinar as

respostas dadas pelos participantes não apenas verificando se o participante acertou ou

não a questão. Interessou-nos analisar, especialmente, de que forma ele chegou a um

determinado resultado.

As informações que obtivemos a partir do tratamento estatístico, realizado

através de tabelas e gráficos organizados anteriormente, refletiram uma tendência de

usar propriedades da função afim para resolver problemas tipicamente modelados pela

função quadrática.

É evidente que a maioria dos participantes sente-se mais confortável em

resolver questões que envolvem a função afim, como no caso da questão 1, na qual um

trem movimenta-se em movimento uniforme. Nesta questão, 77% das resoluções

estavam corretas, sendo que 33% dos participantes dividiram o tempo em partes

proporcionais (resolução correta do tipo 1), 27% encontraram a função afim

correspondente 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 , ou fazendo 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣𝑡 (resolução correta do tipo 2),

98

9% utilizaram a relação 30

t

s (resolução correta do tipo 3) e 8% usaram a regra de 3

entre s e t (resolução correta do tipo 4).

Contudo, na questão 3, onde pedia-se para encontrar a temperatura em que a

água ferve a partir dos dados de uma tabela, e na qual esperava-se que o participante

percebesse que a função afim deveria ser utilizada para caracterizar o problema, o

percentual de respostas corretas encontrado foi de 47%, ou seja, menos da metade dos

participantes. Um dos indicadores para este percentual contra os 77% de acertos da

questão 1, pode ser a associação com a cinemática que uma questão sobre movimento

uniforme acarreta, com alguns participantes usando a vtss 0 em suas resoluções. Já

na questão 3, que faz uso do contexto termodinâmico, os participantes não conheciam

uma fórmula pré-estabelecida que ajude na sua resolução. Percebemos que, mesmo

quando se trata da função afim, se o contexto da questão apresentada for menos

familiar, a dificuldade em reconhecer tal função como modelo para resolver o problema

aumenta.

Ainda verificando as questões modeladas por funções afins, vale destacar que na

questão 1 foram classificadas 23% das resoluções como incorretas, incompletas,

incongruentes ou em branco, um índice bastante alto considerando o tipo de problema

do enunciado (movimento uniforme). Dentre aqueles que resolveram incorretamente,

um fato nos chamou atenção: 5% fizeram 2

vts e 12% fizeram vts . Isto é, ambas

usavam o fato de o espaço ser proporcional ao tempo, uma propriedade da função linear

que não se aplica à resolução do problema (que pode ser modelado por uma função afim

não-linear).

Os resultados da questão 3 são ainda mais relevante para nossa pesquisa pois

mais da metade das resoluções estão incorretas, incompletas, incongruentes ou em

branco (53%). Apesar de utilizarem a regra de três nas soluções, os participantes ora

utilizavam valores não correspondentes, ora erravam na escolha de N , que é a

variação da temperatura em Nova Iguaçu e de C , que é a variação da temperatura em

graus Celsius.

Outro aspecto que podemos observar nas respostas dos participantes foi o uso do

padrão linear para resolução das questões que envolviam o comportamento variacional

da função quadrática.

99

Na questão 2, por exemplo, temos um móvel em movimento uniformemente

variado e pede-se sua posição em momentos distintos dos fornecidos na tabela que

acompanha a questão. Para resolver a questão, 62% dos participantes “linearizaram” a

função sendo que 55% utilizaram a regra de 3 simples entre s e t (resolução incorreta

do tipo 1), 6% reconheceram uma função linear do tipo 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 (resolução incorreta

do tipo 2) .

Constatamos ainda que 25% dos participantes deixaram a questão em branco,

não finalizaram ou apresentaram uma resolução incongruente. Convenhamos que este é

um índice alarmante, ainda mais tratando-se de uma questão de movimento

uniformemente variado, explorado exaustivamente na física. O comportamento

variacional da função quadrática é tão estranho aos professores que apenas um

participante resolveu corretamente a questão. Cabe ressaltar que esta atividade continha

uma referência ao movimento uniformemente variado e que o participante utilizou

diretamente a expressão 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.

Essa dificuldade fica ainda mais evidente ao analisarmos as repostas relativas à

questão 4, na qual busca-se descobrir o tempo restante de gravação em uma fita de

vídeo a partir das informações fornecidas no enunciado da questão. Nenhum

participante, seja professor de Matemática ou licenciando em Matemática, esboçou uma

resolução correta. Pelo contrário, observamos mais uma vez a “linearização” da função

quadrática por 44% dos participantes: desses, 8% consideraram uma equação do tipo

bannt )( (onde n é o número de voltas e t é o tempo correspondente), 32% utilizaram

de maneira incorreta uma regra de 3 simples entre n e t e 4% aplicaram uma regra

de 3 simples entre n e t. Além disso, foi igualmente preocupante constatar que o

percentual de participantes que sequer esboçou uma tentativa de resolução deixando a

questão em branco (44%), acrescentado dos participantes que não finalizaram a questão

(3%) e dos que apresentaram uma resolução incongruente (9%), totalizaram 56%, ou

seja, mais da metade dos participantes.

Com esta análise detalhada das resoluções, acreditamos ter atingido o objetivo

deste capítulo que era o de apresentar, com objetividade e transparência, de que forma

os participantes dos quatro grupos formados por professores da educação básica (em

particular do ensino médio) e envolvidos nesta pesquisa resolvem questões onde o

conhecimento do comportamento variacional das funções afim e quadrática se faz

necessário.

100

Capítulo 5 - CONSIDERAÇÕES GERAIS

As considerações gerais deste trabalho pretendem retomar aspectos relevantes da

pesquisa como: fundamentação teórica, revisão histórica, caracterização das funções

reais afim e quadrática, metodologia e realização da pesquisa.

Buscamos nesta pesquisa refletir sobre o conceito de função tendo como

referência os apontamentos de Sierpinska (1992), as questões epistemológicas

abordadas por Cabral (1998) e Rezende (2003a), o mapeamento dos livros didáticos de

Botelho (2005) e Souza Sá (2005) e as recomendações dos Parâmetros Curriculares

Nacionais. Recorremos também às observações de Caraça (2003) e de Rezende (2003b).

Segundo estas fontes, pôde-se perceber o quanto o tema variabilidade é imprescindível

para o estudo do conceito de função. A noção de interdependência e a noção de fluência

(variabilidade) constituem efetivamente o núcleo semântico deste conceito fundamental

do ensino de Matemática.

Para abordar questões relacionadas à formação do professor, nos baseamos nos

trabalhos de Costa (2008) e Rossini (2006). Ambos os autores apontaram sobre o

preparo inadequado dos professores para trabalhar o conceito de função em sala de aula.

Costa (2008) observou, por exemplo, a ausência de uma abordagem mais formal a

respeito do conceito de função por parte dos professores pesquisados.

Recorremos aos trabalhos de Eves (2004), Boyer (1999), Baron (1985) e Caraça

(2003) para realizar uma revisão histórica, na qual o conceito de função se estabelece

como um instrumento para quantificar e qualificar como uma grandeza varia em relação

à outra. Ao resgatar os questionamentos dos escolásticos e de Galileu, abrimos caminho

para a utilização de formas alternativas na caracterização do comportamento variacional

das funções afim e quadrática sem a necessidade das ferramentas usuais consolidadas (o

conceito de derivada) do Cálculo Diferencial.

Sob a influência de Fiorentini e Lorenzato (2006) optamos pelo estudo de caso.

Os sujeitos da pesquisa foram caracterizados mediante um questionário quantitativo, e

contamos também com a participação individual na resolução de atividades propostas.

Foram realizados quatro encontros distintos com um total de 68 participantes, entre

professores e graduandos em Matemática, durante os anos de 2007 e 2008. Destes 68

participantes, 2 foram dispensados por apresentarem um perfil muito diferente do

objetivo proposto neste trabalho.

101

Com atenção na correção e classificação das atividades, foi realizada a tabulação

e o tratamento estatístico dos dados para fornecer ao leitor uma interpretação rápida e

objetiva.

De acordo com as conclusões parciais da pesquisa, ficou evidente que a maioria

dos participantes sente-se mais confortável em resolver questões que envolvem a função

afim. Como modelo, porém, isto não significa um domínio completo do assunto, pelo

contrário: a transferência ingênua de propriedades do modelo matemático linear (o valor

da variável y é proporcional ao valor da variável x) para a resolução de problemas que

envolvem funções afins não lineares (isto é, f (x) = ax + b, com b 0) pôde ser

observado com bastante frequência. Outro aspecto observado é que basta que se afaste

do contexto da cinemática, para que ocorra com mais frequência estas incorreções.

No que diz respeito à função quadrática, pôde-se perceber um total

estranhamento dos professores em relação às propriedades relacionadas ao seu

comportamento variacional. Das duas questões que envolviam função quadrática como

modelo, apenas um participante resolveu corretamente uma delas e nenhum

participante, resolveu corretamente a outra. O uso de modelos lineares ou afins para

resolver problemas que são (ou deveriam ser) modelados por funções quadráticas foi o

tipo de erro mais comum.

Estes resultados sinalizaram uma tendência, da grande maioria dos participantes,

de enxergar um “mundo linear” através do seu caráter estático (algébrico), ao invés de

procurar observar o caráter dinâmico (cálculo), que está implícito em quase tudo que

conhecemos.

Cabe ressaltar aqui os pontos de vista do grupo D, único a responder o

formulário de avaliação. É importante lembrar que esse grupo era formado em sua

grande maioria, por estudantes da graduação. Neste contexto, era de se esperar um

resultado um pouco superior, já que os participantes encontravam-se inseridos no meio

acadêmico (mais próximos do Cálculo!). Porém, o que percebemos foi um enorme

fracasso nos resultados obtidos. Por outro lado, as justificativas dos futuros professores

que participaram desta pesquisa deixam transparecer a insegurança e a percepção da

necessidade urgente de estar mais bem preparado para lecionar o tópico em questão.

A partir destas colocações e das considerações anteriores, pode-se dizer que

tentamos alertar que os cursos de graduação em Matemática, apesar das cadeiras de

Cálculo, não estão cumprindo seu papel de preparar o professor para o ensino de

funções reais conforme seu caráter variacional. Conforme as Orientações Educacionais

102

Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNEM+), os formadores de

professores deveriam modificar suas práticas para o ensino e a aprendizagem de função

reais, em particular das funções afim e quadrática, tratando de destacar as características

fundamentais da variabilidade e do movimento, que conduzem a problemas

relacionados ao Cálculo. Mas, este panorama está bem distante da realidade.

Uma opção plausível seria investir na formação continuada de professores,

através de cursos e oficinas presenciais ou à distância. Os recursos computacionais

disponíveis atualmente visam ampliar as possibilidades com novas formas de

conhecimento e troca de experiências. Por exemplo, as questões matemáticas propostas

aos sujeitos desta pesquisa podem ser adaptadas para atividades interativas com esta

finalidade. Não basta que os órgãos governamentais indiquem que o estudo da

variabilidade das funções afins e quadráticas deve integrar o currículo do ensino médio

e os textos didáticos, conforme preza as orientações do PCNEM+. É preciso qualificar o

professor.

Para finalizar, esperamos com este trabalho ter contribuído para uma reflexão

sobre a necessidade de orientar o professor do ensino básico, em particular do ensino

médio, na medida em que este é o agente transformador, é aquele que faz acontecer ou

não na sala de aula. Desse modo, acreditamos num ensino de Matemática comprometido

com a formação de um cidadão consciente de seu papel num mundo cada vez mais

complexo. E nesse sentido, saber como as “coisas” variam representa uma contribuição

relevante que a nossa disciplina da Matemática pode dar.

103

Bibliografia

Ávila, G. S. S., Análise Matemática para Licenciatura. 2ª Edição. São Paulo: Editora

Edgard Blücher, 2005.

Bachelard, G., A Formação do Espírito Científico. Tradução: Estela dos Santos Abreu.

Rio de Janeiro: Contraponto Editora, 2006.

Baron, M. E. & H. J. M. Bos (1985) History of Mathematics: origins and development

of the calculus, The Open University. Tradução do Professor José Raimundo

Braga Coelho, Rudolf Maier e Mª José M. M. Mendes. Brasília: Editora

Universidade de Brasília.

Botelho, L. M. L., Funções Polinomiais na Educação Básica: Uma Proposta.

Monografia de Pós-gradução. Niterói: UFF, 2005.

Boyer, C.B., História da Matemática. 2ª Edição. São Paulo: Editora Edgard Blücher,

1996.

Brasil, Ministério da Educação, Orientações Educacionais Complementares aos

Parâmetros Curriculares Nacionais – PCNEM+. 2002. Disponível em:

<http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/DetalheObraForm.do?select_actio

n=&co_obra=5457>. Acesso em: 06 jul 2009.

_________________________, Orientações Curriculares para o Ensino Médio,

Volume 2. 2006. Disponível em:

<http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=135

58&Itemid=859>. Acesso em: 06 jul 2009. 2006.

Cabral, T. C. B., Contribuições da Psicanálise à Educação Matemática: A Lógica da

Intervenção nos Processos de Aprendizagem. Tese de Doutorado. São Paulo:

USP, 1998.

Caraça, B. de J., Conceitos Fundamentais da Matemática. 5a edição. Lisboa: Livraria Sá

da Costa Editora, 2003.

Costa, C. B. J., O Conhecimento do Professor de Matemática sobre o Conceito de

Função. Dissertação de Mestrado. Rio de Janeiro: UFRJ, 2008.

Dante, L. R. Matemática Contexto & Aplicações – Volume 1. 3ª Edição. São Paulo:

Editora Ática, 2004.

D’Ambrosio, U. (2004) Pesquisa Qualitativa em Educação Matemática – Prefácio.

Coleção “Tendências em Educação Matemática”. São Paulo, SP: Editora

Autêntica.

Eves, H. Introdução à História da Matemática. 2a reimpressão. Tradução de Higyno H.

Domingues. Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 2004.

Fiorentine D. & Lorenzato S., Investigação em Educação Matemática. Campinas: SP.

Autores Associados, 2006.

Lima, E.L., Carvalho, P. C. P., Wagner, E. & Morgado, A. C., A Matemática do Ensino

Médio. Coleção do Professor de Matemática. Volume 1. Rio de Janeiro:

Sociedade Brasileira de Matemática, 2001.

http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/DetalheObraForm.do?select_action=&co_obra=5457

http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/DetalheObraForm.do?select_action=&co_obra=5457

http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=13558&Itemid=859

http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=13558&Itemid=859

104

Moretti, M. T (2008) Estudo sobre divergências entre corretores em provas

dissertativas de Matemática. Educação Matemática em Revista. SBEM, Nº 24.

Recife: UFPE.

Ochoa, J. A. V. & Mesa, Y. M. (2006) La Importancia de Galileo en la Construcción

Histórica del Concepto de Función Cuadrática. Colômbia: Universidad de

Antioquia.

Rezende, W. M., O Ensino de Cálculo: Dificuldades de Natureza Epistemológica. Tese

de Doutorado. São Paulo: USP, 2003a.

_____________ Uma Proposta Didática de Emersão das Idéias Fundamentais do

Cálculo no Ensino Básico. Projeto de Pesquisa. Niterói: UFF, 2003b.

_____________ (2006) Ensino de Funções Reais: Caminhos e Descaminhos. IIIº

Colóquio sobre História e Tecnologia no Ensino da Matemática. Rio de Janeiro.

_____________ (2008) Galileu e as Novas Tecnologias no Estudo das Funções Reais

no Ensino Básico. IVº Colóquio sobre História e Tecnologia no Ensino da

Matemática. Rio de Janeiro.

Rossini, R., Saberes Docentes sobre o tema Função: uma Investigação das

Praxeologias. Tese de Doutorado em Educação Matemática. São Paulo: PUC,

2006.

Santos, F. L. M., Uma Proposta Alternativa para o Ensino de Funções Exponenciais e

Logarítmicas na Educação Básica. Monografia de Pós-gradução. Niterói: UFF,

2008.

Sierpinska, A. (1992) On understanding the notion of function. In: Dubinsky, E. &

Harel, G. (eds.), The concept of function: Aspects of Epistemology and

Pedagogy. MAA Notes and Report Series. USA.

Souza Sá, S. L. de, Um Mapeamento do Ensino de Funções Exponenciais e

Logarítmicas no Ensino Básico. Monografia de Pós-gradução. Niterói: UFF,

2005.

Internet

Institute and Museum of The History of Science. Inclined plane.

Foto: http://brunelleschi.imss.fi.it/museum/esim.asp?c=404013 (último acesso em

25/05/2009)

http://brunelleschi.imss.fi.it/museum/esim.asp?c=404013

105

APÊNDICE

Tabulação dos Dados Detalhados dos Participantes

Ensino

Escola que leciona Fund. I Fund. II Médio Grad. Pós

Grupo Participantes

Aluno, não leciona ou não

respondeu Professor Pública Privada 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 1º 2º 3º

Grupo A 25 4 21 15 10 - - - - - 9 8 9 7 10 12 12 3 -

Grupo B 10 4 6 5 4 - - - - - 4 4 3 5 4 4 4 3 1

Grupo C 14 3 11 7 6 - - - - - 6 5 7 4 5 6 3 3 1

Grupo D 19 14 5 4 1 - 1 1 - - - - 1 1 1 1 1 2 1

Total 68 25 43 32 22 - 1 1 - - 19 17 20 17 20 23 20 11 3

106

Tabulação das Resoluções das Questões pelosParticipantes

Grupo Participante Questão Resposta Correta EB Incorreta RI NF

Grupo A P01A 1 I1 1

Grupo A P01A 2 I1 1

Grupo A P01A 3 EB 1

Grupo A P01A 4 EB 1

Grupo A P02A 1 I1 1

Grupo A P02A 2 I1 1

Grupo A P02A 3 I1 1

Grupo A P02A 4 EB 1

Grupo A P03A 1 C1 1

Grupo A P03A 2 I2 1

Grupo A P03A 3 C2 1

Grupo A P03A 4 I1 1

Grupo A P04A 1 C2 1

Grupo A P04A 2 I3 1

Grupo A P04A 3 EB 1

Grupo A P04A 4 RI 1

Grupo A P05A 1 I2 1

Grupo A P05A 2 I1 1

Grupo A P05A 3 I6 1

Grupo A P05A 4 EB 1

Grupo A P06A 1 C1 1

Grupo A P06A 2 NF 1

Grupo A P06A 3 C2 1

Grupo A P06A 4 EB 1

Grupo A P07A 1 C3 1

Grupo A P07A 2 I1 1

Grupo A P07A 3 C2 1

Grupo A P07A 4 I2 1

Grupo A P08A 1 C4 1

Grupo A P08A 2 I3 1

Grupo A P08A 3 C2 1

Grupo A P08A 4 EB 1

Grupo A P09A 1 C4 1

Grupo A P09A 2 I1 1

Grupo A P09A 3 C2 1

Grupo A P09A 4 I2 1

Grupo A P10A 1 C4 1

Grupo A P10A 2 I1 1

Grupo A P10A 3 C2 1

Grupo A P10A 4 I2 1

Grupo A P11A 1 C4 1

107


Grupo A P11A 2 I1 1

Grupo A P11A 3 EB 1

Grupo A P11A 4 EB 1

Grupo A P12A 1 C2 1

Grupo A P12A 2 I1 1

Grupo A P12A 3 EB 1

Grupo A P12A 4 EB 1

Grupo A P13A 1 C4 1

Grupo A P13A 2 EB 1

Grupo A P13A 3 C1 1

Grupo A P13A 4 EB 1

Grupo A P14A 1 NF 1

Grupo A P14A 2 I1 1

Grupo A P14A 3 C2 1

Grupo A P14A 4 I2 1

Grupo A P15A 1 C1 1

Grupo A P15A 2 I1 1

Grupo A P15A 3 I7 1

Grupo A P15A 4 EB 1

Grupo A P16A 1 C3 1

Grupo A P16A 2 I1 1

Grupo A P16A 3 NF 1

Grupo A P16A 4 I2 1

Grupo A P17A 1 C1 1

Grupo A P17A 2 NF 1

Grupo A P17A 3 I5 1

Grupo A P17A 4 EB 1

Grupo A P18A 1 C3 1

Grupo A P18A 2 I1 1

Grupo A P18A 3 C2 1

Grupo A P18A 4 RI 1

Grupo A P19A 1 C2 1

Grupo A P19A 2 I1 1

Grupo A P19A 3 C2 1

Grupo A P19A 4 EB 1

Grupo A P20A 1 C1 1

Grupo A P20A 2 I1 1

Grupo A P20A 3 C2 1

Grupo A P20A 4 EB 1

Grupo A P21A 1 C2 1

Grupo A P21A 2 I1 1

Grupo A P21A 3 I6 1

Grupo A P21A 4 I2 1

108


Grupo A P22A 1 C2 1

Grupo A P22A 2 C1 1

Grupo A P22A 3 C1 1

Grupo A P22A 4 NF 1

Grupo A P23A 1 EB 1

Grupo A P23A 2 I2 1

Grupo A P23A 3 C2 1

Grupo A P23A 4 EB 1

Grupo A P24A 1 C3 1

Grupo A P24A 2 I2 1

Grupo A P24A 3 C2 1

Grupo A P24A 4 I2 1

Grupo A P25A 1 C3 1

Grupo A P25A 2 I2 1

Grupo A P25A 3 C2 1

Grupo A P25A 4 I1 1

Grupo B P01B 1 I2 1

Grupo B P01B 2 EB 1

Grupo B P01B 3 EB 1

Grupo B P01B 4 EB 1

Grupo B P02B 1 C2 1

Grupo B P02B 2 EB 1

Grupo B P02B 3 EB 1

Grupo B P02B 4 EB 1

Grupo B P03B 1 C4 1

Grupo B P03B 2 EB 1

Grupo B P03B 3 C1 1

Grupo B P03B 4 EB 1

Grupo B P04B 1 C4 1

Grupo B P04B 2 EB 1

Grupo B P04B 3 C1 1

Grupo B P04B 4 EB 1

Grupo B P05B 1 I2 1

Grupo B P05B 2 I1 1

Grupo B P05B 3 I3 1

Grupo B P05B 4 EB 1

Grupo B P06B 1 C4 1

Grupo B P06B 2 I1 1

Grupo B P06B 3 C2 1

Grupo B P06B 4 EB 1

Grupo B P07B 1 C2 1

Grupo B P07B 2 I2 1

Grupo B P07B 3 C2 1

109


Grupo B P07B 4 I2 1

Grupo B P08B 1 C4 1

Grupo B P08B 2 I2 1

Grupo B P08B 3 I3 1

Grupo B P08B 4 I2 1

Grupo B P09B 1 C2 1

Grupo B P09B 2 I1 1

Grupo B P09B 3 I3 1

Grupo B P09B 4 I2 1

Grupo B P10B 1 C2 1

Grupo B P10B 2 I1 1

Grupo B P10B 3 I3 1

Grupo B P10B 4 EB 1

Grupo C P01C 1 C4 1

Grupo C P01C 2 NF 1

Grupo C P01C 3 C2 1

Grupo C P01C 4 NF 1

Grupo C P02C 1 C1 1

Grupo C P02C 2 I2 1

Grupo C P02C 3 C2 1

Grupo C P02C 4 EB 1

Grupo C P03C 1 C2 1

Grupo C P03C 2 EB 1

Grupo C P03C 3 I3 1

Grupo C P03C 4 RI 1

Grupo C P04C 1 C4 1

Grupo C P04C 2 EB 1

Grupo C P04C 3 C2 1

Grupo C P04C 4 I3 1

Grupo C P05C 1 C4 1

Grupo C P05C 2 I2 1

Grupo C P05C 3 C2 1

Grupo C P05C 4 RI 1

Grupo C P06C 1 C2 1

Grupo C P06C 2 I1 1

Grupo C P06C 3 C2 1

Grupo C P06C 4 I2 1

Grupo C P07C 1 C4 1

Grupo C P07C 2 I3 1

Grupo C P07C 3 I3 1

Grupo C P07C 4 I1 1

Grupo C P08C 1 C2 1

Grupo C P08C 2 RI 1

110


Grupo C P08C 3 I3 1

Grupo C P08C 4 EB 1

Grupo C P09C 1 C4 1

Grupo C P09C 2 EB 1

Grupo C P09C 3 EB 1

Grupo C P09C 4 EB 1

Grupo C P10C 1 I2 1

Grupo C P10C 2 I1 1

Grupo C P10C 3 I3 1

Grupo C P10C 4 RI 1

Grupo C P11C 1 C4 1

Grupo C P11C 2 I3 1

Grupo C P11C 3 I4 1

Grupo C P11C 4 I3 1

Grupo C P12C 1 C4 1

Grupo C P12C 2 I1 1

Grupo C P12C 3 I7 1

Grupo C P12C 4 I3 1

Grupo C P13C 1 I2 1

Grupo C P13C 2 I1 1

Grupo C P13C 3 EB 1

Grupo C P13C 4 I1 1

Grupo C P14C 1 I2 1

Grupo C P14C 2 I1 1

Grupo C P14C 3 I2 1

Grupo C P14C 4 EB 1

Grupo D P01D 1 C2 1

Grupo D P01D 2 I1 1

Grupo D P01D 3 I3 1

Grupo D P01D 4 I2 1

Grupo D P02D 1 C2 1

Grupo D P02D 2 I1 1

Grupo D P02D 3 C2 1

Grupo D P02D 4 I2 1

Grupo D P03D 1 C2 1

Grupo D P03D 2 I1 1

Grupo D P03D 3 C2 1

Grupo D P03D 4 I2 1

Grupo D P04D 1 C2 1

Grupo D P04D 2 I1 1

Grupo D P04D 3 I2 1

Grupo D P04D 4 I2 1

Grupo D P05D 1 I2 1

111


Grupo D P05D 2 I1 1

Grupo D P05D 3 I2 1

Grupo D P05D 4 I2 1

Grupo D P06D 1 I2 1

Grupo D P06D 2 I1 1

Grupo D P06D 3 I2 1

Grupo D P06D 4 I3 1

Grupo D P07D 1 C4 1

Grupo D P07D 2 I1 1

Grupo D P07D 3 C2 1

Grupo D P07D 4 I2 1

Grupo D P09D 1 C2 1

Grupo D P09D 2 I1 1

Grupo D P09D 3 C2 1

Grupo D P09D 4 I1 1

Grupo D P10D 1 C2 1

Grupo D P10D 2 I1 1

Grupo D P10D 3 I3 1

Grupo D P10D 4 I2 1

Grupo D P12D 1 C2 1

Grupo D P12D 2 I1 1

Grupo D P12D 3 I4 1

Grupo D P12D 4 EB 1

Grupo D P13D 1 C2 1

Grupo D P13D 2 EB 1

Grupo D P13D 3 C2 1

Grupo D P13D 4 EB 1

Grupo D P14D 1 C2 1

Grupo D P14D 2 NF 1

Grupo D P14D 3 C2 1

Grupo D P14D 4 EB 1

Grupo D P15D 1 I1 1

Grupo D P15D 2 I1 1

Grupo D P15D 3 I3 1

Grupo D P15D 4 I2 1

Grupo D P16D 1 C2 1

Grupo D P16D 2 I1 1

Grupo D P16D 3 I3 1

Grupo D P16D 4 RI 1

Grupo D P17D 1 EB 1

Grupo D P17D 2 EB 1

Grupo D P17D 3 RI 1

Grupo D P17D 4 I2 1

112


Grupo D P18D 1 RI 1

Grupo D P18D 2 EB 1

Grupo D P18D 3 EB 1

Grupo D P18D 4 EB 1

Grupo D P19D 1 C4 1

Grupo D P19D 2 I4 1

Grupo D P19D 3 C2 1

Grupo D P19D 4 EB 1

113

Resolução das Atividades

Atividade 1 – Fonte: Botelho (2005)

A tabela abaixo mostra a variação de posição de um trem em movimento uniforme que

passava no quilômetro 40 de uma ferrovia quando o movimento começou a ser observado (t = 0).

Depois de quanto tempo após o início da viagem, o trem passou pelo quilômetro 120 da ferrovia?

Tempo ( horas) 0 1 2 3 4

Espaço (km) 40 70 100 130 160

s é uma função afim do tipo s(t) = at +b

Substituindo, temos:

40 = s(0) = a.0 + b = b → b = 40

70 = s(1) = a.1 + b → a = 70 – b = 70 – 40 = 30

Logo, s(t) = 30t + 40

Como estamos procuramos s(120), basta substituir:

120 = 30.t + 40 → t = 8/3

Ou seja, o trem passou pelo quilômetro 120 da ferrovia depois de 2h e 40min

Resposta: 2 h e 40 min ou 2,66… h

114

Atividade 2 (Adaptada) – Fonte: Botelho (2005)

Um estudante anotou a posição de um móvel em movimento uniformemente variável ao

longo do tempo e obteve a seguinte tabela:


s é uma função quadrática do tipo s(t) = at2 +bt + c


Resolvendo o sistema, temos:

Logo,

Como queremos a posição do móvel nos instantes 5s e 35s, basta achar s(5) e s(35):

Ou seja, a posição do móvel no instante 5s era 30 cm e no instante 35s era 150 cm.

Resposta: 30 cm e 150 cm

Tempo (s) 0 10 20 30 40 50

Posição (cm) 17 45 81 125 177 237

811720400

451710100

172040020.20.)20(81

171010010.10.)10(45

170.0.)0(17

2

2

2

ba

ba

bacbas

bacbas

cccbas

5

12811720

25

1400

25

1

200

8

917200

811720400

903420200

bba

a

ba

ba

175

12

5)(

2

ttts

150178449175

35.12

5

35)35(

3017121175

5.12

5

5)5(

2

2

s

s

115

Atividade 3 – Fonte: Lima (2001) – página 103

Uma escala N de temperatura foi feita com base nas temperaturas máxima e mínima em

Nova Iguaçu. A correspondência com a escala Celsius é a seguinte:

t é uma função afim do tipo t(c) = ac +b


Logo,

Como estamos procuramos t(c) quando c = 100º C, basta substituir:

Ou seja, na escala N, a água ferve a 328º.

Resposta: 328º N

°C °N

18° 0°

43° 100°

Em que temperatura ferve a água na escala N ?

7241002510043

018

43.100

18.0

.)(

baaba

ba

ba

ba

bcact

724)( cct

3287240072100.4)( ct

116

Atividade 4 (Adaptada) – Fonte: Lima (2001) – página 150

Uma pessoa possui um gravador de vídeo dotado de um contador que registra o número de

voltas dadas pelo carretel da direita. A fita, de 6 horas de duração, está parcialmente gravada. O

contador indica 1750 ao final do trecho gravado e 1900 ao final da fita. Medindo o tempo de

gravação correspondente às primeiras 100, 200, 300 e 400 voltas, foram encontrados os dados

abaixo:

t é uma função quadrática do tipo t(n) = an2 +bn + c


Resolvendo o sistema, temos:

Logo,

Volta Tempo (s)

100 555

200 1176

300 1863

400 2616

186330090000

117620040000

55510010000

1863300.300.)300(

1176200.200.)200(

555100.100.)100(

2

2

2

cba

cba

cba

cbat

cbat

cbat

65410040000

62110030000

130820080000

62110030000

18631001000055530090000

11761001000055520040000

: temos,(III) e (II) em dosubstituin ,

10010000555 ),(

186330090000

117620040000

55510010000

ba

ba

ba

ba

baba

baba

Logo

bacquetemosIde

IIIcba

IIcba

Icba

0100

522.100

10000

33.10000555

100

52299621100621100

10000

3330000.

10000

333310000

cc

bbbaa

nnnt 22,50033,0)( 2


117

Vamos encontrar agora o f(x) quando o contador marca o final do trecho gravado, ou seja:

O tempo de gravação que ainda resta na fita é a diferença entre o tempo total da fita

(6h = 6h.60min = 360min = 360min.60s = 21.600s) e o tempo de gravação (19.241,25s):

21.600s - 19.241,25s = 2.358,75s, ou seja, 39min e 31segundos.

Resposta: 2.358,73 s ou 39min e 31s

25,241.19135.925,106.101750.22,51750.0033,0)1750( 2 t