1.º Ciclo

Uma aula que não dê aos alunos a oportunidade de generalizar não é uma aula de matemática”

(Mason & Johnston-Wilder, 2004, p.137).

O que é o pensamento algébrico?

Poderemos defini-lo como uma extensão da aritmética e da fluência de cálculo típicas dos primeiros anos de escolaridade à consideração mais profunda da estrutura matemática subjacente (Cai & Moyer (2008).

O desenvolvimento do pensamento algébrico nos primeiros anos requer o desenvolvimento de modos de pensamento que resultam de analisar relações entre quantidades, reparar na estrutura, estudar a mudança e, particularmente, generalizar.

Normalmente as pessoas associam a palavra álgebra à resolução de equações e inequações, àquele momento em que a matemática se torna mais complexa porque começa a lidar com letras. E para os professores do 1º e 2º ciclos, esse tema estava definitivamente fora das suas atribuições.

No entanto, se consultarmos o novo Programa de Matemática do Ensino Básico (ME-DGIDC, 2007) podemos ver:

As ideias algébricas aparecem logo no 1º ciclo no trabalho com sequências, ao estabelecerem--se relações entre números e entre números e operações, e ainda no estudo de propriedades geométricas como a simetria. No 2º ciclo, a Álgebra já aparece como um tema matemático individualizado, aprofundando-se o estudo de relações e regularidades e da proporcionalidade directa como igualdade de duas razões (p.7).

Continuação…

Como vemos, as coisas estão a mudar. Há alterações neste novo programa que nos levam a debruçar-nos sobre este tema. Claro que não se pretende, a nível do 1º e 2º ciclos, a aprendizagem formal da resolução de equações, mas preparar os alunos para aprendizagens posteriores. Voltando ao programa:

A alteração mais significativa em relação ao programa anterior é o estabelecimento de um percurso de aprendizagem prévio no 1º e 2º ciclos que possibilite um maior sucesso na aprendizagem posterior, com a consideração da Álgebra como forma de pensamento matemático, desde os primeiros anos (p.7).

Contudo, o trabalho pré-algébrico não se resume a este objectivo de preparação para estudos posteriores, pois possui inúmeras potencialidades, quer no desenvolvimento de capacidades transversais de resolução de problemas, raciocínio e comunicação, quer na profundidade e variedade das conexões que possibilita com todos os temas da matemática. Os alunos devem assim passar por diversas experiências de aprendizagem que valorizem, por um lado, a descoberta, continuação e construção de padrões e o percurso em direcção à explicitação de uma lei de formação, e, por outro, a generalização de propriedades dos números ou das operações. Esta é uma visão da aritmética não como um campo isolado mas como parte da álgebra, em que os números são tratados como instâncias de ideias mais gerais.

Sequências e regularidades

O tópico Sequências e Regularidades percorre todo o ensino básico, tendo como principal objectivo contribuir para o desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos.

No 1.º ciclo, este tópico integra o tema Números e operações, envolvendo a exploração de regularidades numéricas em sequências e em tabelas de números. Os alunos identificam a lei de formação de uma dada sequência e expressam-na por palavras suas.

Este trabalho contribui para o desenvolvimento do sentido de número nos alunos e constitui uma base para o desenvolvimento da sua capacidade de generalização. Nos 2.º e 3.º ciclos, este tópico está incluído no tema Álgebra, envolvendo tanto a exploração de sequências como o uso da linguagem simbólica para as representar. No 2.º ciclo, os alunos contactam com conceitos como ‘termo’ e ‘ordem’. No 3.º ciclo, usa-se a linguagem algébrica para expressar generalizações, nomeadamente para representar o termo geral de uma sequência e promover a compreensão das expressões algébricas e o desenvolvimento da capacidade de abstracção nos alunos.

Ponte, J.; Branco, N.; Matos, A. (2009:41). “Álgebra no Ensino Básico”. In Ministério da Educação – Direcção Geral de Inovação e Desenvolvimento Curricular [ME-DGIDC] (2009),

Procure no Novo Programa os tópicos relacionados com a álgebra do seu nível de ensino.

Discuta com os colegas a possibilidade da utilização com os seus alunos das indicações

constantes no Programa como “Notas”.

Tipos de tarefas que podem promover o pensamento algébrico

Iniciar com contagens

Vamos contarTrabalho com toda a turma.Um aluno lança um dado para marcar o “salto”.Outro aluno lança outro dado para marcar o número inicial (este pode ser omitido nas primeiras experiências).Levar os alunos (um à vez) a contar segundo o “salto” anunciado no dado (e.g. de dois em dois, de cinco em cinco). Posteriormente essa contagem poderá ser feita a partir do número anunciado no segundo dado. (e.g. de três em três a partir do dois).

Quantas formigas?

Podes contá-las uma a uma, mas vai levar algum tempo. Tenta descobrir um processo rápido.Escreve a expressão numérica que traduz essa contagem.

Uma piza, que bom!

Se contares os pedaços de tomate um a um a piza arrefece. Vamos então contá-los rapidamente. E os de pimento? Esses são bem mais fáceis. Escreve a expressão numérica que traduz essa contagem.

As luzes

Estou a tentar dormir mas não consigo. Em vez de contar carneiros conto as janelas iluminadas do prédio em frente. Sê brilhante e diz quantas janelas do prédio estão iluminadas.Escreve a expressão numérica que traduz essa contagem

As minhocas como crescem

Construir a sequência de minhocas formadas por triângulos rectângulo isósceles iguais como mostra a figura em que a 1º minhoca tem um dia de idade, a 2º dois dias de idade, a 3º três dias de idade

•Constrói a minhoca com 4 dias.•Quantos triângulos rectângulo isósceles tem cada uma das figuras?•Descobre quantos triângulos terá a minhoca com 20 dias de idade.•Consegues descobrir o número de triângulos com um número qualquer de dias de idade?

Minhoca com 1 dia Minhoca com 2 dias Minhoca com 3 dias

Cai, J. & Moyer, J. (2008). Developing Algebraic Thinking in Earlier Grades: Some Insights from Internacional Comparative Studies. Em Carole Greenes & Rheta Rubenstein (Eds.), Algebra and Algebraic Thinking in School Mathematics – Seventieth Yearbook (pp.169-180). Reston: NCTM.

Jacobs, V, Franke, M., Carpenter, T., Levi, L. & Battey, D. (2007). Professional Development Focused on Children’s Algebraic Reasoning in Elementary School. Journal for Research in Mathematics education, Vol.38, No. 3, 258-288.

Kaput, J. & Blanton, M. (2001). Algebrafying the Elementary Mathematics Experience. Part I: Transforming Task Structure. Proceedings of the ICMI-Algebra Conference. Melbourne, Australia, Dec.2001.Acedido Outubro 3, 2007 em http://www.scps.k12.fl.us/scctm/TextFiles/Educational%20Articles/Algebrafying%20elementary%20mathematicsPart%20I.pdf

Mason, J. & Johnston-Wilder, S. (Eds.) (2004). Fundamental Constructs in Mathematical Education. London: Routledge-Falmer and The Open University.

Ministério da Educação – Direcção Geral de Inovação e Desenvolvimento Curricular [ME-DGIDC] (2007). Programa de Matemática do Ensino Básico. Acedido Outubro 7, 2008, emhttp://sitio.dgidc.min-edu.pt/matematica/Documents/ProgramaMatematica.pdf

Ministério da Educação – Direcção Geral de Inovação e Desenvolvimento Curricular [ME-DGIDC] (2009).Acedido em 22 de Fevereiro, 2011, em http://area.dgidc.min-edu.pt/materiais_NPMEB/home.htm

National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston: NCTM.Schliemann, A., Carraher, D. & Brizuela, B. (2007). Bringing out the algebraic character of arithmetic. From children’s ideas to classroom practice. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.

Os alunos podem ser questionados quanto à continuação da sequência, identificando alguns dos termos seguintes. Nesta situação, o professor deve atender à possibilidade de os alunos interpretarem os termos apresentados de diferentes maneiras, identificando relações entre eles e, por isso, continuarem a sequência de modos distintos.

Dada a possibilidade dos alunos apresentarem sequências diferentes mas com alguns termos em comum, torna-se fundamental solicitar-lhes que apresentem o seu raciocínio e justifiquem as suas opções.

Além disso, em algumas tarefas podem ser dados um ou mais termos da sequência, que não sejam termos iniciais, pedindo aos alunos para indicar termos anteriores.

A auto-avaliação realizada pelos alunos é fundamental. No ponto seguinte, apresenta-se uma proposta possível a apresentar aos alunos.

AVALIAÇÃO DA ACTIVIDADE

Agora que terminaste a tarefa, avalia individualmente a actividade e a aula em que esta foi realizada:1. Consegui resolver a ficha de trabalho:

Lendo apenas a ficha □Com a ajuda dos colegas □Com a ajuda da professora □2. As aulas decorreram: Num ambiente calmo e organizado □ Num ambiente confuso □3. As maiores dificuldades foram: ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________4. O que aprendeste nesta aula:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________5. Dá a tua opinião sobre a aula:______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Como pudemos analisar vários aspectos do pensamento algébrico estão presentes no novo programa de matemática para o ensino básico, a generalizar a partir de 2010/2011. Enquanto no 2º ciclo existe um capítulo próprio sobre relações e regularidades, no 1º ciclo é necessário procurar em todos os temas as possíveis ligações com o desenvolvimento do pensamento algébrico:

“• Resolver problemas envolvendo relações numéricas.” “• Contar a partir de um número dado, de 2 em 2, 3 em 3, 5 em 5, 6 em 6, 10 em 10.” “• Elaborar sequências de números segundo uma dada lei de formação e investigar regularidade em sequências e em tabelas de números.” “• Realizar contagens progressivas e regressivas a partir de números dados.” “• Utilizar estratégias de cálculo mental e escrito para as quatro operações utilizando as suas propriedades.” “• Investigar regularidades numéricas.” “• Resolver problemas que envolvam o raciocínio proporcional.” “• Compreender e utilizar as fórmulas para calcular a área do quadrado e do rectângulo.” r …

A iniciação ao estudo da álgebra pode ser facilmente integrada nos temas relativos ao sistema de numeração decimal, na aritmética dos números inteiros e no estudo das medidas, conteúdos fundamentais dos primeiros anos. É importante que os alunos compreendam a estrutura algébrica subjacente às operações aritméticas, as propriedades das operações e relações entre elas, utilizando-as em diferentes contextos e situações. Não é portanto difícil ligar a álgebra com conteúdos temáticos do programa. Além dos já referidos, pode acrescentar-se a ligação à proporcionalidade directa, aos diferentes meios de representação de dados (tabelas, gráficos de diversos tipos) ou mesmo à geometria, a partir, por exemplo, das relações numéricas que se podem estabelecer em entes geométricos, no plano ou no espaço.

Ao longo de todo o ensino básico, os alunos trabalham com sequências pictóricas e numéricas. Na análise de uma sequência pictórica identificam regularidades e descrevem características locais e globais das figuras que a compõem e também da sequência numérica que lhe está directamente associada.

O trabalho com sequências pictóricas e com sequências numéricas finitas ou infinitas (estas últimas chamadas sucessões) envolve a procura de regularidades e o estabelecimento de generalizações. Note-se que a descrição dessas generalizações em linguagem natural já exige uma grande capacidade de abstracção. A sua progressiva representação de um modo formal, usando símbolos matemáticos adequados, contribui para a compreensão dos símbolos e da linguagem algébrica, nomeadamente a compreensão da variável como número generalizado e das regras e convenções que regulam o cálculo algébrico.

Ao longo de toda a escolaridade, a análise de sequências permite aos alunos progredir de raciocínios recursivos para raciocínios envolvendo relações funcionais. Como refere o NCTM (2007), o trabalho com sequências pode constituir uma base para a compreensão do conceito de função. Note-se, ainda, que nos primeiros anos, a generalização exprime-se na linguagem natural dos alunos. As tarefas envolvendo generalizações, para além de promoverem a capacidade de abstracção, visam também desenvolver a capacidade de comunicação e o raciocínio matemático.