5 AJUSTE DE CURVAS POR MÍNIMOS QUADRADOS

5.1 Introdução

O ajuste de curvas é muito utilizado para, a partir de dados conhecidos, fazer-se extrapolações. Por exemplo, conhece-se os dados de consumo anual de carga elétrica de uma cidade. A partir destes dados conhecidos, pode-se fazer projeções para o futuro e com isso, fazer-se um planejamento para que a cidade seja suprida de forma adequada nos anos subsequentes. A idéia é ajustar uma curva que melhor se ajusta aos dados disponíveis. Conhecida a equação da curva, pode-se determinar valores fora do intervalo conhecido.

Os dados conhecidos podem ser tabelados e obtidos por meio de experimentos. Como exemplo, seja os dados da tabela abaixo.

x 1,3 3,4 5,1 6,8 8,0)(xf 2,0 5,2 3,8 6,1 5,8

A partir dos dados disponíveis, pode-se desejar saber uma estimativa do valor da função )(xf em 9=x .

A partir dos dados disponíveis, pode-se construir um diagrama de dispersão, que é a representação em gráfico dos dados disponíveis.

O objetivo é encontrar uma função )(xϕ que seja uma boa aproximação para os valores tabelados de )(xf e que nos permita extrapolar com uma certa margem de segurança.

5.2 Formulação Matemática

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

f(x)

x

Seja o diagrama de dispersão anterior. A partir de uma análise do diagrama de dispersão deve-se definir uma curva para ser ajustada aos dados. No caso, ajusta-se os dados por uma reta dada pela função xx 21)( ααϕ += .

A questão é como definir a reta. Define-se para mk ,...,1= onde m é o número de pontos da amostra o desvio:

)()( kkk xxfd ϕ−=Uma primeira maneira de definir a reta seria minimizar a soma dos desvios, ou

seja, minimizar ∑=

m

kkd

1

. O valor de kd pode ser positivo ou negativo, assim, o somatório

não seria representativo dos desvios. Uma primeira solução seria utilizar o somatório dos

valores absolutos de kd , ou seja ∑=

m

kkd

1

, entretanto o manuseio de expressões que

aparecem valor absoluto é extremamente complexo. A solução mais factível é a utilização da somo dos desvios ao quadrado, definido por:

[ ]2

11

2 )()(∑∑==

−==m

kkk

m

kk xxfdD ϕ

Para o exemplo a ajuste será feita por uma reta dada por: xx 21)( ααϕ += . Substituindo na equação acima, tem-se:

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

f (x)

x

f i (x)=alfa1+(alfa2)x

[ ] ( )[ ] ( )21

2

121

2

11

2 ,)()()( ααααϕ FxxfxxfdDm

kkk

m

kkk

m

kk =+−=−== ∑∑∑

===

O valor de ( )21 ,ααF depende de 21 αα e , ou seja, da reta escolhida para aproximar a função f(x) tabelada.

Como pode-se definir a reta?Uma solução é encontrar 1α e 2α , tais que ( )21 ,ααF seja mínimo.

Minimizando ( )21 ,ααF , está-se minimizando os desvios quadráticos. Em função deste procedimento ,é que adota-se o nome de ajuste de curvas por mínimos quadrados.

A condição necessária para que ( )21 ,ααF seja um mínimo de ( )21 ,ααF é que

as derivadas parciais de ( )21 ,ααF em relação a 1α e 2α sejam zero.

Como ( )21 ,ααF é descrito pela equação:

( ) ( )[ ]2

12121 )(, ∑

=

+−=m

kkk xxfF αααα

[ ]∑=

=−−−=∂∂ m

kkk xxf

F

121

1

0)(2 ααα

[ ]∑=

=−−−=∂∂ m

kkkk xxxf

F

121

2

0)(2 ααα

Rearranjando as equações chega-se:

∑ ∑∑= ==

=−−m

k

m

kk

m

kk xxf

1 12

11 0)( αα

∑ ∑∑= ==

=−−m

k

m

kk

m

kkkk xxxxf

1 1

22

11 0)( αα

Isolando as variávies dos termos constantes, tem-se:

∑∑==

=+m

kk

m

kk xfxm

12

11 )()( αα

∑∑∑===

=+m

kkk

m

kk

m

kk xfxxx

112

2

11 )()()( αα

Observe que resulta num sistema de equações lineares. Essas equações são

conhecidas como equações normais. Para [ ]T2ααα = , solução das equações normais,

( )21 ,ααF apresenta seu menor valor.Solucionando para os valores numéricos do exemplo, tem-se:

3

54,127)8,5()0,8()1,6()8,6()8,3()1,5()2,5()4,3()0,2()3,1()(

5,149)0,8()8,6()1,5()4,3()3,1()(

9,228,51,68,32,50,2)(

6,240,88,61,54,33,1

5

1

2225

1

222

5

1

5

1

=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

=++++=

=++++=

=++++=

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

kk

k

kk

kk

kk

xfx

x

xf

x

Substituindo na equação normal, tem-se:

=

54,127

9,22

5,1496,24

6,245

2

1

αα

A solução deste sistema linear resulta em: [ ]T522,001,2=α .A reta que melhor aproxima f(x) pelo método dos mínimos quadrados é dada

por:xx 522,001,2)( +=ϕ

Com a equação da reta, pode-se fazer projeções pada valores além do intervalo dado.

A curva a ser ajustada não necessariamente precisa ser uma reta. Uma maneira de se definir que tipo de função deve ser utilizada, pode ser a parti da análise do diagrama de dispersão.

Seja o exemplo dado pelo diagrama de dispersão:

Observe que o diagrama sugere o ajuste através de uma parábola.

4

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

f (x)

x

5.3 Generalização do Método dos Mínimos Quadrados

Seja a função generalizada )(xϕ a ser ajustada:

)(...........)()()()( 332211 xgxgxgxgx nnααααϕ ++++=

Sejam os pontos diponibilizados por meio de uma sequência histórica, ou obtidos através de experimentos ou medições.

1x 2x 3x ....................................... mx

)( 1xf )( 2xf )( 3xf ....................................... )( mxf

O objetivo é encontrar os coeficientes nαααα ..,,.........,, 321 , tais que a função )(...........)()()()( 332211 xgxgxgxgx nnααααϕ ++++= se aproxime ao máximo de )(xf .

O ajuste de )(xϕ pelo método dos mínimos quadrados, consiste em escolher

os ,,...,1, njj =α de tal forma que: [ ]2

11

2 )()(∑∑==

−==m

kkk

m

kk xxfdD ϕ seja mínimo.

Os coeficientes ,,...,1, njj =α que fazem com que )(xϕ se aproxime ao máximo de f(x) são os que minimizam a função:

( ) [ ] [ ]2

12211

2

121 )(...........)()()()()(,....., ∑∑

==

−−−−=−=m

kknnkkk

m

kkkn xgxgxgxfxxfF αααϕααα

Para determinação dos coeficientes ,,...,1, njj =α acha-se as derivadas parciais e iguala-se a zero. Nos pontos de mínimo tem-se:

njF

j

,...,1,0 ==∂∂α

Derivando a função F, tem-se:

[ ][ ] njxgxgxgxgxfF m

kkjknnkkk

j

,...,1,)()(...........)()()(21

2211 =−−−−−=∂∂ ∑

=

αααα

Impondo a condição necessária para o mínimo, tem-se:

[ ][ ] njxgxgxgxgxfm

kkjknnkkk ,...,1,0)()(...........)()()(

12211 ==−−−−∑

=ααα

5

De forma explícita, tem-se:

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ][ ] 0)()(...........)()()(

0)()(...........)()()(

0)()(...........)()()(

12211

122211

112211

=−−−−

=−−−−

=−−−−

∑

∑

∑

=

=

=

m

kknknnkkk

m

kkknnkkk

m

kkknnkkk

xgxgxgxgxf

xgxgxgxgxf

xgxgxgxgxf

ααα

ααα

ααα

Separando os somatórios e isolando os termos com variáveis dos termos constantes, tem-se:

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

====

====

====

=

++

+

=

++

+

=

++

+

m

kknkn

m

kknkn

m

kknk

m

kknk

m

kkkn

m

kkkn

m

kkk

m

kkk

m

kkkn

m

kkkn

m

kkk

m

kkk

xgxfxgxgxgxgxgxg

xgxfxgxgxgxgxgxg

xgxfxgxgxgxgxgxg

112

121

11

12

122

1221

121

11

112

1121

111

)()()()(......)()()()(

)()()()(......)()()()(

)()()()(.......)()()()(

ααα

ααα

ααα

As equações acima formam um sistema de equações lineares que de forma matricial pode ser representado por:

bA =α

Onde:

=

=

=

nnnnnn

n

n

b

b

b

b

aaa

aaa

aaa

A

2

1

2

1

21

22221

11211

α

αα

α

cujos valores dos elementos da matriz de coeficientes e do vetor independente são determinados por:

njeniparaxgxgaa kj

m

kkijiij ,...,1,...,1)()(

1

==== ∑=

;

6

niparaxgxfb ki

m

kki ,...,1)()(

1

== ∑=

;

n é o número de termos da função )(xϕ a ser ajustada;m é o número de pontos da amostra conhecida.

Exemplo:

Seja os valores da função apresentados na tabela abaixo. Através do Método de Mínimos Quadrados determine a equação da curva que melhor ajuste os pontos dados.

x -1,0 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0,0 0,2 0,4 0,5 0,7 1f(x) 2,0 1,153 0,45 0,4 0,5 0,0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05

Representando os pontos através do seu diagrama de dispersão tem-se:

Pode-se observar que uma boa possibilidade é ajustar os pontos a uma parábola passando pela origem.

Portanto, procura-se a função 2)( xx αϕ = que melhor represente f(x). Para a notação utilizada, 2)( xxg = .

A partir das equações do método, tem-se:

7

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

f (x)

x

)()()]([11

1

11

1

2k

kk

kk xgxfxg ∑∑

===α

Substituindo:

kk

kk

k xxfx ⋅=⋅ ∑∑==

11

1

11

1

22 )(][ α

como ∑=

=11

1

22 8464,2][k

kx e 8756,5)(11

1

=⋅∑=

kk

k xxf , tem-se a equação linear:

0642,28756,58464,2 =⇒= αα

A equação 20642,2)( xx =ϕ é a parabola que melhor aproxima a função tabelada através do Método de Mínimos Quadrados.

Exemplo:

Aproximar a função tabelada apresentada no exemplo anterior por uma função do tipo: 2

321)( xxx αααϕ ++=

x -1,0 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0,0 0,2 0,4 0,5 0,7 1f(x) 2,0 1,153 0,45 0,4 0,5 0,0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05

Deve-se montar o sistema linear bA =α , onde:

3,...,13,...,1)()(11

1

==== ∑=

jeiparaxgxgaa kjk

kijiij ;

3,...,1)()(11

1

== ∑=

iparaxgxfb kik

ki .

Para a função )(xϕ proposta, tem-se:2

321 )(,)(,1)( xxgexxgxg ===

Chega-se portanto a:

11111

1

211 == ∑

=k

a

∑=

⋅==11

12112 1

kkxaa

8

∑=

⋅==11

1

23113 1

kkxaa

∑=

=11

1

222

kkxa

∑=

⋅==11

1

23223

kkk xxaa

∑=

=11

1

2233

kkk xxa

∑=

=11

11 )(

kkxfb

∑=

=11

12 )(

kkk xfxb

∑=

=11

1

23 )(

kkk xfxb

Para facilitar os cálculos, pode-se construir a tabela:

Valores Tabelados ∑x -1,0 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0,0 0,2 0,4 0,5 0,7 1 -0,35

f(x) 2,05 1,153 0,45 0,4 0,5 0,0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05 9,115

2x 1,0 0,5625 0,36 0,25 0,09 0,0 0,04 0,16 0,25 0,49 1 4,2025

3x -1,0 -0,4218 -0,216 -0,125 -0,027 0,0 0,008 0,064 0,125 0,343 1 -0,2498

4x 1,0 0,3164 0,1296 0,0625 0,0081 0,0 0,0016 0,0256 0,0625 0,2401 1 2,8464

kk xxf )( -2,05 -0,8647 -0,270 -0,200 -0,150 0,0 0,04 0,24 0,256 0,84 2,05 -0,1087

2)( kk xxf 2,05 0,6486 0,162 0,100 0,045 0,0 0,008 0,096 0,128 0,588 2,05 5,8756

Com os valores calculados, chega-se ao sistema linear:

−=

−−−

−

8756,5

1087,0

115,9

8464,22498,02025,4

2498,02025,435,0

2025,435,011

3

2

1

ααα

Resultando em:

=

9377,1

0970,0

0914,0

α

A equação da parábola ajustada é dada por:

9

29377,10970,00914,0)( xxx ++=ϕ

Exemplo:

Ajuste os dados apresentados na tabela abaixo, utilizando o Método dos Mínimos Quadrados por:a) Uma reta.b) Uma parábola do tipo

2321)( xxx αααϕ ++= .

c) Como você compararia as duas curvas com relação aos dados.

x 1 2 3 4 5 6 7 8f(x) 0,5 0,6 0,9 0,8 1,2 1,5 1,7 2,0

O diagrama de dispersão é dado pela figura:

Constrói-se a tabela:

Valores Tabelados ∑

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.5

1

1.5

2

2.5f (x)

x

kx 1 2 3 4 5 6 7 8 36)( kxf 0,5 0,6 0,9 0,8 1,2 1,5 1,7 2,0 9,2

2kx 1 4 9 16 25 36 49 64 2043kx 1 8 27 64 125 216 343 512 12964kx 1 16 81 256 625 1296 2401 4096 8772

)( kk xfx 0,5 1,2 2,7 3,2 6,0 9,0 11,9 16,0 50,5

)(2kk xfx 0,5 2,4 8,1 12,8 30,0 54 83,3 128 319,1

a) xx 21)( ααϕ += ⇒ xxgxg == )(,1)( 21

818

1

211 == ∑

=ka

3618

12112 =⋅== ∑

=kkxaa

2048

1

222 == ∑

=kkxa

2,9)(18

11 =⋅= ∑

=kkxfb

5,50)(8

12 == ∑

=kkk xfxb

=

5,50

2,9

20436

368

2

1

αα

=

21667,0

175,0α

A equação da reta ajustada é dada por:

xx 21667,0175,0)( +=ϕ

b) 2321)( xxx αααϕ ++= ⇒

2321 )(,)(,1)( xxgexxgxg ===

818

1

211 == ∑

=ka

11

3618

12112 =⋅== ∑

=kkxaa

20418

1

23113 =⋅== ∑

=kkxaa

2048

1

222 == ∑

=kkxa

12968

1

23223 =⋅== ∑

=kkk xxaa

87728

1

2233 == ∑

=kkk xxa

2,9)(8

11 == ∑

=kkxfb

5,50)(8

12 == ∑

=kkk xfxb

∑=

==8

1

23 1,319)(

kkk xfxb

Resultando no sistema linear:

=

1,319

5,50

2,9

87721296204

129620436

204368

3

2

1

ααα

=

01548,0

07738,0

40714,0

α

A equação da parábola ajustada é dada por:

201548,007738,040714,0)( xxx ++=ϕ

c) Para a verificação do melhor ajuste, pode-se calcular a soma dos desvios quadráticos:

Para a reta - 08833,08

1

2 =∑=k

kd

Para a parábola - 04809,08

1

2 =∑=k

kd

12

Portanto a parábola se ajusta melhor aos pontos tabelados.

13