FEM de la estructura del ala de un avion

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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

ESCUELA UNIVERSITARIA DE INGENIERÍA TÉCNICA AERONÁUTICA

PROYECTO FIN DE CARRERA

MODELO DE ELEMENTOS FINITOS DE LA ESTRUCTURA DEL ALA DE UN AVIÓN

FERNANDO ARETIO ZÁRATE

INGENIERÍA TÉCNICA AERONÁUTICA

ESPECIALIDAD DE AERONAVES

JULIO 2011

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AGRADECIMIENTOS

Sería muy estúpido pensar que todos los logros y metas conseguidos a lo largo de nuestra vida se deben únicamente al esfuerzo de cada uno por lograr su objetivo. Siempre hay que trabajar y luchar, pero sin suerte y, sobretodo, sin la ayuda de los demás, ya sea directa o indirectamente, no se llega a buen puerto. Que es donde hemos llegado después de esta travesía dura e intensa que es la carrera de Ingeniería Técnica Aeronáutica. Quiero empezar dándole las gracias a mi tutor Enrique De la Fuente, por ayudarme siempre que ha estado en su mano. En segundo lugar, acordarme de los amigos, los de aquí y los de allí. Los que me aguantaron, y las que me sufrieron, en la facultad (o facultades), en el piso, en la biblioteca o en el bar. Porque siempre había alguien a quien acudir, ya fuera por aburrimiento o por necesidad. Y por último y más importante, a mi familia. Mis padres, que apoyaron la aventura a sabiendas de que no sería fácil, y mi hermano que siempre sé que está ahí, pensando en sus cosas.

Muchas gracias a todos.

“Si nos cortan las alas volaremos con los cojones.”

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ÍNDICE

1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................. 5

2. AVIÓN ............................................................................................................... 5

2.1. Avión escogido ..................................................................................................... 5

2.2. Dimensiones ......................................................................................................... 6

2.2.1. Secciones ............................................................................................................................ 8

2.3. Características .................................................................................................... 20

2.3.1. Factor de carga ................................................................................................................. 20

3. ESFUERZOS APLICADOS .................................................................................... 22

3.1. Ejes .................................................................................................................... 23

3.2. Sustentación y momento de cabeceo aplicados ................................................... 24

3.3. Esfuerzos normales ............................................................................................. 27

3.3.1. Sección 1. ......................................................................................................................... 29

3.3.2. Sección 2. ......................................................................................................................... 30

3.3.3. Sección 3. ......................................................................................................................... 31

3.4. Esfuerzos de cortadura ........................................................................................ 32

3.4.1. Sección 1 .......................................................................................................................... 37

3.4.2. Sección 2 .......................................................................................................................... 40

3.4.3. Sección 3 .......................................................................................................................... 44

4. MATERIALES .................................................................................................... 47

5. ESFUERZOS CRÍTICOS ....................................................................................... 47

5.1. Intradós .............................................................................................................. 47

5.2. Extradós ............................................................................................................. 48

5.2.1. Larguerillos ....................................................................................................................... 48

5.2.2. Cordón del larguero ......................................................................................................... 60

5.2.3. Alma del larguero ............................................................................................................. 61

5.2.4. Panel entre larguerillos .................................................................................................... 62

6. COMPARACIÓN DE ESFUERZOS ........................................................................ 64

7. MODELO DE ELEMENTOS FINITOS .................................................................... 65

7.1. Geometría .......................................................................................................... 65

7.2. Elementos .......................................................................................................... 66

7.3. Cargas y condiciones de contorno ........................................................................ 70

7.4. Análisis NASTRAN ............................................................................................... 76

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8. COMPARACIÓN DE NASTRAN CON TEORÍAS ELEMENTALES .............................. 79

8.1. Esfuerzos normales ............................................................................................. 79

8.1.1. Sección 1. ......................................................................................................................... 79

8.1.2. Sección 2 .......................................................................................................................... 81

8.1.3. Sección 3 .......................................................................................................................... 82

8.2. Esfuerzos cortantes ............................................................................................. 84

9. CONCLUSIONES ................................................................................................ 87

Anexo. I Tabla de alturas del cajón completo ...................................................... 88

Anexo. II Esfuerzos normales en elementos sometidos a flexión ............................ 89

Anexo. III Conversión SI, sistema anglosajón ...................................................... 89

Anexo. IV Unidades del factor de carga .............................................................. 90

Anexo. V Tabla de inercias de las secciones ....................................................... 90

Anexo. VI Coeficiente de momentos de cabeceo. ................................................ 92

Anexo. VII Numeración de los elementos en Patran ............................................. 93

Anexo. VIII Imágenes del primer análisis Nastran ................................................. 96

Anexo. IX Imágenes del segundo análisis Nastran ............................................ 103

Anexo. X Comparación del momento de reacción respecto al eje Y global, con y sin

momentos de cabeceo .......................................................................................... 110

A. Referencias .................................................................................................... 111

B. Imágenes ....................................................................................................... 112

C. Tablas ........................................................................................................... 114

D. Expresiones ................................................................................................... 115

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1. INTRODUCCIÓN El objetivo es realizar un modelo de elementos finitos del ala de un avión. Para ello, lo primero

será elegir el avión en cuestión y obtener dimensiones y características del mismo. Una vez

seleccionada la aeronave, se hace un predimensionado del cajón de su ala. Esto es, hallar los

esfuerzos a los que está sometida la estructura con es caso de carga que se indica y

compararlo con los esfuerzos críticos o de fallo de cada uno de los componentes (larguerillos,

revestimiento, etc.).

Este predimensionado se utiliza para hacer el primer modelo en elementos finitos que se

analiza. Después de calcular los esfuerzos con Nastran (Ref. 12) se hace una corrección, si

hiciese falta, para obtener las dimensiones finales.

2. AVIÓN

2.1. Avión escogido El avión elegido para el estudio es el DC-9 versión 30. El McDonnell Douglas DC-9, conocido

como Douglas DC-9 antes de la fusión entre “Douglas Aircraft Company” y McDonnel Aircraft

(la empresa resultante de esta unión fue absorbida por Boeing en 1997), es un avión de

pasajeros bimotor de corto-medio alcance, que se fabricó desde 1965 hasta principios de los

ochenta (el último fue entregado en octubre de 1982). Posteriormente evolucionó en una

familia de aviones entre los que destacan el McDonnell Douglas MD-80 y el Boeing B717.

Figura 1.- US Navy - McDonnell Douglas C-9B Skytrain II (DC-9-32CF).

6

El DC-9 fue un avión totalmente nuevo, que nada tenía que ver con la anterior construcción de

Douglas, el DC-8, un avión cuatrimotor de largo alcance producido hasta 1972. Lo más

llamativo a primera vista es que sus motores están montados en la popa del avión, lo que hace

que es estabilizador horizontal esté situado en la parte superior del vertical, llamado

comúnmente cola en T.

La serie 30 fue la más importante, ya que supuso un 60% del total de la producción de los DC-9

con 662 unidades. El primer avión entró en servicio en febrero de 1967.

Algunos de estos aviones se han modificado para dar usos militares, como el de la Figura 1.

2.2. Dimensiones Las dimensiones y figuras mostradas en este apartado han sido obtenidas de la Ref. 2.

Las principales longitudes utilizadas en los cálculos se presentan en la Tabla 1.

Unidades SI Sistema anglosajón

Longitud del fuselaje 32.61 m 107 ft

Envergadura(b) 28.44 m 93.3 ft

Diámetro del fuselaje 3.1 m 10.1 ft

Cuerda en el encastre 5.044 m 16.55 ft

Cuerda en la punta 1.464 m 4.8 ft

Superficie alar (S) 82.53 m2 934.31 ft2

Estrechamiento () 0.29

0.29 Cuerda media geométrica ( ) 3.25 m 9.52 ft

Centro aerodinámico (cma) 3.582 m 11.75 ft

Perfil Encastre Punta

DSMA-433A/-434A DSMA-435A/-436A

CLA(pte curva sustentación) 5.73 1/rad 5.73 1/rad

Cm c/4 -0.15 Tabla 1.- Principales dimensiones del avión.

La pendiente de la curva de sustentación del perfil así como el coeficiente de momento son

aproximados, ante la imposibilidad de obtener los valores reales de los perfiles descritos en la

Tabla 1. Se ha puesto un valor típico para este tipo de aviones según lo visto en la Ref. 9.

En la Figura 2 y la Figura 3 se muestran las principales vistas del avión con sus

correspondientes medidas.

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Figura 2.- Planta del DC-9-32.Ref. 2

Figura 3.- Perfil y alzado del DC-9-32. Ref. 2.

8

Lo que se somete a estudio es el cajón del ala, su estructura principal. Se puede ver señalado

en la Figura 4, con todas las medidas que lo definen en su sección central. A él y al ala

completa. Estas medidas, así como las distancias entre costillas y entre larguerillos utilizadas

más adelante, han sido obtenidas de la Ref. 9.

Figura 4.- Medidas del ala en milímetros.

De este cajón se hace el modelo de elementos finitos (FEM), que se detallará en la sección 7.

2.2.1. Secciones

Para hacer el estudio previo en el cual se definen las medidas de los elementos estructurales

(larguerillos, revestimiento, etc.) se seleccionan 3 secciones del ala paralelas a las costillas (que

en este caso son también perpendiculares al larguero trasero).

La posición de las secciones seleccionadas se muestra en la Figura 5.En azul la sección 1 a

500mm del inicio del larguero trasero. En verde la sección 2 y en rojo la 3. También se puede

observar la situación de larguerillos y costillas.

La distancia entre larguerillos es de 189 mm, mientras que entre las costillas la separación es

de 750 mm. Exceptuando la primera que se corta con la costilla de quiebro.

9

Figura 5.- Cajón del ala derecha con las secciones señaladas. Ref. 13

Las secciones serán como la que se muestra en la Figura 6. Una sección trapezoidal, formada

por las almas de los largueros y los revestimientos, unidos por los cordones de larguero y

reforzada con larguerillos con sección en Z.

Figura 6.- Sección estándar.

Los larguerillos en Z tienen las proporciones indicadas en la Figura 7, espesor t constante y el

alma el doble de larga que las aletas (de longitud b). Los cordones son una sección en L con la

misma altura que anchura, como se puede observar en la Figura 8.

Hay que tener en cuenta que las longitudes b no son de la línea media, si no que abarcan hasta

los extremos. Esto se tendrá en cuenta a la hora de hallar áreas o momentos de inercia.

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Figura 7.- Sección del larguerillo.

Figura 8.- Sección del cordón de larguero.

En la Tabla 2 se puede ver la distancia entre el eje de simetría de la sección y el revestimiento

que se indica en la Figura 6. Aparecen señaladas las secciones que se estudiarán (no aparece el

ala completa). Los ejes tienen como origen el punto de intersección entre el larguero trasero y

el revestimiento. El eje X es paralelo al larguero, mientras que Y es paralelo a las costillas y, por

consiguiente, a las secciones elegidas. Las alturas son lineales y forman un plano.

Nº de larguerillo

X2 Y2

0 500 1026 2052 2900 4104 5130 6300

0 257 249 241 225 212 192 176 159

1 264 267 259 250 234 221 202 185 168

2 453 273 265 257 241 228 208 192 175

3 642 280 272 264 247 234 215 199 181

4 831 286 279 270 254 241 221 205 188

5 1020 293 285 277 261 248 228 212 194

6 1209 300 292 283 267 254 235 218

7 1398 306 298 290 274 261

8 1587 313 305 297 280

9 1776 320 312

Larguero 328 318 308 288 272 249 229 207

Tabla 2.- Altura de las secciones. Eje X sobre el larguero trasero.

En el Anexo. I se puede encontrar la tabla de alturas del cajón completo.

A continuación se detallan cada una de las 3 secciones. Las medidas, espesores, número de

larguerillos, etc. Estas propiedades han sido seleccionadas para cumplir los requisitos

marcados en el capítulo 5, donde se hallan los esfuerzos máximos permitidos en cada

elemento.

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2.2.1.1. Sección 1

La sección 1 abarca 9 larguerillos en cada revestimiento. En la Figura 9 se pueden ver las

dimensiones exteriores que forman el cajón, además de los ejes utilizados. Los larguerillos

aparecen indicados con un círculo rojo, mientras que los cordones de larguero se representan

con un triángulo verde.

Figura 9.- Sección 1. Vista general.

En cada sección es necesario hallar en momento de inercia respecto al eje Y, ya que los

esfuerzos normales en la sección vienen dados por la expresión

. Que es lo que

resulta cuando no hay momento respecto el eje Z y los ejes de la sección son principales de

inercia. En el Anexo. II se encuentra más detalladamente.

Lo primero es hallar el área de cada elemento. Cada uno tendrá dos medidas fundamentales:

b, que indica longitud; t, que será el espesor. Vienen dados, junto con el área, en la Tabla 3.

b (mm) t (mm) A (mm2)

Larguero trasero (RS) 499.0 8.7 4341

Larguero delantero (FS) 636.6 8.0 4838

Revestimiento superior (UC) 1967.1 8.9 17508

Revestimiento inferior (LC) 1967.1 8.9 17508

Cordón de larguero (c) 60.0 10.0 1100

Larguerillo (st) 35.0 4.7 614

Tabla 3.- Medidas generales de la sección 1.

El área del revestimiento y almas de largueros será: .

La de cada cordón del larguero:

Con: b=60 mm t = 10 mm

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La de cada larguerillo (Ast , de “stringer”, en inglés larguerillo)

vendrá dada por la expresión:

Con: b =35 mm t =4.7 mm


Larguero trasero (RS) 499.0 8.7 4341

Larguero delantero (FS) 636.6 8.0 4838

Revestimiento superior (UC) 1967.1 8.9 17508

Revestimiento inferior (LC) 1967.1 8.9 17508


Larguerillo (st) 35.0 4.7 614

Tabla 4.- Dimensiones y áreas de la sección 1.

El área del cordón del larguero suele ser entre 1.5 y 2 veces el área de los larguerillos en esa

sección. Se explica más adelante en el capítulo 5.2.2.

A continuación se halla el momento de inercia de cada elemento respecto a su centro de

gravedad, y más tarde se aplica el teorema de Steiner para obtener el momento de inercia de

la sección respecto a su eje de simetría.

El momento de inercia de larguerillos y cordones en su centro de gravedad se considera

despreciable y es una hipótesis optimista. A cambio, se supondrá su centro de gravedad en la

línea media del revestimiento, lo que supone un pequeño incremento del momento de inercia

total calculado frente al real.

Para calcularlo en el revestimiento y almas de larguero se aplica la Expresión 1.

Expresión 1.- Momento de inercia de una barra.

13

En las almas de larguero b será igual a 90º, mientras que el ángulo de los revestimientos será:

Momentos de inercia en el centro de gravedad de cada elemento:

Alma larguero trasero:

Alma larguero delantero:

Revestimiento superior

:

Revestimiento inferior:

Aplicando el teorema de Steiner (Expresión 2) en cada elemento y sumando lo resultante de

cada elemento se obtiene el momento de inercia total de la sección.

Expresión 2.- Teorema de Steiner.

Los centros de gravedad de las almas de larguero pasan por el eje Y, de simetría. Por lo que:

Los momentos de inercia en los revestimientos serán:

Cada larguerillo tendrá su altura respecto al eje de simetría, como se vio en la Tabla 2. El

momento de inercia total de los larguerillos será:

Y por último, el de los cordones de larguero será:

El momento de inercia de la sección 1 respecto el eje Y de simetría es:

14

2.2.1.2. Sección 2

La sección 2 se compone de 7 larguerillos entre los cordones. Se pueden observar las

dimensiones y la posición de los larguerillos en la Figura 10.


En la Tabla 5 se muestran las longitudes de la sección así como las áreas resultantes, que han

sido obtenidas siguiendo los mismos pasos que para la sección 1 (2.2.1.1).


Larguero trasero (RS) 424 8.0 3391

Larguero delantero (FS) 544 8.1 4403

Revestimiento superior (UC) 1715 7.1 12174

Revestimiento inferior (LC) 1715 7.1 12174

Cordón de larguero (c) 55 9.0 909

Larguerillo (st) 35 4.4 577


Para obtener los momentos de inercia se realiza lo mismo que en la sección 1, utilizando la

Expresión 1.


15

En este caso, será igual a:





:


Aplicando el teorema de Steiner (Expresión 2) en cada elemento y sumando lo resultante de

cada elemento se obtiene el momento de inercia total de la sección.






En el Anexo. V , b), se muestran los valores con las alturas de los larguerillos más

detalladamente.


16


2.2.1.3. Sección 3

Como se puede observar en la Figura 11, en la sección 3, situada a 6300 mm del encastre del

ala (siguiendo el larguero trasero), hay 5 larguerillos.


A continuación (Tabla 6), se muestran las dimensiones y áreas que definen la sección.


Larguero trasero (RS) 318 7.0 2223

Larguero delantero (FS) 412 8.4 3460

Revestimiento superior (UC) 1357 5.1 6921

Revestimiento inferior (LC) 1357 5.1 6921


Larguerillo (st) 30 3.5 396


Como se ha visto anteriormente, se utiliza la Expresión 1 y el teorema de Steiner (Expresión 2)

para obtener las inercias de cada elemento, que se sumarán para obtener el momento de

inercia total.

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En este caso, será igual a:





:


Aplicando el teorema de Steiner (Expresión 2) en cada elemento y sumando todo se obtiene el

momento de inercia total de la sección.



18






En el Anexo. V , c), se muestran los valores en una tabla.

2.2.1.4. Comparación.

A continuación se muestra una comparación de cómo disminuyen el área y el momento de

cada sección del ala. Como se verá más adelante, esto producirá que a pesar de que en la

sección 3 el momento flector aplicado es mucho menor que en la sección 1 el esfuerzo será del

mismo orden.

Sección X2 A total I total

1 500 59643 4.35E+09

2 2900 43862 2.28E+09

3 6300 26252 7.54E+08

Tabla 7.- Área y momento de inercia total de las secciones.

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Figura 12.- Comparación de las áreas de las secciones.

Figura 13.- Comparación de los momentos de inercia de las secciones.

20

2.3. Características En la Tabla 8 se muestran los pesos característicos del avión. Para hallar la distribución de

sustentación, que aplicaremos al estudio más adelante, se utiliza el peso máximo al despegue

(MTOW).

Kilogramos Libras

Peso máximo en rampa 49442 109000

Peso máximo de aterrizaje 44906 99000

Peso máximo de despegue 48988 108000

Peso operativo en vacío 25789 56855

Peso sin combustible 39463 87000

Máxima carga de pago estructural 6202 13674

Capacidad de combustible utilizable 11181 24649 Tabla 8.- Pesos del DC-9-32.Ref. 2

Su velocidad de crucero óptima es de 221 m/s (795 km/h). Mientras que la máxima es 250 m/s

(900 km/h).

Con estos datos procedemos a hallar el factor de carga máxima del avión.

2.3.1. Factor de carga

La fuerza que se le aplica al ala para realizar el estudio es la sustentación máxima, que será:

Donde n es el factor de carga máximo marcado por las normas FAR 25 (Ref. 4).

Por norma, el factor de carga para maniobra es 2.5. Para ráfaga será mayor y vendrá dado por

las expresiones que se muestran a continuación.

Expresión 4.- Factor de carga.

Expresión 5.- Variable Kg. n = f(Kg).

Expresión 6.- Variable . Kg = f()

Al proceder de normas de origen anglosajón, las unidades no serán las del sistema

internacional. A continuación se explica cada variable y sus unidades correspondientes.

También están resumidas en el 0.

Donde Ue es la velocidad equivalente de ráfaga medida en pies/segundo. Esta velocidad viene

dada en las normas FAR 25 (Ref. 4) y depende de la altura. En la Figura 14 se muestra un

gráfico con los valores.

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Figura 14.- Gráfico de la velocidad equivalente de ráfaga.

Ve es la velocidad equivalente de la aeronave en nudos. Se tomará como velocidad real la

velocidad máxima de crucero, 250 m/s (sección 0). Ve viene dada por la expresión:

Expresión 7.- Velocidad equivalente.

CLA es la pendiente de la curva de sustentación del perfil (Tabla 1) expresada en rad-1.

W es el peso de la aeronave en libras (Tabla 1). Como se ha dicho anteriormente, se toma el

peso máximo al despegue (MTOW).

S es la superficie alar medida en pies2.Que igual que CLA se puede ver en la Tabla 1.

g es la aceleración de la gravedad en pies/s2.

es la cuerda media geométrica en pies (Tabla 1).

es la densidad de la atmósfera en unidades de slug/pie3.

0

5,000

10,000

15,000

20,000

25,000

30,000

35,000

40,000

45,000

50,000

0 10 20 30 40 50 60

Alt

itu

d (

ft)

Velocidad equivalente (ft/s)

Velocidad equivalente de ráfaga

22

En la Tabla 9 se pueden ver los valores que permanecen constantes, como el peso o la

superficie alar.

W 108000 libras

S 888.32 ft2

g 32.19 ft/s2

9.52 ft Tabla 9.- Constantes para la obtención del factor de carga.

Las variables que dependen de la altura y el factor de carga resultante aparecen en la Tabla 10.

h(m) 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

h(ft) 0 6562 13123 19685 26247 32808 39370

/ sl 1.000 0.822 0.669 0.539 0.429 0.338 0.255

(slug/ft3)

0.00238 0.00195 0.00159 0.00128 0.00102 0.00080 0.00061

58.3 70.9 87.1 108.1 135.8 172.6 228.9

Kg 0.807 0.819 0.830 0.839 0.847 0.854 0.860

ve (nudos)

486 441 397 357 318 282 245

Ude [ft/s]

56.0 50.8 45.5 41.6 38.2 34.8 31.5

n 3.08 2.73 2.42 2.18 1.98 1.79 1.63 Tabla 10.- Resultado de factor de carga en función de la altura.

El factor de carga máximo es 3.08 y se obtiene a nivel del mar.

3. ESFUERZOS APLICADOS Como se ha dicho anteriormente, la fuerza que se utiliza para realizar el predimensionado de

la sección del cajón es una distribución lineal de sustentación, cuya resultante es

y el momento de cabeceo (normalmente picado) producido en el ala. n es el

factor de carga hallado en la sección 2.3.1 y MTOW el peso máximo al despegue.

Como consecuencia de este caso de carga, cada sección estará sometida a una fuerza

cortante, un momento flector y un momento torsor, que provocarán una serie de esfuerzos

normales y cortantes en la misma.

Figura 15.- Fuerzas a las que está sometida la sección.

23

Antes de ver como se distribuye la sustentación y cuál es el momento de cabeceo (capítulo

3.2), se presentan los diferentes ejes que se utilizarán.

3.1. Ejes En la Figura 16 aparecen los diferentes ejes que se utilizarán en los cálculos de fuerzas y

momentos. El cajón estructural aparece señalado en rojo y todos los ejes XY mostrados están

en el plano de simetría del cajón.

Figura 16.- Ejes utilizados en el cálculo.

En la intersección del cajón con el fuselaje tiene origen el sistema de coordenadas 0, cuyo eje X

es perpendicular al fuselaje.

El sistema 2, tiene el mismo origen, pero su eje X sigue la dirección del larguero trasero. Por

ello, el eje Y el paralelo a las costillas y a las secciones seleccionadas para los cálculos.

El sistema 4 sigue la línea c/4 del ala, donde está aplicada la distribución de sustentación. Por

lo que su origen está en la intersección del fuselaje con el ala, a una distancia de un cuarto de

la cuerda del borde de ataque del ala (1261 mm).

El sistema 7 posee el origen sobre el borde de ataque y el fuselaje. Ha sido utilizado

únicamente como ayuda para obtener la línea c/4.

24

En la Tabla 11 se muestra el ángulo que forma cada sistema coordenado con el plano

perpendicular al fuselaje.

Sistema coordenado Ángulo (º)

0 0

2 20

4 24.77

7 0

Tabla 11.- Ángulos entre los sistemas coordenados y el plano perpendicular al fuselaje.

Sistema coordenado Distancia al origen del SC 7 (mm)

0 2887

2 2887

4 1261 Tabla 12.- Distancias entre el origen del sistema de coordenadas 7 respecto a los demás.

Hay que tener en cuenta el origen de los ejes, ya que la sección 1, que está a 500 mm sobre X2,

suponen 1060 mm en X4 que es donde está situada la distribución de sustentación, como se

verá más adelante.

3.2. Sustentación y momento de cabeceo aplicados La distribución de sustentación se supone en un cuarto de la cuerda desde el borde del ataque

del ala. Ahí está, aproximadamente, el centro aerodinámico del perfil, donde el momento de

cabeceo solamente depende del ángulo de ataque.

Según lo dicho, cada ala tendrá que soportar una sustentación de:

El momento de cabeceo total es:

Expresión 8.- Momento de cabeceo.

A falta de mejor información sobre los perfiles de la aeronave, se tomará como coeficiente de

momento de cabeceo un valor típico para este tipo de avión según la Ref. 9 (ver Anexo. VI).

Con , el momento total en cada ala a nivel del mar y a velocidad de crucero

máxima perpendicular al borde de ataque del ala será:

25

La velocidad se ha multiplicado por el coseno de 27.8º que es el ángulo que forma el borde de

ataque con el plano normal al fuselaje, tomando así la componente efectiva de la velocidad

teniendo en cuenta la flecha.

Para distribuir el momento y la sustentación, se define el máximo y el mínimo locales. Se hará

proporcionalmente a la cuerda, es decir:

Por otro lado, teniendo en cuenta cual debe ser el total de la distribución:

Así hallamos el Llocal i, que será la sustentación local máxima. A partir de ahí se hace la

proporción.

La es el máximo valor en X4 en el final del cajón según el larguero trasero. Es decir, se

saldrá un poco del cajón, pero no del ala, por lo que es aceptable (Figura 17).

Los valores de X4 para una sección serán:

Teniendo en cuenta que

. (Figura 4)

Entonces

Figura 17.- X final en el sistema 4 sale un poco del cajón debido a las suposiciones.

26

Teniendo en cuenta las dimensiones de la Figura 4 y que la distribución está sobre la línea c/4

(eje X del sistema 4 explicado anteriormente).

La sustentación local mínima será:

Así, queda una distribución de sustentación como en la Figura 18

Figura 18.- Gráfica de la distribución de sustentación sobre la línea c/4.

Para obtener el valor de la distribución de sustentación en cualquier punto bastará con seguir

la función mostrada.

Llamando m a la pendiente de la función, quedará:

27

En la Figura 19 se puede ver, esquemáticamente, lo que sería la distribución de sustentación

del avión, que se ha hecho proporcional a la cuerda en cada lugar del avión.

Figura 19.- Alzado de la distribución de sustentación.

Los momentos se distribuirán una vez se hallen en cada sección la sustentación,

proporcionalmente con esta. Es decir:

Donde V es la fuerza cortante de la sección.

3.3. Esfuerzos normales Como se ha visto en la sección 2.2.1.1, los esfuerzos normales a los que están sometidos los

elementos estructurales vienen dados por la expresión

. Por lo que se debe hallar,

en cada sección, el momento flector que produce la distribución de sustentación (Ms).

Se realiza, a continuación, la explicación genérica de los cálculos que hay que realizar en cada

sección. Y más tarde se especifica para cada caso indicado.

En la Figura 20 se ven las fuerzas que van a actuar si “partimos” el ala por una sección

concreta.

Figura 20.- Fuerzas en cada sección para obtener el momento flector Ms.

81.32 N/mm

23.6 N/mm

28

Para hallar la resultante de fuerzas utilizamos el sistema de ejes 4 (paralelo a la línea c/4 donde

está situada la sustentación). Para las distancias en las igualdades de momentos se utilizarán

distancias perpendiculares a las costillas (sistema 2).

Igualando fuerzas al lado derecho:

Donde L1 será:

Y L2:

Tomando momentos en la parte de la derecha respecto del punto B:

Donde d es la distancia entre el punto donde se toman momentos (eje de simetría de la

sección), y el punto de la resultante de la sustentación.

Llamando a las “partes” de la distribución de sustentación:

d será:

Figura 21.- División geométrica de la sustentación.

Siendo .

Con el momento, la inercia de la sección hallada en el capítulo 2.2.1 y la altura a la que esté el

elemento estudiado, se calcula el esfuerzo normal.

A continuación se señalan los valores obtenidos para cada sección.

29

3.3.1. Sección 1.

La sección 1 se sitúa a 500 mm del revestimiento siguiendo el larguero trasero (Figura

5).Teniendo en cuenta que los ejes X2 y X4 forman un ángulo de 4.77º y el eje Y2 corta con X4 a

una distancia de 558 mm, la sección abarcará una distancia en X4 igual a:

A continuación hallamos F1 y F2, para obtener la distancia a la que se aplicará la

resultante de fuerzas respecto a la sección indicada.

Se necesita conocer el esfuerzo en cada elemento para compararlo con el esfuerzo crítico

obtenido más adelante (capítulo 5). Para ello miramos las dimensiones obtenidas en el

capítulo 2.2.1.1.

En el revestimiento y el cordón del larguero se tomará la misma altura (esto es conservativo en

el caso del revestimiento), igual a la mitad de la longitud del larguero delantero. En este caso:

Con los larguerillos se hallará con la altura del más cercano al larguero delantero (ver Anexo.

V,a)). Así: . Recordando que Iy =4.35·109 mm4.

Los esfuerzos a compresión serán los siguientes:

30

3.3.2. Sección 2.

El procedimiento es el mismo que se describe para la sección 1.

La sección 2 está a una distancia de 2900 mm del encastre del ala, como se observa en la

Figura 5.

La sustentación que tendrá que soportar la sección 2 abarcará una distancia en X4 igual a:

A continuación hallamos F1 y F2, para obtener la distancia a la que se aplicará la

resultante de fuerzas respecto a la sección indicada.

Como se ha hecho para la sección 1, miramos en el capítulo 2.2.1.2, el valor tanto de alturas

como del momento de inercia de la sección 2.

Aquí la altura para el cordón de larguero y el revestimiento con esfuerzo máximo será:

Con los larguerillos se hallará con la altura del más cercano al larguero delantero (ver Anexo.

V,b)). Así: . Recordando que Iy =2.28·109 mm4.

31


3.3.3. Sección 3.

Se realiza lo expuesto anteriormente tomando los datos de la sección3, situada a 6300 mm del

origen del sistema de coordenadas 2.

Con ello se obtiene:

Con esta longitud, las fuerzas resultantes de la distribución serán:

Echando un vistazo atrás al capítulo2.2.1.3, el valor máximo de la altura para revestimiento y

cordón de larguero es:

Para mirar la mayor altura de un larguerillo habrá que moverse hasta el Anexo. V, c). Ahí se ve

que la altura máxima es: . Sabiendo que Iy =7.54·108 mm4.

32


3.4. Esfuerzos de cortadura Se necesitan hallar los esfuerzos de cortadura a los que están sometidas las almas de los

largueros, para comprobar si a carga última no pandean a cortadura (capítulo 0).

A producir los esfuerzos de cortadura contribuyen tanto la fuerza cortante, que no pasa por el

centro de cortadura, como el momento torsor provocado porel cabeceo. La fuerza cortante ya

se ha visto como hallarla en el capítulo 3.3 y los valores de cada sección es han obtenido

también.

Si suponemos que el momento torsor provocado por el cabeceo del ala se distribuye

linealmente igual que la sustentación, se puede hacer un equilibrio de momentos igual que se

hizo con las fuerzas en la Figura 20.

En la Figura 22 aparecen los momentos que provoca la distribución descrita. En verde se ven lo

que sería la resultante de la distribución de momentos a cada lado de la sección. En azul los

momentos torsores que provocan y, por último, en rojo la reacción en el encastre.

Figura 22.- Esquema de los momentos torsores en el cajón.

Teniendo eso en cuenta se puede escribir:

Se hallan los esfuerzos cortantes, sabiendo que en cualquier punto de la sección:

33

Para hallar los esfuerzos cortantes hay que aplicar el teorema del flujo cortante.

Esto es:

Expresión 9.- Teorema del flujo cortante.

En este caso solo hay fuerza cortante vertical (Fz), por lo que el segundo término será cero.

Qy y Qz son los llamados momentos estáticos del área de la sección comprendida dente 0 y s,

que son precisamente los momentos estáticos de esa área con respecto a los ejes y y z. Serán

por lo tanto, función de la coordenada “s”.

El momento estático de un área es la propia área multiplicada por la distancia de su centro de

gravedad al eje. Así:

Utilizando esto se pueden obtener sin problema los flujos de toda la sección, pero faltará

conocer el valor de q(0), necesario para obtener los flujos cortantes totales, ya que son la

suma de los que llamaremos básicos qb (q 0-1, por ejemplo), que son los que se obtendrían

haciendo q(0)=0, más un valor constante de q(0).

Este valor de q(0) se suma simplemente al flujo en cualquier punto, porque es un flujo cortante

constante que recorre una línea cerrada. Esto es precisamente un par torsor puro. Se hallará

igualando los momentos que resultan de los flujos con los momentos exteriores, ya sean

producidos por una fuerza cortante o por un momento torsor puro.

Para hallar los momentos provocados por los flujos hay que calcular las fuerzas dadas por los

flujos, que son:

El momento torsor puro debido al flujo q(0) es:

Donde S es el área de la sección cerrada.

34

Para profundizar más en la teoría de estos cálculo consultar la Ref. 6 (Enrique De la Fuente

Tremps y Román Tores Sánchez. Estructuras de aeronaves I. Primera parte. Análisis de

esfuerzos.).

A continuación se presenta una sección genérica y los flujos básicos que se obtendrían en ella.

Al ser simétrica respecto al eje y, los flujos finales de la sección inferior son los

antisimétricos de los de la superior. De todas formas no interesan, ya que lo que se quiere

realmente son los esfuerzos en las almas de los largueros.

Figura 23.- Sección genérica para la obtención de flujos básicos.

Se parte del punto 0, en el que suponemos q(0) = 0. Desde ahí se aplican las expresiones

mostradas anteriormente.

Se hará lo mismo para cada parte de la sección, teniendo en cuenta que hay que ir sumando lo

anterior en la posición de inicio. En los puntos 1 y 2 se supone el área de los cordones de

larguero. Así:

Donde:

Para simplificar los cálculos las áreas de los larguerillos se distribuyen por el revestimiento, así

se podrá considerar el revestimiento entero y no se harán cálculos en cada larguerillo. Así pues

el espesor del revestimiento (t3) si la sección tiene n larguerillos será:

Área

Z del CG

35

Se siguen hallando los flujos cortantes:

Una vez se han obtenido los flujos básicos, se realiza el equilibrio de momentos respecto un

punto cualquiera. En este caso se tomará el punto A (Figura 24), para no tener que hallar las

resultantes en el revestimiento inferior y en el alma del larguero delantero.

Figura 24.- Fuerzas internas y externas de una sección genérica para igualar momentos torsores.

En la figura se muestran en rojo las fuerzas y momentos debidos a los flujos cortantes (R1, R2

y MTq), y en negro la fuerza cortante y el momento torsor (de cabeceo) aplicados (V y MtS).

La igualdad de equilibrio respecto al punto A es:

Así, recordando lo anterior tendremos las siguientes expresiones:

36

Siendo conocidos la fuerza cortante y el momento torsor exterior, solamente falta obtener la

distancia, dT, entre el lugar en el que se aplica la fuerza cortante (línea c/4) y el larguero

delantero.

Con la ayuda de los ejes (capítulo 3.1) y las figuras siguientes esto no supone ningún problema.

Figura 25.- Distancias del larguero trasero a la línea c/4 y al larguero delantero.

Sabiendo que la línea c/4 forma un ángulo de 4.77º con el eje X2, y el larguero delantero 7,81º

respecto X2 (Figura 4), la distancia entre el larguero posterior y la línea c/4 será:

Pero a esta distancia hay que hacerle una corrección, ya que la resultante de la distribución de

sustentación desde la sección hasta la punta no estará a la misma distancia que la descrita

anteriormente, si no algo más lejos del larguero delantero. La fuerza cortante estará ahí para

que la fuerza cortante y la distribución estén en equilibrio de momentos respecto X2.

37

Figura 26.- Obtención de la distancia dT entre el larguero trasero y la posición de la fuerza cortante.

Siendo, en la Figura 26, d la distancia desde la resultante de la sustentación a la sección en

cuestión, que ya fue hallada (recordar capítulo 3.3, Figura 21), dT será:

Con estos datos ya podemos aplicar la igualdad:

De ahí se despejará q(0), que será sumado a los flujos básicos en toda la sección.

Y con

se hallan los esfuerzos cortantes en las almas de los largueros.

A continuación se especifica lo explicado para cada una de las 3 secciones sometidas a estudio.

3.4.1. Sección 1

La sección 1, a 500 mm del encastre, tiene las características señaladas en el capítulo 2.2.1.1.

En la Tabla 13 se muestran las dimensiones ahí señaladas, así como la repartición del área de

los larguerillos a favor de los revestimientos.

b (mm) t (mm) A (mm2) A distribuida t3

Larguero trasero (b1, t1) 499.0 8.7 4341

Larguero delantero (b2, t2) 636.6 8.0 4838

Revestimiento superior (b3) 1967.1 8.9 17508 23032 11.7

Revestimiento inferior 1967.1 8.9 17508 23032 11.7


Larguerillo (n = 9) 35.0 4.7 614

Tabla 13.- Dimensiones de la sección 1 para obtener los flujos cortantes.

38

El momento de inercia es (capítulo2.2.1.1).

La fuerza cortante es (capítulo 3.3.1).

A continuación se muestran los cálculos de los flujos básicos siguiendo los pasos señalados en

el capítulo 3.4.

39

A continuación hay que obtener q(0) que será sumado a cada uno de los flujos hallados.

Figura 24

En la figura no aparecen las resultantes del larguero delantero ni del revestimiento inferior

porque no dan momentos respecto de A.

En la Figura 24 se muestran en rojo los momentos producidos por los flujos cortantes y en

negro los momentos externos. Están dibujados en su sentido positivo.

Primero hallamos el momento torsor debido a la distribución:

Se ha venido trabajando siempre con milímetros así que los momentos, a pesar de su abultado

valor, no serán una excepción.

Lo siguiente es obtener la distancia dT . Teniendo en cuenta (del capítulo 3.3.1) que d = 5348:

Después se hallan las fuerzas debidas a los flujos cortantes:

40

Aplicando la igualdad mostrada anteriormente y despejando q (0):

Sumándolo a los flujos básicos:

Figura 27.- Resultado de flujos cortantes en la sección 1.

Se toma el flujo máximo en las almas de los largueros y se hallan los esfuerzos cortantes:

3.4.2. Sección 2

En este caso la sección se sitúa a 2900 mm del encastre del ala y posee 7 larguerillos. Las

dimensiones se han obtenido anteriormente en el capítulo 2.2.1.2

A continuación en la Tabla 14 se pueden ver las dimensiones necesitadas para calcular los

flujos cortantes.

41


Larguero trasero (b1, t1) 424 8.0 3391

Larguero delantero (b2, t2) 544 8.1 4403

Revestimiento superior (b3) 1715 7.1 12174 16215 9.5

Revestimiento inferior 1715 7.1 12174 16215 9.5


Larguerillo (n = 7) 35 4.4 577 Tabla 14.- Dimensiones de la sección 2 para obtener los flujos cortantes.

El momento de inercia es (capítulo 2.2.1.2).


Debajo se pueden ver los resultados que se obtienen siguiendo las expresiones del capítulo

3.4.

42

Para obtener q(0) se igualan los momentos internos (en rojo) con los externos (en negro)

Figura 24


En milímetros:

Lo siguiente es obtener la distancia dT . Teniendo en cuenta (del capítulo 3.3.2) que d =4450:

Después se hallan las fuerzas debidas a los flujos cortantes:

43

Por último se hace la igualdad y se despeja q(0).

Sumándolo a cada uno de los puntos de la sección tendremos:



44

3.4.3. Sección 3

Las dimensiones de se muestran en la Tabla 15. La sección 3 está en el punto 6300 según X2 y

contiene 5 larguerillos en cada revestimiento.


Larguero trasero (b1, t1) 318 7.0 2223

Larguero delantero (b2, t2) 412 8.4 3460

Revestimiento superior (b3) 1357 5.1 6921 8899 6.6

Revestimiento inferior 1357 5.1 6921 8899 6.6


Larguerillo (n = 5) 30 3.5 396

Tabla 15.- Dimensiones de la sección 3 para obtener los flujos cortantes.

El momento de inercia es (capítulo 2.2.1.3).


Se repite lo que se ha realizado para las otras dos secciones:

45

Para hallar q(0) se realiza equilibrio de momentos respecto del punto A.

Figura 24


En Newton por milímetro:

Lo siguiente es obtener la distancia dT .

Teniendo en cuenta (del capítulo 3.3.3) que d = 3136 mm:

46

A continuación se hallan las resultantes en el larguero trasero (R1) y en el revestimiento

superior (R2):

Por último se hace la igualdad y se despeja q(0).

Sumándolo a cada uno de los puntos de la sección tendremos:



47

4. MATERIALES Las características de los materiales han sido obtenidas del MIL Handbook 5h (Ref. 10)

tomando valores típicos entre los que ahí se señalan.

Para el revestimiento superior, sus larguerillos y los largueros (tanto almas como cordones) se

utiliza Aluminio 7075-T6, cuyas propiedades se muestran en la Tabla 16.

7075-T6 ksi Mpa

Módulo de elasticidad E 10300 71016

Límite elástico a compresión cy 68 469

Módulo de Poisson 0.33 Tabla 16.- Características mecánicas del aluminio 7075-T6

Esta elección se debe a que estos elementos (excepto los cordones que tocan el revestimiento

inferior) trabajan a compresión en situación normal de vuelo. El 7075 es el aluminio utilizado

en estos componentes descritos en la mayoría de aviones comerciales de fabricados en metal.

Se utilizará Aluminio 2024-T4 para el revestimiento inferior, incluyendo sus larguerillos. Ya que

estarán sometidos mayoritariamente a tracción y fatiga (aunque esto no se analice en este

documento). El paso de los años demostró que el aluminio 7075 tenía problemas cuando se

unían la fatiga y la corrosión, por ello se utiliza el 2024.

El módulo de elasticidad es 73774 MPa.

El límite elástico de tracción es:

5. ESFUERZOS CRÍTICOS En esta sección se muestra la teoría para hallar los esfuerzos máximos a los que se puede

someter a la estructura. Vienen dados por una serie de condiciones.

5.1. Intradós El revestimiento, el intradós trabajará la mayoría del tiempo a tracción, por lo que el esfuerzo

aplicado no debe superar el 80% del límite elástico a tracción del material:

Expresión 10.- Esfuerzo máximo permitido en el intradós.

Donde:

es el esfuerzo máximo a tracción aplicado en el intradós a carga límite (capítulo 3).

es el límite elástico de tracción del material.

Como se ha dicho anteriormente, el intradós se fabrica en Aluminio 2024-T4 y su límite

elástico es 324 MPa.

48

5.2. Extradós Existe una condición para cada uno de los elementos (larguerillos, cordones de larguero, almas

e larguero y revestimiento). Aquí se presentan cada una de ellas, cómo se halla el esfuerzo

crítico (esfuerzo máximo al que puede ser sometido el elemento) que resulta de cada

condición y el cálculo para cada una de las 3 secciones elegidas en el estudio de

predimensionado.

Los esfuerzos críticos en ningún caso pueden ser mayores que el límite elástico del material. Si

esto ocurriese, se toma como esfuerzo crítico es límite elástico a compresión.

Se hablará de carga límite, que serán los esfuerzos que resultan al aplicar al ala completa la

distribución descrita anteriormente. Es decir, los esfuerzos calculados en el capítulo 3.

Carga última es un 50% más que la carga límite. Los esfuerzos en los elementos son

directamente proporcionales a las fuerzas aplicadas, por lo que para hacer la comparación

entre esfuerzos aplicados y los críticos bastará con multiplicar los primeros por 1.5.

5.2.1. Larguerillos

A carga última, el larguerillo efectivo no debe fallar por pandeo.

Al hablar de larguerillo efectivo, se tiene en cuenta tanto el larguerillo, como parte de la

sección de revestimiento que le corresponde (Ref. 8). En principio, se debería tener en cuenta

un área del revestimiento igual a la distancia entre larguerillos por el espesor del revestimiento

(A = b·t). Pero esto no es así, ya que la chapa del revestimiento suele pandear antes de que

falle el conjunto chapa más larguerillo. Esto se traduce en que la distribución de esfuerzos deja

de ser uniforme, para ser mayor (el esfuerzo) en las zonas rigidizadas por los larguerillos. Por

ello sólo se tiene en cuenta, para cada larguerillo, parte del revestimiento. La longitud de esta

parte descrita es la anchura efectiva (N).

Figura 30.- Larguerillos y revestimiento.

La expresión para hallar la anchura efectiva en este caso (ningún borde de la chapa libre y

tanto revestimiento como larguerillos son del mismo material) es:

Expresión 11.- Anchura efectiva del revestimiento.

49

Donde E es el módulo de elasticidad del material y E es el esfuerzo aplicado en el conjunto

chapa-larguerillo.

Si la anchura efectiva el mayor que la distancia entre larguerillos, se tomará esta última como

longitud del revestimiento.

Como vemos, la anchura efectiva depende del esfuerzo, que a su vez dependerá de la anchura

efectiva. Nos encontramos, por lo tanto, frente a un proceso de iteración que se presenta a

continuación.

Primero, se presentan las expresiones de las que se obtiene el esfuerzo de fallo. Es la curva

formada por las parábolas de Johnson y Euler.

Estas parábolas, forman la curva en la que se muestra el esfuerzo de fallo a compresión de

columnas de pared delgada en función de la esbeltez equivalente (EQ).

La esbeltez equivalente es:

Expresión 12.- Esbeltez equivalente.

Donde:

leq es la distancia entre costillas, ya que es donde se considera, simplemente apoyado, el

larguerillo efectivo.

es el radio de giro de la sección, que depende de I (momento de inercia) y A (área).

Si la esbeltez equivalente es cercana a cero (suele admitirse menor que 20), entonces el fallo

será por crippling.

Si es menor que la esbeltez de transición (TR), entonces el fallo se producirá por interacción

entre crippling y pandeo global. En ambos casos se utiliza la parábola de Johnson para obtener

el esfuerzo de fallo. La esbeltez de transición cumple la expresión:

Expresión 13.- Esbeltez de transición.

La parábola de Johnson viene dada por la fórmula:

Expresión 14.- Parábola de Johnson.

50

Donde es el esfuerzo de crippling del larguerillo (sin contar el revestimiento).

En el caso de que la esbeltez equivalente sea mayor que la de transición, el fallo se

producirá por pandeo global, cumpliéndose la expresión de Euler:

Expresión 15.- Parábola de Euler.

En la Figura 31 se puede ver ambas parábolas, y la combinación de ambas (en negro) según los

criterios señalados. El punto de intersección entre las curvas se produce en la esbeltez de

transición y a un esfuerzo de fallo que es la mitad del de crippling.

Figura 31.- Curva Johnson-Euler. Fallo a compresión de columnas de pared delgada.

Como vemos lo primero será hallar el esfuerzo de crippling del larguerillo y la esbeltez de

transición, sin tener en cuenta el revestimiento, que son función exclusivamente de la

geometría del mismo y las características del material, por lo tanto no entrará en el proceso de

iteración.

Para hallarlo, utilizamos el método de Needham modificado (Ref. 8). Esto es, se divide la

sección en segmentos y se halla el esfuerzo de crippling para cada uno de ellos. A continuación

se pondera según el área de cada uno.

51

Esta división en segmentos se aprovechará después a la hora de hallar los momentos de

inercia y las áreas de la sección. Se muestra en la Figura 32.

Figura 32.- División en segmentos de larguerillo y revestimiento

Para el caso mostrado en la Figura 32, se toman los segmentos 2, 3 y 4, y se aplica:

Expresión 16.- Esfuerzo de crippling en cada segmento (i).

Donde Ci y m vienen dados dependiendo si el segmento tiene o no algún borde libre. En la

Tabla 17 se muestran los valores correspondientes.

Un borde libre Ningún borde libre

Ci m Ci m

Chapa 0.334 0.8 0.74 0.8

Extruido 0.343 0.75 0.723 0.75

Tabla 17.- Valores de Ci y m para obtener el esfuerzo de crippling.

Una vez obtenidos los esfuerzos de cada segmento, el esfuerzo de crippling del larguerillo será:

Expresión 17.- Esfuerzo de crippling del larguerillo aislado.

Con el valor del esfuerzo de crippling del larguerillo definido, pasamos a la iteración:

1) Suponemos un esfuerzo de fallo. Se recomienda utilizar primero el de crippling.

52

2) Con este esfuerzo supuesto se calcula la anchura equivalente:

Expresión 11

3) Calculamos las propiedades mecánicas del larguerillo equivalente:

Teniendo en cuenta la sección (Figura 32) se hallan los momentos de inercia como se

mostró anteriormente en la Expresión 1.


Se halla el área total, que será la suma de la del larguerillo y la anchura efectiva del

revestimiento por su espesor.

4) Calculamos la esbeltez equivalente:

Expresión 12

5) Con la esbeltez equivalente, comparándola con la de transición (Expresión 13), utilizamos

la curva Johnson-Euler para calcular el valor del esfuerzo. Si este valor es lo

suficientemente parecido al esfuerzo supuesto, este será el esfuerzo crítico. Si no, se

deberá volver al punto uno, tomando como esfuerzo el obtenido en este punto 5).

A continuación aplicamos lo descrito a todas las secciones.

53

5.2.1.1. Sección 1.

Lo primero será escribir en una tabla las dimensiones del larguerillo para hallar el esfuerzo de

crippling. Dividimos el larguerillo efectivo en segmentos y nos queda como se muestra en la

Figura 32.

Figura 32

Nº segmento b (mm) t (mm) A (mm2)

1 N 8.9 N·7.3 2 4.7 165

3 4.7 285

4 4.7 165 Tabla 18.- Dimensiones del larguerillo efectivo de la sección 1.

Como se ha dicho antes la longitud de revestimiento a tener en cuenta es todavía

indeterminada, pero no interviene a la hora de hallar el esfuerzo de crippling.

Teniendo en cuenta la Tabla 17 para obtener los valores de Ci y m, los esfuerzos de crippling

de cada segmento son:

Aletas (un borde libre):

Alma (ningún borde libre):

El del larguerillo viene dado por la expresión:

54

La esbeltez de transición resulta:

Ahora se procede a hacer el proceso de iteración mostrado. Por ser el primero se muestra

completo.

1) ITERACIÓN 1

a) Se toma como esfuerzo crítico el de crippling que se acaba de hallar:

b) Se calcula la anchura equivalente

Como es menor que la distancia entre larguerillos, se toma lo hallado: 187 mm.

c) Se calculan las propiedades mecánicas del larguerillo equivalente.

Nº segmento b (mm) t (mm) A (mm2) CG z5 (mm) I (mm4)

1 8.9 1666 4.45 187959

2 4.7 165 11.25 2403

3 4.7 285 43.9 323864

4 4.7 165 76.55 621735

TOTAL 2280 15.07 1135960 Tabla 19.- Cálculo de áreas y momentos de inercia del larguerillo efectivo. Sección 1. Iteración 1.

Para hallar el momento de inercia primero se ha de obtener el centro de gravedad del

conjunto de larguerillo crítico. Se halla respecto al sistema indicado en la Figura 32, que sitúa

su eje Y justo debajo del revestimiento.

Recordando la Expresión 1 y el teorema de Steiner (Expresión 2) se obtienen los momentos

de inercia (I) en el centro de gravedad del larguerillo efectivo.

d) A continuación se halla la esbeltez equivalente y se compara con la de transición para

ver si estamos en la zona de la curva de Johnson (si la equivalente es menor) o en la

curva de Euler (si es menor la de transición).

55

La distancia entre costillas es 750 mm (capítulo 2.2).

e) Se utiliza la expresión de la parábola de Johnson y se comprueba si el esfuerzo es el

mismo que se supuso.

No es el esfuerzo que se ha supuesto al principio, por lo que se vuelve a repetir el proceso

con el último esfuerzo hallado.

2) ITERACIÓN 2

a)

b) Anchura equivalente

Es mayor que la distancia entre larguerillos, por lo que se debe escoger esta última.

N = 189 mm

c) Se calculan las propiedades mecánicas del larguerillo equivalente. Del mismo modo

que antes.


1 8.9 1682 4.45 187117

2 4.7 165 11.25 2310

3 4.7 285 43.9 325096

4 4.7 165 76.55 623252

TOTAL 2296 15.00 1137775 Tabla 20.- Cálculo de áreas y momentos de inercia del larguerillo efectivo. Sección 1. Iteración 2.

d) Lo siguiente es calcular la esbeltez equivalente:

56

e) Se utiliza la expresión de la parábola de Johnson y se comprueba si el esfuerzo es el

mismo que se supuso.

No es el esfuerzo que se ha supuesto al principio, pero se ve que ya se acerca mucho. De

hecho, si con el próximo esfuerzo supuesto la anchura efectiva sigue siendo mayor que la

distancia entre larguerillos (que lo va a pasar, ya que el esfuerzo es menor) este será el

esfuerzo crítico, ya que la anchura efectiva es lo único que cambia en el proceso de

iteración.

3) ITERACIÓN 3

a)

b) La anchura equivalente es:

Como es mayor que la distancia entre larguerillos b3 será 189 mm, igual que en la anterior

iteración, por lo que los cálculos son los mismos y el resultado también.

5.2.1.2. Sección 2

El proceso es el mismo que para la sección 1, pero esta vez se tomará como esfuerzo crítico el

que se sabe de antemano (por los cálculos realizados) que es el esfuerzo crítico. De todas

formas, lo habitual es que no sean más de 3 o 4 iteraciones (3 en este caso).

Lo primero es obtener el esfuerzo de crippling y para ellos se muestran las dimensiones en la

siguiente tabla.


1 N 7.1 N·7.1

2 4.4 154

3 4.4 269

4 4.4 154

Tabla 21.- Dimensiones del larguerillo efectivo de la sección 2.


57


El del larguerillo será:


Ahora empezaría el proceso de iteración

1) ITERACIÓN 1

a) Se toma como esfuerzo supuesto:


Como es menor que la distancia entre larguerillos, se toma lo hallado: 172 mm.

c) Se calculan las propiedades mecánicas del larguerillo equivalente como se ha visto en

las ocasiones anteriores.


1 7.1 1191 3.55 188659

2 4.4 154 9.3 7200

3 4.4 269.28 42.1 265553

4 4.4 154 74.9 531762

TOTAL 1768 16.14 993174 Tabla 22 .- Cálculo de áreas y momentos de inercia del larguerillo efectivo. Sección 1.

d) A continuación se halla la esbeltez equivalente y se compara con la de transición para

ver si estamos en la zona de la curva de Johnson (si la equivalente es menor) o en la

curva de Euler (si es menor la de transición).

La distancia entre costillas es 750 mm (capítulo 2.2).

58

e) Se utiliza la expresión de la parábola de Johnson y se ve que el esfuerzo es el que se ha

supuesto.

El esfuerzo crítico para los larguerillos en la sección 2 es:

5.2.1.3. Sección 3

Se realizará lo mismo que en la sección 2.

Primeramente se muestran las dimensiones del larguerillo en cuestión en la Tabla 23.


1 N 5.1 N·5.1

2 3.5 105

3 3.5 185.5

4 3.5 105

Tabla 23.-Dimensiones del larguerillo efectivo en la sección 3

Se obtienen a continuación los esfuerzos de crippling de cada segmento



El esfuerzo de crippling es:


Lo siguiente es el proceso de iteración. Como se ha hecho en la sección 2 se empezará

directamente con el esfuerzo conocido de antemano. Si se empieza con el esfuerzo de

crippling el número de iteraciones a realizar son tres.

59

1) ITERACIÓN 1

a) Se toma como esfuerzo supuesto:


Como es menor que la distancia entre larguerillos. Será la longitud escogida.

Los valores de áreas y momentos de inercia se muestran en la

c) Tabla 24, y han sido obtenidos de la misma manera que en la sección 1.


1 5.1 642 2.55 98827

2 3.5 105 6.85 6893

3 3.5 185.5 35.1 118723

4 3.5 105 63.35 245946

TOTAL 1038 14.95 470388

Tabla 24.- Dimensiones, áreas y momentos de inercia del larguerillo efectivo en la sección 3.

d) Con estos datos, la esbeltez equivalente resulta:

e) Se utiliza la expresión de la parábola de Johnson y se ve que el esfuerzo es el que se ha

supuesto.

El esfuerzo crítico para los larguerillos en la sección 3 es:

60

5.2.2. Cordón del larguero

A carga última no se debe producir crippling en el cordón del larguero.

En la sección 5.2.1 se ha utilizado el método de Needham modificado, en el cual se divide la

sección en segmentos. En este caso, el cordón del larguero es un perfil en L, por lo que es más

práctico utilizar el método de Needham (sin modificar), que utiliza angulares el lugar de

segmentos. Según el mismo, el esfuerzo de crippling será:

Expresión 18.- Esfuerzo de crippling mediante el método de Needham.

Figura 33.- Cordón de larguero.

En este caso las dimensiones de a y de b son las mismas (a=b; ta = tb), por lo que:

Expresión 19.- Crippling en el cordón del larguero para a=b.

CE es una constante que depende de los bordes libres que tenga el angular, en este caso

ambos. Por lo que CE = 0.316.

A diferencia del alma del larguero o el panel entre larguerillos, cuyos esfuerzos críticos se

estudian en los capítulos 0 y 5.2.4, la longitud b del cordón no está definida por las medidas del

avión, por lo que se puede cambiar. Por esto, se pode hacer que el esfuerzo de fallo por

crippling sea tremendamente grande con un perfil insignificante. Por ejemplo:

Si y . El área de este perfil es de 3 mm2. Sin embargo su esfuerzo de fallo

por crippling es:

61

Por ello cabe recordar que el área del cordón suele ser entre un 50 y un 100% mayor que la de

los larguerillos. Dicho esto, se hallan los esfuerzos críticos para las dimensiones seleccionadas

(capítulo 2.2.1).

Recordando las propiedades del material (4.MATERIALES):

En la Tabla 25 se muestran esfuerzos críticos del cordón de larguero en cada sección.

Sección 1 Sección 2 Sección 3

b (mm) 55 50.5 40.75

t (mm) 10 9.0 8.5

fallo 508 500 563 Tabla 25.- Esfuerzos de fallo por crippling de los codones de larguero.

En los tres casos el esfuerzo de fallo es mayor que el límite elástico, por lo que el esfuerzo

crítico del cordón de larguero será este último para toda el ala.

5.2.3. Alma del larguero

A carga última el alma del larguero no debe pandear a cortadura.

Un panel rectangular, sometido a un esfuerzo de cortadura pandea cuando alcanza el valor

(Ref. 8):

Expresión 20.- Esfuerzo crítico de pandeo de un panel por cortadura.

Donde ks dependerá de las dimensiones del panel y de sus condiciones de apoyo:

Expresión 21.- Constante ks, función de las dimensiones del panel y las condiciones de contorno.

Los valores de y dependen de si los bordes están empotrados o simplemente apoyados.

Borde a Borde b

S.A. S.A. 5.34 4

S.A. Empotrado 5.34 7.15

Empotrado S.A. 8.98 3.5

Empotrado Empotrado 8.98 5.6

Tabla 26.- Valores de y según las condiciones de contorno.

62

Para el estudio preliminar, se considera el larguero simplemente apoyado en todos sus bordes.

Esta es una consideración conservativa.

a

b

Figura 34.- Bordes del panel teórico.

La distancia a de la Figura 34 es la distancia entre costillas, mientras que b será la altura en la

sección elegida, en el larguero delantero o en el trasero.

En la Tabla 27 se muestran los resultados obtenidos utilizando la Expresión 20 y la Expresión

21.


RS FS RS FS RS FS

a 750 750 750 750 750 750

b 499 637 424 544 318 412

Ks 7.1 8.2 6.6 7.4 6.1 6.5

t 8.7 7.6 8.0 8.1 7.0 8.4

CR (MPa) 142 77 154 108 193 178

Tabla 27.- Esfuerzos cortantes máximos permitidos para que no haya pandeo a cortadura.

5.2.4. Panel entre larguerillos

Al 80% de la carga límite, no deben pandear por compresión los paneles entre larguerillos.

La expresión que nos da el esfuerzo crítico en este caso es:

Expresión 22.- Esfuerzo de pandeo de paneles sometidos a compresión.

Como se ha visto en casos anteriores, la constante, en este caso kc, depende de la geometría

del panel y de las condiciones de apoyo. En Ref. 7 encontramos los valores de esta constante

(Figura 35).

63

Figura 35.- Valores de kc para paneles de (a/b)>3. Copiado de Ref. 7

Para el panel entre larguerillos, “a” será la distancia entre costillas y “b” la distancia entre

larguerillos, por lo que estaremos dentro de los casos de paneles largos.

Teniendo en cuenta que:


b (mm) 189 189 189

t (mm) 8.9 7.1 5.1

fallo 581 370 191

En la sección 1 es mayor que el límite elástico, por lo que se usará este último.


fallo (MPa) 469 391 198

64

6. COMPARACIÓN DE ESFUERZOS

En este capítulo se comparan los esfuerzos obtenidos en el capítulo 3 debido a las cargas

aplicadas y los esfuerzos críticos que puede soportar cada elemento, calculados en el capítulo

5. Hay que tener en cuenta que el cambio de cualquier dimensión o espesor influye al

momento de inercia total y por lo tanto al esfuerzo aplicado.

La siguiente tabla muestra las principales dimensiones de cada elemento, el esfuerzo crítico y

el esfuerzo al que está sometido. Por último se comparan ambos dividiendo el crítico entre el

aplicado, debiendo ser este número mayor que 1.

SECCIÓN 1 t (mm) b (mm) Esf crítico Esf aplicado E crí / E apl

Intradós 8.9 - 259 256 1.01

Larguerillo 4.7 35 377 377 1.00

Cordón de larguero 10.0 60 469 385 1.22

Alma del larguero trasero 8.7 499 142 138 1.02

Alma del larguero delantero 7.6 637 77 74 1.03

Panel entre larguerillos 8.9 - 469 205 2.28


Intradós 7.1 - 259 256 1.01

Larguerillo 4.4 35 370 368 1.00






Intradós 5.1 - 259 237 1.09

Larguerillo 3.5 30 336 335 1.00





Tabla 28.- Resumen de esfuerzos aplicados y críticos en las 3 secciones.

Los esfuerzos aplicados han sido modificados respecto a los obtenidos en el capítulo 3

dependiendo de si la comparación con los esfuerzos críticos debe ser a carga límite (que es la

hallada), a carga última (un 50% mayor) u otro, como en el caso de panel entre larguerillos que

es un 80% de la carga límite.

El revestimiento superior e inferior son del mismo espesor para cumplir la condición de

simetría, por ello la condición que estudia el esfuerzo crítico entre larguerillos no resulta

restrictiva en este caso.

65

7. MODELO DE ELEMENTOS FINITOS En este capítulo se muestra el final del trabajo, el modelo de elementos finitos (FEM) realizado

en Patran (Ref. 11) y analizado en Nastran (Ref. 12). Después de realizar esto, se compararán

los esfuerzos calculados por Nastran con los esfuerzos críticos (ya sean de fallo, pandeo, etc.)

hallados en el capítulo 5 y se modificarán los espesores si hay algún esfuerzo mayor de los

deseado.

7.1. Geometría Lo primero es definir la geometría, que es una buena ayuda para crear más tarde los

elementos que formarán la estructura. Se utilizan las dimensiones explicados en el capítulo

2.2.

Primero se realiza lo que es el plano de simetría de la estructura, desde donde se parte para

obtener más tarde por proyección la geometría en los revestimientos. Como ayuda se crean 2

sistemas coordenados, 1 y 2. El 1 (en verde dentro del ala) es el que en el capítulo “Ejes” (3.1)

es el sistema coordenado 0. Patran guarda el cero para los ejes absolutos. El 2 (en rojo) sí que

coincide con lo mostrado anteriormente.

En la Figura 36 se muestra este plano simétrico, donde se ve que se utilizan planos por cada

costilla, darán las posiciones de las mismas en el cajón. La línea que aparece paralelo al

larguero delantero señala hasta donde llegarán los larguerillos.

Figura 36.- Geometría del plano de simetría del FEM.

El resultado después de una serie de proyecciones y uniones es la que se muestra en la Figura

37.

66

Figura 37.- Geometría completa del FEM.

7.2. Elementos Antes de empezar a enumerar los elementos y sus propiedades, hay que decir que se han

creado los dos materiales señalados en el capítulo 4 con los nombres de Al7075 y Al2024.

El Al7075 tiene de módulo de elasticidad 71016 MPa y su coeficiente de Poisson es 0.33.

El Al2024 tiene de módulo de elasticidad 73774 MPa y su coeficiente de Poisson es 0.33.

En Patran no se introducen unidades, pero introduciendo las longitudes en milímetros y las

fuerzas en Newton se obtiene el Mega Pascal como medida de esfuerzos.

Los larguerillos y los cordones de larguero se modelan con elementos unidimensionales CROD.

Estos elementos tienen dos nodos, uno en cada extremo, y soportan únicamente fuerza axial y

torsión axial, lo que hace que tenga dos grados de libertad. Una vez definidos los nodos,

únicamente hay que asignarle un material y un área.

Al ser los larguerillos del revestimiento inferior de diferente material que los del superior hay

que hacer dos propiedades diferentes, más otra para los cordones serán 3 por cada sección.

nUst (Upper stringer): Propiedad de los larguerillos superiores.

nLst (Lower stringer): Propiedad para los larguerillos inferiores.

ncordon: Propiedad para los cordones de larguero.

En la Tabla 29 se muestran las propiedades y sus características.

SECCIÓN 1 SECCIÓN 2 SECCIÓN 3

Prop 1Ust 1Lst 1cordon 2Ust 2Lst 2cordon 2Ust 2Lst 2cordon

Mat Al7075 Al2024 Al7075 Al7075 Al2024 Al7075 Al7075 Al2024 Al7075

Área 613.8 613.8 1100 577 577 909 396 396 693 Tabla 29.- Propiedades de la CROD del modelo.

67

Tanto las almas de los largueros como los revestimientos se utilizan elementos

bidimensionales CQUAD. Estos elementos planos están formados por 4 nodos y soportan

deformación plan y cargas de flexión y cortantes. En algunos puntos se han utilizado

elementos CTRIA3 por necesidad. Son básicamente lo mismo pero con 3 nodos, sin embargo

en algunas ocasiones pueden resultar excesivamente rígidos y dar picos de esfuerzos, como se

verá más adelante.

Las propiedades quedan definidas con el material y el espesor. Se necesitarán 4 propiedades

por cada sección, 2 para los largueros y 2 para los revestimientos.

nUC (Upper Cover) y nLC (Lower Cover) son las propiedades de los revestimientos superior e

inferior respectivamente.


Prop 1UC 1LC

1cordon

2UC 2LC

1cordon

3UC 3LC

1cordon Mat Al7075 Al2024

Al7075

Al7075 Al2024

Al7075

Al7075 Al2024

Al7075 t 8.9 8.9 8.0 8.0 7.0 7.0

Tabla 30.- Características de las propiedades de los revestimientos del FEM.

nFS (Front Spar) es la propiedad usada en el alma del laguero delantero y nRS para el trasero.


Prop 1FS 1RS

1cordon

2FS 2RS

1cordon

3FS 3RS

1cordon Mat Al7075 Al7075 Al7075 Al7075 Al7075 Al7075

t 7.6 8.7 8.1 8.0 8.4 7.0 Tabla 31.- Propiedades de los largueros en el FEM.

Las costillas son un caso particular. Se modelan como placa (CQUAD) y se refuerzan con

elementos barra (CROD) alrededor. Se puede ver en la Figura 38, las barras aparecen en rojo y

los QUADs en negro.

Figura 38.- Costilla 8 del FEM. Se ven los elementos placa y barra.

Las costillas no se predimensionan, por lo que se les ponen unas dimensiones lógicas. Esto es,

se utiliza el espesor del revestimiento superior para la placa y el área de los larguerillos para las

barras. Por lo que sirven las propiedades nUst y nUC. Se fabrican en aluminio 7075 como la

mayoría del cajón.

68

Por regla general hay un elemento entre costillas y larguerillos. Es decir, cada larguerillo estará

dividido en varios elementos y esa división está definida por su intersección con las costillas, o

a la inversa, como se aprecia en la Figura 38. Esto lleva a que se pueda hacer una numeración

lógica de los elementos. A continuación se presentan una serie de imágenes que ilustran lo

dicho.

Figura 39.- QUADs del revestimiento superior

En la Figura 39 se puede ver cómo el revestimiento está dividido en elementos según las

costillas y los larguerillos. También se puede observar la numeración: 6RBST. El 6 indica que

son elementos del revestimiento superior. RB es el número, con dos cifras, de la costilla que

está inmediatamente a la izquierda (hacia el encastre) del elemento y ST es el número del

larguerillo que tiene detrás (hacia el larguero trasero). Ver el Anexo. VII para más información

sobre la numeración de los elementos.

Los larguerillos han sido nombrados de atrás hacia adelante.

Figura 40.- Planta del FEM en la que se ven los elementos de larguerillos, cordones de larguero y costillas.

69

Figura 41.- FEM. Se muestran los larguerillos del intradós y los elementos QUAD de las almas de los largueros.

Para finalizar este capítulo se muestra una imagen en la que se puede observar lo que abarca

cada sección. La 1ª, en azul, hasta la cosilla 6, esta ya tendrá propiedades de la sección 2, que

se prolongará hasta la costilla 10 (verde), a la que se le asignan las propiedades de la sección 3

(rojo).

Figura 42.- Secciones señaladas en el cajón por colores según el espesor del revestimiento.

70

7.3. Cargas y condiciones de contorno Se ha modelado el ala derecha, por lo que habrá que aplicar una condición de simetría, aparte

de apoyar la estructura para crear lar reacciones oportunas que la sujeten. Primeramente se

explica cómo hacer la condición de simetría.

La simetría es respecto al plano X absoluto (CID 0). Por ello, no debe haber desplazamientos

respecto dicho eje ni giros respecto los otros dos para que los puntos se mantengan en el

plano descrito. Por esto, aplican estas restricciones en todos los nodos situados en el plano de

simetría. Se puede apreciar, en la Figura 43, coloreadas en azul las restricciones.

Figura 43.- Condiciones de contorno que simulan simetría.

Los números que aparecen indican que tipo de restricción imponen en ese nodo. 1, 2 y 3 son

desplazamientos transversales en los ejes X, Y, Z respectivamente. Mientras que 4, 5 y 6 son

restricciones de rotación en los ejes X, Y y Z. En la Figura 44 se muestra un detalle de lo

indicado.

Figura 44.- Detalle de la restricción de simetría.

71

Después de aplicar la condición de simetría, se colocan los apoyos. Estos irán en el encastre, y

se colocarán en las esquinas inferiores. Se en ambos puntos se restringirá el movimiento

vertical (número 3) y en uno de ellos el desplazamiento respecto el eje Y (paralelo al

encastre), esto es el número 2.

Figura 45.- FEM. Apoyos en el encastre

Una vez que está apoyado se introducirán las cargas, que como se vio en el capítulo 3.2 serán

una distribución de sustentación y la del momento de cabeceo. Para simularlas, lo que se hará

es colocar en cada costilla (delante y atrás) una fuerza y un momento, cuya resultante en la

costilla esté en la línea c/4 y la suma total de todas sea la el total de la distribución:

Lo primero será saber cuánta fuerza hay que fuerza hay que “colocar” en cada costilla. Para

ello se mira la posición de cada costilla respecto la línea c/4 (recordemos el sistema de ejes 4,

capítulo 3.1). Su posición en X4respecto X2 será:

Como se dijo en el capítulo 2.2.1, la distancia entre costillas es de 750 mm, exceptuando las

dos primeras. La siguiente imagen ilustra la Tabla 32, donde se muestra la cantidad de

distribución que abarca cada costilla y el valor de la distribución en cada punto.

Figura 46.- Geometría para distribuir las fuerzas y los momentos en el FEM.

72

Lo que en la tabla se llama “X 4 anterior” se refiere al punto medio entre la costilla en cuestión

y la inmediatamente anterior.

b es la distancia de la distribución que abarca la costilla, mientras que L1 es el valor de la

distribución en “X 4 anterior”.

Costilla X 2 X 4 X 4 anterior b L1 L

1 -372 62 0 390 81.3 26450

2 162 594 328 640 80.0 50342

3 912 1342 968 748 77.4 56687

4 1662 2089 1716 748 74.3 54398

5 2412 2837 2463 748 71.2 52110

6 3162 3585 3211 748 68.2 49821

7 3912 4332 3958 748 65.1 47532

8 4662 5080 4706 748 62.0 45244

9 5412 5828 5454 748 59.0 42955

10 6162 6575 6201 748 55.9 40667

11 6912 7323 6949 748 52.9 38378

12 7662 8070 7697 748 49.8 36089

13 8412 8818 8444 748 46.7 33801

14 9162 9566 9192 748 43.7 31512

15 9912 10313 9940 748 40.6 29224

16 10662 11061 10687 748 37.6 26935

17 11412 11809 11435 748 34.5 24646

18 12162 12556 12182 748 31.4 22358

19 12912 13304 12930 1166 28.4 30291

punta 14096 14096 23.6 Tabla 32.- Resultante de fuerzas (L) que hay que aplicar en cada costilla en el FEM.

Recordando lo dicho en el capítulo 3.3, L1 es:

Por lo que:

Una vez hallada la fuerza en cada costilla, hay que descomponerla en 2 cuya resultante esté

sobre la línea c/4.

Para ver donde se encuentra la línea c/4 respecto el larguero trasero se utiliza lo visto en el

capítulo 3.4, Figura 25. Ahí se concluyó que la distancia entre el larguero trasero y la línea c/4,

medida paralela a las costillas es:

73

Teniendo también la distancia entre los largueros (Figura 25):

Teniendo en cuenta que F1 se sitúa en el larguero trasero y F2 en el delantero se calculan

haciendo:

Para obtener los momentos de cabeceo se utilizará el mismo método que en el capítulo 3.2, es

decir, se hacen proporcionales a las fuerzas de sustentación. Así:

Siendo .

Los momentos se colocan sobre el eje X2 y así se sigue el mismo criterio que se utilizó para el predimensionado. En realidad debería seguir el borde de ataque, puesto que la componente efectiva de la velocidad es perpendicular al mismo, pero hacerlo de este otro modo resulta conservativo, ya que ponerlo paralelo al borde de ataque crearía un momento flector, contrario al que produce distribución de sustentación, aunque casi despreciable (del orden de un 1%), y el momento torsor para las costillas sería algo menor.

En la Figura 47 se puede ver la cantidad de fuerza que va en cada nodo. Se puede apreciar que en la costilla 1 hay menos fuerza a pesar de que la distribución tiene un valor mayor, ya que el espacio entre ella y la segunda y el encastre (b en la Tabla 32) es menor que en los demás puntos. El caso inverso es la punta, donde la última costilla abarca un poco más de lo habitual y por ello la curva “pica” hacia arriba.

Figura 47.- Gráfico con la fuerza que se pone en cada nodo.

En la Tabla 33 se muestran los resultados de las operaciones y por lo tanto los valores de fuerzas y momentos que se han usado en el modelo.

74

Costilla L c/4 - RS FS - RS F1 F2 M1 M2

1 26450 849 1038 4815 21635 -3382831 -15199269

2 50342 1470 2001 13360 36982 -9386284 -25981377

3 56687 1410 1921 15071 41616 -10587834 -29237427

4 54398 1351 1841 14490 39909 -10179711 -28037684

5 52110 1291 1761 13909 38201 -9771648 -26837883

6 49821 1231 1681 13328 36493 -9363651 -25638013

7 47532 1171 1601 12748 34785 -8955733 -24438067

8 45244 1112 1520 12167 33077 -8547904 -23238030

9 42955 1052 1440 11587 31369 -8140179 -22037889

10 40667 992 1360 11006 29660 -7732579 -20837624

11 38378 932 1280 10427 27951 -7325124 -19637213

12 36089 872 1200 9847 26243 -6917845 -18436626

13 33801 813 1120 9267 24533 -6510780 -17235826

14 31512 753 1040 8688 22824 -6103978 -16034763

15 29224 693 959 8110 21114 -5697505 -14833371

16 26935 633 879 7532 19403 -5291450 -13631560

17 24646 574 799 6955 17692 -4885940 -12429205

18 22358 514 719 6378 15979 -4481156 -11226123

19 30291 454 639 8760 21531 -6154125 -15126624

TOTAL 739440

197845 541595 -138995237 -380495592

Tabla 33.- Fuerzas y momentos nodales en el FEM.

En la Figura 49 y la Figura 48 se pueden ver los valores de fuerzas y momentos introducidos en

Patran, que corresponden a los de la Tabla 33, y los nodos donde se han aplicado

Figura 48.- Fuerzas y momentos en el larguero trasero y en la costilla 1 (F1 y M1).

75

Figura 49.- Fuerzas y momentos correspondientes al larguero delantero (F2 y M2).

En la Figura 50 se muestran las reacciones verticales en los apoyos (nodos 28080 y 28090) para

comprobar si la resultante de fuerzas introducidas en el modelo corresponde con la

distribución de sustentación hallada en el capítulo 3.2.

Figura 50.- FEM. Reacciones en los apoyos.

Las reacciones son 1227796N negativos y 488354N hacia arriba. Así:

La reacción total es de 739422N verticales y hacia abajo. La distribución de sustentación tenía una resultante de 739440N, por lo que la desviación es de 2N, y seguramente sea debida a los decimales. Se considera que los datos introducidos son correctos.

76

7.4. Análisis NASTRAN Se realiza el análisis con el programa Nastran (Ref. 12), obteniendo esfuerzos que se comparan

con las condiciones explicadas en el capítulo 5. Se van analizando cada uno de los elementos.

La Tabla 34 muestra los esfuerzos máximos en cada sección obtenidos en el primer análisis,

mientras que el Anexo. VIII los ilustra.

Para los elementos placa, donde se puede obtener el esfuerzo a un lado y a otro de la misma,

se ha tomado para hacer la comparación el mayor de los dos.

Carga Sección 1 Sección 2 Sección 3

RS patran CU 203 93 95

CR RS 142 154 193

FS patran CU 50 38 23

CR FS 77 108 178

cover patran 0.8·CL 247 247 158

CR revestimiento sup 469 370 191

cordón patran CU 452 371 354

CR cordón 469 469 469

str patran CU 375 348 338

CR str 377 370 336

revestimiento intradós patran CL 657 607 531

CR intradós 259 259 259

larguerillos intr patran CL 252 233 227


cordón intr patran CL 281 238 230

CR int cover 259 259 259

Tabla 34.- Resultados del primer análisis en Nastran. Esfuerzos máximos.

En verde y en azul aparecen los esfuerzos máximos calculados por Nastran, mientras que en

rojo claro se muestra el esfuerzo máximo permitido.

En los casos de carga última el esfuerzo obtenido de Nastran se ha multiplicado por 1.5,

mientras que para comprobar el pandeo del revestimiento se aplica un factor de 0.8.

Cabe destacar dos cosas. La primera, el gran esfuerzo que aparece en todo el revestimiento

inferior contiguo al larguero delantero (Figura 67). Esto es debido al momento Aún así, el

espesor se muestra totalmente insuficiente y habrá que modificarlo.

77

Por otro lado los esfuerzos cortantes son menores más cerca de la punta. Esto no coincide con

lo calculado en el capítulo 0, donde se utilizó el procedimiento habitual descrito en la Ref. 6. En

ese caso los esfuerzos de la sección 3 eran muy grandes debido a que el momento de inercia

era casi diez veces menor que en la sección 1. Por ello se bajarán los espesores de las almas de

larguero en las secciones 2 y 3. No así la de la sección 1, que se ve más ajustada o insuficiente,

como en el caso del larguero trasero.

Hay que tener en cuenta que subir el espesor en la sección 3 afectará a las demás secciones y

componentes adyacentes por la redistribución de los esfuerzos. Por ello, antes de decidir los

nuevos espesores se han realizado una serie de pruebas que no aparecen en este documento.

Después de esto, los cambios han sido los siguientes:

PRIMER ANÁLISIS CAMBIOS SEGUNDO ANÁLISIS

Datos S 1 S 2 S 3 S 1 S 2 S 3 S 1 S 2 S 3

t alma RS 8.7 8.0 7.0 +20% -15% -20% 10.4 6.8 5.6

t alma FS 7.6 8.1 8.4 - -30% -50% 7.6 5.7 4.2

t up cover 8.9 7.1 5.1 - - +7.8% 8.9 7.1 5.5

t low cover 8.9 7.1 5.1 +102% +111% +154% 18.0 15.0 13.0

b cordón 60 55 45 - - - 60.0 55.0 45.0

t cordón 10 9 8.5 +30% - - 13.0 9.0 8.5

b stringer 35 35.0 30.0 - - - 35.0 35.0 30.0

t stringer 4.7 4.4 3.5 - - +0.2 4.7 4.4 0.7 Tabla 35.- Cambios en las propiedades del modelo después del primer análisis.

El espesor del revestimiento superior se ha aumentado un poco, ya que se comprobó que el

modelo daba problemas si los espesores eran muy diferentes entre las secciones, sobre todo

en las zonas donde las fuerzas y momentos están aplicados.

Además se han obtenido en algunos elementos tria unos esfuerzos muy altos comparados con

los elementos adyacentes como se puede ver en la Figura 93. En estos casos no se han tenido

en cuenta dicho esfuerzo.

78

Los resultados del segundo análisis utilizando los datos presentados en la Tabla 36, junto con la

modificación de los esfuerzos máximos permitidos para los nuevos espesores. Se han realizado

utilizando los mismos procedimientos que en el capítulo 5.

Carga Sección 1 Sección 2 Sección 3

RS patran CU 164 102 116

CR RS 204 112 123

FS patran CU 35 47 33

CR FS 77 53 45

cover patran 0.8·CL 435 251 203

CR revestimiento sup 469 370 222

cordón patran CU 416 356 363

CR cordón 469 469 469

str patran CU 347 333 336

CR str 377 370 351

revestimiento intradós patran CL 215 195 229


larguerillos intr patran CL 146 124 127


cordón intr patran CL 165 131 131

CR int cover 259 259 259

Tabla 36.- Comparación de esfuerzos del segundo análisis.

Como se ve todos los esfuerzos obtenidos son menores que los que se han considerado los

máximos permitidos en cada elemento, por lo que se puede dar por terminado el modelo de

elementos finitos de la estructura del DC-9-30.

Para terminar, se muestra una imagen de la deformación que causa el caso de carga que se ha

venido utilizando durante todo el proceso.

Figura 51.- Deformación del cajón obtenida con el modelo.

79

8. COMPARACIÓN DE NASTRAN CON TEORÍAS ELEMENTALES A continuación se compararán los resultados calculados en el capítulo 3 usando las teorías

elementales, con los obtenidos mediante la utilización de NASTRAN (capítulo 7).

8.1. Esfuerzos normales

8.1.1. Sección 1.

Se sitúa a 500 mm del encastre, lo que lo sitúa entre las costillas 2 y 3. Según lo visto en el

capítulo 3.3.1 el esfuerzo máximo al que está sometida la sección 1 es 256 MPa en el punto

más alejado del eje de simetría de la sección, esto es, en el cordón del larguero delantero.

Esto, hallado en la línea media del revestimiento. Los 256 MPa son tanto para tracción en el

revestimiento inferior como para compresión (negativo) para el superior.

NASTRAN da la posibilidad de obtener esfuerzos por encima y por debajo de la línea media,

habiendo en ocasiones una diferencia importante entre estos. Lo que más se acerca a lo

hallado según las teorías elementales es la media de estos dos valores.

En el revestimiento inferior es donde más se nota la diferencia entre estos valores, sobre todo

en los elementos adyacentes al larguero delantero, donde el valor de las fuerzas y momentos

aplicados es mayor. En las siguientes figuras se puede ver esa diferencia.

Figura 52.- Esfuerzos en Z1.

Figura 53.- Esfuerzos en Z2.

Figura 54.- Esfuerzos medios.

1

3

5

80

El esfuerzo máximo medio en el revestimiento es de 275 MPa, mientras que de los cordones

de larguero o larguerillos son 265 MPa y 245 MPa respectivamente. Comparado con el hallado

con teorías elementales (256MPa), en las cercanías al larguero se quedaría un poco corto. Pero

queda la duda de saber hasta qué punto es o no por la cercanía de las fuerzas y momentos

nodales. Se halla el esfuerzo en el larguerillo nº 5, para saber que sucede ahí. Tomando la

altura de la Tabla 2 y los datos del capítulo 3.3.1:

En el modelo, el larguerillo está sometido a un esfuerzo de 227MPa, mientras que en los

elementos del revestimiento a un lado y a otro aparecen unos esfuerzos de 231 y 233MPa

respectivamente. En este caso la desviación es más pequeña.

Figura 55.- Esfuerzos en el revestimiento superior en la bahía 1-2.

En el revestimiento superior los esfuerzos son de 273MPa en el revestimiento cercano al

larguero delantero 276 MPa en el cordón, ambos a compresión. En el larguerillo 5, el esfuerzo

es de 225MPa y 230 y 231MPa en los elementos adyacentes. Bastante parecido a lo hallado

anteriormente.

Aparece un valor de 292MPa. Esto puede ser debido a la ausencia de larguerillo en esa zona,

ya que el último larguerillo acaba justo a la izquierda del elemento. También puede influenciar

la geometría del elemento, que sus ángulos no sean de 90º.

81

8.1.2. Sección 2

La sección 2 está a 2900mm del encastre, por lo que se sitúa entre las costillas 5 y 6, pero

bastante más próxima a esta última, por ello, como se vio anteriormente (Figura 42) las

propiedades de la sección 2 van de la costilla 6 a la 10. Así pues hay que comparar el esfuerzo

con los obtenidos en la bahía 6-7. Como se ha hecho con la sección 1, se comparan los valores

con la media entre la parte superior e inferior del elemento, ya que sigue existiendo una gran

diferencia entre los esfuerzos de cada lado de la placa cerca del larguero delantero.

El valor máximo de tracción hallado en el capítulo 3.3.2, es:

Como se puede apreciar en la siguiente figura, el valor máximo de esfuerzos en el

revestimiento es de 243MPa, mientras que se reduce hasta 238 y 235MPa en el cordón de

larguero y los larguerillos respectivamente.

El cuarto larguerillo está sometido a un esfuerzo, según las teorías elementales, de:

Algo mayor que lo que aparecen en el análisis de elementos finitos (221MPa). Aún así, cabe

recordar que el centro de los elementos está a unos 600mm más allá de donde se calculó la

sección teóricamente.

Figura 56.- Esfuerzos medios del revestimiento inferior en la zona de la sección 2.

Algo parecido sucede en el revestimiento superior, donde los esfuerzos máximos son:

240MPa en el revestimiento.

247MPa en el cordón del larguero delantero

232MPa en el larguerillo

82

Figura 57.- Esfuerzos medios del revestimiento superior en la zona de la sección 2.

En el 4º larguerillo el valor del esfuerzo de compresión es de 219MPa, mientras que los

esfuerzos en el revestimiento contiguo son 215 y 221MPa. Al igual que en el revestimiento

inferior, el esfuerzo del FEM resulta algo inferior.

8.1.3. Sección 3

Se sitúa a 6300mm, esto es, entre las costillas 10 y 11. Como se vio en el capítulo 3.3.3, el

esfuerzo máximo en la sección según lo calculado mediante las teorías elementales es:

Figura 58.- Esfuerzos normales hallados en NASTRAN en la zona de la sección 3 del revestimiento inferior.

83

Volviendo a utilizar el esfuerzo medio del elemento, el esfuerzo máximo de tracción, según el modelo, en el revestimiento inferior es 234MPa, 230 en el cordón del larguero delantero y 227MPa en los larguerillos. No queda muy lejos de lo hallado mediante teorías elementales, que es un poco mayor.

En el larguerillo nº3, las teorías elementales asignan al larguerillo un esfuerzo de:

Resulta exactamente igual que en el modelo, como se puede comprobar en la Figura 58. Los esfuerzos que aparecen a un lado y a otro del larguerillo son de 217 y 225MPa.

Figura 59.- Esfuerzos en el revestimiento superior. Zona que abarca la sección 3.

El esfuerzo máximo en el revestimiento superior es 231MPa a compresión, cercano a los 237MPa obtenidos en el capítulo 3.3.3. En el cordón del larguero delantero aparece un esfuerzo de 236MPa, mientras que el esfuerzo máximo en un larguero es 225MPa, y no es en el más cercano al larguero delantero.

Comparándolo con el resultado en el tercer larguero, el resultado es muy similar, 214MPa en el modelo de elementos finitos frente a los 216MPa de las teorías elementales.

Los resultados se parecen más al acercarse a la punta. Esto puede ser debido a que los apoyos crear una redistribución de esfuerzos que no se tiene en cuenta en las teorías utilizadas. Aún así el error no es demasiado grande y no deja de ser conservativo.

Esto si se tiene en cuenta la línea media de los elementos, ya que se ha visto que debido a los momentos de cabeceo aplicados nodalmente, los esfuerzos cerca de estos nodos son muy diferentes por encima y por debajo de la línea media.

84

8.2. Esfuerzos cortantes Antes de empezar, decir que los esfuerzos cortantes obtenidos con NASTRAN no se parecen

absolutamente en nada a los calculados mediante las teorías elementales. No se ha

conseguido encontrar ni fallo ni explicación a este hecho.

En las teorías elementales, los esfuerzos cortantes eran mayores en las secciones 2 y 3 que en

la 1. Esto, en principio poco lógico, se achacaba a la disminución del momento de inercia de la

sección 3, que no era compensada por la disminución de la fuerza y el momento resultantes

que tenía que soportar la sección. En la Figura 13 se mostraba un gráfico con la diferencia de

los momentos flectores entre las secciones. En el gráfico siguiente se muestra la división entre

la fuerza cortante y el momento de inercia de cada sección, factor muy importante en el

cálculo de esfuerzos ya que está presente en el teorema de flujo cortante.

Expresión 9.- Teorema del flujo cortante.

El valor de esta constante es casi seis veces mayor en la sección 3 que en la 1.

Figura 60.- Comparación de FZ/IY para las diferentes secciones.

Este hecho se puede apreciar en el modelo en los resultados del larguero trasero, donde en las costillas 6 y 10 el elemento más cercano a la punta está sometido a un esfuerzo mayor que su predecesor. Pero parece ser más a causa de la disminución del espesor del larguero mismo que del momento de inercia de la sección en sí. Ya que en el larguero delantero, cuyo espesor es mayor en la sección 3 que en sus anteriores, este hecho no se da. Disminuyendo los esfuerzos cortantes desde el revestimiento hasta la punta.

Espesores (mm) Sección 1 Sección 2 Sección 3

Alma larguero trasero 8.7 8.0 7.0

Alma larguero delantero 7.6 8.1 8.4 Tabla 37.- Espesores de las almas de los largueros en cada seción.

85

A continuación se presentan los resultados obtenidos en el larguero trasero. Se puede observar la diferencia entre los dos métodos, así como los “saltos” de esfuerzos en las costillas indicadas que se han descrito anteriormente.

Esfuerzo cortante máximo (MPa) Sección 1 Sección 2 Sección 3

Teorías elementales 92.2 101.7 123

Modelo de elementos finitos 74 62 63

Tabla 38.- Esfuerzos cortantes máximos del larguero trasero.

Figura 61.- Esfuerzos cortantes en las almas del larguero trasero obtenidas mediante NASTRAN.

La diferencia en el larguero delantero es incluso mayor, como se puede observar en la

siguiente tabla.

Esfuerzo cortante máximo (MPa) Sección 1 Sección 2 Sección 3

Teorías elementales 49.5 71.6 119.1

Modelo de elementos finitos 33 25 15

Tabla 39.- Esfuerzos cortantes máximos del larguero trasero hallados según las teorías elementales.

86

En la figura se puede observar como los esfuerzos disminuyen gradualmente hasta la punta,

donde el último elemento tiene un esfuerzo 5 veces mayor a su predecesor, algo que no

sucede en el larguero trasero. De hecho es el único elemento del larguero delantero con un

esfuerzo mayor que su equivalente.

Figura 62.- Esfuerzos cortantes en el larguero delantero obtenidos con NASTRAN.

87

9. CONCLUSIONES El predimensionado ha resultado casi satisfactorio, ya que se han obtenido muy buenas

aproximaciones de los esfuerzos normales en cada sección, a excepción del revestimiento

inferior en zonas próximas al larguero delantero (más allá del último larguerillo). Esto ha sido

debido a los momentos de cabeceo y la forma de modelarlos. Estos momentos (momento

torsor) no se tenían en cuenta a la hora de estudiar los esfuerzos normales, ya que parecía que

solamente afectaban a los esfuerzos cortantes. Sin embargo se ha visto como han creado unos

grandes esfuerzos en su área de influencia, creando diferencias entre un lado del

revestimiento y otro.

El momento de cabeceo aumenta el momento de reacción respecto del eje Y global cerca del

larguero delantero, como se puede observar en el ¡Error! No se encuentra el origen de la

referencia., lo que se traduce en un aumento de los esfuerzos normales y en la diferencia

entre una parte y otra de las placas.

Figura 63.- El aumento del momento de reacción en el eje Y supone un aumento del esfuerzo normal.

Visto esto, puede ser que esta no sea la mejor manera para modelar una serie de momentos.

Por otro lado, los esfuerzos cortantes tampoco han resultado bien dimensionados. Como ya se

ha explicado, los resultados de la teoría elemental tienen lógica, debido a la disminución del

momento flector, pero esto no se visto en los resultados de NASTRAN, teniendo que hacer las

correcciones oportunas.

88

Anexo. I Tabla de alturas del cajón completo

Nº larguerillo X2

Y2 0 500 1038 2076 2900 4152 5190 6300 7266 8305 9343 10381 11419 12457 13495

Rear Spar 0 257 249 241 225 212 192 176 159 144 127 111 95 79 63 46

1 264 267 259 250 234 221 202 185 168 153 137 120 104 88 72 55

2 453 273 265 257 241 228 208 192 175 159 143 127 111 94 78 62

3 642 280 272 264 247 234 215 199 181 166 150 133 117

4 831 286 279 270 254 241 221 205 188 173 156 140

5 1020 293 285 277 261 248 228 212 194 179

6 1209 300 292 283 267 254 235 218

7 1398 306 298 290 274 261

8 1587 313 305 297 280

9 1776 320 312

Front Spar 1965 328 318 308 288 272 248 227 206 187 167 147 127 107 87 67

Tabla 40.- Altura del revestimiento en todo el cajón.

89

Anexo. II Esfuerzos normales en elementos sometidos a flexión

Figura 64.- Copiado de Ref. 6.

Si los ejes son principales de inercia entonces Iyz = 0, por lo que M’y = My.

Si además Mz = 0, la expresión resultante es la indicada en la sección 2.2.1.1:

Anexo. III Conversión SI, sistema anglosajón

SI Anglosajón

0.3048 m 1 ft

0.45359 Kg 1 lb

0.51444 m/s 1 nudo

14.5939 Kg 1 slug

90

Anexo. IV Unidades del factor de carga

Variables Unidades

g ft/s2

CMG ft

(slug/ft3)

CL Rad-1

W/S psf(lb/ft2)

Ude fps(ft/s)

Ve nudos

Anexo. V Tabla de inercias de las secciones

a) Sección 1

ID elem b (mm) t (mm) z2(cg elem) Beta A (mm 2) Iy cg_elem A*Z3^2 Iy CG

RS 499 8.7 0 90 4341 9.01E+07 0 9.01E+07

FS 637 7.6 0 90 4838 1.63E+08 0 1.63E+08

UC 1967 8.9 283.9 2.01 17508 6.91E+06 1.41E+09 1.42E+09

LC 1967 8.9 -283.9 -2.01 17508 6.91E+06 1.41E+09 1.42E+09

RS-UC 60 10.0 249.5

1100 0 6.85E+07 6.85E+07

RS-LC 60 10.0 -249.5

1100 0 6.85E+07 6.85E+07

FS-UC 60 10.0 318.3

1100 0 1.11E+08 1.11E+08

FS-LC 60 10.0 -318.3 1100 0 1.11E+08 1.11E+08

U1 35 4.7 258.7

614 0 4.11E+07 4.11E+07

U2 35 4.7 265.3

614 0 4.32E+07 4.32E+07

U3 35 4.7 272.0

614 0 4.54E+07 4.54E+07

U4 35 4.7 278.6

614 0 4.76E+07 4.76E+07

U5 35 4.7 285.2

614 0 4.99E+07 4.99E+07

U6 35 4.7 291.8

614 0 5.23E+07 5.23E+07

U7 35 4.7 298.4

614 0 5.47E+07 5.47E+07

U8 35 4.7 305.0

614 0 5.71E+07 5.71E+07

U9 35 4.7 311.7

614 0 5.96E+07 5.96E+07

L1 35 4.7 -258.7

614 0 4.11E+07 4.11E+07

L2 35 4.7 -265.3

614 0 4.32E+07 4.32E+07

L3 35 4.7 -272.0

614 0 4.54E+07 4.54E+07

L4 35 4.7 -278.6

614 0 4.76E+07 4.76E+07

L5 35 4.7 -285.2

614 0 4.99E+07 4.99E+07

L6 35 4.7 -291.8

614 0 5.23E+07 5.23E+07

L7 35 4.7 -298.4

614 0 5.47E+07 5.47E+07

L8 35 4.7 -305.0

614 0 5.71E+07 5.71E+07

L9 35 4.7 -311.7 614 0 5.96E+07 5.96E+07

Suma 59643.3685

TOTAL 4.35E+09

Tabla 41.- Tabla de inercias de cada elemento y totales de la sección 1 (2.2.1.1).

91

b) Sección 2


RS 424 8 0 90 3391 5.08E+07 0 5.08E+07

FS 544 8.1 0 90 4403 1.08E+08 0 1.08E+08

UC 1715 7.1 241.9 2.00 12174 3.63E+06 7.12E+08 7.16E+08

LC 1715 7.1 -241.9 -2.00 12174 3.63E+06 7.12E+08 7.16E+08

RS-UC 55 9.0 212.0 0 909 0 4.08E+07 4.08E+07

RS-LC 55 9.0 -212.0 0 909 0 4.08E+07 4.08E+07

FS-UC 55 9.0 271.8 0 909 0 6.72E+07 6.72E+07

FS-LC 55 9.0 -271.8 0 909 0 6.72E+07 6.72E+07

U1 35 4.4 221.2 0 577.3 0 2.82E+07 2.82E+07

U2 35 4.4 227.8 0 577.3 0 3.00E+07 3.00E+07

U3 35 4.4 234.4 0 577.3 0 3.17E+07 3.17E+07

U4 35 4.4 241.0 0 577.3 0 3.35E+07 3.35E+07

U5 35 4.4 247.6 0 577.3 0 3.54E+07 3.54E+07

U6 35 4.4 254.2 0 577.3 0 3.73E+07 3.73E+07

U7 35 4.4 260.8 0 577.3 0 3.93E+07 3.93E+07

L1 35 4.4 -221.2 0 577.3 0 2.82E+07 2.82E+07

L2 35 4.4 -227.8 0 577.3 0 3.00E+07 3.00E+07

L3 35 4.4 -234.4 0 577.3 0 3.17E+07 3.17E+07

L4 35 4.4 -241.0 0 577.3 0 3.35E+07 3.35E+07

L5 35 4.4 -247.6 0 577.3 0 3.54E+07 3.54E+07

L6 35 4.4 -254.2 0 577.3 0 3.73E+07 3.73E+07

L7 35 4.4 -260.8 0 577.3 0 3.93E+07 3.93E+07

Suma 43862

TOTAL 2.28E+09

Tabla 42.- Tabla de inercias de cada elemento y totales de la sección 2. Capítulo 2.2.1.2

92

c) Sección 3


RS 318 7.7 0 90 2446 2.06E+07 0 2.06E+07

FS 412 7.7 0 90 3172 4.48E+07 0 4.48E+07

UC 1357 5.2 182.4 1.99 7057 1.31E+06 2.35E+08 2.36E+08

LC 1357 5.2 -182.4 -1.99 7057 1.31E+06 2.35E+08 2.36E+08

RS-UC 45 8 158.8 0 656 0 1.65E+07 1.65E+07

RS-LC 45 8 -158.8 0 656 0 1.65E+07 1.65E+07

FS-UC 45 8 205.9 0 656 0 2.78E+07 2.78E+07

FS-LC 45 8 -205.9 0 656 0 2.78E+07 2.78E+07

U1 30 3.4 168.0 0 384.9 0 1.09E+07 1.09E+07

U2 30 3.4 174.6 0 384.9 0 1.17E+07 1.17E+07

U3 30 3.4 181.1 0 384.9 0 1.26E+07 1.26E+07

U4 30 3.4 187.7 0 384.9 0 1.36E+07 1.36E+07

U5 30 3.4 194.3 0 384.9 0 1.45E+07 1.45E+07

L1 30 3.4 -168.0 0 384.9 0 1.09E+07 1.09E+07

L2 30 3.4 -174.6 0 384.9 0 1.17E+07 1.17E+07

L3 30 3.4 -181.1 0 384.9 0 1.26E+07 1.26E+07

L4 30 3.4 -187.7 0 384.9 0 1.36E+07 1.36E+07

L5 30 3.4 -194.3 0 384.9 0 1.45E+07 1.45E+07

Suma 26204

TOTAL 7.53E+08

Tabla 43.- Tabla de inercias de cada elemento y totales de la sección 2.

Anexo. VI Coeficiente de momentos de cabeceo.

93

Figura 65.- Valor típico del coeficiente de momento de cabeceo. Copiado de Roskam. Part VI (Ref. 9).

Anexo. VII Numeración de los elementos en Patran Todos los elementos, ya sean CROD, CQUAD o CTRIA han sido numerados para que se pueda

saber de qué tipo de elemento se trata y donde está situado. Un elemento tendrá 5 cifras y

será del tipo: n RBST. Donde n indica que tipo de elemento se trata (larguerillo, revestimiento,

etc.) y si está en la parte superior o inferior del cajón. En la Tabla 44 se muestra qué es cada

número.

RB indica la costilla que está hacia el lado del encastre y ST indica el larguerillo que está yendo

hacia el larguero trasero, ambos siempre con dos cifras.

Hay que tener en cuenta que el larguerillo 1 se ha situado al lado del larguero trasero.

n Componente

1 Barra inferior de una costillas

2 Barra superior de una costilla

3 Barra de las costillas en un larguero

4 QUAD de la costilla

5 QUAD en alma de larguero

6 QUAD del revestimiento superior

7 QUAD del revestimiento inferior

8 Larguerillo del extradós

9 Larguerillo del intradós

Tabla 44.- Significado del primer número de los ID de los elementos.

94

Figura 66.- Ejemplo de la numeración de los QUADs en el revestimiento superior.

Para los nodos es lo mismo, siendo n=1 para la parte superior y n =2 para la parte inferior del

cajón.

Los largueros se consideran como “larguerillos” 80, el trasero, y 90, el delantero. Así, el eje de

simetría es considerado como la “costilla” 70, el encastre la 80 y 90 la punta.

Mientras que los elementos tria que están cerca, bien del encastre o del larguero delantero

serán 81 o 91.

95

La última excepción son los lugares donde hay 2 QUADs dentro de la misma bahía (entre dos

costillas), como sucede en la figura siguiente con los elementos 61602 y 61612. En ese caso el

más cercano a la punta se le sumará 10. Como no hay más de 9 larguerillos no hay solape

posible.

Figura 39.- QUADs del revestimiento superior. Copiado del capítulo 7.2 Elementos

61602

96

Anexo. VIII Imágenes del primer análisis Nastran

Primer análisis. Revestimiento inferior. x (MPa)

Figura 67.- Primer análisis Nastran. Revestimiento inferior. Sección 1. Figura 68.- Primer análisis Nastran. Revestimiento inferior. Sección 2.

Figura 69.- Primer análisis Nastran. Revestimiento inferior. Sección 3.

97

Primer análisis. Revestimiento superior. x (MPa)

Figura 71.- Primer análisis. Revestimiento superior. Sección 1. Figura 70.- Primer análisis. Revestimiento superior. Sección 2.

Figura 72.- Primer análisis. Revestimiento superior. Sección 3.

98

Primer análisis. Larguerillos inferiores. x (MPa).

Figura 75. Primer análisis. Larguerillos inferiores. Sección 1.

Figura 73.-Primer análisis. Larguerillos inferiores. Sección 2.

Figura 74Primer análisis. Larguerillos inferiores. Sección 3.

99

Primer análisis. Larguerillos superiores. x (MPa).

Figura 77.- Primer análisis. Larguerillos superiores. Sección 1.



100

Primer análisis. Cordones de larguero. x (MPa).

Figura 81.- Primer análisis. Cordones de larguero. Sección 1.



101

Primer análisis. Alma del larguero delantero. yz (MPa).

Figura 84.- Primer análisis. Alma del larguero delantero. Sección 1. Figura 82.- Primer análisis. Alma del larguero delantero. Sección 2.

Figura 83.- Primer análisis. Alma del larguero delantero. Sección 3.

102

Primer análisis. Alma del larguero trasero. yz (MPa).

Figura 87.- Primer análisis. Alma del larguero trasero. Sección 1.

Figura 85. - Primer análisis. Alma del larguero trasero. Sección 2

Figura 86.- Primer análisis. Alma del larguero trasero. Sección 3.

103

Anexo. IX Imágenes del segundo análisis Nastran

Segundo análisis. Revestimiento inferior. x (MPa).

Figura 88.- Segundo análisis. Revestimiento inferior. Sección 1.

Figura 90.- Segundo análisis. Revestimiento inferior. Sección 2.

Figura 89 .- Segundo análisis. Revestimiento inferior. Sección 3.

104

Segundo análisis. Revestimiento superior. x (MPa).

Figura 91.- Segundo análisis. Revestimiento superior. Sección 1. Figura 94.- Segundo análisis. Revestimiento superior. Sección 2.

Figura 92.- Segundo análisis. Revestimiento superior. Sección 3. Figura 93.- Detalle del pico de esfuerzos producido por al presencia de un elemento tria.

105

Segundo análisis. Larguerillos superiores. x (MPa).

Figura 97.- Segundo análisis. Larguerillos superiores. Sección 1. Figura 95.- Segundo análisis. Larguerillos superiores. Sección 2.

Figura 96.- Segundo análisis. Larguerillos superiores. Sección 3.

106

Segundo análisis. Larguerillos inferiores. x (MPa).

Figura 99.- Segundo análisis. Larguerillos inferiores. Sección 1.

Figura 98.- Segundo análisis. Larguerillos inferiores. Sección 2.

Figura 100.- Segundo análisis. Larguerillos inferiores. Sección 3

107

Segundo análisis. Cordones de larguero. x (MPa).

Figura 102.- Segundo análisis. Cordones de larguero. Sección 1. Figura 101.- Segundo análisis. Cordones de larguero. Sección 2.

Figura 103.- Segundo análisis. Cordones de larguero. Sección 3.

108

Segundo análisis. Alma del larguero delantero. yz (MPa).

Figura 104.- Segundo análisis. Alma del larguero delantero. Sección 1.



109

Segundo análisis. Alma del larguero trasero. yz (MPa)

Figura 109.- Segundo análisis. Alma del larguero trasero. Sección 1.



110

Anexo. X Comparación del momento de reacción respecto al eje Y global, con y sin momentos de cabeceo

111

A. Referencias

Ref. 1. Página oficial de “The Boeing Company”. www.boeing.com

Ref. 2. DC-9. Airplane characteristics for airport planning. (Junio 1984).

www.boeing.com

Ref. 3. University of Illinois at Urbana-Champaign. The incomplete guide to

airfoil usage. http://www.ae.illinois.edu/m-selig/ads/aircraft.html

Ref. 4. Regulación general de aviación, parte 25, estándar de

aeronavegabilidad para aviones de transporte (FAR 25).

Ref. 5. Michel C. Y. NIU. Airframe Structural Design: Practical Design

Information and Data on Aircraft Structures.

Ref. 6. Enrique De la Fuente Tremps y Román Tores Sánchez. Estructuras de

aeronaves I. Primera parte. Análisis de esfuerzos.

Ref. 7. Enrique De la Fuente Tremps. Estructuras de aeronaves I. Integridad

estructural. Comprobación de resistencia estática. Volumen 1.

Ref. 8. Enrique De la Fuente Tremps. Estructuras de aeronaves I. Integridad

estructural. Comprobación de resistencia estática. Volumen 2.

Ref. 9. Jan Roskam. Airplane design.

Ref. 10. Mlilitary Handbook: Metallic materials and elements for aerospace

vehicle structures.

Ref. 11. MSC Patran 2010.2.3 (Student Edition)

Ref. 12. MD Nastran 2010.1.2-CL95830 (Student Edition)

Ref. 13. Modelo de elementos finitos del cajón del ala.

http://www.boeing.com/

http://www.boeing.com/

112

B. Imágenes

Figura 1.- US Navy - McDonnell Douglas C-9B Skytrain II (DC-9-32CF). 5

Figura 2.- Planta del DC-9-32.Ref. 2 7

Figura 3.- Perfil y alzado del DC-9-32. Ref. 2. 7

Figura 4.- Medidas del ala en milímetros. 8

Figura 5.- Cajón del ala derecha con las secciones señaladas. Ref. 13 9

Figura 6.- Sección estándar. 9

Figura 7.- Sección del larguerillo. 10

Figura 8.- Sección del cordón de larguero. 10

Figura 9.- Sección 1. Vista general. 11



Figura 12.- Comparación de las áreas de las secciones. 19

Figura 13.- Comparación de los momentos de inercia de las secciones. 19

Figura 14.- Gráfico de la velocidad equivalente de ráfaga. 21

Figura 15.- Fuerzas a las que está sometida la sección. 22

Figura 16.- Ejes utilizados en el cálculo. 23

Figura 17.- X final en el sistema 4 sale un poco del cajón debido a las suposiciones. 25

Figura 18.- Gráfica de la distribución de sustentación sobre la línea c/4. 26

Figura 19.- Alzado de la distribución de sustentación. 27

Figura 20.- Fuerzas en cada sección para obtener el momento flector Ms. 27

Figura 21.- División geométrica de la sustentación. 28

Figura 22.- Esquema de los momentos torsores en el cajón. 32

Figura 23.- Sección genérica para la obtención de flujos básicos. 34

Figura 24.- Fuerzas internas y externas de una sección genérica para igualar momentos torsores. 35

Figura 25.- Distancias del larguero trasero a la línea c/4 y al larguero delantero. 36

Figura 26.- Obtención de la distancia dT entre el larguero trasero y la posición de la fuerza cortante. 37

Figura 27.- Resultado de flujos cortantes en la sección 1. 40



Figura 30.- Larguerillos y revestimiento. 48

Figura 31.- Curva Johnson-Euler. Fallo a compresión de columnas de pared delgada. 50

Figura 32.- División en segmentos de larguerillo y revestimiento 51

Figura 33.- Cordón de larguero. 60

Figura 34.- Bordes del panel teórico. 62

Figura 35.- Valores de kc para paneles de (a/b)>3. Copiado de Ref. 7 63

Figura 36.- Geometría del plano de simetría del FEM. 65

Figura 37.- Geometría completa del FEM. 66

Figura 38.- Costilla 8 del FEM. Se ven los elementos placa y barra. 67

Figura 39.- QUADs del revestimiento superior 68

Figura 40.- Planta del FEM en la que se ven los elementos de larguerillos, cordones de larguero y

costillas. 68

Figura 41.- FEM. Se muestran los larguerillos del intradós y los elementos QUAD de las almas de los

largueros. 69

Figura 42.- Secciones señaladas en el cajón por colores según el espesor del revestimiento. 69

Figura 43.- Condiciones de contorno que simulan simetría. 70

Figura 44.- Detalle de la restricción de simetría. 70

113

Figura 45.- FEM. Apoyos en el encastre 71

Figura 46.- Geometría para distribuir las fuerzas y los momentos en el FEM. 71

Figura 47.- Gráfico con la fuerza que se pone en cada nodo. 73

Figura 48.- Fuerzas y momentos en el larguero trasero y en la costilla 1 (F1 y M1). 74

Figura 49.- Fuerzas y momentos correspondientes al larguero delantero (F2 y M2). 75

Figura 50.- FEM. Reacciones en los apoyos. 75

Figura 51.- Deformación del cajón obtenida con el modelo. 78

Figura 52.- Esfuerzos en Z1. 79

Figura 53.- Esfuerzos en Z2. 79

Figura 54.- Esfuerzos medios. 79

Figura 55.- Esfuerzos en el revestimiento superior en la bahía 1-2. 80

Figura 56.- Esfuerzos medios del revestimiento inferior en la zona de la sección 2. 81

Figura 57.- Esfuerzos medios del revestimiento superior en la zona de la sección 2. 82

Figura 58.- Esfuerzos normales hallados en NASTRAN en la zona de la sección 3 del revestimiento

inferior. 82

Figura 59.- Esfuerzos en el revestimiento superior. Zona que abarca la sección 3. 83

Figura 60.- Comparación de FZ/IY para las diferentes secciones. 84

Figura 61.- Esfuerzos cortantes en las almas del larguero trasero obtenidas mediante NASTRAN. 85

Figura 62.- Esfuerzos cortantes en el larguero delantero obtenidos con NASTRAN. 86

Figura 63.- El aumento del momento de reacción en el eje Y supone un aumento del esfuerzo normal. 87

Figura 64.- Copiado de Ref. 6. 89

Figura 65.- Valor típico del coeficiente de momento de cabeceo. Copiado de Roskam. Part VI (Ref. 9). 93

Figura 66.- Ejemplo de la numeración de los QUADs en el revestimiento superior. 94

Figura 68.- Primer análisis Nastran. Revestimiento inferior. Sección 1. 96



Figura 71.- Primer análisis. Revestimiento superior. Sección 2. 97



Figura 74.-Primer análisis. Larguerillos inferiores. Sección 2. 98

Figura 75Primer análisis. Larguerillos inferiores. Sección 3. 98

Figura 76. Primer análisis. Larguerillos inferiores. Sección 1. 98

Figura 77.- Primer análisis. Larguerillos superiores. Sección 2. 99



Figura 80.- Primer análisis. Cordones de larguero. Sección 2. 100



Figura 83.- Primer análisis. Alma del larguero delantero. Sección 2. 101



Figura 86. - Primer análisis. Alma del larguero trasero. Sección 2 102

Figura 87.- Primer análisis. Alma del larguero trasero. Sección 3. 102

Figura 88.- Primer análisis. Alma del larguero trasero. Sección 1. 102

Figura 89.- Segundo análisis. Revestimiento inferior. Sección 1. 103

Figura 90 .- Segundo análisis. Revestimiento inferior. Sección 3. 103

Figura 91.- Segundo análisis. Revestimiento inferior. Sección 2. 103

Figura 92.- Segundo análisis. Revestimiento superior. Sección 1. 104


Figura 94.- Detalle del pico de esfuerzos producido por al presencia de un elemento tria. 104

114


Figura 96.- Segundo análisis. Larguerillos superiores. Sección 2. 105



Figura 99.- Segundo análisis. Larguerillos inferiores. Sección 2. 106

Figura 100.- Segundo análisis. Larguerillos inferiores. Sección 1. 106

Figura 101.- Segundo análisis. Larguerillos inferiores. Sección 3 106

Figura 102.- Segundo análisis. Cordones de larguero. Sección 2. 107



Figura 105.- Segundo análisis. Alma del larguero delantero. Sección 1. 108



Figura 108.- Segundo análisis. Alma del larguero trasero. Sección 3. 109



C. Tablas

Tabla 1.- Principales dimensiones del avión. 6

Tabla 2.- Altura de las secciones. Eje X sobre el larguero trasero. 10

Tabla 3.- Medidas generales de la sección 1. 11

Tabla 4.- Dimensiones y áreas de la sección 1. 12



Tabla 7.- Área y momento de inercia total de las secciones. 18

Tabla 8.- Pesos del DC-9-32.Ref. 2 20

Tabla 9.- Constantes para la obtención del factor de carga. 22

Tabla 10.- Resultado de factor de carga en función de la altura. 22

Tabla 11.- Ángulos entre los sistemas coordenados y el plano perpendicular al fuselaje. 24

Tabla 12.- Distancias entre el origen del sistema de coordenadas 7 respecto a los demás. 24

Tabla 13.- Dimensiones de la sección 1 para obtener los flujos cortantes. 37



Tabla 16.- Características mecánicas del aluminio 7075-T6 47

Tabla 17.- Valores de Ci y m para obtener el esfuerzo de crippling. 51

Tabla 18.- Dimensiones del larguerillo efectivo de la sección 1. 53

Tabla 19.- Cálculo de áreas y momentos de inercia del larguerillo efectivo. Sección 1. Iteración 1. 54

Tabla 20.- Cálculo de áreas y momentos de inercia del larguerillo efectivo. Sección 1. Iteración 2. 55

Tabla 21.- Dimensiones del larguerillo efectivo de la sección 2. 56

Tabla 22 .- Cálculo de áreas y momentos de inercia del larguerillo efectivo. Sección 1. 57

Tabla 23.-Dimensiones del larguerillo efectivo en la sección 3 58

Tabla 24.- Dimensiones, áreas y momentos de inercia del larguerillo efectivo en la sección 3. 59

Tabla 25.- Esfuerzos de fallo por crippling de los codones de larguero. 61

Tabla 26.- Valores de y según las condiciones de contorno. 61

Tabla 27.- Esfuerzos cortantes máximos permitidos para que no haya pandeo a cortadura. 62

115

Tabla 28.- Resumen de esfuerzos aplicados y críticos en las 3 secciones. 64

Tabla 29.- Propiedades de la CROD del modelo. 66

Tabla 30.- Características de las propiedades de los revestimientos del FEM. 67

Tabla 31.- Propiedades de los largueros en el FEM. 67

Tabla 32.- Resultante de fuerzas (L) que hay que aplicar en cada costilla en el FEM. 72

Tabla 33.- Fuerzas y momentos nodales en el FEM. 74

Tabla 34.- Resultados del primer análisis en Nastran. Esfuerzos máximos. 76

Tabla 35.- Cambios en las propiedades del modelo después del primer análisis. 77

Tabla 36.- Comparación de esfuerzos del segundo análisis. 78

Tabla 37.- Espesores de las almas de los largueros en cada seción. 84

Tabla 38.- Esfuerzos cortantes máximos del larguero trasero. 85

Tabla 39.- Esfuerzos cortantes máximos del larguero trasero hallados según las teorías elementales. 85

Tabla 40.- Altura del revestimiento en todo el cajón. 88

Tabla 41.- Tabla de inercias de cada elemento y totales de la sección 1 (2.2.1.1). 90

Tabla 42.- Tabla de inercias de cada elemento y totales de la sección 2. Capítulo 2.2.1.2 91

Tabla 43.- Tabla de inercias de cada elemento y totales de la sección 2. 92

Tabla 44.- Significado del primer número de los ID de los elementos. 93

D. Expresiones Expresión 1.- Momento de inercia de una barra. 12

Expresión 2.- Teorema de Steiner. 13

Expresión 3.- Teorema de Steiner. 15

Expresión 4.- Factor de carga. 20

Expresión 5.- Variable Kg. n = f(Kg). 20

Expresión 6.- Variable . Kg = f() 20

Expresión 7.- Velocidad equivalente. 21

Expresión 8.- Momento de cabeceo. 24

Expresión 9.- Teorema del flujo cortante. 33

Expresión 10.- Esfuerzo máximo permitido en el intradós. 47

Expresión 11.- Anchura efectiva del revestimiento. 48

Expresión 12.- Esbeltez equivalente. 49

Expresión 13.- Esbeltez de transición. 49

Expresión 14.- Parábola de Johnson. 49

Expresión 15.- Parábola de Euler. 50

Expresión 16.- Esfuerzo de crippling en cada segmento (i). 51

Expresión 17.- Esfuerzo de crippling del larguerillo aislado. 51

Expresión 18.- Esfuerzo de crippling mediante el método de Needham. 60

Expresión 19.- Crippling en el cordón del larguero para a=b. 60

Expresión 20.- Esfuerzo crítico de pandeo de un panel por cortadura. 61

Expresión 21.- Constante ks, función de las dimensiones del panel y las condiciones de contorno. 61

Expresión 22.- Esfuerzo de pandeo de paneles sometidos a compresión. 62

Engineering

FEM de la estructura del ala de un avion