FUNÇÕES

1.Definição e Conceitos Básicos

1.1. Definição: uma função f: A B consta de três partes: um conjunto A, chamado

Domínio de f, D(f); um conjunto B, chamado Contradomínio de f, CD(f); e uma regra que

permite associar, de modo bem determinado, a cada a A, um único elemento b = f(a) B.

Isto é, x A, ! f(x) B.

Observações:

1- Para esta apostila, que trata apenas de funções reais de variável real, A e B serão

subconjuntos não vazios do conjunto dos reais, em geral intervalos ou união de intervalos;

2- IMPORTANTE!! Não confundir f e f(x): f é o nome da função, enquanto f(x) é o valor

que a função f assume no ponto x A.

1.2. Exemplos

a) f : R R; f(x) = l x l (função Módulo)

b) g : [10, + ) R; g(x) = 10x

c) h : R \ { 0 } R; h(x) = x1

d) i ; R+ R; i(x) = ln x

e) (Função de Dirichlet) f : R { 0; 1 }; f(x) = Q - R x 1,

Q x ,0

1.3. IMAGEM ( direta e inversa ) DE UM CONJUNTO POR UMA FUNÇÃO

1.3.1. Quando x percorre

o Domínio de f, f(x) descreve um conjunto denominado Imagem de

f, ou Im(f). Assim, temos que Im(f) = { f(x), x

A }. Convém atentar que Im(f)

B. Exemplos

(relativos a 1.2 ):

a) Im(f) = R+

b) Im(g) = R+

c) Im(h) = R \ { 0 }

d) Im(i) = R

e) Im(f) = { 0 ; 1 }

1.3.2. Entretanto, o conceito de Imagem não se restringe a isso. Consideremos, agora, os

subconjuntos X

A e Y

B. Denomina-se IMAGEM DIRETA de X através de f o conjunto

f(X) = {f(x), x

X}; mais importante ainda é a IMAGEM INVERSA de Y através de f, dada por

f-1(Y) = { x A, f(x) Y }. Esclarecendo com exemplos:

a) f : R \ { 0 } R; f(x) = 1/x, com X = ( 2/3; 5 ] e Y = [ 0; 1 ] f(X) = [1/5; 3/2) e f-1(Y) = [ 1; + )

b) g: R R; g(x) = x4, X = Y = [ -1, 2]. Neste caso, g(X) = [ 0; 16 ] e g-1(Y) = [ 0, 4 2 ]

1.3.3. PROPRIEDADES

1) f(X Y) = f(X) f(Y)

2) f(X Y) f(X) f(Y)

3) Se X Y f(X) f(Y)

4) f-1(W Z) = f-1(Z) f-1(W)

5) f-1(W Z) = f-1(Z) f-1(W)

6) Se Z W f-1(Z) f-1(W)

7) f-1(YC) = (f-1(Y))C

8) f-1(W

Z) = f-1(W) f-1(Z)

2. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO

2.1. Def.: O conjunto G(f) = { (x;f(x)); x

A } é denominado gráfico de f. É, portanto, um

subconjunto de todos os pares ordenados (x;y) de números reais.

2.2. Exemplos

a) Função Módulo b) g(x) = 10x

c) h(x) = x1 d) i(x) = ln x

e) ( Esboce! )

3. OPERAÇÕES COM FUNÇÕES

3.1. Sejam f, g : A B; A, B

R. Define-se:

a) f + g: A

R por (f + g)(x) = f(x) + g(x);

b) f . g: A

R por (f . g)(x) = f(x) . g(x);

c) f / g: A

R por (f / g)(x) = f(x) / g(x).

A operação mais importante envolvendo funções, entretanto, é a COMPOSIÇÃO:

3.2. Def.: Sejam A, B, C

R, com B

C, f : A

B e g: C

R. Definimos FUNÇÃO

COMPOSTA gof : D A

R por: gof(x) = g(f(x)), x D.

OBSERVAÇÕES IMPORTANTES!!!:

1) O domínio de gof consiste nos x

A tais que f(x) pertença ao domínio de g. Por isso é

obrigatório que B C !!

2) O contradomínio de gof é o contradomínio de g.

3.2.1.Exemplo: Sejam f: R

R; f(x) = x + 3 e g: R \ { -2 }

R; g(x)= 2/(x+2). Achemos gof

e fog.

a) Com relação a gof, temos que D(gof) = { x

R; f(x)

R \ { -2 } } = { x

R; x + 3

-2 } =

R \ { -5 }. Assim, gof : R \ { 5 } R; (gof) (x) = g(f(x)) = g(x+3) = 5x

22)3x(

2

b) Efetuando o mesmo procedimento para fog: D(fog)={ x

R / g(x)

R } = R \ { -2 };

portanto, fog : R \ { -2 } R; (fog) (x) = f(g(x)) = f2x

2=

2x2

+ 3

4.PERIODICIDADE E MONOTONICIDADE

4.1.Def.: f é PERIÓDICA

t

R, t 0, tal que x A x + t A e f(x + t)= f(x).

Observações: 1) O número t é chamado de UM período de f;

2) O menor período positivo T é denominado O PERÍODO

de f, e então f é periódica de

período T.

4.2.Def.: Uma função f: A

R

B é denominada crescente (não decrescente) se x1<x2

f(x1)

f(x2); e é dita estritamente crescente se x1<x2

f(x1) < f(x2). Analogamente,

uma função f é chamada decrescente (não crescente) se x1<x2

f(x1) f(x2); e é

denominada estritamente decrescente se x1<x2

f(x1)>f(x2). Todas essas funções são

ditas MONÓTONAS ou MONOTÔMICAS.

4.2.1.Propriedades (Prove!): Sejam as funções f: A B e g: B C. Assim ,

1) Se f e g são estritamente crescentes, então gof também é estritamente crescente;

2) Se f e g são estritamente decrescentes, então gof é ESTRITAMENTE CRESCENTE

(atenção!!!);

3) Se f é estritamente decrescente e g é estritamente crescente, então gof é estritamente

decrescente;

4) Se f é estritamente crescente e g é estritamente decrescente, então gof é estritamente

decrescente.

5.INJEÇÃO, SOBREJEÇÃO, BIJEÇÃO

5.1.Def.: Seja f: A

R B

R.

5.1.1. Dizemos que f é INJETORA (INJETIVA, BIUNÍVOCA)

x1,x2

A com x1

x2,

então f(x1) f(x2), isto é, x1, x2 A tais que f(x1) = f(x2), então x1 = x2.

5.1.2. Dizemos que f é SOBREJETORA (SOBREJETIVA)

y

B,

x

A tal que

f(x) = y . Em outras palavras, Im(f) = B.

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Observação: TODA função pode se tornar sobrejetora se restringirmos o contradomínio à

sua imagem.

5.1.3. Dizemos que f é BIJETORA (BIJETIVA)

f é injetora e sobrejetora, isto é,

y

B, ! x A / f(x) = y.

5.2. Exemplos:

1) f: R R, f(x) = ax + b; a, b

R; a 0

a- Temos que f é injetora; senão, dados x1 e x2

R com f(x1) = f(x2), temos ax1 + b = ax2

+ b ax1 = ax2.Como a 0, então x1 = x2.

b- Além disso, f é sobrejetiva: dado y

R, consideremos x = (y - b) / a

R, então f(x) =

ax + b = a. bya1

+ b = y.

2) g: R R; g(x) = x2

a- Nesse caso, g não é injetora, pois g(-1) = g(1) = 1, mas -1 1;

b- a função g também não é sobrejetora, pois -4

R e não existe x

R / g(x) = -4.

Repare que, se construirmos h: R+ R+; h(x) = x2, teremos h uma função BIJETORA.

5.3. Algumas propriedades importantes (Prove!)

5.3.1. Sejam as funções f: A B e g: B C. Então são válidas as seguintes afirmações:

1) Se f e g são injetoras, então gof é injetiva de A em C.

2) Se f e g são sobrejetivas, então gof é sobrejetiva de A em C.

3) Se f e g são bijetivas, então gof é bijetiva de A em C.

5.3.2. Toda função estritamente crescente/decrescente é biunívoca. A recíproca é

verdadeira???

5.3.3. f(X

Y)

f(X)

f(Y) somente se f é injetora. O que se pode concluir a partir

dessa propriedade e da propriedade 2) do item 1.3.3.?

6. INVERSÃO DE UMA FUNÇÃO

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6.1.Uma função IA : A

A definida por IA(x) = x, para todo x

A, é chamada Função

Identidade de A. Com essa definição temos todas as ferramentas necessárias para a

compreensão da FUNÇÃO INVERSA, um dos conceitos mais requisitados pelo ITA.

6.2.Def.: Seja f: A

B; A, B

R. Uma função g: B

A é denominada FUNÇÃO

INVERSA de f gof = I = fog.

6.2.1.Exemplos:

1) f: R R, f(x) = x9. Uma inversa de f é g: R R,g(x) = 9 x , pois (gof)(x) = (fog)(x) = x.

2) f: R R, f(x) = ax + b,com a 0; a, b R.Uma inversa de f é g:R R, g(x) = (x - b) / a

3) f: R

R+, f(x) = x2 não admite inversa pois, considerando g: R+

R, g(x) = x como

inversa temos gof(-2) = g(f(-2)) = g(4) = 2

-2.

Entretanto, se f : R+ R+ , f(x) = x2 então g(x) = x é uma inversa de f.

Observa-se, portanto, que não são todas as funções que admitem inversa. Temos, na

verdade:

6.3.Teorema: f: A B possui inversa f é bijetora.

Demonstração:

( ) f possui inversa

g: B A tal que fog = I = gof.

(I) Mostremos que f é biunívoca: sejam x1, x2

A tais que f(x1) = f(x2) g(f(x1)) = g(f(x2))

x1 = x2 ;

(II) Mostremos que f é sobrejetora: dado y

B, considere x = g(y)

A. Então f(x) =

f(g(y)) = y.

( ) f é bijetora

Dado y

B, ! x A / f(x) = y. Seja então g: B

A tal que g(y) = x .

Assim, (gof)(x) = g(f(x)) = g(y) = x ; e (fog)(y) = f(g(y)) = f(x) = y (cqd)

Corolário: se f admite inversa ela é única, e será denotada por f-1.

Note que D(f) = CD(f-1) e vice-versa!

Para visualizarmos o teorema graficamente (IMPORTANTE): ao refletir o gráfico da

função dada em relação à diagonal principal (y = x) obtemos o gráfico da função inversa.

Observe o exemplo a seguir:

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Vejamos agora um exemplo esclarecedor a respeito da obrigatoriedade de que a função

seja bijetora para que sua inversa exista:

6.4.Propriedades

1) A inversa de uma função estritamente crescente é estritamente crescente; a inversa de

uma função estritamente decrescente é estritamente decrescente.

2) Sejam as funções f: A

B e g: B

C; se gof = IA, então g é sobrejetora e f é

injetora (essa propriedade é muito importante, já caiu em várias provas).

7. PARIDADE

7.1. a) Dizemos que f é PAR f(-x) = f(x)

b) Dizemos que f é ÍMPAR f(-x) = -f(x)

Observe que para definirmos função par e ímpar tomamos como pressuposto que +x

D(f)

e x D(f); neste caso, D(f) é denominado CONJUNTO SIMÉTRICO.

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7.2.Exemplos: f: R R; f(x) = x2 + 5 é uma função par;

g: R R; g(x) = x3 + x é uma função ímpar.

Observações importantes!!!!!

1) O gráfico de uma função par

é simétrico em relação ao eixo das ordenadas

enquanto o

gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.

2) Se f é uma função par, então gof é par(independentemente de g!). Por que??

3) Se f é ímpar e g é ímpar, então gof é ímpar.

8. FUNÇÕES ELEMENTARES

8.1. FUNÇÃO CONSTANTE: é a função f(x) = k, k

R, x D(f).

8.2. FUNÇÃO ALGÉBRICA: é toda função formada por um número finito de operações

sobre a função identidade e a função constante. Exemplos:

1) Função linear: f(x)= ax + b, x

R, com a 0

2) Função polinomial: f(x) = a0xn + a1x

n-1 + ... + an-1x1 + an, x

R, a0 0

3) Função racional: f(x) = p(x) / q(x), onde p e q são funções polinomiais e q não é o

polinômio identicamente nulo. Lembrar que D(f) = { x

R : q(x) 0 }

8.3. FUNÇÕES TRANSCENDENTES

1) Funções exponenciais: ax, 0 < a 1; D(f) = R e Im(f) = R+ \ { 0 }

2) Funções logaritmicas: logax, 0 < a 1; D(f) = R+ \ { 0 } e Im(f) = R

Vejamos graficamente como as funções exponenciais e logaritmicas se comportam,

bem como a relação de inversão que existe entre elas:

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3) Funções trigonométricas: sen x, cos x, tg x, sec x, cossec x e cotg x. Analisar Domínio,

Imagem e paridade de cada uma delas (Exercício)

4) Funções trigonométricas inversas: arcsen x, arccos x, arctg x, arcsec x, arccossec x,

arccotg x. Analisar paridade, Domínio e Imagem de cada uma.

5) Funções hiperbólicas

a) senh x = 2

ee xx

(negrito) e cosh x =2

ee xx

b) tghx = xcoshxsenh

8.4. Outros Exemplos (esboce os gráficos!)

1) Função maior inteiro menor ou igual a x 2) f(x) = [ x ] - x ; D(f) = R, Im(f) = ( -1; 0 ]

[ x ] : R Z

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3) f: R* { -1; 1}; f(x) = x / I x I 4) f: R R; f(x) =

N - R x 0,

N x,x1

9. LIMITAÇÃO

9.1.Def.: Seja f: A B

a) Dizemos que f é limitada superiormente quando

L / f(x) L, x

A; neste caso, L é

uma cota superior de f. A MENOR das cotas superiores é chamada SUPREMO.

b) Dizemos que f é limitada inferiormente quando M tal que f(x) M, x

A; assim, M

é denominada cota inferior de f. A MAIOR das cotas inferiores é denominada ÍNFIMO.

c) Dizemos que f é LIMITADA quando N : l f(x) l < N, x A.

9.2. Exemplos de funções limitadas:

1) seno, cosseno

2) [ x ] x

3) Função de Dirichlet

4) O exemplo 4) do item 8.4

5) A função f(x) = x2 é ILIMITADA em R, mas é limitada em [ a; b ]; a, b

R

6) A função g(x) = 1/x é ilimitada em R, mas é limitada em [ a; b ]

0

[ a; b ]; e é

ilimitada em ( 0, a ] [ a, 0 ), com a, b

R.