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MÓDULO DE EXATAS 2009 MATEMÁTICA Prof. Ramon Neiva 1 Reprodução Proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Dúvidas ou Sugestões EMAIL: [email protected] MATEMÁTICA Prof. Ramon Neiva Potências e Radicais Potência com expoente inteiro ) 0 a para ( a 1 a a a 1 n se 1 a 0 n se a ... a a a a n n 1 0 fatores n n = = = = = = - 4 43 4 42 1 n m n m a a = Propriedades da Potência Propriedades dos radicais Produtos Notáveis ( ) 2 2 2 b ab 2 a b a + + = + ( ) 2 2 2 b ab 2 a b a + - = - ( ) 3 2 2 3 3 b ab 3 b a 3 a b a + + + = + ( ) 3 2 2 3 3 b ab 3 b a 3 a b a - + - = - ) b ab a ( ) b a ( b a 2 2 3 3 + - + = + ) b ab a ( ) b a ( b a 2 2 3 3 + + - = - ( ) ( ) 2 2 b a b a b a - = - + ( ) ab x ) b a ( x b x ) a x ( 2 + + + = + + bc 2 ac 2 ab 2 c b a ) c b a ( 2 2 2 2 + + + + + = + + 1. (UEFS-02.1) O valor numérico da expressão ( ) 3 1 2 2 5 - - - é igual a: a) –5,25 d) 0,45 b) –4,75 e) 0,65 c) –0,05 2. (UESC-2005) Considerando-se a expressão ( ) 3 1 2 2 10 10 100 10 E 1 - - - - - + + = - pode-se afirmar que E é igual a: 01) – 100 04) 10 02) – 10 05) 100 03) 0,1 3. (UESC-2007) Considerando-se a expressão 3 2 1 2 2 2 2 25 , 0 2 M - - - - - - + = , pode-se afirmar que o valor de M é: 01) 14 04) -2 02) 2 05) -14 03) 0,5 4. (UESB-2004) Sendo 6 3 2 3 3 2 x + - = , pode-se afirmar que x é um número 01) racional não inteiro positivo. 02) racional não inteiro negativo. 03) inteiro negativo. 04) inteiro positivo. 05) irracional. 5. (UEFS-01.1) Sobre o número real 1 0 , 0 1 , 0 1 , 0 x + = , pode-se afirmar: a) x N d) x 2 < x b) x Q e) x = 19/8910 c) x > 25 6. (UESB-2005) A expressão algébrica 9 x 6 x 9 x 6 x x 12 x 6 2 2 2 + + - + - + - com x -3 e x 2, equivalente a: 01) 1 04) x – 3 02) 3 x x + 05) 2 x 3 x - + 03) x + 3 7. (UESB-2009) Uma expressão algébrica equivalente a ( ) ( ) 2 3 4 5 x x x x 1 x + + + - é: 01) ( ) ( ) 1 x 1 x x 2 2 2 + - 02) ( ) 2 2 2 1 x x - 03) ( ) 1 x x x 2 4 2 - + 04) ( ) 2 4 1 x x + 05) ( ) 1 x x x 2 4 - + 8. (UESB-2003) No universo U =R*, o conjunto solução da equação x 2 x 3 11 3 6 x = + - é (m,n). O valor de m.n é: a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4 9. (UESC-2004) Se o conjunto-solução da equação k 1 x 1 x k x 2 2 = - - - , com xR, é {-1, 3}, então o número real k pertence ao conjunto: 01) {-4, -3} 04) { 1, 2} 02) {-2, -1} 05) { 3, 4} 03) {-1, 0} 10. (UEFS-06.2) Se, para valores reais, não simultaneamente nulos, de x e y, 2 1 y x y x 2 2 2 2 = + - então y x é igual a: a) 1 d) 2 b) 2 e) 3 c) 3 11. (UNEB-2009) Considerem-se as proposições: I. π é um número racional. II. Existe um número racional cujo quadrado é 2. III. Se 0 a > , então 0 a < - . IV. Todo número primo é ímpar. Com base nelas, é correto afirmar: 01) A proposição I é verdadeira. 02) A proposição II é verdadeira. 03) A proposição III é verdadeira. 04) As proposições I, II e IV são verdadeiras. 05) As proposições II, III e IV são verdadeiras. Revisão Geral ( ) n m m m m m m m m n m n m m n n m a a ) ª 5 ) 0 b para ( b a b a ) ª 4 ) b a ( b a ) ª 3 ) 0 a para ( a a a ) ª 2 a a a ) ª 1 n - + = = = = = ( ) ( ) n m p : n p : m n m mn n m m n n n n n n n a a ) ª 5 a a ) ª 4 a a ) ª 3 0 b b a b a ) ª 2 b a b a ) ª 1 = = = = =

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Potências e Radicais

Potência com expoente inteiro

)0apara(a

1a

aa1nse

1a0nsea...aaaa

nn

1

0

fatoresn

n

=

=⇒=

=⇒=⋅⋅⋅⋅=

4434421

n mn

m

aa =

Propriedades da Potência Propriedades dos radicais

Produtos Notáveis

( ) 222 bab2aba ++=+ ( ) 222 bab2aba +−=−

( ) 32233 bab3ba3aba +++=+ ( ) 32233 bab3ba3aba −+−=−

)baba()ba(ba 2233 +−⋅+=+ )baba()ba(ba 2233 ++⋅−=−

( ) ( ) 22 bababa −=−⋅+

( ) abx)ba(xbx)ax( 2 +++=+⋅+

bc2ac2ab2cba)cba( 2222 +++++=++

1. (UEFS-02.1) O valor numérico da expressão ( )3

1

2

25

−−− é igual a:

a) –5,25 d) 0,45 b) –4,75 e) 0,65 c) –0,05 2. (UESC-2005) Considerando-se a expressão

( )3

122

10

1010010E

1

−−− −++=

pode-se afirmar que E é igual a:

01) – 100 04) 10 02) – 10 05) 100 03) 0,1 3. (UESC-2007) Considerando-se a expressão

3

2122

2

225,02M

−−−

−+= , pode-se afirmar que o valor de M é:

01) 14 04) -2 02) 2 05) -14 03) 0,5

4. (UESB-2004) Sendo 63

2332x +

−= , pode-se afirmar que

x é um número 01) racional não inteiro positivo. 02) racional não inteiro negativo. 03) inteiro negativo. 04) inteiro positivo. 05) irracional.

5. (UEFS-01.1) Sobre o número real 10,0

1,01,0x

+= , pode-se

afirmar: a) x ∈ N d) x2 < x b) x ∉ Q e) x = 19/8910 c) x > 25

6. (UESB-2005) A expressão algébrica 9x6x

9x6xx

12x62

2

2 ++

−+

−+

com x ≠ -3 e x ≠ 2, equivalente a: 01) 1 04) x – 3

02) 3x

x+

05) 2x3x

+

03) x + 3 7. (UESB-2009) Uma expressão algébrica equivalente a

( ) ( )2345 xxxx1x +++⋅− é:

01) ( ) ( )1x1xx 222 +⋅−⋅

02) ( )222 1xx −⋅

03) ( )1xxx 242 −+⋅

04) ( )24 1xx +⋅

05) ( )1xxx 24 −+⋅ 8. (UESB-2003) No universo U =R*, o conjunto solução da

equaçãox2

x311

36x

=+−

é (m,n). O valor de m.n é:

a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4 9. (UESC-2004) Se o conjunto-solução da equação

k1x

1xkx 22

=−

−−, com x∈R, é -1, 3, então o número real k pertence

ao conjunto: 01) -4, -3 04) 1, 2 02) -2, -1 05) 3, 4 03) -1, 0 10. (UEFS-06.2) Se, para valores reais, não simultaneamente nulos,

de x e y, 21

yx

yx22

22

=+

− então

yx

é igual a:

a) 1 d) 2

b) 2 e) 3

c) 3 11. (UNEB-2009) Considerem-se as proposições: I. π é um número racional. II. Existe um número racional cujo quadrado é 2. III. Se 0a > , então 0a <− . IV. Todo número primo é ímpar. Com base nelas, é correto afirmar: 01) A proposição I é verdadeira. 02) A proposição II é verdadeira. 03) A proposição III é verdadeira. 04) As proposições I, II e IV são verdadeiras. 05) As proposições II, III e IV são verdadeiras.

Revisão Geral

( ) nmm

m

m

m

mmm

nmn

m

mnnm

aa)ª5

)0bpara(b

a

b

a)ª4

)ba(ba)ª3

)0apara(aa

a)ª2

aaa)ª1

n ⋅

+

=

=

⋅=⋅

≠=

=⋅

( )

( )

n mp:n p:m

nmm n

n mmn

nn

n

nnn

aa)ª5

aa)ª4

aa)ª3

0bba

b

a)ª2

baba)ª1

=

=

=

≠=

⋅=⋅

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12. (UESB-2009) Sendo x , y, z e w números reais tais que zx < ,

zy < e wz < , pode-se afirmar que: 01) ( ) ( ) ( ) 0wzzyxz >−⋅−⋅− 04) ( ) ( ) 0xzwy >−⋅−

02) ( ) ( ) 0wzyx <−⋅− 05) 0wy >−

03) ( ) ( ) 0yxzx <−⋅− 13. (UESC-2009) Quando "Pinóquio" diz uma mentira, o comprimento do seu nariz aumenta 10cm e quando diz uma verdade, diminui 5cm. Após fazer as três afirmações sobre números naturais x, y e z quaisquer,

• se y.z é um múltiplo de x, então y ou z é múltiplo de x, • se x só é divisível por 1 e por x, então x é um número primo, • se y + z e y são múltiplos de x, então z é múltiplo de x,

o comprimento do nariz de Pinóquio ficou 01) aumentado de 30cm. 02) aumentado de 15cm. 03) com o mesmo comprimento que já tinha. 04) reduzido de 10cm. 05) reduzido de 15cm. 14. (UESC-2009) Desde Pitágoras, que estudou a geração dos sons, sabe-se que duas cordas vibrantes cujos comprimentos estão na proporção de 1 para 2 produzem o mesmo tom. Uma corda de 61,41m deve ser cortada em 11 pedaços, de modo que cada novo pedaço obtido tem o dobro do comprimento do pedaço anterior. O comprimento do maior pedaço será igual a: 01) 21,41m 04) 23,42m 02) 29,25m 05) 30,72m 03) 28,72m 15. (UESC-2009) Um manuscrito antigo do "Pirata Barba Negra" indica que, numa certa ilha do Caribe, há um tesouro enterrado e dá as seguintes dicas da sua localização: Quando se desembarca na ilha, vêem-se duas grandes árvores, que chamarei de A e B. Para localizar o tesouro, caminhe de A para B, contando os passos. Ao chegar em B, vire à direita e caminhe metade do que andou de A para B. Daí caminhe na direção de A, contando os passos. Chegando em A, caminhe, na direção contrária a B, o total de passos que já andou. Nesse ponto X enterrei o tesouro. Se a ilha é plana e a distância entre as duas árvores é e 10m, então a distância de A a X é igual a:

01) 5515 +

04) 51515 +

02) 25

05) 20 03) 51015 +

16. (UESB-2009) Em um concurso de talentos, após várias etapas, foram escolhidos três finalistas F1, F2 e F3. Para a classificação final, cada um dos n componentes de um júri, previamente estabelecido, deveria escolher o primeiro, o segundo e o terceiro colocados, atribuindo-lhes, respectivamente, 3 pontos, 2 pontos e 1 ponto. Ao final da votação, sabendo que todos votaram corretamente, verificou-se que F1 teve um total de 21 pontos, F2 teve um total de 17 pontos e F3 teve um total de 10 pontos. Em tais condições, pode-se concluir que n é igual a: 01) 4 04) 10 02) 6 05) 12 03) 8 17. (UESB-2009) A média salarial dos funcionários de uma empresa é igual a R$1500,00 sendo que o salário médio dos homens é de R$1700,00 e o das mulheres é de R$1450,00. Logo, entre os funcionários da empresa, o número de mulheres em relação ao de homens é: 01) um terço 04) o quádruplo 02) a metade 05) o dobro 03) igual

18. (UESC-2008) Em um condomínio residencial, três casas, A, B e C, e a quadra de esportes estão situadas em linha reta, com as três casas à direita da quadra. As distâncias de A, de B e de C à quadra são, respectivamente, iguais a x metros, 300m e 400m. A alternativa que melhor apresenta informações sobre o valor de x e que melhor representa a afirmação “somando-se a distância de A a B à distância de A a C obtém-se 500m” é: 01) ( ) ( ) 500x400x300e100x =−+−=

02) 500400x300xe200x =−+−<

03) 500300xx400e300x =−+−<

04) 500400xx300e300x =+++<

05) 500400x300xe600x =−+−>

19. (UESC-2008) O número de um Cadastro de Pessoa Física (CPF) obedece a algumas regras, tais como

• deve ter exatamente 11 dígitos, ou seja, abcdefghijk; • r11j −= se r, o resto as divisão da soma

( )i2...e6d7c8b9a10 ++++ por 11 for diferente de 0 e 1.

Considerando-se 1111111110jk o número do CPF, pode-se afirmar que j é igual a 01) 1 04) 6 02) 3 05) 9 03) 4 20. (UESC-2008) Uma cidade possui, 4 escolas de Ensino Médio A, B, C e D. O número de alunos que cursam o Ensino Médio na escola A é 4 vezes maior do que o número daqueles que cursam na escola B; o número de alunos que cursam o Ensino Médio na escola B é igual a metade do número de alunos que o cursam na escola C e o número de alunos que cursam o Ensino Médio na escola D é igual a 1/8 do total de alunos do Ensino Médio da cidade. Entre o total de pessoas da cidade que cursam o Ensino Médio, o percentual dos que são alunos na escola C é igual a:

01) 12,5% 04) 30% 02) 20% 05) 50% 03) 25% 21. (UEFS-08.1) Em um torneio esportivo, em que cada equipe deve jogar 14 partidas, cada vitória vale 3 pontos, cada empate vale 1 ponto e cada derrota vale 0 ponto. A equipe X já jogou 8 partidas, das quais venceu 3, empatou 2 e perdeu 3. Uma das condições para essa equipe encerrar o torneio ganhando, pelos menos, 55% dos pontos disputados é, dos jogos restantes, vencer

a) 2 e empatar 4. d) 3 e empatar 3. b) 2 e empatar 3. e) 4 e empatar 1. c) 3 e empatar 2. 22. (UEFS-06.2) O salário de um professor é calculado em função do número de aulas que ele ministra nas faculdades X e Y. Sabendo-se que ele dá 36 aulas semanais e que o valor da aula na faculdade X é 3/4 do valor da aula na faculdade Y, pode-se afirmar que o número mínimo de aulas dadas, por semana, em Y, para que a sua remuneração, nessa faculdade, seja maior do que em X deve ser igual a:

a) 16 d) 20 b) 18 e) 22 c) 19 23. (UEFS-09.1) Na divisão das despesas da família, cabe ao Sr. X pagar, mensalmente, R$850,00 do aluguel do apartamento em que a família reside e, à Sra. X, pagar, mensalmente, R$400,00 relativos à taxa do condomínio. Sabendo-se que a renda mensal líquida do casal é igual a R$7820,00 e que, efetuando os pagamentos citados, restará, à Sra. X, 4/5 do valor restante ao Sr. X, pode-se afirmar que a diferença entre as rendas do Sr. e da Sra. X, em reais, está entre

a) 700 e 800 d) 1000 e 1100 b) 800 e 900 e) 1100 e 1200 c) 900 e 1000

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24. (UEFS-06.2) Um garoto guardou em um cofrinho todas as moedas de 5, 10 e 25 centavos, recebidas de troco durante um determinado período, ao fim do qual constatou que o número de moedas guardadas de 5 centavos era o dobro do número de moedas de 25 centavos e que o número de moedas guardadas de 10 centavos era o triplo do número de moedas de 5 centavos. Nessas condições, o valor total contido no cofre pode ser, em reais, igual a:

a) 55 d) 85 b) 65 e) 95 c) 75

25. (UNEB-2007) Hoje, as idades de X, de seu pai, P, e de seu avô, A, somam 111 anos. Sabe-se que X tem a quarta parte da idade de A, que, por sua vez, tem 5/3 da idade de P. Nessas condições, pode-se afirmar que X completará 22 anos daqui a:

01) 6 anos 04) 9 anos 02) 7 anos 05) 10 anos 03) 8 anos 26. (UESC-2003) Se o número a∈N* é tal que, ao ser dividido por 8,

deixa resto igual a 2, então, ao se dividir ( )12a2 + por 8, o resto será

igual a:

01) 0 04) 3 02) 1 05) 4 03) 2

27. (UEFS-07.2) A taxa de analfabetismo de um município é obtida através da divisão do número de analfabetos pela população de residentes nessa localidade. A renda per capita é obtida através da divisão da renda anual do município pela sua população. A tabela apresenta dados sobre sois municípios, M e N, num determinado ano.

Município

População

Taxa de Analfabetismo (%)

Renda per capita (em R$)

M 15.105 25 1800 N 22,5.104 15 4200

A partir desses dados, pode-se afirmar: I. A população de M é maior do que a população de N. II. A renda total de N não chega a metade da renda total de M. III. O número absoluto de analfabetos, em M, supera a população de N. Nessas condições pode-se afirmar:

a) Apenas é verdadeira a afirmativa I. b) Apenas é verdadeira a afirmativa II. c) Apenas são verdadeiras as afirmativas I e II. d) Apenas são verdadeiras as afirmativas I e III. e) Todas as afirmativas são verdadeiras.

28. (UEFS-06.2) Certo imperador romano nasceu no ano 63 a.C., assumiu o governo aos 36 anos de idade e governou até morrer, no ano 14 d.C. Seu império durou:

a) 54 anos d) 25 anos b) 41 anos e) 18 anos c) 32 anos

29. (UNEB-2007) Sabe-se que 15 costureiras trabalhando 4 horas por dia, durante 6 dias, confeccionam um determinado número de camisetas. Para que o mesmo número de peças possa ser produzido em exatamente 4 dias, é suficiente aumentar o número de

01) costureiras em 100%. 02) costureiras em 20%. 03) horas de trabalho por dia em 200%. 04) horas de trabalho por dia em 100%. 05) horas de trabalho por dia em 50%. 30. (UESC-2003) Dois pintores, A e B, foram contratados para pintar um muro e receberam juntos um total de R$ 80,00 pelo serviço. Esses pintores trabalharam durante o mesmo período, sendo que A pintava 8m2 do muro a cada duas horas, e B, 6m2 por hora. Sabendo-se que o pagamento foi diretamente proporcional à área pintada por cada um, pode-se afirmar que A recebeu, em reais,

01) 50,00 04) 20,00 02) 48,00 05) 16,00 03) 32,00

31. (UEFS-06.1) Ao responder às questões propostas em um teste, um aluno: • acertou 8 das 15 primeiras questões; • errou ou deixou de responder a 60% das questões restantes; • acertou 48% do número total de questões propostas. Se, para cada questão respondida corretamente, forem atribuídos 2 pontos e para cada questão não respondida ou respondida de forma incorreta for retirado 1 ponto, o total de pontos obtidos pelo aluno, no teste, será:

a) 11 d) 18 b) 12 e) 22 c) 17

32. (UEFS-07.2) De acordo com os dados de uma pesquisa, o internauta brasileiro passa, em média, 21 horas e 20 minutos, por mês, navegando pela internet. Dentre os países que mais se aproximam do Brasil, estão a França, com o tempo médio por internauta de 20 horas e 55 minutos, os Estados Unidos, com 19 horas e 30 minutos e a Alemanha, com 18 horas e 56 minutos. Com base nesses dados, pode-se afirmar que a média brasileira excede a média aritmética dos tempos de navegação, por mês, nesses três países, em aproximadamente,

a) 5,3% d) 8,4% b) 6,6% e) 9,5% c) 7,8% 33. (UNEB-2005) Devido à ocorrência de casos de raiva, a Secretaria de Saúde de um município promoveu uma campanha de vacinação de cães e gatos. Em um bairro desse município, foram vacinados, durante a campanha, 0,9 dos cães e 0,7 dos gatos. Sabendo-se que, no total, foram vacinados 0,82 dos cães e gatos existentes no bairro, pode-se concluir que o número de cães corresponde:

01) a um terço do número de gatos. 02) à metade do número de gatos. 03) a dois terços do número de gatos. 04) a três meios do número de gatos. 05) ao dobro do número de gatos. 34. (UESB-2007) Um cabeleireiro de um salão de beleza unissex recebeu por 17 cortes femininos e 14 masculinos R$860,00 e por 15 cortes femininos e 20 masculinos R$950,00. Considerando-se m o preço do corte masculino e n o preço do corte feminino, em reais, pode-se concluir que o valor de m + n é igual a:

01) 35 04) 50 02) 40 05) 55 03) 45 35. (UEFS-05.2) Um médico prescreve a um paciente várias doses de um medicamento para serem ministradas a cada 9 horas. Se a 1ª dose foi ministrada às 14 horas de um certo dia, então o paciente tomará uma dose do remédio, em algum dia, às:

a) 3 horas d) 16 horas b) 7 horas e) 21 horas c) 11 horas 36. (UEFS-08.2) Os colegas J e P começaram a ler, no mesmo dia, certo livro indicado por um professor. J e P lêem 10 e 6 páginas, por dia, respectivamente, todos os dias, até finalizar o livro. Como P demorou 8 dias mais que J para concluir a leitura, pode-se afirmar que, ao final do décimo dia,

a) P tinha lido a metade do livro. b) J tinha lido a metade do livro. c) P tinha lido 2/3 do livro. d) J tinha lido 3/5 do livro. e) P tinha lido 3/4 do livro. 37. (UESB-2006) Um paciente deve tomar três medicamentos distintos, em intervalos de 2:00h, 2:30h e 3:20h respectivamente. Se esse paciente tomou os três medicamentos juntos às 7:00h, então deverá voltar a tomar os três, ao mesmo tempo às:

01) 10:00h 04) 16:30h 02) 12:50h 05) 17:00h 03) 15:00h

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38. (UEFS-06.1) Uma pessoa supõe que seu relógio está 5 minutos atrasado, mas, na verdade, ele está 10 minutos adiantado. Essa pessoa que chega para um encontro marcado, julgando estar 15 minutos atrasada em relação ao horário combinado, chegou, na realidade, a) na hora certa. d) 10 minutos atrasada. b) 5 minutos atrasada. e) 10 minutos adiantada. c) 5 minutos adiantada. 39. (UEFS-04.2) Acrescentando-se o algarismo zero à direita de um número inteiro positivo, esse sofre um acréscimo de 108 unidades. Nessas condições, pode-se afirmar que esse número é: a) primo e maior que 12. d) par e maior que 15. b) ímpar e menor que 15. e) par e menor que 18. c) ímpar e maior que 18. 40. (UEFS-06.2) Para uma campanha eleitoral gratuita na TV, estabeleceu-se que o número de aparições diárias não seria necessariamente igual para todos os partidos, porém o tempo de aparição de todos eles seria o mesmo e o maior possível. Sabendo que os partidos A, B e C tiveram direito, diariamente, a 80s, 140s e 220s, respectivamente, pode-se afirmar que a soma do número total de aparições diárias desses partidos, na TV, foi de: a) 15 vezes d) 22 vezes b) 18 vezes e) 25 vezes c) 20 vezes 41. (UEFS-06.1) O vencedor de uma prova de atletismo dava uma volta completa na pista em 50 segundos, enquanto o segundo colocado levava 1 min para completar uma volta. Quando o vencedor completou as 30 voltas da competição, o vice-campeão havia completado apenas: a) 24 voltas d) 27 voltas b) 25 voltas e) 28 voltas c) 26 voltas 42. (UEFS-09.1) Duas pessoas fazem sua caminhada matinal em volta de uma praça partindo de um mesmo ponto, no mesmo instante. Enquanto uma delas dá uma volta completa na praça em 9 minutos, a outra leva 6 minutos para completar uma volta. Sabendo-se que o tempo da caminhada não deve exceder 1 hora e 20 minutos, pode-se concluir que o número máximo de vezes que as duas pessoas podem voltar a se encontrar no ponto de partida, nesse tempo, é igual a: a) 3 d) 6 b) 4 e) 7 c) 5 43. (UESB-2006) Em uma empresa, 1, entre 3 funcionários ganha mensalmente 2 salários mínimos, 2, entre 5 funcionários, ganham 4 salários mínimos e os demais funcionários ganham mensalmente 5 salários mínimos. Se essa empresa possui 45 funcionários, então o gasto com o pagamento mensal desses salários é igual, em salários mínimos, a: 01) 130 04) 212 02) 162 05) 235 03) 180 44. (UESB-2008) Uma associação de moradores recebeu certa quantidade de alimentos para ser distribuída com as famílias carentes da comunidade. Os produtos foram acomodados em 50 caixas, contendo 55 pacotes de 1kg de cada alimento: arroz, feijão e textura de soja. Sabendo-se que cada caixa contém 3kg de feijão a mais que de textura de soja e 2k de feijão a mais que de arroz, pode-se afirmar que a quantidade de arroz distribuída na comunidade foi igual, em quilogramas, a: 01) 580 04) 1000 02) 850 05) 2750 03) 900

45. (UESC-2009) O sulfato de alumínio é um produto químico usado para purificar a água. Em um tanque contendo 1000l de água, foi adicionado sulfato de alumínio se obter uma concentração de 20mg/l. Se erradamente se obteve uma concentração de 50mg/l, a quantidade de água que deveria haver a mais no tanque para se obter a concentração desejada é: 01) 1000 04) 2000 02) 1200 05) 2500 03) 1500 46. (UEFS-08.2) Durante o treinamento para uma competição, foi usado um modelo matemático para estimar o desempenho dos atletas, segundo o qual o quadrado da velocidade média do atleta é inversamente proporcional à sua altura. Segundo esse modelo, um atleta com 1,60m de altura pode concluir a prova em 1 hora. Logo, estima-se que outro atleta, com as mesmas condições físicas e técnicas e com 1,80m de altura, poderá concluir a mesma prova num tempo a) menor do que 1 h. b) entre 1 h e 1h05min. c) entre 1h05min e 1h10min. d) entre 1h10min e 1h15min. e) maior do que 1h15min. 47. (UESB-2007) Em uma campanha de Natal, foram distribuídos, entre algumas famílias de uma comunidade, 144 brinquedos, 192 pares de sapatos e 216 camisas. A distribuição foi feita de modo que o maior número possível de famílias fossem contempladas e todas recebessem o mesmo número de brinquedos, o mesmo número de pares de sapato e o mesmo número de camisas. Considerando-se que cada família recebeu x brinquedos e y pares de sapatos, pode se afirmar que o valor de x + y é igual a: 01) 24 04) 8 02) 14 05) 6 03) 12 48. (UNEB-2006) Ao completarem, respectivamente, 4, 5 e 2 meses de trabalho numa revendedora de automóveis, os funcionários A, B e C receberam juntos uma gratificação de R$ 5500,00. Sabendo-se que a quantia recebida por cada funcionário foi diretamente proporcional ao tempo de serviço de cada um na empresa, pode-se afirmar que o funcionário B recebeu, em reais, 01) 2700 04) 2200 02) 2500 05) 2000 03)2300

49. (UNEB-2008) A equação x31x3 −=+ possui 01) duas raízes reais distintas e de sinais opostos. 02) duas raízes reais distintas e de mesmo sinal. 03) apenas uma raiz real negativa. 04) apenas uma raiz real positiva. 05) raízes complexas. 50. (UEFS-01.1) Se S é o conjunto-solução da equação, em R,

2xx +−= , então:

a) S é um conjunto vazio. b) S é um conjunto unitário contido em Q-. c) S é um conjunto unitário contido em Q+. d) S é um conjunto com dois elementos contido em N. e) S é um conjunto com dois elementos contido em Z.

51. (UEFS-05.1) Sobre a equação, x23x2 =+ , x∈R, pode-se afirmar que possui

a) uma única solução Nx1 ∈ .

b) uma única solução NZx1 −∈ . c) duas soluções x1 e x2 tais que x1 + x2 = 0. d) duas soluções x1 e x2, tais que x1 – x2 = 0. e) duas soluções x1 e x2,, pertencentes a Q – Z.

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52. (UEFS-05.2) Sobre a equação x1x4x2 2 =−− , x∈R+, pode-se afirmar: a) Possui duas soluções e ambas são racionais. b) Possui duas soluções e ambas são irracionais. c) Possui uma única solução que é racional. d) Possui uma única solução que é irracional. e) Não possui solução. 53. (UESC-2006) O conjunto-solução da equação em x ∈ R,

( ) 0x31x 2>+− é:

01)

4

1,

2

1 04)

∞+− ,

4

1

02) ] [∞+∪

− ,11,

2

1 05) ] [∞+,1

03)

∞+− ,

2

1

54. (UESC-2008) Sabendo-se que as raízes da

equação 0cx22x2 =+− são números naturais x1 e x2, tais que x1 >

x2 e ( ) ( ) 72x,xmmcx,xmdc 2121 =⋅ , pode-se concluir que x1 - x2 é igual

a: 01) 1 04) 18 02) 10 05) 29 03) 14 55. (UEFS-05.2) Em um reservatório de água, verificou-se que, em dado momento, a concentração de um certo produto químico na água, que deveria ser de, no mínimo, 1ppm (partes por milhão) e, no máximo, de 2ppm, era de 2,5ppm. Tentando corrigir o problema, foi acrescentado ao reservatório uma quantidade de água pura igual a k% do volume contido no reservatório. Nessas condições, pode-se afirmar que o problema foi solucionado para k igual a: a) 10 d) 30 b) 15 e) 160 c) 20 56. (UESC-2006) Cem maçãs foram distribuídas em 11 caixas e em alguns sacos, de modo que todas as caixas receberam a mesma quantidade de maçãs, e o número de maçãs colocadas em cada saco foi igual ao dobro das maçãs colocadas em cada caixa. Nesse caso, pode-se afirmar que o número de sacos pertence ao conjunto: 01) 4, 10, 13 04) 6, 8, 12 02) 5, 11, 14 05) 7, 8, 13 03) 5, 8, 11 57. (UEFS-04.1) Um pacote de papel usado para impressão contém 500 folhas no formato 210mm por 300mm, em que cada folha pesa 80g/m2. Nessas condições,o peso desse pacote é igual, em kg, a a) 0,50 d) 1,80 b) 0,78 e) 2,52 c) 1,36 58. (UESB-2005) Para fazer uma viagem ao exterior, uma pessoa foi a uma instituição financeira comprar dólares. Nesse dia, um dólar estava sendo cotado a 0,85 euros e um real estava sendo cotado a 0,25 euros. Com base nesses dados, pode-se afirmar que, para comprar 500 dólares, essa pessoa gastou, em reais, 01) 1700,00 04) 1450,00 02) 1640,00 05) 1360,00 03) 1520,00

59. (UNEB-2006) Uma proposição equivalente a "Se alimento e vacino as crianças, então reduzo a mortalidade infantil" é: 01) Alimento e vacino as crianças ou não reduzo a mortalidade infantil. 02) Se não reduzo a mortalidade infantil, então alimento ou vacino as crianças. 03) Não alimento ou não vacino as crianças e não reduzo a mortalidade infantil. 04) Se não reduzo a mortalidade infantil, então não alimento ou não vacino as crianças. 05) Alimento e vacino as crianças e não reduzo a mortalidade infantil. 60. (UNEB-2003) Considere as proposições:

( )

10010:r

010

110:q

1,01,0:p

2

2

2

=−

=−

>

−.Tem valor lógico verdade:

01) qp ∧ 04) rp~ ⇔

02) r~q∨ 05) ( )qpp →∧

03) pq →

GABARITO REVISÃO GERAL

01. D 02. 04 03. 01 04. 04 05. A 06. 01

07. 01 08. 05 09. 02 10. D 11. 03 12. 01

13. 02 14. 05 15. 01 16. 03 17. 04 18. 02

19. 02 20. 03 21. E 22. D 23. E 24. D

25. 02 26. 02 27. E 28. B 29. 05 30. 03

31. A 32. C 33. 04 34. 05 35. C 36. A

37. 05 38. A 39. E 40. D 41. B 42. B

43. 02 44. 03 45. 03 46. B 47. 02 48. 02

49. 04 50. C 51. A 52. D 53. 03 54. 03

55. D 56. 05 57. E 58. 01 59. 04 60. 02

Conjuntos Conjuntos Numéricos Naturais(N) = ...,5,4,3,2,1,0N =

Inteiros (Z) = ...,3,2,1,0,1,2,3...Z −−−=

Racionais(Q) =

∈∈== *ZbeZacom,b

ax;xQ

Irracionais(Q’ou I) = Decimais infinitos e não periódicos.

Relação de Pertinência – Elemento para Conjunto

∈(Pertence) ou ∉(Não Pertence) Relação de Inclusão - Conjunto para Conjunto

⊂ (está Contido) ou ⊄ (não está Contido) ⊃ (contém) ou (não Contém)

Conjuntos

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Obs: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. ∅ ⊂ A, ∀ A

Operações com Conjuntos União ∪∪∪∪ - Chamamos de A ∪ B, o conjunto formado por todos elementos de A ou de B.

BxouAx/xBA ∈∈=∪

Representação da união de conjuntos em diagramas de Venn

Propriedades:

( ) ( )

∀∪∪=∪∪

∀∪=∪

∀=∪⇔⊂

CeB,A,CBACBA

B,A,ABBA

B,A,ABAAB

Interseção ∩∩∩∩ - Chamamos de A ∩ B, o conjunto formado por todos os elementos comuns a A e B.

BxeAx/xBA ∈∈=∩

Representação da interseção de conjuntos em diagramas de Venn

Propriedades:

( ) ( )

∀∩∩=∩∩

∀∩=∩

∀=∩⇔⊂

CeB,A,CBACBA

B,A,ABBA

B,A,ABAAB

Diferença - Chamamos de A - B, o conjunto formado por todos elementos que pertencem A e não pertencem a B.

BxeAx/xBA ∉∈=−

Representação da diferença de conjuntos em diagramas de Venn

Propriedades:

∀−≠−⇔≠

∀=−∅=∩

∀∅=−⇔⊂

B,A,ABBABA

B,A,ABA,BA

B,A,ABAB

Complementar Dados dois conjuntos complementar A e B, em que A ⊂ B, chamamos de complementar de A em B C

A

B o conjunto formado

pelos elementos que pertencem a B e não pertencem a A.

AxeBx/xABCAB ∉∈=−=

Representação da diferença de conjuntos em diagramas de Venn

Propriedades: A,CAA ∀∅= A,ACA ∀=∅

Complementar de um conjunto A em relação a um universo U.

Em particular, temos ( )( ) 'B'A'BA

'B'A'BA

C

∪=∩

∩=∪

∅=∅∅

Intervalos Reais

Subconjuntos de R Símbolo Representação

no eixo real

bxa/Rx ≤≤∈

[ ]b,a

bxa/Rx <<∈

] [b,a

bxa/Rx ≤<∈

] ]b,a

bxa/Rx <≤∈

[ [b,a

ax/Rx ≥∈

[ [∞+,a

ax/Rx >∈

] [∞+,a

bx/Rx ≤∈

] ]b,∞−

bx/Rx <∈

] [b,∞−

Notas: 1. O símbolo ∞ deve ser lido “infinito” 2. A bolinha (•) em um extremo do intervalo indica que o número associado a esse extremo pertence ao intervalo. 3. A bolinha (ο) em um extremo do intervalo indica que o número associado a esse extremo não pertence ao intervalo. 4. Usaremos sempre a denominação aberto no +∞ e no -∞. 61. (UEFS-04.1) Sendo [ ]85,50M = e 3pore2pordivisíveléx,ZMxT ∩∈= , pode-se afirmar que número de elementos do conjunto T é: a) 6 d) 11 b) 7 e) 12 c) 9 62. (UEFS-02.1)

Sendo Nk,k3x;NxM ∈=∈= e

∈=∈= *Nn,n

30x;NxS , o

número de elementos do conjunto M ∩ S, é igual a: a) 1 d) 6 b) 3 e) 7 c) 4 63. (UEFS-01.1)Sejam os conjuntos 3demúltiploéx,ZxA ∈= ,

15x,NxB ≤∈= e 12x*,NxC ≤∈= . Se X é um conjunto tal

que X ⊂ B e CAXB ∩=− , o número de elementos de X é igual a: a) 6 d) 12 b) 9 e) 14 c) 11

'AouAAUCA

U=−=

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64. (UEFS-07.1) Considerem-se os conjuntos

5x1;NxA ≤≤−∈= , 13x;ZxB 2 <−∈= e

12x;RxC ≤−∈= . O conjunto ( )CBA ∩∩ é:

a) -1, 0 d) [ -1, 0] b) -1 e) ] -1, 0] c) 0

65. (UEFS-03.1) A tabela expressa o número de cursos oferecidos, em uma faculdade, por turno.

Da análise da tabela, pode-se afirmar que essa instituição oferece um total de cursos igual a:

a) 25 d) 15 b) 22 e) 10 c) 20

66. (UESB-2005) Um teste composto por duas questões, valendo 1,0 ponto cada uma, foi corrigido por um professor que não considerou questões parcialmente corretas, de modo que um aluno só poderia obter uma das três notas: zero, 1,0 ou 2,0. Sabendo-se que:

• 20 alunos tiveram 1,0; • 15 alunos tiveram 2,0; • 30 alunos acertaram o segundo problema; • 22 alunos erraram o primeiro problema;

pode-se afirmar que o número total de alunos que fizeram o teste foi igual a:

01) 35 04) 65 02) 42 05) 72 03) 50 67. (UESB-2007) Um professor de Literatura sugeriu a uma de suas classes a leitura da revista A e da revista B. Vinte alunos leram a revista A, 15 só a revista B, 10 as duas revistas e 15 nenhuma delas. Considerando-se que x alunos dessa leram, pelo menos, uma das revistas, pode-se concluir que o valor de x é igual a:

01) 35 04) 55 02) 45 05) 60 03) 50 68. (UEFS-03.2) Dentre os candidatos a um emprego que fizeram o teste de seleção, verificou-se que:

150 acertaram a 1ª ou a 2ª questão, 115 não acertaram a 1ª questão, 175 não acertaram a 2ª questão, Quem acertou a 1ª questão não acertou a 2ª.

Com base nessas informações, pode-se concluir que a quantidade de candidatos que fizeram o teste foi igual a: a) 200 d) 265 b) 220 e) 345 c) 265 69. (UEFS-09.1) Sobre um grupo de 40 analistas de sistema e programadores que atuam em uma grande empresa de Informática, sabe-se que:

• 80% dos programadores trabalham em tempo integral, • 40% dos analistas trabalham em tempo parcial, • apenas 5 programadores trabalham em tempo parcial.

Com base nesses dados, é possível afirmar que o total de: a) analistas é igual a 12. b) programadores é igual a 29. c) 15 programadores trabalham em tempo integral. d) 9 analistas trabalham em tempo integral. e) 13 pessoas desse grupo trabalham em tempo parcial.

70. (UEFS-08.2) Além do aspecto lúdico, os jogos de tabuleiro possibilitam o desenvolvimento do raciocínio, disciplina e poder de concentração dos jogadores, promovendo também a socialização entre os participantes. Em um grupo de 20 pessoas que apreciam jogos de tabuleiro, 12 jogam xadrez, 15 jogam damas, 6 jogam gamão e 3 jogam xadrez, damas e gamão. Considerando-se, em relação às pessoas desse grupo, as afirmações

I. Dez pessoas jogam mais de uma modalidade, II. Todas as pessoas que jogam xadrez também jogam damas, III. Se, das pessoas que jogam damas, oito jogam xadrez, então uma única pessoa joga apenas gamão, pode-se concluir:

a) Apenas I é verdadeira. b) Apenas II é verdadeira. c) Apenas I e III são verdadeiras. d) Apenas II e III são verdadeiras. e) Todas as afirmativas são verdadeiras. 71. (UESC-2006) Numa cidade, existem 2 clubes A e B, tais que o número de sócios do clube B é 20% maior do que o número de sócios do clube A. O número de pessoas que são sócias dos dois clubes é igual a 25% do número de pessoas que são sócias somente do clube A. Se y é o número de pessoas que são sócias do clube A ou do clube B e x é o número de sócios somente do clube A, pode-se afirmar que:

01) y = 2,2x 04) y = 2,7x 02) y = 2,3x 05) y = 3x 03) y = 2,5x 72. (UESB-2005) Considerando-se o conjunto

3x;RxB 2 <∈= + , assinale com V as afirmativas verdadeiras e

com F, as falsas.

( ) B3 ∈ ( ) B10

17,

5

8⊂

( ) ∅≠∩− B3,3

A alternativa correta, considerando-se a marcação de esquerda para direita, é a: 01) F V F 04) V F F 02) F V V 05) V F F 03) V V V 73. (UESB-2004) Dos conjuntos A e B, sabe-se que BA − tem 3 elementos, AB − , 4 elementos e BA × , 30 elementos. A partir dessas informações, pode-se concluir que o número de elementos de BA ∪ é igual a: 01) 7 04) 10 02) 8 05) 12 03) 9 74. (UESC-2007)

Analisando-se a parte hachurada representada no diagrama e as afirmações

( )CBA.I ∪∩ ( )CBA.III ∪∩

( )CBA.II ∩∩ ( )CBA.IV ∩∩

pode-se concluir que a alternativa correta é a: 01) I 04) I e III 02) III 05) II e IV 03) IV

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75. (UESC-2002)

No diagrama de Venn, a região sombreada representa o conjunto:

01) C ∩ (B – A) 04) ( ) ABC −∪

02) C - (A ∩ B ∩ C) 05) ( ) ABC −∩

03) C – (A ∩ B) 76. (UEFS-08.1) Sabe-se sobre os conjuntos não vazios X e Y que

• X tem um número pra de elementos; • Y tem um número ímpar de elementos; • X ∩ Y é um conjunto unitário; • O número de subconjuntos de Y é o dobro do número de

subconjuntos de X. Com base nessas informações, pode-se concluir que o número de elementos de X ∪ Y é igual a: a) dobro do número de elementos de X. b) dobro do número de elementos de Y. c) triplo do número de elementos de X. d) triplo do número de elementos de Y. e) quádruplo do número de elementos de X. 77. (UESB-2009) Os conjuntos X e Y têm, respectivamente, 7 e 13 elementos. Com relação às operações entre X e Y afirma-se.

I. YX ∩ tem, no mínimo 7 elementos.

II. YX ∪ tem, no máximo, 20 elementos.

III. XY − tem, no mínimo, 6 elementos. Donde se conclui que: 01) apenas I é verdadeira. 02) apenas III é verdadeira. 03) apenas I e II são verdadeiras. 04) apenas II e III são verdadeiras. 05) I, II e III são verdadeiras. 78. (UEFS-08.1) O para ( )n,m tem para abscissa e ordenada valores simétricos e pertence ao conjunto

( )

−=×∈=x4

3x

y,RRy,xP * . Nessas condições, pode-se afirmar

que mn é igual a: a) – 6 d) 4 b) – 5 e) 9 c) – 3 79. (UEFS-08.1) No Brasil, tanto a oferta de cursos de graduação a distância, quanto o interesse da população por esses cursos têm aumentado de forma significativa. Certa instituição de ensino ofereceu 500 vagas para cursos a distância, distribuídas entre alunos de três regiões, que foram preenchidas do seguinte modo: na região 1, foram contemplados 80 alunos a menos que na região 2 e, nesta, 40 alunos a menos que na região 3. Assim, foram contemplados a) 100 alunos na região 3. b) 180 alunos na região 2. c) 180 alunos na região 3. d) 220 alunos na região 1. e) 220 alunos na região 2.

80. (UEFS-05.2) Duas pesquisas, sobre o desempenho do governo em relação aos itens desenvolvimento econômico e desenvolvimento social, foram realizadas em épocas diferentes, envolvendo, em cada uma delas, 70 habitantes de uma cidade. O resultado revelou que, • na 1ª pesquisa, 20 pessoas avaliaram o desempenho na economia e o desenvolvimento social como ruins 40 pessoas avaliaram o desempenho na economia como bom e 25 pessoas avaliaram o desenvolvimento social como bom; • na 2ª pesquisa, 20% das pessoas que avaliaram, na 1ª pesquisa, o desempenho na economia e o desenvolvimento social como bons avaliaram os dois itens como ruins e os outros entrevistados mantiveram a mesma opinião da pesquisa anterior. Sendo assim, o número de pessoas que avaliaram, na 2ªpesquisa, os dois itens como ruins foi igual a: a) 23 d) 28 b) 25 e) 29 c) 26

GABARITO CONJUNTOS

61. A 62. C 63. D 64. C 65. D 66. 02

67. 01 68. B 69. D 70. C 71. 03 72. 01

73. 03 74. 03 75. 01 76. A 77. 04 78. C

79. B 80. A ***** ***** ***** *****

Sistema Cartesiano

As coordenadas de um ponto (x,y), onde x é abscissa e y é a ordenada. Dois pares ordenados são iguais se, e somente se, suas abscissas e suas ordenadas são iguais, isto é:

(a, b) = (c, d) ⇔ a = c e b = d.

Relação e Função Dados dois conjuntos A e B, o conjunto de todos os pares

ordenados (a, b), tal que a ∈ A e b ∈ B, chama-se produto cartesiano A X B. Uma relação de A em B é qualquer subconjunto de A X B.

( ) ( ) ( )BnAnBAn ⋅=× O domínio da relação é o conjunto formado pelos primeiros

elementos dos pares ordenados, e a imagem da relação é o conjunto formado pelos segundos elementos dos pares ordenados. 2- Uma função é uma relação que associa a cada elemento do domínio um único elemento da imagem. Se o par ordenado ( )y,x pertence à função f, dizemos que y é o valor da função f em x, e é comum expressar o valor de uma função também por "efe de x":

y = f(x). Estudando o domínio de uma função

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )

=

≥=

>=≠⇔=

RfDimparforn

0xfparfornxfy

0xgimparforn

0xgparforn

xg

xfy0xg

xg

xfy

n

n

Tipos de Função

Função Sobrejetora – Uma função BA:f → é sobrejetora ou uma sobrejeção se, e somente se, o seu conjunto imagem for igual ao contradomínio, isto é, se BIm = . Obs: Não sobra elemento de B.

Funções

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O domínio é o conjunto IR e a imagem, o conjunto unitário c.

Função Injetora – Uma função BA:f → é injetora ou uma injeção se, e somente se, elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas. Obs: elementos de B “flechados” somente uma vez. Função Bijetora – Uma função BA:f → é bijetora ou uma bijeção se, e somente se, ela é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo. Obs: Todos os elementos de B são “flechados” só uma vez.

Função Inversa

1º) Isolamos x na sentença ( )xfy = . 2º) Pelo fato de ser usual a letra x como símbolo da variável independente, trocamos x por y e y por x.

Função Par e Função Impar

Uma função BA:f → é par, se e somente se:

AxAx ∈−⇒∈• ( ) ( ) Axtodoparaxfxf ∈−=• Uma função BA:f → é impar, se e somente se:

AxAx ∈−⇒∈• ( ) ( ) Axtodoparaxfxf ∈−−=•

Função Crescente e Função Decrescente • Dada uma função BA:f → , dizemos que f é crescente em um

conjunto A’, A'A ⊂ , se e somente se, para quaisquer 'Ax1 ∈ e

'Ax2 ∈ , com 21 xx < tivermos ( ) ( )21 xfxf < . • Dada uma função BA:f → , dizemos que f é decrescente em um

conjunto A’, A'A ⊂ , se e somente se, para quaisquer 'Ax1 ∈ e

'Ax2 ∈ , com 21 xx < tivermos ( ) ( )21 xfxf > .

Função Composta • Dados três conjuntos A, B e C e as funções BA:f → e

CB:g → , chama-se função composta de g em f à função h, de A

em C, definida por ( ) ( )( )xfgxh = , para todo Ax ∈ .

Função do 1º grau Uma função que pode ser expressa na forma bax)x(f += , com a e

b sendo números reais e a ≠ 0, chama-se função polinomial de 1º grau.

O gráfico é uma reta, não horizontal, nem vertical.

O domínio e a imagem são o conjunto IR dos números reais. Uma função que pode ser expressa na forma f(x) = c, sendo c um número real, chama-se função constante.

O seu gráfico é uma reta horizontal.

Função do 2º grau

Uma função que pode ser expressa na forma cbxax)x(f 2 ++= ,

com a, b e c sendo números reais e a ≠ 0, chama-se função polinomial de 2º grau. O gráfico é uma curva plana chamada parábola.

O ponto mínimo ou o ponto máximo tem a abscissa em a2

bx −= .

Para calcular o valor mínimo ou o valor máximo basta substituir

a2

bx −= na fórmula de f(x).

O domínio é o conjunto IR, e a imagem é o conjunto:

<

−≤∈

>

−≥∈

0asea2

bfy/Ry

0asea2

bfy/Ry

Estudo do sinal de uma função do 2ºgrau.

81. (UEFS-09.1) Sendo ( )

≥−

<−=

0xse3x2

0xsex2xf

2

. O valor da razão

( )0f1

21

ff

+

é igual a:

a) ( )0f d) ( )2f

b)

21f

e)

23f

c) ( )1f

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82. (UNEB-2009) Considere as proposições I. Toda função é par. lI. A soma de funções pares é sempre uma função par. III. O produto de funções ímpares é uma função ímpar. IV. A soma de uma função par com uma função ímpar é sempre uma função ímpar. A partir dessas proposições, pode-se afirmar: 01) A proposição I é verdadeira. 02) A proposição II é verdadeira. 03) A proposição III é verdadeira. 04) As Proposições I e IV são verdadeiras. 05) As proposições III e IV são verdadeiras. 83. (UEFS-04.2) A função real inversível f tal que ( ) 2x61x2f +=−

tem inversa ( )xf 1− definida por:

a) 2

5x3 + d) 5x3 +

b) 3

5x − e) 15x3 −

c) 3x5 −

84. (UESB-2004) Se ( ) 1x34xf −=+ , x∈R, então ( )8f 1− é igual a: 01) -3 04) 6 02) 0 05) 7 03) 2 85. (UEFS-05.1) Sabendo-se que a função real ( ) baxxf += é tal

que ( ) 2x21x2f 22 +−=+ , para todo x∈R, pode-se afirmar que ab

é

igual a:

a) 2 d) 31

b) 23

e) – 3

c) 21

86. (UEFS-04.1) Sendo 3x,3x

x)x(f −≠

+= uma função real e g a

sua função inversa, pode-se concluir que ( )( ) 32g

12g+−

−− é igual a:

a) – 3 d) 1 b) – 2 e) 2 c) 0 87. (UEFS-06.2) A expressão que define a função g, inversa da função f, representada no gráfico, é: a) ( ) 3x2xg +−= d) ( ) 2x3xg −=

b) ( ) 2x3xg +−= e) ( ) 3x2xg −=

c) ( ) 3x2xg +=

88. (UESB-2003) Se f e g são funções de R em R tais que

( ) 3xxf −= e ( )( ) 2x2xgf += , então ( )( )3fg é igual a:

a) 3 d) 6 b) 4 e) 7 c) 5 89. (UEFS-01.1) Se f(x) e g(x) são funções reais tais que para todo

Rx ∈ , ( ) 1xxf 3 += e ( ) 2xxfog = , então ( )3g é igual a:

a) 193 − d) 3

b) 2 e) 26

c) 3 10

90. (UEFS-07.2) Sendo f e g funções reais com ( )[ ] 2x3xgf 2 −= e

( ) 1x3xf += , pode-se afirmar que ( )1xg + , 1x ≥ , é igual a:

a) x d) 1x −

b) 3x e) 21x −+ c) x + 2 91. (UESB-2008) Considerando-se as funções ( ) 2x3xf += e

( ) 1x2xg +−= , pode-se afirmar que ( )( )xfog 1− é definida por:

01) 2

x31+− 04)

2x37 −

02) 2

x31+ 05)

2x37 +−

03) 2

x31−

92. (UNEB-2008) De uma função real injetora ( )xfy = , sabe-se que

( ) 31f =− , ( ) 01f = e ( ) 12f −= . Se ( )( ) 31xff =− , então ( )2xf − é igual a: 01) – 2 04) 2 02) 0 05) 3 03) 1 93. (UESC-2004) Sendo as funções reais f e g, tais que ( ) 1xxf += ,

( )x1

xg = , x≠0, então a função ( )goffh 1 += − é definida por:

01) ( ) 1Rx,1x

xxh

2

−−∈+

=

02) ( ) 1Rx,1x

2x2xxh

2

−−∈+

++=

03) ( ) 1Rx,1x

xxh

2

−∈−

=

04) ( ) 1Rx,1x

2xh −−∈

+=

05) ( ) 1Rx,1x

xxh

2

−∈−

=

94. (UESC-2009) Dadas as funções reais ( ) 6xxf 3 −= e ( )xh , uma

função inversível, tal que 221

h =

e ( ) 52h = então

( )( ) ( )( )2fh2hf 1 +− é igual a:

01) 87

04) 120

02) 21

05) 124

03) 81

f

- 2

- 1 0 3 x

y

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95. (UEFS-02.2) Dada a função real 2

2

xx1x

)x(f+

−= , com 1x −≠

então

x

1f é igual:

a) 2

2

xx1x

+ d) 1 + x

b) 1 – x e) x

x1+

c) x

1x −

96. (UNEB-2004) Considerando a função real x1

)x(f = assinale com

V as afirmativas verdadeiras e com F, as falsas. ( ) x = 0 pertence ao conjunto-imagem de f.

( )Se x é um número real não nulo, então ( )x1

xf 1 =− .

( ) Existe um único número real x tal que ( )xfx1

f =

.

A alternativa que indica a seqüência correta, de cima para baixo, é a: 01) V F F 04) V F V 02) F V F 05) V V V 03) F V V 97. (UEFS-03.2) Sendo f:R→R uma função ímpar tal que f(2)= 1 e

f(6)=2, pode-se afirmar que o valor de ( )3 6fof − é igual a:

a) – 2 d) 3 2

b) 3 2− e) 2 c) – 1

98. (UEFS-06.1) Se a e b são as raízes da equação 0qpxx2 =++ ,

então a soma 22 abba + é igual a: a) –pq d) p + q b) pq e) p2 + q2 c) p2q2

99. (UEFS-07.2) Sendo o trinômio 0k,36kx3x2 >++ , um quadrado

perfeito, pode-se afirmar que o ponto simétrico a ( )2k,kP − , em relação à bissetriz do primeiro quadrante, tem ordenada igual a: a) 0 d) 3 b) 1 e) 4 c) 2 100. (UESC-2009) Se as raízes, x1 e x2 da função quadrática

( ) ax7x2xf 2 +−=

são tais que

25

xx 21 =− , então a função

intersecta o eixo Oy no ponto: 01) ( )4,0

04) ( )1,0

02) ( )3,0

05) ( )1,0 −

03) ( )2,0

101. (UEFS-07.1) Considerem-se as afirmações:

I. O trinômio 4x5x2 ++ é positivo para todo real x.

II. O domínio da função ( )2xx

x1xf

2

2

−−

+= é R – 2.

lII. A função ( ) ( ) m3mx2x1mxf 2 ++−= assume valores estritamente

positivos se, e somente se, .23

m >

a) Apenas I é verdadeira. b) Apenas IlI é verdadeira. c) Apenas a II e III são verdadeiras. d) As afirmações I e III são verdadeiras. e) As afirmações II e III são falsas.

102. (UEFS-01.1) Considere a função ( ) cbxaxxf 2 ++= , tal que:

• f(x) = f(-x) , para todo x∈R, • seu conjunto-imagem é o intervalo ]- ∞, 3], • f(1) = 0 Nessas condições, pode-se concluir que f(2) é igual a: a) – 9 d) 0 b) – 6 e) 3 c) – 3 103. (UESB-2008) Considerando-se a função f de R em R definida

por ( )

≤++−

>−−=

1xse,3x2x

1xse,3x2xxf

2

2

, e as proposições:

I. f cresce no intervalo ] ]1,∞−

II. ( ) 0xf ≤ , para todos ] ] ] ]3,11,x ∪−∞−∈

III. ( ) ( ) ( )2142f32f +−=−⋅− Pode-se afirmar que a alternativa que contém todas as proposições verdadeiras é a: 01) I 04) I e III 02) II 05) II e III 03) I e II 104. (UEFS-06.1) O conjunto-imagem da função real

>−

≤+=

1x;x26

1x;x21)x(f é:

a) ] – ∞, 3] d) R – ] 3, 4] b) ] – ∞, 4[ e) R c) ] 3, +∞[ 105. (UESB-2005) Em janeiro de 2004, o diretório acadêmico de uma faculdade começou a publicar um jornal informativo mensal e, nesse mês, foram impressos 150 exemplares. Devido à aceitação, esse número foi acrescido, a cada me subseqüente, de uma quantidade constante, até atingir, em dezembro de 2004, o número de 920 exemplares. A expressão que representa o número E de exemplares impressos em relação ao tempo t, em meses, sendo de 2004 equivalente a t = 0 é: 01) E = 150t 04) E = 920 – 150t 02) E = 150 + 70t 05) E = 920t – 150 03) E = 150 + 50t 106. (UEFS-07.2) Uma delicatessen que costuma vender 30 tortas por dia, ao preço unitário de R$18,00, fez uma promoção, em um determinado dia, reduzindo esse preço a R$15,00, o que elevou o número de unidades vendidas para 36. Se o número de unidades vendidas é função do primeiro grau do preço, então o valor do preço que maximiza a receita diária é, em reais, igual a: a) 14,00 d) 20,00 b) 16,50 e) 22,50 c) 18,50

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107. (UEFS-09.1) Em um determinado concurso, 2000 candidatos inscritos compareceram às provas realizadas em um grande colégio. O número de candidatos (y) que entraram no colégio, em função do horário de entrada(t), é representado por pontos do gráfico, sendo t=0 o instante em que os portões de acesso foram abertos e t=60, o instante em que esses portões foram fechados.

Assim, pode-se afirmar que, quando o número de candidatos no interior do colégio atingiu 1860, o tempo decorrido desde a abertura dos portões foi igual a a) 53min20seg d) 55min20seg b) 53min45seg e) 55min48seg c) 54min36seg 108. (UEFS-07.2) Para ir da cidade em que reside até sua fazenda, uma pessoa percorre, de carro um trecho de 150 km de uma rodovia. O gráfico representa a distância (d, em km) percorrida, após t horas da partida da cidade.

Uma expressão que permite calcular a distância do automóvel à fazenda, no intervalo em que atingiu a maior velocidade, é: a) t50 d) 100(t – 1) b) t75 e) 125(t + 2)

c) ( )5t325

109. (UEFS-08.2) Os amigos J e P combinaram de se encontrar em um restaurante situado num ponto R da cidade.

Analisando-se o gráfico, no qual os segmentos JR e PR representam os trajetos feitos por J e P, respectivamente, de suas casas até o ponto de encontro, pode-se concluir que a razão entre as distâncias percorridas por P e J é:

a) 23 d)

54

b) 45 e)

32

c) 1

110. (UESC-2004) Para uma comemoração, um grupo de amigos faz reserva, num restaurante, de 40 lugares e estabelece o seguinte acordo: cada pessoa que compareça à comemoração pagará R$30,00 e mais R$ 3,00 por cada uma das pessoas que não compareça. Para que o restaurante tenha o maior lucro possível, com essa comemoração, o número de presentes deverá ser igual a: 01) 30 04) 15 02) 25 05) 1 03) 20 111. (UEFS-06.2) Em uma partida de futebol, o goleiro repôs a bola em jogo com um chute tal que a bola descreveu uma trajetória parabólica de equação,

x6x2

1y 2 +−=

com x e y expressos em metros. A distância percorrida pela bola e a altura máxima atingida por ela, desde o local do chute até o ponto em que ela toca o solo, foram, respectivamente, iguais, em metros, a: a) 6 e 12 d) 12 e 18 b) 3 e 18 e) 18 e 12 c) 12 e 6

112. (UEFS-04.1) Sabendo-se que ( ) 6x4x2f −=− , pode-se afirmar que o gráfico que melhor representa a função f(x) é:

113. (UESB-2004)

O valor de certo automóvel decresce linearmente com o tempo t, conforme o gráfico. Sabendo-se que t = 0 corresponde à data de hoje, pode-se afirmar que o automóvel valerá R$19000,00 de hoje a 01) 4 anos e meio. 04) 6 anos. 02) 5 anos. 05) 7 anos. 03) 5 anos e meio.

x

x

y

0

- 4

d)

x

y

0

-2

b)

x

y

0

2

e)

x

y

0

2

c)

y

0

2

4

a)

21

21

21

21

V (

milh

ares

de

reai

s)

t(anos)

28

6

0 1 12

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114. (UNEB-2005)

Da análise do gráfico onde estão representadas as funções

( ) 2xxf +−= e ( ) 2xxg = , pode-se concluir que o conjunto-solução da

inequação ( )( )

1xg

xf< é:

01) ] -2, 1 [ - 0 04) R – [ -1, 2 ] 02) ] -1, 2 [ - 0 05) R – [ -2, 1 ] 03) R – [ -1, 1] 115. (UEFS-04.2) O vértice da parábola de equação

( ) k4x2xxf 2 −+−= é um ponto da reta y = 2. Portanto, a parábola corta o eixo Oy no ponto de ordenada: a) -1/4 d) 2 b) 0 e) 4 c) 1

116. (UEFS-05.1) Se a função real ( ) axxxf 2 +−= é crescente no

intervalo

∞−

21

, e decrescente em

∞+,

21

, então α é igual a:

a) -2 d) 2 b) -1 e) 3 c) 1 117. (UEFS-05.1) O valor máximo de C para que o gráfico da

função ( ) Cx3xxf 2 ++= intercepte o eixo Ox é:

a) 29

d) 49

b) 4 e) 23

c) 3 118. (UESB-2007) O custo para produzir x unidades de certa

mercadoria é dado pela função ( ) 51x20x2xC 2 +−= . Nessas condições, é correto afirmar que o custo é mínimo quando x é igual a: 01) 5 04) 15 02) 8 05) 20 03) 10 119. (UESB-2009) Sobre as funções reais f e g, sabe-se que:

• ( ) ( )3x2g3xf2 −=− , para todo x real, • g é uma função ímpar e seu gráfico passa pelo ponto P = (1, 5)

A partir dessas informações, pode-se concluir que o gráfico de f passa necessariamente, pelos pontos: 01) ( ) ( )2,1e2,1 −− 04) ( ) ( )1,1e4,2 −

02) ( ) ( )2,1e2,1 −− 05) ( ) ( )1,1e4,2 −−

03) ( ) ( )1,1e1,2 −

120. (UESB-2005)

Na figura, estão montadas a parábola de equação 2x4xy 2 +−= e uma reta que passa pela origem dos eixos coordenados, pelo vértice V e pelo ponto A da parábola. Com base nessas informações, pode-se concluir que as coordenadas cartesianas do ponto A são:

01)

31

,31

04)

47

,23

02)

41

,21

05) (2,-2)

03) (1,-1) 121. (UESB-2009) As funções f(x) e g(x), representadas no gráfico indicam os valores, em reais, cobrados por duas pessoas na digitação de x páginas de trabalhos escolares.

Então, o valor f cobrado pela digitação de 70 páginas é:

01) igual ao valor g. 02) R$6,75 mais barato que o valor g. 03) R$8,20 mais barato que o valor g. 04) R$10,50 mais caro que o valor g. 05) R$12,25 mais caro que o valor g. 122. (UEFS-02.1) Seja f uma função do 2º grau. Se o gráfico de f é uma parábola de vértice V=(2,1) e intercepta um dos eixos coordenados no ponto (0,3) , então a expressão f(x) é igual a:

a) ( ) 3x32x

xf2

+−= d) ( ) 3x3xxf 2 +−=

b) ( ) 3x2x2xf 2 ++= e) ( ) 3x22x

xf2

+−=

c) ( ) 3x23x

xf2

++=

123. (UESC-2003) Sendo Rb ∈ uma constante, e 21 xex as

abscissas dos vértices das parábolas 2bxxy 2 ++= e

( ) 2x2bxy 2 +++= , respectivamente, conclui-se que:

01) 1xx 12 −= 04) 1x2x 21 −=

02) 1xx 12 += 05) 1x2x 12 +=

03) 2xx 12 += 124. (UESC-2008) Sobre uma função f: R → R, que é par e tal que,

para todo x ∈ R+, ( ) xx3x2xf 23 ++= , pode-se afirmar que:

01) essa função não existe.

02) ( ) xx3x2xf 23 −+−= , para todo x ∈ R-.

03) ( ) xx3x2xf 23 ++= , para todo x ∈ R-.

04) ( ) xx3x2xf 23 +−= , para todo x ∈ R-.

05) ( ) xx3x2xf 23 −−−= , para todo x ∈ R-.

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125. (UESB-2007)

Considerando-se f(x) a função que calcula o número de quadrados e x o número de palitos, pode-se concluir que f(x) é igual a:

01) 2

3x − 04)

3

2x +

02) 3

1x − 05)

31x +

03) 2

6x3 −

126. (UNEB-2002) Os gráficos representam as funções f: R → R ( ) nmxxf += g: R →

R; ( ) cbxaxxg 2 ++= . A partir da análise desses gráficos, conclui-se que a função f(g(x)) é definida por: 01) x2 - 4x + 2 04) -x2 + 4x - 2 02) x2 - 4x + 4 05) -x2 - 4x – 4 03) -x2 + 4x + 4

127. (UEFS-05.2) Considere-se a função real ( ) ax34axxf 2 ++= .

Se o maior valor de f(x) é 1, então a constante a∈R é igual a a) – 4 d) 3 b) – 3 e) 4 c) 3− 128. (UESB-2009) Ao calcular as raízes do polinômio de

coeficientes reais ( ) cbxaxxP 2 ++= , 0a ≠ , dois alunos encontraram valores incorretos para elas - o primeiro. por ter copiado

errado o coeficiente do termo de 1° grau, encontrou raízes 2− e

2 , e o segundo, por ter copiado errado o termo independente, encontrou raízes 1 e 3. Sendo P(4) = 4, o polinômio P(x) assume um valor: 01) mínimo igual a – 8. 02) máximo igual a – 8. 03) mínimo igual a 0. 04) mínimo igual a 12. 05) máximo igual a 12. 129. (UNEB-2007) Um segmento AB, paralelo ao eixo oy, tem

extremidades A e B sobre as curvas de equações ( ) xxxf 2 +−= e

( ) 1xg = , respectivamente. O menor comprimento possível de AB é igual, em u.c.,

01) 45

04) 32

02) 5

4 05)

2

1

03) 43

130. (UEFS-08.2) O gráfico representa uma função f definida em [ ]2,4− .

Sendo S a soma dos valores de x para os quais ( )( ) 2xff −= , o valor

( )( )Sff é:

a) – 2 d) 2 b) 0 e) 4 c) 1 131. (UEFS-07.1) Sobre a função f:R→R representada no gráfico, á correto afirmar:

a) f é injetiva e seu conjunto imagem é [0, 2]. b) f é sobrejetiva e o número 3 pertence ao conjunto-imagem. c) f é uma função impar. d) f é injetora e par. e) f é não sobrejetora e o número 1 é imagem de apenas dois números reais. 132. (UESB-2006) Sendo [-1,4] o conjunto imagem de uma função f(x), pode-se afirmar que o conjunto imagem de g(x)= 3f(x) - 4 é:

01) [ 0, 4] 04) [ 4, 8] 02) [ 0, 8] 05) [ 7, 8] 03) [ 2, 4] 133. (UEFS-05.2) Um fabricante produz canetas ao preço de R$ 2,00 a unidade. Estima-se que, se cada caneta for vendida ao preço de x reais, os consumidores comprarão 1000 - 100x canetas por mês. Sabendo-se que atualmente o lucro mensal do comerciante é de R$ 1500,00, pode-se concluir que a unidade da caneta é vendida por: a) R$ 6,00 ou R$ 7,00 d) R$ 4,00 ou R$ 8,00 b) R$ 5,00 ou R$ 7,00 e) R$ 4,00 ou R$ 6,00 c) R$ 5,00 ou R$ 4,00

GABARITO FUNÇÕES

81. D 82. 02 83. B 84. 05 85. E 86. A

87. C 88. C 89. B 90. A 91. 04 92. 02

93. 01 94. 01 95. B 96. 02 97. C 98. A

99. E 100. 02 101. B 102. A 103. 05 104. B

105. 02 106. B 107. D 108. D 109. E 110. 02

111. D 112. E 113. 03 114. 05 115. C 116. C

117. D 118. 01 119. 04 120. 03 121. 04 122. E

123. 01 124. 02 125. 02 126. 04 127. B 128. 05

129. 03 130. E 131. E 132. 02 133. B *****

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Função Modular Uma função como f(x) = x pode ser expressa por várias sentenças.

( )

≤−

≥=

=

0xse,x

0xse,xx

xxf

[ [+∞== ,0)fIm(eR)f(D

Equações Modulares

Ra,xcom,a,x,axax ⊂∀±=⇔=

Inequações Modulares

Racom,a,axouaxax

Racom,a,axaax

∈∀−≤≥⇔≥

∈∀≤≤−⇔≤

Função Exponencial

As propriedades das potências também se aplicam quando os expoentes são números reais.

nmaaEquação

aaa1

a

aa1nse

1a0nsea...aaaa

nm

n

mn m

nn

1

0

fatoresn

n

=⇒=

=

=

=⇒=

=⇒=⋅⋅⋅⋅=

4434421

A função cujos valores são dados pela fórmula ( ) xaxf = é crescente

se 1a > , e decrescente se 1a0 << . InequaçãoExponencial

134. (UEFS-06.1) O conjunto 2x3;Rx <<−∈ está contido em:

a) 1x;Rx ≤∈ d) 2x;Rx ≥∈

b) 1x;Rx >∈ e) 3x;Rx ≤∈

c) 1x;Rx <∈

135. (UNEB-2004) Para consertar uma engrenagem, é necessário substituir uma peça circular danificada por outra, cujo raio r, em u.c.,

deve satisfazer à relação 01,05,0r ≤− . Assim, só poderão ser

utilizadas, na reposição, peças com um raio, no mínimo, igual a: 01) 0,26 u.c. 04) 0,37 u.c. 02) 0,30 u.c. 05) 0,49 u.c. 03) 0,34 u.c.

136. (UESC-2009) Sobre o conjunto-solução da equação

11x22x −=−−− , em Rx ∈ , tem-se que é um conjunto:

01) vazio 04) de três elementos 02) unitário 05) infinito 03) de dois elementos. 137. (UESB-2008) O gráfico que melhor representa a função

( ) 1x2xf −−= é:

01) 04) 02) 05) 03) 138. (UEFS-07.2) Analise as afirmações: I. 3,2,1,02,1 ∈

II. Se ( ) x3xf = então ( )91

2f =− .

III. Sendo x um número real positivo e k o número inteiro mais

próximo de x, pode-se afirmar que 5,0kx <− .

Nessas condições pode-se afirmar: a) Apenas é verdadeira a afirmativa I. b) Apenas é verdadeira a afirmativa II. c) Apenas são verdadeiras as afirmativas I e II. d) Apenas são verdadeiras as afirmativas I e III. e) Todas as afirmativas são verdadeiras.

139. (UEFS-06.1) Se 755 n2 =− , então ( )n53 ⋅ é igual a:

a) 31

d) 3

b) 5

3 e) 5

c) 1 140. (UESC-2005) Se S é o conjunto-solução da equação

( ) 3321x

1

=+ , com x∈ R, então pode-se afirmar: 01) S ⊂ -1, 0, 3, 2 04) S ⊂ -1, -2, 1/3, 1 02) S ⊂ -1/2, 0, 1, 3 05) S ⊂ -2,1/3,1, 2,3 03) S ⊂ -2, -1/3, 0, 3

141. (UESB-2007) Considerando-se ( ) 2x8xf += , ( )4x2

2

1xg

= e

( ) ( )agaf = , pode-se afirmar que a é elemento do conjunto: 01) [ [3,−−∞ 04) [ [∞+,1

02) [ [∞+− ,2 05) [ ]2,1

03) [ [∞+,2

Função Modular e Exponencial

0 1

2

x

y

1

2

x

y

-1

0 1

-2

x

y

0 2 1 x

y

-1

0 1 x

y

-1

( )( )

n

n

n

nnn

mnmn

mnm

n

mnmn

b

a

b

a

baba

aa

aa

aaaa

=

⋅=⋅

=

=

=⋅

+

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142. (UEFS-06.1) Sendo 2x32)x(f −= e g(x) funções reais, tais que

( )( ) xxgf = , pode-se afirmar que

8

1g pertence ao conjunto:

a)

−−− 2,25

,3 d)

1,31

,41

b)

−−− 1,23

,58

e)

3,2,31

c)

−− 0,31

,51

143. (UEFS-02.1) Se a função exponencial f:R→R definida pela

equação ( ) xaxf = é tal que seu gráfico passa pelo ponto (-2, 8), então:

a) ( )16

14f = d) ( ) ( ) 12f2f −=−⋅

b) ( )2

12

1xf

= e) ( ) 221f =−

c) ( ) ( )x2xf = 144. (UEFS-08.1) Para x e y, números inteiros positivos, considere

a expressão algébrica 10y3 1x =++ .

Quando y assumir o maior valor possível, então ( ) 2xy − pertencerá ao intervalo:

a)

52

,0 d)

3,

52

b)

1,

52

e) [ [5,3

c)

25

,1

145. (UEFS-08.1) A evolução constante na tecnologia e a grande concorrência no mercado resultam na produção de computadores cada vez mais potentes a preços cada vez mais acessíveis. Admitindo que a variação no preço de certo computador, a partir de hoje e pelos próximos 6 meses pode ser estimada através da função

( ) 2t232tP −−= , em que t é dado em meses e P(t) em unidades monetárias, afirma-se: I. O preço desse computador será de 16 unidades monetárias dentro de três meses. II. O preço desse computador decrescerá mensalmente segundo uma progressão aritmética. III. Do terceiro para o quarto mês, espera-se uma queda no preço do computador superior a 6%. Analisando-se essas afirmações, pode-se concluir: a) Apenas I é verdadeira. b) Apenas III é verdadeira. c) Apenas a I e II são verdadeiras. d) Apenas II e III são verdadeiras. e) Todas são verdadeiras. 146. (UEFS-02.1) Estima-se que daqui a t anos a população de

uma cidade seja igual a t24500 ⋅ habitantes. Com base nessa informação, pode-se concluir que, após 3 anos o aumento de habitantes, dessa cidade, em relação à população atual, será igual a: a) 13500 d) 31500 b) 18000 e) 36000 c) 27000

147. (UEFS-05.1) Observa-se que, a partir do momento em que uma rodovia sofre danos e não é recuperada, o custo da recuperação aumenta exponencialmente com o tempo t, o custo,

portanto, é dado por uma função exponencial t0 aCC ⋅= .

Se de 2001 até 2004, não houve nenhuma ação para recuperar uma rodovia, e, em 2002, o custo para a sua recuperação era de R$ 1200000,00 e, em 2003, esse custo subiu para R$ 1320000,00, então, a recuperação dessa rodovia, em 2004, em reais,

a) 1440000,00 d) 1465000,00 b) 1452000,00 e) 1470000,00 c) 1462000,00

148. (UEFS-05.2) Em uma população com P habitantes, a partir do instante t = 0, em que surge um boato sobre um ato de corrupção no governo, o número de pessoas t que ouviram o boato até o instante t

horas é dado por ( ) 5

t

2PPtQ−

⋅−= . Dessa forma, o tempo t, em

horas, para que 43

da população saibam do boato é igual a:

a) 6 d) 12 b) 8 e) 14 c) 10 149. (UESC-2004) Suponha que, t minutos após injetar-se a primeira dose de uma medicação na veia de um paciente, a quantidade dessa medicação existente na corrente sangüínea seja

dada, em milímetros, pela função ( ) 180

t

250tQ−

⋅= e que o paciente deva receber outra dose, quando a medicação existente em sua

corrente sangüínea for igual a 41

da quantidade que lhe foi injetada.

Nessas condições, o intervalo de tempo, em horas, entre a primeira e a segunda dose da medicação, deverá ser igual a:

01) 2 04) 8 02) 4 05) 10 03) 6 150. (UEFS-01.1) Numa região da Terra, logo após a queda de um meteoro contendo uma grande quantidade de um elemento radioativo X, verificou-se que havia M0 gramas desse elemento para cada unidade de área, valor que corresponde a 1.000.000 vezes a quantidade suportável pelo ser humano. Admitindo-se que, em cada instante t após a queda, dado em anos, a quantidade de gramas por unidade de área do elemento X foi igual

a ( ) t20 1,0MM ⋅= , conclui-se que o tempo, em anos, para que a

quantidade do elemento retomasse ao nível aceitável pelo ser humano foi de;

a) 3 d)12 b) 5 e)16 c) 8 151. (UESC-2009) Na figura, estão representados os gráficos das

funções ( ) x2xf = e ( )41

4xg x += .

Se ( )00 y,x são as coordenadas do ponto P, então 00 yx +

é igual

a:

01) 2 04) 0

02) 1 05) 21

03) 21

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152. (UEFS-08.2) Sabendo-se que a desigualdade

021x2x4 1k22k >++ − é verdadeira, para todo x pertencente a R,

pode-se concluir que:

a) 0k < d) 2k23

<≤

b) 23k < e) 2k ≥

c) 23k0 <≤

153. (UESB-2005) Sobre a função ( ) x31xf −−= , pode-se afirmar: 01) É decrescente em R. 02) É uma função par. 03) Tem como domínio [0,+∞[.

04) Tem como função inversa ( ) xlog1xf 31 +=− .

05) Tem para conjunto-imagem ]- ∞, 1[. 154. (UEFS-02.2)

A figura representa o gráfico da função ( ) xaxf = , a>0. Com base na

análise do gráfico e supondo-se ( ) ( )25

2f2f =−+ , pode-se concluir

que:

a) 21

a0 << d) 2 < a < 3

b) 1a21

<< e) a > 3

c) 1 < a < 2 155. (UNEB-2008) Considerando-se um número real x tal que

• 1622x <

• ] [0,1x −∉ Pode-se afirmar que x pertence ao conjunto 01) [ [2,0 04) [ ] [ ]2,01,2 ∪−−

02) [ ]2,0 05) ] [ [ [2,01,2 ∪−−

03) ] ] [ [2,00,1 ∪− 156. (UESC-2008) A figura representa o gráfico da função

( ) .baxf x +=

Com base nessas informações, pode-se concluir que o valor de ( )bf é igual a:

01) 32

− 04) 3

02) 31

− 05) 4

03) 2

GABARITO FUNÇÃO MODULAR E EXPONENCIAL

134. E 135. 05 136. 03 137. 05 138. C 139. C

140. 03 141. 02 142. C 143. E 144. A 145. B

146. D 147. B 148. C 149. 03 150. A 151. 05

152. B 153. 05 154. B 155. 05 156. 01

Logaritmos

Se b é um número real positivo e diferente de 1 e a é um número real positivo tal que

≠>

>==

10b

0a.E.Cnalogentão,ab b

n

Propriedades

abbb

bbbbbb

bbbc

b

alogbb

balogantialogalogco

clogalogca

logclogalogcalog

alogc1

alogalogcalog

ab1blog01log

c

b

=−=

−=+=⋅

⋅=⋅=

===

Mudança de Base blog

alogalog

c

cb =

A função ( ) xlogxf b= é crescente se 1b > e decrescente se

1b0 << .

Equação: caclogalog bb =⇔=

Inequação Logarítmica

É comum omitir o número da base de um logaritmo se ela for 10:

blogblog10 =

O número e = 2,718281828... pode ser calculado com a precisão

desejada se aumentarmos o valor de n na expressão n

n

11

+

É comum representar um logaritmo de base e com uma outra notação:

blnblog e =

lemos:"logaritmo neperiano ou natural de b".

Logaritmos

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157. (UNEB-2003) Sendo 3010,02log = e 477,03log = , pode-se

afirmar que ( )06,0log é: 01) -2,222 04) 1,222 02) -1,222 05) 1,778 03) -0,778 158. (UEFS-03.2) Considerando-se 30,02log = e 47,03log = ,

pode-se afirmar que 30logx 2= é um número tal que: a) 2 < x < 3 d) 5 < x < 6 b) 3 < x < 4 e) 6 < x < 7 c) 4 < x < 5 159. (UEFS-07.2) Em um teste de Matemática, um aluno deveria calcular o valor de 16logM 6= , sem auxílio de calculadora, mas,

além das propriedades operatórias dos logaritmos, ele se lembrou, apenas, dos valores de 2loga = e 3logb = . Assim, M pode ser calculado por:

a) ba3

d) ba

a4

+

b) ab3

e) ab

a3−

c) 4

ab

160. (UNEB-2002) Sabendo-se que 91

log27log3xlog 222 += ,

pode-se concluir que xlog3 é igual a:

01) -1 04) 9 02) 0 05) 7 03) 3 161. (UEFS-06.1) A única solução real da equação

( ) ( )x2log1xlog 39 =+ é um número:

a) inteiro divisível por 6. d) primo. b) inteiro divisível por 9. e) irracional. c) racional não inteiro.

162. (UESB-2005) Se ( ) ( ) 0xlogx2log 42 =+ , então ( )x2log2

é

igual a:

01) 22 04)1 02) 2 05) 0

03) 2 163. (UEFS-07.1) Considerando-se log a = x, log b = y e log c = z, é

correto afirmar que o valor de

2

332

4

bcb

abalog

é:

a) z92

y911

x3 −−− d) z92

y911

x3 +−

b) z92

y911

x3 −− e) z92

y911

x3 ++

c) z92

y911

x3 −+

164. (UESB-2006) Se 2

139

x2

1x+

=

+

, então x é igual a:

01) 3log5 04) 10log2log 33 −

02) 3log21

5− 05) 5log3log −

03) 5log3

165. (UEFS-07.1) Considerando-se log2=0,30 e log3=0,48, pode-se

afirmar que um valor real de x tal que ( ) 323 x5 2

=− pertence ao intervalo: a) ] -∞, -3] d) ] 1, 2[ b) ] -3, -2] e) [ 2, +∞[ c) ] -2, 0]

166. (UNEB-2004) Sabendo-se que x∈R é tal que ( )271

32x2 =− e

considerando-se 30,02log = , pode-se afirmar que xlog pertence

ao intervalo: 01) ] -∞, -3] 04) ] 0, 1] 02) ] -3, -2] 05) [ 1, +∞[ 03) ] -2, 0]

167. (UEFS-04.2) A expressão xlogxlog

6

3 é equivalente a:

a) 21

d) 2log1 3+

b) x2log

1

3 e) x2log3

c) 2log1

1

3+

168. (UEFS-03.1) Se 2xlog

1xlog

2xlog

3

532

=++ , então 2x é igual

a: a) 80 d) 320 b) 120 e) 360 c) 260

169. (UESB-2004) A equação 62 1x =− é verdadeira para x igual a 01) 12log2 04) 2log1 3+

02) 12log3 05) 6log2 ⋅

03) 6log2 2+

170. (UNEB-2009) Se 1x4x2 623 −=⋅ , então 1x2logx + é igual a: 01) – 1,0 04) 0,5 02) – 0,5 05) 1,0 03) 0 171. (UNEB-2009) Considerando-se as funções reais

( ) ( )1xlogxf 3 += , ( ) xlogxg 2= e ( ) x4logxh = , pode-se afirmar que o

valor de ( ) ( ) ( )25h125,0g26f +− é: 01) – 3 04) 2 02) – 2 05) 8 03) 0

172. (UNEB-2005) Sendo ( ) x3xf −= , pode-se afirmar que

( )2log1f 3+− pertence ao conjunto:

01)

32

,91

04)

34

,1

02)

23

,31

05)

29

,3

03)

43

,83

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173. (UEFS-09.1) Se α é uma solução da equação

0321 23logx =⋅− , então ( )α1log21 − é igual a:

a) 1− d) 31

b)

21

e)

23

c) 0

174. 174. (UEFS-08.2) Sabendo-se que m e n são números

inteiros, maiores do que 1, pode-se afirmar que o número de pares ordenados (m, n) que satisfazem à equação

( ) ( ) ( )252lognlog2mlog 3313 =−

a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

175. (UESB-2008) Considerando-se ( ) x2xf = , ( ) 1x32xg −= e

( )( ) 5xfg = e sendo 30,02log = , pode-se afirmar que o triplo do valor de x, que satisfaz a essa condições, pertence ao intervalo: 01) [ ]55,0,32,0 04) [ ]84,1,76,1

02) [ ]85,0,65,0 05) [ ]99,1,92,1

03) [ ]72,1,64,1

176. (UNEB-2006) Se as raízes da equação 0cabxax2 =+− são

alogax b1 ⋅= e clogcx b2 ⋅= então é verdade que:

01) bca bca =+ 04) ( ) 1ab c=

02) cba cba =⋅ 05) bca bca =⋅

03) cba cba =+ 177. (UESC-2005) Uma fórmula para se medir a sensação de ruído, em decibéis (dB), é dada por ()llog10120L += , sendo l intensidade sonora, medida em watt/m2. Se a sensação máxima de ruído provocada por um piano é de L = 94dB, então a intensidade sonora máxima alcançada pelo piano é igual, em watt/m2, a: 01) 10 0,26 04) 0,26 - 10 02) 10 - 0,26 05) 0,24 - 10 03) 10 - 2,6 178. (UESC-2009) Como os logaritmos têm crescimento bastante lento, são usados em algumas aplicações práticas em que as medidas são muito grandes ou muito pequenas. Um exemplo é a escala Richter que é usada pelos sismólogos para medir a intensidade de terremotos. Os valores dessa escala correspondem a log(x), com x igual a amplitude das ondas sísmicas provocadas pelo terremoto. Se um terremoto A atingiu 5,2 na escala Richter e um outro, B, atingiu 3,2 graus, então a amplitude das ondas sísmicas provocadas por A foi igual a: 01) 1000 vezes a amplitude das ondas sísmicas provocadas por B. 02) 100 vezes a amplitude das onda sísmicas provocadas por B. 03) 50 vezes a amplitude das ondas sísmicas provocadas por B. 04) 1/2 da amplitude das ondas sísmicas provocadas por B. 05) 2 vezes a amplitude das ondas sísmicas provocadas por B.

179. (UEFS-01.1) Se m2log9 = ,então

+

281

log

18log2log

9

93 é igual

a) m22m3

+ d)

m22m

+

b) m2

1m3−

+ e)

3m

2m +

c) m242m3

+

180. (UNEB-2005) O número de soluções inteiras da inequação ( ) 19x2log3 ≤− é:

01) 0 04) 3 02) 1 05) 4 03) 2

181. (UEFS-04.2) O conjunto ( ) 122log;ZxX x6 ≤−∈= está

contido em:

a) 1, 2 d) 0, 2, 4 b) 0, 1, 3 e) 0, 3, 4 c) 0, 2, 3 182. (UESB-2009) Dada uma função real inversível f, representa-se

a sua inversa por f -1. Sendo ( ) 1x2xf += o valor da constante k, tal

que ( )2kf1

+−

, é um número:

01) inteiro negativo 02) inteiro positivo 03) racional não inteiro, negativo. 04) racional não inteiro, positivo. 05) irracional. 183. (UESB-2009) Os números reais positivos x, y e z, nesta ordem, formam uma progressão geométrica de razão r. Se 2xlogr = , então o valor de yzlogx pertence ao intervalo:

01)

4,5

16 04)

57,

43

02)

5

16,25 05)

43,0

03)

25,

57

184. (UEFS-03.1) Se f é uma função real definida por ( ) xaxf = ,

0a > , então o valor de 0x , tal que ( ) ( )00 xxf4xxf +⋅=− é:

a) 21

loga− d) 21

loga

b) alog2− e) alog

1

2

c) alog2 185. (UEFS-07.1) Os valores reais de x, para os quais a função

( ) ( )x12x2

x2xf

2

−−−

−= está definida, são:

a) x ≠ 2 d) x > 1 b) – 1 < x < 2 e) x > 2 c) x > 1 e x ≠ 2 186. (UESC-2006) Se o conjunto-solução da inequação em

( ) 0mxxlog 2

3

1 ≤−+ é R – [-1,2] então a constante m é igual a:

01) – 2 04) 1 02) – 1 05) 2 03) 0 187. (UEFS-07.2) Sendo M um subconjunto de Z+

*, define-se uma

função bijetora MZ:f *→+ por ( ) 11f = , ( ) 32f = , ( ) 93f = e ( ) 274f = e

assim sucessivamente.

a) os elementos de M formam uma PA de razão 2r = cujo décimo termo é 110. b) os elementos de M formam uma PG de razão 2q = cujo oitavo termo é 27. c) os elementos de M não formam progressão aritmética nem geométrica.

d) ( ) xlog1xf 21 +=−

e) ( ) xlog1xf 3

1 +=−

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188. (UEFS-05.1) O gráfico que melhor representa a função

( ) ( )x2 4logxf = é:

a) d)

b) e)

e)

189. (UESC-2003) O gráfico que melhor representa a função

( ) ( )2

4xlogxf

23 +

= definida para *Rx +∈ ,

190. (UESC-2004) A melhor representação gráfica da função

( )

=

x1

logxf3

1 é:

191. (UEFS-08.1) O gráfico que melhor representa a função

( ) ( )242 x3log)x(logxf −= é:

192. (UESC-2007) De acordo com urna pesquisa realizada na comunidade, após t anos da constatação da existência de urna epidemia, o numero de pessoas por ela atingidas é expresso por

( )t24152

20000tN

−⋅+= . Considerando-se o 3,02log = , pode-se afirmar

que em x meses, aproximadamente, o número de pessoas atingidas por essa epidemia será igual a 4000. Nessas condições, o valor de x é: 01) 7 04) 4 02) 6 05) 3 03) 6

193. (UEFS-06.2) Sendo ( ) ( )2xlogxf 3 −= , ( ) x1xg −= e os

conjuntos ( ) Rxf/RxA ∈∈= e ( ) Rxg/RxB ∈∈= , pode-se

afirmar que o conjunto ( ) Bxf/RxC ∈∈= é igual a: a) ]-∞, 1] ∪ ] 2, +∞[ d) ]2, 5] b) ] 1, 2] e) ]2, +∞[ c) ] 2, 3[ 194. (UESC-2008) Se x1 e x2 são as raízes da equação

064logxlogxlogxlog2 25

224 =+−⋅ , então x1 + x2 é igual a: 01) 4 04) 12 02) 8 05) 16 03) 10 195. (UNEB-2008) A figura representa o gráfico da função f definida por ( ) xlogxf 2= .

A medida do segmento AB, em u.c., é igual a: 01) 7,8 04) 8,8 02) 8,0 05) 9,5 03) 8,5 196. (UESB-2006)

01) 04)

02) 05)

03)

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Corrida Caminhada 1º dia 500m 1000m 2º dia 600m 1250m 3º dia 700m 1500m

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Analisando-se os gráficos das funções ( ) 1x2xf −= e

( ) ( )axlog5xg b⋅= representados na figura, pode-se afirmar:

01) a = b/3 04) a = 2b 02) a = b/2 05) a = 3b 03) a = b

GABARITO LOGARITMOS

157. 02 158. A 159. D 160. 05 161. E 162. 04

163. B 164. 04 165. C 166. 04 167. D 168. E

169. 01 170. 02 171. 05 172. 02 173. A 174. C

175. 03 176. 05 177. 03 178. 02 179. B 180. 03

181. C 182. 03 183. 01 184. D 185. D 186. 04

187. E 188. A 189. 04 190. 01 191. C 192. 01

193. D 194. 04 195. 03 196. 01 ***** *****

É toda seqüência em que cada termo a partir do segundo é obtido somando-se o anterior a uma constante r, chamada razão da PA. De acordo com o sinal da razão podemos classificar a P.A. da seguinte forma. a) Quando r > 0, dizemos que a P.A. é crescente. b) Quando r < 0, dizemos que a P.A. é decrescente. c) Quando r = 0, dizemos que a P.A. é constante, e nesse caso todos os termos são iguais. Podemos observar que, considerando três termos consecutivos de uma P.A. o termo central é dado pela média aritmética entre os outros dois termos.

( )2

cabc,b,a

+=⇔

O termo geral de uma PA é dado pela fórmula ( ) r1naa 1n ⋅−+=

A soma dos termos de uma PA pode ser determinada com a fórmula ( )

2

naaSn n1 ⋅+

=

Para uma Progressão Aritmética desconhecida devemos usar uma representação conveniente que nos facilite a resolução de alguns problemas. a) Para três termos em PA, podemos escrever:

( )rx,x,rx +− b) Para cinco termos em PA, podemos escrever:

( )r2x,rx,x,rx,r2x ++−− 197. (UEFS-05.2) Considerando-se a seqüência an tal que

( ),Nn,

211

aa

0an

n1n

1

∗+ ∈∀

−−+−=∗

=∗

pode-se concluir que a2, a3, a4, a5, a6, nessa ordem, é a) 1, -1, 0, 1, -1 d) 1, 0, 1, 0, 1 b) -1, 1, -2, 2, -3 e) 1, -1, 2, -2 ,3 c) 0, -1, 1, -2, 2 198. (UESC-2009) Divide-se uma circunferência em arcos, tais que

o primeiro deles mede 8º e cada arco a partir do segundo mede 8º a mais que o anterior. Então o maior arco mede: 01) 104º 04) 80º 02) 96º 05) 72º 03) 88º 199. (UEFS-03.2) Em 2003, as idades de três irmãos, são numericamente iguais aos termos de uma progressão aritmética de razão 4 e, daqui a 5 anos, a soma dessas idades será igual a 60. Nessas condições, pode-se afirmar que atualmente a idade do mais a) jovem é 10 anos. d) velho é 14 anos. b) jovem é 11 anos. e) velho é 15 anos. c) velho é 12 anos. 200. (UEFS-03.1) Um certo tipo de loteria paga, ao acertador, um prêmio equivalente a 100 vezes o valor apostado. Na primeira vez que jogou, uma pessoa apostou R$ 1,00 e, nas vezes seguintes, acrescentou sempre mais R$ 3,00 à aposta anterior. Tendo acertado na décima jogada, decidiu parar. Levando-se em conta o que foi gasto nas apostas e o valor recebido como prêmio, pode-se concluir que essa pessoa teve um lucro, em reais, igual a: a) 2800 d) 1548 b) 2655 e) 1000 c) 2100 201. (UNEB-2008) O primeiro e o último termo de uma progressão aritmética são respectivamente, iguais a 7a1 = e 135an = . A média aritmética dos termos dessa progressão é igual a: 01) 64 04) 76 02) 67 05) 84 03) 71 202. (UESC-2008) Após uma corrida, sem empates,entre alunos de uma turma de Educação Física, o professor resolveu premiar os participantes com um total de R$110,00, da seguinte forma: cada participante recebeu R$2,00 pela sua participação e mais R$ 2,00 por cada participante que alcançou a linha de chegada depois dele próprio. Pode-se concluir que o total de participantes da corrida foi igual a: 01) 10 04) 13 02) 11 05) 14 03) 12 203. (UEFS-02.2) Um personal trainner sugeriu a um jovem iniciante em atividades físicas que seguisse o seguinte programa de condicionamento físico, durante um mês, e que, depois, faria uma avaliação. Com base nos dados, pode-se afirmar que, ao final de 15 dias, o jovem tinha totalizado, em caminhada e em corrida, a) 40,50km d) 82,50km b) 44,25km e) 90,00km c) 59,25km 204. (UESC-2005) Considere-se n∈N*, tal que

n16n...321 =++++ . Com base nessa informação, pode-se concluir que n é igual a: 01) 15 04) 32 02) 17 05) 33 03) 31

Progressão Aritmética (PA)

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205. (UESB-2007) Um auditório possui 15 poltronas na primeira fila, 17 na segunda e 19 na terceira; as demais filas se compõem na mesma seqüência. Sabendo-se que esse auditório tem 735 poltronas em n filas, pode-se afirmar que o valor de n é igual a: 01) 21 04) 63 02) 42 05) 65 03) 56 206. (UESC-2006) Numa cidade, a cada ano, o número de novos profissionais de uma certa área é de 10 a mais do que o número de novos profissionais do ano anterior. Se, durante 9 anos, o número de profissionais dessa área teve um aumento de 396 profissionais, pode-se afirmar que, no 3º ano, o número de novos profissionais foi igual a: 01) 15 04) 40 02) 24 05) 45 03) 35 207. (UESC-2003) Numa via de tráfego, a velocidade máxima permitida é 80km/h. Para o motorista que desrespeita essa lei, aplica-se o seguinte sistema de penalidades: na primeira infração, o motorista apenas recebe uma advertência; na segunda, paga uma multa de R$ 150,00 e, a partir da terceira, paga uma multa igual à anterior, acrescida de R$ 20,00. Sabendo-se que o motorista tem sua carteira apreendida após ter infringido dez vezes essa lei, conclui-se que, quando esse fato acontecer, o motorista terá pago pelas multas um total, em reais, igual a: 01) 2400,00 04) 1830,00 02) 2070,00 05) 1420,00 03) 1980,00 208. (UESC-2004) Um censo realizado em uma cidade revelou que, o número de fumantes, durante o ano de 1995, sofreu um aumento de 200 indivíduos e que, de 1996 até 1999, o aumento desse número, a cada ano, foi igual ao do ano anterior mais 30 fumantes. A partir de 2000, o número de fumantes ainda continuou crescendo, mas, com a proibição da propaganda de cigarro, esse aumento foi reduzido a 100 fumantes por ano. Nessas condições, pode-se concluir que o aumento do número de fumantes, desde o início de 1995 até o final de 2002, foi igual a: 01) 2010 04) 1600 02) 1800 05) 1500 03) 1730 209. (UESB-2006) Se a soma dos n primeiros termos de uma

progressão aritmética é dada pela expressão n6nS 2n −= , então o

décimo quinto termo dessa progressão é um elemento do conjunto: 01) 10, 15, 20 04) 13, 18, 23 02) 11, 16, 21 05) 14, 19, 24 03) 12, 17, 22 210. (UEFS-05.1) Um motorista comprou um automóvel por R$ 14400,00 e o vendeu no momento em que o total gasto com sua manutenção era igual a 1/3 dessa quantia. Sabendo-se que, no primeiro ano, após tê-Io comprado, o motorista gastou R$ 300,00 com a sua manutenção e, a partir daí, a cada ano seguinte, o custo com a manutenção foi de R$ 200,00 a mais do que no ano anterior, conclui-se que o tempo, em anos, que o motorista permaneceu com o automóvel foi igual a: a) 4 d) 7 b) 5 e) 8 c) 6 211. (UEFS-04.2) As raízes da equação ( ) 2x!2x −=− coincidem com o primeiro termo e com a razão de uma progressão aritmética cujos termos são números ímpares. Nessas condições, pode-se afirmar que o centésimo quinto termo dessa progressão é: a) 507 d) 257 b) 419 e) 199 c) 301

212. (UESC-2007) Três números positivos estão em progressão aritmética. A soma deles é 12 e o produto é 28. A soma dos quadrados desses termos é: 01) 66 04) 54 02) 64 05) 24 03) 58 213. (UEFS-04.1) Se, em uma PA, a soma dos três primeiros termos é igual a zero, e a soma dos dez primeiros termos é igual a 70, então a razão dessa progressão é: a) – 3 d) 3 b) – 2 e) 4 c) 2 214. (UNEB-2004) O primeiro termo positivo da progressão aritmética ( ),...59,67,75 −−− é: 01) 3 04) 8 02) 4 05) 9 03) 5 215. (UESB-2003) Em certo país, no período de 1994 a 2000, a produção nacional de petróleo cresceu anualmente segundo os termos de uma progressão aritmética. Se em 1994 a produção foi de 40 milhões de metros cúbicos e a soma da produção de 1997 com a de 1998 foi igual a 90,5 milhões de metros cúbicos, o número de milhões de metros cúbicos de petróleo produzidos em 2000 foi: a) 47 d) 48,5 b) 47,5 e) 49 c) 48 216. (UNEB-2006) Um paralelepípedo retângulo tem 132m2 de área total, e as medidas de suas arestas são termos consecutivos de uma progressão aritmética de razão 3. Com base nessas informações, pode-se afirmar que o volume desse paralelepípedo mede, em m3, 01) 100 04) 80 02) 90 05) 60 03) 85

GABARITO PROGRESSÃO ARITMETICA (PA)

197. E 198. 05 199. B 200. B 201. 03 202. 01

203. C 204. 03 205. 01 206. 02 207. 02 208. 04

209. 04 210. C 211. B 212. 01 213. C 214. 03

215. A 216. 04 ***** ***** ***** *****

É seqüência em que cada termo a partir do segundo é obtido multiplicando-se o anterior por uma constante q, chamada razão da PG. De acordo com o sinal da razão podemos classificar a PG da seguinte forma. a) Quando q > 0, dizemos que a P.G. é crescente. b) Quando q < 0, dizemos que a P.G. é alternada ou oscilante. c) Quando q = 1, dizemos que a P.G. é constante, e nesse caso todos os termos são iguais. d) Quando 0 < q < 1, dizemos que a P.G. é decrescente. Obs: Podemos observar que, considerando três termos consecutivos de uma P.G. o termo central é dado pela média geométrica entre os outros dois termos.

( ) cabc,b,a 2 ⋅== O termo geral de uma PG pode ser encontrado com a fórmula

1n1n qaa −⋅=

Progressão Geométrica (PG)

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A soma dos termos da PG finita é dada pela fórmula

( ) ( )q1q1a

Sou1q

aqaSou

1q1qa

Sn

1n

1nn

n1

n−

−⋅=

−⋅=

−⋅=

Note que se q = 1, a P.G. tem todos os seus termos iguais entre se, ela é constante), logo: 1n anS ⋅=

Soma dos termos de uma P.G. infinita

Seja a P.G. (a1, a2, a3, ...) cuja razão q é tal que – 1 < q < 1. Assim, qn é um número cada vez mais próximo de zero à medida que o expoente n aumenta, nesse caso assim temos:

q1

aS 1

−=∞

Obs: Para uma Progressão Geométrica desconhecida devemos usar uma representação conveniente que nos facilite a resolução de alguns problemas.

Para três termos em P.G., podemos escrever:

xq,x,

q

x

Produto dos termos de uma P.G. infinita( )2

1nnn

1n qaP−⋅

⋅= 217. (UEFS-02.1) Adicionando-se a mesma constante a cada um dos números 3, 6 e 10, nessa ordem, obtém-se uma progressão de razão igual a:

a)52

d)25

b)34

e) 3

c) 2 218. (UESB-2005) Somando-se um valor constante k a cada um dos termos da seqüência (2, 1, 3), obtém-se, nessa mesma ordem, uma nova seqüência, que é uma progressão geométrica. A soma dos termos dessa progressão é igual a: 01) 9 04) 3 02) 6 05) 1 03) 5 219. (UESB-2006) Uma pessoa investiu R$ 5000,00 em uma aplicação financeira, por um prazo de 4 anos, ao fim do qual teve um saldo total de R$ 20000,00. Sabendo-se que, durante esse período, essa pessoa não fez saques nem depósitos e que a aplicação teve rendimento anual segundo uma progressão geométrica, pode-se afirmar que o rendimento, em reais, obtido no primeiro ano foi de, aproximadamente, 01) 950,00 04) 2000,00 02) 1500,00 05) 2500,00 03) 1620,00 220. (UNEB-2005) Para que a soma dos termos da seqüência

k345 2,...,2,2,2 −−− , k∈ Z, seja igual a 32255

, o valor de k deve ser

igual a: 01) – 1 04) 5 02) 0 05) 8 03) 2 221. (UEFS-07.1) Se a soma dos 10 termos da seqüência ( )...,12,6,3 vale R e a soma dos infinitos termos da seqüência

( )...;1,0;3,0;1 vale S, S ≠ 0, então o valor de R/S é: a) 1023 d) 3000 b) 1024 e) 3069 c) 2046

222. (UEFS-04.1) A quantidade de cafeína presente no organismo de uma pessoa decresce a cada hora, segundo uma progressão geométrica de razão 1/8. Sendo assim, o tempo t para que a cafeína presente no organismo caia de 128mg para 1 mg é tal que: a) 0 < t < 1 d) 4 < t < 6 b) 1 < t < 2 e) 6 < t < 8 c) 2 < t < 4 223. (UEFS-08.2) O valor de x, solução da equação

27...818

274

92

31x2 =

+++++ , em que a expressão entre

parênteses é a soma dos termos de uma progressão geométrica, é um número a) primo. b) inteiro, múltiplo de 3. c) inteiro, múltiplo de 5. d) racional não inteiro e negativo. e) racional não inteiro e positivo. 224. (UEFS-01.1) Um homem pesando 256kg se submete a um regime alimentar, de modo que, a cada 3 meses, seu peso fica reduzido em 25%. Ao completar 1 ano de regime, ele pesa Pkg, tal que: a) 120<P≤140 d) 60<P≤80 b) 100<P≤120 e) 40<P≤60 c) 80<P≤100 225. (UESB-2008) Uma pessoa compra um produto em 20 parcelas mensais crescentes em PG, sendo a primeira de R$100,00, paga 30 dias após a compra, a penúltima igual a R$120,81 e a última de R$ 122,02. Considerando-se que todos os pagamentos foram efetuados nas datas previstas e que (1,01)20=1,2202, pode-se afirmar que o valor total pago, ao término do financiamento, foi aproximadamente, em reais, a: 01) 1122 04) 2122 02) 1220 05) 2202 03) 1822

226. (UNEB-2007) A seqüência ( )...,a...,,a,2,a,2,a n51

31− forma,

nessa ordem, uma progressão geométrica decrescente. O gráfico que melhor representa a curva que contém todos os pontos ( )na,n , em que n pertence ao conjunto dos números inteiros positivos e na é elemento da seqüência, é:

01) 04)

02) 05)

03)

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227. (UNEB-2006) Um carro foi testado durante 10 dias para verificar o bom desempenho e poder ser lançado no mercado com bastante sucesso. No primeiro dia do teste, ele percorreu 80km e, nos dias subseqüentes, houve um aumento de 5% da quilometragem rodada em relação à quilometragem do dia anterior. Nessas condições, pode-se afirmar que a quilometragem total rodada pelo carro no período de teste é dada pela expressão:

01) ( )( )105,14 10 −⋅ 04) ( )( )105,11600 9 −⋅

02) ( )( )105,11600 10 −⋅ 05) ( )( )105,140 9 −⋅

03) ( ) 905,180 ⋅ 228. (UESC-2007) Considere-se um quadrado de lado l. Com vértices nos pontos médios dos seus lados, constrói-se um segundo quadrado. Com vértices nos pontos médios dos lados do segundo quadrado, constrói-se um terceiro quadrado e assim por diante. Com base nessa informação e no conhecimento de seqüências, é correto afirmar que o limite da soma dos perímetros dos quadrados construídos é igual a:

01) ( )22l4 +⋅ 04) ( )21l4 +⋅

02) ( )22l4 −⋅ 05) ( )21l8 +⋅

03) ( )22l8 +⋅

GABARITO PROGRESSÃO GEOMETRICA (PG)

217. B 218. 05 219. 04 220. 03 221. C 222. C

223. A 224. C 225. 03 226. 03 227. 02 228. 01

Matemática Financeira

Porcentagem: )taxa(100

x%x =

Juros Simples:

⋅⋅=

aplicaçãodetempo:t

)períodopor(%taxa:i

aplicadoCapital:C

tiCJ

Juros Compostos ( )ti1CM +⋅= Montante ( )ti1CJCM ⋅+⋅=+= 229. (UNEB-2008) O proprietário de um imóvel contratou uma imobiliária para vendê-lo, pagando-lhe 5% do valor obtido na transação. Se a imobiliária recebeu R$ 5600,00, o valor que coube ao proprietário foi, em reais, 01) 89400 04) 106400 02) 95000 05) 112000 03) 100800 230. (UNEB-2007) Um cantor lançou no mercado, simultaneamente, um CD e um DVD de um show, gravados ao vivo. Sendo o preço do DVD 30% maior do que o preço do CD, pode-se afirmar que o preço do CD é menor do que o preço do DVD, aproximadamente, 01) 20% 04) 28% 02) 23% 05) 30% 03) 25% 231. (UESB-2004) Uma prova é composta por quarenta questões objetivas. Sabendo-se que cada questão correta vale 0,25 e que cada três questões erradas anulam uma certa, pode-se afirmar que a nota de um aluno que errar 15% das questões será igual a: 01) 6,5 04) 8,0 02) 7,0 05) 8,5 03) 7,5

232. (UNEB-2006) A assinatura de uma linha telefônica custava R$ 30,00, e cada unidade de conversação custava R$ 1,50. Sabe-se que houve um reajuste de 4% nas tarifas e que um cliente pagou, após o reajuste, uma fatura no valor de R$ 54,60. Considerando-se n o número de unidades de conversação dessa fatura, pode-se afirmar que n é igual a:

01) 12 04) 20 02) 15 05) 25 03) 18 233. (UESC-2004) Do total das despesas n de uma família, o gasto com alimentação e com mensalidades escolares corresponde a 40% e 25% respectiva-mente. Se o gasto com alimentação sofrer um aumento de 5% e as mensalidades escolares aumentarem 10%, então o total das despesas mensais, dessa família, sofrerá um aumento de:

01) 15% 04) 5,5% 02) 8% 05) 4,5% 03) 7,5% 234. (UESB-2007) Um cliente pagou 40% de uma dívida de x reais. Sabendo-se que R$ 300,00 correspondem a 20% do restante a ser pago, é correto afirmar que o valor de x é igual a:

01) 3750 04) 2500 02) 3000 05) 2050 03) 2750 235. (UESB-2006) Uma loja oferece a seus clientes um desconto de 24%, no pagamento à vista, sobre o valor que exceder a R$ 500,00 em compras. Duas amigas fizeram compras individuais num total de R$ 420,00 e R$ 280,00, mas reuniram esses valores uma única nota fiscal, pois assim economizaram, respectivamente e em valores proporcionais a cada compra,

01) R$ 31,20 e R$ 16,80 04) R$ 28,80 e R$ 19,20 02) R$ 30,00 e R$ 16,00 05) R$ 28,60 e R$ 16,40 03) R$ 29,40 e R$ 16,60 236. (UNEB-2006) Os salários dos funcionários de uma empresa têm a seguinte composição:

40% correspondem ao salário-base. 60% correspondem à gratificação.

Sabendo-se que o salário-base foi reajustado em 20% e a gratificação, em 10%, pode-se afirmar que o ajuste dos salários dos funcionários foi igual, em percentual, a: 01)10 04) 20 02) 14 05) 32 03) 15 237. (UNEB-2006) Os preços anunciados dos produtos A e B são, respectivamente, R$ 2000,00 e R$ 3500,00. Um cliente conseguiu um desconto de 10% sobre o preço do produto A, x% sobre o preço do produto B e pagou R$ 4600,00 na compra dos dois produtos. Nessas condições, pode-se afirmar que x é igual a:

01) 12 04) 20 02) 15 05) 25 03) 18 238. (UEFS-04.2) Se uma loja vende um artigo à vista por R$ 540,00 ou a prazo, mediante uma entrada de R$ 140,00 e mais 3 parcelas mensais de R$ 140,00, então a loja está cobrando, sobre o saldo que tem a receber, juros simples de

a) 4,3% d) 8,0% b) 5,0% e) 9,5% c) 6,2% 239. (UESB-2005) Sabe-se que o preço de custo de um produto é P. Se esse produto for vendido por R$ 126,00, haverá, em relação a P, um prejuízo de 10%, mas, se for vendido por R$ 161,00, haverá, em relação a P, um lucro de

01) 30% 04) 18% 02) 26% 05) 15% 03) 22%

Matemática Financeira

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240. (UNEB-2002) Um investidor fez uma aplicação a juros simples de 10% mensal. Depois de dois meses, retirou capital e juros e os reaplicou a juros compostos de 20% mensal, por mais dois meses e, no final do prazo, recebeu R$ 1728,00. Pode-se afirmar que o capital inicial aplicado foi de:

01) R$ 1000,00 04) R$ 1200,00 02) R$ 1100,00 05) R$ 1144,00 03) R$ 1120,00

241. (UESB-2009) Um prêmio, ganho em um jogo de loteria, foi dividido em duas partes proporcionais a 2 e 3, de acordo com o valor investido por cada um dos dois jogadores. Sabendo-se que cada valor recebido foi aplicado a uma taxa de juros simples de 10% ao ano, pode-se concluir que o tempo necessário para que a aplicação menor tenha um rendimento igual ao obtido pela aplicação maior em 6 meses é:

01) 8 meses 04) 11 meses 02) 9 meses 05) 12 meses 03) 10 meses

242. (UEFS-03.1) Dois revendedores A e B, que já vinham dando um desconto de R$ 1500,00 no preço x de determinado tipo de carro, resolveram dar mais um desconto, de 18%, e calcularam os novos preços da seguinte forma: A passou a dar, sobre x, o desconto de R$ 1500,00, seguido do desconto de 18%, resultando em xA. B passou a dar, sobre x, o desconto de 18%, seguido do desconto de R$ 1500,00, resultando em xB. Com base nessas informações, pode-se concluir:

a) xA - xB = R$ 270,00 d) xB – xA = R$ 320,00 b) xA - xB = R$ 320,00 e) xA = xB

c) xB – xA = R$ 270,00

243. (UNEB-2003) Uma pessoa tomou um empréstimo de R$ 5000,00 a juros compostos de 5% ao mês. Dois meses depois, pagou R$ 2512,50 e, no mês seguinte, liquidou sua dívida. Portanto, o valor do último pagamento foi igual, em reais,

01) 3150,00 04) 3405,50 02) 3235,00 05) 3535,00 03) 3350,25

244. (UNEB-2004) O lucro de um comerciante na venda de um produto é diretamente proporcional ao quadrado da metade das unidades vendidas. Sabendo-se que, quando são vendidas 2 unidades, o lucro é de R$ 100,00, pode-se concluir que, na venda de 10 unidades, esse lucro é, em reais, igual a:

01) 500,00 04) 2500,00 02) 1000,00 05) 2800,00 03) 1600,00

245. (UNEB-2005) A taxa de juros de débito de um cartão de crédito é de, aproximadamente, 10% ao mês, calculado cumulativamente. Se uma dívida for paga três meses após a data de vencimento, então terá um acréscimo de, aproximadamente, 01) 30,3% 04) 33,1% 02) 31,2% 05) 34,3% 03) 32,3% 246. (UEFS-08.2) Segundo a cotação oficial do Banco Central, no dia 15 de agosto de 2007, US$1.00 valia o equivalente a R$2,004. Com a variação no câmbio, alguns meses depois, o valor do dólar, em relação ao real, sofreu uma queda de 20%. Nessa ocasião, R$1,00 passou a valer, em dólar, aproximadamente,

a) 0,561 d) 0,623 b) 0,580 e) 0,701 c) 0,602

247. (UESC-2009) Segundo economistas, o aumento do dólar em relação ao real acarreta inflação interna no Brasil, de modo que a cada aumento de 10% do dólar corresponde a uma inflação de 1% a 1,5% no Brasil. Supondo válida essa regra, se o dólar valia R$1,60 e passou a valer R$ 2,00, então a inflação correspondente no Brasil foi de:

01) 2% a 3,25% 04) 2,5% a 3,75% 02) 2,5% a 3,25% 05) 1,7% a 3,25% 03) 2% a 3%

248. (UESC-2005) Em determinado dia, o boletim econômico traz a seguinte notícia: o valor do dólar, em relação ao real, sofreu uma redução de 2% e o do euro, em relação ao dólar, um aumento de 4%. Com base nessa informação, pode-se concluir que o valor do euro, em relação ao real, sofreu 01) um aumento de 2,13%. 04) uma redução de 2,13%. 02) um aumento de 2%. 05) uma redução de 1,92%. 03) um aumento de 1,92%. 249. (UEFS-02.2) Uma travessa retangular feita de argila tem 30cm de comprimento e 20cm de largura. No processo de cozimento, há uma redução de 30% nas dimensões lineares da travessa. Com base nessas informações, conclui-se que o produto entre as dimensões lineares da travessa, após cozimento, é igual: a) 420 d) 294 b) 360 e) 180 c) 300 250. (UNEB-2002) O fabricante de determinada marca de papel higiênico fez uma "maquiagem" no seu produto, substituindo as embalagens com quatro rolos, cada um com 40 metros, que custava R$ 1,80, por embalagem com quatro rolos, cada um com 30 metros, com custo de R$ 1,62. Nessas condições, pode-se concluir que o preço do papel higiênico foi: 01) aumentado em 10% 04) reduzido em 10% 02) aumentado em 20% 05) mantido o mesmo. 03) aumentado em 25% 251. (UEFS-04.1) Para estimular as vendas, uma loja oferece a seus clientes um desconto de 20% sobre o que exceder a R$ 400,00 em compras. Nessas condições, a expressão algébrica que representa o valor a ser pago, para uma compra de x reais, x > 400, é:

a) 100x43

+ d) 50x87

+

b) 80x54

+ e) 100x45

c) 80x56

+

252. (UNEB-2009) Uma empresa produz e comercializa um determinado equipamento K. Desejando-se aumentar em 40% seu faturamento com as vendas de K, a produção desse equipamento deve aumentar em 30% e o preço do produto também deve sofrer um reajuste. Para que a meta seja atingida, estima-se um reajuste mínimo aproximado de: 01) 5,6% 04) 8,6% 02) 6,3% 05) 9,8% 03) 7,7%

GABARITO MATEMÁTICA FINANCEIRA

229. 04 230. 02 231. 04 232. 02 233. 05 234. 04

235. 04 236. 02 237. 04 238. B 239. 05 240. 01

241. 02 242. A 243. 01 244. 04 245. 04 246. D

247. 04 248. 01 249. D 250. 02 251. B 252. 03

Matrizes

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Denomina-se matriz m x n (lê-se m por n) uma tabela retangular formada por n . m números reais em m linhas e n colunas.

=

5m3m2m1m

n3333231

n2232221

n1131211

a...aaa

...............

a...aaa

a...aaa

a...aaa

A

O elemento genérico da matriz A será indicado por aij, em que i representa a linha e j representa a coluna na qual o elemento se encontra. De maneira abreviada, podemos escrever a matriz A na forma: ( ) nmaijA ×=

Tipos de matrizes

• Matriz quadrada – Quando a matriz tem o número de linhas igual ao número de colunas. Uma matriz quadrada do tipo nn× é chamada matriz quadrada de ordem n.

• Matriz triangular – É toda matriz quadrada de ordem n que os elementos que estão acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos.

−52

03

4000

1200

2830

9751

597

038

002

Em uma matriz triangular, aij = 0 para i > j ou aij = 0 para i < j.

• Matriz diagonal – É toda matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal são nulos.

−30

02

4000

0300

0010

0001

500

030

002

Em uma matriz diagonal, aij = 0 para i ≠ j. • Matriz identidade – É toda matriz quadrada de ordem n em que

todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a zero. Seu símbolo é In.

=

=

=10

01I

1000

0100

0010

0001

I

100

010

001

I 243

Em uma matriz identidade, temos

≠=

==

jipara,0a

jipara,1a

ij

ij

• Matriz Nula – É toda matriz que tem todos os elementos iguais a zero. Podemos simbolizar a matriz nula de ordem m x n por 0mxn e a matriz nula de ordem n por 0n.

=

=

000

000

000

O00

00O

00

00

00

O 3223

• Matriz Transposta - Seja A uma matriz m x n. Denomina-se matriz transposta de A (indica por At) a matriz n x m cujas linhas, são, ordenadamente, as colunas de A.

=⇔

=

2313

2212

2111T

232221

131211

aa

aa

aa

Aaaa

aaaA

Propriedades da matriz transposta( )( )

( )

+=+

α=α

=

TTT

TT

TT

BABA

AA

AA

• Matriz Simétrica - Dada uma matriz quadrada A = (aij)n dizemos que A é matriz simétrica se, e somente se, aij = aji, para todo 1≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ n.

TAA =

=

=

=

=

2332

1331

1221

333231

232221

131211

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

A

• Matriz Anti-simétrica - Dada uma matriz quadrada A = (aij)n

dizemos que A é matriz anti-simétrica se, e somente se, jiij aa −= ,

para todo 1≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ n.

0aaa

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

A

332211

2332

1331

1221

333231

232221

131211

===

−=

−=

−=

=

Igualdade de Matrizes

Duas matrizes A e B, de mesma ordem m x n.

==

==

==

=

=

=

32323131

22222121

12121111

3231

2221

1211

3231

2221

1211

baba

baba

baba

BASe

bb

bb

bb

B

aa

aa

aa

A

Operações com matrizes

A soma ou a diferença de duas matrizes m x n é uma outra matriz m x n, cujos elementos são a soma ou a diferença dos elementos correspondentes das matrizes.

±±

±±

±±

=

=

32323131

22222121

12121111

3231

2221

1211

3231

2221

1211

baba

baba

baba

BASe

bb

bb

bb

B

aa

aa

aa

A

Quando uma matriz é multiplicada por um número real, todos os elementos dela são multiplicados por esse número. Por exemplo:

O produto AB de duas matrizes é definido somente se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. Assim, uma matriz m x n pode ser multiplicada por uma matriz n x p para se obter uma matriz m x p. Por exemplo:

Dadas duas matrizes Am x n e Bn x p, o elemento Cjj da matriz Cm x p, tal que C = AB, é a soma dos produtos dos elementos da linha i da matriz A pelos elementos da coluna j da matriz B. Por exemplo:

++

++

++

=

2232123121321131

2222122121221121

2212121121121111

2221

1211

3231

2221

1211

babababa

babababa

babababa

bb

bb

aa

aa

aa

Determinante de uma matriz

O determinante de uma matriz n x n é um número obtido dos elementos de uma matriz mediante operações especificadas. Os determinantes são definidos somente para matrizes quadradas. O determinante de uma matriz ordem 2

( ) ( )211222112221

1211 aaaaPEDSPEDPaa

aa⋅−⋅=−=

“Produto dos elementos da diagonal principal menos produtos dos elementos da diagonal secundária”

⋅β⋅β

⋅β⋅β

⋅β⋅β

=⋅β

=

3231

2221

1211

3231

2221

1211

aa

aa

aa

A

aa

aa

aa

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O determinante de uma matriz ordem 3

O produto de (-1)i + j pelo determinante da matriz que se obtém suprimindo-se a linha i e a coluna j da matriz An x n chama-se cofator do elemento aij da matriz An x n. Por exemplo:

O determinante de uma matriz 3 x 3 é dado por:

Este procedimento para o cálculo de determinantes, conhecido como expansão por cofatores, pode ser estendido para matrizes maiores que 3 x 3.

Propriedades dos determinantes:

Casos em que o determinante é nulo

• Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada M forem iguais a zero.

• Se os elementos correspondentes de duas linhas (ou duas

colunas) de uma matriz quadrada M forem iguais. • Se uma matriz quadrada M possuis duas linhas (ou duas

colunas) proporcionais. • Se duas linhas (ou duas colunas) de um determinante forem

trocadas de lugar, o novo determinante será o oposto do determinante original.

• Se todos os elementos de uma linha (ou de uma coluna) de uma

matriz quadrada são multiplicados por um mesmo número k, então seu determinante fica multiplicado por k.

• Se uma matriz quadrada M de ordem n é multiplicada por um

número real k, o seu determinante fica multiplicado por kn, isto é: Det(kMn)=Kn . detMn

• O determinante de uma matriz quadrada M é igual ao

determinante de sua transposta, isto é, detM=det(Mt). • Se trocarmos de posição duas linha (ou duas colunas) de uma

matriz quadrada M, o determinante da nova matriz obtida é o oposto do determinante da matriz anterior.

• O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos

elementos da diagonal principal. • Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a

matriz produto, então det(AB)=(detA).(detB). • Seja A uma matriz quadrada. Se multiplicarmos todos os

elementos de uma linha (ou coluna) pelo mesmo número e somarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha (ou coluna), formando a matriz B, det(A)=det(B).

Matriz dos Cofatores Seja a matriz quadrada A = (aij) de ordem n. Denomina-se matriz dos cofatores de A (indica-se A’) a matriz que se obtém substituindo cada elemento aij de A pelo seu respectivo cofator. Matriz Adjunta. Considerando a matriz quadrada A de ordem n, denomina-se matriz

adjunta de A (indica-se A ) a transposta da matriz dos cofatores de A, isto é:

( )T'AA = Matriz Inversa A inversa de uma matriz An x n é uma matriz Bn x n tal que:

Adet

AA 1 =−

Sistemas Lineares Resolver um sistema de equações lineares significa determinar as soluções comuns a todas as equações, que são as soluções do sistema.

=+++

=+++

=+++

3nmn22m11m

2nn2222121

1nn1212111

cxa...xaxa

..........................................

cxa...xaxa

cxa...xaxa

Os números aij chamam-se coeficientes, e os números C1, C2, ..., Cn chamam-se termos independentes. Um sistema de equações lineares chama-se:

Um sistema de n equações lineares com n variáveis, em que o determinante da matriz dos coeficientes D é diferente de 0, pode ser resolvido mediante um procedimento chamado regra de Cramer. Por exemplo:

=++

=++

=++

3333

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

dzcybxa

Inicialmente, calcula-se D, o determinante da matriz dos coeficientes do sistema.

333

222

111

cba

cba

cba

D =

Se D ≠ 0, podemos prosseguir, pois o sistema é possível e determinado. Se D = 0, não se aplica a regra de Cramer.

Em seguida, para cada incógnita que se que determinar, calcula-se um novo determinante, que é o determinante da matriz obtida, substituindo-se, na matriz dos coeficientes, a coluna dos coeficientes da incógnita a ser determinada pela coluna dos termos independentes.

DDz

zDDy

yDDx

x ===

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Discussão de um sistema n x n • Quando D≠0, o sistema é possível e determinado (SPD), não importando o valor de cada um dos demais determinantes assuma. • Quando D = 0 e Dx = Dy = Dz = 0, o sistema é possível e indeterminado (SPI) ou impossível (SI). • Quando D = 0 e pelo menos um dos demais determinantes é diferente de zero, o sistema é impossível.

253. (UESC-2005) Se

−−=

dc

2a4aA

2

é uma matriz inversível

tal que tAA −= , sendo At matriz transposta de A, então c + d é igual a:

01) 4 04) – 2 02) 2 05) – 4 03) 1

254. (UESB-2004) O elemento 23a da matriz A, tal que

−−

−=

−+

221

102

120

311A3 , é:

01) – 3 04) 2 02) – 1 05) 3 03) 0

255. (UNEB-2002) Sendo as matrizes

=

312

111A e

( ) jib,bB ij23ij −==×

, o determinante da matriz AB2 é igual a:

01) -2 04) 6 02) -1 05) 12 03) 3

256. (UNEB-2006) Considerando-se a matriz

+

+

=

1x00

x10

101x

A

e sabendo-se que x4Adet = , pode-se afirmar que o valor de 2x é:

01) 41

04) 23

02) 21

05) 2

03) 1

257. (UNEB-2003) Se

+=

xx2

1xxA , ( ) 1Adet = e

=

312

101B , então a matriz AB é igual a:

01)

−−−

−−

514

101 04)

−−

51

12

41

02)

−− 534

201 05)

52

30

41

03)

− 514

101

258. (UESC-2002) Se a matriz

−=

20

01kA é tal que A2A2 ⋅= e

o determinante de A é diferente de zero, então k é igual a: 01) 2 04) 5 02) 3 05) 6 03) 4

259. (UESC-2003) Se a matriz

−=

02n

2nmA é tal que AA2 = ,

e A é uma matriz não nula, então nm − é igual a: 01) 2 04) – 1 02) 1 05) – 2 03) 0

260. (UESC-2006) Se

=

987

654

321

aaa

aaa

aaa

A é uma matriz tal que

( ) 3Adet = , então ( )A2detA

aaa

aaa

aaa

detx 1

897

564

231

+

×

= − é igual a:

01) 8 04) 23 02) 9 05) 25 03) 17 261. (UESB-2008) Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem 3.

Sendo 2Adet −= , 8Bdet −= e ( ) C2BA3 t =⋅ , então Cdet é igual a: 01) 52 04) 58 02) 54 05) 59 03) 56

262. (UESB-2006) Sendo

=

32

x1A e

−=

12

0yB matrizes

reais, tais que ( ) 0BAdet =+ e ( ) 1ABdet = , pode-se afirmar que xy é igual a: 01) - 2 04) 4 02) - 1 05) 6 03) 0

263. (UESB-2007) Considerando-se

−=

23

11A ,

−=

51

03B e

BAX = , pode-se afirmar que a soma dos elementos de X é igual a: 01) – 1 04) 2 02) 0 05) 3 03) 1

264. (UNEB-2007) Sabendo-se que as funções horárias de dois corpos que se deslocam em movimentos retilíneos uniformes, segundo uma mesma trajetória, são definidas matricialmente por

=

− 6

16

t

x

53

52, pode-se afirmar que esses corpos se

encontrarão no instante t igual a: 01) 4,6seg 04) 2,4seg 02) 3,8seg 05) 2,0seg 03) 3,5seg 265. (UNEB-2004) O número de elementos inteiros do conjunto-

solução da inequação 0x1

x2x2det ≥

−−

01) 0 04) 3 02) 1 05) 4 03) 2

266. (UNEB-2007) Sendo ( )

= 2

2

4

xlog2

2xlogM uma matriz não

inversível, pode-se afirmar que a soma dos termos de sua diagonal principal é igual,em módulo,a: 01) 7 04) 4 02) 6 05) 3 03) 5

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267. (UNEB-2005) Sendo A e B matrizes quadradas de ordem 2,

em que

=

1senx

senx1A e det(AB)=1, então det(2B) é

01) 2cos2x 02) 4cos2x 03) 2sec2x 04) 4sec2x 05) 2-4cos2x 268. (UESB-2005) Existe um inteiro positivo n para o qual a matriz

12

n3!n é não inversível.

Com base nessa informação, pode-se afirmar que n é: 01) um número primo maior que 3. 02) um número quadrado perfeito. 03) múltiplo de 3. 04) divisor de 6. 05) igual a 1. 269. (UESC-2007) Os valores de x para os quais

3

0xx1

x01x

x10x

1xx0

−> tais que:

01) 21

x21

<<− 04) 2xou2x >−<

02) 21

x > 05) 21

xou21

x >−<

03) 1x1 <<− 270. (UNEB-2002) Uma loja de discos classificou seus CDs em três tipos, A, B e C, unificando o preço para cada tipo. Quatro consumidores fizeram compras nessa loja nas seguintes condições:

• primeiro comprou 2 CDs do tipo A, 3 do tipo B e 1 do tipo C, gastando R$ 121,00. • segundo comprou 4 CDs do tipo A, 2 do tipo B e gastou R$ 112,00. • O terceiro comprou 3 CDs do tipo A, 1 do tipo C e gastou R$ 79,00. • O quarto comprou um CD de cada tipo.

Com base nessa informação, o valor gasto, em reais, pelo quarto consumidor, na compra dos CDs, foi igual a: 01) 48,00 04) 63,00 02) 54,00 05) 72,00 03) 57,00 271. (UNEB-2008) Numa feira de trocas de livros usados, os livros foram divididos em três categorias: livros didáticos (D), livros de ficção (F) e livros de não-ficção (N). Além disso, estabeleceu-se uma regra, segundo a qual um pacote composto por 2F e 2N valia 1D e, também com 1D e 1N valia 3F. Seguindo-se essa regra de troca, pode-se concluir que um pacote composto por 1D e 1F valia 01) 11N 04) 5N 02) 8N 05) 4N 03) 7N 272. (UESC-2008) Em uma lanchonete, 1 empada, 2 refrigerantes e 3 bombons custam, juntos, R$ 10,00. Sabendo-se que 2 empadas, 5 refrigerantes e 8 bombons custam, juntos, R$ 24,50, então 1 refrigerante e 2 bombons custam, juntos, em reais, 01) 3,00 04) 5,50 02) 3,50 05) 6,00 03) 4,50

273. (UESC-2009) Quando lhe perguntei o preço de um chiclete, o vendedor me respondeu:

• 1 bala, 2 chicletes e 4 sacos de pipoca, juntos, custam R$4,00. • 2 balas, 4 chicletes e 8 sacos de pipoca custam R$8,00. • 3 balas, 6 chicletes e 12 sacos de pipoca custam R$11,00.

Com essas informações, 01) não posso determinar o preço do chiclete pois são informações incompatíveis entre si. 02) não posso determinar o preço exato do chiclete, pois há infinitas possibilidades. 03) posso concluir que o chiclete custa R$0,50. 04) posso concluir que o chiclete custa R$0,30. 05) posso concluir que o chiclete custa R$0,25.

274. (UESB-2008) Sobre a solução do sistema

=−+

=−+

=+−

0z12y2x3

0z2y2z5

0zyx3

,

pode-se afirmar que é: 01) compatível 04) indeterminado 02) compatível e determinado 05) incompatível 03) compatível e indeterminado

275. (UESC-2007) O sistema

=+

=−

5y4bx

1y2ax tem solução

determinada se, e somente se,

01) 2b

a = 04) 2b

a −=

02) 2b

a −≠ 05) b2a =

03) 2b

a ≠

276. (UESB-2009) O número de subconjuntos do conjunto

=

−∈=

3

11

1x

11/RxC 2 que contém apenas dois elementos é:

01) 2 04) 8 02) 4 05) 10 03) 6

GABARITO MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES

253. 01 254. 02 255. 05 256. 03 257. 01 258. 02

259. 04 260. 04 261. 02 262. 01 263. 03 264. 04

265. 05 266. 03 267. 04 268. 02 269. 03 270. 04

271. 01 272. 03 273. 01 274. 02 275. 02 276. 03

Relações Métricas no Triângulo Retângulo

Aplicação do Teorema de Pitágoras

Trigonometria

cbhanmh

anbnma

amccba

2

2

2222

⋅=⋅⋅=

⋅=+=

⋅=+=

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Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo Para resolver um triângulo qualquer, podemos usar o teorema dos senos ou o teorema do cosseno. • Lei dos Senos Em qualquer triângulo, a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto a este lado é constante e o valor desta constante é a medida do diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo.

• Lei dos Cossenos O quadrado da medida de um lado de um triângulo e igual a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto das medidas destes lados pelo cosseno do ângulo formado por:

Acoscb2cba 222 ⋅⋅⋅−+=

Teorema da Área A área de um triângulo é igual a um meio do produto dos comprimentos de dois de seus lados pelo seno da medida do ângulo que formam.

Circunferência Trigonométrica

Uma circunferência mede 360º ou 2π radianos. Assim, por meio de uma regra de três simples, podemos converter medidas de graus em radianos e de radianos em graus.

Para transformar de grau para radiano multiplica-se por o180

π

Para transformar de radiano para graus – substitui π por 180º Função Seno

Gráfico da função seno

Quadro resumo da função seno 1º) Função seno é a função de R em R definida por f(x) = sen x 2º) A função seno tem D = R e Im = [–1, 1]. 3º) A função seno não é injetiva nem sobrejetiva. 4º) A função seno é função impar, isto é, sen x = – sen (–x), ∀ x ∈ R 5º) A função seno é periódica de período p = 2π. Função Cosseno

Gráfico da função cosseno

Quadro resumo da função cosseno 1º) Função seno é a função de R em R definida por f(x) = cos x 2º) A função cosseno tem D = R e Im = [–1, 1]. 3º) A função cosseno não é injetiva nem sobrejetiva. 4º) A função cosseno é função par, isto é, cos x = cos (–x), ∀ x ∈ R 5º) A função seno é periódica de período p = 2π. Função Tangente

α

α===α

α===α

α===α

aadjacentecatetodomedida

aopostocatetodomedida

c

b

BC

ACtg

hipotenuzadamedida

aadjacentecatetodomedida

a

c

BC

ABcos

hipotenuzadamedida

aopostocatetodomedida

a

b

BC

ACsen

R2senC

cBsen

bAsen

a===

x tg x

0 0

2

π

π 0

2

π2 0

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Gráfico da função tangente

Redução ao 1º quadrante

Outras funções Trigonométricas:

( )( )

( )α=α+

α=α+

=α+α

22

22

22

seccosgcot1

sectg1

1cossen

0senpara,sen

1seccos

0cospara,cos

1sec

0senpara,sen

costg1

gcot

:definições

≠αα

≠αα

≠αα

Operações com arcos:

( )( )( )( )

( ) ( )β⋅α+

β−α=β−α

β⋅α−

β+α=β+α

β⋅α+β⋅α=β+α

β⋅α−β⋅α=β+α

α⋅β−β⋅α=β−α

α⋅β+β⋅α=β+α

tgtg1tgtg

tg.VItgtg1

tgtgtg.V

cossencoscoscos.IV

cossencoscoscos.III

cossencossensen.II

cossencossensen.I

α−

α⋅=α

α+

α−±=

α

α−α=αα+

±=α

α⋅α⋅=αα−

±=α

2

22

tg1

tg22tg

cos1cos1

2tg

sencos2cos2cos1

2cos

cossen22sen2cos1

2sen

ArcoDuplo:metadeArco

277. (UEFS-03.2) Os ponteiros de um relógio medem, respectivamente, 3cm e 5cm. A distância entre suas extremidades, quando o relógio estiver marcando 4 horas, mede, em cm, a) 5,3 d) 6,5 b) 5,8 e) 7,0 c) 6,3 278. (UNEB-2008) Sendo º30tgA = , º45secB = e º60senC = , é verdade que: 01) A < B < C 04) B < C < A 02) A < C < B 05) C < B < A 03) B < A < C

279. (UEFS-06.2) Sendo

π=

6

5senM ,

π=

6

5cosN e

π=

65

tgP é verdade que:

a) M < N < P d) P < M < N b) N < M < P e) P < N < M c) N < P < M

280. (UEFS-07.1) Se ( ) ( ) 1xsenxcos3 −=+ com π<<π

x2

então o

valor real do sen(x) é:

a) – 1 d) 5

3

b) 5

4− e)

54

c) 5

3−

281. (UESB-2009) Se 21xcosxsen =+ e

4π,

2πx ,então o

valor de 7

x2cos4 é igual a:

01) 1 04) 21

02) 21 05) 1−

03) 0

α±=

α±

π

α±=

α±

π

α±=

α±

π

α±=

α±

π

seccos2

sec

gcot2

tg

sen2

cos

cos2

sen

2º quadrante: ( )( )

( ) tgxxtg

xcosxcos

senxxsen

−=−π

−=−π

=−π

3º quadrante: ( )( )

( ) tgxxtg

xcosxcos

senxxsen

=π−

−=π−

−=π−

4º quadrante: ( )( )

( ) tgxx2tg

xcosx2cos

senxx2sen

=−π

=−π

−=−π

2sen

2sen2coscos.IV

2cos

2cos2coscos.III

2cos

2sen2sensen.II

2cos

2sen2sensen.I

β−α⋅

β+α⋅−=β+α

β−α⋅

β+α⋅=β+α

β+α⋅

β−α⋅=β−α

β−α⋅

β+α⋅=β+α

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282. (UEFS-08.1) Sendo 332

xsenxcos =− , [ ]π∈ 2,0x , então

( )x2sen é igual a:

a) 31

− d) 32

b) 33

− e) 23

c) 33

283. (UNEB-2009) Considerando-se mαcosαsen =+ e

4n

αcosαsen =⋅ , pode-se afirmar que o valor de nm2 − é igual a:

01) 2 04) – 2 02) 1 05) – 3 03) 0

284. (UNEB-2009) Se 3πxsenarc = , então ( )xsenarc2cos é

igual a:

01) 1 04) 21

02) 0 05) 4

31−

03) 31− 285. (UEFS-08.2) Sendo

[ ]

>

π∈= 1

2x

sen2e2,0x;xM e

[ ] ( )

≥π∈=22

xcose2,0x;xM ,

o conjunto NM ∩ é: a) vazio. b) finito, contendo um único elemento. c) finito, contendo um dois elementos. d) finito, contendo quatro elementos. e) infinito.

286. (UESB-2008) Considere a equação senx31xcos =− , para

[ ]π∈ 2,0x . A soma das raízes dessa equação é igual a: 01) 8π 04) 5π 02) 7π 05) 4π 03) 6π

287. (UEFS-07.2) Os valores máximo e mínimo de θ−

=cos235

Q

são soluções da equação:

a) 05x6x2 =+− d) 05x6x2 =++

b) 06x5x2 =−+ e) 06x5x2 =++

c) 06x5x2 =+− 288. (UEFS-09.1) Sendo x um arco do 2º quadrante, tal que

31xsen = , pode-se afirmar que o valor de xtg2A =

é igual ao

valor de:

a) 32

senπ

d) 6

5cos

π

b) 32

cosπ

e)

34

senπ

c) 6

5sen

π

289. (UEFS-09.1) O conjunto-imagem da função real

( ) ( ) 1x2cos3xf ++−= é:

a) [ ]2,1 d) [ ]4,3 b) [ ]3,2 e) [ ]5,3

c) [ ]4,2

290. (UESC-2005)

Deseja-se construir uma escada, conforme indicado na figura, tendo comprimento igual a 10m, com degraus de mesmo tamanho, tal que a largura do degrau não seja menor que 30cm e também não exceda a 40cm. Nessas condições, o número, x, de degraus que a escada deve ter é tal que

01) 15 < x ≤ 20 04) 35 < x ≤ 45 02) 20 < x ≤ 30 05) 45 < x ≤ 50 03) 30 < x ≤ 35

291. (UNEB-2006)

Se, no triângulo ABC, representado na figura, a altura relativa à base AB mede 4u.c., então o lado AB mede, em u.c.,

01) ( )3314 +⋅ 04)

+⋅

33

14

02) ( )3214 +⋅ 05) 33

4 ⋅

03) ( )314 +⋅ 292. (UESB-2007) A figura mostra uma rampa de 50 metros de comprimento que forma com o plano vertical um ângulo de 60°.

Uma pessoa sobe a rampa inteira e eleva-se x metros. Com base nessas informações, pode-se concluir que o valor de x é igual a:

01) 15 04) 325

02) 20 05) 330 03) 25

293. (UEFS-07.2) Um operário apóia uma extremidade de uma escada de 4m de comprimento em uma parede vertical e a outra extremidade em um ponto P de um piso plano e horizontal, formando um ângulo α = 30º entre a escada e a parede. Ao subir na escada, esta escorregou ao longo da parede vertical, tendo a sua extremidade inferior se afastado 0,5m, passando a formar, com a parede, um ângulo cujo co-seno é igual a:

a) 85

d) 823

b) 839

e) 825

c) 39

5

.

60º 50m x

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294. (UESB-2008) A verticalização da orla de Salvador prevista pelo Plano Diretor de Desenvolvimento Urbano – PDDU – tem preocupado especialistas que alertam para possíveis impactos, como barreiras aos ventos, sombreamento das praias, formação de ilhas de calor, entre outros. A ilustração mostra os ângulos que vão determinar a altura dos prédios e chama a atenção para a necessidade de mantê-los devidamente afastados. Essas medidas, na opinião de especialistas, podem contribuir para minimizar os impactos da verticalização.

Considerando-se cada andar com 2,5m de altura, sen38º=0,6 e cos38º=0,8, no instante mostrado na figura, o comprimento da sombra projetada por um prédio de 15 andares localizado entre o Farol da Barra e Amaralina será, em metros, igual a: 01) 60,0 04) 37,5 02) 50,0 05) 28,0 03) 45,0 295. (UEFS-08.2) O origami é uma técnica japonesa de dobradura de papéis através da qual se pode obter objetos de inúmeras formas.

Para se construir um pássaro através dessa técnica, usou-se uma folha de papel, quadrada, com 2dm de lado, representada na figura 1. O primeiro passo foi dobrar o papel, fazendo os lados DA e DC do quadrado coincidirem com o segmento DG sobre a diagonal DB desse quadrado, obtendo-se um quadrilátero DEBF, representado na figura 2. A área do quadrilátero DESF, em dm2 mede:

a) 424 − d) 21+

b) 248 − e) 242 +

c) 22

296. (UESB-2007) O triângulo da figura tem a forma de um terreno que vai ser dividido em dois, por uma cerca que parte do ponto A e desce perpendicularmente ao lado BC. Com base nessas informações, pode-se afirmar que a área do terreno menor, em m2, é igual a: 01) 576 04) 216 02) 432 05) 162 03) 324 297. (UESC-2004)

Se o triângulo ABC é tal que 5

12)A(tg = ,

43

)B(tg = e .c.u21AB = ,

então sua área mede, em u.a., 01) 189 04) 126 02) 168 05) 105 03) 147 298. (UEFS-07.2)

Em uma praça retangular ABCD, no ponto médio de AB, é colocado perpendicularmente a AB, um poste de iluminação, LM, de 4m de

altura. Considerando-se 3,311 = , pode-se afirmar que a distância da lâmpada L ao vértice C da praça mede, em metros, aproximadamente: a) 18 d) 14 b) 17 e) 13 c) 16 299. (UESB-2006)

Uma folha de papel quadrado de lado 12cm é dobrada de modo que o seu vértice D fique sobre o lado AB, sendo Q a nova posição do vértice D, conforme a figura. Sabendo-se que o ângulo θ mede 30º, pode-se concluir que o segmento AQ, mede, em cm,

01) 5 04) 34

02) 23 05) 7 03) 6

A

B C

30 m 40 m

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300. (UESB-2005)

Na figura, está representada uma escada AB, de comprimento c, apoiada em um muro. Considerando-se essa informação, pode-se concluir que o valor de c é igual, em metros, a

01) 5103

04) 455

02) 5104

05) 2103

03) 354

301. (UEFS-05.1)

Na figura, os três triângulos ABD, ACF e AEH são eqüiláteros. Se o segmento AB mede 6u.c., então o segmento AH mede, em u.c.,

a) 33 d) 49

b) 29

e) 23

c) 235

302. (UNEB-2002)

Na figura, o valor senα é igual a:

01) 21

04) 5

1

02) 2

1 05)

52

1

03) 3

1

303. (UESB-2006) Sabendo-se que π≤≤ x0 , pode-se afirmar que

o menor valor que a função ( ) ( ) ( ) 1xcos2x2cosxf ++= pode assumir é:

01) – 2 04) 21

02) 21

− 05) 1

03) 0

304. (UEFS-07.1) O valor de ( ) ( )º610cosº1120sen − é: a) cos 10º d) cos 20º b) sen 10º e) sen 20º c) sen -10º 305. (UEFS-05.1)

Uma pessoa corre em uma planície, com velocidade de 350m/min, em direção a um penhasco. Em determinado ponto, avista o cume do penhasco sob um ângulo de 30º e, após correr durante 4 minutos, o avista sob um ângulo de 45º. Com base nesses dados, pode-se concluir que a altura do penhasco, em metros, é aproximadamente, igual a: a) 1200 d) 2200 b) 1500 e) 2400 c) 2000 306. (UEFS-05.2)

Um garoto que mede 1 m da altura mira de um ponto, em uma rua plana, o topo de um poste, situado no mesmo terreno, sob um ângulo a = 45°. Um outro garoto, que tem 1,3m de altura, colocando-se no mesmo lugar do primeiro, mira o topo do poste sob um ângulo cuja tangente é igual a 0,9. Com base nessas informações, pode-se afirmar que o poste mede, em m, a) 2,3 d) 3,7 b) 2,7 e) 4,0 c) 3,0 307. (UESC-2007) Considerando-se a representação gráfica da função

( ) ( )mxcosbxf ⋅= , na figura, com π<< x0 , pode-se afirmar que os valores de b e de m são, respectivamente, 01) 3 e -3 04) -2 e 3 02) 3 e -2 05) 2 e 3 03) 3 e 0,5

308. (UEFS-06.1) A expressão trigonométrica ( )( )

( )( )xsenx3sen

xcosx3cos

− ,

para 2

x0π

<< , é equivalente a:

a) -2 d) ( ) ( )xsenxcos −

b) 0 e) ( ) ( )x2senx2cos − c) 2

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309. (UEFS-05.1) A função real ( ) ( ) ( )xgcotxtgxf += é equivalente à função: a) g(x) = cossecx d) g(x) = sec(2x) b) g(x) = cossecx + 2secx e) g(x) = 2cossec(2x) c) g(x) = cossec(2x) 310. (UEFS-04.2) Considere às funções reais f e g definidas por

( ) xxxf 3 +−= e ( ) xcosxg = . Assim sendo, pode-se afirmar que

( )xfog é:

a) xcossen2 ⋅ d) 3senxsenx −

b) ( )xxcos 3 +− e) ( )xxsen 3 +−

c) xcossenx 2⋅ 311. (UESB-2005) O número de soluções da equação

( ) ( ) 11x2secx2sen14 =−⋅−⋅ , no intervalo [0,2π], é igual a: 01) 0 04) 3 02) 1 05) 4 03) 2 312. (UESC-2007) O conjunto-solução da equação

( ) ( )x4senxsen = , no intervalo π<< x0 , possui número de elementos igual a: 01) 1 04) 4 02) 2 05) 5 03) 3

313. (UESB-2003) Se x e y são números reais tais que tgx1tgx1

y−

+=

então y2 é igual a:

a) -cossecx d) x2sen1x2sen1

+

b) sec2x e) x2sen1x2sen1

+

c) xcos1xcos1

+

314. (UNEB-2004) Se ( ) 1x2senycoxsenx 2=⋅−− , ∀x∈R então y é

igual a: 01) –2 04) 1 02) –1 05) 2 03) 0 315. (UNEB-2003)

A partir da análise do triângulo retângulo representado, pode-se

afirmar que o valor da expressão ( )

( )α−β⋅

α+

π+α−π

2cossen10

2cos2sen

igual a:

01) 10 04) 510

02) 210

05) 1010

03) 510

Questões 316 e 317

Considere-se a função real ( )

π+⋅+=

23x

sen32xf .

316. (UEFS-03.1) O conjunto-imagem de f é: a) [-1,1] d) [-2,2] b) [1,3] e) [2,3] c) [-1,5] 317. (UEFS-03.1) Sobre f, pode-se afirmar que é uma função: a) par e periódica de período 3π. b) par e periódica de período 6π. c) ímpar e periódica de período 4π. d) ímpar e periódica, de período π/3. e) não par e não ímpar. 318. (UEFS-08.2) Na figura, M é o ponto médio da hipotenusa PR do triângulo retângulo PQR.

Sendo a medida do ângulo QRP igual a 27°, pode-se afirmar que a medida do ângulo QMPα = , em radianos, é um valor pertencente ao intervalo:

a)

ππ

6,

12 d)

ππ

125

,3

b)

ππ

4,

6 e)

ππ

2,

125

c)

ππ

3,

4

GABARITO TRIGONOMETRIA

277. E 278. 02 279. C 280. E 281. 05 282. A

283. 01 284. 04 285. A 286. 05 287. A 288. B

289. E 290. 02 291. 04 292. 03 293. B 294. 02

295. B 296. 04 297. 04 298. E 299. 04 300. 02

301. B 302. 04 303. 02 304. A 305. C 306. E

307. 02 308. A 309. E 310. A 311. 05 312. 03

313. D 314. 03 315. 04 316. C 317. B 318. C

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Fatorial de um número natural Dado um número natural n, definimos o fatorial de n (indicado por n!) através das relações:

( ) ( )

1!0,0nSe)iii

1!1,1nSe)ii

2npara123...2n1nn!n)i

==

==

≥⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅=

Coeficientes Binomiais. Dados dois números naturais, n e p, com n ≥ p, definimos o coeficiente binomial n sobre p, e indicamos por

p

n o número

( ) !pn!p!n

p

n

−⋅=

Casos Particulares

• Quando p = 0, temos Nn,1!n!0

!n0

n∈∀=

⋅=

• Quando p = 1, temos ( )

( )( )

Nn,n!1n

!1nn

!1n!1

!n1

n∈∀=

−⋅=

−⋅=

• Quando p = n, temos Nn,1!0!n

!nn

n∈∀=

⋅=

Binomiais Complementares

Dizemos que dois coeficientes de mesmo numerador são complementares quando a soma de seus denominadores é igual ao

numerador, isto é:

q

ne

p

n são complementares se nqp =+

Principio Fundamental da Contagem

Suponhamos que uma ação seja constituída de duas etapas sucessivas. A 1ª etapa pode ser realizada de n maneiras distintas. Para cada uma dessas possibilidades, a 2ª etapa pode ser realizada de m maneiras distintas. Então, o número de possibilidades de se efetuar a ação completa é dado por n x m.

Arranjos

Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo dos n elementos, tomados k a k, a qualquer seqüência ordenada de k elementos distintos escolhidos entre os n existentes.

( )1kn2n1nn

etapaª4etapaª3etapaª2etapaª1

−−−− kn

)!kn(

!nA k,n ≥

−=

Permutação

Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se permutação dos n elementos a todo arranjo desse n elementos tomados n a n. O número total de permutações de n elementos, indicados por Pn, é dado por:

!n!0!n

)!nn(!n

AP n,nn ==−

==

Notemos que a permutação é um caso particular de arranjo, pois, dado um conjunto com n elementos distintos, selecionamos exatamente n elementos para formar a seqüência ordenada.

Combinação

Dado um conjunto A com n elementos distintos, chama-se combinação dos n elementos de A, tomados k a k, a qualquer subconjunto de A formado por k elementos.

kn,!)kn(!k

!n

P

AC

k

k,nk,n ≥

−⋅==

Probabilidade Experimento Aleatório – Todo experimento que, repetido em condições idênticas, pode apresentar diferentes resultados. A variabilidade de resultados deve-se ao acaso. Ex: lançamento de uma moeda, lançamento de um dado, etc. Espaço Amostral – Conjunto de todos os possíveis resultados de experimento aleatório, é indicado por Ω “ômega”. O número de elementos de um espaço amostral indicaremos por n(Ω). Evento – Qualquer subconjunto de Ω. Obs: Quando E = Ω, o evento é dito certo e, quando E = ∅, temos o evento impossível. Probabilidade em Espaço Amostrais

( ) ( )( ) possíveiscasosdeªn

favoráveiscasosdeºn

n

EnEp =

Ω=

Probabilidade da União de dois eventos

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )BPAPBAPouBAPBPAPBAP +=∪∩−+=∪

319. (UEFS-08.2) Uma loja dispõe de papéis de diversas cores e fitas nas mesmas cores dos papéis, a serem utilizados na embalagem dos itens para presentes adquiridos por seus clientes. Se, em um determinado dia, foram vendidos 42 desses itens e não se usou, em embalagem alguma, papel e fita de mesma cor, pode-se afirmar que a loja dispunha de papéis e de fitas de, pelo menos, n cores distintas. O valor de n é: a) 6 d) 14 b) 7 e) 21 c) 9 320. (UNEB-2009) Sobre uma circunferência, foram marcados 5 pontos distintos. Com base na informação, pode-se concluir que o número de triângulos que podem ser formados, tendo esses pontos como vértices, é igual a: 01) 8 04) 11 02) 9 05) 12 03) 10 321. (UESC-2009) Entre 7 rapazes e 8 moças,o número modos para selecionar 2 pares, cada par composto por um rapaz e uma moça, para uma quadrilha, é: 01) 2688 04) 672 02) 2150 05) 588 03) 1176 322. (UEFS-08.2) Para garantir a segurança de seus moradores, a administração de um condomínio pensou em contratar vigilantes para ocuparem as cinco guaritas construídas na sua área. Devido aos altos custos, só foi possível contratar quatro vigilantes, sendo que um deles deve ficar na guarita próxima à entrada do condomínio e que, nos demais postos, deve ficar, no máximo, um vigilante. Nessas condições, o número de máximo de maneiras distintas para distribuir os vigilantes é: a) 24 d) 96 b) 58 e) 120 c) 72 323. (UNEB-2009) A quantidade de maneiras distintas que 4 moças e 4 rapazes podem se sentar em uma fila de 8 assentos, de modo que nunca haja nem dois rapazes vizinhos e nem duas moças sentadas uma ao lado da outra, é igual a: 01) 256 04) 1152 02) 380 05) 2304 03) 576

Analise Combinatória, Probabilidade

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324. (UESB-2008) Um homem leva, no bolso, 12 moedas, sendo sete de R$0,50 e cinco de R$1,00. Para dar gorjeta a um garoto, retira, ao acaso, duas moedas. A probabilidade, em percentual, de serem pegas uma moeda de cada valor é igual a: 01) 53,0 04) 21,0 02) 45,3 05) 15,1 03) 31,8 325. (UESC-2008) O número de modos para se formar uma fila com 8 casais de namorados, de forma que cada namorada fique junto de seu namorado e que as pessoas do mesmo sexo não fiquem juntas, é: 01) 2.8! 04) 28.8! 02) 16! 05) 28 03) 8! 326. (UESC-2008) Entre os 7 funcionários de uma firma de segurança, o número de modos que se pode formar uma equipe que contenha, no mínimo, 2 pessoas é: 01) 24 04) 121 02) 31 05) 128 03) 120 327. (UESC-2008) Cem urnas são numeradas de 1 a 100 e, dentro de cada uma delas, coloca-se um número de bolas igual à sua numeração. O número total de bolas contidas em cada uma das urnas que possui numeração par e divisível por 3 é igual a: 01) 948 04) 765 02) 912 05) 612 03) 816 328. (UNEB-2008) Jogando dois dados, não vinculados, simultaneamente, X aposta que consegue obter uma somas de pontos igual ou inferior a 6, enquanto Y aposta que consegue obter uma soma de pontos igual ou superior a 8. Quanto à essa aposta, pode-se afirmar: 01) X tem o dobro de chances de vitória do que Y. 02) Y tem o dobro de chances de vitória do que X. 03) X tem mais 1/3 de chances de vitória do que Y. 04) Y tem mais 1/3 de chances de vitória do que X. 05) X e Y têm as mesmas chances de vitória. 329. (UEFS-07.2) Três estudantes chegaram juntos a uma cidade para participar de um congresso e, não tendo reservas com antecedência, constataram que, em cada um dos quatro hotéis da cidade, existem, apenas, duas vagas disponíveis. Sabendo-se que os três não poderão ficar juntos num mesmo hotel, pode-se afirmar que o número máximo de opções de hospedagem de que dispões é igual a: a) 14 d) 60 b) 24 e) 120 c) 36 330. (UESC-2007) Em um grupo de 15 professores, existem 7 de Matemática, 5 de Física e 3 de Química. O número máximo de comissões que se pode formar com 5 professores, cada uma delas constituída por 2 professores de Matemática, 2 de Física e 1 de Química, é igual a: 01) 34 04) 630 02) 65 05) 2520 03) 120 331. (UESB-2006) O número máximo de anagramas da palavra UESB que não apresenta duas vogais juntas é: 01) 6 04) 18 02) 8 05) 24 03) 12

332. (UEFS-09.1) O número de anagramas da palavra PROVA que não apresenta as duas vogais juntas é

a) 24 d) 60 b) 36 e) 72 c) 48 333. (UEFS-06.1) Se todos os anagramas obtidos através das permutações das cinco letras da sigla UEFS forem ordenados como em um dicionário, a sigla que ocupará a 17ª posição será:

a) FSUE d) UEFS b) SEUF e) UFES c) SUEF 334. (UESC-2005) Seis pessoas formam uma fila indiana para percorrer uma trilha em uma floresta. Se uma delas é medrosa e não quer ser nem a primeira nem a última da fila, então o número de modos de que essa fila pode ser formada é:

01) 120 04) 720 02) 480 05) 930 03) 600 335. (UESB-2003) De um grupo de 8 pessoas, deve-se escolher 4 para formar uma comissão. Quantas comissões distintas podem ser formadas:

a) 1680 d) 140 b) 830 e) 70 c) 520 336. (UEFS-07.1) Em uma estante, devem-se arrumar 9 livros, dos quais 5 são de Matemática. A quantidade máxima de maneiras que se pode colocar, em ordem, tais livros na estante, de modo que os livros de Matemática fiquem sempre juntos, é: a) 4! 4! d) 5! 5! b) 5! 4! e) 14! c) 4! 5! 337. (UESC-2004) As senhas de acessos dos usuários de uma INTRANET (rede interna de computadores) são da forma:

sendo x a inicial do nome do usuário; m, m+1, m+2 e n, dígitos escolhidos dentre 0, 1, 2,..., 9, sem repetição. Com base nessas informações, conclui-se que o número máximo de testes que será preciso fazer para descobrir a senha da usuária Maria é:

01) 2340 04) 63 02) 90 05) 56 03) 1456 338. (UNEB-2002) Um empresário, visando proteger o sistema de segurança de sua firma, deseja criar senhas constituídas de seqüências de quatro dígitos distintos, sendo os dois primeiros vogais e os dois últimos algarismos. O número de senhas distintas, do tipo descrito, que podem ser formadas é igual a:

01) 180 04) 1600 02) 200 05) 1800 03) 800 339. (UEFS-04.2) Para elaborar uma prova com dez questões, um professor deve incluir, pelo menos, uma questão relativa a cada um dos oito tópicos estudados e não repetir mais do que dois deles na mesma prova. Nessas condições, o número máximo de escolhas dos tópicos que serão repetidos para a elaboração de provas distintas é .

a) 16 d) 48 b) 28 e) 56 c) 36 340. (UESC-2007) No conjunto 1006x7;Nx ≤≤∈ , um número é sorteado ao acaso. A probabilidade de o número ser divisível por 5, dado que é par, é igual a:

01) 0,25 04) 0,10 02) 0,20 05) 0,05 03) 0,15

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341. (UESC-2005) No conjunto 25x1,NxA ≤≤∈= , pode-se escolher dois números distintos, tais que a sua soma seja um número par. Nessas condições, o número de modos de que essa escolha pode ser feita é igual a: 01) 300 04) 144 02) 169 05) 132 03) 156 342. (UNEB-2005) Colocando-se em ordem crescente todos os números inteiros de cinco algarismos distintos formados com os elementos do conjunto 2, 4, 5, 6, 7, a posição do número 62754 é: 01) 56º 04) 87º 02) 64º 05) 91º 03) 78º 343. (UEFS-02.2) A diretoria de uma Empresa é constituída por seis brasileiros e por três japoneses. Nessa diretoria, o número de comissões que podem ser formadas com três brasileiros e dois japoneses é igual a: a) 120 d) 54 b) 108 e) 30 c) 60 344. (UEFS-01.1) Para elaborar uma prova, pretende-se criar uma comissão entre os 7 professores de Matemática de uma escola. O número de possibilidades para formar essa comissão, de modo que ela contenha, pelo menos, dois professores, é igual a: a) 42 d) 150 b) 120 e) 210 c) 128 345. (UEFS-05.1) Uma garota possui n amigas e quer escolher entre elas, n - 2 pessoas para participar de uma promoção de aparelhos celulares. Sabendo-se que existem 36 maneiras de fazer essa escolha, conclui-se que o número de amigas da garota é: a) 6 d) 9 b) 7 e) 10 c) 8 346. (UEFS-06.2) A figura ilustra um bloco de um código de barras, utilizado por uma empresa para cadastrar os preços dos produtos que comercializa.

Cada bloco é formado por 12 barras verticais separadas por 11 espaços podendo ser usadas barras de três larguras distintas e espaços de duas larguras distintas. Nessas condições, o número máximo de preços que podem ser cadastrados através desse sistema é: a) 312.211 d) 3+611 b) 123.112 e) 312+611 c) 123+112 347. (UESB-2007) A Câmara Municipal de um pequeno município tem exatamente 13 vereadores, sendo que 8 apóiam o prefeito e os demais são da oposição. Uma comissão constituída de 3 vereadores da situação e 4 da oposição será escolhida.Com base nessas informações, pode-se afirmar que o número de comissões distintas do tipo descrito é igual a: 01) 5 04) 140 02) 56 05) 280 03) 120

348. (UEFS-01.1) A quantidade de números inteiros x, formados pelos algarismos 0, 1, 3, 4, 5, sem repeti-los, tais que 100 < x < 1000 e, x é múltiplo de 5, é igual: a) 21 d) 120 b) 24 e) 125 c) 40 349. (UESB-2007) Num grupo de 55 pessoas da zona rural, 11 estão contaminadas com o vírus A e 27 com o vírus B. Não foi registrado nenhum caso de contaminação conjunta dos vírus A e B. Duas pessoas desse grupo são escolhidas aleatoriamente, uma após a outra. Considerando-se que a probabilidade da primeira pessoa estar com o vírus A e a segunda com vírus B é de x%, é correto afirmar que o valor de x é igual a: 01) 7 04) 20 02) 10 05) 50 03) 15 350. (UEFS-04.1) Uma senha deve ser formada, escolhendo-se 4 algarismos de 0 a 9, sem que haja algarismos repetidos. Portanto, o número máximo de senhas que satisfazem a essa condição é a) 840 d) 5040 b) 1210 e) 6100 c) 3420 351. (UEFS-07.1) Em uma concessionária, certo modelo de automóvel pode ser encontrado em seis cores, com quatro itens opcionais diferentes. O número de escolhas distintas, com um item opcional, pelo menos, que uma pessoa tem, ao comprar um automóvel desse modelo, nessa concessionária, é igual a: a) 15 d) 64 b) 30 e) 90 c) 45 352. (UEFS-03.2) O número de anagramas da palavra FEIRA, em que nem duas vogais podem estar juntas nem duas consoantes, é igual a: a) 10 d) 24 b) 12 e) 25 c) 18 353. (UESC-2006) Para iluminar um palco, conta-se com sete refletores, cada um de uma cor diferente. O número máximo de agrupamentos de cores distintas que se pode utilizar para iluminar o palco é igual a: 01) 7 04) 156 02) 28 05) 186 03) 127 354. (UESC-2006) O número máximo de maneiras distintas para se formar uma roda com 7 crianças, de modo que duas delas A e B fiquem juntas, é igual a: 01) 60 04) 1200 02) 120 05) 1440 03) 240 355. (UNEB-2006) Com 8 flores distintas, sendo 3 alvas e 5 rubras, um artesão vai arrumar um ramalhete contendo 6 dessas flores, em que, pelo menos, uma seja alva. Com base nessas informações, pode-se afirmar que o número máximo de ramalhetes distintos que ele pode confeccionar é igual a: 01) 28 04) 10 02) 18 05) 3 03) 15

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356. (UESB-2006)

Ligando-se três vértices quaisquer de um hexágono regular obtém-se triângulos. Sendo assim, escolhendo-se aleatoriamente um desses triângulos, a probabilidade de ele não ser retângulo é igual a: 01) 20% 04) 50% 02) 30% 05) 60% 03) 40% 357. (UNEB-2006) Sorteando-se um número de 1 a 20, a probabilidade de que ele seja par ou múltiplo de 3 é igual a: 01) 70% 04) 20% 02) 65% 05) 10% 03) 50%

358. (UEFS-05.2) Um garoto possui 5 bolas idênticas e deseja guardá-las em 3 caixas diferentes. O número máximo de modos de que ele pode guardar essas bolas, sendo-lhe facultado o direito de deixar caixas vazias, é igual a: a) 10 d) 21 b) 12 e) 24 c) 18 359. (UESB-2004) Uma microempresa tem 32 funcionários, sendo um deles demitido e substituído por outro de 25 anos de idade. Se, com essa demissão, a média das idades dos funcionários diminui 1 ano, então a idade do funcionário demitido é igual a 01) 45 anos. 04) 57 anos. 02) 49 anos. 05) 65 anos. 03) 52 anos. 360. (UEFS-09.1) Ao se analisarem os resultados obtidos por uma turma de um determinado curso, levou-se em consideração, dentre outros fatores, a freqüência às aulas. Considerando-se uma amostra aleatória de 10 alunos, constatou-se que o número total de faltas, no decorrer do curso, foi 0,1, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6. Sorteando-se, ao acaso, um desses alunos, a probabilidade de o número de faltas ser maior do que 4, é igual a: a) 0,3 d) 0,6 b) 0,4 e) 0,7 c) 0,5 361. (UESB-2004) Um estudante arrumou, de forma aleatória, numa prateleira, cinco livros de Matemática, cada um versando sobre um assunto diferente - Teoria dos Conjuntos, Álgebra, Geometria, Trigonometria e Análise Combinatória. Com base nessa informação, a probabilidade de os livros de Álgebra e de Trigonometria não estarem juntos é de

01) 31

04) 43

02) 52

05) 32

03) 53

362. (UEFS-03.1) Um artesão usa peças circulares de mesmo diâmetro, para confeccionar tapetes circulares. Sabe-se que todas as peças são agregadas ao redor da peça central, tangenciando-a. Assim sendo, o número de peças necessárias para confeccionar cada tapete é igual a: a) 9 d) 6 b) 8 e) 5 c) 7

363. (UEFS-02.1) Sobre uma circunferência foram marcados seis pontos distintos. O número máximo de triângulos, com vértices nesses pontos, que se pode obter é: a) 120 d) 15 b) 60 e) 20 c) 30 364. (UNEB-2003) Em um município, uma pesquisa revelou que 5% dos domicílios são de pessoas que vivem sós e, dessas, 52% são homens. Com base nessas informações, escolhendo-se ao acaso uma pessoa desse município, a probabilidade de que ela viva só e seja mulher é igual a: 01) 0,530 04) 0,048 02) 0,240 05) 0,024 03) 0,053 365. (UESC-2003) Sobre duas retas paralelas e não coincidentes, r e s, são considerados quatro pontos distintos em r e três pontos distintos em s. Com base nessas informações, pode-se concluir que o número de quadriláteros convexos, tendo como vértices quatro desses pontos, é igual 01) 17 04) 30 02) 18 05) 31 03) 24 366. (UEFS-04.2) As 10 salas de uma empresa são ocupadas, algumas por 3 pessoas e outras por 2, num total de 24 funcionários. Portanto, o número x de salas ocupadas por 3 pessoas é tal que: a) 9 ≤ x < 10 d) 3 ≤ x < 5 b) 7 ≤ x < 9 e) 1 ≤ x < 3 c) 5 ≤ x < 7 367. (UEFS-05.1) Suponha-se que toda bezerra se torne adulta aos 2 anos de idade e que, após se tornar adulta, dê uma única cria uma vez a cada ano. Se um fazendeiro adquirir uma bezerra recém-nascida e, durante os 8 anos seguintes, todos os descendentes da bezerra forem fêmeas e não houver nenhuma morte, então pode-se afirmar que, ao final desse tempo, o total de animais, considerando-se a bezerra e seus descendentes, será igual a: a) 128 d) 21 b) 64 e) 13 c) 31 368. (UEFS-05.1)

Pretende-se completar o quadro de horários acima com aulas de 2 horas das disciplinas Matemática, História, Geografia e Ciências, de modo que aulas da mesma disciplina não ocorram no mesmo dia e nem em dias consecutivos. Nessas condições, pode-se concluir que o número de maneiras diferentes de que se pode completar o quadro é: a) 1024 d) 192 b) 243 e) 150 c) 225

369. (UESC-2007) O valor de x ∈ N, tal que ( ) ( )( ) ( )

40!x1x!1x2!2x2!2x

=+⋅+

+⋅+,

é: 01) 6 04) 3 02) 5 05) 2 03) 4 370. (UEFS-04.1) Pretende-se distribuir 9 laranjas e 2 maçãs entre duas pessoas, de modo que cada uma delas receba, pelo menos, uma laranja. Se essa distribuição pode ser feita de n maneiras diferentes, o valor de n é: a) 7 d) 10 b) 8 e) 11 c) 9

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371. (UESB-2005) Em um curso, a avaliação do desempenho de cada aluno foi dada pelos conceitos A, B, C, D e E. Sabe-se que, obtendo A, B ou C, o aluno estaria aprovado e, D ou E, estaria reprovado. A tabela mostra a distribuição dos conceitos obtidos por uma turma de 40 alunos.

Com base nessas informações, pode-se concluir que o percentual de alunos que obtiveram conceito A, em relação ao número total de alunos aprovados é, aproximadamente, igual a: 01) 22,5 04) 46,0 02) 28,0 05) 68,2 03) 32,1

GABARITO ANALISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE

319. B 320. 03 321. 03 322. D 323. 04 324. 01

325. 01 326. 03 327. 03 328. 05 329. D 330. 04

331. 03 332. E 333. C 334. 02 335. A 336. D

337. 05 338. 05 339. B 340. 02 341. 04 342. 03

343. C 344. B 345. D 346. A 347. 05 348. A

349. 02 350. D 351. E 352. B 353. 03 354. 03

355. 02 356. 04 357. 02 358. D 359. 03 360. A

361. 03 362. A 363. E 364. 05 365. 03 366. D

367. D 368. D 369. 04 370. D 371. 03 *****

Teorema Binomial Sejam dois números reais, a e b, e um número natural n. Já conhecemos o desenvolvimento de (a + b)n para alguns valores de n:

( )( )

( )( ) 32233

222

1

0

bab3ba3aba3n

bab2aba2n

baba1n

1ba0n

+++=+⇒=

++=+⇒=

+=+⇒=

=+⇒=

Observando os exemplos acima e considerando, em especial, o caso n = 3, é possível notar que, ao desenvolvermos (a + b)3, obtemos 3 + 1 = 4 termos tais que: (I) os expoentes do 1º termo do binômio, o termo a, decrescem deste 3 até zero; (II) os expoentes do 2º termo do binômio, o termo, aumentam desde zero até 3. Essas duas observações sugerem que, para a parte literal do desenvolvimento de (a + b)n, n∈ N, temos:

n01n122n11n0n ba;ba...;ba;ba;ba)III( −−−

(IV) os coeficientes que aparecem nos desenvolvimentos anteriores correspondem, ordenadamente às linhas do triângulo de Pascal:

1331:3linhabab3ba3a)ba(

121:2linhabab2a)ba(

11:1linhaba)ba(

32233

222

1

+++=+

++=+

+=+

Dessa maneira, para determinarmos os coeficientes os coeficientes do desenvolvimento de (a + b)n, basta considerar a linha n (linha de numerador n) do triângulo de Pascal.

n01n111n0nn ban

nba

1n

n...ba

1

nba

0

n)ba(

+

−++

+

=+ −−

onde a e b são reais e n é natural.

Utilizando o símbolo de somatório, podemos escrever:

=+

=

−n

0k

kknn bak

n)ba(

O resultado acima é conhecido como teorema binomial. Obs: O teorema binomial continua válido se quisermos obter o desenvolvimento de (a – b)n. Basta notar que:

[ ]

n01n111n0nn

nn

)b(an

n)b(a

1n

n...)b(a

1

n)b(a

0

n)ba(

)b(a)ba(

+−

−++−

+−

=−

−+=−

−−

Cada um dos termos acima contém potências do tipo:

( )

−−

imparékse,b

parékse,bb

k

kk

Assim, os sinais dos termos do desenvolvimento de (a – b)n se alternam, a partir do 1ºtermo, que é positivo. Termo Geral de um Binômio

( ) n011n0nn ban

n...ba

1

nba

0

nba

++

+

=+ −

Termo Geral é dado por:

kkn bak

n⋅⋅

372. (UESC-2008) No desenvolvimento da expressão algébrica

62

x1

xx

− , o termo independente de x é igual a:

01) – 6 04) 15 02) 0 05) 30 03) 6 373. (UESC-2009) Se a soma dos coeficientes do polinômio

( ) ( )7bx2xP += é igual a 1, então o coeficiente de x2 é igual a: 01) 84 04) – 84 02) 63 05) – 93 03) – 42 374. (UNEB-2008) Sabendo-se que a diferença entre os números

binomiais

3

n e

2

n é igual a zero, pode-se afirmar que o

determinante da matriz

n1

21 é igual a:

01) – 3 04) 4 02) – 1 05) 6 03) 2 375. (UEFS-07.1) O conjunto-solução da equação

++=−

+

3

x22

2

x2

x22

2

é:

a) -4 d) -4, 4 b) 0 e) -4, 0, 4 c) 4 376. (UEFS-06.2) A diferença entre os coeficientes de x e x3 no

binômio ( )5kx + é igual a 15. Sabendo que k é um número real, pode-se afirmar que k é um número, a) irracional. d) múltiplo de 4. b) racional não inteiro. e) múltiplo de 5. c) primo.

Binômio de Newton

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377. (UESB-2008) O simétrico do coeficiente do sexto termo no

desenvolvimento de ( )83x − , segundo os expoentes decrescentes de x, é igual a: 01) 13480 04) 13780 02) 13528 05) 13808 03) 13608 378. (UESC-2007) O valor do termo independente de x no

desenvolvimento 15

2x

x

1

− é:

01) 345 04) 554 02) 455 05) 645 03) 545

379. (UNEB-2009) O coeficiente do termo em 3x− no

desenvolvimento de 8

x1x

+ é igual a:

01) 15 04) 6 02) 9 05) 3 03) 8

380. (UEFS-09.1) Desenvolvendo-se o binômio 6

4x2x5

− , obtém-

se uma expressão algébrica cujo termo médio é igual a:

a) ( )

9

4

x102 ⋅−

d) ( ) 53 x105 ⋅−

b) ( )

2

4

x102 ⋅

e) 94 x10

c) ( )

4

3

x105 ⋅−

381. (UESB-2004) No desenvolvimento do binômio 8

2x

22x

+ , o

termo central é: 01) x-4 04) x4 02) 38x-3 05) 70x4

03) 70x-4

GABARITO BINÔMIO DE NEWTON

372. 04 373. 04 374. 01 375. C 376. C 377. 03

378. 02 379. A 380. A 381. 03 ***** *****

Posições Relativas entre duas retas Coincidentes: se todos os pontos de uma são pontos da outra.

Paralelas: se estão contidas no mesmo plano (coplanares) e não têm ponto comum.

Concorrentes: se têm um único ponto comum.

Reversas: se não existe plano que as contenha simultaneamente.

Relações Métricas em Polígonos regulares inscritos e circunscritos

Áreas das principais figuras Geométricas Planas

Paralelismo

Ângulos formados por duas retas concorrentes

Geometria Plana

22R

a

2Rl

4

4

=

=

23R

a

Rl

6

6

=

=

2R

a

3Rl

3

3

=

=

hbA ⋅= 2lA = hbA ⋅=

2hb

A⋅

=

43l

A2

=

( ) ( ) ( )

2cba

p

cpbpappA

++=

−⋅−⋅−⋅=

2

cbap

rpA

++=

⋅=

2

dDA

⋅=

( )2

hbBA

⋅+=

2RA

R2C

⋅π=

⋅π⋅= ( )22 rRA −⋅π=

2R

360

R2Rl

A2

o

2 α=

απ=

⋅=

a e b são ângulos adjacentes e suplementares (a + b = 180º) a e c são ângulos opostos pelo vértice (a = c)

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2CDAB

x+

= 2CDAB

x−

=

Ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal

Ângulo Inscrito numa Circunferência Ângulos Excêntricos Interiores Ângulos Excêntricos Exteriores

382. e β ângulos complementares. Sabendo-se que a medida de α é igual ao triplo da medida de β, pode-se afirmar que o ângulo α – β mede:

a) 40o d) 55o b) 45o e) 60o c) 50o 383. (UESB-2006) Da análise da figura, considerando-se as retas r, s e t paralelas, pode-se concluir que os ângulos α, β e γ medem, respectivamente: 01) 100o, 140o e 120o. 04) 110o,130o e 120o. 02) 100o, 120o e 140o. 05) 120o,120o e 120o. 03) 110o, 120o e 130o.

384. (UESB-2008) Considerem-se as retas r, s e t, tais que r // s // t.

O valor do ângulo x representado na figura é igual, em graus, a: 01) 50 04) 80 02) 60 05) 90 03) 70 385. (UNEB-2008) Na figura, a soma das áreas dos três quadrados é 34 u.a.

A área do quadrado maior é igual a: 01) 13 04) 18 02) 14 05) 20 03) 17 386. (UESB-2009) Um retângulo tem dimensões x e y , x < y, e perímetro igual a 16 u.c . Retirando-se, desse retângulo, um quadrado de lado x, a área restante pode ser obtida através da expressão:

01) ( ) 8x0;xx8xA 2 <<−=

02) ( ) 4x0;x2x8xA 2 <<−=

03) ( ) 2x0;x16x8xA 22 <<−=

04) ( ) 8x0;x2x16xA 2 <<−=

05) ( ) 4x0;x2x16xA 22 <<−= 387. (UNEB-2008) A reta t, na figura, intersecta a circunferência de centro C e raio r, nos pontos M e N.

Sabendo-se que a medida do segmento LM é igual a r, pode-se afirmar que os ângulos α e β indicados na figura são tais que: 01) α=β 2 04) β=α 2

02) α=β 3 05) β=α 3

03) β=α 388. (UESC-2008) Se a soma dos comprimentos das diagonais de um losango é igual a 6 u.c. e sua área A, dada em unidades de área, é a maior possível, pode-se afirmar: 01) 1 < A ≤ 2 04) 4 < A ≤ 5 02) 2 < A ≤ 3 05) 5 < A ≤ 6 03) 3 < A ≤ 4

r

s 140o

120o α

β

γ

AB=β

2AB

αααα

ββββ

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389. (UEFS-08.1) Em uma circunferência de centro O e raio 6cm, é marcado um arco AB cujo ângulo central AOB mede 50º. Se, em outra circunferência, de raio 10cm, é marcado um arco com a mesma medida de AB, o ângulo central correspondente mede, em radianos:

a) 3π

d) 92π

b) 33π

e) 6π

c) 4π

390. (UNEB-2007) Na figura, o vértice A do retângulo ABCD é o ponto médio do segmento EC.

Se DC = 32 u.c. e AD = 3u.c., então o segmento DE mede, em u.c.,

01) 34 04) 235

02) 24 05) 362

03) 62 391. (UEFS-02.1)

Um terreno de forma retangular, com largura igual a y u.c. e comprimento igual a x u.c., está dividido nos quadrados A, B, C e D,

conforme a figura. Nessas condições, a razão xy

é igual a:

a) 2 d) 23

b) 35

e) 1

c) 34

392. (UEFS-08.1) Sabendo-se que cada quadrilátero que compõe a malha representada na figura tem 5u.a. de área, pode-se afirmar que a área da região sombreada mede, em u.a.,

a) 31037 −⋅ d) 11037 −⋅

b) 21075 −⋅ e) 11075 −⋅

c) 21035 −⋅

393. (UESC-2008) Na figura, AB=8u.c., BC=1u.c., e os triângulos sombreados são eqüiláteros. Sobre os triângulos sombreados, pode-se afirmar que o quociente entre a área do triângulo maior e a área do triângulo menor é igual a:

01) 81

04) 6449

02) 87

05) 4964

03) 78

394. (UESB-2008) Sobre retas e planos, é verdade afirmar: 01) Existe um único plano passando por dois pontos distintos. 02) Duas retas distintas não paralelas são sempre concorrentes. 03) Duas retas paralelas a um plano são paralelas entre si. 04) Duas retas ortogonais são paralelas a toda reta ortogonal a elas. 05) Em um plano α, existem retas paralelas ou retas reversas a uma reta r, paralela a α. 395. (UESC-2007) Em um triângulo ABC, tem-se AD é a altura relativa ao lado BC. A medida do segmento CD é o triplo da medida do segmento BD. O ângulo CAD mede o dobro do ângulo BAD. Com base nessas informações, é correto afirmar que a medida do ângulo não-nulo CAD, em radianos, é:

01) 3π

04) 12π

02) 4π

05) 24π

03) 6π

396. (UEFS-03.2) A razão entre o lado do quadrado inscrito e o lado do quadrado circunscrito, em uma circunferência de raio r, é:

a) 41

d) 2

1

b) 21

e) 2

c) 3

1

397. (UEFS-09.1) A porta de uma sala quadrada cujo lado mede 4m, tem 0,80m de largura, está posicionada a 0,50m de um dos cantos, de acordo com a figura, e quando aberta para o interior da sala, tangencia no ponto T, um tapete circular colocado no centro da sala.

Com base nessa informação, pode-se afirmar que o diâmetro do tapete mede a) 2,2m d) 3,4 b) 2,6m e) 3,8 c) 3,0m

A B

C D

E

y

x A B

C D

A

C

B

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398. (UEFS-07.2) Duas pessoas, J e L, fazem caminhadas em uma praça circular cujo raio mede 6m. Certo dia, partindo do mesmo ponto P, J caminhou por PQ (diâmetro da praça), e L preferiu seguir o caminho em volta da praça (sobre a circunferência). No instante em que J se encontra a 9m do ponto de partida, L se encontrava em um ponto da circunferência em que JL é perpendicular a PQ. Nessas condições, pode-se afirmar que o comprimento do arco PL percorrido por L é:

a) 4

15π d) π4

b) 3

11π e)

29π

c) 6

25π

399. (UEFS-07.2) Da figura, sabe-se que

• ABC é um triangulo eqüilátero de lado medindo 4u.c;

• M é o ponto médio de AB;

• AM e MB são diâmetros de duas semicircunferências com centros AB;

• AC é um arco de circunferência com centro em B e raio BA;

• BC é um arco de circunferência com centro em A e raio AB. A medida da área da região sombreada, em u.a., é igual a

a) 38

319π

− d) 383

19+

π

b) 338

19 −π e) 38

319π

+

c) 383

19−

π

400. (UEFS-07.1) Um fazendeiro comprou um terreno de forma retangular, com 30m de perímetro, notando que o triplo da medida do menor lado é igual ao dobro da medida do lado maior. Resolveu plantar grama em todo o terreno, exceto em uma semicircunferência cujo diâmetro coincide com lado menor. Considerando-se que o valor aproximado de π=3,14 e que o m2 da grama custa R$ 40,00, pode-se afirmar que o fazendeiro gastou, aproximadamente,

a) R$ 245,76 d) R$ 1.440,00 b) R$ 405,40 e) R$ 1.594,80 c) R$ 1390,36 401. (UNEB-2006)

A figura representa um círculo de centro em C e área medindo 25πcm2. Considerando-se que a corda AB mede 5cm, pode-se afirmar que a área do triângulo ABC, em cm2, é igual a:

01) 435

04) 2

325

02) 235

05) 325

03) 4

325

402. (UEFS-06.1)

Da figura, composta por 5 círculos, sabe-se que O círculo maior tem centro na origem dos eixos coordenados e o raio mede 2; Os círculos médios são tangentes entre si, na origem dos eixos coordenados, e tangentes ao círculo maior; Os círculos menores são tangentes aos círculos médios e ao círculo maior. O raio dos círculos menores mede, em u.C.,

a) 91

d) 32

b) 92

e) 43

c) 31

403. (UEFS-05.2)

Na figura, tem-se uma circunferência de raio r e centro O e três losangos em que a diagonal maior é o dobro da menor. Nessas condições, pode-se concluir que a área da região sombreada mede, em u.a.,

a) (π – 0,75).r2 d) (π – 1,8).r2 b) (π – 1).r2 e) (π – 3).r2 c) (π – 1,5).r2 404. (UEFS-03.1)

Da figura, sabe-se que ABCD é um quadrado cujos lados medem 3u.c. M é ponto médio do lado AD. O segmento MN é paralelo a AB. MN = NB = NC Com base nessas informações, pode-se concluir que a área do triângulo NBC mede, em u.a.,

a) 21

d) 1627

b) 1 e) 2

c) 89

405. (UESC-2009) Na figura, a área do paralelogramo ABCD é igual 6 u.a. e a do trapézio AECD é igual a 10 u.a.. Então:

01) 5,7y5,6 <≤

04) 5,4y5,3 <≤

02) 5,6y5,5 <≤

05) 5,3y5,2 <≤

03) 5,5y5,4 <≤

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406. (UESB-2003) Na figura abaixo tem-se o quadrado ABCD, cujos vértices são os pontos médios dos lados do quadrado EFGH. Os vértices de EFGH são os pontos médios dos lados do quadrado IJKL.

Se a área de IJKL é 16m2, então a área do quadrado ABCD, em metros quadrados, é:

a) 1 d) 6 b) 2 e) 8 c) 4 407. (UESC-2005) A figura representa 4 quadrados de uma seqüência de 8 quadrados construídos de tal forma que o primeiro quadrado (o maior deles) tem lado igual à 1u.c., e cada quadrado, a partir do segundo, tem seus vértices nos pontos médios dos lados do quadrado anterior.

Considerando-se a área da região que se encontra no interior do primeiro quadrado e no exterior do segundo, e a área no interior do terceiro quadrado e no exterior do quarto, e assim por diante, pode-se concluir que a soma de todas essas áreas é igual, em u.a., a

01) 256171

04) 3221

02) 12885

05) 1611

03) 6443

408. (UESC-2005)

No triângulo ABC, tem-se que AB=5EA, AC=5AD, 0FB=5F’ e FC=5FE’. Nessas condições, pode-se concluir que FD’ e EC são iguais, respectivamente, a:

01) DF e 5EF 04) 2DF e 5EF 02) DF e 6EF 05) 2DF e 6EF 03) DF e 4EF 409. (UEFS-02.2)

Na figura, ABCO representa um retângulo de lado AB medindo o dobro do lado BC e BCE, um triângulo eqüilátero de lado igual a 5cm. Nessas condições, o quadrado da medida de AE é igual a:

a) ( )32525 +⋅ d) 3

b) 325 + e) 23

c) 32

410. (UESB-2005)

Na figura, todas as circunferências têm raio r=1u.c., e a circunferência central passa pelos pontos de tangência das demais. Com base nessa informação, pode-se concluir que a área da região sombreada mede, em u.a., 01) 4π - 1 04) 2π + 4 02) 4π - 2 05) 3π +4 03) π + 4 411. (UESC-2009) Na figura, o sólido é constituído por um cone uma esfera, tais que o volume da semiesfera é igual ao volume do cone.

Se h e r representam, respectivamente, a altura e o raio do cone, então h/r é igual a:

01) 4

04) 21

02) 2

05) 41

03) 1

412. (UESB-2009) Uma pizza circular de raio r, r = 18cm, é dividida em três fatias, na forma de setores circulares cujos arcos tem comprimentos x, 2x - π e 3x +π. Se o preço da fatia é proporcional ao seu tamanho e a pizza inteira custa R$32,00, então o preço da fatia maior será aproximadamente igual a: 01) R$ 15,00 04) R$ 18,00 02) R$ 16,00 05) R$ 19,00 03) R$ 17,00 413. (UNEB-2003)

A reta e a parábola, representadas no gráfico, têm equações iguais,

respectivamente, a 012y3x2 =+− e 3

16x

34

x32

y 2 ++= . Da

análise do gráfico, conclui-se que a área da região sombreada mede, em u.a., 01) 10 04) 15 02) 11 05) 18 03) 13

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414. (UNEB-2003)

Das informações constantes na ilustração, pode-se concluir que a área de um campo de futebol mede, em m2, 01) 7750 04) 6750 02) 7570 05) 6700 03) 7243

GABARITO GEOMETRIA PLANA

382. B 383. 01 384. 04 385. 03 386. 02 387. 02

388. 04 389. E 390. 01 391. B 392. E 393. 05

394. 05 395. 01 396. D 397. D 398. D 399. C

400. E 401. 04 402. D 403. A 404. D 405. 04

406. C 407. 02 408. 01 409. A 410. 04 411. 02

412. 03 413. 05 414. 01

Distância entre dois pontos

Baricentro de um Triângulo

Divisão de um segmento numa dada razão

Área de um Triângulo

Pontos Colineares ( ) ( ) ( )CCBBAA y,xCey,xB,y,xA =

Equação Geral da Reta

Consideremos a reta r, determinada pelos pontos ( ) ( )BBAA y,xBey,xA

Inclinação e coeficiente angular de uma reta Coeficiente Angular ou declividade de uma reta α= tgm Coeficiente angular de uma reta dada por dois pontos Equação Reduzida da Reta

−+=

Linear.coefn

Angular.coefmnmxy

Equação Segmentaria da Reta

Posições Relativas de Duas Retas

'nx'my:senmxy:r +=+=

• Concorrentes

• Paralelas Distintas

• Paralelas Coincidentes

• Perpendiculares

Geometria Analítica

( ) ( )

( )

2yy

y2

xxx

y,xM

MédioPontodosCoordenada

yyxxd

BAM

BAM

MM

2AB

2ABAB

+=

+=

−+−=

( )

3

yyyy

3

xxxx

y,xB

Baricentro

CBAG

CBAG

GG

++=

++=

⋅=

⋅=

⋅=

GF2CG

GE2BG

GD2AG

k1yky

yk1

xkxx

CBAC

k

BAC

BAC

+

⋅+=

+

⋅+=

=

1yx

1yx

1yx

DondeD21

A

CC

BB

AA

=⋅=

0

1yx

1yx

1yx

colinearessãoCeB,A

CC

BB

AA

=⇔

0CByAx0

1yx

1yx

1yx

BB

AA =++⇔=

( )ABAB

AB

AB

xxmyy

xx

yy

x

ym

−⋅=−

−=

∆=

1q

y

p

x=+

'mm

Psr

=∩

'nne'mm

sr

≠=

∅=∩

'nne'mm

srsr

==

==∩

21

21

m

1m

1mm

−=

−=⋅

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Ângulo agudo entre duas retas

Se uma das retas for perpendicular ao eixo Ox, ela não terá o coeficiente angular.

Distância de um Ponto a uma Reta Estudo Analítico da Circunferência

Condição para exista uma Circunferência 0C4BA 22 >−+ Posições relativas entre ponto e circunferência no plano cartesiano 1ª situação: P pertence à circunferência. RdPC =

2ª situação: P pertence no exterior da circunferência. RdPC >

3ª situação: P pertence no interior da circunferência. RdPC >

Posições relativas entre reta e circunferência no plano cartesiano 1ª situação: Não existe ponto comum a r e λ. ∅=λ∩r

2ª situação: Existe um único ponto comum a r e λ. Tr =λ∩

3ª situação:Existem dois pontos comuns a r e λ. 21 S,Sr =λ∩

Os pontos de Intersecção de r com λ, quando existem, são soluções

do sistema. ( ) ( )

=−+−

=++

222 Rbyax

0CByAx

Posições relativas entre duas circunferências no plano cartesiano 1ª situação: λ1 e λ2 são tangentes entre si. Neste caso elas têm um único ponto comum.

1m1

tg =α

( )

22

O0

00

BA

CByAxd

y,xP:Ponto

0CByAx:taRe

+

++=

=++

( ) ( )

−+=

−=

−=

=++++

=−++−−+

=−+−

222

22

22222

222

RbaC

b2B

a2A

0CByAxyx

0Rbaby2ax2yx

nciaCircunferêdaGeralEquação

Rbyax

nciaCircunferêdaduzidaReEquação

( ) ( ) 0Rbyax 22P

2P =−−+−

( ) ( ) 0Rbyax 22P

2P >−−+−

( ) ( ) 0Rbyax 22P

2P <−−+−

RdCr >

RdCr =

(Lembrete: Quando uma reta é tangente a uma circunferência, ela é perpendicular ao raio no ponto de tangência.)

RdCr <

12

12

mm1mm

tg⋅+

−=ϕ

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2ª situação: λ1 e λ2 são secantes entre si. Neste caso elas têm dois pontos comuns.

3ª situação: λ1 e λ2 são disjuntas. Neste caso elas não têm ponto comum.

Estudo Analítico das Cônicas Elipse

Hipérbole Parábola

415. (UEFS-04.1) O maior valor real de k para que a distância entre

os pontos A = ( k, 1) e B = ( 2, k) seja igual a 5 é

a) -1 d) 3 b) 0 e) 4 c) 2 416. (UEFS-03.2) Se o ponto ( )x,xC −= , x∈R, é o centro de uma circunferência que passa pelos pontos A = (3,1) e B = (5,-3), então o raio dessa circunferência mede, em u.c.,

a) 3 d) 10 b) 2 e) 10 c) 3 417. (UESB-2008) A área de um triângulo, cujos vértices são os pontos ( )3,1A , ( )2,3B e ( )1,2C , mede, em u.a., 01) 4,5 04) 1,4 02) 2,3 05) 0,5 03) 1,5 418. (UESC-2003) Considere duas retas do plano xOy de equações

iguais a byx −=+ e b2bybx4 22 −=+ , paralelas e não

coincidentes. A partir dessas informações e sabendo-se que b∈R, pode-se concluir que o valor de b é igual a: 01) –4 04) 2 02) –2 05) 4 03) 0 419. (UESB-2003) Num sistema de eixos ortogonais de origem O, considere a reta r de equação 02yx3 =+− e o ponto ( )2,1A −−= . A equação da reta t, que passa por A e é paralela à reta r é: a) 02y3x3 =+− d) 01yx3 =−+

b) 01y2x3 =−+ e) 01yx3 =+−

c) 01y2x3 =+− 420. (UEFS-09.1) A área da região limitada pelos eixos cartesianos coordenados pela reta r de equação 02xy2 =−−

e pela reta s,

perpendicular a r e que passa pelo ponto ( )2,2P = , mede, em u.a., a) 2,5 d) 5,8 b) 3,4 e) 7,0 c) 4,0 421. (UEFS-09.1) Um triângulo possui vértices nos pontos

( )4,1A = , ( )4,4B = e ( )7,4C = . Uma equação da reta que contém a bissetriz do ângulo B é: a) 08xy =−+ d) 012xy2 =−+

b) 08xy =−−

e) 04x2y =+−

c) 04xy2 =−−

( ) ( )

( ) 1b

y

a

x0,0C

1b

yy

a

xx

2

2

2

2

2

20

2

20

=+⇒

=−

+−

( ) ( )

( ) 1b

y

a

x0,0C

1b

yy

a

xx

2

2

2

2

2

20

2

20

=−⇒

=−

−−

( ) ( )

px2y

xxp2yy2

02

0

=

−⋅=− ( ) ( )

px2y

xxp2yy2

02

0

−=

−⋅−=−

( ) ( )py2x

yyp2xx2

02

0

=

−⋅=− ( ) ( )py2x

yyp2xx2

02

0

−=

−⋅−=−

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422. (UNEB-2009) A reta r de equação 048y8x6 =−+ intersecta os eixos coordenados cartesianos nos pontos P e Q. Desse modo, a distância, em u.c., de P a Q é igual a:

01) 7 04) 14 02) 8 05) 18 03) 10 423. (UNEB-2009) Se ( )n,m são as coordenadas do centro da

circunferência 07y6yx32x 22 =+−++ , ( )n3m3 +− é igual a:

01) – 3 04) 1

02) 3− 05) 36 03) 0 424. (UNEB-2009) A reta 06y4x3 =−+ determina na

circunferência 01y4x2yx 22 =+−−+ uma corda MN de comprimento igual, em u.c., a:

01) 3 04) 32

02) 22 05) 6 03) 3

425. (UEFS-08.1) Sabendo-se que os pontos P e Q pertencem à

reta 3x = e estão a uma distância .c.u23d = da reta 1xy += , pode-se concluir que o segmento PQ mede em u.c., a) 15 d) 6 b) 12 e) 5 c) 9 426. (UNEB-2005) Sabendo-se que os pontos M=(0,0), N=(4,0) e P=(2,2) são os respectivos pontos médios dos lados AB, BC e CA do triângulo ABC, pode-se afirmar que a reta que contém o lado BC desse triângulo tem para equação 01) y – 2 = 0 04) y + x – 4 = 0 02) y – x = 0 05) y + x + 4 = 0 03) y + x = 0 427. (UEFS-04.2) A medida, em graus, do ângulo agudo formado

pelas retas de equações xy −= e x3y = , é: a) 75º d) 30º b) 60º e) 15º c) 45º 428. (UEFS-06.1) Os lados AB e BC de um ângulo reto ABC estão sobre as retas 06yx2:r =+− e 0cbyax:s =++ , com a e b constantes reais. Sendo P(1, 1) um ponto da reta s, pode-se afirmar: a) a < b < c d) c < a < b b) a < c < b e) c < b < a c) b < c < a 429. (UEFS-05.1)

Na figura, tem-se um losango que possui dois lados paralelos a Oy. O vértice P tem, portanto, coordenadas: a) (4,10) d) (4,7) b) (4,9) e) (4,6) c) (4,8)

430. (UESB-2005) Se os pontos ( )0,0O = , ( )0,6A = e

( )33,3B = são vértices de um triângulo, então uma equação da reta que contém a bissetriz do ângulo OAB é:

01) 32x33

y +−= 04) 32x33

y −=

02) 233

y +−= 05) 63y −=

03) 6x3y +−= 431. (UESC-2006) Na figura, o quadrilátero OABC é um trapézio, tal que A=(3,4) e B=(1,5). Então, pode-se afirmar que o ponto C possui coordenadas: 01) (0,3) 04) (0,13/3) 02) (0,11/3) 05) (0,5) 03) (0,4) 432. (UESB-2009) Sendo e o menor ângulo interno do triângulo de vértices ( )0,0O = , ( )3,1P −= e ( )2,2Q = , o valor de cosθ é:

01) 53 04)

2

1

02) 21 05)

5

1

03) 52

433. (UESC-2005)

Considere-se, na figura, r a reta suporte de uma mediana do triângulo de vértices A(3,4), B(1,1) e C(7,3). Com base nessa informação, pode-se concluir que uma equação de r é: 01) 2x + y = 10 04) 5x + 2y = 26 02) 2x + y = 11 05) 5x + 2y = 17 03) 5x + 2y = 23 434. (UESB-2007) A circunferência C, de centro no ponto ( )3,1M − ,

é tangente à reta de equação 026y4x3 =−+ . Com base nessa informação, é correto afirmar que a medida do raio de C, em u.c., é igual a:

01) 3 04) 33

02) 23 05) 7 03) 5

x 0

A

B

C

y

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435. (UESC-2004)

Na figura tem-se a reta r, de equação 4x2y += , e o paralelogramo ABCD. Se B=(3,0), então o perímetro de ABCD mede, em u.c.,

01) 525 + 04) 5410 +

02) 545 + 05) 5102 +

03) 5210 + 436. (UESC-2009) O conjunto dos pontos P(x,y) do plano XOY tais que a distância de P ao eixo OX é igual a 5 vezes a distância de P à reta 0x4y3 =−

é a:

01) reta y = 2x. 02) reunião das retas y = x e y = 2x. 03) reunião das retas y = x e y = –x. 04) reta y = –x. 05) reta y = x. 437. (UESB-2006) O valor da constante m, para que a reta

mx2y +−= seja tangente à circunferência de equação

0y4x2yx 22 =−−+ , está entre: 01) – 6 e – 2. 04) 6 e 10. 02) – 2 e 2. 05) 10 e 14. 03) 2 e 6. 438. (UEFS-04.2) O valor da constante positiva k para o qual a reta

ky = é tangente à circunferência de equação

( ) ( ) 92y1x 22=++− é:

a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 439. (UNEB-2008) Na circunferência de equação

( ) ( ) 92y1x 22=−+− , o ponto que tem menor abscissa pertencente à

reta r que é paralela à reta 05yx =−− e que tem como equação: 01) 4xy += 04) 2xy +−=

02) 2xy += 05) 1xy −−=

03) 1xy −= 440. (UNEB-2002) A circunferência circunscrita ao triângulo de vértices ( ) ( ) ( )8,0Ce0,6B,0,0A tem uma equação na forma

0cbyaxyx 22 =++++ . Nessas condições, cba ++ é igual 01) – 14 04) 6 02) – 8 05) 8 03) 2 441. (UNEB-2006) Sabe-se que a circunferência de equação

011y6x4yx 22 =+−−+ é inscrita no quadrado ABCD. A partir dessa informação, pode-se concluir que a diagonal desse quadrado mede, em u.c.,

01) 4 04) 2 02) 2 05) 1

03) 3

442. (UEFS-08.2) A figura representa a função ( ) cbxxxf 2 ++= , em que b e c são constantes, a distância d, entre P e Q, é igual a 4 e o ponto V é o vértice da parábola.

Uma equação da circunferência de centro O e que passa por V é:

a) 10yx 22 =+ d) 17yyx 22 =−+

b) 17yx 22 =+ e) 0y8x2yx 22 =+−+

c) 10xyx 22 =−+ 443. (UEFS-06.1) As retas paralelas r e s são tangentes à

circunferência de equação 0y2x6yx 22 =−−+ . Sendo dr a distância da reta r a origem do sistema de coordenadas cartesianas e ds, a distância da reta s a esse mesmo ponto, pode-se afirmar que dr + ds é igual a:

a) 3 d) 102

b) 33 e) 26 c) 6 444. (UNEB-2003) A circunferência de equação

01y2x4yx 22 =+−−+ tem: 01) centro no ponto (1,2) e intercepta o eixo Oy em dois pontos. 02) centro no ponto (2,1) e tangencia o eixo Ox. 03) raio igual a 2u.c. e tangencia o eixo Ox. 04) raio igual a 2u.c. e tangencia o eixo Oy. 05) raio igual a 4u.c. e não intercepta os eixos coordenados. 445. (UEFS-08.1) Sobre as circunferência C1 e C2 de equações

04y4x6yx 22 =+−−+ e ( ) ( ) 12y1x 22=−+− , respectivamente,

pode-se afirmar: a) são concêntricas b) C2 passa pelo centro de C1. c) C1 passa pelo centro de C2. d) são tangentes internamente. e) são tangentes externamente. 446. (UESC-2007) A equação de uma das circunferência, situadas no 2ºquadrante, tangentes reta de equação 012x3y4 =−− e aos eixos coordenados, é:

01) ( ) ( ) 11y1x 22=−+− 04) ( ) ( ) 11y1x 22

=−++

02) ( ) ( ) 366y6x 22=−+− 05) ( ) ( ) 366y6x 22

=+++

03) ( ) ( ) 12y1x 22=−++

447. (UNEB-2007) Se ( )4,1M − é o ponto médio de uma corda AB

da circunferência 05y4yx 22 =−−+ , então a equação da reta que contém A e B é dada por: 01) 7x2y += 04) 6x2y +−=

02) 2

9x

2

1y += 05)

2

5x2y +−=

03) 3x2

1y +=

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448. (UEFS-06.2) Um pássaro voa em linha reta de uma árvore A até pousar em um ponto P de um fio reto r. A partir dai voa, ainda em linha reta, até o telhado de uma casa C. Considerando-se, no sistema de coordenadas cartesianas,

( )3,0A = , 01xy:r =−− , ( )5,2C = e sabendo-se que o pássaro fez tal percurso pelo caminho de menor comprimento, pode-se afirmar que a soma das coordenadas de P é igual a:

a) 3 d) 9 b) 5 e) 11 c) 7 449. (UEFS-07.2) Uma reta de coeficiente angular positivo m passa

pelo ponto ( )2,0P e é tangente à circunferência inscrita no quadrado ABCD, representada na figura. É verdade que:

a) 41

m71 2 << d)

45

m43 2 <<

b) 52

m41 2 << e)

23

m45 2 <<

c) 43

m52 2 <<

450. (UESB-2009) Uma reta t, tangente à circunferência de

equação 10yx 22 =+ no ponto ( )1,3T = , intersecta os eixos

coordenados nos pontos P e Q. O centro e o raio da circunferência que têm o segmento PQ como um diâmetro são, respectivamente, iguais a:

01) 31010r,3,

25C =

=

02) 3105r,5,

35C =

=

03) 5r,5,35C =

=

04) 335r,3,

56C =

=

05) 3

10r,3,56C =

=

451. (UESB-2007) Sabe-se que, na figura, OM e MN têm a mesma medida, MN é paralelo ao eixo OY e M (4,3).

Nessas condições, pode-se afirmar que uma equação da circunferência que circunscreve o triângulo OPN é:

01) ( ) ( ) 202y4x 22=−++ 04) ( ) ( ) 804y2x 22

=−+−

02) ( ) ( ) 204y2x 22=−++ 05) ( ) ( ) 204y2x 22

=−+−

03) ( ) ( ) 202y4x 22=−+−

452. (UESB-2008) Sabendo-se que a reta 01yx =−− e a

circunferência de centro ( )1,1C − e raio igual .c.u5 são secantes, pode-se afirmar que a medida da corda determinada pelos pontos de interseção é igual, em u.a., a:

01) 26 04) 23

02) 25 05) 22

05) 24 453. (UESC-2008) Sejam os pontos do plano cartesiano ( )2,3A =

e ( )1,1B = e a circunferência, que passa por A e B, cujo centro é o ponto médio do segmento AB. Pode-se afirmar que a equação dessa circunferência é:

01) ( ) 52

3y2x

22

=

−+− 04) ( ) ( ) 51y2x 22

=−+−

02) ( ) ( )4

51y2x 22

=−+− 05) ( ) ( )2

51y2x 22

=−+−

03) ( )4

5

2

3y2x

22

=

−+−

454. (UEFS-09.1) As retas 05y3x2:r =+− e 04yx3:s =+− se intersectam em um ponto M, centro da circunferência C, que tem como raio o valor do maior dos coeficientes angulares entre r e s. Uma equação geral dessa circunferência é:

a) 07y2x2yx 22 =−−−+

b) 07y2x2yx 22 =−−++

c) 016y4x4yx 22 =−+−+

d) 016y4x4yx 22 =−+++

e) 039y4x4yx 22 =−−++

455. (UEFS-07.1) Seja P o ponto intersecção das circunferências

01x6yxC 221 =−++= e 01x2yxC 22

2 =−−+= que possui ordenada positiva, e O2 o centro da circunferência C2. As coordenadas do outro ponto de intersecção da reta que passa por P e O2 com a circunferência C1 são: a) ( -2; 3) d) ( 2, 3) b) ( 0, -1) e) ( 1, 3) c) ( 1, 0) 456. (UEFS-06.2)

A circunferência representada na figura tem equação

01x32yx 22 =−−+ . A área da região sombreada mede, em u.a.,

a) ( )3323

1−π d) ( )32

2

1−π

b) ( )33

2−π e) ( )33

2

1−π

c) ( )3233

1−π

A B

D C

y

x 0 1 2 3

1

2

3

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457. (UNEB-2004)

Na figura, a reta r de equação 6axy += é tangente à

circunferência de equação 9yx 22 =+ , no ponto T.

Nessas condições, pode-se afirmar que o ângulo α que r faz com o eixo das abscissas mede, em graus,

01) 120 04) 90 02) 110 05) 80 03) 100 458. (UESB-2004) O segmento AB é um diâmetro de uma circunferência. Sabendo-se que ( )1,1A = e ( )3,3B −= , pode-se concluir que os pontos de interseção dessa circunferência com o eixo Ox têm abscissas iguais a:

01) – 4 e 0 04) 1 e 2 02) – 4 e 2 05) 0 e 4 03) – 2 e 1 459. (UESC-2007) A diagonal do retângulo de área máxima, localizado no primeiro quadrante, com dois lados nos eixos cartesianos e um vértice na reta 05x4y =−+ , mede

01) 2

175 04)

25

02) 4

25 05)

8

175

03) 4

175

GABARITO GEOMETRIA ANALÍTICA

415. D 416. D 417. 03 418. 01 419. E 420. C

421. A 422. 03 423. 05 424. 04 425. B 426. 04

427. A 428. D 429. B 430. 01 431. 01 432. 01

433. 01 434. 05 435. 04 436. 02 437. 04 438. A

439. 01 440. 01 441. 01 442. B 443. D 444. 04

445. D 446. 04 447. 02 448. B 449. B 450. 02

451. 05 452. 04 453. 03 454. B 455. A 456. A

457. 01 458. 05 459. 05 ***** ***** *****

Prisma

Classificação dos Prismas

Diagonal de um Paralelepípedo Reto-Retângulo e do Cubo

Área Lateral e Área Total Volume

( )

2T

T

BLT

a6A

Cubo

bcacab2A

pedoParalelepí

A2AA

=

++⋅=

⋅+=

Pirâmide

Área Lateral e Área Total BLT AAA +=

Volume da Pirâmide hA3

1V B ⋅⋅=

Geometria Espacial

3ad

Cubo

cbad

pedoParalelepí

222

=

++=

3

B

aV

Cubo

hAV

cbaV

pedoParalelepí

=

⋅=

⋅⋅=

22

2

222

22

2

m2L

a

bhm

b2

LR

+

=

+=

+

=

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Tronco de Pirâmide

Área Lateral e Área Total de um Tronco de Pirâmide

bBLT AAAA ++=

Volume de um Tronco de Pirâmide

Cilindro

Volume de um Cilindro hRV

VV

2cilindro

prismacilindro

π=

=

Cone

Secções de um Cone Propriedades

Tipos de Cone Cone Reto Cone Obliquo

Volume de um Cone

Tronco de Cone

Área Lateral e Área Total de um Tronco de Cone Reto

Volume de um Tronco de Cone

Esferas

Poliedros Convexos

( )bbBB AAAA3

hV +⋅+⋅=

( )RhR2A

A2AA

RA

Rh2A

TotalÁreaeLateralÁrea

T

bLT

2b

L

+π=

+=

π=

π=

( )RgRA

AAA

RA

RgA

TotalÁreaeLateralÁrea

T

bLT

2b

L

+π=

+=

π=

π=

2

2

base

çãosec

h

'h

A

A)II

h'h

R'R

)I

=

=

222 Rhg

:Temos

toReConeNum

+=

hR3

1V 2

cone π=

( )

( ) ( )[ ]rgrRgRA

AAAA

grRA

T

bBLT

L

+++π=

++=

⋅+⋅π=

( )22 rRrR3

hV ++

π=

2

3

R4ASuperfícieumadeÁrea

R3

4VEsferadaVolume

π=

π=

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Todo sólido geométrico que satisfaz quatro condições é chamado de poliedro convexo. São elas:

1ª Condição - A superfície do sólido é formada somente de partes planas, sendo essas partes (ou faces) polígonos convexos.

2ª Condição - Duas faces nunca estão no mesmo plano. 3ª Condição - Cada aresta está contida somente em duas faces 4ª condição - O plano de cada face deixa o sólido todo num

mesmo semi-espaço. A intersecção de duas arestas é um vértice do poliedro e qualquer segmento de reta que una dois vértices não-pertencentes à mesma face é uma diagonal do poliedro. A nomenclatura dos poliedros convexos pode ser feita de acordo com o número de faces que eles possuem. Os principais poliedros convexos são:

tetraedro (F = 4) octaedro (E = 8) pentaedro (E = 5) decaedro (E = 10)

hexaedro (E = 6) dodecaedro(F = 12) heptaedro (E = 7) icosaedro (E = 20)

Consideremos, novamente, o prisma, a pirâmide e o tronco de pirâmide. Contemos, para cada um deles, o número de V vértices, o número de F faces e o número A de arestas:

460. (UESB-2009) Girando-se a região do primeiro quadrante limitada pelas retas de equação 8x3y6 =− e 12xy6 =− , em torno do eixo Oy, obtém-se um sólido de volume:

01) π38 04) π

02) π2 05) π98

03) π89

461. (UNEB-2009) Um recipiente tem forma de um tronco de cone reto de bases paralelas e raios das bases medindo 9cm e 3cm. Considerando-se 10cm, a altura do recipiente, pode-se afirmar que sua capacidade, em cm3, é igual a: 01) 300π 04) 375π 02) 315π 05) 390π 03) 350π 462. (UEFS-08.2) A medida do raio da base de um cone circular reto, de volume .v.uπ54V = , é igual à média aritmética da altura e da geratriz desse cone. Assim, as dimensões do cone, altura, raio da base e geratriz, nessa ordem, formam uma a) progressão aritmética de razão 1,5. b) progressão aritmética de razão 2. c) progressão geométrica de razão 1,5. d) progressão geométrica de razão 2. e) seqüência que não é uma progressão aritmética e nem geométrica. 463. (UEFS-08.2) Uma fita magnética de espessura igual a 0,5mm foi enrolada em torno de uma bobina de 5mm de raio, num total de 40 voltas. O comprimento total da fita, em metros, é, aproximadamente, a) 1,94 d) 3,22 b) 2,40 e) 3,70 c) 2,70

464. (UESC-2008) Em uma pirâmide regular cuja base é o quadrado ABCD e o vértice é o ponto V, pode-se afirmar que: 01) as retas BC e AD são concorrentes. 02) as retas AB e CV são reversas. 03) as retas AV e DC são ortogonais. 04) as retas AB e DC não são paralelas. 05) a reta BV é perpendicular ao plano ABC. 465. (UESB-2008) Seccionando-se uma pirâmide quadrangular regular, com um plano paralelo à base, obtém-se um troco de pirâmide cujas arestas da base medem 20u.c. e 50u.c., respectivamente, e cuja altura mede 45cm. Com base nas informações, é correto afirmar que a área lateral dessa região é igual, em u.a., a:

01) 102080 04) 102180

02) 102100 05) 102200

03) 102120

466. (UNEB-2008) Um recipiente cilíndrico está com 32

de sua

capacidade tomada por um líquido. Se o recipiente tem 20cm de

diâmetro e cm15π

de altura, então a quantidade, em litros, do

conteúdo do recipiente é: 01) 0,5 04) 1,2 02) 0,8 05) 1,5 03) 1,0 467. (UEFS-08.1) O álcool anidro, utilizado na obtenção do álcool hidratado que abastece os veículos, é uma substância pura e sua densidade é de 790g/l, ou seja 1 litro pesa 791 gramas. Sendo assim, a massa de álcool anidro que enche totalmente um reservatório na forma de um paralelepípedo reto de dimensões 2,5m de comprimento, 2,0m de largura e 60cm de altura é igual a, em kg, a) 2370 d) 1980 b) 2260 e) 1870 c) 2140 468. (UEFS-08.1) Se do hemisfério superior de uma esfera for retirada uma parte, de acordo com a figura, em que θ=60º, então o volume restante corresponde à fração do volume total da esfera, equivalente a

a) 65

d) 1211

b) 87

e) 1413

c) 109

469. (UEFS-07.2) Um copo cilíndrico de raio 3cm e altura 12cm encontra-se numa posição vertical e totalmente vazio. Colocando-se em seu interior dezesseis bolinhas esféricas de gelo de mesmo raio r=1,5cm, pode-se afirmar que, após o degelo total das bolinhas, o liquido obtido a) transborda b) enche o copo até a borda. c) ultrapassa o meio do copo sem enchê-lo. d) atinge exatamente o meio do copo. e) não chega ao meio do copo. 470. (UNEB-2007) Quatro quadrados iguais são recortados dos cantos de um papelão retangular de 30cm de comprimento por 20cm de largura. Dobrando-se as abas para cima, tem-se uma caixa, sem tampa, cujo volume é uma função da largura dos quadrados recortados. O domínio dessa função é:

01) 10x0;Rx <<∈ 04) 10x;Rx >∈

02) 15x0;Rx <<∈ 05) 15x;Rx >∈

03) 15x10;Rx <<∈

( ) o3602VS

facedaângulos

dosmedidasdasSSoma

2AFV

ocorrecasostrêsNos

⋅−=

+=+

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471. (UESB-2007) Uma empresa prepara caixas em forma de cubos, com volume V=343cm3. Para economizar espaço, elas ficam desmontadas e guardadas em uma gaveta, como mostra a figura.

Nessas condições, pode-se concluir que a área da base da gaveta, em cm2 é igual a:

01) 588 04) 294 02) 441 05) 196 03) 392 472. (UESC-2007) Um cone circular reto possui raio da base e altura iguais a 3cm e 4cm respectivamente. Ë correto afirmar que a área lateral, em cm2, de um cilindro circular reto de raio da base igual à terça parte do raio da base do cone e que comporta o mesmo volume do cone é igual a:

01) 12 04) π14

02) 24 05) π24 03) π12 473. (UEFS-06.2) Um reservatório na forma de um paralelepípedo reto retangular, que tem 10m de comprimento, 15m de largura e 3m de altura, está completamente cheio de água. Após serem utilizados 180000 litros, o nível da água restante no reservatório atingirá a altura de: a) 1,20m d) 2,10m b) 1,60m e) 2,40m c) 1,80m 474. (UEFS-07.1) Um lojista pretende colocar uma logomarca em bexigas esféricas de r cm de raio para enfeitar sua loja. As 1000 bexigas são encomendadas a uma empresa que personaliza cada bola por R$ 0,0r. Para saber o raio de cada bexiga, o lojista verifica que, ao inseri-la em um cilindro de 216πcm2 de área total, a bexiga o tangencia nas laterais e nas bases do cilindro. De acordo com tais condições, pode-se afirmar que o lojista gastará, em reais,

a) 6,00 d) 60,00 b) 12,00 e) 120,00 c) 18,00 475. (UESB-2006)

Um reservatório em forma de cilindro circular reto é interceptado por

um plano - paralelo ao seu eixo e a dm6 de distância desse eixo - que determina uma seção meridiana angular ABCD com área igual a 8dm2. Sendo iguais a altura e o raio da base do cilindro, pode afirmar que a capacidade do reservatório é, igual, em litros , a

01) π22,0 04) π16

02) π26,1 05) π216

03) π22 476. (UNEB-2005) A razão entre o volume de um cubo e o volume de um cilindro circular reto inscrito nesse cubo é igual a:

01) π

4 04)

π21

02) π

2 05)

π41

03) π

1

477. (UESB-2006)

Pretende-se construir uma caixa para embalagem de um produto em forma de uma pirâmide reta, de volume 96u.v, com base quadrada, de modo que a soma do comprimento da sua altura com o comprimento do lado da base é igual a 14u.c. Sabendo-se que existe uma pirâmide nessas condições cuja altura é igual a 8u.c; pode-se concluir que existe também uma outra pirâmide cuja altura x dada em unidade de comprimento e é tal que: 01) x∈ N e x < 3. 04) x ∉ N e x > 8. 02) x ∉ N e x < 4. 05) x ∈ N e x > 10. 05) x ∈ N e 4 < x < 7.

478. (UEFS-06.1) Um frasco de remédio tem a forma de um cilindro circular reto com raio de 3cm e altura de 10cm e contém xarope em 2/3 de seu volume total. Se uma pessoa tomar, todos os dias, de 12 em 12 horas, 15ml desse xarope, então a quantidade de xarope existente no frasco é suficiente para, aproximadamente, a) 4 dias d) 7 dias b) 5 dias e) 8 dias c) 6 dias

479. (UESB-2005) A interseção de um plano a com uma esfera de raio R é a base comum de dois cones circulares retos inscritos na esfera, tais que o volume de um dos cones é o triplo do volume do outro. Com base nessa informação, pode-se concluir que a altura do cone de maior volume mede, em u.v.,

01) 2R5

04) 4R3

02) 2R3

05) 3R2

03) 3R4

480. (UESC-2005) Considere-se uma caixa em forma de um prisma regular de altura igual a 5cm, tendo como base um hexágono de lado igual a 2cm. Com base nessa informação, pode-se concluir que o volume da maior esfera que é possível se guardar nessa caixa mede, em cm3,

01) 35,62 π

04) 34π

02) 3

32π 05) 3π

03) 312π 481. (UEFS-05.2)

A figura representa um prisma reto de base triangular. Sobre as retas e os planos determinados pelos vértices do prisma, pode-se afirmar: a) As retas AB e A’B’ são reversas. b) A reta AA’ não é paralela ao plano BB’C. c) A reta AB é paralela à reta B’C’. d) As retas BC e A’B’ são reversas. e) A reta AB’ é perpendicular ao plano ABC.

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482. (UNEB-2003)

Sobre a pirâmide VABC, da figura, tem-se: A aresta VA é perpendicular ao plano da base. A base é um triângulo eqüilátero de lado igual a 1u.c.

O volume é igual a 12

3u.v.

Com base nessas informações, pode-se concluir que a área da face VBC mede, em unidades de área,

01) 33

04) 27

02) 43

05) 47

03) 32

483. (UEFS-03.1) A razão entre a área da base de um cilindro circular reto e a sua área lateral é igual a 2. Assim, se o volume do cilindro mede 128πm3, a altura mede, em metros, a) 6 d) 3 b) 5 e) 2 c) 4 484. (UEFS-02.2) Uma empresa de embalagens fabrica latas, na forma de um cilindro circular reto, de dois tamanhos. Uma lata, X, possui raio r e altura 2h e a outra, Y, tem raio 2r e altura h. Com bases nesses dados e sabendo-se que essas latas são feitas do mesmo material, pode-se concluir: a) A empresa gasta mais material para construir a lata Y do que a lata X. b) A empresa gasta a mesma quantidade de material para construir os dois tipos de latas. c) A capacidade da lata X é maior do que a da lata Y. d) A capacidade da lata X é maior, se 0 < h < 1. e) Os dois tipos de latas possuem a mesma capacidade. 485. (UNEB-2002)

Na figura, tem-se um cubo de volume 27u.v. O sólido S, obtido ao se retirar desse cubo o tetraedro ABCD, tem volume igual 01) 13,5 u.v. 04) 22,5 u.v. 02) 21,7 u.v. 05) 24,0 u.v. 03) 22,0 u.v. 486. (UEFS-04.1) Sendo Ve o volume de uma esfera inscrita em um cilindro circular reto de volume VC, pode-se afirmar que o volume compreendido entre o cilindro e a esfera é:

a) CV31

d) CV43

b) CV21

e) CV32

c) CV74

487. (UEFS-03.2) Uma quantidade de óleo ocupa uma lata cilíndrica até uma altura de 12cm. Transferindo-se o óleo para outra lata, também cilíndrica, com raio igual a 1,4 vezes o raio da primeira, a altura alcançada, nesse segundo recipiente, mede, aproximadamente, em cm, a) 6,1 d) 9,5 b) 7,5 e) 10,0 c) 8,0 488. (UNEB-2002) A área de uma face, a área total e o volume de um cubo são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão geométrica. Nessas condições, a medida da aresta desse cubo, em unidades de comprimento, é igual a: 01) 3 04) 16 02) 6 05) 36 03) 9

GABARITO GEOMETRIA ESPACIAL

460. 05 461. 05 462. A 463. E 464. 02 465. 02

466. 03 467. A 468. D 469. C 470. 01 471. 01

472. 05 473. D 474. D 475. 05 476. 01 477. 01

478. C 479. 02 480. 04 481. D 482. 05 483. E

484. A 485. 04 486. A 487. A 488. 05 *****

−==

−==−=

iiii

1i1i1i

31

20

Forma Algébrica

−⋅+=

zdeimagináriaparteb

zderealparteaibaz

Quando a≠≠≠≠0 e b≠≠≠≠0, temos biaz += , e o número complexo é chamado imaginário.

Quando a = 0 e b≠≠≠≠0, temos biaz += , e o número complexo é chamado imaginário puro.

Quando b = 0, temos ai0az =+= , e o número complexo, nesse caso, identifica-se como o número real de a.

Oposto de um Número Complexo

biazOpostobiaz −−=−+= Conjugado de um Número Complexo

biazConjugadobiaz −=+= Igualdade de Números Complexos

=

=⇔+=+

db

cadicbia

Operações com Números Complexos

Adição

( ) ( ) idbcadicbiazz 21 ⋅+++=+++=+

Subtração ( ) ( ) ( ) idbcadicbia)z(zzz 2121 ⋅−+−=−−++=−+=−

Multiplicação

( ) ( ) ( ) ( ) ibcadbdacbdibciadiacdicbiazz 221 ⋅++−=+++=+⋅+=⋅

Divisão

( ) ( )( ) ( ) ( )22

2

22

21

2

1

dic

bdibciadiac

dicdic

dicbia

zz

zz

z

z

−+−=

−⋅+

−⋅+=

⋅=

Números Complexos

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Inverso de um Número Complexo

( )( ) ( ) 22

1

ba

bia

biabia

bia1

bia

1

z

1z

+

−=

−⋅+

−⋅=

+==−

Módulo e Argumento de um Número Complexo

Forma Trigonométrica ou Polar dos Números Complexos

( )θ⋅−θ⋅= senicoszz

Multiplicação ( ) ( )[ ]21212121 senicoszzzz θ+θ⋅+θ+θ⋅⋅=⋅

Divisão ( ) ( )[ ]21212

1

2

1 senicosz

z

z

zθ−θ⋅+θ−θ⋅=

Potenciação ( ) ( )[ ]θ⋅⋅+θ⋅⋅= nsenincoszznn

Radiciação

π+θ⋅+

π+θ⋅=

n

k2seni

n

k2coszz n

w

489. (UESB-2006) Se ( ) 2x3x2xxf 23 +−+= , então ( )if é um número complexo cujos argumento principal e módulo são, respectivamente,

01) 4e4π

04) 2eπ

02) 1e3

π 05) 4e

2

03) 4e2π

490. (UESB-2007) Considerando-se o número complexo

( ) ( ) ( )xi32ix33i2z −⋅+++−= um imaginário puro, pode-se afirmar

que o valor de x é: 01) 3 04) 0

02) 32

05) 3

1−

03) 3

1

491. (UEFS-07.2) Com relação aos números complexos 21 zez ,

tais que 3ziz 21 =⋅+ e 2iziz 12 +=⋅+ , é correto afirmar:

a) ( ) ( )21 zRe2zRe = d) 21 zz =

b) ( ) 0zzRe 21 =− e) Rz2 ∈

c) 21 zz = 492. (UESC-2006) Sendo Ci ∈ , o valor da soma

33032 i...iii1S +++++= é: 01) – i 04) i 02) 1 – i 05) 1 + i 03) 1

493. (UESB-2003) O argumento principal do número do número

complexo i3z −= é: a) 330º d) 60º b) 310º e) 30º c) 250º 494. (UNEB-2007) Considere-se o número complexo i21z += . Sobre o argumento principal, θ, e o módulo, ( ) ( )izizw −⋅+= , pode-se afirmar:

01) 2we223

=π<θ<π

04) 52we2

=π<θ<π

02) 52we2

3=

π<θ<π 05) 1we

2=π<θ<

π

03) 1we23

<θ<π

495. (UNEB-2004) O número complexo biaz += , Rb,a ∈ , é tal

que zz2 = . Nessas condições, pode-se concluir que o argumento principal de z mede, em radianos,

01) 6

π 04) π

02) 3π

05) 6

03) 3

496. (UEFS-08.2) Sendo i3w = , pode-se afirmar que

( )i1iw2wz 2 ++−= é um número complexo, cujo módulo é igual a:

a) 2 d) 5 b) 3 e) 3

c) 2 497. (UEFS-08.1) Somando-se o sexto e o sétimo termo da seqüência ( )...,i2,2,i2 −− obtém-se um número complexo cujo módulo e argumento principal são, respectivamente, iguais a:

a) 4

3e2

π d)

47

e4π

b) 4

5e2

π e)

4

3e4

π

c) 4

5e22

π

498. (UEFS-09.1) A seqüência ( )nz é uma progressão geométrica

cujo primeiro termo e razão são, respectivamente, iguais a i1z1 −=

e iq = . Nessas condições, pode-se concluir que

5

3

z

z é igual a:

a) – 1 d) i b) – i e) 1 + i c) 1

499. (UESB-2008) O número i3z += , na forma trigonométrica, corresponde a: 01) ( )º45seniº45cos2 + 04) ( )º60seniº60cos2 +

02) ( )º30cosiº30sen2 + 05) ( )º45cosiº45sen2 +

03) ( )º30seniº30cos2 +

z

bsene

z

acos

)z(Arg

bazMódulo 22

=θ=θ

+=

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500. (UESC-2007) Na forma trigonométrica, o número complexo

( )i1i1

z2

+

−= é representado por:

01)

π⋅−

π⋅

4seni

4cos2

02)

π⋅+

π⋅

4seni

4cos2

03)

π⋅+

π⋅

4

5seni

4

5cos2

04)

π⋅+

π⋅

4

3seni

4

3cos2

05)

π⋅−

π⋅

4

7seni

4

7cos2

501. (UEFS-07.1) Considerando-se os números complexos

π⋅+

π⋅=

3

4seni

3

4cos2z1 e

π⋅+

π⋅=

4seni

4cos2z2 , é

correto afirmar que o valor de 2

1

z

z22 ⋅ é:

a) ( )31i31 −⋅+−−

b) ( )31i31 −⋅+−

c) ( )

231i31 −⋅+−−

d) ( )

2

31i31 −⋅−−−

e) ( )31i31 −⋅−−−

502. (UEFS-08.1) Seja i1z +−= um número complexo e z , o seu conjugado. Sabe-se que os afixos dos números complexos

zzezz,z,z 2 − são os vértices de um quadrilátero convexo cuja área mede, em u.a., a) 2 d) 6 b) 3 e) 8 c) 5 503. (UESC-2009) Na figura, tem-se representado, no plano Argand-Gauss, um triângulo eqüilátero ABC inscrito numa circunferência com centro na origem e raio 2.

Se α um número complexo e, n um número natural, tais que as raízes n-ésimas de α são os números complexos representados pelos vértices do triângulo, então (α + n) é igual a:

01) i8

04) i3428 +

02) i83 +

05) ( ) i4343 ++

03) i83 −

504. (UESB-2005)

Os pontos P e Q, na figura, são afixos dos números complexos z1 e z2. Sabendo-se que OP = 2u.c. e que OQ = 4u.c., pode-se afirmar

que o argumento principal e o módulo de 1

2

z

z são, respectivamente,

01) 0º e 3 04) 90º e 2 02) 30º e 2 05) 120º e 3 03) 45º e 4 505. (UNEB-2005)

Na figura, estão representados, no plano complexo, os pontos M, N e P, afixas dos números complexos m, n e p. Sabendo-se que

1pnm === e que o45=θ , pode-se afirmar que p2nm +− é

igual a

01) 2− 04) i2 −

02) i22 − 05) i22 −

03) 21− 506. (UEFS-06.1)

O número complexo z, representado na figura, é uma das raízes do

polinômio ( ) 8cxbxxxP 23 −++= , com b e c números reais.

Sabendo-se que O60=α e OM=2, pode-se afirmar que a única raiz real de P(x) = 0 é: a) – 2 d) 1 b) – 1 e) 2 c) 0 507. (UEFS-04.2) O afixo de um número complexo biaz += é um ponto da reta 1yx =+ .

Sendo 5z = , pode-se concluir que ba − é igual a

a) 15 − d) 3

b) 35

e) 5

c) 2

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508. (UESB-2009) A forma algébrica do número complexo 15

10seni

10cosZ

π+

π= é:

01) ( )3i121

+− 04) i

02) ( )i12

1− 05) i−

03) 1− 509. (UEFS-05.1) Considerando-se o número complexo

i23

21

z += , pode-se afirmar que z7 é igual

a) i2

3

2

1z += d) i

2

1

2

3z +−=

b) i23

21

z +−= e) i23

21

z −−=

c) i2

1

2

3z +−=

510. (UEFS-02.1) Considere o número complexo i22z += . O

menor número natural não nulo, n, tal que nz tem parte imaginária nula é igual a: a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4 511. (UEFS-06.2) Considerando-se z = 1+ i, pode-se afirmar que a

seqüência de números complexos ( )...,z...,,z,z n242 com n inteiro

positivo, a) é uma progressão aritmética de razão i. b) é uma progressão aritmética de razão 2i. c) é uma progressão geométrica de razão i. d) é uma progressão geométrica de razão 2i. e) não é progressão aritmética nem geométrica. 512. (UESC-2009) A representação, no plano Argand-Gauss, do

conjunto de i2zz;Cx =+−∈ é uma reta: 01) que não é paralela a nenhum dos eixos Ox e Oy e que passa pelo ponto (0, -1) 02) não paralela ao eixo Oy que passa pelo ponto (-1, 0). 03) paralela ao eixo Oy que passa pelo ponto (-1, 0). 04) paralela ao eixo Ox que passa pelo ponto (0, 1). 05) paralela ao eixo Ox que passa pelo ponto (0, -1). 513. (UNEB-2008) Os afixos dos números complexos i2z1 −= , z2 e

z3 são eqüidistantes do ponto ( )0,0P e são vértices de um triângulo

eqüilátero. Nessas condições, pode-se concluir que 32 zz ⋅ é:

01) igual a ( )i1− .

02) igual a ( )i1+ .

03) igual a i3 + .

04) um imaginário puro. 05) um número real. 514. (UEFS-09.1) Os afixos dos números complexos

π+

π=

4seni

4cosu

π+

π=

4

3seni

4

3cosv e

π+

π=

2

3seni

2

3cosw são, no plano Argand Gauss,

a) pontos colineares. b) vértices de um triângulo eqüilátero. c) vértices de um triângulo retângulo. d) pontos de uma circunferência com centro na origem e raio 1. e) pontos de uma circunferência com centro na origem e raio fi.

GABARITO NÚMEROS COMPLEXOS

489. 05 490. 05 491. A 492. 04 493. A 494. 04

495. 03 496. D 497. C 498. D 499. 03 500. 03

501. A 502. D 503. 02 504. 04 505. 05 506. E

507. D 508. 05 509. A 510. C 511. E 512. 05

513. 05 514. D ***** ***** ***** *****

Função Polinomial

( ) n1n2n

21n

1n

0 axa...xaxaxaxP +++++= −−−

( )( )

( )

+++++ −−−

teindependentermoa

polinômiosdostermosaxa...xaxaxa

escoeficientaea...,,a,a,a

n

n1n2n

21n

1n

0

n1n210

Valor numérico de um polinômio

Dado um polinômio P(x), chama-se valor numérico de P(x), para x=a, o número encontrado quando substituímos x por a e efetuamos as operações indicadas. Raiz ou Zero de um Polinômio

Dado um polinômio P(x) e um número a, dizemos que a é raiz ou zero do polinômio P(x) se, e somente se, P(a) = 0.

( ) 0aPraizéa =⇔

Polinômio Identicamente Nulo

Dado um polinômio P(x), dizemos que P(x) é identicamente nulo se, e somente se, P(x) = 0 qualquer que seja o valor de x.

( ) ( ) Cx,0xP0xP ∈∀=⇔=

Note que a condição necessária e suficiente para que P(x)=0 é

que todos seus coeficientes sejam nulos, ou seja, ( ) 0aa...aaa0xP n1n210 ======⇔≡ −

Grau de um Polinômio

Seja P(x) um polinômio não-nulo. Chamamos de grau de P(x) e indicamos por gr(P) o maior

expoente de x tal que o coeficiente do termo onde esse expoente aparece seja diferente de zero. Polinômios Idênticos

Um polinômio é idêntico a outro se, e somente se, os coeficientes dos termos semelhantes são iguais.

( ) ( ) nn1n1n22110021 baeba...,,ba,ba,baxPxP =====⇔= −−

Operações com Polinômios

Adição ou Subtração de Polinômios

Para somar ou subtrair polinômios, basta somar ou subtrair os coeficientes dos termos semelhante. Multiplicação de Polinômios

Para multiplicar dois polinômios, basta multiplicar cada termo de um deles por todos os termos de outro e, depois, reduzir os termos semelhantes.

Polinômios

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Divisão de Polinômios

Teorema do Resto

O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio do tipo x – a é o valor numérico de P(x) para x = a, ou seja, R = P(a). Teorema de D’Alembert

Um polinômio P(x) é divisível por x – a se, e somente se, P(a)=0 Dispositivo Prático de Briot-Ruffini

Vejamos o roteiro desse dispositivo para efetuar, por exemplo, a divisão de P(x) = 3x3 – 5x2 + x — 2 por x — 2: 1. Colocamos a raiz do divisor seguida dos coeficientes do dividendo, em ordem decrescente dos expoentes de x, conforme o dispositivo ao lado, e repetimos, abaixo da linha, o primeiro coeficiente do dividendo.

2. Multiplicamos a raiz do divisor pelo coeficiente repetido e adicionamos o produto ao segundo coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste último.

3. Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2 coeficiente e adicionamos o produto ao 3º coeficiente, colocando o resultado abaixo dele, e assim sucessivamente.

4. Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão; os números que ficam à sua esquerda são os coeficientes do quociente.

( ) ( ) 3xRe3xx3xQLogo 2 =++=

Decomposição de um Polinômio em Fatores

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )nn

n11n

1nn

n

23

2

xx...,,xx,xxa

axa...xaxa

ndoGeneraliza

,,,xx,,xx,xxadcxbxax

,,xx,xxacbxax

−−⋅−⋅

++++

−⋅−⋅−⋅=+++

−⋅−⋅=++

−−

Raízes duplas, triplas etc

Se duas, três ou mais raízes de um polinômio forem iguais, dizemos que são raízes duplas, triplas etc.

Uma raiz α do polinômio P(x) é dita raiz dupla ou de

multiplicidade 2 se P(x) é divisível por (x — a)2 e assim por diante. Raízes complexas

Teorema: Se um número complexo z = a + bi, coma, b ∈ R e b ≠ 0, é raiz

da equação algébrica P(x) = 0, de coeficientes reais, então o seu conjugado z = a - bi é também raiz da mesma equação.

Observações: • Se o número complexo z = a + bi, com b ≠ 0, é raiz de multiplicidade k de uma equação algébrica de coeficientes reais, então o seu conjugado z = a — bi também será raiz de multiplicidade k dessa equação. • As raízes complexas não reais de uma equação algébrica de coeficientes reais ocorrem aos pares. Portanto, toda equação de grau ímpar, com coeficientes reais, admite pelo menos uma raiz real.

Raízes racionais

Teorema:

Se o número racional q

p, p e q primos entre si, for raiz da

equação algébrica de coeficientes inteiros, p será divisor de a e q será divisor de an. Relações de Girard

Equação do 2ºgrau

=⋅=

−=+==++

a

c,,x,xP

a

b,,x,xS

0cbxax2

Equação do 3ºgrau

−=⋅⋅

=++

−=++

=+++

a

dxxx

a

cxxxxxx

a

bxxx

0dcxbxax

321

323121

321

23

Generalizando

( )

⋅−=⋅⋅⋅⋅⋅

−=+++

=+++++++

−=+++++

++++++

−−

−−

−−

−−

n

0nn1n321

n

3n432431421321

n

2nn1n4232n13121

n

1nn1n321

012

22n

2n1n

1nn

n

aa

1xx...xxx

aa

xxxxxxxxxxxx

aa

xx...xxxxxx...xxxx

aa

xx...xxx

axaxa...xaxaxa

515. (UEFS-03.2) Os valores de K, L e M que tornam verdadeira a

igualdade ( ) 4x

MLX

x

K

4xx

1x322 −

−+=

−, 2,0,2Rx −−∈ são tais que:

a) K < L < M d) L < K < M b) K < M < L e) M < L < K c) L < M < K

516. (UEFS-03.1) Sendo o polinômio ( ) cbxaxx2xP 23 +++= com

a, b e c ∈R, divisível por ( ) 1xxD −= , pode-se concluir que a + b + c é igual a: a) 5 d) – 2 b) 3 e) – 3 c) 0

517. (UEFS-02.2) Considere o polinômio ( ) baxx2xxP 34 ++−=

com a, b ∈ R. Se P(x) é divisível por (x + 1) e tem 2 como raiz, então a.b é: a) – 4 d) 2 b) – 3 e) 3 c) – 2

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518. (UESB-2007) Considerando-se que os polinômios

( ) ( ) b3xba3ax2xxP 23 −++−= e ( ) ( ) a2xb2axxQ 3 ++−= são divisíveis por x + 1, é correto afirmar que o valor de a + b igual a: 01) – 12 04) 3 02) – 4 05) 12 03) – 1

519. (UEFS-08.2) O resto da divisão do polinômio ( ) xxxP 9 += pelo

polinômio ( ) 1xxQ 2 −= é: a) 1x +− d) x−

b) 1x2 + e) x2 c) 0

520. (UEFS-02.1) Sobre a divisão do polinômio

( ) 2x3kxx2xP 23 −+−= pelo polinômio ( ) 1xxQ += , é correto afirmar: a) O resto da divisão é igual a k7 −− . b) A divisão é exata para 1k −= .

c) O quociente é igual a 2x2x2 +− para 3k −= . d) O resto da divisão é positivo para 5k > . e) O polinômio P(x) tem um zero igual a 2, quando 0k = .

521. (UESB-2004) A divisão do polinômio P(x) por ( ) 1x2xxD 2 +−=

tem quociente ( ) 1xx2xQ 2 −+= e resto ( ) 1x4xR += . Portanto, o resto da divisão de P(x) por x + 1 é igual 01) – 3 04) 1 02) – 2 05) 4 03) 0

522. (UESB-2006) Dividindo-se o polinômio P(x) por 1x2 − obtém-se o quociente 4x e resto 3x + k, em que k é constante real. Se x=0 é uma das raízes do polinômio, pode-se afirmar que as outras raízes de P(x) são números: 01) irracionais 04) pares 02)complexos conjugados 05) impares 03) racionais não inteiros 523. (UEFS-05.1) Considerando-se os polinômios

( ) cbxx3xxP 23 ++−= , ( ) 5x4xxM 2 +−= e ( ) 1xxQ += e sendo a

relação entre os polinômios ( )( )

( )xQxMxP

= verdadeira, então cb + é

igual a: a) 0 d) 5 b) 2 e) 6 c) 4

524. (UEFS-04.2) Dividindo-se o polinômio ( ) nx2xxxP 23 ++−=

por 2

1x)x(D −= ,obtém-se resto igual a

8

1− e quociente

( )4

7mxxxQ 2 ++= .Com base nesses dados, pode-se concluir:

a) −+ ∈∈ ZneZm d) m ∈ Z+ e n∈ Q - Z

b) m ∈ Z- e n ∈ Z+ e) m∈Q - Z e n∈ Q - Z c) m ∈ Q - Z e n ∈ Z-

525. (UESC-2007) A soma dos valores de m e n, de modo que o

polinômio ( ) 3nxmxx3x2xP 234 −−++= seja divisível pelo

polinômio ( ) 3x2xxQ 2 −−= é: 01) -19 04) 23 02) -4 05) 4 03) 42

526. (UEFS-06.2) Sabendo-se que o polinômio

( ) 1nxmxx2xP 23 −++= é divisível por ( ) 1xxQ 2 −= pode-se concluir que sua decomposição em um produto de fatores do grau é:

a) ( ) ( ) ( )1x1x1x2 +⋅−⋅+ d) ( ) ( ) ( )1x1x2x +⋅−⋅−

b) ( ) ( ) ( )1x1x1x2 +⋅−⋅− e) ( ) ( ) ( )1x1x2x −⋅−⋅−

c) ( ) ( ) ( )1x1x1x2 +⋅−⋅+− 527. (UESB-2009) O número real 1m = é uma raiz, de

multiplicidade 3, do polinômio ( ) 6x17x14x4xxP 245 +−+−= . Se a e b são as outras raízes de P(x), então é verdade que:

01) 6ba =+ 04) 1ab = 02) 1ba =+ 05) 1ab −= 03) 6ba −=+ 528. (UEFS-09.1) A soma e o produto das raízes do polinômio

( ) cbxx2xP 2 ++= são, respectivamente, - 6 e 5. Assim, o valor mínimo que P(x) pode assumir pertence ao conjunto:

a) 1,4,6 −−− d) 5,4,2 b) 0,3,5 −−− e) 8,7,3 c) 6,1,8−

529. (UEFS-07.1) Sabendo-se que a soma de duas raízes do

polinômio ( ) kx11x4xxP 23 −−+= é -7, é correto afirmar que o conjunto-solução de p(x)=0 é: a) 2, 3, 5 d) -5, -2, 3 b) -5, 2, 3 e) -5, -3, -2) c) -2, 3, 5)

530. (UESB-2006) Se o polinômio ( ) 4mxx4xxP 23 −+−= é tal que

suas raízes 321 x,x,x satisfazem a 23

x1

x1

x1

321

=++ , então a

constante m é igual a: 01) – 6 04) 3 02) – 3 05) 6 03) 2 531. (UESC-2002) O produto de duas das raízes do polinômio

6x8x5x 23 −+− é igual a 2 e X3, a outra raiz. Nessas condições, é correto afirmar que

01) X3∈Z e X3 < -1 04) X3∈ R - Q e X3 ≤ 5 02) X3∈Q – Z 05) X3∉ R 03) X3∈ N e X3 ≤ 4 532. (UNEB-2003) Sabendo-se que -1 é uma das raízes do

polinômio ( ) 3xxxxP 23 ++−= , pode-se afirmar que a soma dos módulos das outras raízes é igual a:

01) 6 04) 32

02) 34 05) 3 03) 3 533. (UEFS-07.2) O argumento principal e o módulo do número

complexo z, são respectivamente iguais a 6π

=θ e 3OA = . Sendo

z uma das raízes do polinômio ( ) nmxx5x2xP 23 −+−= , m e n

constantes pode-se afirmar que o valor da única raiz real de ( ) 0xP = é:

a) – 2 d) 2

b) 21

− e) 25

c) 23

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534. (UEFS-04.2) Os números 1 e i são raízes de um polinômio P(x), com coeficientes reais e grau 3. Sabendo-se que P(-1) = - 6, pode-se concluir que P(3) é igual a: a) –1 d) 22 b) 0 e) 30 c) 12 535. (UEFS-08.1) Na figura, kx = é uma das raízes do polinômio

( ) 1x3x2xP 23 +−= .

A reta r, no gráfico, representa uma função do 1ºgrau cujo coeficiente linear é igual a: a) 0 d) 3 b) 1 e) 4 c) 2 536. (UEFS-08.2) Os números complexos i2z −= e i2w +−= são raízes de um polinômio com coeficientes reais e de grau 10. O número máximo de raízes reais que esse polinômio pode ter é igual a: a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7 537. (UESC-2008) Sabendo-se que i1+− é uma das raízes do

polinômio ( ) 8x8x6x2xxP 234 ++++= , pode-se concluir que esse polinômio 01) possui três raízes reais. 02) possui duas raízes reais a e b, tais que a + b = 0. 03) possui duas raízes reais a e b, tais que a.b = 4. 04) possui exatamente uma raiz real. 05) não possui raízes reais.

538. (UEFS-08.1) Seja ( ) tnxmxxP 2 ++= , com m, n, t ∈ R, m ≠ 0,

um polinômio com duas raízes reais e distintas, tal que ( ) 02P > . Sendo assim é verdade afirmar: a) Para qualquer valor não nulo de m, as raízes de ( )xP são menores que 2. b) Se m > 0, então as raízes de ( )xP são menores que 2.

c) Se m < 0, então as raízes de ( )xP são menores que 2.

d) Se m > 0, então x = 2 está entre as raízes de ( )xP .

e) Se m < 0, então x = 2 está entre as raízes de ( )xP . 539. (UNEB-2007) Sobre as raízes r1, r2 e r3 do polinômio

( ) ( )

−+⋅+=

2

aaxx2xxP

22 , sabe-se que 10rrr 2

32

22

1 =++ .

Assim, os possíveis valores da constante a são números: 01) irracionais de sinais opostos. 02) irracionais de mesmo sinal. 03) irracionais não inteiros. 04) inteiros de sinais opostos. 05) inteiros de mesmo sinal.

540. (UEFS-05.2) Sabe-se que o polinômio ( ) 2xx2xxP 23 +++= possui uma raiz inteira. Com base nessa informação, pode-se afirmar que a raiz inteira e todas as raízes complexas pertencem ao conjunto; a) -2, 1, -2i, i, 2i d) -1, 1,3, -i, i b) 1, 2, 3, -i, i e) -2, 1, 3, -i, i c) 1, 2, 3, -2i, 2i

541. (UESB-2008) O polinômio ( ) kxx2xxP 23 ++−= terá um

número ímpar de raízes no intervalo ] [2,1− para valores reais de k é tal que: 01) – 2 < k ≤ 4 04) k ≤ – 2 ou k ≥ 4 02) – 2 < k < 4 05) K < – 2 ou k > 4 03) – 2 ≤ k ≤ 4 542. (UESB-2008) Sendo 2 a raiz do polinômio

( ) 2xxxxP 23 −−−= , pode-se afirmar:

01) 2

i31−− é uma das raízes complexas de P(x).

02) 2

1i3e

2

1i3 +−são raízes complexas de P(x).

03) P(x) não tem raiz complexa. 04) 2 é raiz dupla de P(x). 05) P(x) tem três raízes reais. 543. (UEFS-09.1) Um polinômio P, de grau n, tem o coeficiente do termo de maior grau igual é a 1 e suas raízes formam uma progressão geométrica de razão 3 cujo primeiro termo r1 = 3. Sabendo-se que o termo independente de P igual a 315, pode-se concluir que o grau de P é igual a: a) 3 d) 8 b) 5 e) 10 c) 7

544. (UESC-2009) Sabendo-se que ( ) nn

22 xa...xax59xP ++++−=

é um polinômio cujos coeficientes a2, ... .a, são números inteiros, então sobre as raízes de p(x), pode-se afirmar que: 01) 0 pode ser uma dessas raízes. 02) 5 pode ser uma dessas raízes. 03) P(x) pode ter 8 raízes (distintas) que são números inteiros. 04) P(x) tem, no máximo 6 raízes (distintas) que são números inteiros. 05) P(x) tem, no máximo, 2 raízes (distintas) que são números inteiros.

GABARITO POLINÔMIOS

515. E 516.D 517. C 518. 03 519. E 520. A

521. 01 522. 03 523. E 524. C 525. 05 526. A

527. 02 528. C 529. D 530. 05 531. 03 532. 04

533. B 534. E 535. B 536. B 537. 05 538. E

539. 01 540. E 541. 02 542. 01 543. B 544. 04

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Média Aritmética

A média aritmética de um conjunto de n números n321 x...,,x,x,x

será indicada por x e é definida como o quociente da soma dos números por n.

n

x

n

x...xxxx

n

1ii

n321∑

=++++

= =

Já, se tivermos n números n321 x...,,x,x,x e cada um deles

ocorrer, respectivamente, com os pesos n321 p...,,p,p,p , a média

aritmética desses números é definida por:

( )

∑ ⋅

=++++

⋅++⋅+⋅+⋅=

=

=n

1ii

n

1iii

n321

nn332211

p

xp

p...ppp

xp...xpxpxpx

Analogamente, se tivermos n números n321 x...,,x,x,x e cada um

deles apresentar, as freqüências n321 f...,,f,f,f , a média aritmética é

definida por:

Mediana

É definida como o valor central ou como a média aritmética simples dos valores centrais. Moda

É o elemento que ocorre com a maior freqüência, ou seja, é o elemento mais repedido ou mais comum. Desvio

A diferença entre cada um dos valores dados e a média aritmética,

nessa ordem. Indicamos o desvio de um dado xxx ii −= . Variância - Média aritmética dos quadrados dos desvios.

( )n

xxS

n

1ii

2x

∑=

=

Se n321 x...,,x,x,x ocorrem, respectivamente, com as freqüências

n321 f...,,f,f,f , a variância é definida por:

( )∑

=

= =

−⋅

=n

1ii

n

1iii

2x fnqueem,

n

xxfS

545. (UEFS-08.1) O número de pontos obtidos por 250 candidatos que fizeram as provas de um concurso foi distribuído em três planilhas distintas, P1, P2 e P3, de modo que P1 contém a pontuação de 75 candidatos, P2 contém a pontuação de 85 candidatos e P3 contém a pontuação de 90 candidatos. Sabendo-se que a média aritmética dos pontos contidos em P1 e P2 é 70, que a média aritmética dos pontos contidos em P1 e P3 é 60, pode-se afirmar que a média aritmética dos pontos obtidos pelo total de candidatos é igual a:

a) 68,0 d) 71,1 b) 69,3 e) 72,0 c) 70,2 546. (UESC-2002) Para ser aprovado num curso, um aluno deve alcançar média mínima igual a 7,0, calculada como a metade da soma das notas de duas provas. Um aluno obteve média igual a 6,5 e estima que, se mantida a nota que obteve em uma das duas provas, então, para ser aprovado, precisaria ter obtido, na outra prova, uma nota, pelo menos, 20% maior do que a nota que de fato obteve naquela prova. A partir dessa informação, pode-se concluir que a maior das duas notas obtidas pelo aluno foi igual a:

01) 5,0 04) 8,0 02) 6,5 05) 9,5 03) 7,0

547. (UESB-2007) O gráfico mostra a distribuição de salários dos funcionários de uma microempresa. Com base nessas informações, pode-se afirmar que a média de salário dos funcionários dessa empresa, em reais, é igual a:

01) 950 04) 830 02) 920 05) 820 03) 910 548. (UNEB-2007) A tabela registra as alturas dos alunos de uma turma composta por 50 estudantes.

Chamando Ma a média aritmética das alturas; Me, a mediana das alturas e Mo, a moda das alturas, pode-se afirmar que: 01) Ma < Me < Mo 04) Me < Mo < Ma 02) Mo < Me < Ma 05) Mo < Ma < Me 03) Me < Ma < Mo 549. (UNEB-2005)

O gráfico de setores ilustra o resultado de uma pesquisa, feita com um grupo de 1280 eleitores, sobre a manutenção do horário político no rádio e na TV, em períodos que antecedem as eleições. Se o setor A corresponde às 576 pessoas que acham que o horário político deve acabar, o setor B corresponde ao número de pessoas que acham que esse horário deve continuar, e o setor C corresponde ao número de pessoas que não têm opinião formada, então o número de pessoas que compõem o setor C é igual a: 01) 224 04) 458 02) 342 05) 480 03) 386 550. (UNEB-2002)

O gráfico representa o resultado de uma pesquisa feita em um município, no mês de junho de 2001, a fim de analisar a redução do consumo de energia em residências, tendo-se em vista a meta fixada pelo governo, e com base na seguinte pergunta: "Qual a redução conseguida em relação à meta"? A partir dessa informação e sabendo-se que o percentual para cada resposta é proporcional à área do setor que o representa, o ângulo do setor correspondente à resposta "Menor" é igual a:

01) 108,3° 04) 151,2° 02) 118,8° 05) 160° 03) 142°

Estatística

salá

rios

em r

eais

nº de funcionários 400

600

1500

2000

3 2 5 7 3

800

Altura 1,56 1,68 1,75 1,80 1,85 Freqüência 12 10 8 10 10

( )

∑ ⋅

=

=n

1ii

n

1iii

f

xf

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551. (UESB-2006) Para avaliar os resultados de um curso, foi feito um levantamento estatístico relativo à freqüência dos alunos matriculados e verificou-se que:

• 8% dos alunos não freqüentaram as aulas; • 20% dos alunos que freqüentaram as aulas não obtiveram a

freqüência mínima necessária para serem aprovados; • dos demais alunos, apenas 75% foram aprovados.

Sabendo-se que apenas 69 dos alunos matriculados foram aprovados, pode-se concluir que o número de alunos reprovados foi igual a: 01) 39 04) 50 02) 45 05) 56 03) 48 552. (UNEB-2004)

Se o gráfico representa a distribuição das médias aritméticas (Ma) obtidas por um grupo de alunos em uma prova, então a média aritmética dessas notas é, aproximadamente, igual: 01) 4,43 . 04) 6,20 02) 4,86 05) 5,58 03) 5,85 553. (UEFS-02.2) Um professor resolveu regraduar as notas de uma prova, considerada difícil, mantendo a nota máxima, ainda como 10 e a nota 5 passando a ser 6, de modo que o ponto ( x, y), em que x é a nota original e y a nota regraduada, esteja sobre uma reta. Com base nessas informações, se, na nova graduação, 7 é a nota mínima para aprovação, então a nota para aprovação, correspondente na graduação original, é: a) 5,75 d) 6,50 b) 6,00 e) 7,00 c) 6,25 554. (UNEB-2003)

O gráfico representa a distribuição de freqüência do número de gols que um time de futebol fez por partida, nos doze jogos de que participou em um campeonato. Com base nessas informações, a média do número de gols feitos, por partidas, por esse time, nesse campeonato, foi igual 01) 3,00 04) 2,20 02) 2,75 05) 2,00 03) 2,25

555. (UEFS-03.2)

O gráfico representa a quantidade de desempregados numa região, a partir de determinado dia. Sabendo-se que os segmentos MN e PQ são paralelos, pode-se concluir que o número de pessoas desempregadas, 6 anos após o início das observações, é igual a: a) 5000 d) 3580 b) 4800 e) 3200 c) 4200

GABARITO ESTATISTÍCA

545. C 546. 04 547. 02 548. 05 459. 01 550. 04

551. 05 552. 03 553. C 554. 03 555. A

UFBA-07.1ª etapa

Questão 01.

Sobre números reais, é correto afirmar: (01) Se a é o maior número de três algarismos divisível por 7, então a soma de seus algarismos é igual a 22. (02) Se a é um múltiplo de 3, e b é um múltiplo de 4, então a.b é múltiplo de 6. (04) Se bac += e b é divisor de a, então c é múltiplo de a.

(08) Se a e b são números reais tais que ba ≤ , então b é positivo.

(16) Para quaisquer números reais a e b, baba +≤− .

(32) Dados quaisquer números reais a, b e c, se ba ≤ então

.cbca ⋅≤⋅

Questão 02.

Um comerciante compra determinado produto para revender. A diferença entre o preço de venda e o preço de custo, quando positiva, é chamada de “lucro por unidade”. O comerciante estabeleceu um preço de venda tal que o seu lucro seja 50% do preço de custo. Com base nessas informações, é correto afirmar: (01) O lucro total obtido é diretamente proporcional à quantidade vendida. (02) O preço de venda é 150% maior que o preço de custo. (04) Se o comerciante conceder um desconto de 20% sobre o preço de venda, então terá um lucro de 20% sobre o preço de custo. (08) Se o preço de custo aumentar em 10%, e o preço de venda for mantido, então o lucro será 40% do preço de custo após o aumento. (16) Se o comerciante fizer uma promoção do tipo “Leve 4 unidades e pague apenas 3”, então isso representará, para o cliente, um desconto total de 25%. (32) Se, nos meses de janeiro e fevereiro de 2006, o lucro do comerciante cresceu exponencialmente a uma taxa mensal de 2% em relação ao mês anterior, então, ao final de fevereiro, o lucro foi 4,04% maior que o lucro ao final de dezembro de 2005.

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Questão 03. Com base nos conhecimentos sobre funções, é correto afirmar:

(01) Se a função afim ( ) baxxm += , 0a ≠ , é crescente, então

a

bxou0a −>> .

(02) Se a função afim ( ) baxxp += , 0a ≠ , é decrescente, então a

função é negativa para todo .a

bx −< .

(04) Se a função quadrática ( ) cbxaxxn 2 ++= é par, então 0b = .

(08) Se a figura representa um esboço do gráfico da função

quadrática ( ) cbxaxxr 2 ++= , então b é um número real negativo.

(16) Se a função quadrática ( ) cx4axxh 2 ++= h admite valor

máximo 1 no ponto de abscissa −2, então 4ac =− .

(32) Se a função real ( ) cbxaxxf 24 ++= , com a ≠ 0, possui apenas

duas raízes reais positivas distintas, entre suas raízes, então a

função quadrática ( ) cbxaxxg 2 ++= possui duas raízes reais

positivas distintas.

Questão 04.

A vitamina C é hidrossolúvel, e seu aproveitamento pelo organismo humano é limitado pela capacidade de absorção intestinal, sendo o excesso de ingestão eliminado pelos rins. Supondo-se que, para doses diárias inferiores a 100mg de vitamina C, a quantidade absorvida seja igual à quantidade ingerida e que, para doses diárias maiores ou iguais a 100mg, a absorção seja sempre igual à capacidade máxima do organismo – que é de 100mg –, pode-se afirmar, sobre a ingestão diária de vitamina C, que são verdadeiras as proposições (01) Para a ingestão de até 100mg, a quantidade absorvida é diretamente proporcional à quantidade ingerida. (02) Para a ingestão acima de 100mg, quanto maior for a ingestão, menor será a porcentagem absorvida de vitamina ingerida. (04) Se uma pessoa ingere 80mg em um dia e 120mg no dia seguinte, então a média diária da quantidade absorvida nesses dois dias foi de 100mg. (08) A razão entre a quantidade ingerida e a quantidade absorvida pelo organismo é igual a 1. (16) A função f que representa a quantidade de vitamina C absorvida pelo organismo, em função da quantidade ingerida x, é

dada por ( )

<≤=

100xse,100

100x0se,xxf

(32) O gráfico abaixo representa a quantidade de vitamina C absorvida pelo organismo em função da quantidade que foi ingerida.

Questão 05.

Considerando-se as funções ( ) 2xxf −= e ( ) x2xg = , definidas para

todo x real, e a função ( ) xlogxh 3= , definida para todo x real

positivo, é correto afirmar:

(01) O domínio da função h

g é o conjunto dos números reais

positivos.

(02) A função fog

hf ⋅ se anula em dois pontos.

(04) A função composta hog é uma função linear.

(08) O gráfico da função hof intercepta o eixo Ox em um único

ponto. (16) O gráfico da função fog intercepta o gráfico de h(x) no ponto

de abscissa igual a 1.

(32) Se ( )( ) 8ahg = e ( )( ) 8logb2gh 3= , então 18b

a= .

Questão 06.

Com base nos conhecimentos sobre matrizes, determinantes e sistemas lineares, é correto afirmar: (01) Se duas matrizes quadradas de mesma ordem, A e B, são simétricas, então a matriz (A + B) também é simétrica.

(02) Se a matriz

x1

2xé inversível, então x é um número racional.

(04) Se x é um número real não nulo e

a1x

xx1 =

−então .a

xx1

310

1xx3

1

22

=

(08) Se o sistema linear

=+

=−

3ayx2

byxé impossível, então

.2

7ab ≠−

(16) O sistema linear ( ) ( )( ) ( )

=++−

=−−+

cy1ax1a

by1ax1aé possível e

determinado, quaisquer que sejam os valores reais de a, b e c. (32) Existe um número real a, não nulo, tal que o sistema linear

homogêneo

=−−

=++

0z3ayx2

0zayx admite uma única solução.

Questão 07.

Considerando-se um triângulo retângulo isósceles ABC, um ponto

D tal que BDAD = e o ângulo DBC que mede 150º, representados

na figura, é correto afirmar:

(01) O quadrilátero ADBC é um trapézio. (02) O triângulo ADB é eqüilátero. (04) O ângulo CAD mede 105º.

(08) A área do quadrilátero ADBC é igual a ( ).234

AB2

+

(16) Se AB

DCx = , então 2 < x < 3.

(32) Se P(x, y) é o ponto de interseção das medianas do triângulo

ABC, sendo B(2,3) e C(4,1), então 3

11yx =+ .

y

x

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Questão 08. Com base nos conhecimentos sobre geometria espacial, pode-se afirmar: (01) Se uma reta r e um plano α são paralelos, então toda reta perpendicular à reta r é também perpendicular ao plano α. (02) Se um ponto P não pertence a uma reta s, então existe um único plano passando por P, paralelo à reta s. (04) Se uma reta r está contida em um plano α, e a reta s é reversa a r, então a reta s intercepta o plano α. (08) Se α e β são dois planos perpendiculares, e r é uma reta perpendicular a α, que não está contida em β, então r é paralela a β. (16) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um deles é perpendicular ao outro. (32) Três planos distintos interceptam-se segundo uma reta ou um ponto.

Questão 09.

Na figura ao lado, todos os triângulos são retângulos isósceles, e ABCD é um quadrado. Nessas condições, determine o quociente

CE

GH.

Questão 10. Considerando que os números reais a, b e c formam, nessa ordem, uma progressão geométrica e satisfazem a igualdade,

9clog22log

1alog 4

b2 =++

Determine o valor de b.

UFBA-08.1ª etapa

Questão 01. Uma pessoa contraiu um empréstimo no valor de R$1000,00 para ser quitado, no prazo de dois meses, com pagamento de R$1300,00. Com base nessa informação, é correto afirmar: (01) A taxa bimestral de juros é de 30%. (02) A taxa mensal de juros simples é de 13%. (04) A taxa mensal de juros compostos é de 15%. (08) Em caso de atraso do pagamento, considerando-se a taxa mensal de juros simples de 16,2% incidindo sobre o valor da dívida na data do vencimento, o valor da dívida, no 10º dia de atraso, será igual a R$1370,20. (16) Em caso de a dívida ser quitada 15 dias antes do vencimento, aplicando-se a taxa de desconto simples de 7% ao mês, o valor pago será de R$1 209,00.

Questão 02.

Considerando-se a função ] ]∞+→ ,bR:f dada por bca)x(f x += ,

com a, b, c ∈ R, c > 0 e 0 < a ≠ 1, é correto afirmar: (01) O ponto (0, b) pertence ao gráfico de f. (02) A função f é crescente se e somente se a > 1 e b > 0.

(04) A função g: R → R dada por b)x(f

b)1x(f)x(g

−+= é constante.

(08) A função f é inversível e sua inversa é a função

] [ R,b:h →∞+ , dada por

−=

c

bxlog)x(h a .

(16) A função f pode ser obtida como a composta de uma função afim e uma função exponencial. (32) A equação f(x) = b tem uma única solução real.

Questão 03.

Uma caixa contém quatro varetas azuis, medindo 1cm, 3cm, 4cm e 7cm, e três varetas verdes, medindo 2cm, 3cm e 4cm. Com relação às varetas da caixa, é correto afirmar: (01) A média aritmética e a mediana dos comprimentos das varetas são iguais. (02) O desvio-padrão dos comprimentos das varetas verdes é igual

a 3

2.

(04) Escolhendo-se, ao acaso, uma vareta, a probabilidade de ser

azul ou ter comprimento maior que 4 cm é igual a 7

5.

(08) Escolhendo-se, ao acaso, duas varetas, sem reposição, a

probabilidade de serem da mesma cor é igual a 7

3.

(16) Existem exatamente nove maneiras distintas de escolher três varetas que formem um triângulo isósceles. (32) Existem exatamente 5040 maneiras distintas de se enfileirar as varetas.

Questão 04.

Considerando-se a matriz

−=

01

10kM , sendo k um número real,

é correto afirmar: (01) M é uma matriz simétrica, para qualquer k. (02) M é uma matriz inversível se e somente se k ≠ 0 e, nesse

caso,

−=−

01

10

k

1M 1 .

(04) Para algum valor de k, M é a matriz identidade de ordem 2. (08) Identificando-se um ponto genérico (x, y) do plano cartesiano com a matriz-linha (x y) de ordem 1 x 2, se k = 1 e (x, y) ≠ (0,0), então os pontos identificados por (0 0), (x y) e (x y)M são vértices de um triângulo retângulo isósceles. (16) Dados dois números reais a e b, se k ≠ 0, então o sistema de

equações

=

b

a

y

xM tem uma única solução

k

ay,

k

bx −== .

Questão 05.

Sendo r a reta no plano cartesiano representada pela equação 5y3x2 =+ , é correto afirmar:

(01) A reta paralela à reta r que passa pelo ponto (−3, 0) pode ser representada pela equação 2x + 3y = − 6 . (02) A reta perpendicular à reta r que passa pela origem pode ser representada pela equação − 3x + 2y = 0 .

(04) Para cada

−∈2

5Rc , existe uma única circunferência com

centro (c, 0) que é tangente à reta r. (08) O triângulo cujos vértices são a origem e os pontos de interseção da reta r com os eixos coordenados tem área igual a

12

25unidades de área.

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(16) A imagem da reta r pela rotação de ângulo de 60º, em torno do

ponto

0,

2

5, no sentido anti-horário, coincide com o eixo das

abscissas. (32) Dado um ponto (a, b)∉ r, existem infinitas circunferências de centro (a, b) que interceptam r.

Questão 06. Considerando-se um cubo com centro em um ponto P, é correto afirmar: (01) Existem exatamente 16 segmentos de reta cujos extremos são vértices do cubo e que não são arestas do cubo. (02) Existem exatamente seis triângulos cujos vértices são o ponto P e dois vértices não consecutivos do cubo. (04) Existem exatamente 12 tetraedros cujos vértices são o ponto P e três vértices de uma mesma face do cubo. (08) A razão entre as medidas da diagonal e do lado do cubo é igual a 3 . (16) Qualquer triângulo cujos vértices sejam também vértices do cubo é um triângulo retângulo. (32) O volume do cubo é igual a seis vezes o volume de uma pirâmide cujos vértices são o ponto P e os vértices de uma mesma face do cubo.

Questão 07.

Considerando-se uma seqüência de números reais ...,a...,,a,a,a n321 ,

com 72a13 = e 18a15 = , é correto afirmar:

(01) Se a seqüência é uma progressão aritmética, então todos os termos são positivos. (02) Se a14 = 30, então a seqüência não é uma progressão aritmética nem uma progressão geométrica. (04) Se a seqüência é uma progressão aritmética, então a soma dos 15 primeiros termos é igual a 3105. (08) Se a seqüência é uma progressão geométrica, então

2

aa 120

121 ±= .

(16) Se a seqüência é uma progressão geométrica, então a

seqüência ...,alog,...,alog,alog,alog n321 , é uma PA.

(32) Se a seqüência satisfaz a fórmula de recorrência

4

30

3

aa n

1n +=+ , então 2

387a12 = .

Questão 08. Sendo a média aritmética de três números inteiros positivos distintos igual a 60, pode-se afirmar: (01) Pelo menos um dos números é menor que 60. (02) Nenhum dos números é maior que 177. (04) Se os três números formam uma progressão aritmética, então um dos números é igual a 60. (08) Se um dos números é igual a 60, então o produto dos três números é menor que 216000. (16) Se os três números são primos, então um deles é igual a 2. (32) Se o máximo divisor comum dos três números é igual a 18, então os números são 36, 54 e 90.

Questão 09. Em um terreno plano horizontal, está fixado um mastro vertical com 13,5 metros de altura. Do topo do mastro, é lançado um projétil, descrevendo uma trajetória de modo que sua altura, em relação ao terreno, é uma função quadrática de sua distância à reta que contém o mastro. O projétil alcança a altura de 16 metros, quando essa distância é de 3 metros, e atinge o solo, quando a distância é de 27 metros. Determine, em metros, a altura máxima alcançada pelo projétil.

Questão 10.

A figura representa a circunferência com centro no ponto O e diâmetro AC medindo 168cm.

Sabendo que o ângulo BÔC mede 60º, determine a medida, em centímetros, do raio da circunferência de centro P∈AC que tangencia o segmento AB e passa pelo ponto O.

UFBA-09.1ª etapa

Questão 01.

Sobre números reais, é correto afirmar: (01) O produto de dois números racionais quaisquer é um número racional. (02) O produto de qualquer número inteiro não nulo por um número irracional qualquer é um número irracional. (04) O quadrado de qualquer número irracional é um número irracional. (08) Se o quadrado de um número natural é par, então esse número também é par. (16) Todo múltiplo de 17 é um número ímpar ou múltiplo de 34. (32) A soma de dois números primos quaisquer é um número primo. (64) Se o máximo divisor comum de dois números inteiros positivos é igual a 1, então esses números são primos.

Questão 02. Sobre a função f: [0, 1] → R, representada pelo gráfico ao lado, é correto afirmar:

(01) A imagem da função f é o intervalo [0, 1].

(02) Existe um único x∈[0, 1] tal que ( )2

1xf = .

(04) A função f é decrescente em

2

1,0 e crescente em

1,

2

1.

(08) A imagem da função g: [-1, 0] → R definida por g(x) = f(-x) é o intervalo [0, 1]. (16) f(f(f(0))) = 0 e f(f(f(1))) = 1. (32) fofof é a função identidade.

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Questão 03. Um grupo de 90 pessoas, interessadas em viajar de férias, contata uma companhia aérea que faz a seguinte proposta: se o número de pessoas que confirmarem a viagem for igual a n, cada uma delas pagará o valor p(n)=1600 - 10n pela passagem. Sendo A = 1, 2, ... , 90, define-se a função p: A→R. Se o valor total a ser recebido pela Companhia é dado pela função r: A→R, definida por r(n) = 1600n - 10n2, então pode-se afirmar: (01) A função p é decrescente. (02) O valor de cada passagem é um número inteiro pertencente ao intervalo [700, 1590]. (04) Tem-se p(n) = 1352 para algum n∈A. (08) A função r é crescente. (16) Cada confirmação de viagem provoca um acréscimo constante no valor de r. (32) Existe um único n∈A tal que r(n) = 63000. (64) O valor total recebido pela Companhia será máximo, se n = 80.

Questão 04.

Considerando-se que a concentração de determinada substância no

corpo humano é dada, em miligramas, por ( ) 4

t

215tC−

⋅= , sendo t ≥ 0 o tempo, em horas, contado desde a ingestão da substância, é correto afirmar: (01) A concentração inicial da substância é igual a 30mg. (02) Duas horas após a ingestão, a concentração da substância é

igual a 2

15mg .

(04) A imagem da função C é o intervalo [0, 15]. (08) A função C é decrescente. (16) Dado k∈]0, 15], o único valor de t que satisfaz a equação C(t)=k

é

=

k

15log4t 2 .

(32) A cada período de quatro horas, o valor de C(t) se reduz à metade. (64) Se t1, t2, ... , tn é uma progressão aritmética, então C(t1), C(t2), ... , C(tn) é também uma progressão aritmética.

Questão 05. Os candidatos de um concurso foram submetidos a uma prova de 100 questões, consistindo cada uma delas de uma afirmação a ser assinalada como verdadeira ou como falsa. O total de pontos de cada candidato foi obtido somando-se 5 para cada acerto e subtraindo-se 2 para cada erro e 1 para cada questão sem resposta. Com base nessas informações, pode-se afirmar: (01) O total de pontos obtidos por cada candidato é um número inteiro pertencente ao intervalo [0, 500]. (02) Se um candidato obteve zero ponto, então ele acertou mais do que uma questão.

(04) Se ( )125A −−= e

=

z

y

x

B sendo x, y e z, respectivamente,

o número de acertos, erros e questões sem resposta de um candidato, então sua pontuação é o único elemento da matriz A.B. (08) É possível que um candidato tenha obtido 115 pontos, errando exatamente 37 questões. (16) Se um candidato obteve 231 pontos, com o número de acertos igual ao número de erros mais o dobro do número de questões sem resposta, então o produto entre o número de acertos e o de erros é igual a 1357. (32) Se um candidato assinala aleatoriamente cada afirmação como verdadeira ou como falsa, sem deixar nenhuma sem resposta, então a probabilidade de esse candidato acertar todas as questões é igual a 1/100.

Questão 06. O quadro a seguir apresenta todas as medalhas ganhas por países da América do Sul durante os jogos olímpicos de Atenas realizados no ano 2004. Dos 12 países sul-americanos, apenas um não participou do evento.

Com base nas informações apresentadas e considerando-se o quadro de medalhas, é correto afirmar: (01) Do total de medalhas conquistadas, 37,5% foram de ouro. (02) A média do número de medalhas de prata conquistadas pelos seis países do quadro é igual a 0,5. (04) O desvio-padrão do número de medalhas de bronze

conquistadas pelos seis países do quadro é igual a 3

5.

(08) A mediana do número de medalhas conquistadas pelos seis países do quadro é igual a 2. (16) Dos países sul-americanos participantes do evento, 50% não ganharam medalha de ouro. (32) Considerando-se que o número de medalhas de bronze conquistadas pelo Brasil, nesse evento, foi 50% menor que o obtido na Olimpíada de 2000, então o Brasil conquistou menos que seis medalhas de bronze na Olimpíada de 2000.

Questão 07. Em relação a um prisma pentagonal regular, é correto afirmar: (01) O prisma tem 15 arestas e 10 vértices. (02) Dado um plano que contém uma face lateral, existe uma reta que não intercepta esse plano e contém uma aresta da base. (04) Dadas duas retas, uma contendo uma aresta lateral e outra contendo uma aresta da base, elas são concorrentes ou reversas. (08) A imagem de uma aresta lateral por uma rotação de 72º em torno da reta que passa pelo centro de cada uma das bases é outra aresta lateral. (16) Se o lado da base e a altura do prisma medem, respectivamente, 4,7cm e 5,0cm, então a área lateral do prisma é igual a 115cm2. (32) Se o volume, o lado da base e a altura do prisma medem, respectivamente, 235,0cm3, 4,7cm e 5,0cm, então o raio da circunferência inscrita na base desse prisma mede 4,0cm.

Questão 08. Em uma escola, seis meninos e duas meninas disputam uma prova de natação. Cada nadador ocupa uma das oito raias da piscina, numeradas de 1 a 8, e os que obtiverem o primeiro, o segundo e o terceiro lugar subirão ao pódio para premiação. Com base nessas informações e admitindo-se que não existe a possibilidade de empate, é correto afirmar: (01) Existem exatamente 40320 maneiras distintas de distribuir os nadadores nas raias. (02) Existem exatamente 720 maneiras distintas de distribuir os nadadores nas raias de modo que a 1 e a 8 sejam ocupadas por meninas. (04) Existem exatamente 336 formações distintas para o pódio. (08) Existem exatamente 60 formações distintas para o pódio com dois meninos e uma menina. (16) Se for sorteado um nadador para ocupar a raia 1, a probabilidade de ser menino é igual a 6/8. (32) Sorteando-se os nadadores para definir suas posições nas raias, a probabilidade de que os meninos ocupem as raias de 1 a 6 é igual a 1/28.

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Questão 09. No plano cartesiano, considere a reta r que passa pelos pontos P(24, 0) e Q(0, 18) e a reta s, perpendicular a r, que passa pelo ponto médio de P e Q. Assim sendo, determine a hipotenusa do triângulo cujos vértices são o ponto Q e os pontos de intersecção da reta s com a reta r e com o eixo Oy.

Questão 10.

Um capital aplicado no prazo de dois anos, a uma taxa de juros compostos de 40% ao ano, resulta no montante de R$9 800,00. Sendo x% a taxa anual de juros simples que, aplicada ao mesmo capital durante o mesmo prazo, resultará no mesmo montante, determine x.

Gabarito Matemática – UFBA-07.1ªetapa QUESTÃO

PROPOSIÇÕES VERDADEIRAS

GABARITO

01 01 + 02 03 02 01 + 04 + 16 + 32 53 03 01 + 04 + 08 + 16 + 32 61 04 01 + 02 + 16 19 05 04 + 08 + 16 + 32 60 06 01 + 04 + 08 + 16 29 07 02 + 04 + 08 + 32 46 08 08 + 32 * 08 09 - 04 10 - 08

Obs: * Anulada a Proposição (32). O gabarito passa a ser 08.

Gabarito Matemática – UFBA-08.1ªetapa QUESTÃO

PROPOSIÇÕES VERDADEIRAS

GABARITO

01 01 + 08 09 02 04 + 08 + 16 28 03 08 + 16 + 32 56 04 02 + 08 + 16 26 05 01 + 02+ 04 + 08 + 32 47 06 01 + 08 + 32 41 07 02 + 04 + 08 + 16 + 32 62 08 01 + 02 + 04 + 08 + 16 31 09 - 18 10 - 28

Gabarito Matemática – UFBA-09.1ªetapa QUESTÃO

PROPOSIÇÕES VERDADEIRAS

GABARITO

01 01 + 02 + 08 + 16 27 02 01 + 04 + 08 + 16 29 03 01 + 02 + 64 67 04 01 + 02 + 64 58 05 02 + 04 + 08 + 16 30 06 01 + 02 + 04 07 07 01 + 04 + 08 + 32 45 08 01 + 04 + 16 + 32 53 09 - 25 10 - 48