Seminario EtnomatemáTica Ana G

ETNOMATEMÁTICAETNOMATEMÁTICA

A MATEMÁTICA EM ÁFRICAA MATEMÁTICA EM ÁFRICA

Ana GraçaAna Graça

Universidade do AlgarveUniversidade do Algarve28 Junho 200728 Junho 2007

Etnomatemática: um conceito

�'etno': refere-se a grupos culturais identificados, tais comosociedades nacionais de tribos, grupos de trabalho, crianças de umacerta idade e classe, classes profissionais, etc. e inclui as suasideologias, as suas práticas diárias e a sua forma específica deraciocinar e inferir.

�'matema': significa explicar, entender e manejar realidadesespecíficas por meio de calcular, contar, medir, classificar, ordenar,específicas por meio de calcular, contar, medir, classificar, ordenar,inferir e modelar padrões que nascem do meio ambiente.

�'tics': significa arte ou técnica.

Etnomatemática é o estudo das técnicas matemáticas utilizadas porgrupos culturais identificados para entender, explicar e manejarproblemas e actividades que nascem no seu próprio meio ambiente.

Sistemas Africanos de Numeração


� O processo de numeração desenvolveu uma correspondência directa com partes do corpo.

� A maioria dos sistemas de numeração africanos têm o 5 como a sua baseprimária, sem dúvida reportando-se aos cinco dedos de uma mão.

� O conceito implícito pela palavra vinte em algumas linguagens – “homemcompleto” – é que cada objecto é designado por um digito (dedo mão/pé)do corpo de uma pessoa.

Simbolismo Numérico

do corpo de uma pessoa.

� Muitos povos sudaneses têm crenças acerca da associação dosnúmeros com o masculino e o feminino.

� Entre os Dogon, os números ímpares, especialmente o três, estãoassociados ao homem, e os números pares, em particular o quatro,à mulher.

� O número do homem (3) e o número da mulher (4), criamcomplementarmente o 7 da vida.


� Muitos povos sudaneses têm crenças acerca da associação dosnúmeros com o masculino e o feminino.

� Entre os Dogon, os números ímpares, especialmente o três, estãoassociados ao homem, e os números pares, em particular o quatro, àmulher.O número do homem (3) e o número da mulher (4), criamO número do homem (3) e o número da mulher (4), criamcomplementarmente o 7 da vida.


A formação de novos numerais por adição e multiplicação

Norte de Moçambique (língua Makhwa)

� “Thanu” (5) e “nloko” (10) são as bases do sistema makhwa de numeração

� Nos dois primeiros exemplos, um e dois são adicionados a 5.� Nos outros exemplos, dez é multiplicado por dois e três

respectivamente.� Bases mais frequentes em África: 5, 10 e 20.


Exemplos:

� Nyungwe (Moçambique): base 10� Balante (Guiné Bissau): bases 5 e 10� Bambara (Mali, Guiné): bases 10 e 20

20 = Mugan = uma pessoa (20 dedos)� 20 = Mugan = uma pessoa (20 dedos)� 40 = debé = esteira = um casal (40 dedos)

� Bété (Costa do Marfim): bases 5, 10 e 20� 56 = ‘ golosso-ya-kogboglepo’ = vinte vezes dois mais 10 e 5 e 1

� Bulanda (África Ocidental): base 6


O principio aditivo e o principio subtractivo (na numeração yoruba):

Arte e Simetria

Sipatsi (sing. gipatsi):

carteiras de mão, com duas partes de encaixar, tendo no interior duas divisórias, e servem para guardar moedas e documentos.

Padrões de fita nos sipatsiGeometria e aritmética da composição

� A arte africana e a Matemática estão intimamente ligadas.

� Na arte africana é possível encontrar simetrias de padrõesrepetidos, que podem ser classificados de acordo com 24tipos de padrões que são utilizados para cobrir superfíciestipos de padrões que são utilizados para cobrir superfíciesplanas. Destes, 17 admitem duas translações apenas numadirecção e são denominados de padrões - de - fita.

� Estes últimos são utilizados tanto pelos cesteiros como pelascesteiras de Moçambique para decorarem os sipatsi.


� Padrões – de – fita: fita ornamentada que é possívelrepresentar através duma sua parte. Uma fita deste tipo é porisso considerada infinita.

� Nestas fitas, dado um motivo decorativo, há sempre à� Nestas fitas, dado um motivo decorativo, há sempre àesquerda e à direita de cada exemplar, um outro exemplar domesmo motivo. O que faz com que seja possível percorrer afita em ambos os sentidos encontrando-se sempre novosexemplares do motivo decorativo.

� Padrões - de - gipatsi: padrão – de – fita que provém dasfitas ornamentadas nos sipatsi.


A fabricação dos sipatsi começa pela feitura de nós.O nó é feito com quatro tiras, sendo um par de tiras coloridas e um parde tiras brancas, as quais se entretecem perpendicularmente.

Para que o gipatsi seja considerado bonito e de qualidade boa, deveobedecer a certas condições:

em cada fita ornamental só podem aparecer reproduções do mesmo� em cada fita ornamental só podem aparecer reproduções do mesmomotivo decorativo;

� a distância entre duas cópias consecutivas deve ser sempre amesma;


O motivo decorativo deve caber exactamente um número inteiro devezes na fita ornamental respectiva ao redor do sipatsi, tendo aseguinte aplicação no número total de tiras:

�O motivo decorativo tem um período P (nº de tiras coloridas que�O motivo decorativo tem um período P (nº de tiras coloridas quegeram o motivo);

�O número total de tiras coloridas deve ser um múltiplo inteiro de P ede 4.


Classificação

Merece ser realçada a criatividade das cesteiras e dos cesteiros queproduzem os sipatsi: inventaram padrões-de-fita de todas as seteclasses teoricamente possíveis.classes teoricamente possíveis.

Os padrões de gipatsi distribuem-se da seguinte maneira pelas seteclasses.


Geometria e Arquitectura

SABER GEOMÉTRICO ENVOLVIDO NA DETERMINAÇÃO DA

CONFIGURAÇÃO DA BASE RECTANGULAR DAS CASAS DE

MOÇAMBIQUE


A definição ocidental de rectângulo comouma figura de quatro lados com ângulosrectos requer a utilização de um ângulorecto pré-construído, tal como uma régua-T, ou criando um ângulo recto usando umT, ou criando um ângulo recto usando umtriângulo de lados 3-4-5. Pelo teorema dePitágoras um triângulo com estasmedidas é um triângulo rectângulo.


Essencialmente são conhecidas duas técnicas de construção.


.


O conhecimento geométrico implícito nestas técnicas de construção é o seguinte:

1º Caso:Se AD=BC, AB=DC e AC=BD, então ABCD são ângulos rectos, ou seja, um paralelogramo com diagonais iguais é um rectângulo.


2º Caso:Se M é o ponto de intersecção de AC e BD e AM = BM = CM = DM, então ABCD são ângulos rectos, AD = BC e AB = DC. Por outras palavras, um quadrilátero cujas diagonais são iguais e se intersectam ao meio, é um rectângulo.

litema : Decoração mural

DECORAÇÃO E PINTURA DE PAREDES NO SUL

DE ÁFRICA


Tradicionalmente, quando os homens do povo Sotho terminam a construção das suas casas, as mulheres decoram-nas com pinturas que envolvem padrões geométricos, aos quais se dá o nome delitema (sing. tema). A palavra deriva de ho lema que significa cultivar.




As formas mais populares de litema são: tema Sekho e tema Likhole


� Uma das razões para a ocorrênciafrequente de simetria axial, é que a pintura

� A simetria é uma das características básicasdos desenhos litema.

frequente de simetria axial, é que a pinturafunciona como uma extensão humana.

� Um pintor, quando desenha a pinturamural, desenha muitas vezes com ambasas mãos. Começa no topo de uma linhavertical imaginária, e as formas daíresultantes de cada lado desta sãosimultaneamente realizadas e são imagensuma da outra.


� A maioria dos desenhos litema são construídos a partir dequadrados, os quais constituem as células do desenho. As mulherestraçam uma rede de quadrados e seguidamente reproduzem omesmo padrão em cada um deles.

� Como convenção, as imagens têm quatro linhas cada uma� Como convenção, as imagens têm quatro linhas cada umacontendo quatro vezes a célula.

� As simetrias de um desenho dependem das simetrias da célula edo modo pelo qual o desenho é construído nos seus quadradosbase.


�Padrões de quadrado únicoO quadrado que podemos observar na figura, constitui a célula dotema denominado Lithebe. Veremos que esta célula é repetida,exactamente na mesma posição, em todas as linhas horizontais ecolunas verticais. Trata-se de uma situação bastante excepcional.


�Padrões de dois quadrados

Na maioria dos litema a célulaaparece em várias posições.Vamos aqui considerar o temaMaqoapi. Aqui a célula básicaaparece em duas posiçõesdistintas: a normal inicial e adistintas: a normal inicial e areflectida através do seu eixovertical.

O padrão Maqoapi é composto porcolunas duplas, nas quais umrectângulo constituído por duascélulas, uma na posição normal eoutra na posição verticalmentereflectida, as quais são repetidas.


�Padrões de quatro quadrados

Em muitos litema a unidade (célula)aparece em quatro posiçõesdiferentes, e a totalidade do desenhoé constituída a partir de repetições de2x2 quadrados compostos de 4 vezesa célula em cada uma das 4posições. Como exemplo deste tipoposições. Como exemplo deste tipode padrão temos o tema Bochabe.

O desenho total é composto porlinhas duplas com 2x2 quadradoscom a unidade quadrado em 4posições. Este quadrado maior, de2x2 células, mostra-se com simetriaaxial dupla.


� O tema Sotho, na suaconstrução tem como célulabase a que podemos observarna figura.

� Através duma reflexão� Através duma reflexãohorizontal desta célula e fazendouma troca de cores obtém-seuma nova figura que é o“negativo” de reflexão horizontal

da célula inicial.


� Através duma reflexão horizontal da célula base e fazendo umatroca de cores obtém-se uma nova figura que é o “negativo” de

reflexão horizontal da célula inicial.


A base do padrão de 4quadrados mostra dois eixosde reflexão, os quais trocamas cores:

O padrão completo permitereflexões horizontais e verticaisque mudam o preto e o brancoem reflexões diagonais quemantêm a cor:

Geometria Sona

Desenhando na Areia

Geometria Sona

O princípio do Mundo: Uma lenda Tchokwe

A figura no topo é Deus, àesquerda é o Sol, à direita é aesquerda é o Sol, à direita é aLua e em baixo é um homem. Odesenho (lusona) representa ocaminho até Deus.

Geometria Sona

Um dia o Sol foi visitar Deus.Deus ofereceu-lhe umagalinha e disse: “Regressapela manhã antes de te iresembora”. Pela manhã, agalinha cacarejou e acordou oSol. Quando o Sol revisitouSol. Quando o Sol revisitouDeus, ele disse-lhe: “Nãocomeste a galinha que te deipara o jantar. Podes entãoficar com a galinha, masdeves regressar aqui todos osdias.” Daí a razão porque oSol circula a Terra e nascetodas as manhãs.

Geometria Sona

A Lua também foi visitar Deus,e também recebeu umagalinha como presente. Namanhã seguinte, a galinhacacarejou e acordou a Lua eDeus voltou a dizer-lhe: “NãoDeus voltou a dizer-lhe: “Nãocomeste a galinha que te deipara o jantar. Podes entãoficar com a galinha, masdeves regressar aqui em cada28 dias.” Daí a razão porqueque o ciclo total da Lua dura28 dias.

Geometria Sona

Um homem foi visitar Deusrecebendo também umagalinha como presente, mas ohomem estava com fomedepois de tão longacaminhada e comeu parte dagalinha ao jantar. Na manhãgalinha ao jantar. Na manhãseguinte já o Sol estava bemalto quando o homemacordou. Comeu o resto dagalinha e apressou-se a irvisitar Deus. Deus disse-lhe:“Eu não ouvi a galinhacacarejar esta manhã.”

Geometria Sona

O homem respondeu receoso:“Eu tinha muita fome e comi-a.”. “Está bem.”, disse Deus,“mas ouve: tu sabes que o Sole a Lua estiveram aqui, enenhum deles matou a galinhaque lhes ofereci. É por issoque lhes ofereci. É por issoque nem o Sol nem a Luamorrerão um dia. Mas tumataste a tua galinha, eportanto deves morrer talcomo ela morreu. Porém, àtua morte, deves regressaraqui outra vez.”E assim foi.

Geometria Sona

�Os Tchokwe quando se reúnem têm por hábito passar o seutempo em conversas que ilustram com desenhos no chão. Aesses desenhos dá-se o nome de sona (no singular serálusona).

�Os desenhos referem-se a provérbios, fábulas, jogos,adivinhas e histórias sobre animais, e desempenham umpapel importante na transmissão de conhecimentos e desabedoria de uma geração para a seguinte.

Geometria Sona

Geometria Sona

Geometria Sona

A construção destes desenhos segue regras específicas. Ocontador começa por marcar (geralmente com os dedosindicador e anelar) uma série de pontos equidistantes no chãoliso, em linhas horizontais e verticais, numa rede de referênciarectangular. A marcação é feita de baixo para cima e do meiopara as extremidades, conservando o mesmo intervalo.

Geometria Sona

�Os especialistas de desenho reduzem a memorização dequalquer figura à de alguns números (dimensão da rede dereferência) e de um algoritmo geométrico (a regra de comotraçar as linhas).

�Depois de marcados os pontos, o desenho pode começar. Odesenho é feito de linhas que circulam entre os pontos. Onarrador deve desenhar e falar ao mesmo tempo seminterrupções nem hesitações.

Geometria Sona

Os desenhos obedecem a um conjunto de regras:

�utilizam o menor número possível de linhas;

alguns desenhos que parecem muito complicados podem ser�alguns desenhos que parecem muito complicados podem serfeitos utilizando uma linha apenas;

�o narrador deve começar e terminar o desenho sem precisar delevantar o dedo;

�as linhas nunca tocam nos pontos;

Geometria Sona�na maior parte dos desenhos sona é possível começar a primeiralinha em quaisquer dois pontos da rede;

�depois de escolher o ponto de partida, desenhar uma linha a 45graus entre os pontos; quando chegar ao topo rodar 90 graus etraçar outra linha. Nos cantos faz-se uma rotação de 180 graus.

�se o fim de uma linha coincidir com o seu inicio, então chama-selinha fechada.

Geometria Sona

Simetria axial

Dois pontos correspondentes estão à mesma distância do eixode simetria.

Simetrias nos desenhos sona

Geometria Sona

Simetria axial dupla e simetria central

Dois pontos correspondentes estão à mesma distância do centrode simetria.


Geometria Sona

Simetria Axial

Dois pontos correspondentes estão à mesma distância do eixode simetria.


Geometria Sona

�Qual é o menor número de linhas fechadas que é�Qual é o menor número de linhas fechadas que énecessário usar para desenhar o corpo doAntílope?�O antílope utiliza uma rede de referência de 3x4pontos e pode ser feito usando uma única linhafechada.�É possível começar a desenhar a linha emqualquer sítio do corpo do antílope e regressar aoponto de partida sem nunca ter de levantar o dedo(ou o lápis).

Geometria Sona

�Qual é o menor número de linhas fechadas que é�Qual é o menor número de linhas fechadas que énecessário usar para desenhar o corpo doAntílope?�O antílope utiliza uma rede de referência de 3x4pontos e pode ser feito usando uma única linhafechada.�É possível começar a desenhar a linha emqualquer sítio do corpo do antílope e regressar aoponto de partida sem nunca ter de levantar o dedo(ou o lápis).

Geometria Sona�A Tartaruga usa uma rede de 3x3 pontos.Apesar de usar um menor número de pontos que o antílope,são necessárias três linhas fechadas para desenhar atartaruga.�A Leoa utiliza uma rede de 3x10 pontos.O corpo da leoa pode ser desenhado utilizando uma linhaapenas.�Porque é que a Leoa e o Antílope utilizam apenas uma linha�Porque é que a Leoa e o Antílope utilizam apenas uma linhafechada enquanto a pequena tartaruga utiliza três?

Geometria SonaQuantas linhas são necessárias para construir um desenho?

�O número de linhas fechadas depende das dimensões iniciais darede.

�Em diversos países Africanos, muitos adultos e crianças sabem, àpartida, quantas linhas fechadas são necessárias para fazer umpartida, quantas linhas fechadas são necessárias para fazer umdesenho, assim que vêem o conjunto dos pontos.

�Como poderemos saber, ao olhar para um conjunto de pontos, dequantas linhas fechadas iremos precisar para desenhar uma rede demxn?

�Comecemos por observar o que acontece com redes de duaslinhas.

Geometria Sona

Podemos observarque redes comduas linhas e umnúmero par decolunas precisamde duas linhasde duas linhasfechadas. Maspara um númeroímpar de colunas énecessário apenasuma linha fechada.

Geometria Sona

Geometria Sona

Geometria Sona

A regra é:

O número de linhas fechadas necessárias é igual ao

máximo divisor comum entre o número de linhas (m) e máximo divisor comum entre o número de linhas (m) e

o número de colunas (n).

Geometria SonaDeterminação Geométrica do Máximo Divisor Comum de dois

números naturais

mdc (m,n) = número mínimo de pontos “abraçados” por “ramos” duma das curvas fechadas consideradas que passa por uma rede de referência m x n

Geometria Sona


O Osso de IshangoCongo, África. 25000 a 20000 AC. As marcas representam um calendário lunar de 6 meses.

Travel

Seminario EtnomatemáTica Ana G