Capítulo 5 A Distribuição Normal de Probabilidade ESTATÍSTICA APLICADA

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Capítulo 5Capítulo 5

A Distribuição Normal de A Distribuição Normal de Probabilidade Probabilidade

ESTATÍSTICA APLICADAESTATÍSTICA APLICADA

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Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias ContínuasContínuas

..

Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias ContínuasContínuas

1. Variável aleatória1. Variável aleatória Um resultado numérico de um experimentoUm resultado numérico de um experimento Peso de uma peça (ex.: 115 kg; 156,8 kg etc.) Peso de uma peça (ex.: 115 kg; 156,8 kg etc.)

2. Variável aleatória contínua 2. Variável aleatória contínua Número inteiro ou fracionárioNúmero inteiro ou fracionário Obtido por medidaObtido por medida Número infinito de valores num intervaloNúmero infinito de valores num intervalo

Muito numerosos para listar como variável discretaMuito numerosos para listar como variável discreta

..

Exemplos de Variáveis Exemplos de Variáveis Aleatórias ContínuasAleatórias Contínuas

ExperimentoExperimento VariávelVariávelAleatóriaAleatória

ValoresValoresPossíveisPossíveis

Pesar 100 peçasPesar 100 peças PesoPeso 45,1; 78; ...45,1; 78; ...

Medir vida da peçaMedir vida da peça HorasHoras 900; 875,9; ...900; 875,9; ...

Medir gasto com manut.Medir gasto com manut.GastoGasto 54,12; 42; ...54,12; 42; ...

Medir tempo entreMedir tempo entrechegadaschegadas

Tempo entreTempo entrechegadaschegadas

0; 1,3; 2,78; ...0; 1,3; 2,78; ...

..

Função Densidade de Função Densidade de Probabilidade ContínuaProbabilidade Contínua

1.1. Fórmula matemáticaFórmula matemática

2.2. Mostra todos valores, Mostra todos valores, x x e freqüências, f(e freqüências, f(xx))

f(f(xx) não é probabilidade) não é probabilidade

3.3. PropriedadesPropriedades

(área sob curva)(área sob curva)

ValorValor

(Valor, Freqüência)(Valor, Freqüência)

FreqüênciaFreqüência

f(x)f(x)

aa bbxxff xx dxdx

ff xx

(( ))

(( ))

todo todo XX

aa x x bb

11

0,0,

..

Cálculo de Probabilidade Cálculo de Probabilidade em Variáveis Aleatórias em Variáveis Aleatórias

Contínuas Contínuas

Probabilidade é Probabilidade é área sob curva!área sob curva!

© 1984-1994 T/Maker Co.

PP cc xx dd ff xx dxdx cc

dd(( )) (( ))

f(x)f(x)

Xc d

..

Distribuição UniformeDistribuição Uniforme

..

Distribuição UniformeDistribuição Uniforme

1.1. Resultados igualmente Resultados igualmente prováveisprováveis

2.2. Densidade de Densidade de probabilidadeprobabilidade

3.3. Média e desvio padrão Média e desvio padrão Média Média

MedianaMediana

f xd c

( ) 1

f xd c

( ) 1

c d d c

2 12

c d d c2 12

1d c

1d c

x

f(x)

dc

..

Exemplo de Distribuição Exemplo de Distribuição UniformeUniforme

Você é o gerente de produção de Você é o gerente de produção de uma fábrica de refrigerante. uma fábrica de refrigerante. Você acredita que quando uma Você acredita que quando uma máquina está regulada para máquina está regulada para 1212 oz., na realidade coloca de oz., na realidade coloca de 11.511.5 a a 12.512.5 oz. inclusive. Suponha que oz. inclusive. Suponha que a quantidade colocada tem uma a quantidade colocada tem uma distribuição uniforme. Qual é a distribuição uniforme. Qual é a probabilidade que probabilidade que menos quemenos que 11,811,8 oz. seja colocada? oz. seja colocada?

SODA

..

Solução da Distribuição Solução da Distribuição UniformeUniforme

PP(11,5 (11,5 XX 11,8) 11,8) = (Base)(Altura) = (Base)(Altura)

= (11,8 - 11,5)(1) = = (11,8 - 11,5)(1) = 0,30 0,30

11,511,5 12,512,5

ff((xx))

xx11,811,8

1 112 5 11511

10

d c

. .

.

1 112 5 11511

10

d c

. .

.

1.01.0

..

Distribuição NormalDistribuição Normal

..

Importância da Importância da Distribuição NormalDistribuição Normal

1.1. Descreve muitos processos aleatórios Descreve muitos processos aleatórios ou fenômenos contínuosou fenômenos contínuos

2.2. Pode ser usada para aproximar Pode ser usada para aproximar distribuições de probabilidade discretasdistribuições de probabilidade discretas Exemplo: binomialExemplo: binomial

3.3. Base para Inferência EstatísticaBase para Inferência Estatística

..

1.1. ‘Forma de sino’ e ‘Forma de sino’ e simétricasimétrica

Distribuição NormalDistribuição Normal

2.2. Média, mediana, Média, mediana, moda são iguaismoda são iguais

3. 3. Variável aleatória Variável aleatória tem intervalo infinitotem intervalo infinito Média Média

Mediana Mediana ModaModa

X

f(X)

X

f(X)

..

Função Densidade de Função Densidade de ProbabilidadeProbabilidade

ff((xx)) == Freqüência da variável aleatória Freqüência da variável aleatória xx == Desvio padrão populacionalDesvio padrão populacional == 3,14159; e = 2,718283,14159; e = 2,71828xx == Valor da variável aleatória (-Valor da variável aleatória (- < < xx < < )) == Média populacionalMédia populacional

2

21

21

)(

x

exf

..

Efeito de Variar Parâmetros Efeito de Variar Parâmetros (( e e ))

X

f(X)

CA

B

..

Cálculo de Probabilidade na Cálculo de Probabilidade na Distribuição NormalDistribuição Normal

c dx

f(x)

c dx

f(x)

Probabilidade é Probabilidade é área sob curva!área sob curva!

..

X

f(X)

X

f(X)

Tabelas da Distribuição Tabelas da Distribuição NormalNormal

Distribuições Normais diferem Distribuições Normais diferem entre si pela média e desvio entre si pela média e desvio padrão.padrão.

Cada distribuição Cada distribuição necessitaria sua necessitaria sua própria tabela.própria tabela.

Isto é um número Isto é um número infinitoinfinito!!

..

Padronizar a Distribuição Padronizar a Distribuição NormalNormal

X

X

Uma tabela! Uma tabela!

Distribuição NormalDistribuição Normal

= 0

= 1

Z = 0

= 1

Z

ZX

ZX

Distribuição

Normal PadrãoDistribuição

Normal Padrão

..

Exemplo de PadronizaçãoExemplo de Padronização

X= 5

= 10

6.2 X= 5

= 10

6.2

Distribuição NormalDistribuição Normal

12,01052,6

X

Z 12,01052,6

X

Z

Z= 0

= 1

.12 Z= 0

= 1

.12

Distribuição Normal Padrão

Distribuição Normal Padrão

..

Z= 0

= 1

.12 Z= 0

= 1

.12

Z .00 .01

0.0 .0000 .0040 .0080

.0398 .0438

0.2 .0793 .0832 .0871

0.3 .1179 .1217 .1255

Z .00 .01

0.0 .0000 .0040 .0080

.0398 .0438

0.2 .0793 .0832 .0871

0.3 .1179 .1217 .1255

Obtendo a ProbabilidadeObtendo a Probabilidade

0,04780,04780,04780,0478

.02.02

0.10.1 .0478

Tabela da Distribuição Tabela da Distribuição Normal Padrão (Parte)Normal Padrão (Parte)Tabela da Distribuição Tabela da Distribuição Normal Padrão (Parte)Normal Padrão (Parte)

ProbabilidadesProbabilidadesProbabilidadesProbabilidadesÁrea hachurada Área hachurada exageradaexageradaÁrea hachurada Área hachurada exageradaexagerada

..

Exemplo:Exemplo:P(3,8 P(3,8 XX 5) 5)

X= 5

= 10

3.8 X= 5

= 10

3.8

Distribuição Distribuição NormalNormalDistribuição Distribuição NormalNormal

ZX

3 8 5

1012

..Z

X

3 8 510

12.

.

Z = 0

= 1

-.12 Z = 0

= 1

-.12

0,04780,0478

Distribuição Distribuição Normal PadrãoNormal Padrão

Distribuição Distribuição Normal PadrãoNormal Padrão

Área hachurada exageradaÁrea hachurada exageradaÁrea hachurada exageradaÁrea hachurada exagerada

..

Exemplo:Exemplo:P(2,9 P(2,9 XX 7,1) 7,1)

5

= 10

2.9 7.1 X5

= 10

2.9 7.1 X

Distribuição Distribuição NormalNormalDistribuição Distribuição NormalNormal

ZX

ZX

2 9 510

21

71 510

21

..

..

ZX

ZX

2 9 510

21

71 510

21

..

..

0

= 1

-.21 Z.210

= 1

-.21 Z.21

0,16640,16640,16640,1664

.0832.0832.0832.0832

Distribuição Distribuição Normal PadrãoNormal Padrão

Distribuição Distribuição Normal PadrãoNormal Padrão

Área hachurada exageradaÁrea hachurada exageradaÁrea hachurada exageradaÁrea hachurada exagerada

..

Exemplo:Exemplo:P(P(XX 8) 8)

X = 5

= 10

8 X = 5

= 10

8

Distribuição Distribuição NormalNormalDistribuição Distribuição NormalNormal

Distribuição Distribuição Normal PadrãoNormal Padrão

Distribuição Distribuição Normal PadrãoNormal Padrão

ZX

8 510

30.ZX

8 510

30.

Z = 0

= 1

.30 Z = 0

= 1

.30

.1179.1179.1179.1179

.5000.5000 0,38210,3821 0,38210,3821

Área hachurada exageradaÁrea hachurada exageradaÁrea hachurada exageradaÁrea hachurada exagerada

..

Exemplo:Exemplo:P(7,1 P(7,1 XX 8) 8)

= 5

= 10

87.1 X = 5

= 10

87.1 X

Distribuição Distribuição NormalNormalDistribuição Distribuição NormalNormal

ZX

ZX

71 510

21

8 510

30

..

.

ZX

ZX

71 510

21

8 510

30

..

.

= 0

= 1

.30 Z.21 = 0

= 1

.30 Z.21

.0832.0832

.1179.1179 0,03470,0347 0,03470,0347

Distribuição Distribuição Normal PadrãoNormal Padrão

Distribuição Distribuição Normal PadrãoNormal Padrão

Área hachurada exageradaÁrea hachurada exageradaÁrea hachurada exageradaÁrea hachurada exagerada

..

QuestãoQuestão

Você trabalha no Controle de Você trabalha no Controle de Qualidade. A vida de uma Qualidade. A vida de uma lâmpada tem uma lâmpada tem uma distribuição distribuição normalnormal com com = 2000 = 2000 horas e horas e = 200 = 200 horas. Qual é a horas. Qual é a probabilidade que uma lâmpada probabilidade que uma lâmpada durará:durará:

A. entre A. entre 20002000 e e 2400 2400 horas?horas?

B. B. menosmenos que que 14701470 horas? horas?

..

Solução:Solução: P(2000 P(2000 XX 2400) 2400)

X = 2000

= 200

2400 X = 2000

= 200

2400

Distribuição Distribuição NormalNormalDistribuição Distribuição NormalNormal

ZX

2400 2000

2002 0.Z

X

2400 2000200

2 0.

Z = 0

= 1

2.0 Z = 0

= 1

2.0

0,47720,4772 0,47720,4772

Distribuição Distribuição Normal PadrãoNormal Padrão

Distribuição Distribuição Normal PadrãoNormal Padrão

..

Solução:Solução: P( P(X X 1470) 1470)

X = 2000

= 200

1470 X = 2000

= 200

1470

Distribuição Distribuição NormalNormalDistribuição Distribuição NormalNormal

ZX

1470 2000

2002 65.Z

X

1470 2000200

2 65.

Z = 0

= 1

-2.65 Z = 0

= 1

-2.65

.4960.4960.4960.4960 0,00400,0040 0,00400,0040

.5000.5000

Distribuição Distribuição Normal PadrãoNormal Padrão

Distribuição Distribuição Normal PadrãoNormal Padrão

..

Z = 0

= 1

? Z = 0

= 1

?

Achando o Valor de Z Achando o Valor de Z para Probabilidades Dadaspara Probabilidades Dadas

0,12170,12170,12170,1217

Qual é Z dado Qual é Z dado P(Z) = 0,1217?P(Z) = 0,1217?Qual é Z dado Qual é Z dado P(Z) = 0,1217?P(Z) = 0,1217?

Área hachurada Área hachurada exageradaexageradaÁrea hachurada Área hachurada exageradaexagerada

..

Z .00 0.2

0.0 .0000 .0040 .0080

0.1 .0398 .0438 .0478

0.2 .0793 .0832 .0871

.1179 .1255

Z .00 0.2

0.0 .0000 .0040 .0080

0.1 .0398 .0438 .0478

0.2 .0793 .0832 .0871

.1179 .1255

Z = 0

= 1

? Z = 0

= 1

?

Achando o Valor de Z Achando o Valor de Z para Probabilidades Dadaspara Probabilidades Dadas

0,12170,12170,12170,1217.01

0.3 .1217

Tabela da Distribuição Tabela da Distribuição Normal Padrão (Parte)Normal Padrão (Parte)Tabela da Distribuição Tabela da Distribuição Normal Padrão (Parte)Normal Padrão (Parte)

Qual é Z dado Qual é Z dado P(Z) = 0,1217?P(Z) = 0,1217?Qual é Z dado Qual é Z dado P(Z) = 0,1217?P(Z) = 0,1217?

Área hachurada Área hachurada exageradaexageradaÁrea hachurada Área hachurada exageradaexagerada

..

Z .00 0.2

0.0 .0000 .0040 .0080

0.1 .0398 .0438 .0478

0.2 .0793 .0832 .0871

.1179 .1255

Z .00 0.2

0.0 .0000 .0040 .0080

0.1 .0398 .0438 .0478

0.2 .0793 .0832 .0871

.1179 .1255

Z = 0

= 1

.31 Z = 0

= 1

.31

Achando o Valor de Z Achando o Valor de Z para Probabilidades Dadaspara Probabilidades Dadas

0,12170,12170,12170,1217.01.01

0.30.3 .1217

Tabela da Distribuição Tabela da Distribuição Normal Padrão (Parte)Normal Padrão (Parte)Tabela da Distribuição Tabela da Distribuição Normal Padrão (Parte)Normal Padrão (Parte)

Qual é Z dado Qual é Z dado P(Z) = 0,1217?P(Z) = 0,1217?Qual é Z dado Qual é Z dado P(Z) = 0,1217?P(Z) = 0,1217?

Área hachurada Área hachurada exageradaexageradaÁrea hachurada Área hachurada exageradaexagerada

..

Achando o Valor de Achando o Valor de XX Para Probabilidades DadasPara Probabilidades Dadas

X= 5

= 10

? X= 5

= 10

?

Distribuição NormalDistribuição NormalDistribuição NormalDistribuição Normal

0,12170,1217 0,12170,1217

Área hachurada exageradaÁrea hachurada exageradaÁrea hachurada exageradaÁrea hachurada exagerada

..

Achando o Valor de Achando o Valor de XX Para Probabilidades DadasPara Probabilidades Dadas

X= 5

= 10

? X= 5

= 10

?

Distribuição NormalDistribuição NormalDistribuição NormalDistribuição Normal

Z = 0

= 1

.31 Z = 0

= 1

.31

Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal PadrãoDistribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão

0,12170,1217 0,12170,1217 0,12170,1217 0,12170,1217

Área hachurada exageradaÁrea hachurada exageradaÁrea hachurada exageradaÁrea hachurada exagerada

..

Achando o Valor de Achando o Valor de XX Para Probabilidades DadasPara Probabilidades Dadas

X= 5

= 10

? X= 5

= 10

?

Distribuição NormalDistribuição NormalDistribuição NormalDistribuição Normal

Z = 0

= 1

.31 Z = 0

= 1

.31

Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal PadrãoDistribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão

0,12170,1217 0,12170,1217 0,12170,1217 0,12170,1217

Área hachurada exageradaÁrea hachurada exageradaÁrea hachurada exageradaÁrea hachurada exagerada

1,81031,05 ZX

..

Distribuições AmostraisDistribuições Amostrais

..

1.1. Distribuição de probabilidade Distribuição de probabilidade teóricateórica

2.2. Variável aleatória é Variável aleatória é estatística amostralestatística amostral Média amostral, proporção amostral etc.Média amostral, proporção amostral etc.

3.3. Resulta de se retirar Resulta de se retirar todastodas as amostras as amostras possíveis de um tamanho possíveis de um tamanho fixofixo

4.4. Lista de todos possíveis pares [Lista de todos possíveis pares [x, x, PP((x) ]x) ]

Distribuição AmostralDistribuição Amostral

..

Amostragem de Amostragem de Populações NormaisPopulações Normais

..

= 50

= 10

X = 50

= 10

X

Amostragem de Amostragem de Populações NormaisPopulações Normais

Tendência CentralTendência Central

DispersãoDispersão

Tendência CentralTendência Central

DispersãoDispersão

Distribuição PopulacionalDistribuição PopulacionalDistribuição PopulacionalDistribuição Populacional

Distribuição AmostralDistribuição AmostralDistribuição AmostralDistribuição Amostral

x n

x n

x x

X = 50- XX = 50- X

n =16n =16

XX = 2,5 = 2,5

n = 4n = 4

XX = 5 = 5

..

Padronizando a Distribuição Padronizando a Distribuição Amostral da MédiaAmostral da Média

XX

X

XX

X

Distribuição AmostralDistribuição Amostral

= 0

= 1

Z = 0

= 1

Z

ZX X

n

x

x

Z

X X

n

x

x

Distribuição Normal Padrão

Distribuição Normal Padrão

..

QuestãoQuestão

A duração das ligações A duração das ligações telefônicas que você recebe telefônicas que você recebe tem distribuição normal com tem distribuição normal com = 8 = 8 min e min e = 2 = 2 min. Se min. Se você selecionar uma você selecionar uma amostra de amostra de 25 25 chamadas, chamadas, qual é a probabilidade da qual é a probabilidade da média amostral média amostral estar entre estar entre 7,87,8 e e 8,2 8,2 minutos?minutos?

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..

Solução da Distribuição Solução da Distribuição AmostralAmostral

8

X = .4

7.8 8.2 X8

X = .4

7.8 8.2 X

Distribuição AmostralDistribuição Amostral

ZX

n

ZX

n

7 8 82 25

50

8 2 82 25

50

..

..

ZX

n

ZX

n

7 8 82 25

50

8 2 82 25

50

..

..

0

= 1

-.50 Z.500

= 1

-.50 Z.50

0,38300,38300,38300,3830

.1915.1915.1915.1915

Distribuição Normal Padrão

Distribuição Normal Padrão

..

Amostragem de Amostragem de Populações Não-Normais Populações Não-Normais

..

= 50

= 10

X = 50

= 10

X

Amostragem de Populações Amostragem de Populações

Não-Normais Não-NormaisTendência CentralTendência Central

DispersãoDispersão

Tendência CentralTendência Central

DispersãoDispersão

Distribuição PopulacionalDistribuição PopulacionalDistribuição PopulacionalDistribuição Populacional

Distribuição AmostralDistribuição AmostralDistribuição AmostralDistribuição Amostral

x n

x n

x x

X = 50- XX = 50- X

n = 30n = 30

XX = 1,8 = 1,8

n = 4n = 4

XX = 5 = 5

..

Teorema do Limite CentralTeorema do Limite Central

..

XX

Teorema do Limite CentralTeorema do Limite Central

Quando a Quando a amostra é amostra é grande grande (n (n 30) ...30) ...

a distribuição a distribuição amostral amostral aproxima-se aproxima-se da normal.da normal.

x n

x n

x x