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P rocessamento Digital de Sinais -F iltros D igitais F I R
V.C.Parrovparro@ieee.org
1 I ntrodução
Estetexto temcomo objetivointroduzir uma metodologia para pro- jeto de …ltro digitais F IR( …nite impulse response). Neste texto abor-daremos o projeto por janelamento da resposta impulsiva.
2 Filtros FI R
Um …ltro com reposta impulsiva …nita pode ser representado por:
H (z) = bo + b1z¡ 1 + b2z
¡ 2 + b3z¡ 3 + ::: + bM z
¡ M =
M ¡ 1X
n=0
bnz¡ n (1)
sendo assim sua resposta impulsiva tem as seguintes caracteríticas:
h(n) =
½bn; 0 · n · M ¡ 10; caso contrário
(2)
com sua equação de diferenças:
y(n) = b0x(n) + b1x(n ¡ 1) + ::: + bM ¡ 1x(n ¡ M + 1) (3)
Com relação aos …ltros FIR pode-se destacar, entre outras, asseguintes características:
1. Resposta defase exatamente linear;
2. Metodologia simples de projeto e não tem problemas de estabili-dade;
3. A problemática de projeto contém apenas operações aritméticascom números reais.
1
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3 P rojeto de …ltros FI R por janelamento
A essência do projeto por janelamento consiste em escolher ade-quadamente a resposta em frequênia desejada ( que geralmente é nãocausal), determinar sua resposta impulsiva e através do janelamentotruncar a resposta impulsiva obtendo um …ltro causal de fase linear.
Um …ltro passa baixas ideal pode ser representado por:
Hd(e j ! ) =
½1 e j ®! , j! j · ! c0;! c
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-1 0 1
0
1
M = 7
frequency in pi units
I n t e g r a t e d A m p l i t u d e R e s p o n s e
-1 0 1
0
1
M = 21
frequency in pi units
I n t e g r a t e d A m p l i t u d e R e s p o n s e
-1 0 1
0
1
M = 51
frequency in pi units
I n t e g r a t e d A m p l i t u d e R e s p o n s e
-1 0 1
0
1
M = 101
frequency in pi units
I n t e g r a t e d A m p l i t u d e R e s p o n s e
Fenômeno deGibbs
Estecomportamentolimita algumascaracterísticasdo…ltro. Out-
ros tipos dejanela, facilmente obtidas pelo MAT LAB, pode-sedestacar:
1. Triangular;
2. Hanning;
3. Hamming;
4. Blackman;
5. Kaiser.
O método mais usual utiliza a janela de K aiser, sendo ótimo nosentido de proporcionar um lóbulo central largo para uma dada atenu-ação nafaixa derejeição, implicando emuma transição brusca. A janelafoi desenvolvida por J .F.K aiser:
w(n) =I o[̄
q
1¡¡
1¡ 2nM ¡ 1
¢2
I o(¯ ) ; 0 · n · M ¡ 1; (7)
3
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onde Io[² ] é a função deBessel deordem zero modi…cada e depende
do prâmetro ¯: Equações para projeto, dados ! p; Rp; ! s e AS:
Largura da Transição = ¢ f ,! s ¡ ! p
2¼ (8)
Ordem do …ltro M »= As ¡ 7:95
14:36¢ f + 1 (9)
Parâmetro ¯ =
½0:1102(As ¡ 8:7); As ¸ 50
0:5842(As ¡ 21)0:4 + 0:07886(As ¡ 21); 21
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Projeto utilizando a janela de Kaiser resulta em um comprimento
M=61 e ¯ = :5513 com atenuação na faixa de rejeição de 52 dB.
0 10 20 30 40 50 60-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Ideal Impulse Response
n
h d ( n )
0 10 20 30 40 50 600
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Kaiser Window
n
w ( n )
0 10 20 30 40 50 60-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Act ual Impu lse Res pons e
n
h ( n )
0 0.2 0.3 1
50
0
Magnitude Response in dB
frequency in pi units
D e c i b e l s
J anela de Kaiser
3.3 P rojeto de um …ltro passa faixas
Projetar um…ltro passa faixa digital comas seguintes características:
1. ! 1p = 0:35¼ RP = 0:1dB ;
2. ! 1s = 0:2¼ As = 60dB;
3. ! 2p = 0:65¼ RP = 1dB ;
4. ! 2s = 0:8¼ As = 60dB:
Utilizando a janela deblackman obtem-se:
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