Noções Fundamentais de PDS (Revisão)

APSI - Processamento de Sinal 1

J.P. Marques de Sá - Fac. Eng. Univ. do Porto, Portugal 2003

Processamento de Sinal

Conceitos, Métodos e Aplicações

Texto Tutorial da Disciplina: APSI - LEEC

J.P. Marques de Sá – [email protected] Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

© 2001 J.P. Marques de Sá



ÍNDICE 1 Noções Fundamentais de PDS (Revisão)................................................................................................................ 5

1.1 Sinais e Sistemas Discretos .............................................................................................................................. 5 1.1.1 Génese e Representação dos Sinais Discretos ............................................................................................... 5 1.1.2 Tipificação de Sistemas Discretos ............................................................................................................... 12

1.2 Transformadas ............................................................................................................................................... 19 1.2.1 Descrição nas Frequências de Sinais Contínuos.......................................................................................... 19 1.2.2 Descrição nas Frequências de Sinais Discretos ........................................................................................... 29 1.2.3 Amostragem ................................................................................................................................................. 32 1.2.4 Reconstrução de Sinal .................................................................................................................................. 41 1.2.5 Transformada de Fourier de Sinais Discretos .............................................................................................. 43 1.2.6 Transformada Discreta de Fourier ............................................................................................................... 54 1.2.7 Transformada em z....................................................................................................................................... 58

1.3 Processamento de Sinal com SLITs.............................................................................................................. 67 1.3.1 Resposta ....................................................................................................................................................... 67 1.3.2 Estabilidade de SLITs .................................................................................................................................. 73

1.4 Energia, Potência, Correlação e Autocorrelação ........................................................................................ 80 1.5 Bibliografia ..................................................................................................................................................... 89



Símbolos

x variável x* conjugado de x x(t) sinal contínuo x(n) sinal discreto X(Ω) Transformada de Fourier de sinais contínuos X(ω) Transformada de Fourier de sinais contínuos N número de amostras T período f frequência (Hz) fl frequência de corte inferior fc frequência de corte superior Ω frequência angular (= 2πf radianos) para sinais contínuos ω frequência angular (= 2πf radianos) para sinais discretos t(n) degrau de Heaviside, discreto

)(nδ impulso de Dirac, discreto sinc(x) seno cardinal de x (sin(x)/x) ⊗ operador de convolução → tende para ⇒ implica ⇔ em correspondência com ≡ definida por, equivalente a



Abreviaturas PDS Processamento Digital de Sinal sse se e só se dB decibel



1 Noções Fundamentais de PDS (Revisão)

1.1 Sinais e Sistemas Discretos

1.1.1 Génese e Representação dos Sinais Discretos

• Amostragem e quantificação de sinais contínuos (conversão A/D) para processamento automático.

• Sequências resultantes de modelos matemáticos de fenómenos reais (p. ex. modelo de crescimento de uma população: p(n+1) = kp(n)(1-p(n), k > 0 ).

• Sequências provenientes de dados reais (p. ex. temperatura máxima diária). Consideramos que cada valor discreto dista do seguinte do mesmo intervalo de tempo: período (taxa) de amostragem constante, Ts.

Ts: Período de amostragem (s)

ss T

f 1= : Frequência de amostragem (Hz) (uma amostra em cada Ts segundos)



Na análise harmónica de sinais discretos (ver Figura 1.1) usamos o conceito de frequência angular:

00 2 fπω = : Frequência angular (radianos)

x(n)-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

n

x(n)

Figura 1.1. Um seno discretizado com f0 / fs = 0.05.

+∞<<∞−== nfnfanTanxs

s ),2sin()sin()( 00 πω



Todos os sinais discretos se podem representar facilmente à custa de somas de impulsos de Dirac discretos:

≠=

=0001

)(nn

nδ

≠=

=−knkn

kn01

)(δ

Dado um sinal não causal x(n), estudamos, por vezes, a versão causal de x(n), x(n)u(n),

com

<≥

=0001

)(nn

nu , degrau de Heaviside



-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 x(n)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 5 10 15 20

n

x(n)

x(n)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 5 10 15 20

n

x(n)

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 x(n)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 5 10 15 20

n

x(n)

x(n)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 5 10 15 20

n

x(n)

Figura 1.2. Seno, onda quadrada e impulso de Dirac, com f0 / fs = 0.05, amostrados a fs = 0.5 Hz (esquerda) e fs =1 Hz (direita).



A discretização A/D de um sinal contínuo implica:

• Amostragem

• Quantificação Cada uma destas operações vai impor alterações no sinal. A amostragem é tratada em 1.2.3. Quantificação e Erro de Quantificação: Quantificação de x (n), em um de A+1 níveis de quantificação de amplitude ∆:

[ ]∆∈ Anxq ,0)( Supõe-se o passo de quantificação, ∆, constante. O erro de quantificação é, então:

2)()()(

2∆

≤−=≤∆

− nxnxne qq



A energia de um sinal discreto é:

∑∞

−∞=≡

nnxE 2)(

Dado que esta quantidade pode ser infinita, normalmente avaliamos a energia num intervalo finito [0, N]:

∑=

=N

nnxE

0

2)( ,

e calculamos a potência média:

∑=

=N

nnx

NP

0

2)(1

Dado um ruído de potência média Pn, define-se razão sinal-ruído:

nn PPdBSNR

PPSNR 10log10)(; ==



Supondo que o ruído de quantificação tem uma distribuição uniforme em [-∆/2, ∆/2], temos:

12

2∆=nP (variância da distribuição uniforme);

21012log10)(∆

=PdBSNR

Para uma sinusóide cobrindo [ ]∆A,0 , temos:

2

221

∆

=AP ,

logo, a relação sinal-ruído para o erro de quantificação é:

812log10)(

2

10AdBSNR =

P. ex. se usamos 8 bits de quantificação, temos A = 28 – 1 = 255, logo:

dBdBSNR 508

(255)12log10)(2x

10 ≅=



1.1.2 Tipificação de Sistemas Discretos

SistemaDiscreto

x(n) y(n) = h(x(n))

Figura 1.3. Um sistema de processamento de sinais discretos.

Sistemas Lineares:

• ))(())(())()(( 2121 nxhnxhnxnxh +=+ (aditividade)

• ))(())(( nxhanxah = (escalamento) Sistemas Invariantes no Tempo:

)())(( knyknxh −=− com ))(()( nxhny =



Sistemas Lineares Invariantes no Tempo (SLIT):

)()())()(( 22112211 knyaknyaknxaknxah −+−=−+−

com ))(()( 11 nxhny = e ))(()( 22 nxhny =

SistemasLineares

SistemasNão-Lineares

Linearidade

SistemasInvariantesno Tempo

SistemasVariantesno Tempo

Variância Temporal (Estacionaridade)

Sistemas LinearesInvariantes no Tempo

Figura 1.4. Classificação de sistemas



a -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

b -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

c -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

d -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Figura 1.5 Sistema h(x(n))

a Linear, invariante no tempo x(n) - 2x(n -1) b Linear, variante no tempo 2x(n)/n c Não-linear, invariante no tempo x2(n) d Não-linear, variante no tempo 2x2(n)/n



Fórmula Geral dos SLIT:

∑∑−

=

−

=−=−

1

0

1

0)()(

M

jj

N

ii jnybinxa 1.1

Propriedades dos SLIT:

Resposta de convolução:

∑∞

−∞=−≡⊗==

kknhkxnhnxnxhny )()()()())(()( ,

com ))(()( nhnh δ= , resposta impulsional do sistema. A figura seguinte ilustra graficamente a operação de convolução. Notar a reflexão da resposta impulsional imposta por h(n – k). P. ex., para o sinal causal da Figura 1.6, temos: y(2) = x(0)h(2) + x(1)h(1) + x(2)h(0) + ... Se os comprimentos do sinal e da resposta forem respectivamente N e M, o comprimento da saída é N + M – 1 (confrontar com Figura 1.6).



a

1

0

x(n)

n

b

1

0

h(n)

n

c

1

0

x(n)

n

d

1

0

x(n)

n

e

1

0

x(n)

n

f

1

0

y(n)

n

2

Figura 1.6. Sinal de entrada (a), resposta impulsional do sistema (b), fases da convolução (c: y(0), d: y(1), e: y(2)) e saída (f) de comprimento 3 + 3 – 1 .



Esta é a versão discreta da convolução para SLIT contínuo:

duuthuxthtxtxh ∫∞

∞−

−≡⊗= )()()()())((

Demonstração:

Trivial, tendo em conta que ∑∞

−∞=−=

kknkxnx )()()( δ

Notar:

• )()()()( nxnhnhnx ⊗=⊗ comutatividade ( logo, ))(())(( nhxnxh = )

• ∑∞

=−=

0)()())((

kknhkxnxh para sinais causais



Exemplo:

h(n) = [0.5 −0.2 0.1 0[ x(n): onda quadrada (causal) sinal de saída, y(n)

a

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 2 4

n

h(n)

b

00.20.40.60.8

11.2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

c

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

n

Figura 1.7. Uma resposta impulsional (a), um sinal de entrada (b) e respectiva saída (c).

y(1) = x(1)h(1-1) = 1 x 0.5 = 0.5 y(2) = x(1)h(2-1) + x(2)h(2-2) = 1 x (-0.2) + 1 x 0.5 = 0.3 y(3) = x(1)h(3-1) + x(2)h(3-2) + x(3)h(3-3) = 0.1 - 0.2 + 0.5 = 0.4



1.2 Transformadas

1.2.1 Descrição nas Frequências de Sinais Contínuos Seja x(t) um sinal contínuo e X(Ω) a Transformada de Fourier:

∫∫∞

∞−

Ω−∞

∞−

Ω =Ω⇔ΩΩ= dtetxXdeXtx tjtj )()()(21)(π 1.2

De: ∫∞

∞−

Ω−Ω=Ω dttjttxX )sin)(cos()( ,

decorre que:

• Funções pares ⇒ X(Ω) é real

• Funções ímpares ⇒ X(Ω) é imaginário Também se mostra facilmente que:

• )()()()( Ω+Ω⇔+ bYaXtbytax

• )()( 00 Ω⇔− Ω− Xettx tj atraso no tempo

• )()()()( Ω⊗Ω⇔ YXtytx • )()()()( ΩΩ⇔⊗ YXtytx



Espectros de Fourier importantes: a) Impulso rectangular

qa(t) Q(Ω)

Seno cardinal para a = 1

t+a-a

1/(2a)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.00 3.14 6.28 9.42 12.57

Figura 1.8. Impulso rectangular de área unitária e seu espectro.

)(sinc)sin(2

sin21)( a

aa

atdte

aQ

a

a

a

a

tj Ω=Ω

Ω=

ΩΩ

==Ω−−

Ω−∫ 1.3

Notar que sinc(0) = 1.

t = π/a

Q ≈ -2 /(3π)



Família de funções qa(t):

∫∫∞

∞− →

∞

∞−

→= )0()()(;1)(0

ϕϕa

aa dtttqdttq

Situação para a → 0: qa(t) → δ(t) (impulso de Dirac) ∫∞

∞−

=Ω⇒= 1)()0()()( Qdttt ϕϕδ

a = 0.5 -0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.00 3.14 6.28 9.42 12.57

a = 0.05

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.00 3.14 6.28 9.42 12.57

Figura 1.9. Espectro do impulso rectangular de área unitária para valores decrescentes de a.



Família de funções: 2a qa(t) A multiplicação por 2a mantém unitária a amplitude dos impulsos. Situação a → ∞:

a = 100 -100

-50

0

50

100

150

200

250

0.00 0.03 0.06 0.09 0.13 0.16 0.19 0.22 0.25 0.28

a = 500 -400-200

020040060080010001200

0.00 0.03 0.06 0.09 0.13 0.16 0.19 0.22 0.25 0.28

Figura 1.10. Espectro do impulso rectangular de amplitude unitária para valores crescentes de a.

Espectro exibe lobos com amplitudes crescentes (fenómeno de Gibbs), devido às descontinuidades. Amplitude do primeiro lobo: ∞→−≈ π3/4a



b) Função de Gauss

22

22

2

2

)(21)(

σσ

σσπ

Ω−−

=Ω⇔= eGetgt

Situação para σ → 0:

1)();()( →Ω→ σσ δ Gttg Seja:

22

22

2

2

2)()(σ

σσ

σ σπΩ

−−=Ω⇔= eGetg

t

Situação para σ → ∞:

)()(;1)( Ω→Ω→ δσσ Gtg

(dualidade tempo-frequência)



c) Suavização de descontinuidades usando o impulso de Gauss

Seja: 2

22

)sin(2)()(2σ

σ

Ω−

ΩΩ

⇔⊗ eatqtag a Escolhendo, p.ex. σ = a/10 o fenómeno de Gibbs é atenuado, os lobos são decrescentes, obtendo-se então convergência para o impulso de Dirac nas frequências. Situação σ = a/10 e a → ∞:

a = 100 -100

-50

0

50

100

150

200

250

0.00 0.06 0.13 0.19 0.25 0.31 0.38 0.44 0.50 0.57

a = 500 -200

0

200

400

600

800

1000

1200

0.00 0.06 0.13 0.19 0.25 0.31 0.38 0.44 0.50 0.57

Figura 1.11. Convergência (nas frequências) do impulso rectangular de amplitude unitária, suavizado por uma função de Gauss, para o impulso de Dirac.



d) Espectro de sinusóides

x(t) = sin (wt)

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

t

x(t)

X(Ω)

Ω+w-w

j

1/21/2

Figura 1.12. Um seno e o seu espectro.

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

Ω− Ω−Ω==Ω dttjtwtdtewtX tj )sin)(cossin()sin()(

Resultado semelhante para cosenos, originando impulsos de Dirac reais. Sugestão: Efectuar uma análise detalhada do resultado anterior, usando uma função limitada no tempo, q(t).

Ímpar → 0 Só ≠ 0 para Ω = ±w



e) Pente de Dirac

∑∑∞

−∞=

Ω∞

−∞==Ω⇔−=

n

nTj

ns

sePnTttp )()()( δ 1.4

t

p(t)

1

0 +Ts-Ts +2Ts +3Ts Figura 1.13. Pente de Dirac

Demonstração:

• 1)()( =Ω⇔ Ctδ • Pela propriedade do atraso temporal, nkjenkt Ω−⇔− )(δ



Propriedades da T. Fourier contínua:

)()()()( Ω+Ω⇔+ bYaXtbytax Linearidade

)(2)( Ω−⇔ xtX π Dualidade

0,1)( >

Ω

⇔ aa

Xa

atx Escalamento

)()( 00 Ω⇔− Ω− Xettx tj Atraso no tempo

)()( 00 Ω−Ω⇔ Xetx tjω Atraso na frequência

)()()()( Ω⊗Ω⇔ YXtytx Convolução na frequência

)()()()( ΩΩ⇔⊗ YXtytx Convolução no tempo

)()()()( ΩΩ⇔ Xjtx nn Diferenciação

∫ ∞−Ω+Ω

Ω⇔

t XXj

duux )()0()(1)( δπ Integração



[ ])()(21)cos()( 000 Ω−Ω+Ω+Ω⇔ XXttx ω

[ ])()(2

)sin()( 000 Ω−Ω−Ω+Ω⇔ XXjttx ω Modulação

∫ ∫∞∞−

∞∞−

ΩΩ⇔ ωπ

dYXdttytx )()(21)()( * Teorema de Parseval

Algumas Transformadas Úteis:

)(tδ 1

1 )(2 Ωπδ

u(t) )(1Ω+

Ωπδ

j

sgn(t) Ωj2

cos(ω0t) [ ])()( 00 Ω−Ω+Ω+Ω δδπ

qa(t) aa

ΩΩsin

0),( >− atue at Ω+ ja1



1.2.2 Descrição nas Frequências de Sinais Discretos Consideremos a descrição de sinusóides em tempo discreto, tomando, sem perda de generalidade, Ts = 1 (fs = 1):

∞<<∞−+= nnanx ),cos()( θω Verifica-se facilmente que:

• A sinusóide só é periódica, i.e., x(n + k) = x(n), sse πω 2/=f for um número racional.

• A maior frequência de oscilação de uma sinusóide discreta ocorre para πω ±= (ou 2/1±=f )



0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

n

f = 0

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

n

f = 0.125

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

n

f = 0.25

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

n

f = 0.5

Figura 1.14. Sinusóides discretas para várias frequências de amostragem.



• Sinusóides cujas frequências angulares diferem de um múltiplo inteiro de 2π (equivalentemente, as frequências absolutas diferem de um número inteiro) são idênticas.

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

n

f1 = 0.125

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

n

f 2 = − 0.875

Figura 1.15. Sinusóides discretas cujas frequências diferem de um inteiro: f 2 = f1 − 1 Para sinais discretos desejamos, então, uma descrição nas frequências do tipo:

ωωπ

π

ω deXnx nj∫−

= )()( 1.5



1.2.3 Amostragem Seja x(t) um sinal contínuo e x(n) uma sua versão discreta (com Ts = 1). Usando o pente de Dirac (1.4) e aplicando a transformada inversa (1.2), temos:

∫ ∑∞

∞−

∞

−∞=

Ω ΩΩ=⊗= deXtxtpnxn

nj)(21)()()(π

Dividindo o intervalo de integração em sub-intervalos de largura 2π, temos:

∑ ∫ ∑∞

−∞=

+

−

Ω∞

−∞=ΩΩ=

m

m

m

nj

ndeXnx

π

ππ

)12(

)12(

)(21)(

As sinusóides discretas com atrasos múltiplos de 2π são idênticas, logo podemos rescrever a expressão anterior como:

∫ ∑

+=

∞

−∞=

π

π

ω ωπωπ

denXnx nj

n)2(

21)( ,

com a representação nas frequências [ ]ππω ,−∈ em vez de ] [∞∞−∈Ω , .



Portanto:

∫=π

π

ω ωωπ

deXnx nj)(21)(

com:

∑∞

−∞=+=

nnXX )2()( πωω

Obtivemos uma descrição nas frequências como desejávamos (1.5), sendo: A resposta nas frequências de um sinal discreto é a soma de um número infinito de translações da resposta nas frequências do respectivo sinal contínuo original, para múltiplos da frequência de amostragem. Em geral, para Ts ≠ 1:

∫=s

s

sT

T

nTjss deX

TnTx

/

/)(

2)(

π

π

ω ωωπ

∑∞

−∞=+=

n ss TnX

TX )2(1)( πωω



Para sinais discretos, o par de transformadas de Fourier é:

ss

s

s nTjs

n

T

T

nTjss enTxXdeX

TnTx ω

π

π

ω ωωωπ

−∞

−∞=∑∫ =⇔= )()()(

2)(

/

/ 1.6

Dada a periodicidade de X(ω), basta representar no intervalo [0, ωs[ ([0, 2π[ para Ts = 1 ou, alternativamente, [-π, π[).

Síntese Análise



Notas: 1. Aloctonicidade ("Aliasing") Da sobreposição de translações de espectros, resulta o critério de Nyquist de não distorção espectral do sinal discretizado:

2/sh ff <

com fh a maior frequência do espectro do sinal contínuo.

f+fh-fh

|X(f)|

a) Espectro original do sinal contínuo

0 +fs-fs +2fs

f

|X(f)|

+fh

b) Espectro do sinal discreto sem aloctonicidade

0 +fs-fs +2fs

f

|X(f)|

+fh +3fs

c) Espectro do sinal discreto com aloctonicidade

Figura 1.16. Espectro de um sinal contínuo (a) e espectro do sinal discretizado, satisfazendo (b) ou não (c) o critério de Nyquist. Na prática todos os sinais ao serem discretizados sofrem distorção devido à aloctonicidade. (Porquê?)



2. Espectro do impulso rectangular discreto. Seja: Ts = 0.2; a = 0.5 (2π / Ts = 10 π; π /a = 2 π).

t+0.5-0.5

1

q(t)

Figura 1.17. Um impulso rectangular de largura 2a = 1, amostrado com período Ts = 0.2.

(Alternativamente podemos efectuar o estudo considerando o período de amostragem unitário, Ts = 1, e 2a = 5. As conclusões, a menos de um factor de escala nas frequências, são as mesmas.)



-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-18.

8-1

5.7

-12.

6-9

.4-6

.3-3

.1 0.0

3.1

6.3

9.4

12.6

15.7

18.8

22.0

25.1

28.3

31.4

34.6

37.7

40.8

44.0

47.1

50.3

53.4

56.5

59.7

Figura 1.18. Soma de translações do espectro do impulso rectangular, de nωs com n∈ [-4, 4].

π /a =2π



Seja o impulso rectangular com N amostras centradas, N ímpar, de amplitude 1/N (Ts = 1).

t

1/N

q(t)

(N-1)/2-(N-1)/2

Usando 1.4, temos:

ω

ωωωωω

j

jNjNj

N

Nn

nj

eeee

Ne

NX

−

−−

−−

−

−−=

−

−

−== ∑

111)(

21

21

geométricaprogressão

2/)1(

2/)1(

Multiplicando ambos os termos por 2/ωje , obtém-se:

)sin()sin(1

)2/sin()2/sin(11)(

22

22

ffN

NN

Nee

eeN

Xjj

NjNj

ππ

ωω

ωωω

ωω

==

−

−=

−

−



-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.0 2.5 5.0 7.5 10.1 12.6 15.1 17.6 20.1 22.6 25.1 27.6 30.2 32.7

Figura 1.19. Detalhe da figura anterior com o espectro teórico sobreposto (a vermelho).

ω = ω s/5 = 10π/5 = 6.28



Notar:

• O espectro de um impulso rectangular discreto é semelhante a um seno cardinal (chama-se função de Dirichlet). A diferença deve-se à aloctonicidade.

• Os zeros do espectro ocorrem para frequência múltiplas de 1/N. Em particular, o primeiro zero ocorre a fl = 1/N.

Para o exemplo anterior, temos:

πω 211/ =⇒=⇒= llsl fN

ff

Seja Xfs(f) o espectro de x(n) para a frequência de amostragem fs. Então:

)()/( 1 fXffX sfs = Usaremos, então, sempre sem perda de generalidade, fs = 1 (frequência de amostragem normalizada).



1.2.4 Reconstrução de Sinal Dado um sinal x(n) qual o sinal x(t) de que proveio? Supondo o critério de Nyquist satisfeito, a reconstrução de x(t) passa por efectuar a filtragem das réplicas espectrais (ver Figura 1.16) com o interpolador ideal:

+fh-fh

1

H(f)

f

Figura 1.20. Interpolador (filtro passa-baixo) ideal.

tftf

dethfHh

hf

f

tjh

hπ

ππ 2

)2sin(21)()( ∫

−

Ω =Ω=⇔ 1.7

Logo:

∑∞

−∞=−=⊗⇔

nd nthnxthtxfHfX )()()()()()(

com )(txd versão contínua do sinal discreto x(n).



Se a interpolação é realizada à máxima frequência, fh = fs/2, temos a reconstrução:

∑∞

−∞= −−

=⊗=n

d ntntnxthtxtx)(

)(sin)()()()(π

π

Exemplo:

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-2.6 -1.8 -1 -0.2 0.6 1.4 2.2

Figura 1.21. Reconstrução de um coseno discretizado. São mostradas apenas cinco funções de interpolação h(t - n), n∈[-2, 2]. Na prática, devido à aloctonicidade há sempre perda de informação, logo nunca é possível recuperar inteiramente o sinal original.



1.2.5 Transformada de Fourier de Sinais Discretos Propriedades:

)()()()( 2121 ωω bXaXnbxnax +⇔+ Linearidade )()( ωω Xeknx kj−⇔− Atraso no tempo

)()( 00 ωωω −⇔ Xnxe nj Atraso na frequência

)()( ω−⇔− Xnx Reflexão

)(||

1)(a

Xa

anx ω⇔ Escalamento

)()()()( ωω HXnhnx ⇔⊗ Convolução )()()()()()( ωωω −=⇔−⊗= YXSlylxlr xyxy Correlação

)()( ωxxxx Slr ⇔ T. Wiener-Khintchine

∫−

−⇔π

πλλωλ

πdYXnynx )()(

21)()(

Multiplicação

k

kkk

dXdjnxnω

ω)()()( ⇔ Diferenciação

)(21)(

21cos)( 000 ωωωωω −++⇔ XXnnx Modulação

)()( ** ω−⇔ Xnx Conjugação

∫∑ −

∞

−∞==

ππ

ωωωπ

dYXnynxn

)()(21)()( **

T. Parseval



Simetria:

Par

Ímpar

Ímpar

Par

Ímpar

Par

Par

ÍmparReal

Imaginário

Real

Imaginário

Tempo Frequência



Algumas transformadas de Fourier úteis: Sinais aperiódicos

1)()()( =⇔= ωδ Xnnx

)2/sin(

)21sin(

)(0

)(ω

ωω

+=⇔

>≤

=L

aXLnLna

nx

≤≤<

=⇔=πωω

ωωω

πω

c

cc Xn

nnx

01

)(sin

)(

1,1

1)(000)( <

−=⇔

<≥

=−

aae

Xnnanx

j

n

ωω

Sinais periódicos

))()((2

)(cos)( 000 ωωδωωδωω ++−=⇔=aXnanx

))()((2

)(sin)( 000 ωωδωωδωω ++−=⇔=jaXnanx

[ ] ∑∑∑−

=

−

=

−

==−=⇔=

1

0

)2(1-N

0k,0

NperíodoFourier,dediscretasérie

1

0

)2()(1,)2()()(

N

n

nkN

jkk

N

k

nkN

jk enx

Nck

NcXecnx

π

π

ππωδω

1.8



Exemplos:

a) SLIT com resposta impulsional:

)1()()( −−= nnnh δδ 1

1

0n

Este exemplo simples permite ilustrar vários aspectos importantes. Vejamos:

)1()()()( −−=⊗ nxnxnhnx Logo, h(n) corresponde à resposta impulsional de um sistema de cálculo de diferenças finitas.

ωωω ω sin)cos1(1)( jeX j +−=−= −

22 )(sin)cos1()( ωωω +−=X

−=∠

ωωω

cos1sin)( arctgX



O sistema proporciona uma aproximação da derivada do sinal.

0

1

2

3

4

-6.28 -5.03 -3.77 -2.51 -1.26 0.00 1.26 2.51 3.77 5.03 6.28 7.54 8.80

π

|X(ω)|

-2.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

-6.28 -5.03 -3.77 -2.51 -1.26 0.00 1.26 2.51 3.77 5.03 6.28

Figura 1.22. Amplitude (esquerda) e fase "enrolada" (direita) da resposta de um sistema de diferenças finitas. A resposta correspondente à derivada está indicada a tracejado. A fase é linear. Usando a expressão acima com arctg obtém-se a característica de fase "enrolada" da Figura 1.21, exibindo descontinuidades.



Frequentemente, uma expressão polar é mais elucidativa.

ωωωωωω

ω sin2)(1)( 2222jjjjj jeeeeeX

−−−− =−=−= A fase é, de facto, linear:

22)(

)22

(2 ωπω

ωπω

−=∠→=−−

Xejejj

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

-6.28 -5.03 -3.77 -2.51 -1.26 0.00 1.26 2.51 3.77 5.03 6.28

Figura 1.23. Fase ("desenrolada") da resposta de um sistema de diferenças finitas.

Notar o atraso inicial de π/2, correspondente ao atraso de "meia amostra" para uma versão centrada da resposta, com o comprimento de N = 2 amostras. Este atraso é inconveniente do ponto de vista interpretativo e computacional. Prefere-se, assim, um valor ímpar de N.

π/2



b) SLIT com resposta impulsional:

)1()1()( −−+= nnnh δδ 1

1

0n

- 1

ωω ωω sin2)( =−= − jj eeX

0

1

2

3

4

-6.28 -5.03 -3.77 -2.51 -1.26 0.00 1.26 2.51 3.77 5.03 6.28 7.54 8.80

π

|X(ω)|

Figura 1.24. Resposta em amplitude de δ(n+1) - δ (n -1).

• Versão centrada, não causal: fase nula. • Versão causal: fase = ω.



c) 1,1

1)(000)( <

−=⇔

<≥

=−

aae

Xnnanx

j

n

ωω

ωωω

ω sin)cos1(1

11)(

jaaaeX

j +−=

−=

−

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

Figura 1.25. Decaimento exponencial an com a = 0.8

[ ] 2/122 )sin()cos1()(−

+−= ωωω aaX

−−

=∠ω

ωωcos1sin)(

aaarctgX



0

1

2

3

4

5

6

0.00

0.63

1.26

1.88

2.51

3.14

3.77

4.40

5.03

5.65

6.28

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0.00

0.63

1.26

1.88

2.51

3.14

3.77

4.40

5.03

5.65

6.28

Figura 1.26. Amplitude e fase do decaimento exponencial acima.

d) 1,)( <= aanx n

Seja: 1;000)(;

000)( 21 <

≥<

=

<≥

=−

annanx

nnanx

nn

Então: 2

2

cos211)(

aaaX

+−

−=

ωω



0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

-10 -6 -2 2 6 0

1

2

3

4

56

7

8

9

10

0.00

0.47

0.94

1.41

1.88

2.36

2.83

3.30

3.77

4.24

4.71

5.18

5.65

6.13

Figura 1.27. Amplitude e fase do decaimento exponencial simétrico com a = 0.8.

e)

−>−≤−

=101/1

)(NnNnNn

nx , impulso triangular de 2N+1 amostras.

0

1

2

3

4

5

6

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Figura 1.28. Impulso triangular com 2N+1=11 amostras (N = 5).



O impulso triangular corresponde à convolução de 2 impulsos rectangulares de comprimento N:

2

2 )2/sin()2/sin(1)()()()(

=→⊗=

ωωω N

NXnqnqnx

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.00 0.63 1.26 1.88 2.51 3.14

Figura 1.29. Amplitude espectral do impulso triangular (cheio) e rectangular (tracejado).

π/2.5



1.2.6 Transformada Discreta de Fourier Seja a transformada de Fourier de um sinal discreto (1.6) com frequência normalizada:

nj

nenxX ωω −

∞

−∞=∑= )()(

Suponhamos que amostramos X(ω) com espaçamento Nπ2 :

[ ]1,0,)()2( /2 −∈= −∞

−∞=∑ Nkenx

NkX Nnkj

n

ππ

Subdividindo em intervalos de largura 2π, cada com N termos, temos:

∑ ∑∞

−∞=

−++

==

l

NnkjNlN

lNnenx

NkX /2

1)()2( ππ

Mudando n em n – lN e trocando a ordem dos somatórios, obtém-se:

∑ ∑−

=

−∞

−∞=

−=

1

0

/2)()2(N

n

Nnkj

lelNnx

NkX ππ



Logo, )2(N

kX π representa, de facto, a série de Fourier do sinal periódico:

∑∞

−∞=−=

lp lNnxnx )()(

Notar: • Discreto no tempo ⇔ periódico nas frequências. • Discreto nas frequências ⇔ periódico no tempo. • Discreto e periódico no tempo ⇔ discreto e periódico nas frequências. Expandindo xp(n) em série de Fourier (1.8), temos:

∑∑−

=

−−

===

1

0

/21

0

/2 )(1com)(N

n

Nnkjpk

N

k

Nnkjkp enx

Ncecnx ππ

Comparando com resultado anterior, verifica-se que:

[ ]∑−

=−∈

=

=

1

0

/2 1,0,21)(;21 N

k

Nnkjpk Nne

NkX

Nnx

NkX

Nc πππ



Transformada Discreta de Fourier (mesmas propriedades da transformada de Fourier para sinais discretos):

( ) ( )44444 344444 2144444 344444 21

IDFT

N

n

nkN

j

pp

DFT

N

k

nkN

j

pp enxkXekXN

nx ∑∑−

=

−−

=

=⇔=1

0

21

0

2

)(1)(ππ

Notar: • N deverá ser maior que o comprimento de x(n), para que xp(n) corresponda a translações não sobrepostas de x(n),

caso contrário temos aloctonicidade no tempo. • Aumentando N, através da junção de amostras de valor nulo a x(n), aumentamos a resolução na frequência, 2π/N. • A avaliação de Xp(k) só necessita de um período de xp(n). Exemplo: Considere o seguinte sinal com período de 1 ms: x(0) = 0.5, x(1) = 1, x(2) = 0.5, x(n) = 0 para n > 2. Calcule a DFT do sinal para um espaçamento nas frequências de 100 Hz. Dado que fs = 1 KHz, o espaçamento de 100 Hz corresponde a uma resolução de N = 1/0.1 = 10 pontos em 2π. Logo:

∑=

−=

9

0

102

)()(n

nkjenxkX

π



Portanto:

( ) ( ) ( ) ))5/cos(25.01()2()1()0()( x5/25/5/ ππππ keexexxkX kjkjkj +=++= −−−

Neste caso, dado que o sinal é simétrico em torno da amostra central, a transformada é real e simétrica a menos do factor de atraso e− jkπ/5. A amplitude da DFT é mostrada na figura seguinte.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0.00 0.63 1.26 1.88 2.51 3.14 3.77 4.40 5.03 5.65

|X(ω)|

π ω

Figura 1.30

Há vários algoritmos de cálculo rápido da DFT/IDFT, denominados FFT ("Fast Fourier Transform").



1.2.7 Transformada em z Definição: De 1.6 temos a generalização:

n

nznxzX −

∞

−∞=∑= )()( , z ∈C 1.9

com X(z) definida em toda a região do espaço complexo onde a série converge. Seja a representação polar:

njn

nrez ernxzX j

θθ

−−∞

−∞== ∑= )()(

Na região de convergência de X(z), devemos ter | X(z)| < ∞. Mas:

∑∑∑∞

−∞=

−∞

−∞=

−−−−∞

−∞==≤=

n

n

n

njnnjn

nrnxernxernxzX )()()()( θθ

Logo, a sequência nrnx −)( deve ser absolutamente somável.



Note-se, em particular, que se a série converge no círculo unitário, então:

)()( ωω XeX j = Vantagens da generalização: • Facilita o cálculo de transformadas. • Permite uma fácil interpretação geométrica da resposta de SLITs. • Possibilita estudar a resposta para outros regimes de entrada para além de sinusóides, p.ex. .ωjaez = Exemplo:

∑∞

=

−=→=0

1)()()()(n

nn azzXnuanx

A série geométrica infinita converge para 11

1−− az

sse |z| > a.

Indicamos:

111)(

−> −=

azzX az



Propriedades:

)()()()( 2121 zbXzaXnbxnax +⇔+ Linearidade )()( zXzknx k−⇔− Atraso no tempo

)()()()( zHzXnhnx ⇔⊗ Convolução )()()()()()( 1−=⇔−⊗= zYzXzRkykxkr xyxy Correlação

∫ −⇔ λλλ

λπ

dzYXj

nynx 1)()(21)()( Multiplicação

dzzdXznnx )()( −⇔ Diferenciação

)()( 1zaXnxa n −⇔ Escalamento

)()( 1−⇔− zXnx Reflexão

)()( *** zXnx ⇔ Conjugação )(lim)0(causal)(

||zXxnx

z ∞→=⇒ Valor inicial

)()1(lim)(causal)(1

zXzxnxz

−=∞⇒→

Valor final

∑= −

=⇔=n

izX

zzzYixny

0)(

1)()()( , |z| > max1, raio de conv. X(z)

xp(n) periódica, xp(n) = xp(n+N) ⇒ )(1

)( zXz

zzXN

N

p−

= , |z|>1

As regiões de convergência deverão ser indicadas. P. ex.., para o escalamento temos: )||,|(|

1),( )()(

qapaqp zaXzX −⇒



Algumas transformadas úteis:

x(n) X(z) Região de Convergência

)(nδ 1 Todo o z

u(n) 111

−− z |z-1| < 1

)(nua n 111

−− az |z-1| < |a|

)(nuna n 21

1

)1( −

−

− azaz |z-1| < |a|

)1( −−− nua n 111

−− az |z-1| < |a|

)()(cos 0 nunω 2

01

01

cos21cos1

−−

−

+−

−

zzz

ωω

|z-1| < 1

)()(sin 0 nunω 2

01

01

cos21sin1

−−

−

+−

−

zzz

ωω

|z-1| < 1

Notar, p. ex.:

ωωω

jez

n

aeazXanua

j −=

− −=

−=⇒<

11

11)(1||),(

1



Transformada Inversa:

∫ −=c

n dzzzXj

nx 1)(21)(π

,

sendo c um contorno qualquer na região de convergência. Frequentemente, determina-se a transformada em z recorrendo à expansão em fracções e tendo em conta as propriedades e transformadas conhecidas. Exemplo:

De )(nua n ⇔ 11

1−− az

, deduz-se pela regra de diferenciação:

)(nunan ⇔ 21

1

1 )1(11

−

−

− −=

−−

azaz

azdzdz



Relação da DFT com a transformada em z:

∑−

=

−

= =1

0

2

)()( 2 N

n

Njk

ez enxzX Njk

ππ

Logo:

= N

jkp eXkX

π2

)(

Os coeficientes da DFT são os valores de X(z) avaliados em N pontos igualmente distribuídos no círculo unitário. Exemplo: Decaimento exponencial, )()( nuanx n= , com a = 0.5.



a

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0.00 1.57 3.14 4.71 6.28

ω

|X (ω)|

b0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

0.00 1.57 3.14 4.71 6.28

ω

|X (ω)|

c-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.00 1.57 3.14 4.71 6.28ω

argX (ω)

d -0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.00 1.57 3.14 4.71 6.28

ω

argX (ω)

Figura 1.31. Amplitude (acima) e fase (abaixo) do decaimento exponencial com a=0.5. À esquerda, usando a transformada de Fourier contínua. À direita, usando a DFT com N = 8, calculada para os primeiros N valores de x(n).



0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1.200

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16n

x (n )

0.000

0.001

0.010

0.100

1.0001 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

n

logx (n )

Figura 1.32. Comparação entre a transformada inversa da DFT anterior (preto) e o sinal original (vermelho). Notar a diferença na escala logarítmica, abaixo.



0

0.5

1

1.5

2

2.5

0.00 1.57 3.14 4.71 6.28

ω

|X (ω)|

Figura 1.33. Amplitude da DFT dos 8 primeiros pontos do decaimento exponencial, usando N = 32. Notar a melhor resolução nas frequências (comparar com a Figura 1.30a).



1.3 Processamento de Sinal com SLITs

1.3.1 Resposta

Dado um SLIT (1.1):

∑∑−

=

−

=−=−

1

0

1

0)()(

M

jj

N

ii jnybinxa ou

44 344 214434421recursivaparte

1

1 0recursivanãoparte

1

0 0)()()( ∑∑

−

=

−

=−−−=

M

j

jN

i

i jnybb

inxba

ny

Normalmente considera-se b0 unitário:

z-1 z-1 z-1. . .

Σ

z-1z-1z-1

. . .

x(n) x(n-1) x(n-2) x(n-N+1)

y(n)

y(n-1)y(n-2)y(n-M+1)

. . .

. . .

a0 a1 a2 aN-1

-b1-b2-bM-1

Figura 1.34. Síntese canónica de um SLIT (supõe-se b0 unitário).



Temos:

∑∑−

=

−−

=

− +=1

1

1

0)()()(

M

j

jj

N

i

ii zYbzYzXa

ou

+= ∑∑

−

=

−−

=

−1

1

1

01)()(

M

j

jj

N

i

ii zbzYzazX

Logo, a resposta do sistema no domínio z, é:

)()(

1)()()(

1

1

1

0

zDzN

zb

za

zXzYzH

M

j

jj

N

i

ii

=+

==

∑

∑−

=

−

−

=

−

• Zeros do numerador: zeros da resposta em frequência. • Zeros do denominador: polos da resposta em frequência. • Polinómios com coeficientes reais: zeros e polos são reais ou complexos conjugados.



Zeros (zeros de N(z))

Polos (zeros de D(z))

e jω

x

xRe

Im

Figura 1.35. Função de transferência no domínio z com zeros e polos complexos conjugados.

Dado que com coeficientes reais os polos e zeros ou são reais ou complexos conjugados, basta fazer a representação no semi-círculo unitário (superior). Expressão de H(z), em pólos e zeros:

∏

∏−

=

−

−

=

−

−

−=

1

1

1

1

1

1

0

)1(

)1()(

M

jj

N

ii

zz

zzazH



Exemplos: a) (Ver 'Exemplo a' em 1.2.5)

)1()()( −−= nnnh δδ

11)( −−= zzH → zero em 1.

e jω

lRe

Im

A característica de amplitude do sistema é dada pelo comprimento l da corda que une o ponto do círculo unitário ao zero:

22 )(sin)cos1()( ωωω +−== lH b) (Ver 'Exemplo c' em 1.2.5)

)1()( −−−= nuanh n



→−

=−11

1)(az

zH polo em 1/a

e jω

lRe

Im

x

A característica de amplitude do sistema é dada pelo inverso do comprimento l da corda que une o ponto do círculo unitário ao polo:

22 )sin()cos1(

11)(ωω

ωaal

H+−

==



Sistema só com zeros:

)1()1()()()( 110

1

0+−++−+=−= −

−

=∑ Nnxanxanxainxany N

N

ii K

Sistema de Média Movente (MA)

• Resposta impulsional de comprimento finito, N. • Fase linear

Sistema só com pólos:

)1()1()()()()( 1

1

1+−++−+=−+= ∑

−

=Mnynybnxjnybnxny

M

jj K

Sistema Auto-Regressivo (AR)

• Resposta impulsional de comprimento, frequentemente, infinito. • Fase, frequentemente, não-linear.

Sistema com pólos e zeros: ARMA.



1.3.2 Estabilidade de SLITs Para um sistema de entrada limitada gerar uma saída também limitada, a resposta impulsional h(n) deve obedecer à condição necessária e suficiente de estabilidade:

∑∞

−∞=∞<

nnh |)(|

Mas:

∑∑∞

−∞=

−∞

−∞=

− =≤n

n

n

n znhznhzH )()()(

No círculo unitário, temos:

∑∞

−∞=≤

nnhzH )()(

Logo o sistema é estável se a região de convergência contiver o círculo unitário. O inverso é também verdadeiro. Um SLIT causal tem a sua região de convergência em z-1 o interior do círculo unitário (ver u(n)), logo: Um SLIT causal é estável sse todos os seus pólos estão dentro do círculo unitário.



Exemplos:

a) 11

1)(−−

=az

zH

a h(n) |H(ω)|

0.5

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.201 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0.00 0.79 1.57 2.36 3.14 3.93 4.71 5.50 6.28

−0.5

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0.00 0.79 1.57 2.36 3.14 3.93 4.71 5.50 6.28



0.95

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

0

5

10

15

20

25

0.00 0.79 1.57 2.36 3.14 3.93 4.71 5.50 6.28

−0.95

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

0

5

10

15

20

25

0.00 0.79 1.57 2.36 3.14 3.93 4.71 5.50 6.28



1

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

0

5E+14

1E+15

1.5E+15

2E+15

2.5E+15

3E+15

3.5E+15

4E+15

4.5E+15

0.00 0.79 1.57 2.36 3.14 3.93 4.71 5.50 6.28

−1

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

0

1E+15

2E+15

3E+15

4E+15

5E+15

6E+15

7E+15

8E+15

9E+15

0.00 0.79 1.57 2.36 3.14 3.93 4.71 5.50 6.28

Figura 1.36. Resposta impulsional e amplitude espectral do decaimento exponencial causal para vários valores de a.



b)

2111)(

−− ++=

bzazzH

Sejam 0

10 *

1 , ωω jj rezrez −== os pólos conjugados de H(z). Temos:

2210

11 )cos2(11

)1)(1(1)(

00 −−−−− +−=

−−=

zrzrzrezrezH

jj ωωω

A resposta impulsional pode, então, ser iterativamente calculada, como:

)2()1()()( −−−−= nbhnahnnh δ ,

com

==

20cos2

rbra ω

Por outro lado, decompondo em fracções, temos:

11 00 11)(

−−− −+

−=

zreB

zreAzH

jj ωω,



com

−=

=⇒

=+−=+

−−−

0

01

sin2

sin20)(

10

0

00

ω

ωω

ω

ωω

jeB

jeA

BeAerzBA

j

j

jj

Portanto: ( ) ( ) [ ]0

0

00 sin)1(sin

sin2sin2)(

00

00

ωω

ωω

ωω

ωω +

=−=−

− nr

jere

jerenh n

jnjjnj

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

1 5 9 13 17 21

Figura 1.37. Resposta impulsional do sistema de ressonância digital para r = 0.9123 e ω0 = 0.8 (a = −1.27; b = 0.8323).



É possível mostrar que: (Exemplo)

• Frequência de ressonância: )cos2

1(cos 0

21 ωω

rr

r+

= − (0.127)

• Largura de banda (3 dB): )1(2 r−≈∆ω (0.175)

• Ganho para ωr: )2cos(21)1( 02 ωrrr −+− ( 8.29)

Figura 1.38. Resposta em amplitude para o exemplo anterior.



1.4 Energia, Potência, Correlação e Autocorrelação

1 - Vimos que a energia de um sinal discreto é dada por:

∑∞

−∞==

nnxE 2)(

Rescrevendo:

∑ ∫∑∞

−∞=−

−∞

−∞=

==

n

nj

ndeXnxnxnxE π

πω ωω

π)(

21)()()( **

Trocando a ordem de integração e soma, obtém-se:

∫ ∑−

∞

−∞=

−

=

π

πω ωω

πdenxXE

n

nj)()(21 *

⇒ ∫−=ππ

ωωπ

dXE 2|)(|21 (relação de Parseval)

A quantidade 2)()( ωω XS xx = é chamada densidade espectral de energia de x(n). Para sinais reais, )()(* ωω −= XX , logo: )()()()( ωωωω −=⇒=− xxxx SSXX i.e., a densidade espectral de energia é uma função par, pelo que basta estudá-la no intervalo [0, π].



2 - Potência média de um sinal numa janela de −N a N:

NEN

P12

1lim+

=

sendo EN a energia numa janela de −N a N. • Sinal de energia: sinal com energia finita • Sinal de potência: sinal com potência finita 3 - Correlação cruzada de dois sinais discretos:

∑∞

−∞=±±=−=

nxy llnynxlr K,2,1,0),()()( (sinais de energia finita)

Facilmente se conclui que:

)()( lrlr yxxy −= trocando x com y obtém-se a mesma correlação se reflectirmos em torno de l = 0. )()()( lxlylryx −⊗= relação com a convolução

A figura seguinte ilustra graficamente a operação de correlação, usando os sinais da Figura 1.6. Notar que não existe a reflexão da resposta impulsional como na convolução. O comprimento da correlação é também N + M – 1 (como na Figura 1.6).



a

1

0

x(n)

n

y(n)

b

1

0

x(n)

n

c

1

0

x(n)

n

d

1

0

x(n)

n

e

1

0

x(n)

n

f

1

0

r(l)

l

2

-3 Figura 1.39. Fases da correlação com sinal y(n) avançado (a: r(-3) e usa y(n+3); b: r(-2) e usa y(n+2)), y(n) alinhado temporalmente com x(n) (c) e y(n) atrasado (d: r(1); e: r(2)), e saída (f) de comprimento 3 + 3 – 1 .



4 – Autocorrelação (correlação de um sinal consigo próprio):

∑∞

−∞=±±=−=

nxx llnxnxlr K,2,1,0),()()(

As versões limitadas no tempo dos sinais em [0, N – 1] são:

∑−−

=−=

1)()()(

kN

inxy lnynxlr

∑−−

=−=

1||)()()(

kN

inxx lnxnxlr

com

<==≥==

0para,00para0,

llkilkli



Propriedades: 1 - De )()( lrlr yxxy −= resulta )()( lrlr xxxx −= , i.e. a autocorrelação é sempre uma função par.

a

1

0

x(n)

n

x(n)

b

1

0

x(n)

n

c

1

0

x(n)

n

d

1

0

x(n)

n

e

1

0

x(n)

n

f

1

0

r(l)

l

2

-3 Figura 1.40. Sucessivas fases da autocorrelação de um sinal assimétrico. A autocorrelação, f, é sempre simétrica. 2 - Seja a combinação linear de dois sinais de energia:

)()( lnbynax −+



Então 0)(2)0()0( 22 ≥++ labrrbra xyyyxx Donde:

)0()0()( yyxxxy rrlr ≤ e xxxxx Erlr =≤ )0()(

3 - O escalamento não modifica a forma da correlação, apenas a amplitude absoluta, logo é habitual normalizar:

)0()0(

)(

yyxx

xyxy rr

lr=ρ e

)0()(

xx

xxxx r

lr=ρ

4 - )()()()( ωωω −=↔ YXSlr xyxy , espectro de densidade de energia cruzada dos sinais. 5 - Teorema de Wiener-Khintchine. Seja x(n) um sinal real; então:

)()( ωxxxx Slr ↔



6 - Seja o sinal: y(n) = x(n) + w(n), onde x(n) é um sinal periódico de período N e w(n) um sinal aleatório. Temos:

)()()()()( lrlrlrlrlr wwwxxwxxyy +++=

rxx(l) exibe picos em múltiplos de N; rxw(l) e rwx(l) terão pequena contribuição dado a não-correlação entre x(n) e w(n); finalmente rww(l) terá um pico em 0 e decaimento rápido. Portanto, ryy(l) revelará a periodicidade de x(n).

a0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

b20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

10

20

30

40

50

Figura 1.41. a)Coseno de amplitude 0.8 e período N=10 com ruído uniforme em [-1, 1]; b) Autocorrelação do sinal anterior; a periodicidade é claramente visível.



Correlação e autocorrelação em SLITs

De: )()()( nxnhny ⊗= ,

deduz-se: [ ])()()()()()( lxlxlhlxlylryx −⊗⊗=−⊗= .

Logo:

)()()( lrlhlr xxyx ⊗= . Portanto, a correlação cruzada pode ser vista como a resposta do sistema à autocorrelação. Também se deduz:

[ ][ ] )()()()()()()()()( lrlrlxlhlxlhlylylr xxhhyy ⊗=−⊗−⊗=−⊗= rhh(l) existe se o SLIT é estável e então, se a entrada é de energia, a saída também o é, e identicamente se é de potência. Também:

∑∞

−∞==

lxxhhyy lrlrr )()()0( ,

o que permite obter a energia ou potência de saída a partir das autocorrelações.



Nas transformadas temos: )()()( zSzHzS xxyx = e )()()()( 1 zSzHzHzS xxyy

−= ou, equivalentemente:

)()()( ωωω xxyx SHS = e )()()( 2 ωωω xxyy SHS =

A energia total do sinal à saída é:

∫−==ππ

ωωωπ

dSHrE xxyyy )()(21)0( 2

Se x(n) tem um espectro constante (horizontal), Ex, então:

)(1)()()( ωωωω yxx

xyx SE

HEHS =⇒=

ou, equivalentemente,

)(1)( nrE

nh yxx

=

Este é um método que pode ser usado para determinar a resposta impulsional de um sistema desconhecido.



1.5 Bibliografia

Kuc R (1988) Introduction to Digital Signal Processing. Mc Graw-Hill, Inc. Lindner DK (1999) Introduction to Signals and Systems. Mc Graw-Hill, Inc. Lyons RG (1997) Understanding Digital Signal Processing. Addison Wesley Longman, Inc. Oppenheim AV, Schafer RW, Buck JR (1999) Discrete-Tima Signal Processing. Prentice-Hall Inc. Papoulis A (1984) Signal Analysis. McGraw-Hill, Inc. Proakis JG, Manolakis DG (1996) Digital Signal Processiong. Principles, Algorithms and Applications. Prentice Hall Int., Inc. Rabiner LR, Gold B (1975) Theory and Application of Digital Signal Processing. Prentice-Hall, Inc. Schwarz M, Shaw L (1975) Signal Processing: Discrete Spectral Analysis, Detection and Estimation. McGraw Hill. Steiglitz K (1974) An Introduction to Discrete Systems. J. Wiley & Sons, Inc. Tretter SA (1976) Introduction to Discrete Time Signal Processing. J. Wiley & Sons, Inc.

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