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ESTATÍSTICA
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UDI - ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Ass 04: SEPARATRIZES E MODA
ESTATÍSTICA
3
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Calcular as principais separatrizes;
• Calcular a Moda Bruta;
• Interpretar as principais separatrizes;
• Calcular a moda de DF pelos critérios de Czuber e Pearson;
• Comparar graficamente os valores da Média, da Mediana e da Moda;
• Utilizar-se de dados estatísticos na tomada de decisão.
4
SUMÁRIO1 - Separatrizes
2 - Cálculo das Separatrizes
3 - Mediana
4 - Moda
5 - Comparação entre Mo, Md e
6 - Uso do Computador
5
1 - SEPARATRIZESSão os valores da variável aleatória que
dividem a série ORDENADA de dados em partes IGUAIS.
• Mediana (Md)
• Quartis (Qi i = 1, 2 e 3)
• Decis (Di i = 1, 2, ..., 9)
• Percentis ou Centis
(Pi = Ci i = 1, 2, ..., 99)
PRINCIPAISSEPARATRIZES
6Mediana
50% 50%
Md = 7,5
Q1
25% 25%Q3
25% 25%
Q2 = 7,5
Q1 = 3,75 Q3 = 11,25
Q3 = P75Q1 = P25
Q2 = P50 = Md = D5
Suponha o fenômeno em um rol (crescente), representado por esta régua milimetrada.
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1,68 m 1,69 m 1,72 m 1,76 m 1,78 m 1,79 m 1,81 m
Emd = 4o Mediana = 1,76 m
Qual a altura mediana do grupo de
7 pessoas com essas alturas?
8
1,68 m 1,69 m 1,72 m 1,76 m 1,78 m 1,79 m
Emd = 3o ou 4o ? Mediana = ?
Qual a altura mediana do grupo de
8 pessoas com essas alturas?
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SUMÁRIO1 - Separatrizes
2 - Cálculo das Separatrizes
3 - Mediana
4 - Moda
5 - Comparação entre Mo, Md e
6 - Uso do Computador
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2 - Cálculo das Separatrizes
2.b - Cálculo para dados em classes.
2.a - Cálculo para dados brutos.
Duas são as rotinas de cálculo:
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2.a - Cálculo para dados brutos
O cálculo, neste caso, é baseado na separatriz Percentil.
Para a obtenção dos valores numéricos correspondentes às demais separatrizes, aplicam-se as correspondências entre elas e os Percentis.
Ex: Md = P50 ; Q3 = P75 ; D2 = P20 ; ....
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2.a - Cálculo para dados brutos
A rotina de cálculo baseia-se na figura abaixo:
Ordem na série
Posição %
1o 2o xo no
100 %
p%
0%
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2.a - Cálculo para dados brutos
Ordem na série
Posição %
1o 2o xo no
100 %
p%
0%
0% - p%
1 -x
% 0 - % 100
1 - n
14
0% - p%
1 -x
% 0 - % 100
1 - n
1o 2o 3o 4o 5o 6o 7o
Exemplo 1: Calcule a Mediana das alturas {1,64 ; 1,69 ; 1,72 ; 1,76 ; 1,78 ; 1,79 ; 1,81}
Posição %
100 %
0% Ordem na série
Emd = xo = 4o
Md = 1,76
50 %
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0% - p%
1 - x
% 0 - % 100
1 - n
1o 2o 3o 4o 5o 6o
Exemplo 2: Calcule a Mediana das alturas {1,64 ; 1,69 ; 1,72 ; 1,76 ; 1,78 ; 1,79}
Posição %
100 %
0%Ordem na série
Emd = xo = 3,5o
Md = (1,72 + 1,76)/2 = 1,74 m
50 %
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0% - p%
1 - x
% 0 - % 100
1 - n
1o 2o 3o 4o 5o 6o
Exemplo 3: Calcule Q3 das alturas {1,64 ; 1,69 ; 1,72 ; 1,76 ; 1,78 ; 1,79}
Posição %
100 %
0 % Ordem na série
EQ3 = xo = 4,75o
Q3 = 1,76 + 0,75 (1,78 - 1,76) = 1,775 m
75 %
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2.b - Cálculo p/dados em classes
O cálculo, neste caso, é baseado na Hipótese Básica da Tabulação.
Para a obtenção dos valores numéricos correspondentes às separatrizes, são feitas interpolações lineares dentro da classe identificada como possuidora do valor da ordem desejada.
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Ex. 1: Para o extrato de DF abaixo, calcule a Mediana.
Classes (kg) Fi Fai
59 | 63 3 3
63 | 71 14 17
71 | 83 22 39
83 | 90 6 45
45
1) Emd = 45/2 = 22,5o
2) Classe da Mediana:
71 | 83
3) Será o (22,5 - 17) = 5,5o valor da classe
22 __ 12 kg (83 - 71)
5,5 __ x kg
4) Md = 71 + x = 74 kg
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Fórmula Genérica
n r p F
F - p h l S
k
1 - kakkp
Sp = valor procurado para a separatrizk = número de ordem da classe da separatriz
lk = limite inferior da classe da separatriz
hk = amplitude da classe da separatriz
p = posição (ordem) do elemento separatriz
r = razão de divisão da separtriz
n = total de observações
Onde
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Fórmula Genérica
n r p
F
F - p h l S
k
1 - kakkp
p/ Quartis (Qi i = 1, 2 e 3) .......... r = i / 4
p/ Decis (Di i = 1, 2 , ... e 9) ....... r = i / 10
p/ Percentis (Pi i = 1, 2 , ... e 99) r = i / 100
p/ Mediana (Md) ........................... r = 1 / 2
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Ex. 2: Para o extrato de DF abaixo, calcule a Md e o P82 usando a fórmula genérica
Classes (kg) Fi Fai
59 | 63 3 3
63 | 71 14 17
71 | 83 22 39
83 | 90 6 45
45
1) Md
n r p
F
F - p h l S
k
1 - kakkp
p= 45/2 = 22,5 k = 3
kg 74 22
17 - 22,5 12 71 Md
2) P82
p= 0,82 x 45 = 36,9 k = 3
kg 81,8545 22
17 - 36,9 12 71 P82
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SUMÁRIO1 - Separatrizes
2 - Cálculo das Separatrizes
3 - Mediana
4 - Moda
5 - Comparação entre Mo, Md e
6 - Uso do Computador
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3 - Mediana (Md)
• É o valor do meio da série ordenada.
• Divide a série em duas partes, sendo maior (ou igual) que uma metade dos valores e menor (ou igual) à outra metade.
Já sabemos que a Md:
Mas tem mais
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3 - Mediana (Md)• Divide o histograma em duas áreas iguais.
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44
2
1 1 1
Média = (2 + 2 + 6 + 14 + 26) / 5 = 10
Md = 6
25Média = (2 + 2 + 6 + 14 + 126) / 5 = 30
Md = 6
• Na presença de valores discrepantes (muito altos ou muito baixos), torna-se mais representativa que a média.
0 4 8 12 16 20 24 28 32 124 128
2
1 1 1
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SUMÁRIO1 - Separatrizes
2 - Cálculo das Separatrizes
3 - Mediana
4 - Moda
5 - Comparação entre Mo, Md e
6 - Uso do Computador
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4 - Moda (Mo)
Moda de uma série de dados é o valor que ocorre com maior freqüência.
OBS: A Moda pode não existir e, existindo pode não ser única. Em virtude disto, a série pode ser classificada quanto a Moda em: AMODAL, UNIMODAL, BIMODAL ou MULTIMODAL.
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4 - Moda (Mo)4.a - Moda para dados brutos:
Neste caso a Moda é obtida por observação direta da série ou com o uso de planilhas eletrônicas (para grandes massas de dados).
X = { 2, 3, 4, 4, 6, 18 }
Y = {3, 3, 4, 4, 6,18 }
Z = { 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6, 6 }
Mo = 4 (Unimodal)
Mo = 3 e 4 (Bimodal)
Amodal
Exemplos:
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4 - Moda (Mo)4.b - Moda para dados em classes:
Neste caso a Moda só pode ser obtida através de aproximações. As mais conhecidas aproximações são:
• Moda Bruta (MoB)
• Moda de Czuber (Mocz)
• Moda de Pearson (MoP)
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4.b - Moda para dados em classes:
• Moda Bruta (MoB)
• Moda de Pearson (MoP)
É a aproximação mais rudimentar. A Moda é admitida como sendo o ponto médio da classe com maior freqüência (classe modal).
É uma aproximação restrita aos fenômenos moderadamente assimétricos, que são os que têm 3 0,05.
x 2 - Md 3 Mo P
31
• Moda Czuber (MoCZ)
É a aproximação mais elaborada. Leva em consideração as classes vizinhas à classe modal.
1
2
Mo
h l Mo 21
1kkcz
onde:
2 = Fk - Fk + 1
k = ordem da classe modal
1 = Fk - Fk -1
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Classes (kg) Fi
59 | 63 3
63 | 71 14
71 | 83 22
83 | 90 6
45
Ex. 1: Para o extrato de DF abaixo, calcule a Moda Bruta e a de Czuber.
• Moda Bruta (MoB)
MoB = (83 + 71)/2 = 77 kg
• Moda Czuber (MoCZ)
h l Mo 21
1kkcz
6 - 22 14 - 22
14 - 22 12 71 Mo cz
Mocz = 75 kg
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SUMÁRIO1 - Separatrizes
2 - Cálculo das Separatrizes
3 - Mediana
4 - Moda
5 - Comparação entre Mo, Md e
6 - Uso do Computador
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5 - Comparação entre Mo, Md e
Simétrica Mo = Md =
Assimétrica NegativaMo > Md >
Assimétrica PositivaMo < Md <
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SUMÁRIO1 - Separatrizes
2 - Cálculo das Separatrizes
3 - Mediana
4 - Moda
5 - Comparação entre Mo, Md e
6 - Uso do Computador
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6 - Uso do Computador
FUNÇÃO O QUE FAZ
ORDEMObtém a posição x de umdado da série de dados
PERCENTILObtém o valor que
corresponde ao percentilespecificado
QUARTILObtém os quartis para uma
série de dados
O que o Excel pode fazer por você:
37
6 - Uso do Computador
FUNÇÃO O QUE FAZ
MEDCalcula a Mediana da série
de dados
ORDEMPORCENTUAL
Obtém o percentual que éultrapassado por uma
observação especificada
MODOObtém a Moda. Reconhece
apenas uma Moda.
O que o Excel pode fazer por você:
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Exemplo de uso das funções do Excel
39
PRATIQUE COM OS
EXERCÍCIOS
BOA SORTE!
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