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TEMA I LTC 10- LÓGICA
LÓGICA BIVALENTE - 22 aulas • Unidade 1- Proposições – 8 aulas • Unidade 2- Condições e conjuntos- 14 aulas
---------------------------------------------Unidade 1-Proposições----------------------------------------
15ª e 16ª aulas- 4 de Outubro –
Correção do TPC.
Início do estudo da lógica bivalente.
Conceitos: Termos e Proposições. Valor lógico de uma proposição. Operações lógicas: negação e conjunção.
1. TPC 2. Pág. 104 ex.30 a)c); 31 3. Pág. 108 ex. 14
LÓGICA BIVALENTE -
1. CONCEITOS
• Termo ou Designação- expressão que designa um objeto Ex. 4; 2+1/3; mdc( 2,6) • Proposição-expressão à qual é possível atribuir valor lógico ( V ou 1; F ou 0). Daí o
nome lógica Bivalente (apresenta apenas 2 valores lógicos).Representam-se por p,q,r,s. Ex. p: 4 é nº par; q: 2+1/3 >4; r: mdc(2,6)=2.
• Princípio do terceiro excluído- Para uma proposição verifica-se apenas um dos casos é verdadeira ou é falsa ( não há terceiro caso).
• Princípio da não contradição- uma proposição não pode ser simultaneamente Verdadeira e Falsa.
• Proposições equivalentes- escreve-se 𝑝 ⟺ 𝑞 quando ambas tiverem o mesmo valor lógico.
17ª e 18ª aulas- 10 de Outubro – 2º feira
Correção do TPC.
Operações lógicas: Negação, conjunção, disjunção.
Prioridade das operações. Propriedades da conjunção e da disjunção
1. OPERAÇÕES LÓGICAS
Partindo de proposições simples é possível formar novas proposições ( compostas) utilizando operações lógicas. Assumem muita importância as expressões:
𝑛ã𝑜 → 𝑁𝑁𝑁𝑁çã𝑜 → ∽ 𝑁 → 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑐𝑛çã𝑜 → ∧ 𝑜𝑐 → 𝑑𝑑𝑑𝑐𝑐𝑛çã𝑜 → ∨ 𝑑𝑁… 𝑁𝑛𝑒ã𝑜 → 𝑑𝑖𝑝𝑖𝑑𝑐𝑁çã𝑜 → ⟹ 𝑑𝑁 𝑁 𝑑𝑜𝑖𝑁𝑛𝑒𝑁 𝑑𝑁 ( 𝑜𝑐 𝑑𝑁 𝑁 𝑑ó 𝑑𝑁) → 𝑁𝑞𝑐𝑑𝑒𝑁𝑖ê𝑛𝑐𝑑𝑁 → ⟺
1. Negação ∽
Negação da proposição p representa-se por ∽ 𝑝
Tabela de verdade da Negação
Exemplos:
p ∽ 𝑝 2 é um nº primo 2 não é um nº primo
ou não é verdade que 2 seja nº primo
Todos os números ímpares são primos Não é verdade que todos os nºs ímpares são primos
ou Nem todos os nºs ímpares são primos
Nenhum nº par é primo Não é verdade que nenhum nº par seja primo ou Algum nº par é primo
2 < 3 2≥3 2∈ 𝑁 2∉ N
Dupla Negação:
Pág. 15 ex.4
2. Conjunção ∧ Tabela de verdade
Pág. 16 ex.5,6
3. Disjunção ∨ Tabela de verdade
19ª e 20ª aulas- 11 de Outubro – 3ª feira
Correção do TPC.
Primeiras Leis de De Morgan.
Implicação.
10º B Nota: PRIORIDADE DAS OPERAÇÕES 1º Parentesis 2º ∽ 3º ∧ 𝒆 ∨ ( pela ordem que aparecem) 4º ⟹ 𝑁 ⟺ ( pela ordem que aparecem)
𝑝 ⟹ 𝑝 ∧ 𝑞 𝑒𝑁𝑖 𝑜 𝑖𝑁𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑑𝑁𝑛𝑑𝑠𝑑𝑐𝑁𝑑𝑜 𝑑𝑁 𝑝⟹ (𝑝 ∧ 𝑞) 𝑝 ∨ 𝑞 ⟺ 𝑟 𝑒𝑁𝑖 𝑜 𝑖𝑁𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑑𝑁𝑛𝑑𝑠𝑑𝑐𝑁𝑑𝑜 𝑑𝑁 ( 𝑝 ∨ 𝑞) ⟺ 𝑟
𝑝 ∨ ~𝑞 ⟺ 𝑟 𝑒𝑁𝑖 𝑜 𝑖𝑁𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑑𝑁𝑛𝑑𝑠𝑑𝑐𝑁𝑑𝑜 𝑑𝑁 [𝑝 ∨ (~𝑞)] ⟺ 𝑟 Têm significados diferentes:
(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ 𝑟 ≠ 𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟)
(𝑝 ⟺ 𝑞) ⟹ 𝑟 ≠ 𝑝 ⟺ (𝑞 ⟹ 𝑟)
• Propriedades da conjunção e disjunção Pág. 19
10 º C
Tautologia- é uma proposição composta que é sempre verdadeira quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições elementares que a formam.
Nota: Entre proposições usamos o símbolo equivalente.
Pág. 19 ex.9,12
Nota: Notação simbólica:
• Primeiras Leis de De Morgan
Pág.21 ex. 14,16,17
21ª e 22ª aulas- 13 de Outubro – 5ª feira
Correção do TPC.
Operações lógicas: Implicação e equivalência.
Relação da implicação com a disjunção. Propriedades da Implicação. Exercícios de aplicação.
1. TRABALHO AUTÓNOMO Nº 2 2. TPC Pág. 21 ex. 17
3. Implicação ⟹
𝑝 ⟹ 𝑞 𝑑𝑁𝑛𝑑𝑜 𝑝 𝑜 𝑁𝑛𝑒𝑁𝑐𝑁𝑑𝑁𝑛𝑒𝑁 𝑁 𝑞 𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑁𝑞𝑐𝑁𝑛𝑒𝑁
Pág.23 ex. 19
4. Preencher a tabela e deduzir as propriedades
5. Relação da implicação com a disjunção
p q ~p ~q 𝑝 ⟹ 𝑞 ~𝑝 ∨ 𝑞 ~𝑞 ⟹ ~𝑝
Pág. 25 ex. 24
Equivalência 𝑝 ⟺ 𝑞 𝑖ê− 𝑑𝑁 𝑝 𝑁𝑞𝑐𝑑𝑒𝑁𝑖𝑁𝑛𝑒𝑁 𝑁 𝑞 𝑜𝑐 𝑝 𝑑𝑁 𝑁 𝑑ó 𝑑𝑁 𝑞
Propriedades da equivalência
23ª e 24ª aulas- 17 de Outubro – 2ª feira
Esclarecimento de dúvidas.
1. Olimpíadas da Matemática ? 2. Trabalho autónomo nº 2
Pág. 28 ex. 25,26,28,
Pág. 68 ex.28,29,30,32
25ª e 26ª aulas- 18 de Outubro – 3ª feira
Teste de avaliação.
PREPARAR TESTE 1 10º ano 1º Estudar muito bem os conteúdos teóricos referentes a cada uma das matérias 2º Fazer/ rever todos os exercícios do manual realizados em aula 3º Quem tem mais dificuldade deve fazer os exercícios que estão resolvidos no próprio manual e confrontá-los com a resolução apresentada. 4º Fazer os seguintes exercícios : TEMA Manual Outros: RADICAIS
1. Pág. 98 ex. 23, 30 2. Pág. 107, 108, 109( ex. 16 i,j,k;
ex. 18) Pág 110 ( ex. 20,21,24,25( a,b,c),26,27,28,29,30
3. Mini Teste 4. Trabalhos autónomos 5. Cad. Atividades: Pág. 10 ex.1 ( alguns), 2,
3,5. Pág.35 ex. Grupo I: 1,2,5; GrupoII,1,2,. Pág.40 ex. Grupo I: 1,2,3,4. Grupo II : 1,
6. Cad Ex. Texto (LINK) Pág 31 ex,14,15,19,20,21,22,25,26,27,28
7. Ficha4 ( está na pasta Fichas de Consolidação)
LÓGICA 8. Pág. 22 ex. 18,22,23,24,25,26 28 Pág. 68 ex.26,27,28,29,30,32,
Cad. Atividades: Pág4 ex.3,5,6,7,8,9,11,12,
7ª e 8ª aulas –Simplificação de expressões envolvendo operações com proposições.
Por. Ed. Pág 31
Pág. 68 ex.28,29,30,32
Resumo Por. Ed Pág 32 , 33
------------------------------------Unidade 2-Condições e Conjuntos-------------------------------------
27ª e 28ª aulas 20 Outubro ( 5ª feira) – Expressão proposicional ou condição. Expressão designatória. Classificação das condições.
1. Pág. 68 ex.28,29,30,32 Dúvidas?
2. Relembrar os conjuntos: Pág 33
CONCEITOS:
Relembrar:
• Termo ou Designação- expressão que designa um objeto Ex. 2+3; 4.5 • Proposição-expressão à qual é possível atribuir valor lógico ( V ou 1; F ou 0). Daí o
nome lógica Bivalente (apresenta apenas 2 valores lógicos).Representam-se por p,q,r,s. Nota: A saber:
Variável-símbolo que pode tomar um dado valor de um conjunto. Representa-se por uma letra:x,y,a,b,…
Constantes- designações ou termosnúmeros.
P= 2L+2C Perímetro do retângulo P,L,C variáveis e 2 é a constante
• Expressão Designatória-é uma expressão com variáveis que se transforma num
termo ( número) quando se substituem essas variáveis por objetos. 𝐸𝐸𝑁𝑖𝑝𝑖𝑜: 2𝐸 + 3 Expressão designatória.
• Expressão proposicional ou Condição- é uma expressão p(x) envolvendo a variável x, tal que substituindo x por um objeto a se obtém uma proposição p(a).
Exemplo:
2𝐸 + 3 = 7 Expressão proposicional
Pág. 31 Ex.32,33,34
Classificação das condições
Q
Nota: Para classificar as condições ( indicar o valor lógico) ∀𝐸,𝑝(𝐸) é necessário conhecer o domínio ( conjunto de elementos que a variável toma)
29ª e 30ª aulas 24 Outubro ( 2ª feira) – Quantificador universal e existencial. Operações lógicas com condições. Segundas Leis de De Morgan. Exercícios de aplicação.
Quantificador Universal- ∀ → 𝑃𝑁𝑟𝑁 𝑒𝑜𝑑𝑜 𝑜𝑐 𝑞𝑐𝑁𝑖𝑞𝑐𝑁𝑟 𝑞𝑐𝑁 𝑑𝑁𝑐𝑁
1. Linguagem corrente: “ todo o número natural é positivo”
Linguagem matemática:
• ∀𝐸, 𝐸 ∈ 𝑁 ⟹ 𝐸 > 0 • ∀𝐸 ∈ 𝑁, 𝐸 > 0 (mais simples) CONDIÇÃO UNIVERSAL em N
2. ∀𝐸 ∈ 𝑍, 𝐸 > 0 CONDIÇÃO É NÃO UNIVERSAl em Z porque para x=2 a proposição obtida é Verdadeira e para x= -3 a proposição obtida é Falsa
Quantificador Existencial - ∃ 𝑁𝐸𝑑𝑑𝑒𝑁 𝑝𝑁𝑖𝑜 𝑖𝑁𝑛𝑜𝑑 𝑐𝑖 𝑒𝑁𝑖𝑜𝑟
1. Linguagem corrente: “ Existe pelo menos um número racional que é solução da condição: 2𝐸 = 1 Linguagem matemática: ∃ 𝐸 ∈ 𝑄: 2𝐸 = 1 Condição Possível em Q
2. ∃ 𝐸 ∈ 𝑍: 2𝐸 = 1 Condição Impossível em Z
Assim os quantificadores Universal e Existencial aplicados a condições transformam as condições em Proposições.
∃ 𝑜𝑐 ∀ 𝑐𝑜𝑖 𝑐𝑖𝑁 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑑çã𝑜 𝑒𝑟𝑁𝑛𝑑𝑠𝑜𝑟𝑖𝑁 𝑁 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑑çã𝑜 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃ÇÃ𝑃
Pág. 33 Ex.35,36,37,38
31ª e 32ª aulas 25 Outubro ( 3ª feira) – Operações lógicas com condições.
Segundas Leis de De Morgan. Equivalência de condições. Equivalência como dupla implicação.
1. Relembrar entre Proposições:
Operações Lógicas (∧ 𝑁 ⋁ )com proposições
2. Operações Lógicas com Condições
𝑐(𝐸)− 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑑çã𝑜 𝑈𝑛𝑑𝑒𝑁𝑟𝑑𝑁𝑖 𝑞(𝐸)–𝑞𝑐𝑁𝑖𝑞𝑐𝑁𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑑ção 𝑝(𝐸)– 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑑çã𝑜 𝑃𝑜𝑑𝑑í𝑒𝑁𝑖 𝑁ã𝑜 𝑈𝑛𝑑𝑒𝑁𝑟𝑑𝑁𝑖 𝑑(𝐸) – 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑑çã𝑜 𝑃𝑖𝑝𝑜𝑑𝑑í𝑒𝑁𝑖
𝑑(𝐸) ∧ 𝑞(𝐸) 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑑çã𝑜 𝑃𝑖𝑝𝑜𝑑𝑑í𝑒𝑁𝑖
A conjunção de duas condições é verificada para todos os valores da variável que verificam simultaneamente as duas condições
𝑐(𝐸) ∧ 𝑝(𝐸) 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑑çã𝑜 𝑃𝑜𝑑𝑑í𝑒𝑁𝑖
𝑐(𝐸) ⋁ 𝑞(𝐸) 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑑çã𝑜 𝑈𝑛𝑑𝑒𝑁𝑟𝑑𝑁𝑖
A disjunção de duas condições é verificada para todos os valores da variável que verificam pelo menos uma das condições dadas
𝑝(𝐸) ⋁ 𝑞(𝐸) 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑑çã𝑜 𝑃𝑜𝑑𝑑í𝑒𝑁𝑖( podendo ser ou não
Universal)
~ 𝑑(𝐸) 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑑çã𝑜 𝑈𝑛𝑑𝑒𝑁𝑟𝑑𝑁𝑖
~ 𝑐(𝐸) 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑑çã𝑜 𝑃𝑖𝑝𝑜𝑑𝑑í𝑒𝑁𝑖
Nota: 𝑑(𝐸) ∧ 𝑞(𝐸)é 𝑑𝑖𝑝𝑜𝑑𝑑𝑑𝑒𝑁𝑖 Sendo 𝑑(𝐸) impossível significa que para todas as
concretizações da variável 𝐸, 𝑑(𝐸) é Falsa logo para qualquer concretização da variável 𝐹 ∧ 𝑉 = 𝐹𝑁𝑖𝑑𝑜 𝐹 ∧ 𝐹 = 𝐹𝑁𝑖𝑑𝑜 . Assim 𝑑(𝐸) ∧ 𝑞(𝐸) é 𝑑𝑖𝑝𝑜𝑑𝑑𝑑𝑒𝑁𝑖
Exercício:
Pág. 38 Ex 42
3. Segundas Leis de De Morgan 𝐷𝑁𝑑𝑁 𝑐𝑖𝑁 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑑çã𝑜 𝑝(𝐸)
• ~( ∀𝐸, 𝑝(𝐸) ) ⟺ ∃𝐸: ~𝑝(𝐸) • ~( ∃𝐸: 𝑝(𝐸) ) ⟺ ∀𝐸, ~𝑝(𝐸)
Pág. 48 ex.61.
4. Equivalência de Condições
Nota: Mostrar que a condição ∀𝐸 ∈ 𝑈,𝑝(𝐸) 𝑛ã𝑜 é 𝑐𝑖𝑁 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑑çã𝑜 𝑐𝑛𝑑𝑒𝑁𝑟𝑑𝑁𝑖 recorremos a um contraexemplo. Ou seja arranjamos uma concretização da variável que transforme p(x) numa proposição falsa.
• ∀𝐸 ∈ 𝑃, 𝐸2 > 0 esta condição não é universal pois para 𝐸 = 0 a condição é falsa.
Pág. 38 Ex 44,45,47b)c) 49 a) b),51,54,56,60,61,
Sejam 𝒑(𝒙) 𝒆 𝒒(𝒙) 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄çõ𝒆𝒆 Exemplo
𝑝(𝐸) ⇒ 𝑞(𝐸)
𝑝(𝐸) → é 𝑐𝑖𝑁 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑑çã𝑜 𝑑𝑐𝑠𝑑𝑐𝑑𝑁𝑛𝑒𝑁 𝑞(𝐸) → é 𝑐𝑖𝑁 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑑çã𝑜 𝑛𝑁𝑐𝑁𝑑𝑑á𝑟𝑑𝑁
Só não é verificada ( não é verdadeira) por um valor da variável que torne 𝑝 numa proposição verdadeira e 𝑞 numa proposição Falsa
Dois nºs são negativos⟹ o produto é positivo condição Universal
• 𝐸 = 2 ⟹ 𝐸2 = 4 condição Universal • 𝐸2 = 4 ⟹ 𝐸 = 2
não é uma condição universal
𝑝(𝐸) ⟺ 𝑞(𝐸)
𝑝(𝐸) ⇒ 𝑞(𝐸) ∧ 𝑞(𝐸) ⇒ 𝑝(𝐸)
𝑝(𝐸) → é 𝑐𝑖𝑁 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑑çã𝑜
( dupla implicação)
𝑛𝑁𝑐𝑁𝑑𝑑á𝑟𝑑𝑁 𝑁 𝑑𝑐𝑠𝑑𝑐𝑑𝑁𝑛𝑒𝑁 para que se verifique 𝑞(𝐸)
Ao concretizar a variável x obtemos proposições com o mesmo valor lógico
2𝐸 = 4 ⟺ 𝐸 + 4 = 6
𝑝(𝐸) ⇒ 𝑞(𝐸) ⟺ ~𝑞(𝐸) ⇒ ~𝑝(𝐸)
Demonstração por Contrarrecíproco
• Pág 45 ex 56
Dar Resumo Port. Ed Pág. 56, 57
15ª e 16ª aulas – Conjuntos definidos por condições. Igualdade de conjuntos. Representação em compreensão e em extensão de um conjunto. Condições equivalentes.
Exemplo Representação de um conjunto em compreensão
𝐴 = {𝐸 ∈ 𝑈 ∶ 𝑝(𝐸)} Sendo U um conjunto e p(x) uma condição.
𝐴 = {𝐸 ∈ 𝑍: 𝐸 + 6 = 4}
Representação de um conjunto em extensão
𝐴 = {𝑁1,𝑁2,𝑁3, … ,𝑁𝑘} k elementos do conjunto A.
𝐴 = {2,4,6,8}
Condições equivalentes 𝑝(𝐸) ⇔ 𝑞(𝐸)
Se num Universo U 𝑝(𝐸) 𝑁 𝑞(𝐸) admitem o mesmo conjunto solução
𝑃 = 𝑄
Considera em R 𝑝(𝐸):𝐸 + 4 = 6 𝑞(𝐸): 2𝐸 = 4
Pág.51 ex. 67, 69,72 a)b)c)
17ª e 18ª aulas – Inclusão de conjuntos. Igualdade de conjuntos. Interseção e reunião de conjuntos. Complementar de um conjunto.
Conjuntos Exemplo Inclusão de conjuntos
𝐴 𝑁𝑑𝑒á 𝑐𝑜𝑛𝑒𝑑𝑑𝑜 𝑁𝑖 𝐵 𝑜𝑐 𝐴 é 𝑐𝑖
𝑑𝑐𝑠𝑐𝑜𝑛𝑐𝑐𝑛𝑒𝑜 𝑑𝑁 𝐵 𝐴 ⊂ 𝐵
∀𝐸, 𝐸 ∈ 𝐴 ⇒ 𝐸 ∈ 𝐵
A={2,3,5,7} B: conjunto dos nºs naturais inferiores a 8.
Igualdade de conjuntos 𝐴 = 𝐵 𝐴 = 𝐵 ⇔ 𝐴 ⊂ 𝐵 𝑁 𝐵 ⊂ 𝐴
∀𝐸(𝐸 ∈ 𝐴 ⇔ 𝐸 ∈ 𝐵) se todos os elementos de A são elementos de B.
A: conjunto dos nºs primos inferiores a 10 B={2,3,5,7}
Interseção de dois conjuntos
𝑝(𝐸) ∧ 𝑞(𝐸) 𝑃 ∩ 𝑄
𝐴 = [𝜋, 10[ B={2,3,5,7}
𝐴 ∩ 𝐵 = {5,7}
União (ou reunião) de dois conjuntos
𝑝(𝐸) ∨ 𝑞(𝐸) 𝑃 ∪ 𝑄
𝐴 = [𝜋, 10[ B={2,3,5,7} 𝐴 ∪ 𝐵 = {2,3} ∪ [𝜋, 10[
Complementar de um Conjunto
~ 𝑝(𝐸) �̅�
𝐴 = [1, +∞[
�̅� = ]−∞, 1[
Complementar de um Conjunto em relação a outro
Diferença entre A e B A exceto B
𝐴 ∖ 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵�
A={1,2,3,4,5} B={3,5,7} 𝐴 ∖ 𝐵 = {1,2,4}
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