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CHICAGO – Prudential Sears Towers Marina Towers
Teoria de EstruturasAula de Introdução a Método de Cross
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ANÚNCIO
CONFERÊNCIA“Decisões Políticas e Desenvolvimento Tecnológico”
Raymundo de Oliveira
Presidente do Clube de Engenharia do Rio de Janeiro8 de Março - 18h00
Auditório da Ordem dos Engenheiros, Lisboa
“Uma aranha executa operações semelhantes ao tecelão e a abelha envergonha mais de um
arquiteto com a construção dos favos de suas colméias.
Mas o que distingue o pior arquitetoda mais exímia abelha é que ele construiu o favoem sua cabeça, antes de construí-lo emcera.
No fim do processo de trabalho, obtém-se um resultado que já no início existiu na
imaginação do trabalhador.”
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Teoria de Estruturas 2 - 2005/06
Revisão de Conceitos e de Métodos de Teoria de Estruturas 1
Objectivos da aula. Enquadrar a resolução de problemas elásticos lineares:- Método das forças
- Método dos deslocamentos
. Procedimentos:- Método das Forças: sistema base isostático e procura de forças
(esforços) que reponham satisfação de compatibilidade
- Método dos deslocamentos: sistema base cinematicamente compatível
e procura de deslocamentos que garantam equilíbrio
. Introdução a Método de Hardy Cross
. Revisão do caso geral da Teoria da Elasticidade:
deslocamentos: u, v, w - 3 elementostensor de tensões σij - 6 elementos distintostensor de deformações eij - 6 elementos distintos
Número total de quantidades a obter: 15
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. Equilíbrio de forças 3
. Equilíbrio de momentosσακ= σκα ( 3)
6 relações ind.
Compatibilidade
6
VARIÁVEIS
. Deslocamentos 3
. Deformações 6
. Tensões 6
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Mathematical Theory of Elasticity - Sokolnikoff
Pode chegar-se a 9 equações e 9 incógnitas σij, uk (i,j,k=1,2,3)
e adequadas condições de contorno
Se exprimir o problema apenas em termos de uk ~ método dos deslocamentosSe exprimir o problema apenas em termos de σkl ~ método das forças
Leitura:
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Identidades de Bianchi:
Relações Independentes
Condições de CompatibilidadeRelações de Bianchi para pequenas deformaçõesLeitura opcional
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Abordagem Clássica de Crandall – revisão do método dos deslocamentos
Procedimento
. Escolher deslocamentos como incógnitas u1, u2
. Garantir que deformações das molas sãocompatíveis com deslocamentos:
Mola 3 e mola 4: deformação = u2
- u1
. Leis constitutivas: Fi=ki x deformaçãoi
. Equilíbrio:1 1 3 2 1 4 2 1 1
2 2 3 2 1 4 2 1 2
k u k (u u ) k (u u ) P
k u k (u u ) k (u u ) P
− − − − =⎨
− − − − =
Em certos problemas, em vez deresolver o sistema de equações pormétodo directo, usam-se métodos
aproximados.É o caso do método de Hardy Cross
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# 2 Exemplo de Método dos Deslocamentos
K δ = Fe
δ = K-1 Fe
Reacções:
http://teaching.ust.hk/~civl512/part-1-final.pdf
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Na fase inicial deste estudoapenas se consideram gdl derotação
Mét. Cross Deslocamentos
Portanto:
- Incógnitas deslocamentos
- Sistema base cinematicamente
determinado (impede deslocamentos)
-Procura-se satisfazer equilíbrio corri--gindo, sucessivamente,os deslocamentos.
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O método de Cross conduz aos esforços, em estrutura porticada
cinematicamente indeterminada, sem que se careça de gerar amatriz rigidez K e sem resolver directamente o sistema:
[K]{D} + {F} = 0
Equilíbrio de rotação em nó
1 2 3
1 1
2 2
3 3
M M M M
M k
M k
M k
= + +⎪ = ϕ⎨
= ϕ⎪
⎪ = ϕ
j
j n 3
i
i 1
k M M
k
=
=
=
∑
M1
M2
M3
Factores de distribuição
de momentos
j
n 3
i
i 1
k
k =
=∑
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Exemplo – http://www.ecf.utoronto.ca/apsc/courses/civ214/
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Exemplo de site referido.
Conferir, sendo EI=const.
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Os factores de transmissão ou carry-over, bem como os momentos e forças defixação obtêm-se, por exemplo, a partir do método das forças ou de tabelas
Se a inércia for variável, na integração tem que se atender a essa variabilidade.Por exemplo no cálculo das flexibilidades:
Li j
ijo
M Mdx
EI(x)
δ = ∫
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Exemplo Simples
Similar ao resolvido pelométodo dos deslocamentos
Valores”arbitrados”
K1= I/L=2; K2=1
Considerandorótula:
Admite-se que, para a geometria ecargas dadas os momentos de fixaçãocalculados são os usados.
Os coeficientes de distribuiçãocalculados como se houvessefixação de 2 GDL seriam 2/3 e 1/3
Exemplo de aplicação para deslocamento linear
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1. Considerar apoio intermédio ecalcular força de fixação comφ=0
2. Calcular Δ que anule essa força.
Exemplo de aplicação para deslocamento linear
Meio vão carregado – EI= constante
Questão: o que aconteceria se os vãos fossem desiguais?
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