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SeminárioPós-Graduação em Computação Aplicada

INPE

Aplicações de Sinais Caóticos em Comunicações

Marcio Eisencraft

03/12/2009

Aplicações de Sinais Caóticos em Comunicações

1. Introdução - Sinais caóticos

2. Modulação usando portadoras caóticas

3. Estimação de sinais caóticos

Sumário da apresentação

2

3. Estimação de sinais caóticos

4. Espectro de sinais caóticos

5. Sequências pseudoaleatórias

�Sinais caóticos:� Limitados

� Determinísticos

� Aperiódicos

� Dependência sensível com as condições iniciais

1. Sinais Caóticos

� Dependência sensível com as condições iniciais

�Características levam a aplicações de sinais caóticos

em diversas áreas tecnológicas

�Telecomunicações desde 1990. Áreas: modulação,

codificação, criptografia entre outras

3

• Propriedades interessantes dos sinais caóticos

para Telecomunicações:

– Ocupam largas faixas de frequências;

– Função de autocovariância impulsiva;

1.1 Propriedades interessantes

4

– Função de autocovariância impulsiva;

– Função de covariância cruzada com outras órbitas

com valores muito baixos.

• Propriedades desejadas para modulações

spread spectrum.

1. Introdução - Apresentação - Sinais caóticos

2. Modulação usando portadoras caóticas

3. Estimação de sinais caóticos

Sumário da apresentação

5

3. Estimação de sinais caóticos

4. Espectro de sinais caóticos

5. Sequências pseudoaleatórias

2.1 Sistema de Wu e Chua

6

• Sincronismo de sistemas caóticos

• Mensagem inserida na geração do sinal

Exemplos - Sistema de Wu e Chua

7

2.2 Influência da Limitação em Banda

8m(t) = sen(2π500t) - fa = 8kHz - passo de integração = 0,06 - a = -30dB

2.2 Influência da Limitação em Banda

fci = 0,02fcs = 0,7 fci = 0,02fcs = 0,7 fci = 0,02

9

• Inserir filtros passa-banda nas malhas do transmissor e do receptor

de forma a limitar o espectro do sinal caótico a ser transmitido.

2.3 Resolvendo o problema da limitação em banda

10

fcs = 0,7, fss = 0,9fcs = 0,63

2.4 Resultados Obtidosfci =0,02, fli =0,05fcs = 0,7, fss = 0,9fcs = 0,63

11

2.4 Resultados Obtidos• Sinal transmitido pelo sistema modificado continua

caótico??

12

2.5 Trabalhos recentes e futuros

• Tempo discreto

• Mais simples de conseguir resultados analíticos

• Resultados obtidos em tempo discreto:

13

• Resultados obtidos em tempo discreto:

� filtros não afetam condições para o sincronismo

� estudo atual: condições em que o sinal gerado continua caótico

2.6 Diminuindo os efeitos do ruído

• Sincronismo é extremamente sensível ao ruído no canal

• Direção a seguir: comunicações digitais não-coerentes

14

• Direção a seguir: comunicações digitais não-coerentes

• Em sistemas não-coerentes não há necessidade de recuperar o sinal caótico no receptor

2.7 Modulações digitais

0.5

CO

OK

0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.5

0

0.5

CS

K u

nipo

lar

Seqüência: {1,1,0,1,0,0,1,0}

0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.5

0

CO

OK

0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.5

0

0.5

n

CS

K b

ipol

ar

2.8 DCSK – Differential Chaos Shift Keying

• CSK em que as sequências de base consistem em segmentos de sinais caóticos repetidos

16

2.9 FM-DCSK – Frequency Modulated DCSK

Modulador

em

freqüência

( )s t• Modificação do DCSK – energia por símbolo

constante• Antes da modulação insere-se o sinal caótico num

modulador FM

17

1 0-2

1 0-1

1 00

BE

R

C urvas d e d e s e m p e nho e m c anal A W G N�

2.10 Simulações

18

-1 0 -5 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 01 0

-5

1 0-4

1 0-3

Eb/N

0 (d B )

BE

R

C S KC O O KD C S KF M -D C S KA S KD P S K

2.11 Comparações entre os sistemasSistema Limiar Energia Sincronização Não uso

da dinâmica

CSK coerente X X

19

CSK não-coerente X X XDCSK X XFM-DCSK X

1. Introdução - Apresentação - Sinais caóticos

2. Modulação usando portadoras caóticas

3. Estimação de sinais caóticos

Sumário da apresentação

20

3. Estimação de sinais caóticos

4. Espectro de sinais caóticos

5. Seqüências pseudoaleatórias

• Sistema dinâmico

• Sequência observada

3.1 CRLB - Formulação do problema

( ) ( ) ( )' , , 0 1s n s n s r n n N= + ≤ ≤ −

( ) ( )( )1s n f s n+ =

21

sendo r (n) AWGN com média nula• Determinar o menor mse que um estimador sem viés

de s0 pode assumir dado s’ (n) e f (.) (CRLB).

( ) ( ) ( )0' , , 0 1s n s n s r n n N= + ≤ ≤ −

Sejam

Teorema 1 ( ) ( ) ( )0' , , 0 1s n s n s r n n N= + ≤ ≤ −

• uma órbita do sistema dinâmico

( ) ( )( )1s n f s n+ =

• r(n) um processo ruído branco gaussiano de média nula e variância σ 2

( )0,s n s

22

nula e variância σr2

• o mapa f(.) derivável em todos os pontos dessa órbita

Então,( )

( )0

2

0 211

1 0 ,

ˆm se

1

r

nN

n j s j s

s

d f

ds

σ

−−

= =

≥

+

∑ ∏

Teorema 2• Nas mesmas condições do Teorema 1, o

limite do CRLB quando N → ∞ é

( )2

2

0 2

1ˆmse s

1r N

L

Lσ

−≥

−

23

• L≡L(s0) ≠ 1 é o número de Lyapunov do atrator para o qual a órbita s(n,s0) converge

• Resultado válido para órbitas caóticas ou não.

0 2 1r N

L −

Exemplo: Mapa fQ(.)

( ) ( )( ) ( )21 2 1Qs n f s n s n+ = = − +

1 0-5

1 00

CR

LB

N = 3N = 5N = 1 0N = 2 0

24

-1 -0 .5 0 0 .5 11 0 -15

1 0-10

s0

CR

LB

3.2 Estimação pelo algoritmo de Viterbi

• Idéia básica: interpretar sequências caóticas como um processo de Markov que em cada instante assume um de NS estados possíveis

• Domínio U segmentado em NS intervalos: U1, ..., UNs

• Estado q(n) = j se ( )s n U∈

25

• Estado q(n) = j se

• Dedieu e Kisel (1999) � partição uniforme

– Mapas com densidade uniforme

• Proposta para mapas mais genéricos: utilizar partição não-uniforme

( ) js n U∈

Exemplos de matrizes de transição de estados

-0.5

0

0.5

1

Mapa tenda fT(.)

U1

U2 U

3U

4U

5

-0.5

0

0.5

1

Mapa quadratico fQ

(.)

U1

U2

U3

U4 U

5

26

-1 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1-1

-0.5

s-0.809 -0.309 0.309 0.809

-1

-0.5

s

1A

=

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 2

1 2

0 0

1 0 0 02

( ) ( )( )1ij j i

a P s n U s n U= ∈ − ∈

Simulações - mapa quadrático fQ(.)

27

3.3 O ML-CSK modificado com dois mapas

• (Kisel; Dedieu; Schimming, 2001)• Transmissor igual ao do CSK com 2 mapas

• Receptor( ) ( ) ( )1 1 2 2m m mx n x s n x s n= +

28

Decodificadorde Viterbi

Decodificadorde Viterbi

Circuito dedecisão

Cálculo deverossimilhança

1A

2A

Cálculo de verossimilhança

( )mx n′

ˆ1q

2q̂

1−= Nn

1−= Nn

1mz

2mz

1ˆ

mx

Como escolher mapas? (1/2)• Caso mapa tenda: proposta adaptada de

(Kisel; Dedieu; Schimming, 2001)

1 1A

=

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 20 0

29

2A

=

1 3 1 3 1 3

1 3 1 3 1 3

0 1 2 1 2 0

1 3 1 3 1 3

1 3 1 3 1

0 0

0 0

0

0 0

0 0 3

1 2 10 2

1 2

0 0

1 0 0 02

1 1A

=

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 20 0

• Procedimento não necessariamente ótimo e deve ser aplicado com cautela

Como escolher o mapa? (2/2)

30

1 2 10 2

1 2

0 0

1 0 0 02

2A

=

0 1 2 1 /2

0 0 0

1 0 0 0

0 0 0

0 0

1 0

0

1 0

0 20 0 1 /2 1 /

Ponto fixo Ponto fixo

superatrator!superatrator!

3.5 Simulações computacionais

1 0-1

1 00

SE

R

M L -C S K - N = 1 0

31

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1 0-3

1 0-2

Eb

/N0

(d B )

SE

R

2 m a p a s - fT

( .)

2 m a p a s - fQ

( .)

1 m a p a - fT

( .)

1 m a p a - fQ

( .)

C O O K

3.6 Trabalhos futuros (1/2)A. Análise dos sistemas propostos para o caso M-

árioB. Análise da complexidade computacional C. Generalização dos Teoremas 1 e 2 para o caso

multidimensionalD. Uso de modelos de canais mais complicados

32

D. Uso de modelos de canais mais complicadosE. Análise estatística da energia de trechos de

sinais caóticosF. Otimização da escolha dos mapas e

transformações utilizados no ML-CSK

G. Proposta de sistema de modulação com recepção diferencial e estimação com desempenho melhor do que o FM-DCSK.

H. Multiplexação – sistemas multiusuários

3.6 Trabalhos futuros (2/2)

33

H. Multiplexação – sistemas multiusuários

1. Introdução - Apresentação - Sinais caóticos

2. Modulação usando portadoras caóticas

3. Estimação de sinais caóticos

Sumário da apresentação

34

3. Estimação de sinais caóticos

4. Espectro de sinais caóticos

5. Seqüências pseudoaleatórias

4.1 Caracterização

• Ocupam larga faixa de freqüências

Objetivos:

• Verificar se caos implica banda larga

35

• Verificar se caos implica banda larga

• Determinar a banda essencial de sinais caóticos

• Gerar sinais caóticos com banda pré-definida

• Mapa define processo estocástico com órbitas como funções-

amostras

– Sequência de Autocorrelação (SAC)

– Densidade Espectral de Potência (DEP)

4.2 Caos como processo estocástico

– Densidade Espectral de Potência (DEP)

– Função Densidade de Probabilidade (FDP) ou Densidade

Invariante

• Exemplo: Ruído Branco Gaussiano

36

DEP FDP

4.3 FAMÍLIA DE MAPAS TENDA INCLINADA

2 1, 1

1 1( )

2 1, 1

1 1

I

s s

f s

s s

αα

α α

αα

α α

−+ − < < + +

= + − ≤ <

− −

( 1) ( ( ))Is n f s n+ =

em que

37

• Parâmetro α determina o valor da abscissa em que se localiza o pico da tenda

, 11 1

s sαα α

− ≤ < − −

4.5 Densidade Espectral de Potência

•Distribuição da potência em função da freqüência

( )

2

2

1( )

3 1 2 cos( )S

αω

α α ω

−=

+ −

38

( )3 1 2 cos( )α α ω+ −

4.8 Densidade Espectral de Potência

• Quanto maior |α |, mais concentrado é o espectro dos sinais resultantes

39

• Sinal de α define se órbitas geradas têm suas potências concentradas nas altas ou baixas frequências

• Simetria com relação a α = 0.5

4.6 Densidade Espectral de Potência

40

4.7 BANDA ESSENCIAL

• Um método para quantificar os resultados obtidos é por meio da banda essencial

• A Banda Essencial B é definida como o comprimento do intervalo de freqüência em que p = 95% da potência do sinal está concentrada (LATHI, 1998)

41

0 0

( ) ( )

B

S d p S d

π

ω ω ω ω=∫ ∫

12arctan tan

2 1

pB

π α

α

− =

+

4.8 BANDA ESSENCIAL

• |α | ≈ 0: processo ruído branco uniforme

42

• |αααα | ≈≈≈≈ 1: banda essencial extremamente estreita

4.9 Espectro - Conclusões parciaisCaracterização Espectral de Sinais Caóticos: Resultados Analíticos

• Principal motivação: poucos estudos sobre as características espectrais de sinais caóticos

• Resultados analíticos comprovam resultados numéricos

- Verificar se caos implica banda larga• Caos não é sinônimo de banda larga

43

• Caos não é sinônimo de banda larga • Sinais caóticos com potência concentrada nas baixas ou altas frequências

- Determinar a banda essencial de sinais caóticos• Fórmula analítica para família tenda inclinada• Banda essencial relacionada ao expoente de Lyapunov

- Gerar sinais caóticos com banda pré-definidaÉ possível escolher uma banda essencial e encontrar um mapa que gere sinais que ocupem essa largura de banda desejada

• Aplicação em sistemas de comunicação- Modulação digital – símbolos diferentes para bandas diferentes

4.9 Espectro - Conclusões parciais

44

- Modulação digital – símbolos diferentes para bandas diferentes- Multiplexação – como no caso convencional

• Existe unicidade?

Mapa unidimensional DEP e Densidade invariante

� Comportamento espectral de outros mapas

� Propriedades espectrais são mantidas por conjugação?

� Mapas multidimensionais

4.10 Algumas Propostas de Trabalhos Futuros

45

� Mapas multidimensionais

� Estudo de características espectrais de esquemas de

modulação caóticos: CSK, DCSK

� Novas aplicações empregando essa características

1. Introdução - Sinais caóticos

2. Modulação usando portadoras caóticas

3. Estimação de sinais caóticos

Sumário da apresentação

46

3. Estimação de sinais caóticos

4. Espectro de sinais caóticos

5. Sequências pseudoaleatórias

• Distribui a potência do sinal em um conjunto maior de frequências

• Técnicas de SS mais usadas: DSSS e FHSS

• Diagrama em blocos de um sistema SS básico

5.1 Princípios Básicos

f f

DEP DEP

47

Sincronismo

f f

• Solução convencional: registradores lineares de deslocamento

montados a partir de m flip-flops

• Características: períodos longos, equilíbrio e baixa correlação

cruzada

5.2 – Sequências PN

• Período da seqüência-m é 482 1mN = −

5.3 - Sequências PN usando Caos

• Sinais caóticos são candidatos naturais para o

espalhamento de uma informação em banda estreita

• Conversão do sinal caótico em uma seqüência polar

49

0 10 20 30 40 50

-1

-0.5

0

0.5

1

x 1(n

)

0 10 20 30 40 50

-1

-0.5

0

0.5

1

x 1´(

n)

1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1

0.7

0.8

0.9

1

Rmax

25

30

5.3 - Sequências PN usando Caos - correlação

Resultados para o mapa logístico

Condições iniciais ruins

(0) 0,875 (0) 0,4375a b

x x= =

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

xa(0)

x b(0

)

5

10

15

20

50

(0) 0,875 (0) 0,4375a b

x x= =

Condições iniciais boas

(0) 0, 4219 (0) 0,7031a b

x x= =

5.3 - Sequências PN usando Caos

Resultados para o mapa tenda inclinada

0.7

0.8

0.9

1

Rmax

25

30

Condições iniciais

(0) 0,875 (0) 0,4375a bx x= =

510 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

xa(0)

x b(0)

10

15

20

a b

Condições iniciais

(0) 0,4219 (0) 0,7031a bx x= =

5.4 - Sequências PN usando Caos

0 50-1

0

1

x 1(n)

n

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

0

0.5

1

Aut

ocor

rela

ção

52

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100l

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500-0.1

0

0.1

l

Cor

. C

ruza

da

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

DE

P

Freqüência (rad)

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Sistema DS-BPSK - Seqüência caótica

BE

R

Sem interferencia

Canal com 1 usuário

Canal com 5 usuários10-4

10-3

10-2

10-1

100

Sistema DS-BPSK - Seqüência convencional

BE

R

Sem interferenciaCanal com 1 usuárioCanal com 5 usuários

5.5 – Canal com múltiplos usuários

53

-5 0 5 1010

-6

10-5

10-4

Eb/N

0 (dB)

Canal com 5 usuáriosCanal com 10 usuários

Canal com 50 usuários

Canal com 100 usuários

-5 0 5 1010

-6

10-5

10-4

Eb/N

0 (dB)

Canal com 5 usuáriosCanal com 10 usuáriosCanal com 50 usuáriosCanal com 100 usuários

1. Estudo analítico do sincronismo de sinais caóticos de tempo discreto com banda limitada

2. Criptografia

Desafios atuais

54

3. Comparação Viterbi x MLE

4. Outros...

Fimmarcio.eisencraft@gmail.com

55

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