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Atividades – Trigonometria

A trigonometria é um ramo da matemática que exerce um papel importantíssimo em vários

contextos do nosso dia-a-dia. Graças a ela foi possível o homem criar desde pequenas obras à

grandes e maravilhosas construções e observar fenômenos que possuem comportamentos cíclicos

no qual é possível modelá-los através de funções trigonométricas, dentre vários outros fenômenos

utilizados na Engenharia, Arquitetura, Aeronáutica e até mesmo na Medicina.

Observe alguns exemplos de onde podemos utilizar a trigonometria de diversas formas:

Apesar de enumerarmos várias aplicações da trigonometria, você realmente sabe como ela é

aplicada no dia-a-dia? Consegue identificar as características trigonométricas de cada fenômeno?

Ou até mesmo consegue identificar um ciclo gráfico de uma função trigonométrica qualquer? Antes

de partirmos para a aplicação precisamos conhecer e entender o que é e como a trigonometria é

formada a partir de seus conceitos básicos.

Para uma maior compreensão de outros exemplos que utilizam a trigonometria assista ao vídeo

“Discovery na escola – Conceitos de Trigonometria [Discovery Channel]” disponível no link:

I. Utilizado na Engenharia para a construção de rodas gigantes

II. Na medicina ao estudar o sistema de batimentos cardíacos, que são movimentos regulares de bombeamento do sangue pelas artérias.

III. Na topografia

http://www.dailymotion.com/video/x10bzkz_discovery-na-escola-conceitos-de-trigonometria-

discovery-channel_school

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Atividade 1 – Comparando as relações trigonométricas

Uma das grandes dúvidas é desvendar as relações trigonométricas e qual sua ligação com os ângulos no círculo trigonométrico...

No círculo trigonométrico o eixo das abscissas representa os valores dos cossenos dos ângulos, o eixo das ordenadas representam os senos e a tangente do ângulo está representada por uma reta tangente ao círculo trigonométrico. Respeitando sempre o sinal em relação à origem. Ângulos no primeiro quadrante: Observe o círculo trigonométrico a seguir:

1) Considerando que 1, 2 e 3 representam três ângulos, complete utilizando o sinal de “<” ou “>” para representar a relação:

1̂__________2̂___________3̂ 2) Sabendo que o eixo das abscissas representam os valores dos cossenos dos ângulos, complete utilizando o sinal de “<” ou “>” para representar as relações:

𝑠𝑒𝑛(1̂)______________𝑠𝑒𝑛(2̂)___________𝑠𝑒𝑛(3̂)

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3) Sabendo que o eixo das ordenadas representam os valores dos senos dos ângulos, complete utilizando o sinal de “<” ou “>” para representar as relações:

𝑐𝑜𝑠(1̂)______________𝑐𝑜𝑠(2̂)___________𝑐𝑜𝑠(3̂)

4) Considerando a reta tangente, utilize os sinais de “<” ou “>” para representar as relações:

𝑡𝑔(1̂)___________𝑡𝑔(2̂)_______________𝑡𝑔(3̂)

5) Que conclusão podemos tirar sobre os valores dos senos, cossenos e tangentes em relação aos seus ângulos?

______________________________________________________________________________

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____________________________________

6) em relação aos sinais (positivo) ou (negativo), no primeiro quadrante o seno de qualquer ângulo

é ________________________, o cosseno é __________________________ e a tangente é

________________________.

Por exemplo:

30° _______ 45° _______ 60°

𝑠𝑒𝑛(30°)______________𝑠𝑒𝑛(45°)___________𝑠𝑒𝑛(60°)

𝑐𝑜𝑠(30°)______________𝑐𝑜𝑠(45°)___________𝑐𝑜𝑠(60°)

𝑡𝑔(30°)_____________𝑡𝑔(45°)_______________𝑡𝑔(60°)

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Ângulos no segundo quadrante: Observe o círculo trigonométrico ao lado:

1) Considerando que 1, 2 e 3 representam três ângulos, complete utilizando o sinal de “<” ou “>” para representar a relação:

1̂__________2̂___________3̂ 2) Sabendo que o eixo das abscissas representam os valores dos cossenos dos ângulos, complete utilizando o sinal de “<” ou “>” para representar as relações:

𝑠𝑒𝑛(1̂)______________𝑠𝑒𝑛(2̂)___________𝑠𝑒𝑛(3̂)

3) Sabendo que o eixo das ordenadas representam os valores dos senos dos ângulos, complete utilizando o sinal de “<” ou “>” para representar as relações:

𝑐𝑜𝑠(1̂)______________𝑐𝑜𝑠(2̂)___________𝑐𝑜𝑠(3̂)

4) Considerando a reta tangente, utilize os sinais de “<” ou “>” para representar as relações:

𝑡𝑔(1̂)___________𝑡𝑔(2̂)_______________𝑡𝑔(3̂)

5) Que conclusão podemos tirar sobre os valores dos senos, cossenos e tangentes em relação aos seus ângulos?

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______________________________________________________________________________

6) em relação aos sinais (positivo) ou (negativo), no segundo quadrante o seno de qualquer ângulo é ________________________, o cosseno é __________________________ e a tangente é ________________________.

Por exemplo:

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120° _______ 135° _______ 150°

𝑠𝑒𝑛(120°)______________𝑠𝑒𝑛(135°)___________𝑠𝑒𝑛(150°) 𝑐𝑜𝑠(120°)______________𝑐𝑜𝑠(135°)___________𝑐𝑜𝑠(150°)

𝑡𝑔(120°)_____________𝑡𝑔(135°)_______________𝑡𝑔(150°)

Ângulos no terceiro quadrante: Observe o círculo trigonométrico ao lado:

1) Considerando que 1, 2 e 3 representam três ângulos, complete utilizando o sinal de “<” ou “>” para representar a relação:

1̂__________2̂___________3̂ 2) Sabendo que o eixo das abscissas representam os valores dos cossenos dos ângulos, complete utilizando o sinal de “<” ou “>” para representar as relações:

𝑠𝑒𝑛(1̂)______________𝑠𝑒𝑛(2̂)___________𝑠𝑒𝑛(3̂)

3) Sabendo que o eixo das ordenadas representam os valores dos senos dos ângulos, complete utilizando o sinal de “<” ou “>” para representar as relações:

𝑐𝑜𝑠(1̂)______________𝑐𝑜𝑠(2̂)___________𝑐𝑜𝑠(3̂)

4) Considerando a reta tangente, utilize os sinais de “<” ou “>” para representar as relações:

𝑡𝑔(1̂)___________𝑡𝑔(2̂)_______________𝑡𝑔(3̂)

5) Que conclusão podemos tirar sobre os valores dos senos, cossenos e tangentes em relação aos seus ângulos?

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

6) em relação aos sinais (positivo) ou (negativo), no terceiro quadrante o seno de qualquer ângulo é ________________________, o cosseno é __________________________ e a tangente é ________________________.

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Por exemplo:

180° _______ 215° _______ 240°

𝑠𝑒𝑛(180°)______________𝑠𝑒𝑛(215°)___________𝑠𝑒𝑛(240°) 𝑐𝑜𝑠(180°)______________𝑐𝑜𝑠(215°)___________𝑐𝑜𝑠(240°)

𝑡𝑔(180°)_____________𝑡𝑔(215°)_______________𝑡𝑔(240°)

Ângulos no quarto quadrante: Observe o círculo trigonométrico a seguir:

1) Considerando que 1, 2 e 3 representam três ângulos, complete utilizando o sinal de “<” ou “>” para representar a relação:

1̂__________2̂___________3̂ 2) Sabendo que o eixo das abscissas representam os valores dos cossenos dos ângulos, complete utilizando o sinal de “<” ou “>” para representar as relações:

𝑠𝑒𝑛(1̂)______________𝑠𝑒𝑛(2̂)___________𝑠𝑒𝑛(3̂)

3) Sabendo que o eixo das ordenadas representam os valores dos senos dos ângulos, complete utilizando o sinal de “<” ou “>” para representar as relações:

𝑐𝑜𝑠(1̂)______________𝑐𝑜𝑠(2̂)___________𝑐𝑜𝑠(3̂)

4) Considerando a reta tangente, utilize os sinais de “<” ou “>” para representar as relações:

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𝑡𝑔(1̂)___________𝑡𝑔(2̂)_______________𝑡𝑔(3̂)

5) Que conclusão podemos tirar sobre os valores dos senos, cossenos e tangentes em relação aos seus ângulos?

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

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______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

6) em relação aos sinais (positivo) ou (negativo), no quarto quadrante o seno de qualquer ângulo é ________________________, o cosseno é __________________________ e a tangente é ________________________.

Por exemplo:

300° _______ 315° _______ 330°

𝑠𝑒𝑛(300°)______________𝑠𝑒𝑛(315°)___________𝑠𝑒𝑛(330°)

𝑐𝑜𝑠(300°)______________𝑐𝑜𝑠(315°)___________𝑐𝑜𝑠(330°)

𝑡𝑔(300°)_____________𝑡𝑔(315°)_______________𝑡𝑔(330°)

Ângulos das abscissas e das ordenadas: Observe o círculo trigonométrico a seguir:

1) Quais são ângulos das abscissas? _______________________________________________________________ 2) Por que possuem este nome?

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______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

_________________________________

3) O que caracteriza um ângulo da abscissa? Dê outros exemplos.

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

_________________________________

4) Quais são ângulos das ordenadas? _______________________________________________________________ 5) Por que possuem este nome?

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

_________________________________

6) O que caracteriza um ângulo da ordenada? Dê outros exemplos.

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

_________________________________

7) Considerando que o círculo trigonométrico possui raio unitário, quais são os valores de:

A) 𝑠𝑒𝑛(0°) = G) 𝑠𝑒𝑛(180°) = B) cos(0°) = H) 𝑐𝑜𝑠(180°) = C) 𝑡𝑔 (0°) = I) 𝑡𝑔(180°) =

D) 𝑠𝑒𝑛(90°) = J) 𝑠𝑒𝑛(270°) = E) cos(90°) = K) 𝑐𝑜𝑠(270°) = F) 𝑡𝑔 (90°) = L) 𝑡𝑔(270°) =

Atividade 2 – O arco côngruo

Todos os arcos de um círculo trigonométrico, sem exceção, possuem uma determinação principal (na primeira volta). Porém dois ou mais arcos podem possuir a mesma determinação mesmo que não possuam o mesmo comprimento, e isto ocorre porque podem possuir um número diferentes de voltas sobre o círculo trigonométrico. É preciso, então, aplicar a definição geral para representar um arco e seus respectivos côngruos. Observe:

Pegaremos como exemplo o ângulo de 30° ou 𝜋

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Para descobrirmos os arcos côngruos a 30° ou 𝜋

6 no primeiro quadrante basta adicionarmos k-voltas

em graus ou radianos a este valor. Em graus

Arco de 30°

Nº de voltas completas Arco côngruo

1 30° + (1).(360°) = 380°

2 30° + (2).(360°)=750°

3 30° + (3).(360°)=1100°

4 30° + (4). (360°)= 1470°

k 30° + 360°.k

Em radianos

Arco de 𝝅

𝟔

Nº de voltas completas Arco côngruo

1 𝝅

𝟔+ 𝟏. 𝟐𝝅 =

𝟏𝟑𝝅

𝟔

2 𝝅

𝟔+ 𝟐. 𝟐𝝅 =

𝟐𝟓𝝅

𝟔

3 𝝅

𝟔+ 𝟑. 𝟐𝝅 =

𝟑𝟕𝝅

𝟔

4 𝝅

𝟔+ 𝟒. 𝟐𝝅 =

𝟒𝟗𝝅

𝟔

k 𝝅

𝟐+ 𝟐𝒌𝝅

Isto significa que todos estes ângulos possuem o mesmo ponto dentro do círculo trigonométrico, ou seja, possuem o mesmo seno, cosseno, tangente e qualquer outra relação trigonométrica.

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1) Siga os mesmos passos do exemplo anterior e encontre os arcos côngruos (em graus e em radianos) de cada ângulo a seguir e ao final represente-os no círculo trigonométrico. A) 45° B) 160°

C) 3𝜋

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D) 5𝜋

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Porém, dentro de uma mesma volta um ângulo possui seus arcos côngruos em cada um dos quadrantes. Ainda pegando o 30° como exemplo:

Representação no I Quadrante

Representação no II Quadrante

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Como desenvolver: Como temos o arco de 30°, se traçarmos uma reta paralela ao eixo das abscissas até a um ponto do círculo trigonométrico encontraremos o ponto que representa seu arco côngruo no segundo quadrante. Como calcular:

Basta subtrair o ângulo original no I quadrante de 180° ou 𝜋, ou seja,

180° - 30° = 150° ou 𝝅 −𝝅

𝟔=

𝟓𝝅

𝟔

2) Podemos dizer, então, que se 𝜶 é a representação de um arco no I Quadrante, seu arco côngruo no III Quadrante pode ser calculado por:

_______________________________ ou _____________________________

Representação no III Quadrante

Como desenvolver: Como temos o arco de 30°, se prolongarmos a reta que define o arco no I quadrante ao longo do III quadrante até um ponto do círculo teremos seu arco côngruo no III quadrante, formando assim

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ângulos opostos pelo vértice. Logo podemos dizer que de 180° até o ponto formado pelo encontro da reta e a circunferência temos um arco de 30°. Como calcular:

Basta somar o ângulo original no I quadrante a 180° ou 𝜋, ou seja,

180° + 30° = 210° ou 𝝅 +𝝅

𝟔=

𝟕𝝅

𝟔

3) Podemos dizer, então, que se 𝜶 é a representação de um arco no I Quadrante, seu arco côngruo no III Quadrante pode ser calculado por:

_______________________________ ou _____________________________

Representação no IV Quadrante

Como desenvolver: Como temos o arco de 30°, se traçarmos uma reta paralela ao eixo das ordenadas até a um ponto do círculo trigonométrico encontraremos o ponto que representa seu arco côngruo no quarto quadrante. Como calcular:

Basta subtrair o ângulo original no I quadrante de 360° ou 2𝜋, ou seja,

360° - 30° = 330° ou 𝟐𝝅 −𝝅

𝟔=

𝟏𝟏𝝅

𝟔

4) Podemos dizer, então, que se 𝜶 é a representação de um arco no I Quadrante, seu arco côngruo no IV Quadrante pode ser calculado por: _______________________________ ou ____________________________

5) Dados os ângulos a seguir encontre os seus respectivos côngruos(em graus e em seguida represente-os no círculo trigonométrico radianos) da primeira volta em cada um dos quadrantes : A) 15° B) 60°

C) 7𝜋

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D) 𝜋

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Os sinais das funções trigonométricas de um ângulo em relação aos seus côngruos Observe o círculo trigonométrico a seguir:

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6) Agora responda, colocando o sinal de (+) ou (-): A) 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = ______𝑠𝑒𝑛(𝜋 − 𝛼) D) 𝑐𝑜𝑠(𝛼) = ______𝑐𝑜𝑠(𝜋 − 𝛼) B) 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = ______𝑠𝑒𝑛(𝜋 + 𝛼) E) 𝑐𝑜𝑠(𝛼) = ______𝑐𝑜𝑠(𝜋 + 𝛼)

C) 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = ______𝑠𝑒𝑛(2𝜋 − 𝛼) F) 𝑐𝑜𝑠(𝛼) = ______𝑐𝑜𝑠(2𝜋 − 𝛼) 7) Agora, em relação a tangente, podemos fazer a mesma relação? ________Sim __________ Não 8) Se sim, relacione a 𝑡𝑔(𝛼) com as tangentes dos arcos côngruos a 𝛼 na primeira volta: 9) O que podemos dizer sobre tangente de um ângulo em relação ao seus seno e cosseno? ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Atividade 3 – Arcos côngruos nas determinações negativas

Sabemos que a determinação de um círculo trigonométrico é anti-horária, na qual denominamos de sentido positivo.

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Porém, há situações em que temos o sentido horário, denominado de sentido ou determinação negativa.

Como calcular o ângulo na determinação negativa?

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Observe que 𝛼 = - 30°. Isto significa que 𝛼 distanciou 30° de 360° no sentido negativo , logo na primeira determinação positiva temos que 𝛼 = 360° - 30° = 330°. Este cálculo também pode ser efetuado se o ângulo estiver em radianos. Podemos concluir que – 30° = 330° na primeira determinação positiva. Se um ângulo ultrapassar – 360° na determinação positiva procedemos da seguinte forma: Por exemplo: - 795° - 795 : 360° (1 volta completa) = 2 voltas completas em sentido negativo e sobraram – 75°. 360° - 75° = 285°. Isto significa que na primeira determinação positiva o ângulo – 795° = 285°. 1) Observando o exemplo encontre o valor de cada ângulo em sua primeira determinação principal.

A) – 182° E) – 1540° I) −16𝜋

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B) – 240° F) – 2486° J) −2𝜋

C) – 180° G) −5𝜋

4 K) −

25𝜋

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D) – 270° H) −7𝜋

3 L) −

37𝜋

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Funções trigonométricas em relação aos ângulos na determinação negativa

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2) Analise o círculo a seguir e complete as lacunas com (+) ou (-): A) 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = _____𝑠𝑒𝑛(−𝛼) B) cos(𝛼) = _____cos (−𝛼)

C) 𝑡𝑔(𝛼) = ______𝑡𝑔(−𝛼)

3) Essa relação é sempre a mesma para qualquer valor de 𝛼? Justifique.

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

___________________________________________________

4) Discuta em sala se há alguma aplicação de problema que devemos utilizar a determinação

negativa e qual seu significado.

Atividade 4 – Construindo meu próprio ciclo trigonométrico

Chegou a hora de você mesmo construir seu próprio ciclo trigonométrico. Ao manipularmos algo concreto podemos perceber e intender muitos outros conceitos que não percebemos ao apenas executar listas de exercícios. Material utilizado:

Papel cartão, papelão ou algo similar (pode ser feito em A4, porém quanto mais rígido for o

papel melhor);

Régua;

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Transferidor;

Compasso;

Tesoura;

Barbante;

Lápis.

Construção: 1º Passo: Utilizando o compasso com uma abertura de 10 cm, desenhe um círculo no papel escolhido para executar o trabalho e com uma régua trace os eixos cartesianos.

2º Passo: Divida os eixos de 1 em 1 centímetro e os marque da seguinte forma:

3º Passo: Utilizando o transferidor. Marque pontos sobre a circunferência de 10 em 10 graus.

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4º Passo: Pegue um pedaço de barbante com um pouco mais de 10 cm de comprimento e cole uma de suas pontas no centro da circunferência. Em seguida corte a sobra até que ele fique com exatamente 10 cm de comprimento (mesmo tamanho do raio da circunferência confeccionada). A ideia é que o barbante sirva como seu raio. 5º Passo: Recorte, com a tesoura, o círculo para que fique melhor de manuseá-lo e carregá-lo. A ideia é encontrar os valores aproximados dos senos e cossenos dos ângulos e definir os valores das outras funções (tangente, secante, cossecante e cotangente). Se quiser uma aproximação melhor faça o círculo trigonométrico maior e o divida em mais partes.

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Referências:

Disponível em: < https://commons.wikimedia.org/wiki/Ferris_wheel#/media/File:Riesenrad_centro_park_oberhausen.jpg> -

Acesso em: 14 out. 2015

Disponível em: < https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Blood_vessels#/media/File:Circulatory_System_zh.svg> - Acesso

em: 14 out. 2015

Disponível em: < https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Topography#/media/File:Field-MapBirdie2.JPG> - Acesso em: 14

out. 2015