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7/26/2019 Aula 01 - Limites - Noções, Definição, Lateralidade
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Limites
Camila Amorim
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Conteúdos
1. Introdução2. Noção intuitiva
3. Defnição4. Limites Laterais5. Unicidade. !"em#los
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•No s$culo %&II'matem(ticos
tra)al*avam na soluçãode #ro)lemas como+ ainclinação da reta
tan,ente- a velocidadeinstantnea- e (reas dere,i/es #lanas so) o,r(fco de uma 0unção.
IntroduçãoUm pouco de História:
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• s camin*os #ara )usca dasolução desses #ro)lemasdirecionaramse #ara o
desenvolvimento de 0erramentasmatem(ticas ue conduiram aosur,imento do CálculoDiferencial e Integral.
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• Nesses estudos destacaramseNewton e Leibnitz uedesenvolveram a mesma teoriauase ue #aralelamente.
Isaac Newton Leibnitz
• conceito de Limite $ 0undamentalem todo o estudo do C(lculo
di0erencial.
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• A matem(tica $ im#rescindvel 60ormação dos en,en*eiros' se7a ual0or o seu ramo 8en,en*aria civil'en,en*aria el$trica' etc9.
• : usada na construção de edi0cios'estradas' t;neis' metr<s' )arra,ens'
#ortos' aero#ortos' 0()ricas' sistemasde telecomunicaç/es' criação dedis#ositivos mecnicos' el$tricos'
desenvolvimento de m(uinas' entre
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• A diversidade de con*ecimentos
ue o en,en*eiro #ossua e a 0ormacomo ele articula essescon*ecimentos $ ue 0ar(di0erença no com#etitivo mercadode tra)al*o da sociedade atual.
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Noção intuitiva de Limite
Consideremos uma #essoaue o)serva o to#o de uma(rvore' con0orme f,ura
a)ai"o.
θ
d
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=e essa #essoa camin*ar em direção
6 (rvore e ao mesmo tem#ocontinuar ol*ando #ara o to#o'o)servase ue+
•a distncia entre o *omem e a(rvore se a#ro"ima de ero.•o n,ulo 0ormado entre o raio de
visão do *omem com a lin*a*oriontal se a#ro"ima de >?@.
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u se7a'Ao #asso ue d ?'
#erce)emos ue θ >?@.Assim' #odemos escrever+lim θ (d ) = 90°d 0
θ
d
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LIMITE=a)emos ue no con7unto dos n;meros reais' #odemos
sem#re escol*er um con7unto de n;meros se,uindoualuer re,ra #reesta)elecida.
Analise as se,uintes sucess/es num$ricas+
• 1' 2' 3' 4' 5' ...
• 12' 23' 34' 45' 5' ... ?'5- ?'- ?'B5- ?'- ?'333...
• 1' ?' 1' 2' 3' ...
∞→ +x
−∞→x
1x →
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Considere a seguinte função:
O que podemos dizer quando x seaproxima 1?
LIMITE
1x2xf += )(
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TABELA DE APROXIMAÇÕES
x y = 2 x + 1
1,5 4
1, ,!
1,1 ,2
1,05 ,1
1,02 ,04
1,01 ,02
x y = 2 x + 1
0,5 2
0," 2,4
0,9 2,#
0,95 2,9
0,9# 2,9!
0,99 2,9#
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Gráco
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s dois ti#os de a#ro"imaç/es ue vemos nas ta)elas sãoc*amados de limites laterais.
• uando " tende a 1 #or valores menores do ue 1'
diemos ue " tende a 1 #ela esuerda' e denotamos #or
• uando " tende a 1 #or valores maiores do ue 1'
diemos ue " tende a 1 #ela direita' e denotamos #or
LIMITE
=)1+x2($im1x→
=)1+x2($im+1x→
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Conclusão:
%ua&do x se aproxima de 1, ta&to pe$a direitacomo pe$a es'uerda, f(x) se aproxima de
Usamos a seguinte simbologia:x se aproxima de 1 x 1
f(x) se aproxima de 3 f(x)
3ou
=)1+x2($im1x→
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!"em#los
a9 Calcule lim 83 x 3 E 5 x 9. x 3
&amos o)servar o com#ortamento
de 0unção 08"9 F 3 x 3
E 5 x, navizinhança de x = ! !"# !"$ !"$% !"$$ &&&
G B>'5 B'B >1'BB >5'142
'"! '"1 '"(% '"(1 &&&
G 114'4?4
1?4'B3
1??'3B
>'2
6 esuerda+
6 direita+
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• *sere 'ue se tor&armos x cada e maispróximo , ta&to - es'uerda como - direita, os
a$ores de y se aproximam de 9!• .odemos /aer os a$ores de y tor&aremse to
próximos de 9! 'ua&to 'uisermos• ssim aceitamos 'ue o $imite dessa /u&3o
'ua&do x te&de a iua$ ao a$or 'ue
e&co&tramos 'ua&do su*stitu6mos o a$or de x
por &essa /u&3o, ou se7a,
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$im (x
+ 5x)x
+ 5 = 9!
$im (x + 5x) = 9!x
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)9 Calcule lim 8"2 H 5" E 49 " 1
8192 5819 E 4 F 1?
lim 8"2 H 5" E 49 F1?
"
1
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c) 8a$cu$e lim
x 1
0
0
11
112=
−
−
E AGORA!?E AGORA!?
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=er( necess(rio sem#re construir
tabelas de a"roximaç#es "aradeterminar o limite de uma funç$o,caso ele e"ista
)ão*)ão* J( uma 0orma )em maissim#les' como veremos mais adiante em outros e"em#los...
Krimeiramente vamos 0ormaliaral,uns conceitos.
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Defnição
• =e os valores de 08"9 #uderem sertornados tão #r"imos uantouisermos de L' 0aendo "sufciente #r"imos de a 8mas nãoi,ual a a9' então escrevemos
• Mlimite de 08"9 uando " tende a a $L.
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Limites Laterais
• A unçãoJeaviside' %' $defnida #or
!ssa 0unção' cu7o nome *omena,eiao en,en*eiro el$trico Oliver
Heaviside 815?1>259' #ode serusada #ara descrever uma correnteel$trica ue $ esta)elecida em " F?.
Oliver Heaviside
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*sere 'ue:
• %ua&do x te&de a ero pe$a es'uerda, H ( x )te&de a 0
• %ua&do x te&de a ero pe$a direita, H ( x ) te&de
a 1
e7a o r/ico a*aixo:
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• com#ortamento da 0unçãoJeaviside na viin*ança de x 'uando x tende a ero ? não $;nico' ou se7a' não e"iste umn;mero ;nico #ara o ual %&x' tende' uando x tende a ?.
• Kortanto lim %&x' não e"iste. X 0
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Limites Laterais
Defnição• lim f&x' F L " a
• limite de f&x' uando x tende a a
#ela esuerda $ i,ual a L se#udermos tornar os valores de f&x' ar)itrariamente #r"imos de L'tomandose x sufcientemente#r"imos de a e menor ue a.
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Limites Laterais
Defnição• lim f&x' = L " aE
• limite de f&x' uando x tende a a
#ela direita $ i,ual a L se #udermostornar os valores de f&x' ar)itrariamente #r"imos de L'tomandose x sufcientemente#r"imos de a e maior ue a.
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Assim #odemos concluir ue+• =e lim f&x' F lim f&x' F L' então lim
f&x' F L
x a( x a) x a
• =e lim f&x' ≠ lim f&x'' então lim f&x' não e"iste
x a( x a) x a
)servaç/es
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Unicidade do Limite
• =e lim f&x' F L* e lim f&x' F L2 'então L* F L2
x a x a
Uma 0unção não #ode tender a doislimites di0erentes ao mesmotem#o.
Assim' se o limite de uma 0unçãoe"iste ele ser( ;nico.=e uma 0unção f tiver um limite L no
n;mero a' então L ser( o limite de f
em a.
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!"em#los
1. =e7a 08"9 defnida #elo ,r(fcoa)ai"o' intuitivamente' encontre see"istir+
a9 lim 08"9
x 2
)9 lim 08"9 x 2E
c9 lim 08"9 x 2
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2. =e7a 08"9 defnida #elo ,r(fco
a)ai"o' intuitivamente'encontre se e"istir+a9 lim 08"9 x 3
)9 lim 08"9 x 3E
c9 lim 08"9
x 3d9 lim 08"9 x 4
e9 lim 08"9 x (*
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3. =e7a 8"9 F O" P 4O. Calculeos limites indicados see"istirem+
a9 lim 08"9 x 4
)9 lim 08"9 x 4E
c9 lim 08"9
x 4d9 lim 08"9 x ?
e9 lim 08"9 x +
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Limites de uma 0unção
#olinomial• unç/es #olinomiais são 0unç/escu7a e"#ressão $ um #olin<mio.
• !"em#los+ 08"9 F " E 1' ,8"9 F
8129"2
• =u)stitui o valor de " #elo valorcu7a viin*ança dever ser estudada
e determina o valor do limite.Como nos e"em#los+ $im (x2 ; 5x + 4) = 10x 1
$im (x + 5x) = 9!x
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=e f 0or uma 0unção #olinomial ouracional e a estiver no domnio de f 'então
lim f&x' F f&a' x a
Limite de uma 0unção#olinomial
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!"em#los
1.Calcule os limites das se,uintes0unç/es+
a9
)9
c9
d9
e9
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Assunto Kr"ima Aula+
Limite e Continuidade
Kr$reuisitos•Qr(fco de 0unç/es elementares-•Radiciação-•Kotenciação-•Re,ras de o#eraç/es matem(ticas.
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!studos inde#endentes+
•aer uma revisão so)re #rodutosnot(veis e 0atoração de #olin<mios.•!"erccios do livro C(lculo A+
=eção 3.' uest/es 1 a 5- 1 a 3B- =eção 3.' uest/es 1 a 1?.
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Cálculo A: funções, limite, derivação e integração Fo
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F>IJ, Kames Cálculo Fo .au$o: 8e&aeear&i&, 200#
BU@CJ@LL@, Hami$to& ui um Curso de Cálculo
Fo .au$o: >ditor Gorsoi, 200#
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