Aula 13 Sinais e Sistemas – Capítulo 3 Simon Haykin

Aula 13

Sinais e Sistemas – Capítulo 3

Simon Haykin

Aula 13

Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto

(DTFT)

Desenvolvemos a DTFT a partir da DTFS, onde um sinal não periódico é descrito como o limite de um sinal periódico de período fundamental N aproximando-se do infinito.

Mn

MnMnxnx

,0

,~ Seja

Onde é um sinal periódico de período N=2M+1. nx~

Aula 13

Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto

(DTFT) A medida que M se eleva, as réplicas periódicas de x[n] presentes em se distanciam da origem. Quando M->∞, as réplicas movem-se para infinito.

nx~

Aula 13

Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto

(DTFT)

Então, podemos escrever

M

nxnx ~lim

Como é um sinal periódico, então podemos representá-lo pela usando o par de DTFS, isto é

nx~

M

Mk

njkekXnx 0][~

M

Mn

njkenxM

kX 0~12

1][

Aula 13

Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto

(DTFT)

Como , então MnMnxnx ,~

n

njkM

Mn

njk enxM

enxM

kX 00

12

1

12

1][

Definimos agora uma função contínua de frequência

cujas amostras em são iguais aos coeficientes da DTFS normalizados por 2M+1, ou seja

n

njj enxeX ][

0k

12

][][

0

M

eXkX

jk

Aula 13

Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto

(DTFT)

Substituindo a definição de X[k] na DTFS

1220 M

M

Mk

njkekXnx 0][~

temos

M

Mk

njkjk eeXM

nx 00 ][12

1~

Como , então

000 ][

2

1~

M

Mk

njkjk eeXnx

Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto

(DTFT) A medida que M se eleva, Ωo diminui (de a para c), provando um decréscimo no espaçamento harmônico.

Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto

(DTFT) Desde que , onde

Mnxnx ~lim

000 ][

2

1~

M

Mk

njkjk eeXnx

então

000 ][

2

1lim

M

Mk

njkjk

MeeXnx

Observe que estamos somando valores de uma função avaliados em kΩo, multiplicados pela largura entre amostras, Ωo. Esta consiste em uma aproximação pela regra retangular para integração.

njkjk eeX 00 ][

Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto

(DTFT)Deste modo,

é uma aproximação para

000 ][

2

1lim

M

Mk

njkjk

MeeXnx

deeXnx njj

][

2

1

onde foi considerado que Ω=kΩo, de modo que dΩ=Ωo, e que

0lim M

M

Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto

(DTFT)A DTFT inversa

nos diz que x[n] é uma superposição ponderada de senóides discretas, onde a superposição é proporcionada pela integral e a ponderação é dada por

deeXnx njj

][

2

1

deX j ][2

1

onde é a DTFT.

n

njj enxeX ][

Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto

(DTFT)

Dizemos que e x[n] são um par de DTFT. ][ jeX

Ao obter a DTFT, é considerado que x[n] tem duração finita.Podemos também aplicar esses resultados a sinais x[n] com duração infinita, mas para isso temos que considerar as condições sob as quais a DTFT converge.

Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto

(DTFT)

Condição 1: Se x[n] é absolutamente somável, isto é

então a DTFT convergirá uniformemente para uma função contínua de Ω.

n

nx ][

Condição 2: Se x[n] não for absolutamente somável, mas tiver energia finita, isto é

n

nx2

][

então pode-se mostrar que a DTFT converge, mas não ponto a ponto.

Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto

(DTFT)

Muitos sinais físicos encontrados na prática da engenharia satisfazem as condições citadas. Entretanto, existem sinais não periódicos de uso comum, por exemplo o degrau unitário, que não satisfaz àquelas condições. Veremos como tratar esses casos no capítulo seguinte.

Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto

(DTFT)

Exemplo: Encontre a DTFT de

Solução: A DTFT de x[n] é dada por

nunx n

0

][n

njn

n

njnj eenueX

O último somatório diverge para |α|≥1. Para |α|<1 temos a série geométrica convergente

1,1

1][

0

j

n

njj

eeeX

Se α é real, então o módulo e a fase são como segue.

Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto

(DTFT)

cos21

1

sencos1

1][

2222 jeX

Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto

(DTFT)

cos1

sentan][ 1

jeX

Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto

(DTFT)

Exemplo: Encontre a DTFT de um pulso retangular definido como

Solução: A DTFT de x[n] é dada por

M

Mn

nj

n

njj eenxeX ][

Mn

Mnnx

,0

,1][

Fazendo m=n+M, temos

Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto

(DTFT)

A penúltima expressão pode ser simplificada fazendo-se a simetria das potências da exponencial do numerador e denominador, conforme a seguir.

4,2,0,12

4,2,0,1

1

][

12

2

0

2

0

Me

ee

ee

eeX

j

MjMj

M

m

mjMj

M

m

Mmjj

Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto

(DTFT)

Aplicando L’Hopital, temos que

2sen

122

sen

][222

212212212

M

eee

eeeeeX

jjj

MjMjMjMjj

12][ MeX j

Consequentemente, temos que

,

2sen

122

sen][

MeX j

Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto

(DTFT)

Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto

(DTFT)

Exemplo: Encontre a DTFT inversa de

Solução: A DTFT inversa é dada por

W

WeX j

,0

,1][

0,sen1

2

1

2

1

][2

1

nWnnW

We

njde

deeXnx

njW

W

nj

njj

Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto

(DTFT)

Usando L’Hopital, mostra-se que W

x 0

Logo, podemos escrever Wnn

nx sen1

com o entendimento que o valor em n=0 é obtido como o limite.

Também podemos escrever

WnW

nx sinc

Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto

(DTFT)

WnW

nx sinc

Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto

(DTFT)

Exemplo: Encontre a DTFT de

Solução: A DTFT é dada por

Consequentemente

1][

n

njj eneX

Consequentemente

1][

n

njj eneX

n

Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto

(DTFT)

Exemplo: Encontre a DTFT inversa de

Solução: A DTFT inversa é dada por

,

2

1][

2

1

denx nj

Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto

(DTFT)

Observe, no exemplo anterior, que podemos definirPara todos os Ω, escrevendo-o como uma soma infinita de funções delta deslocadas por múltiplos inteiros de 2π, ou seja,

jeX

k

j keX 2