Aula 20 Sinais e Sistemas – Capítulo 7 Simon Haykin

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Sinais e Sistemas – Capítulo 7

Simon Haykin

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Propriedades da Região de Convergência

1.A região de convergência não deve conter nenhum pólo.

Prova: Se d é um pólo, então |X(d)|=∞, de modo que a transformada z não converge no pólo.

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2.A região de convergência de um sinal de duração finita inclui o plano Z inteiro, com exceção, possivelmente, de z=0 e/ou z=∞.

Prova: Suponha que x[n] seja diferente de zero somente no intervalo n1≤n≤n2. Logo

2

1

n

nn

nznxzX

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A soma convergirá, desde que cada termo seja finito.

Se um sinal tiver quaisquer componentes causais diferentes de zero (n2>0), então X(z) terá um termo que envolve z-1, de modo que a região de convergência não poderá incluir z=0.

2

1

n

nn

nznxzX

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Se um sinal tiver quaisquer componentes não causais diferentes de zero (n1<0), então X(z) terá um termo que envolve z, de modo que a região de convergência não poderá incluir |z|=∞.

2

1

n

nn

nznxzX

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Inversamente, se um sinal não tiver nenhum componente causal diferente de zero (n2≤0) diferentes de zero, então a região de convergência incluirá z=0. Se um sinal não tiver nenhum componente não causal diferente de zero (n1≥0), então a região de convergência incluirá |z|=∞. Logo, x[n]=cδ[n] é o único sinal cuja região de convergência é o plano inteiro, de fato.

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Considere agora um sinal de duração infinita. A condição de convergência é |H(z)|<∞. Logo,

n

n

n

n

n

n

znxznx

znxzX

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Dividindo a soma infinita em partes de tempos positivo e negativo, temos que

1

n

nznxzI e

0n

nznxzI

Logo, temos que zIzIzX

Assim, |X(z)| será finito se I-(z) e I+(z) forem finitos, o que exige que |x[n]| seja limitado de alguma forma.

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Suponhamos, então, que possamos limitar |x[n]|, encontrando as menores constantes positivas, A-, A+, r- e r+, tais que

e 0, nrAnX n

Um sinal que satisfaz esses limites não cresce mais rápido do que r-n, quando n<0, ou do que r+n quando n≥0.

0, nrAnX n

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Se é satisfeito, então 0, nrAnX n

0, nrAnX n

1

11

k

k

n

n

n

nn

r

zA

z

rAzrAzI

Observe que o último somatório converge se rz

Se é satisfeito, então

00 n

n

n

nn

z

rAzrAzI


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Logo, se , então tanto I+(z) quanto I-(z) convergirão, de modo que |X(z)| também convergirá.

rzr

Observe que se , então não existirão valores de z para os quais a convergência é garantida

00 n

n

n

nn

z

rAzrAzI


rr

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Exemplo: identifique a região de convergência associada à transformada z de cada um dos sinais a seguir.

nununw

nununy

nununx

nn

nn

nn

4

12

2

1

4

12

2

1

4

12

2

1

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Solução:

00

0

0

4

122

4

12

2

1

n

n

k

k

n

n

n

n

zz

zzzX

Limites de convergência: e 21z 41z

41

2

21

1

z

z

zzX

Pólos: e 21z 41z

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Solução:

00 4

12

2

1

n

n

n

n

zzzY


41

2

21

z

z

z

zzY

Pólos: e 21z 41z

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Solução:

00

00

422

4

12

2

1

k

n

k

k

n

n

n

n

zz

zzzW


zzz

zW4

2

21

1

Pólos: e 21z 41z

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Propriedades da Transformada Z

Nas propriedades apresentadas a seguir, supomos que

zXnxZ

e

com região de convergência Rx.

zYnyZ

com região de convergência Ry.

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Linearidade

zbYzaXnbynaxZ

com região de convergência igual a no mínimo Rx∩Ry.

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Exemplo: Suponhamos que

23

21

12

3

2

1

zz

zzXnununx

Znn

com região de convergência igual a 2

3

2

1 z

e

21

21

41

2

1

4

1

zz

zzYnununy

Znn

com região de convergência igual a 2

1z

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Avalie a transformada Z para nbynax

Solução:

2

3

2

1 z

Em geral, a região de convergência é igual à interseção das regiões de convergência individuais, isto é

4121

41

2321

zz

zb

zz

zanbynax

Z

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Observe o que acontece no caso particular em que a=b. Neste caso,

2

3

4

1 z

Para este caso, a região de convergência é igual

nunuanbynax

nn

4

11

2

3

A transformada z da combinação é

2341

45

zz

zazaYzaX

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X(z) Y(z)

aX(z)+aY(z)

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Inversão de Tempo (Reflexão)

z

XnxZ 1

com região de convergência igual a 1/Rx.

Se Rx tem a forma , então, ao fazer z=z-1, temos que

bza

bza 1 bza 11 ou

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Deslocamento no Tempo

zXznnx nZ

00

com região de convergência igual a Rx, com exceção, possivelmente, de z=0 ou |z|=∞.

Observe que a multiplicação por introduz um pólo de ordem n0 em z=0, se n0>0. Neste caso, a região de convergência não pode incluir z=0, mesmo que Rx inclua z=0, a menos que X(z) tenha um zero de ordem pelo menos n0 em z=0, de modo a cancelar os novos pólos introduzidos.

0nz

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Deslocamento no Tempo

zXznnx nZ

00

com região de convergência igual a Rx, com exceção, possivelmente, de z=0 ou |z|=∞.

Observe que se n0<0, então a multiplicação por introduzirá n0 pólos no infinito. Se esses pólos não forem cancelados por zeros no infinito em X(z), então a região de convergência não poderá incluir |z|=∞.

0nz

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