Aula 12

Sinais e Sistemas – Capítulo 3

Simon Haykin

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Sinais periódicos de Tempo Contínuo: A Série de Fourier

Seja x(t) uma função periódica com período fundamental T. Então,

tjk

k

ekAtx 0ˆ

é uma aproximação por FS, onde T 20

Supondo que podemos encontrar os coeficientes A[k], tal que , então txtx ˆ

T

tjm

T

tjm dtetxdtetx 00 ˆ

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Sinais periódicos de Tempo Contínuo: A Série de Fourier

Logo,

k T

tjmtjk

T

tjm

k

tjk

T

tjm

dteekA

dteekAdtetx

00

000

Observe que a integral do lado direito é igual a zero, exceto quando k = m, de modo que

T

tjm dtetxT

mA 01

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Representação por Série de Fourier

Podemos escrever a FS como

T

tjk

k

tjk

dtetxT

kX

ekXtx

0

0

1

Dizemos que x(t) e X[k] são um par de FS

kXtxFS 0,

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Representação por Série de Fourier

Exemplo: Determine a representação por FS para o sinal

k

tjkekXtx 0

Solução: O período fundamental de x(t) é T=4. Consequentemente

42cos3

ttx

2420 Procuramos expressar x(t) como

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Representação por Série de Fourier

tjjtjj

tjtj

eeee

ee

ttx

2424

4242

2

3

2

32

3

42cos3

A última expressão está na forma de FS. Logo, comparando com , temos que

k

tjkekXtx 0

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Representação por Série de Fourier

contráriocaso,02

32

3

1,4

1,4

kj

kj

e

e

kX

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Representação por Série de Fourier

Exemplo: Determine a representação por FS da onda quadrada mostrada na figura

Solução: O período é T, de forma que ω0=2π/T. Neste caso, é conveniente usar a forma de integral de FS, isto é

2420

s

s

T

T

tjkT

T

tjk dteT

dtetxT

kX 0011

2

2

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Representação por Série de Fourier

0,

sen2

2

2

|11

0

0

0

0

00

00

kTk

Tk

j

ee

Tk

eTjk

dteT

kX

sTjkTjk

TT

tjT

T

tjk

ss

s

s

s

s

Substituindo ω0=2π/T

0,2

2sen2

kk

TT

kkX

s

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Representação por Série de Fourier

Para k=0, temos

T

Tdt

TX s

T

T

s

s

210

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Representação por Série de Fourier

Para -50≤k≤50 e Ts/T=1/4, temos

Para -50≤k≤50 e Ts/T=1/16, temos

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Representação por Série de Fourier

A forma funcional ocorre com tanta frequência na análise de Fourier, que damos a ela um nome especial

uu sen

u

uu

sen

sinc

Dessa forma, os coeficientes da FS obtidos no último exemplo podem ser expresso usando a função sinc

T

Tk

T

T

TTkTT

kTT

kTT

kkX ss

s

sss

2sinc

2

/2

2sen

2

2

2sen2

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Representação por Série de Fourier O máximo da função sinc é a unidade em u=0. Os cruzamentos por zero ocorre nos valores inteiros de u. O módulo decresce com 1/u A parte da função sinc entre os cruzamentos por zero para u=±1 é

conhecida como lóbulo principal As ondas menores são conhecidas como lóbulos laterais

u

uu

sen

sinc

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Representação por Série de Fourier

Cada termo da FS , para X[k] não nulo, contribui para a representação do sinal.

Para ilustrar isso, consideraremos a onda quadrada o exemplo anterior.

Vamos explorar a simetria par de X[k] para escrever a FS como uma soma de cossenos harmonicamente relacionados. Logo, como X[k]=X[-k], então

k

tjkekXtx 0

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Representação por Série de Fourier

10

1

1

cos2]0[

22]0[

]0[

00

00

0

m

m

tjmtjm

m

tjmtjm

k

tjk

tmmXX

eemXX

emXemXX

ekXtx

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Representação por Série de Fourier

Se definirmos B[0]=X[0] e B[k]=2X[k], k≠0, então

0

0cosk

tKkBtx

Exemplo: Definimos a aproximação por soma parcial para a representação da FS da onda quadrada, isto é

J

kj tKkBtx

00cosˆ

Suponha que T=1 e Ts/T=1/4. Neste caso,

par,0

ímpar,12

0,2121

k

kk

k

kBk

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Representação por Série de Fourier

Descreva um período do J-ésimo termo nesta soma e para J=1,3,7, 29 e 99.

Solução:

txJˆ

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Representação por Série de Fourier

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