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Trigonometria I

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Trigonometria I

1.Trigonometria no triângulo retângulo

2.Razões trigonométricas de 30o, 45o e 60o

3.Uso de calculadora

4.Unidades de medida de arcos e ângulos

5.Medida algébrica de um arco

6.A circunferência trigonométrica

7.Seno e cosseno na circunferência trigonométrica

8.Tangente na circunferência trigonométrica

9.Secante, cossecante e cotangente

10.Trigonometria num triângulo qualquer

Numa primeira etapa, Trigonometria é oestudo das relações entre medidas de ângulos elados nos triângulos retângulos. Esse estudo éinteiramente baseado na semelhança de triângulos.Observe, por exemplo, os triângulos da figuraacima. Eles são semelhantes, pois possuem osângulos ordenadamente congruentes.

1. Trigonometria no triânguloretângulo

‘‘

‘

E dessa semelhança podemos deduzir que:

1. Trigonometria no triânguloretângulo

' ' '(1)

b a b bb a a a

= ⇒ =

' ' '(2)

c a c cc a a a

= ⇒ =

' ' ' (3)b c b bb c c c

= ⇒ =

‘‘

‘

As igualdades (1), (2) e (3) mostram que arazão entre dois lados quaisquer de um triânguloretângulo é igual à razão entre os dois ladoshomólogos de qualquer outro triângulo retângulosemelhante a ele. Em outras palavras, a razãoentre dois lados quaisquer de um triânguloretângulo não depende do tamanho desse triângulo,mas apenas de seus ângulos.

1. Trigonometria no triânguloretângulo

E dessa semelhança podemos deduzir que:

1. Trigonometria no triânguloretângulo

= = = =⋯31 2

1 2 3

constantebb b

a a a

= = = =⋯31 2

1 2 3

constantecc c

a a a

= = = =⋯31 2

1 2 3

constantebb b

c c c

Essas razões, constantes para cada valor deα, são chamadas razões trigonométricas.

Seja α a medida de um ângulo agudo de umtriângulo retângulo.

1.1. Seno, cosseno e tangentede um ângulo agudo

•Seno de α é a razão entre o cateto oposto a esseângulo e a hipotenusa.•Cosseno de α é a razão entre o cateto adjacente aesse ângulo e a hipotenusa.•Tangente de α é a razão entre o cateto oposto aesse ângulo e o cateto adjacente a ele.

1.1. Seno, cosseno e tangentede um ângulo agudo

O seno, o cosseno e a tangente de um ângulode medida α são denotados por sen α, cos α e tg α.

1.1. Seno, cosseno e tangentede um ângulo agudo

bsen

cateto oposto asenhipotenusa c

sena

== ⇒ =

O seno, o cosseno e a tangente de um ângulode medida α são denotados por sen α, cos α e tg α.

1.1. Seno, cosseno e tangentede um ângulo agudo

coscos

cos

ccateto adjacente a

hipotenusa ba

== ⇒ =

O seno, o cosseno e a tangente de um ângulode medida α são denotados por sen α, cos α e tg α.

1.1. Seno, cosseno e tangentede um ângulo agudo

tantan

tan

bcateto oposto c

cateto adjacente cb

== ⇒ =

1.1. Seno, cosseno e tangentede um ângulo agudo

Exercício 1: Calcule sen α, cos α e tan α.

1.1. Seno, cosseno e tangentede um ângulo agudo

Exercício 2: Um observador, de 1,80 m de altura,situado a 20 m de um edifício, enxerga o topodesse edifício segundo um ângulo α. Esse ângulo foimedido a partir da linha horizontal de visão doobservador. Sabendo-se que sen α = 0,914, cos α =0,407 e tg α = 2,250, calcule a altura do edifício.

1.1. Seno, cosseno e tangentede um ângulo agudo

Exercício 3: Um observador, situado num ponto A,enxerga uma montanha segundo um ângulo α.Caminhando 400 m em direção à montanha, elepassa a enxergá-la segundo um ângulo β.Desprezando a altura do observador, calcule aaltura da montanha, sabendo que tg α = 1/2 e tg β= 5/6.

1.1. Seno, cosseno e tangentede um ângulo agudo

Exercício 4: Na figura abaixo, as circunferênciassão tangentes entre si e ambas tangenciam oslados do ângulo AÔB. Calcule: a) sen α em funçãode R e r. b) Se r = 5 e sen α = 1/6, calcule R.

Para calcular as razões trigonométricas de30o e 60o, partimos de um triângulo equilátero, noqual traçamos uma altura, e obtemos um triânguloretângulo cujos ângulos agudos medem 30o e 60o.

2. Razões trigonométricas de30o, 45o e 60o

Então, no triângulo retângulo, temos:

2. Razões trigonométricas de30o, 45o e 60o

2 130 30

2o ol

sen senl

= ⇒ = 3 2 3cos 30 cos 30

2o ol

l= ⇒ =

2 3tan 30 tan 30

33 2o ol

l= ⇒ =

Então, no triângulo retângulo, temos:

2. Razões trigonométricas de30o, 45o e 60o

3 2 360 60

2o ol

sen senl

= ⇒ =2 1

cos 60 cos 602

o oll

= ⇒ =

3 2tan 60 tan 60 3

2o ol

l= ⇒ =

As razões trigonométricas de 45º sãocalculadas no triângulo retângulo obtido da divisãode um quadrado por sua diagonal.

2. Razões trigonométricas de30o, 45o e 60o

245 45

22o ol

sen senl

= ⇒ = 2cos 45 cos 45

22o ol

l= ⇒ =

tan 45 tan 45 1o oll

= ⇒ =

Exercício 5: Calcule x na figura abaixo.

2. Razões trigonométricas de30o, 45o e 60o

Exercício 6: Num círculo de centro O e raio r = 2,traça-se uma corda AB. Se a distância do centro àcorda é igual a 1, qual é a medida do ângulo AÔB?

2. Razões trigonométricas de30o, 45o e 60o

Exercício 7: Na figura seguinte, ABCD é umquadrado e ABE é um triângulo equilátero.Determine: a) o valor do ângulo α e b) a tangentede α.

2. Razões trigonométricas de30o, 45o e 60o

Os valores das demais razõestrigonométricas, de 1o a 89o, podem ser obtidospelo uso de calculadora científica.

3. Uso de calculadora

Exercício 8: A figura seguinte mostra a trajetóriade uma bola de futebol que, chutada do ponto A,sobe a rampa e atinge o solo no ponto B. Qual é adistância entre A e B, aproximadamente?

3. Uso de calculadora

Até aqui temos utilizado apenas a unidadegrau para medir ângulos e arcos. Porém, existemoutras unidades de medida de arcos, das quaisuma, chamada radiano, iremos utilizar com grandefrequência.

4. Unidades de medida dearcos e ângulos

Minuto de grau: É a sexagésima parte do grau.

1º = 60’

Segundo de grau: É a sexagésima parte do minutode grau.

1’ = 60”

4.1. O grau e seus submúl-tiplos

Uma maneira de medir arcos de umacircunferência é compará-los com um outro arcoescolhido para ser unidade de medida sobre amesma circunferência. Esse arco é chamadounitário.

4.2. A unidade radiano

Por exemplo, na figura acima escolhemos oarco PQ, de comprimento u, como arco unitário.Então, para medir o arco AB, devemos descobrirquantas vezes o arco unitário “cabe” no arco AB.Para isso, basta fazer a razão entre o comprimentodo arco AB e o comprimento do arco unitário.

4.2. A unidade radiano

� comprimento do arco ABAB

comprimento do arco PQ=

� �33

uAB AB

u= ⇒ =

Chama-se radiano o arco unitário cujocomprimento é igual ao raio da circunferência queo contém.

1 radiano = 1 rad

4.2. A unidade radiano

� = 1radAB

Se = 1 rad, então = 1 rad.

Decorre da definição, que a medida emradianos de um arco AB é dada por:

4.2. A unidade radiano

� comprimento do arco ABAB

raio=

�AB AOB⌢

Exercício 9: Calcule AÔB em radianos, sabendoque o comprimento do arco AB é o dobro do raio dacircunferência.

4.2. A unidade radiano

Para determinar as medidas em radianos dosarcos de 360º e 180º, é preciso relembrar aseguinte propriedade:

“A razão entre o comprimento de umacircunferência e seu diâmetro é constante, e iguala π, qualquer que seja a circunferência”.

Assim, sendo C o comprimento de umacircunferência de diâmetro d, então:

onde π é um número irracional.

4.3. Os arcos de volta inteirae meia-volta

π=

Como o diâmetro é o dobro do raio, essarelação pode ser escrita assim:

A última igualdade é a conhecida fórmulaque permite calcular o comprimento de umacircunferência. A partir dela vamos determinar amedida do arco de volta inteira em radianos.

4.3. Os arcos de volta inteirae meia-volta

π π= =, ou ainda 22C

C rr

Para isso, temos de dividir o seucomprimento pelo raio, e, como o arco de voltainteira é a própria circunferência, seucomprimento é igual a 2πr. Então, sua medida é:

4.3. Os arcos de volta inteirae meia-volta

rrad

rπ π=

Sabendo que o arco de volta inteira mede 2πrad, deduzimos que o arco de meia-volta mede πrad.

4.3. Os arcos de volta inteirae meia-volta

Para converter medidas de arcos deradianos para graus ou vice-versa, usamos aseguinte relação:

π rad equivale a 180º ou π rad = 180º

4.4. Conversões de medidas

Exercício 10: Num triângulo ABC, sabe-se que oângulo B é o dobro do ângulo C e que o ângulo A é otriplo do ângulo C.

a) Determine os ângulos A, B e C em radianos.

b) Classifique esse triângulo quanto aos lados equanto aos ângulos.

4.4. Conversões de medidas

Arco orientado. Imagine um ponto P que,partindo de um ponto A de uma circunferência,desloca-se sobre ela e pode movimentar-se nosentido horário ou anti-horário.

5. Medida algébrica de umarco

Nos dois sentidos possíveis dedeslocamento, para cada posição do ponto P, ficadeterminado um arco AP denominado arcoorientado. O ponto A é chamado origem do arco e oponto P é a extremidade dele.

5. Medida algébrica de umarco

Circunferência orientada. É uma circunfe-rência na qual um dos dois possíveis sentidos dedeslocamento é adotado como positivo. Para oestudo da Trigonometria, o sentido positivo é oanti-horário.

5. Medida algébrica de umarco

Medida algébrica de um arco orientado.Considere um arco orientado contido numacircunferência orientada. A medida algébricadesse arco é a sua medida comum, afetada dossinais + ou -, conforme o sentido do arco seja,respectivamente, concordante ou discordante dosentido positivo da circunferência.

5. Medida algébrica de umarco

Na trigonometria, os arcos orientados nosentido anti-horário têm medidas algébricaspositivas e os orientados no sentido horário têmmedidas algébricas negativas.

5. Medida algébrica de umarco

A medida algébrica de um arco orientado deorigem A e extremidade P é representada pelosímbolo . Veja os exemplos:�AP

5. Medida algébrica de umarco

�

120

oAP

AP radπ

= + = +

�

� π

= − = −

120

oAQ

AQ rad

6. A circunferência trigono-métrica

Observe a figura acima. Ela mostra umacircunferência orientada no sentido anti-horário, àqual associamos um sistema de coordenadascartesianas.

6. A circunferência trigono-métrica

• O centro da circunferência é O = (0, 0).

• O raio da circunferência é unitário, isto é, r = 1.

6. A circunferência trigono-métrica

• A = (1, 0) é a origem dos arcos. Isto é, os arcossão medidos a partir de A.

• A circunferência da figura é chamada circunfe-rência trigonométrica.

6. A circunferência trigono-métrica

Como a origem dos arcos é um ponto fixo, nacircunferência trigonométrica a extremidade deum arco fica determinada pela sua medidaalgébrica.

6. A circunferência trigono-métrica

Desse modo, a cada ponto da circunferênciatrigonométrica ficam associados números reais,representando estes as medidas em radianos dosarcos que têm extremidades nesse ponto.Particularmente, dizemos que o ponto A, origemdos arcos, é um arco nulo e que sua medida é zero.

6. A circunferência trigono-métrica

A partir disso, dizemos que um arcopertence ao quadrante no qual se encontra a suaextremidade.

6. A circunferência trigono-métrica

Por exemplo, os arcos cujas medidas estãorepresentadas acima são perten-cem, respectivamente, ao 1º, 2º, 3º e 4ºquadrantes.

3 7, ,3 4 6 6eπ π π π−

7. Seno e cosseno na circun-ferência trigonométrica

Seja α a medida de um arco de extremidadeP na circunferência trigonométrica. Então,

sen α é a ordenada de P

cos α é a abscissa de P

7. Seno e cosseno na circun-ferência trigonométrica

Em razão dessas definições, naTrigonometria o eixo Ox é chamado eixo doscossenos e o eixo Oy, eixo dos senos.

7. Seno e cosseno na circun-ferência trigonométrica

Lembrando que o raio da circunferênciatrigonométrica é unitário, no triângulo OPQ dafigura acima, temos:

7. Seno e cosseno na circun-ferência trigonométrica

cos cos (1)1

OQ OQOQ

OPα α= = ∴ =

α α= = ∴ =sen sen1

QP QPQP

7. Seno e cosseno na circun-ferência trigonométrica

Como QP = OR, temos

As igualdades (1) e (2) mostram que cos α esen α são a abscissa e a ordenada de P.

α =sen (2)OR

7.1. Alguns valores notáveis deseno e cosseno

Observe as figuras e procure determinar osvalores de seno e cosseno dos ângulos indicadosnas figuras.

7.1. Alguns valores notáveis deseno e cosseno

0 π/2 π 3π/2 2 π

sen 0 1 0 -1 0

cos 1 0 -1 0 1

7.1. Alguns valores notáveis deseno e cosseno

Note que seno e cosseno são no máximoiguais a 1 e no mínimo iguais a -1. Assim, sen α ecos α variam no intervalo de -1 a 1.

α α− ≤ ≤ − ≤ ≤1 sen 1 e 1 cos 1

7.1. Alguns valores notáveis deseno e cosseno

Exercício 11: Calcule o valor da expressão abaixo.

32sen 5cos2

3sen cos2

π π

−

7.1. Alguns valores notáveis deseno e cosseno

Exercício 12: Determine os valores de x quesatisfazem as equações seguintes no intervalo0 ≤ x ≤ 2π.

a) sen 0

b) cos 0

c) sen 1

d) cos 1 0

e) sen sen cos 0

x x x

− =+ ⋅ =

7.1. Alguns valores notáveis deseno e cosseno

Exercício 13: Identifique quais das igualdadesabaixo são possíveis.

a) sen 2

1b) sen

c) sen3

3d) sen

= −

7.1. Alguns valores notáveis deseno e cosseno

Exercício 14: Determine m para que a igualdadeabaixo seja possível.

cos 2 1x m= −

7.2. Arcos da forma: ππππ - αααα,ππππ + αααα e 2ππππ - αααα

Seja P a extremidade de um arco doprimeiro quadrante. Observe estas três outrasextremidades.

P1: simétrico de P em relação ao eixo Oy.P2: simétrico de P em relação ao centro O.P3: simétrico de P em relação ao eixo Ox.

7.2. Arcos da forma: ππππ - αααα,ππππ + αααα e 2ππππ - αααα

As medidas dos arcos de extremidades P1,P2 e P3, sendo , podem ser expressas emfunção de α.

�AP α=

� � � �π α π α π α α= − = + = − = −1 2 3 3, e 2 , ouAP AP AP AP

7.2. Arcos da forma: ππππ - αααα,ππππ + αααα e 2ππππ - αααα

Assim, o seno e o cosseno desses arcospodem ser expressos em função de sen α e cos α.

π α απ α α

π α αα α

− =+ = −

− = −− = −

sen ( ) sen

sen (2 ) sen

sen ( ) sen

7.2. Arcos da forma: ππππ - αααα,ππππ + αααα e 2ππππ - αααα

Assim, o seno e o cosseno desses arcospodem ser expressos em função de sen α e cos α.

cos ( ) cos

cos (2 ) cos

cos ( ) cos

π α απ α α

π α αα α

− = −+ = −

− =− =

7.2. Arcos da forma: ππππ - αααα,ππππ + αααα e 2ππππ - αααα

Exercício 15: Calcule o valor de

7 4 2sen cos sen cos

6 3 3 6π π π π ⋅ + ⋅ −

7.2. Arcos da forma: ππππ - αααα,ππππ + αααα e 2ππππ - αααα

Exercício 16: Simplifique a expressão

sen(2 ) sen( ) sen( ) cos( )sen( ) cos( )

π α π α π α π απ α π α

− ⋅ + + − ⋅ +− + −

7.2. Arcos da forma: ππππ - αααα,ππππ + αααα e 2ππππ - αααα

Exercício 17: Resolva as equações seguintes nointervalo .

1a) sen x

2b) cos x

c) cos x41

d) sen x2

= −

] [0;2π

7.3. Primeira relação funda-mental

Para qualquer um dos dois casosapresentados nas figuras, as medidas dos catetosdo triângulo retângulo OPQ, são:

α α= =sen cosPQ e OQ

7.3. Primeira relação funda-mental

Pelo teorema de Pitágoras:

Como , a última igualdade fica:

α α+ = ⇒ + =2 22 2 1 sen cos 1PQ OQ2 2,a a a= ∀ ∈ℝ

α α+ =2 2sen cos 1

7.3. Primeira relação funda-mental

Embora as figuras da demonstraçãomostrem os arcos no 1º e 3º quadrantes, todo oraciocínio também é válido quando os arcospertencem aos demais quadrantes.

7.3. Primeira relação funda-mental

Exercício 18: Se sen 18o = , calcule cos 18o.5 14−

7.3. Primeira relação funda-mental

Exercício 19: Calcule m, para que se tenha

1 2sen x e cos x

m mm m− −= =

7.3. Primeira relação funda-mental

Exercício 20: Simplifique as expressões abaixo:

4 4

a) sen ( ) ( ) cos( ) cos( )

sen cosb)

sen cos

sen

x xx x

α π α α π α− ⋅ + − − ⋅ −

−+

7.3. Primeira relação funda-mental

Exercício 21: Se cos x = 1/a, calcule o valor daexpressão abaixo, em função de a.

cos cos sen

1 sen

x x x

+ ⋅−

8. Tangente na circunferênciatrigonométrica

Para o estudo dastangentes dos arcos nacircunferência trigonométrica,associamos mais um eixo a ela,conforme mostra a figura acima.At é chamado eixo das tangentes.

8. Tangente na circunferênciatrigonométrica

• O eixo At tangencia a circun-ferência em A.

• O ponto A é a origem do eixodas tangentes, isto é, ao ponto Aestá associado o número zerodesse eixo.

• O raio da circunferênciatrigonométrica é a unidade demedida também no eixo dastangentes.

8. Tangente na circunferênciatrigonométrica

Seja P a extremidade de um arco qualquerde medida α e seja T o ponto em que a retaconduzida pelo centro da circunferênciatrigonométrica e por P intercepta o eixo At. Então,tg α é o número associado ao ponto T no eixo At.

8. Tangente na circunferênciatrigonométrica

Quadrante 1o 2o 3o 4o

Sinaisde tg α

+ - + -

8. Tangente na circunferênciatrigonométrica

0 π/2 π 3π/2 2 π

tg 0 0 0∃ ∃

8. Tangente na circunferênciatrigonométrica

Exercício 22: Calcule o valor de

5 7tg cos tg

6 44

sen tg4 3

π ππ

π π

⋅ +

⋅

8. Tangente na circunferênciatrigonométrica

Exercício 23: Resolva as equações no intervalo de0 ≤ x ≤ 2π.

3a) tg x

b) tg x 3

c) tg x 1

d) tg x tg x 0

− =

8.1. Segunda relação funda-mental

Para os dois casos apresentados nas figurasacima, note que as medidas dos catetos dostriângulos OQP e OAT são:

α= senPQ cosOQ α=

α= tgAT 1OA =

8.1 Segunda relação funda-mental

Como temos .

Então

//QP AT OQP OAT∆ ∆∼αα α

= ⇒ =tg 1

sen cosAT OAQP OQ

αα

α=

sentg

cos

8.1 Segunda relação funda-mental

Como em todos os quadrantes os sinais detg α e são idênticos, teremos:α

αsencos

ααα

= sentg

cos

8.1 Segunda relação funda-mental

Note que, se cos α = 0, então não estádefinido. Porém, os arcos para os quais cos α = 0são justamente aqueles em que não existe tg α.

αα

sencos

8.1 Segunda relação funda-mental

Exercício 24: Dado tg x = 5/12, 0 < x < π/2,calcule sen x e cos x.

8.1 Segunda relação funda-mental

Exercício 25: Se , 0 < a < π/2, e ,

0 < b < π/2, calcule o valor de

cos 2 5a = cos 1 10b =

tg a tg b1 tg a tg b

+− ⋅

8.1 Segunda relação funda-mental

Exercício 26: Resolva as equações abaixo no intervalo0 ≤ x ≤ 2π.

2 2

a) sen cos

1b) sen cos 0

x x

− =

9. Secante, cossecante ecotangente

Se α é a medida de um arco, ou ânguloqualquer, então:

• Secante de α (sec α) é o inverso de cos α.

1sec (cos 0)

cosα α

α= ≠

9. Secante, cossecante ecotangente

Se α é a medida de um arco, ou ânguloqualquer, então:

• Cossecante de α (cossec α) é o inverso de sen α.

α αα

= ≠1cossec (sen 0)

sen

9. Secante, cossecante ecotangente

Se α é a medida de um arco, ou ânguloqualquer, então:

• Cotangente de α (cotg α) é o inverso de tg α.

α αα

= ≠1cotg (tg 0)

αα αα

= ≠coscotg (sen 0)

sen

9. Secante, cossecante ecotangente

Note que as variações dos sinais de sec α,cossec α e cotg α, segundo cada quadrante, sãoidênticas às variações de sinais de cos α, sen α etg α, respectivamente.

9. Secante, cossecante ecotangente

A cotangente pode ser interpretadagraficamente associando-se mais um eixo àcircunferência trigonométrica, conforme émostrado na figura acima. Nesse caso, obtém-se acotangente de modo inteiramente análogo ao quese emprega para determinar a tangente.

9. Secante, cossecante ecotangente

Como temos

Então

/ /BC QP ∆ ∆∼OBC OQPαα α

= ⇒ =cotg 1cos sen

BC OBQP OQ

αα

α=

coscotg

sen

9. Secante, cossecante ecotangente

Como em todos os quadrantes os sinais decotg α e são idênticos, teremos:α

αcossen

ααα

= coscotg

sen

9. Secante, cossecante ecotangente

Note que, se sen α = 0, então não estádefinido. Porém, os arcos para os quais sen α = 0são justamente aqueles em que não existe cotg α.

αα

cossen

9. Secante, cossecante ecotangente

0 π/2 π 3π/2 2 π

cotg 0 0∃ ∃ ∃

9. Secante, cossecante ecotangente

Na figura acima, a reta s é tangente àcircunferência na extremidade P do arco demedida α. Com base na figura, fazemos asseguintes definições de secante e cossecante.

9. Secante, cossecante ecotangente

sec α é o número associado ao ponto X noeixo Ox.

9. Secante, cossecante ecotangente

sec α é o número associado ao ponto X noeixo Ox.

9. Secante, cossecante ecotangente

sec α é o número associado ao ponto X noeixo Ox.

9. Secante, cossecante ecotangente

Temos ∆ ∆∼OPX OQP

αα

= ⇒ =sec 11 cos

OX OPOP OQ

αα

= 1sec

cos

X O

sec α cos α

Então

9. Secante, cossecante ecotangente

cossec α é o número associado ao ponto Y noeixo Oy.

9. Secante, cossecante ecotangente

cossec α é o número associado ao ponto Y noeixo Oy.

9. Secante, cossecante ecotangente

cossec α é o número associado ao ponto Y noeixo Oy.

Então

9. Secante, cossecante ecotangente

Temos ∆ ∆∼OPY ORP

αα

= ⇒ =cossec 11 sen

OY OPOP OR

αα

= 1cossec

sen

YR P

cossec α1 1

sen α

9. Secante, cossecante ecotangente

Exercício 27: Calcule o valor de

2 3 11a) sec cotg cossec

3 4 6π π π+ −

9. Secante, cossecante ecotangente

Exercício 28: Sabendo que 3π/2 < a < 2π, e quesen a = -7/25, calcule as demais razões trigonomé-tricas.

9.1. Outras relações funda-mentais

Dividindo ambos os membros da relaçãosen2 α + cos2 α = 1 por cos2 α , teremos:

α αα αα α α

+ = ⇒ + =2 2

2 22 2 2

sen cos 1sen cos 1

cos cos cos

α α α α+ = ⇒ = +2 2 2 2tg 1 sec sec 1 tg

9.1. Outras relações funda-mentais

Agora, vamos dividir ambos os membros desen2 α + cos2 α = 1 por sen2 α , teremos:

α αα αα α α

+ = ⇒ + =2 2

2 22 2 2

sen cos 1sen cos 1

sen sen sen

α α α α+ = ⇒ = +2 2 2 21 cotg cossec cossec 1 cotg

9.2. Resumo das relações fun-damentais

α α= +2 2cossec 1 cotgα α= +2 2sec 1 tg

1sec

cosα

α= α

α= 1

cossecsen

ααα

= sentg

cos αα

= 1cotg

tgααα

= coscotg

sen

α α+ =2 2sen cos 1

9.2. Resumo das relações fun-damentais

Exercício 29: Calcule cos x, 3π/2 < x < 2π, sabendoque tg x = -2.

9.2. Resumo das relações fun-damentais

Exercício 30: Resolva a equação abaixo no intervalo0 ≤ x ≤ 2π.

(sec x 1) (sec x 1) 3+ ⋅ − =

10. Trigonometria num triân-gulo qualquer

Passaremos a representar sempre por a, b ec as medidas dos lados opostos aos ângulos A, B eC de um triângulo ABC.

10.1. Lei dos senos

Para qualquer triângulo ABC, sendo R o raioda circunferência circunscrita, vale a relação:

= = =⌢ ⌢ ⌢ 2sen sen sen

a b cR

A B C

10.1. Lei dos senos

Traçando-se o diâmetro AD e unindo D e C,temos:

1º)

2º) é retângulo em C por estar ins-crito numa semicircunferência.

�

2AC

D B= =⌢ ⌢

ACD∆

10.1. Lei dos senos

Então, no ,

Analogamente, demonstra-se que

ACD∆ = ⇒ =⌢

⌢sen 22 sen

b bB R

R B

= ⇒ =⌢ ⌢2 2sensen

a cR R

A C

10.1. Lei dos senos

Logo, = = =⌢ ⌢ ⌢ 2sen sensen

a b cR

A B C

10.1. Lei dos senos

Exercício 31: Num triângulo ABC sabe-se que oângulo A é igual a 60o, o ângulo B é igual a 45o e a = 9.Calcule: a) o raio da circunferência circunscrita e b) amedida do lado b.

10.1. Lei dos senos

Exercício 32: Num triângulo ABC tem-se

Calcule .

�8 2, 8 3 e 60 .oa b B= = =�C

10.1. Lei dos senos

Exercício 33: Um triângulo ABC está inscrito em umacircunferência de raio R. Se a = R, calcule .�A

10.2. Lei dos cossenos

Para todo triângulo ABC, vale a relação:

A demonstração completa exige que seanalisem os casos em que A é agudo e em que Aé obtuso.

2 2 2 2 cosa b c bc A= + −⌢

∢∢

10.2. Lei dos cossenos

Pelo teorema de Pitágoras, nos triângulosAHC e BHC, temos:

10.2. Lei dos cossenos

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

( )

( 2 )

h b m

h a c m

a c m b m

a c cm m b m

a c cm m

= −

= − −

− − = −− − + = −

− + − 2 2b m= −2 22 2 (1)a c cmb= + −

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

( )

( 2 )

h b m

h a c m

a c m b m

a c cm m b m

a c cm m

= −

= − +

− + = −+− + = −

−− − 2 2b m= −2 22 2 (1)a c cmb= + +

10.2. Lei dos cossenos

Do triângulo retângulo AHC, tiramos:

cos

cos (2)

m b A

⌢

cos ( )

cos

cos (2)

m b A

π − =

− =

= −

⌢

10.2. Lei dos cossenos

Substituindo em (1) o valor de m encontradoem (2), temos finalmente:

2 2 2 2 cosa b c bc A= + −⌢

10.2. Lei dos cossenos

Exercício 34: De um triângulo ABC, são dados:

Calcule c.

�3 1, 2 e 30 .oa b C= + = =

10.2. Lei dos cossenos

Exercício 35: Dois automóveis A e B seguem por umamesma rodovia. No instante em que B entra numaestrada secundária, que forma um ângulo de 60o com aprimeira, ele é ultrapassado por A, que continua narodovia principal. As duas estradas podem serconsideradas retilíneas. Se A viaja a 80 km/h e B a50 km/h, qual a distância entre A e B 6 minutos apósB ter entrado na rodovia secundária?

10.2. Lei dos cossenos

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