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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
TESE DE DOUTORADO
Biomecânica e Otimização Topológica com H-Adaptatividade
em Implantes Dentários Nitretados a Plasma em Cátodo Oco
Karilany Dantas Coutinho
NATAL/RN
JUNHO/2014
ii
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
Biomecânica e Otimização Topológica com H-Adaptatividade
em Implantes Dentários Nitretados a Plasma em Cátodo Oco
Tese de Doutorado submetida à
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
como parte dos requisitos para obtenção do título de
DOUTOR EM ENGENHARIA MECÂNICA
Doutoranda: Karilany Dantas Coutinho
Orientador: Prof. Dr. João Carlos Arantes Costa Júnior.
Co-orientador: Prof. Dr. Custódio Leopoldino de Brito Guerra Neto.
Natal, Junho de 2014.
iii
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
Biomecânica e Otimização Topológica com H-Adaptatividade
em Implantes Dentários Nitretados a Plasma em Cátodo Oco
Karilany Dantas Coutinho
Esta dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de
Doutor em Engenharia Mecânica
sendo aprovada em sua forma final.
João Carlos Arantes Costa Júnior
Orientador
UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede.
Catalogação da Publicação na Fonte. Coutinho, Karilany Dantas Biomecânica e otimização topológica com H-adaptatividade em implantes dentários nitretados a plasma em cátodo oco / Karilany Dantas Coutinho. – Natal, RN, 2014. 200 f.
Orientador: Prof. Dr. João Carlos Arantes Costa Júnior. Co-orientador: Prof. Dr. Custódio Leopoldino de Brito Guerra Neto.
Tese (Doutorado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Tecnologia. Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica.
1. Nitretação em plasma - Tese. 2. Fadiga - Tese. 3. Biomecânica -
Tese. 4. Implantes dentários - Tese. 5. Nitretação em cátodo oco - Tese. 6. Otimização topológica – Tese. I. Costa Júnior, João Carlos Arantes. II. Guerra Neto, Custódio Leopoldino de Brito. III. Universidade Federal do Rio Grande do Norte. IV. Título. RN/UF/BCZM CDU 621.785.53
v
Dedicatória
Esta tese é dedicada:
Ao meu filho, Pedro Augusto Coutinho Barros
por todos os momentos maravilhosos que ele me
proporciona, pelo carinho imenso e amor.
vi
Agradecimentos
Ao professor João Carlos Arantes Costa Júnior, expresso com satisfação meus
agradecimentos, pela sua excelente orientação e maturidade científica, amizade,
paciência e grande incentivo que foram essenciais para a execução deste trabalho.
Ao professor Custódio Leopoldino de Brito Guerra Neto, agradeço pela
extraordinária co-orientação, grande incentivo e amizade, fundamentais para a
conclusão deste trabalho.
À Professora Caroline Dantas Vilar Wanderley pelo incentivo, amizade e
fundamental ajuda em adquirir a matéria prima para a efetivação deste trabalho.
Ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica da Universidade
Federal do Rio Grande do Norte pela oportunidade de estudos.
Aos professores: Caroline Dantas Vilar Wanderley, Raimundo Carlos Silvério
Freire Júnior, Rômulo Ribeiro Magalhães de Sousa, Thércio Henrique de Carvalho
Costa e Wesley Góis, por terem gentilmente participado da banca examinadora.
À empresa DENTOFLEX® Sistema de Implantes, pela parceria e incentivo à
pesquisa, fornecendo os implantes dentários e todo o instrumental para realização do
trabalho. Em especial ao Consultor Científico Dr. Antônio Moretto Neto.
Ao professor Rômulo Ribeiro Magalhães de Sousa, coordenador do Laboratório
de Plasma do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Piauí, pela sua
gentileza em atender-me, pela valiosa ajuda e por disponibilizar sua equipe de alunos
na preparação do procedimento experimental do processo de nitretação a plasma.
vii
Ao Laboratório de Ensaios Mecânicos CENIC, São Carlos/SP, pelo incentivo à
pesquisa.
Ao Departamento de Engenharia Biomédica da UFRN.
Aos Professores: Cláudio Romero Rodrigues de Almeida, Gláucio Bezerra
Brandão, José Daniel Diniz Melo, Raimundo Carlos Silvério Freire Júnior, Rubens
Maribondo do Nascimento e Thércio Henrique de Carvalho Costa, pelo incentivo e
ajuda para realizar esta pesquisa.
Ao Aluno Jader Silva pela ajuda na elaboração dos desenhos na plataforma
CAD.
Aos meus pais (Romualdo e Josete), às minhas irmãs (Karla e Karol) e aos
meus sobrinhos (Matheus e Letícia) pelo grande apoio.
Ao Gustavo de Araujo Barros, pelo amor e carinho. Seus conselhos, atenção,
incentivo e grande paciência foram importantíssimos.
Ao meu filho, Pedro Augusto, seu sorriso, carinho e amor me incentiva a cada
dia para novas conquistas, você me faz muito feliz.
A Deus.
viii
Sumário
Dedicatória .................................................................................................................. v
Agradecimentos .......................................................................................................... vi
Sumário .................................................................................................................... viii
Lista de Figuras ......................................................................................................... xii
Lista de Símbolos e Abreviações ............................................................................. xviii
Resumo .................................................................................................................... xxii
Abstract .................................................................................................................. xxiii
Capítulo 1 .................................................................................................................... 1
Introdução ................................................................................................................... 1
1.1 Contribuição Científica ..................................................................................... 5
1.2 Objetivos ........................................................................................................... 6
Capítulo 2 .................................................................................................................... 7
Revisão Bibliográfica ................................................................................................... 7
2.1 Aspectos Biológicos ........................................................................................... 7
2.1.1 Osseointegracão ................................................................................................. 7
2.1.2 Titânio como Biomaterial ............................................................................... 12
2.2 Aspectos Tecnológicos da Nitretação por Plasma ........................................... 16
2.2.1 Plasma ............................................................................................................ 16
2.2.2 Nitretação Iônica ............................................................................................. 18
2.2.3 Nitretação em Cátodo Oco .............................................................................. 20
2.2.4 Nitretação do Titânio ...................................................................................... 21
2.3 Biocompatibilidade do Nitreto de Titânio ....................................................... 25
2.4 Ensaios Biomecânicos ...................................................................................... 27
2.5 Otimização Estrutural ..................................................................................... 28
2.5.1 Formas Clássicas de Otimização Estrutural .................................................... 31
ix
2.5.2 Otimização Topológica .................................................................................... 34
2.5.3 Otimização em Implantes Dentários ............................................................... 37
Capítulo 3 .................................................................................................................. 41
Caracterização e Análise Experimental ...................................................................... 41
3.1 Metodologia Experimental .............................................................................. 41
3.2 Tratamento Superficial de Nitretação em Cátodo Oco .................................... 43
3.2.1 Procedimento Experimental de Nitretação em Cátodo Oco em Discos de Ti-CP
........................................................................................................................ 43
3.2.2 Ensaio de Molhabilidade em Discos de Ti-CP ................................................. 46
3.2.3 Ensaio de Rugosidade em Discos de Ti-CP ..................................................... 47
3.2.4 Caracterização de Fases na Superfície dos Discos de Ti-CP ............................ 48
3.2.5 Microscopia Eletrônica de Varredura .............................................................. 49
3.2.6 Procedimento Experimental de Nitretação em Cátodo Oco Utilizando
Implantes Dentários ................................................................................................... 50
3.2.7 Caracterização de Fases na Superfície dos Implantes Dentários ...................... 55
3.2.8 Microdureza Vickers nos Implantes Dentários ................................................ 56
3.2.9 Ensaio Biomecânico de Fadiga em Flexão Utilizando Implantes Dentários .... 58
Capítulo 4 .................................................................................................................. 66
Análise Linear Estática de Tensões em Implantes Dentários ..................................... 66
4.1 Descrição do Modelo de Elementos Finitos ..................................................... 66
4.2 Cargas Aplicadas e Condições de Contorno .................................................... 69
4.3 Análise de Tensões no Implante Dentário ....................................................... 71
4.3.1 Caso de Carga 1: ............................................................................................. 71
4.3.2 Caso de Carga 2: ............................................................................................. 72
Capítulo 5 .................................................................................................................. 75
Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos ........................................ 75
5.1 Minimização da Flexibilidade em Implantes Dentários ................................... 80
5.1.1 Formulação do Problema ................................................................................ 81
x
5.1.2 Definição do Modelo Material ......................................................................... 83
5.1.3 Definição das Constantes cx, cy e cz ................................................................. 85
5.1.4 Formulação do Problema de Ótimo no Contínuo ............................................ 88
a) Método Lagrangeano Aumentado ................................................................... 88
5.1.5 Refino da Malha com Adaptatividade h .......................................................... 91
5.1.6 Validação do Modelo de Otimização Proposto ................................................ 97
a) Viga bi-apoiada com carga aplicada na parte central superior: ....................... 99
b) Viga bi-apoiada com carga aplicada na parte central inferior: ...................... 101
5.2 Minimização de Massa em Implantes Dentários ............................................ 104
5.2.1 Formulação do Problema .............................................................................. 106
5.2.2 Definição do Modelo Material ....................................................................... 107
5.2.3 Critério de Tensão de Falha com Relaxação ................................................. 109
5.2.4 Definição das Constantes cx, cy e cz ............................................................... 110
5.2.5 Formulação do Problema com Relaxação ...................................................... 111
5.2.6 Formulação do Problema de Ótimo no Contínuo .......................................... 113
a) Método Lagrangeano Aumentado ................................................................. 113
5.2.7 Refino da Malha com Adaptatividade h ........................................................ 116
5.2.8 Validação do Modelo de Otimização Proposto .............................................. 116
a) Viga bi-apoiada com carga aplicada na parte central superior ...................... 117
b) Viga bi-apoiada com carga aplicada na parte central inferior: ...................... 121
Capítulo 6 ................................................................................................................ 125
Resultados e Discussões ........................................................................................... 125
6.1 Ensaio de Nitretação a Plasma em Cátodo Oco dos Disco de Ti-CP Grau II 125
6.2 Ensaio de Molhabilidade dos Discos de Ti .................................................... 125
6.3 Ensaio de Rugosidade dos Discos de Ti ........................................................ 128
6.4 Microscopia Eletrônica de Varredura dos Discos de Ti ................................. 129
6.5 Caracterização de Fases na Superfície dos Discos de Ti ................................ 129
xi
6.6 Ensaio de Nitretação a Plasma em Cátodo Oco dos Implantes Dentários ..... 130
6.7 Caracterização de Fases na Superfície dos Implantes Dentários .................... 131
6.8 Microdureza Vickers nos Implantes Dentários .............................................. 132
6.9 Resultado do Ensaio de Fadiga em Flexão dos Implantes Dentários............. 133
6.10 Microscopia Eletrônica de Varredura dos Implantes Dentários ..................... 140
6.11 Otimização Topológica Estrutural em Implantes Dentários .......................... 145
6.11.1 Minimização da Flexibilidade em Implantes Dentários ................................. 145
6.11.2 Minimização de Massa em Implantes Dentários ............................................ 151
Capítulo 7 ................................................................................................................ 156
Considerações Finais ................................................................................................ 156
7.1 Caracterização e Análise Experimental ......................................................... 156
7.2 Tecnologia de Desenvolvimento de Topologias em Implantes Dentários ....... 157
Capítulo 8 ................................................................................................................ 159
Trabalhos Futuros ................................................................................................... 159
8.1 Sugestões para Trabalhos Futuros ................................................................ 159
Referências Bibliográficas ........................................................................................ 161
Apêndice A .............................................................................................................. 186
Apêndice B .............................................................................................................. 195
Apêndice C .............................................................................................................. 198
xii
Lista de Figuras
Figura 2.1: Oxidação do Implante, Adaptação de Kasemo (2002). ............................ 15
Figura 2.2: Processo de nitretação iônica. .................................................................. 19
Figura 2.3: Configuração esquemática de uma amostra na nitretação em Cátodo Oco.
.................................................................................................................................. 21
Figura 2.4: Formas clássicas de otimização estrutural, Kiyono C. Y. (2008): a)
Otimização Dimensional. b) Otimização de Forma. C) Otimização Topológica. ....... 32
Figura 2.5: Descrição Level Set de um Domínio 2D: a) Representação do Domínio. b)
Modelo Level Set. Luo et al., 2008. ............................................................................ 33
Figura 2.6: Obtenção da Topologia via Derivada Topológica, Novotny et al (2002). 34
Figura 3.1: Fluxograma de execução da Metodologia Experimental. ......................... 42
Figura 3.2: Reator de plasma. .................................................................................... 44
Figura 3.3: a) Aparato experimental utilizado para a nitretação em plasma nos discos;
b) Detalhe da localização do disco de Ti no aparato experimental. ........................... 45
Figura 3.4: Nitretação em plasma nos discos de Ti.................................................... 46
Figura 3.5: Ângulo de contato estático ou técnica da gota séssil. .............................. 47
Figura 3.6: Ensaio de rugosidade superficial dos discos. ............................................ 48
Figura 3.7: Diagrama SHIMADZU XDR-600, SHIMADZU CORPORATION. ......... 49
Figura 3.8: Implante dentário torque interno Swith 3,75mm x 13mm DENTOFLEX®
sem tratamento superficial. ........................................................................................ 50
Figura 3.9: Corpos de prova: Cilindro de titânio e Implante dentário. ...................... 51
Figura 3.10: Limpeza no aparelho de ultrasson. ......................................................... 52
Figura 3.11: Posicionamento do implante dentário no cilindro de titânio. ................. 53
Figura 3.12: Posicionamento dos corpos de prova no porta amostra. ........................ 53
Figura 3.13: Nitretação em plasma nos implantes dentários de Ti. ........................... 54
Figura 3.14: Figura esquemática dos pontos de aplicação de carga (Vista superior do
implante dentário). .................................................................................................... 57
Figura 3.15: Posicionamento do implante dentário na morça de fixação para aplicação
de carga. .................................................................................................................... 57
Figura 3.16: Posicionamento do implante dentário no microdurômetro. .................... 58
Figura 3.17: Configuração do sistema para ensaio de componente protético, ABNT
NBR ISO 14801:2007. ................................................................................................ 60
xiii
Figura 3.18: Configuração utilizada no ensaio para aplicação da carga. .................... 61
Figura 3.19: Configuração utilizada no ensaio de fadiga para os corpos de prova...... 62
Figura 4.1: Discretização de ¼ de implante dentário. ................................................ 68
Figura 4.2: Casos de carga: a) Caso 1. b) Caso 2. ..................................................... 70
Figura 4.3: Condições de Contorno: a) Planos de Simetria. b) Deslocamentos
prescritos. .................................................................................................................. 70
Figura 4.4: Caso 1 - Tensão máxima de von Mises igual a 146,9MPa . Visualização
no interior do implante dentário. ............................................................................... 71
Figura 4.5: Caso 1 - Tensão máxima de von Mises igual a 146,9MPa . Visualização
na região externa do implante dentário. .................................................................... 72
Figura 4.6: Visualização da Convergência do Resultado: a) Malha inicial com 3.830
elementos. b) Malha refinada com 7.525 elementos. .................................................. 72
Figura 4.7: Caso 2 - Tensão máxima de von Mises igual a 119MPa . Visualização no
interior do implante dentário. .................................................................................... 73
Figura 4.8: Caso 2 - Tensão máxima de von Mises igual a 119MPa . Visualização na
região externa do implante dentário. ......................................................................... 73
Figura 4.9: Visualização da Convergência do Resultado: a) Malha inicial com 3.830
elementos. b) Malha refinada com 7.525 elementos. .................................................. 74
Figura 5.1: Fluxograma do Processo de Otimização com Adaptatividade ................. 79
Figura 5.2: Coordenadas do baricentro do elemento finito Tetra4, Coutinho (2006). 86
Figura 5.3: Condição de simetria no plano xy ........................................................ 87
Figura 5.4: Condição de simetria no plano xz ........................................................ 87
Figura 5.5: Condição de simetria no plano yz ........................................................ 88
Figura 5.6: a) Elemento Tetraedro; b) Elemento Tetraedro Refinado com 8
Elementos .................................................................................................................. 94
Figura 5.7: Detalhe do Refino Elemento TETRA4 .................................................... 94
Figura 5.8: Compatibilidade das Malhas Durante o Refino ....................................... 94
Figura 5.9: Processo de suavização Laplaciano: a) Malha inicial. b) Malha após
suavização. ................................................................................................................. 95
Figura 5.10: Gradiente de Distribuição de Densidade ................................................ 98
Figura 5.11: a) Diagrama de Corpo Livre do Problema: b) ½ de Simetria da
Estrutura ................................................................................................................... 99
xiv
Figura 5.12: Resultado do Problema: a) Malha com 231 Elementos. b) Malha com
462 Elementos .......................................................................................................... 100
Figura 5.13: Resultado do Problema com Malha apresentando 1.510 elementos (1º
nível de refino) ......................................................................................................... 100
Figura 5.14: Resultado do Problema com Malha apresentando 9.934 elementos (2º
nível de refino) ......................................................................................................... 100
Figura 5.15: Resultado do Problema com Malha apresentando 9.934 elementos (2º
nível de refino), retirando os elementos com densidade inferior a 0,8. ..................... 101
Figura 5.16: Problema de otimização de uma viga bi-apoiada com carga aplicada na
parte central inferior. ............................................................................................... 102
Figura 5.17: Resultado do Problema: a) Malha com 1.878 elementos. a) Malha com
3.756 elementos. ....................................................................................................... 102
Figura 5.18: Resultado do Problema com Malha apresentando 20.388 elementos (1º
nível de refino) ......................................................................................................... 103
Figura 5.19: Resultado do Problema com Malha apresentando 20.388 elementos (1º
nível de refino), retirando os elementos com densidade inferior a 0,8. ..................... 103
Figura 5.20: Diagrama de corpo livre para viga bi-apoiada com carga aplicada na
parte central: ½ de Simetria da Estrutura ............................................................... 117
Figura 5.21: Resultado do Problema: Malha inicial contendo 1.002 elementos. ....... 118
Figura 5.22: Resultado do problema antes do processo de refino h-adaptativo: Malha
espelhada contendo 2.004 elementos. ....................................................................... 118
Figura 5.23: Gráfico de função de falha da malha espenhada contendo 2.004
elementos ................................................................................................................. 119
Figura 5.24: Resultado do Problema após o 1º nível de refino, malha contendo 2.432
elementos ................................................................................................................. 120
Figura 5.25: Gráfico de função de falha da malha espenhada contendo 2.004
elementos ................................................................................................................. 121
Figura 5.26: Resultado final do problema após o 1º nível de refino, retirando os
elementos com densidade inferior a 0,8: a) Vista no plano xy. b) Vista isométrica. 121
Figura 5.27: Problema de otimização de uma viga bi-apoiada com carga aplicada na
parte central inferior. ............................................................................................... 122
Figura 5.28: Resultado do Problema: Malha contendo 1.012 elementos. .................. 122
xv
Figura 5.29: Resultado do problema antes do processo de refino h-adaptativo: Malha
espenhada contendo 2.024 elementos. ...................................................................... 123
Figura 5.30: Gráfico de função de falha da malha espenhada contendo 2.024
elementos. ................................................................................................................ 123
Figura 5.31: Resultado do problema após o 1º nível de refino h-adaptativo: Malha
espenhada contendo 11.098 elementos. .................................................................... 124
Figura 5.32: Gráfico de função de falha da malha espenhada após o 1º nível de refino
h-adaptativo: Malha espenhada contendo 23.575 elementos. ................................... 124
Figura 5.33: Resultado final do problema (1º nível de refino), retirando os elementos
com densidade inferior a 0,8: a) Vista no plano xy. b) Vista isométrica. ................. 125
Figura 6.1: Disco de Ti-CP Grau II após o Tratamento Superficial. ....................... 125
Figura 6.2: Tempo de Ensaio: 01 segundo. a) Disco de Ti sem Tratamento; b) Disco
de Ti com Tratamento............................................................................................. 126
Figura 6.3: Tempo de Ensaio: 30 segundos. a) Disco de Ti sem Tratamento; b) Disco
de Ti com Tratamento............................................................................................. 126
Figura 6.4: Tempo de Ensaio: 60 segundos. a) Disco de Ti sem Tratamento; b) Disco
de Ti com Tratamento............................................................................................. 127
Figura 6.5: Molhabilidade dos discos de Ti com e sem tratamento.......................... 127
Figura 6.6: Rugosidade superficial dos discos tratados e sem tratamento. ............... 128
Figura 6.7: Fotomicrografias em MEV da Superfície, (a) Nitretada e (b) Sem
Tratamento. ............................................................................................................. 129
Figura 6.8: Difratogramas de raios-X das amostras de Ti Puro e Ti Nitretado ....... 130
Figura 6.9: Corpos de prova nitretados a plasma .................................................... 131
Figura 6.10: Implante Dentário após o Tratamento Superficial ............................... 131
Figura 6.11: Espectro Raman no Implante Dentário após o Tratamento Superficial de
Cátodo Oco com Ciclindro ....................................................................................... 132
Figura 6.12: Curva Força versus Deslocamento da amostra 01 obtida no Ensaio
Estático. .................................................................................................................. 134
Figura 6.13: Amostra após Ensaio Estático. Modo de Falha: Deformação na Conexão
Munhão-Implante .................................................................................................... 135
Figura 6.14: Curva Obtida no Ensaio de Fadiga. Configuração Utilizada no Ensaio de
Fadiga para os Corpos de Prova. ............................................................................. 137
Figura 6.15: Amostras após o Ensaio de Fadiga. ..................................................... 138
xvi
Figura 6.16: Amostras Fraturadas durante o Ensaio de Fadiga: Amostras 02, 03, 04,
06 e 09. .................................................................................................................... 138
Figura 6.17: Amostras Fraturadas durante o Ensaio de Fadiga: Amostras 10 a 13. 138
Figura 6.18: Detalhe do Aspecto das Fraturas. ........................................................ 139
Figura 6.19: Fotomicrografias em MEV do Implante sem Tratamento (a) Vista
Frontal e (b) Detalhe com aumento de 1000x. ........................................................ 140
Figura 6.20: Fotomicrografias em MEV do Implante com Tratamento (a) Vista
Frontal e (b) Detalhe com aumento de 1000x. ........................................................ 141
Figura 6.21: Seção Transversal do Implante após Fratura Detalhando a Região de
Titânio Puro - Fratura Dúctil. ................................................................................ 142
Figura 6.22: Seção Transversal do Implante após Fratura Detalhando a Região
Externa com deposição de Nitreto de Titânio - Fratura Frágil. .............................. 143
Figura 6.23: Seção Transversal do Implante após Fratura Detalhando a Região
Interna com deposição de Nitreto de Titânio - Fratura Frágil................................. 144
Figura 6.24: Diagrama de Corpo Livre do Problema: a) Condições de contorno. b)
Caso 1. C) Caso 2. ................................................................................................... 147
Figura 6.25: Resultado do Problema com malha apresentando 3.510 elementos,
0, 80 : a) Região interna do implante dentário b) Região externa do implante
dentário. .................................................................................................................. 147
Figura 6.26: Resultado do Problema com malha apresentando 25.296 elementos,
0, 80 : a) Região interna do implante dentário b) Região externa do implante
dentário. .................................................................................................................. 148
Figura 6.27: Resultado do Problema com malha apresentando 3.510 elementos,
0,90 : a) Região interna do implante dentário b) Região externa do implante
dentário. .................................................................................................................. 148
Figura 6.28: Resultado do Problema com malha apresentando 25.728 elementos,
0,90 : a) Região interna do implante dentário b) Região externa do implante
dentário. .................................................................................................................. 149
Figura 6.29: Resultado do Problema com malha apresentando 3.510 elementos,
0, 80 : a) Região interna do implante dentário b) Região externa do implante
dentário. .................................................................................................................. 149
xvii
Figura 6.30: Resultado do Problema com malha apresentando 25.198 elementos,
0, 80 : a) Região interna do implante dentário b) Região externa do implante
dentário. .................................................................................................................. 150
Figura 6.31: Resultado do Problema com malha apresentando 3.510 elementos,
0,90 : a) Região interna do implante dentário b) Região externa do implante
dentário. .................................................................................................................. 150
Figura 6.32: Resultado do Problema com malha apresentando 25.728 elementos,
0,90 : a) Região interna do implante dentário b) Região externa do implante
dentário. .................................................................................................................. 151
Figura 6.34: Resultado do Problema com malha apresentando 3.510 elementos: a)
Região interna do implante dentário b) Região externa do implante dentário. ....... 152
Figura 6.35: Gráfico de função de falha da malha antes do processo de refino h-
adaptativo. .............................................................................................................. 152
Figura 6.36: Resultado do problema após o 1º nível de refino h-adaptativo. ........... 153
Figura 6.37: Gráfico de função de falha da malha após o processo de refino h-
adaptativo. .............................................................................................................. 153
Figura 6.38: Resultado do Problema com malha apresentando 3.510 elementos: a)
Região interna do implante dentário b) Região externa do implante dentário. ....... 154
Figura 6.39: Gráfico de função de falha da malha antes do processo de refino h-
adaptativo. .............................................................................................................. 154
Figura 6.40: Resultado do problema após o 1º nível de refino h-adaptativo. ........... 155
Figura 6.41: Gráfico de função de falha da malha após o processo de refino h-
adaptativo. .............................................................................................................. 155
xviii
Lista de Símbolos e Abreviações
Símbolo Descrição
sA área de impressão
b vetor de força de corpo
dc limites das derivadas parciais da densidade relativa
div operador divergência
d vetor direção minimizador da função no espaço de projeto
B matriz de deformação-deslocamento
HD equação constitutiva homogeneizada
oD equação constitutiva com parâmetros de elasticidade do material
completamente denso
HvolD equação constitutiva homogeneizada dos termos volumétricos
HdistD equação constitutiva homogeneizada dos termos de distorção
e número do elemento
e eletron
e energia de deformação
2
Ee norma da energia de deformação
E módulo de Young do material relativo a densidade (porosidade)
oE módulo de Young do material completamente denso
err erro
f função objetivo
F força
edg restrição de estabilidade
xix
G módulo de cisalhamento
0G molécula de gás no estado fundamental
G íon da molécula de gás no estado fundamental
h restrição de igualdade
ph profundidade de penetração
H conjunto dos deslocamentos admissíveis
oH conjunto das variações admissíveis
I distância compreendida entre o ponto de aplicação da força e o engaste
do implante no bloco de poliacetal
k número de interações
K matriz de rigidez
distK matriz de rigidez dos termos de distorção
volK matriz de rigidez dos termos volumétricos
, i j variáveis auxiliares
rJ conjunto dos elementos a serem refinados
maxeL comprimento da maior aresta do tetraedro
M momento fletor
m grau de liberdade
n número do nó do elemento
en número de elementos da malha
nn número de nós da malha
n vetor normal
P vetor carga
Pref i ponteiro de vetor que identifica os elementos que serão refinados
xx
Q e medida de qualidade do e-ésimo elemento
¡ conjunto dos números reais
inr raio da espera inscrita no tetraedro
aR rugosidade média
sccm standard cubic centimeters per minute
tol tolerância
u unidade de massa atômica
u vetor de deslocamento admissível
u vetor de deslocamento prescrito
ua unidade de absorvância
uc unidade de comprimento
ucd unidade de carga distribuída
ut unidade de tensão
v vetor de deslocamento virtual
V volume
w carga distribuída
x vetor posição
mx coordenadas do baricentro
X conjunto que define as variáveis de projeto
by dimensão do braço de alavanca
α fração de volume prescrito
β tamanho do passo
A£ função lagrangiana aumentada
η parâmetro de penalidade microestrutural
xxi
ε tensor deformação linear elástico
ξ potencial
ϕ parâmetro que define o critério de refino quanto ao erro calculado
, multiplicadores de Lagrange
e erro médio do elemento
G erro médio global
ν coeficiente de Poisson do material
eρ densidade média do elemento
ρ densidade relativa
infρ limite inferior da densidade relativa
limρ densidade limite
supρ limite superior da densidade relativa
ρ vetor de densidade relativa
u parte do contorno com deslocamento prescrito
t parte do contorno com tração prescrita
domínio do corpo
σ tensor tensão
yσ tensão de escoamento
ψ restrição de desigualdade
, ω ζ parâmetro de penalidade da função Lagrangiana
TiNδ estrutura do tipo cúbica de faces centradas
Tiα estrutura hexagonal compacta do titânio
xxii
Resumo
Nos últimos anos tem-se observado um grande crescimento em tecnologias para
modificação de superfícies de implantes que reduzam o tempo de espera da
cicatrização, assim como possibilite seu uso com sucesso em áreas de baixa densidade
óssea. Dentre as diferentes técnicas, a nitretação por plasma desponta como forte
candidata, uma vez que a mesma já está sendo empregada com excelentes resultados
no titânio e suas ligas, aplicados com maior frequência na confecção de implantes de
quadril, ombro e tornozelo. Entretanto, seu uso em implantes dentários é bastante
limitado devido às altas temperaturas do processo (entre 700 Co e 800 Co )
resultando em distorções nessas peças que possuem geometria complexa e alto grau de
precisão. O objetivo deste trabalho é avaliar a osseointegração e resistência mecânica
de amostras de titânio grau II nitretadas, através da configuração de descarga em
cátodo oco. Além disto, propor formulações para determinação da topologia ótima
estrutural do implante dentário em estudo, com o intuito de aperfeiçoar sua forma,
que seja eficiente, competitiva e com alta definição. No processo de nitretação, as
amostras foram tratadas em temperatura de o450 C e pressão de 150 Pa , durante 1
hora de tratamento. Esta condição foi escolhida por apresentar os melhores resultados
de molhabilidade em trabalhos anteriores, onde sistematizou-se diferentes condições
de pressão, temperatura e tempo. As amostras tratadas foram caracterizadas por
Difração de Raios-X, Microscopia Eletrônica de Varredura, Rugosidade, Microdureza
e Molhabilidade. Posteriormente, foram realizados ensaios biomecânicos de fadiga.
Finalizando com uma proposta de formulação através do método de otimização
topológica tridimensional, combinado a um processo de refino h-adaptativo. Os
resultados mostraram que a nitretação a plasma, utilizando a técnica de descarga em
cátodo oco, produziu mudanças na textura superficial dos corpos de prova, aumento
da rugosidade superficial, da molhabilidade e da microdureza quando comparado a
amostra sem tratamento. No ensaio biomecânico de fadiga, o implante tratado não
apresentou sinal de falha, após cinco milhões de ciclos, a uma carga máxima de fadiga
de 84, 46 N . Os resultados do processo de otimização topológica apresentaram
leiautes otimizados bem definidos do implante dentário, com uma nítida distribuição
de material e definição do contorno.
Palavras-chaves: Biomecânica. Fadiga. Implantes Dentários. Nitretação em Plasma.
Nitretação em Cátodo Oco. Otimização Topológica. Osseointegração.
xxiii
Abstract
In recent years there has been a significant growth in technologies that modify
implant surfaces, reducing healing time and allowing their successful use in areas with
low bone density. One of the most widely used techniques is plasma nitration, applied
with excellent results in titanium and its alloys, with greater frequency in the
manufacture of hip, ankle and shoulder implants. However, its use in dental implants
is very limited due to high process temperatures (between 700 Co and 800 Co ),
resulting in distortions in these geometrically complex and highly precise components.
The aim of the present study is to assess osseointegration and mechanical strength of
grade II nitrided titanium samples, through configuration of hollow cathode
discharge. Moreover, new formulations are proposed to determine the optimum
structural topology of the dental implant under study, in order to perfect its shape,
make it efficient, competitive and with high definition. In the nitriding process, the
samples were treated at a temperature of 450 Co and pressure of 150 Pa , during 1
hour of treatment. This condition was selected because it obtains the best wettability
results in previous studies, where different pressure, temperature and time conditions
were systematized. The samples were characterized by X-ray diffraction, scanning
electron microscope, roughness, microhardness and wettability. Biomechanical fatigue
tests were then conducted. Finally, a formulation using the three dimensional
structural topology optimization method was proposed, in conjunction with an h-
adaptive refinement process. The results showed that plasma nitriding, using the
hollow cathode discharge technique, caused changes in the surface texture of test
specimens, increases surface roughness, wettability and microhardness when
compared to the untreated sample. In the biomechanical fatigue test, the treated
implant showed no flaws, after five million cycles, at a maximum fatigue load of
84.46 N . The results of the topological optimization process showed well-defined
optimized layouts of the dental implant, with a clear distribution of material and a
defined edge.
Keywords: Plasma nitriding. Hollow Cathode Nitriding. Biomechanics. Fatigue.
Topological Optimization. Dental Implants. Osseointegration.
Capítulo 1
Introdução
A partir dos estudos fundamentais de Brånemark et al. (1969), Brånemark et
al. (1977), Schroeder et al. (1976) e Schroeder et al. (1978), os implantes
osseointegrados transformaram-se em uma ferramenta possível e confiável na
reposição dental. Os implantes foram desenvolvidos para seguir um rígido protocolo
cirúrgico permitindo o tratamento de desdentados parciais ou totais, e são aceitos
universalmente até os dias de hoje.
Ainda que o método de implantes já tenha se consagrado como uma possível
possibilidade para a restauração das perdas dentais, Wennerberg e Albrektsson
(2011), a eventual confirmação de que determinadas superfícies possibilitam o maior e
o mais rápido contato ósseo, na fase de cicatrização, e durabilidade, quanto em sua
funcionalidade, poderá certamente contribuir para aperfeiçoar o procedimento, ver
Olivares-Navarrete et al. (2012).
A necessidade de se definir uma superfície em implantes metálicos compatíveis
com uma boa resposta óssea é imperativa na pesquisa básica de implantes,
especialmente na busca de soluções para área de baixa densidade óssea, Klein et al.
(2011).
O implante, uma vez em contato com o meio biológico, é caracterizado por
mudanças dinâmicas em suas propriedades superficiais, envolvendo uma cascata de
reações que ocorre entre o meio biológico e o biomaterial, formando asism um “filme
Capítulo 1 – Introdução 2
de condicionamento” que modula as respostas celulares do hospedeiro, Stadlinger et
al. (2009).
Segundo Rupp et al. (2004), a molhabilidade e a energia superficial exercem
um importante papel na adsorção de proteínas, aumentando a formação de adesões
focais por osteoblastos na superfície do implante, Lai et al. (2009) e Zhao et al.
(2011). Uma topografia de superfície hierárquica foi descrita por Rupp (2004), onde
parâmetros espaciais e híbridos de rugosidade aumentaram a molhabilidade dinâmica
da superfície. Considerando que a rugosidade e a molhabilidade, interferem com os
processos de adsorção de proteínas, é possível que células sejam fortemente
influenciadas por ambas, se chegarem à superfície do implante, Rupp (2004).
Estudos apontam que uma osseointegração mais rápida pode ser alcançada
pela texturização da superfície do implante, ver Le Guehennec et al. (2008),
Wennerberg e Albrektsson (2009), Lai et al. (2009) e Zhao et al. (2011). A explicação
para essa constatação pode estar no mecanismo da osseointegração comprovado por
Kasemo (2002).
A molhabilidade de uma superfície é um fenômeno que influencia a
osseointegração. No processo de osseointegração, as moléculas de água são as
primeiras chegarem à superfície do implante, comparada as proteínas, as células e as
outras moléculas existentes no sangue, ver Lai et al. (2009).
Na busca por superfícies que supram a necessidade de se obter uma rápida
osseointegração, diversas pesquisas são desenvolvidas, com o objetivo de modificar
tais superfícies, por meio de métodos mecânicos, químicos e físicos de tratamento de
superfície, obtendo-se assim, diversos níveis de texturas, ver Xuanyong (2004), Silva
Capítulo 1 – Introdução 3
(2006) e Silva et al. (2013). Nesse sentido, busca-se nesta pesquisa uma superfície que
atenda a essa necessidade. Selecinou-se, desta forma, o processo de nitretação em
plasma pelas excelentes propriedades mecânicas, estabilidade química e
biocompatibilidade, Cho e Park (2003), quando aplicada ao titânio. Seu uso para
implantes de quadril, joelho, ombro e tornozelo tem levado a uma crescente
resistência à abrasão e colonização bacteriana reduzida, comparada a outras
superfícies de implantes clinicamente utilizadas, Alves Jr. et al. (2005), Sá et al
(2009) e Coelho et al. (2012). Entretanto, uma limitação do uso da nitretação em
implantes dentais está na alta temperatura do processo, entre 700 e 800 Co ,
podendo causar distorções no implante devido a sua geometria e precisão dimensional,
Mishra (2003).
Uma alternativa para solucionar esse problema é o tratamento na configuração
de Cátodo Oco. Este método consiste em nitretar a peça numa atmosfera altamente
ionizada. Uma alta densidade de íons significará maior bombardeamento na
superfície, ocasionando uma alta incidência energética. Esta configuração de eletrodos
é utilizada quando deseja-se aumentar o dano superficial e ter um gradiente térmico
produzido pelo aumento da taxa de colisão e de ionização. Uma das vantagens da
utilização deste tratamento superficial é que o mesmo não fere a biocompatibilidade
do titânio. O processo também contribui para uma boa adesão, proliferação celular e
boa ancoragem óssea, Guerra Neto (2009).
Além da textura superficial, a engenharia odontológica vem mostrando
resultados de novas técnicas e novos materiais para desenvolvimento de implantes
Capítulo 1 – Introdução 4
cada vez mais semelhantes à dentição natural, tanto estética quanto
biomecanicamente, proporcionando conforto e equilíbrio aos pacientes desdentados.
A biomecânica relacionada à otimização desses implantes e componentes
protéticos pode ter um papel decisivo para o sucesso, podendo estes ter a capacidade
de melhor distribuição de forças, diminuindo então, a carga sobre o osso
circunjacente. Juntamente com esses fatores, uma oclusão equilibrada é foco dos
profissionais da área, pois, uma força oclusal excessiva, principalmente durante a
mastigação, pode levar a altos níveis de tensão ao osso e ao implante, trazendo
possíveis complicações ao sistema prótese/implante/periimplante como: reabsorções
ósseas, desaparafusamentos, deformidades e/ou fraturas de tais componentes e
implantes, Silva et al. (2007).
Nesse trabalho, superfícies de titânio foram nitretadas por plasma usando a
técnica de descarga por cátodo oco, visando seu uso em implantes dentais.
Caracterizações importantes como molhabilidade, rugosidade, microdureza,
microscopia eletrônica de varredura e fases superficiais foram analisadas. Em uma
segunda etapa, ensaios biomecânicos de fadiga foram realizados com os implantes
(corpos de prova) de acordo com o especificado na norma técnica ABNT ISO
14801:20071. Testes estáticos e dinâmicos foram realizados com o objetivo de observar
o comportamento biomecânico dos implantes tratados a plasma determinando-se a
carga máxima de resistência e escoamento do sistema.
1 O laboratório responsável pela execução do teste de fadiga disponibiliza para a realização do ensaio a
versão do ano de 2007 da norma. Porém, é importante ressaltar que no mercado já existe uma versão
atualizada, ABNT NBR ISO 14801:2012, a revisão da norma, no que diz respeito ao ensaio, não
apresenta modificações significativas.
Capítulo 1 – Introdução 5
Além da etapa de ensaios, foi proposta uma formulação, utilizando o método
de elementos finitos e otimização topológica tridimensional combinando um processo
de refino h-adaptativo.
Nesse sentido, enquanto o material utilizado para a confecção do implante
tiver o módulo de elasticidade muito maior que o do osso circunjacente a raiz do
dente, devido ao implante estar situado numa posição intermediária entre a carga e o
osso, sempre a rigidez predominante do sistema em análise, considerado-a em série,
será predominada pela rigidez do material mais flexível. No caso em questão, o
material do implante é o Ti-CP grau II que possui um módulo de elasticidade muito
superior ao do osso, desse modo, o procedimento de otimização da servirá para
confeccionar novas propostas de geometria.
1.1 Contribuição Científica
A pesquisa tem como contribuição científica a caracterização e a análise do
comportamento biomecânico de fadiga em implantes dentários tratados
superficialmente por meio da técnica de nitretação a plasma em cátodo oco.
Ademais, na área de otimização topológica, a contribuição está relacionada a
propor formulações tridimensionais utilizando um esquema de refino h-adatpativo
para concepção de estruturas otimizadas do implante dentário em estudo.
Capítulo 1 – Introdução 6
1.2 Objetivos
A pesquisa tem como objetivo caracterizar e estudar o comportamento
biomecânico de implantes nitretados a plasma em cátodo oco e adicionalmente,
propor formulações, através do método de otimização topológica para estruturas 3D,
que sejam eficientes, competitivas e capaz de proporcionar leiautes2 de alta definição.
Como objetivos específicos, tem-se:
1. Tratar e caracterizar superfícies das amostras nitretadas por plasma em
cátodo oco;
2. Analisar o comportamento biomecânico de implantes tratados por plasma
em cátodo oco através de ensaios biomecânicos de fadiga e pelo método de elementos
finitos;
3. Conceber estruturas otimizadas para o sistema de implante estudado, com
formulação sob critério de minimização de flexibilidade3 e sujeito a restrição de
volume de material.
4. Conceber estruturas otimizadas para o sistema de implante estudado, sob
minimização de massa e atendendo a um critério integral de tensão.
2 Apesar de pouco utilizado na literatura, o termo leiaute é mais adequado para definir a disposição
dos membros estruturais, do que o termo topologia. No contexto, utilizam-se os dois termos como
sinônimos. 3 O termo flexibilidade, utilizado no texto, refere-se ao trabalho de deformação elástica do corpo
quando submetido aos esforços externos.
Capítulo 2
Revisão Bibliográfica
2.1 Aspectos Biológicos
2.1.1 Osseointegracão
A Bioengenharia tem avançado no sentido de proporcionar ao homem uma
melhor qualidade de vida e longevidade. A ciência busca recuperar órgãos devolvendo
a função perdida em consequência do avanço da idade, doenças ou traumas com
perdas precoces. A Engenharia e a Odontologia passa então a interagir com outros
ramos, percebendo que interdisciplinaridade é exigência necessária para evolução na
área de biomateriais, Kasemo (2002).
A aplicação dos biomateriais, para confecção de próteses, reporta épocas
remotas. Descobertas antropológicas na Europa e na América Central indicam que o
homem tentou, desde muito, repor partes do corpo perdidas (dentes), usando
materiais homólogos (dentes humanos e de animais), com propósito aparentemente
estético, Ceschin (1984).
A primeira tentativa de realizar-se um implante endósseo foi relatada em 1919,
por Greenfield, utilizando um implante de iridioplatina. Diversas outras tentativas de
implantar materiais para substituição de dentes ausentes foram relatadas ao longo da
história. Em 1939, Strock descreveu um parafuso de cromo-cobalto-molibidênio
(Vitallium). No século passado, década de quarenta, surgiram vários tipos de
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 8
implantes no mercado, por exemplo, os implantes subperiostais apresentado à
comunidade científica na época, eram colocados sobre o tecido ósseo e sob o periósteo.
A prótese era conectada imediatamente após a inserção do implante. Problemas
periodontais severos retirou a técnica do mercado. Em 1962, Scialom propôs os
implantes agulhados de tântalo, Scialom (1962).
Anos mais tarde, surgiram os implantes laminados, sendo originalmente usados
na sua fabricação ligas de cromo, níquel e vanádio e mais recentemente, óxido de
alumínio e ligas de titânio. Estes implantes estão associados a complicações no tecido
mole e perda óssea acelerada, além do que, são de difícil remoção provocando danos
significantes ao tecido ósseo adjacente, Eriksson (1983).
Paralelamente a isto, pesquisadores na Suécia iniciaram, em 1952, um novo
conceito de implantes dentais osseointegrados, com eficácia clínica comprovada por
meio de inúmeros casos suportando próteses em plena função por longos períodos. O
mesmo autor, em estudos experimentais com implantes dentais em forma de parafuso,
foi o primeiro a relatar uma interface de contato direto osso-titânio, sem interposição
de tecido mole, Brånemark (1969).
O termo osseointegração foi usado pela primeira vez por Brånemark (1977). No
decorrer dos anos setenta, este fenômeno chamado de osseointegração foi chamado de
anquilose funcional, Schroeder (1976). Todavia, o conceito de um contato direto entre
o osso e os implantes metálicos, sem nenhum tecido mole interposto, descrito 1969
por Brånemark era de alta controvérsia, nesta época e até o começo dos anos 80, não
se sabia se o contato direto entre osso e implante era passível de ser alcançado.
Contudo, os resultados clínicos positivos com os implantes ósseo-integrados, levaram
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 9
os pesquisadores a acreditarem em uma ancoragem óssea direta e através de
observações clínicas. Tornou-se evidente que os assim chamados implantes ósseo-
integrados não são perdidos com o tempo, mas o contrário é o que parece ocorrer,
Albrektsson et al. (1990). Outros estudos conduzidos paralelamente, estudos
similares, abriram novos horizontes na implantodontia, Schulte (1980).
Foi sugerida por autores uma nova definição, onde osseointegração é a conexão
estrutural e funcional entre o tecido ósseo (ativo e organizado) e a superfície de um
implante em função, Brånemark (1985). Esta definição foi criticada porque não define
o nível de resolução, não inclui a quantidade mínima necessária de contato
osso/implante para justificar a osseointegração, Albrektsson et al. (1981). Uma
recente definição de osseointegração não tem melhorado os conceitos anteriores, mas
tem usado muitas palavras necessárias para a definição: osseointegração é uma
coexistência estrutural e funcional, possivelmente de forma simbiótica, entre tecido
biológico diferenciado e adequadamente remodelado com componentes sintéticos
duráveis, definido e controlados, com função clínica específica e sem rejeição
mecânica, Albrektsson et al. (1990). Contudo, a osseointegração não deve ser
considerada um critério único para avaliação do sucesso de implantes. Este resultado
depende, de forma segura, da interrelação entre vários componentes como uma
técnica controlada, uso de brocas novas, perfuração sequencial, uso de baixa rotação e
irrigação constante, Albrektsson et al. (1987). Além deste, tem-se a
biocompatibilidade do material, geometria do implante e manipulação durante a
usinagem, Henry (1987) e Johansson e Albrektsson (1987).
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 10
Na microscopia óptica é possível demonstrar que implantes de titânio
comercialmente puro (Ti-CP) apresentam uma média de 90% ou mais de contato
direto entre o osso cortical e o implante, com pelo menos um ano de instalação. Em
algumas áreas é observada uma linha branca entre o osso e o metal. Geralmente esta
linha não apresenta tecido vivo, nem coloração e tem entre 1 e 10 m de espessura
sendo indicativo de ancoragem óssea, Albrektsson et al. (1981). Avaliando 2.768
implantes instalados seguindo um rígido protocolo cirúrgico, pesquisadores relataram
índices de sucesso de 81% na maxila e 91% na mandíbula além do impacto positivo
na situação psicológica e social dos pacientes, Adell et al. (1991).
O desenvolvimento na área de implantes odontológicos deu origem a uma
variedade de sistemas com diferentes geometrias, materiais e texturas. A
caracterização dos biomateriais baseia-se fundamentalmente na avaliação de
propriedades físicas e químicas, como a composição do material, sua resistência à
corrosão e suas propriedades mecânicas, Meffert, Langer e Fritz (1992) e Oleinick
(1993). Há, contudo um aspecto importante que deve ser analisado e que diz respeito
a sua biocompatibilidade, isto é, como o meio biológico responde aos estímulos
induzidos pelo material estranho, e ao mesmo tempo, como esse material implantado
responde química e fisicamente ao ambiente biológico, Gross (1988).
Para determinar a biocompatibilidade de um biomaterial é importante
entender o fenômeno na interface entre o material e o sistema biológico onde este
material está sendo implantado, como os constituintes moleculares do sistema
biológico entram em contato e interagem com os constituintes moleculares da
superfície do biomaterial, Ratner, Johnston e Lenk (1987). A biocompatibilidade
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 11
como sendo a capacidade de um determinado material para desenvolver uma resposta
apropriada do hospedeiro quando utilizado em uma aplicação específica, Kasemo
(2002). Em 1993, pesquisadores definiram biocompatibilidade como sendo o
aproveitamento que o material faz das proteínas e células do meio biológico. Neste
caso, as proteínas na interface e o processo de reconhecimento celular são
fundamentais. Para isto, é necessário que as propriedades intrínsecas da superfície do
biomaterial sejam biologicamente adequadas, Ratner (1993). Assim é de fundamental
importância compreender que a superfície do material é a chave da
biocompatibilidade em um sistema de implantes, Ratner, Johnston e Lenk (1987).
A natureza da superfície pode ser descrita em termos de composição química,
morfologia e energia superficial. Sabe-se que essas propriedades, em geral, governam a
resposta biológica a um material implantado que, por sua vez, pode envolver também
fatores físicos como forma, textura da superfície e movimentos interfaciais relativos,
também como fatores químicos associados com a composição e estrutura da superfície,
Baier e Meyer (1988). Contudo, os detalhes dessas interações não estão totalmente
compreendidos, Kasemo (2002). Um estudo sobre adesão celular à superfície de
biomateriais relatou que sua topografia e energia de superfície desempenham um
papel essencial na adesão osteoblástica, Anselme (2000).
Pesquisadores estudaram carregamento mecânico variado em implantes dentais
através de próteses com observação do impacto dessas forças na osseointegração. As
forças transmitidas influenciam os tecidos periimplantares. Excessivas forças
mecânicas afetam a diferenciação do tecido ósseo. Os autores concluíram que é
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 12
essencial controlar as forças para promover melhor a osseointegração, Murat, Saime e
Kyvonc (2004).
Estudos realizados em 2004 utilizaram implantes metálicos cobertos com
plasma de hidroxilapatita em tíbias de coelhos e observados oito semanas depois da
colocação dos implantes a osseointegração. Foram administrados vários marcadores
ósseos para que, através das diferentes cores, pudesse identificar a remodelação óssea.
Segundo os autores, a presença dos implantes revestidos com hidroxilapatita
estimulou o crescimento ósseo na região medular, nenhum coelho mostrou qualquer
evidência de inflamação na região implantada. O implante estava cercado de muito
osso e pouco tecido fibroso, Rigoa (2004).
Ainda em 2004, pesquisadores estudaram a interface osso/implante em cadáver
para força de ancoragem em ortodontia. Os autores concluíram que na interface havia
remodelamento ósseo a 1mm da superfície que suportou o implante servindo de
ancora para movimentações ortodônticas, Sarandeep e Roberts (2004).
2.1.2 Titânio como Biomaterial
As grandes reservas de Titânio encontram-se no Canadá, Austrália e Estados
Unidos. Do total de titânio extraído, a maior parte é transformada em pigmentos de
dióxido de titânio para uso em tintas. Apenas de 5% a 10% são utilizados na sua
forma metálica, Fraker (1987) e Parr et al. (1985). O titânio é um material reativo e
existe usualmente, na natureza, em forma de um composto químico. Uma
consequência importante dessa reatividade é que o titânio está coberto de uma
camada de óxido, Kasemo e Lausma (1987). O titânio existe como um elemento puro,
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 13
registrado na tabela periódica com o número atômico 22 e um peso atômico de
47,9u representando o nono elemento mais abundante na natureza e o quarto
elemento metálico estrutural mais abundante na camada externa da terra.
O titânio puro é um material dúctil e não-magnético, o mesmo é produzido em
quantidade comerciais por aquecimento do minério rutilo 2TiO e ilmenita
2FeO TiO , na presença de carbono e cloro, produzindo, dessa forma, o
tetracloreto de titânio. A redução do tetracloreto de titânio com o metal magnésio em
atmosferas de argônio, resulta em uma esponja de titânio, conforme mostrado nas
Equações (2.1) e (2.2), ver Fraker (1987).
2 2 4 2
2TiO Cl C TiCl CO (2.1)
4 22 4 2 4TiCl Mg Na Ti MgCl NaCl (2.2)
O titânio é um metal resistente e aproximadamente 50% mais leve que o aço.
O titânio puro sofre uma mudança cristalográfica quando aquecido em torno de
822 Co . Esse tipo de transformação ocorre em muitos materiais e produz propriedades
significativamente diferentes das de seu estado original. O elemento titânio dissolve
alguns outros materiais para formar ligas de titânio, entre os quais estão: a prata, o
alumínio, o arsênico, o cobre, o ferro, o gálio, o urânio, o vanádio e o zinco. A adição
de quantidades em traços de elementos como carbono, oxigênio, nitrogênio e ferro
podem melhorar significativamente as propriedades mecânicas do titânio puro. A
maioria dos produtos de titânio comercialmente puro contém traços de alguns destes
elementos, Albrektsson et al. (1983) e Fraker (1987).
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 14
Para que se alcance um sucesso em longo prazo dos implantes é necessário que
o material possua características fundamentais como: biocompatibilidade, resistência
ao desgaste, resistência à corrosão e resistência à fratura, Parr (1985).
A Tabela 2.1 mostra as concentrações máximas de impureza permitidas no Ti-
CP e suas ligas.
Tabela 2.1: Concentrações máximas permitidas para as impurezas em Ti-CP e ligas (% em
peso).
Liga Elemento (% de Impureza)
N C H Fe O Al V Ti
grau ITi 0,03 0,10 0,015 0,02 0,18 – – Balanço
grau IITi 0,03 0,10 0,015 0,03 0,25 – – Balanço
grau IIITi 0,05 0,10 0,015 0,03 0,35 – – Balanço
grau IVTi 0,05 0,10 0,015 0,05 0,40 – – Balanço
grau VTi 0,05 0,08 0,012 0,25 0,13 5,5–6,5 3,5–4,5 Balanço
O conhecimento das propriedades físicas e químicas da superfície é de
fundamental importância para se poder discutir a biocompatibilidade. A importância
se deve a vários tipos de interações como forças de Van-der Walls, fortes uniões
químicas e outras que estão na dependência da microestrutura de superfície em escala
atômica, Kasemo e Lausma (1988).
As propriedades de uma superfície são de fundamental relevância para a
tendência da mesma adsorver átomos ou moléculas estranhas. Diferentes superfícies
apresentam diferentes propriedades de adsorção, e estas diferenças estão intimamente
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 15
relacionadas com aspectos químicos de biocompatibilidade, Meachim e Williams
(1993).
Quando usinado, o Ti-CP está sendo exposto de forma repentina, a uma
atmosfera constituída de ar, substâncias lubrificantes e resfriadoras, ficando o mesmo
susceptível à dissociação das moléculas de oxigênio no ar, resultando em uma
formação, extremamente rápida, de óxido na superfície, ver Kasemo e Lausma (1987).
A Figura 2.1 mostra com detalhe o processo de oxidação de um implante
dentário. No primeiro momento, ocorre uma adsorção de moléculas de oxigênio que se
dissociam imediatamente para átomos. Após 10 nanossegundos, forma-se a primeira
camada monoatômica de oxigênio e aproximadamente dentro de um milisegundo,
uma outra camada de óxido se forma, com aproximadamente 1 nm 10 Å . O
crescimento de óxido aumenta em poucos nanômetros na espessura do implante. E
dentro de 1 minuto, a espessura de óxido aumentará na ordem de 50 Å a 100 Å. A
espessura, composição química e microestrutura do óxido nesta fase, dependerão de
alguns fatores tais como: pressão e velocidade de usinagem, que determina a
temperatura da superfície, desta forma, pode-se esperar variações consideráveis da
superfície de óxido com diferentes condições de usinagem, Kasemo (2002).
Figura 2.1: Oxidação do Implante, Adaptação de Kasemo (2002).
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 16
No Ti-CP existem vários óxidos, sendo que mais próximo do metal, há uma
predominância de TiO e adjacente ao tecido encontramos o 2
TiO , Albrektsson et al.
(1983). A camada de 2
TiO é impermeável ao oxigênio e previne a troca de elétrons e
qualquer reação de oxirredução na superfície. Desta forma, os produtos de corrosão
nos tecidos não estão em forma de íon e sim como óxidos estáveis, Zitter e Plenk
(1987). Em meios fisiológicos a camada de óxido é altamente protetora prevenindo o
contato entre o meio e o metal base. Isso significa que possivelmente não existe o
contato direto entre o metal e seus tecidos hospedeiros, mas certamente, entre o
tecido e a superfície do óxido formado, Kasemo (1983).
2.2 Aspectos Tecnológicos da Nitretação por Plasma
2.2.1 Plasma
O termo plasma aplica-se a um gás contendo espécies neutras e eletricamente
carregadas como elétrons, íons positivos, íons negativos, átomos e moléculas,
Rossnagel, Cuono e Westwood (1989). Na média, um plasma é eletricamente neutro
porque qualquer desbalanceamento de carga resultará em campos elétricos que
tendem a mover as cargas de modo a restabelecer o equilíbrio. Como resultado disso,
a densidade de elétrons mais a densidade de íons negativos, deve ser igual à
densidade de íons positivos. As cargas livres no plasma podem mover-se em resposta
a qualquer campo elétrico e neutraliza-lo. Se uma carga qualquer é inserida num
plasma ou um campo é imposto, produzindo um potencial, as cargas livres, compostas
de elétrons, na grande maioria, se moverão formando uma blindagem elétrica,
denominada blindagem de Debye, Alves Jr (1985).
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 17
Em laboratório, o plasma pode ser produzido através da aplicação de uma
diferença de potencial entre dois eletrodos. Quando uma diferença de potencial é
aplicada entre dois eletrodos (contidos num sistema hermeticamente fechado e a uma
pressão suficientemente baixa), elétrons e íons são acelerados pelo campo elétrico,
colidindo com outras partículas e produzindo assim mais íons e elétrons através da
combinação descrita na Equação (2.3), Howatson (1965):
0 2e G G e (2.3)
Onde 0G é o átomo ou molécula do gás no estado fundamental, G representa
um íon deste gás e e são os elétrons.
Devido a esta produção de cargas, uma corrente elétrica é gerada variando com
a diferença de potencial entre eletrodos. O cátodo é a região mais importante no
estudo da nitretação iônica porque é nele onde se desenvolve a maioria dos eventos
responsáveis pelas características da camada nitretada. Dentre estes eventos, destaca-
se o Sputtering da superfície, isto é, a dissipação de calor pelo bombardeio das
partículas, criação de defeitos na rede cristalina do cátodo (peça), deposição de
nitretos, adsorção e a difusão de nitrogênio, Chapman (1980), Edenhofer (1974).
Quando um íon energético colide com a superfície do cátodo, ele produzirá Sputtering
dos átomos contaminantes ou da superfície do cátodo. Ele pode também ser refletido
pela superfície como íon de alta energia (colisão elástica) ou como uma partícula
neutra.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 18
2.2.2 Nitretação Iônica
Nos últimos anos tem-se observado um grande crescimento de técnicas de
tratamento de superfícies que são ambientalmente limpas. Dentre elas está a
nitretação iônica, que consiste na nitretação de superfícies metálicas quando inseridas
em plasma de nitrogênio. Além dos fatores ambientais, várias são as vantagens desta
técnica sobre as convencionais. As mais importantes são: baixa temperatura de
tratamento, melhor controle da espessura da camada, tempo de tratamento inferior,
uniformidade na espessura da camada, nitretação de partes da peça, maior economia
de energia no processo de tratamento superficial, Alves Jr (1985).
O processo conhecido como nitretação iônica (ion-nitriding), nitretação em
descarga luminosa (glow discharge nitring) ou Nitretação por Plasma (Plasma
Nitring), foi patenteado em 1931 por J. J. Egan nos Estados Unidos e em 1932 por
Berghaus na Alemanha. Apenas em 1960 teve início o seu uso comercial, Santos
(1987).
O equipamento típico de nitretação iônica é constituído basicamente de um
sistema de vácuo, uma fonte de potência e um reator, conforme ilustrado na Figura
2.2. O esquema de vácuo deve ser capaz de atingir em torno de 210 Torr de pressão e
possuir válvulas para controlar a vazão dos gases introduzidos para o tratamento. A
fonte de potência possui uma saída de corrente contínua, com voltagem máxima de
aproximadamente 1500V , e uma corrente capaz de fornecer energia à peça para que
ela seja aquecida a uma temperatura entre 300 Co e 700 Co , Alves Jr (1995). No
reator estão dois eletrodos onde o cátodo é também o porta amostra. Ainda no reator
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 19
deverá existir saídas para medida da pressão, temperatura e outras variáveis
desejadas para o melhor controle do processo. O processo deverá ainda conter
entradas para a atmosfera nitretante, bomba de vácuo e outros acessórios que sejam
necessários para a nitretação da amostra.
Figura 2.2: Processo de nitretação iônica.
O processo consiste em expor superfícies metálicas a um plasma nitretante, o
qual é gerado devido a uma diferença de potencial entre dois eletrodos. Estes
eletrodos estão contidos em um reator hermeticamente fechado, onde é introduzido a
atmosfera nitretante (tipicamente uma mistura de 2 2 20%N H ) a uma pressão
entre 1 a 10 mbar . Os íons criados devido a essa diferença de potencial, em torno de
600V , bombardeiam a superfície da peça presa ao cátodo, aquecendo-a até a
temperatura de trabalho.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 20
Para pressões baixas, a descarga possui um brilho de cor de rosa de pequena
intensidade que é característico do material do cátodo (geralmente aço) e do gás. A
medida que se aumenta a pressão, este brilho vai ficando mais intenso e mais
localizado em torno do cátodo, até que se atinge uma condição de descarga propícia
para a nitretação.
Nestas condições, o plasma já está revestindo completamente o cátodo e a peça
a ser nitretada. Os íons deste plasma estão sendo acelerados para a superfície do
cátodo onde diversos efeitos ocorrem, dentre eles o aquecimento da peça devido ao
bombardeamento pelos íons, Edenhofer (1974). A partir daí, é contado o tempo de
duração do processo. Após este tempo, a fonte é desligada e a peça é deixada resfriar
naturalmente.
2.2.3 Nitretação em Cátodo Oco
Uma extensão do processo de nitretação iônica é a nitretação em cátodo oco,
do inglês, Hollow Cathode Discharge (HCD). Este método consiste em nitretar a peça
em uma atmosfera altamente ionizada. A alta ionização é obtida porque os elétrons
no plasma são obrigados a refletirem sucessivamente entre duas superfícies catódicas,
Alves (2005). A Figura 2.3 ilustra esta situação. Elétrons são repelidos pelo cátodo
central, que pode ser a peça que se deseja nitretar, em direção aos cátodos externos.
Ao se aproximarem destes, são também repelidos realizando, assim, um movimento
de zigue-zague que aumentará a taxa de ionização da região em questão.
Uma alta densidade de íons significará maior bombardeamento na superfície,
ocasionando uma alta incidência energética. Esta configuração de eletrodos é utilizada
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 21
quando se deseja aumentar o dano superficial, ou seja, para uma mesma temperatura
de processo, produze-se mais defeitos na superfície que na nitretação iônica
convencional.
Figura 2.3: Configuração esquemática de uma amostra na nitretação em Cátodo Oco.
2.2.4 Nitretação do Titânio
Os nitretos de titânio caracterizam-se pela combinação de algumas
propriedades das cerâmicas: alto ponto de fusão 3160 3250 C o , alta dureza
2500 3000HV , estabilidade térmica e química, resistência ao desgaste e à
corrosão, com algumas propriedades metálicas tais como: baixo coeficiente de atrito e
alta condutividade térmica e elétrica, Fouilland (1998) e Mezger (1992). Há vários
tipos de nitretos de titânio. A literatura refere-se com mais frequência ao TiN e ao
2Ti N .
As propriedades dos Nitretos de Titânio são exploradas na produção de
componentes mecânicos, no aumento da vida útil de ferramentas de corte e na
tecnologia da microeletrônica. Sua semelhança em cor com o ouro (amarelo) é
considerada uma qualidade importante já explorada em relojoaria e tendo seu uso
sugerido no recobrimento de superfícies metálicas de próteses odontológicas. O
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 22
interesse das comunidades científica e acadêmica são crescente em relação a estes
compostos.
Nos últimos 10 anos, a odontologia, ortopedia e cardiologia têm investigado
suas propriedades de resistência superficial e biocompatibilidade. A nitretação em
plasma não é a única maneira de obtenção de nitretos de titânio. Revestimentos de
nitreto de titânio, em especial TiN , podem ser introduzidos sobre superfície do
titânio ou aço inox, com outros métodos como o de Deposição Química de Vapor ou
Chemical Vapor Deposition (CVD) e Deposição Física de Vapor, ou Physical Vapor
Deposition (PVD).
Pesquisas sobre técnicas relatam que a nitretação e a carbonitretação são as
técnicas de difusão com plasma mais usadas nas indústrias para o tratamento
superficial de peças mecânicas. O conceito básico no uso da implantação iônica para
melhorar as propriedades superficiais de uma liga de titânio é fundamentado na
possibilidade de formar nitretos ou carbetos abaixo da superfície da liga. Os nitretos e
carbetos de titânio são materiais duros que melhoram as propriedades tribológicas da
superfície, ou seja: aumentam a resistência ao desgaste e a dureza superficial, Yilbas
(1996).
O interesse pela aplicação de técnicas de modificação de superfície,
especialmente a superfície do Ti-CP e da liga 6 4Ti Al V pela medicina remonta à
década de 1980. A liga 6 4Ti Al V é extensamente utilizada em prótese de joelho e
fêmur desde a década de 1970. Ao longo dos anos de 1980 houve a constatação da
falha em condições assépticas, de próteses de joelho e fêmur após longo período de
uso. A inspeção dos tecidos que circundavam estas próteses que falharam mostrou-os
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 23
com uma coloração enegrecida. Este fenômeno foi creditado ao desgaste superficial do
titânio e do polietileno que compõem a prótese. O atrito entre os componentes devido
ao uso desgastou a superfície dos mesmos e danificaram a camada protetora
superficial de óxidos do titânio, fazendo com que partículas dos três componentes da
liga e do polietileno se dispersassem nos tecidos. Embora não tenha sido ligado
nenhum efeito tóxico sistêmico frente à presença destes elementos enegrecidos, sua
presença levou à mobilização de células inflamatórias especialmente macrófagos que
geraram a osteólise e perda asséptica dos implantes. Houve um consenso no sentido
da necessidade de um tratamento superficial que reduzisse a baixa resistência ao
atrito desta liga, preservando suas qualidades, Johansson et al. (1993), Wang e
Fenton (1996) e Sovak, Weiss e Gotman (2000).
Vários métodos capazes de gerar nitretos de titânio na superfície do mesmo e
de suas ligas foram então investigados. Observou-se na literatura disponível que o
modelo de pesquisa predominante compara as propriedades tribológicas do Ti-CP e a
liga 6 4Ti Al V com e sem tratamento superficial. Vários métodos sofisticados de
análises são amiúde encontrados nestes estudos, como a difratometria de Raios-X ou
X-Ray Difratometry (XRD) e Análise por Reações Nucleares, do inglês Nuclear
Reaction Analysis) (NRA).
Rie et al, em 1995, nitretaram amostras de 6 4Ti Al V e 5 2,5Ti Al Fe
com o objetivo de incrementar as características de resistência à abrasão e dureza
superficial destas ligas. Os parâmetros operacionais foram: tempo de nitretação (14
horas), temperatura ( o700 C, o800 C e o900 C), voltagem (550V, 350V e 650V ) e
pressão (6000Pa, 100Pa e 350Pa ). Com o objetivo de aumentar a camada externa
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 24
de TiN , às amostras foram recobertas com TiN por meio de PVD após a nitretação.
As camadas obtidas foram caracterizadas em termos de microestrutura, composição e
dureza. No estudo, a espessura das camadas de 2
e TiN Ti N aumentaram com
temperatura, voltagem e a pressão do gás. O uso de PVD após a nitretação
incrementou esta camada superficial em 2,1micrometros. A resistência à corrosão das
amostras tratadas foi similar as amostras não tratadas. Os autores referenciaram que
a alta resistência à corrosão das ligas de titânio é creditada a camada de óxido que se
forma espontaneamente na presença de oxigênio. No entanto, esta camada pode ser
destruída pela corrosão devido aos micro movimentos entre o implante e os tecidos,
levando à formação de tecidos de granulação.
Estudos referente ao processo de CDV para a obtenção industrial de
coberturas de TiN é usado há mais de 20 anos, porém a alta temperatura exigida no
processo 1000 Co não é adequada às ligas odontológicas. Já a obtenção de TiN
através de PVD exige o aquecimento do substrato a temperaturas que variam entre
200 e 500 Co , tornando possível seu uso em Odontologia. A coloração da cobertura é
dependente da quantidade de nitrogênio presente durante o processo, Mezger e
Creugers (1992).
Em 1991, Steele et al. testaram a nitretação em plasma na superfície de
espátulas de inserção de resinas, tentando solucionar o problema de aderência do
material restaurador à mesma quando está sendo inserido na cavidade. O resultado
do trabalho mostrou o aumento da resistência superficial das espátulas, mas não
impediu a aderência de resina.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 25
2.3 Biocompatibilidade do Nitreto de Titânio
Keller, Grotendodorst e Dougherty, em 1988, demonstraram que os fatores que
afetam a resposta celular e tecidual frente aos biomateriais utilizados em implantes
dentais são classificados como fatores temporais e espaciais. Os primeiros referem-se à
sequência de acontecimentos após a colocação de um implante que envolve a adesão,
migração e diferenciação celular. Em termos espaciais, um implante deve propiciar a
formação de uma interface entre o tecido ósseo e os tecidos moles que permitam o
desenvolvimento e manutenção da estabilidade biomecânica e um selamento que
impeça a infecção microbiana que pode levar a periimplantite. Eles relataram que a
superfície do material a ser implantado é tão importante para a biocompatibilidade
que está levando ao surgimento de uma nova engenharia denominada “de tecidos”,
especialidade dedicada à pesquisa de formas de tratamentos superficiais que
aperfeiçoem as respostas celulares e teciduais frente ao contato com um dado
material, Keller, Grotendodorst e Dougherty (1988).
Em 1981, foram discutidas as mudanças que ocorrem em termos da definição
de biocompatibilidade e exigências a um material biocompatível. Em um passado
recente, era fundamental que o material, a ser implantado, fosse quimicamente puro,
“inerte” e tivesse boas características físico-mecânicas. O termo biocompatível era
aplicado a um material que preenchesse principalmente essas características.
Atualmente, é importante considerar que há papéis de extremo dinamismo a serem
cumpridos pelos novos materiais de alta tecnologia. Há necessidade de uma
controlada reatividade com o meio biológico e a superfície. Segundo Williams (1981),
a biocompatibilidade é bem definida como “uma coleção de fenômenos associados às
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 26
interações entre os biomateriais e o ambiente fisiológico que permita a coexistência de
ambos”.
O Ti-CP tem a sua biocompatibilidade creditada à camada de óxidos que se
forma em sua superfície em contato com o ar, água ou meio biológico. As alterações
superficiais causadas pela formação de nitretos de titânio, através do uso de técnicas
como CVD, PVD, implantação iônica e nitretação em plasma têm levado ao
desenvolvimento recente e progressivo de pesquisas que investigam suas propriedades
biológicas.
O nitreto de titânio é considerado pelo órgão de certificação americano, FDA
(U.S. Food and Drug Administration), como um material biologicamente inerte e
adequado ao uso em implantes de titânio e suas ligas, Sovak et al. (2000).
A capacidade de síntese proteica e a expansão fenotípica de osteoblastos e
fibroblastos são fundamentais em um processo de osseointegração. As alterações
destas características fornecem informações importantes no que diz respeito a
biocompatibilidade de um material a ser implantado.
Pesquisas sobre nitretação relatam que o titânio e a liga 6 4Ti Al V são
limitados em relação ao desgaste superficial por abrasão e adesão quando comparados
às ligas de Co Cr Mo . Sovak et al. (2000), comentam algumas limitações dos
métodos de nitretação, especialmente do PVD, que teriam limitada adesão ao
substrato e espessura muito pequena. Os autores desenvolveram um método de
modificação de superfícies denominado de Power Immersion Reaction Assisted
Coating (PIRAC), através do qual é possível a formação de filmes de TiN com maior
espessura. O método é adequado ao uso em componentes de formato complexo. Neste
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 27
estudo, foi avaliada a capacidade de osseointegração de implantes de Ti-CP e da liga
6 4Ti Al V , tratados pelo método PIRAC quando inseridos em fêmures de ratos.
O estudo avaliou o percentual de tecido ósseo formado 85% , junto aos implantes
tratados. A mineralização do tecido ósseo unida aos implantes foi avaliada pela
fluorescência da oxitetraciclina e indicou forte atividade de mineralização,
histoquimicamente. O tecido ósseo formado junto aos implantes estava em íntimo
contato com os mesmos, sem qualquer tipo de tecido fibroso interposto. Sovak et al.
(2000) concluíram que o método de modificação de superfícies PIRAC forma um filme
de TiN com biocompatibilidade e capacidade de osseointegração, comparáveis às do
Ti-CP e da liga 6 4Al V .
2.4 Ensaios Biomecânicos
Biomecânica é o estudo do movimento e do efeito das forças sobre os sistemas
biológicos e em organismos vivos, Schwarz (1996). A compreensão básica da
biomecânica, das propriedades estruturais e materiais do osso, assim como dos efeitos
que os carregamentos apresentam em ossos, permitem aos especialistas tomarem
decisões racionais na escolha do método mais adequado para a fixação das fraturas,
Radasch (1999).
O tecido ósseo está sob constante processo de aperfeiçoamento e adaptação
para sustentar as cargas aplicadas pelo deslocamento fisiológico, estando relacionadas
tanto as propriedades materiais quanto a geometria estrutural, Diniz et al. (2009).
Devido à função que desempenham, os ossos são constantemente submetidos a
diversos tipos de esforços, semelhantes as estruturas utilizadas na engenharia. As
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 28
forças e os momentos que o esqueleto apendicular deve resistir, permitem a
biomecânica avanços na substituição total nas articulações, na fixação de fraturas e
no remodelamento ósseo, Nishioka et al. (2010). Por esse motivo, é necessária a
compreensão da biomecânica do osso normal intacto, dos fraturados e da mecânica
dos implantes empregados, Hulse e Hyman (2007).
Testes biomecânicos têm se tornado comuns, Dallabrida et al. (2005). A área
da biomecânica é vasta e apresenta numerosas variáveis a serem analisadas, tornando
necessário considerar três aspectos especialmente importantes: a composição e as
propriedades do material, a sua geometria e a força atuante, Nishioka et al. (2010).
Testes biomecânicos podem ser realizados com várias finalidades: para testar
ou comparar diferentes métodos de fixação, a resistência de diferentes implantes,
Mesquita et al. (2010), ou ainda para estudar a distribuição das tensões no osso e o
deslocamento, após aplicação de determinado método de estabilização de fraturas,
Schmaedecke (2007).
2.5 Otimização Estrutural
Em um passado ainda recente, os projetos nas indústrias, em geral,
costumavam ser desenvolvidos por meio de modelos estruturais simples. Os cálculos
eram baseados em experiências anteriores, estabelecidos a décadas, e após a etapa de
projeto, eram realizados os testes e as validações experimentais.
Algumas indústrias possuem procedimentos próprios para a concepção de seus
produtos, utilizando a análise estrutural como ferramenta. Desta forma, a etapa de
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 29
tentativa e erro em protótipos é realizada via simulação computacional, diminuindo
os custos e agilizando o processo de fabricação do produto final.
Uma nova concepção de engenharia fundamenta-se naquilo que a natureza e as
tendências gerais sempre buscam: o ótimo. A alta competitividade entre as empresas,
porém, obrigou-as a oferecer seus produtos a custos cada vez mais reduzidos, levando
os engenheiros a desenvolver metodologias para conceber melhores projetos,
despontando, como alternativa, o uso de técnicas de otimização.
O campo de aplicações dos métodos de otimização (MO) ampliou-se à medida
que a tecnologia computacional se desenvolveu, permitindo, atualmente, que o mesmo
seja empregado em sistemas estruturais complexos tais como projetos de pontes,
viadutos, componentes automotivos, aeroespaciais, biomecânicos, dentre outros.
Na engenharia, ou em qualquer outra área do conhecimento, a relação custo
benefício é indispensável para a viabilidade do projeto. Uma etapa importante na
decisão de um projeto é a escolha dos parâmetros que estarão envolvidos no processo,
a escolha correta do equacionamento destes parâmetros é a chave para o sucesso do
projeto.
A otimização é uma ferramenta poderosa para diversas áreas e colabora na
determinação de melhores respostas possíveis a um dado problema. Ela é um processo
numérico que visa a obtenção de uma configuração estrutural com desempenho ótimo,
satisfazendo algumas restrições tanto sobre as variáveis de projeto quanto sobre o
comportamento da estrutura.
Os primeiros conceitos de otimização estrutural foram introduzidos no final do
século XIX por Maxwell (1872). O objetivo de Maxwell seria obter um projeto de
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 30
uma ponte que utilizasse a menor quantidade de material e que não falhasse. Em
1904, a ideia de Maxwell foi retomada por Michell (1904) no qual decidiu aplicar o
método para o projeto de vários tipos de estruturas com o menor volume de material;
ainda hoje, suas famosas estruturas são referência na teoria moderna da Otimização
Topológica.
Entre os anos de 1904 e 1960 pesquisas mostram que não houve evolução nos
estudos da otimização estrutural, sendo estudados apenas problemas acadêmicos sem
aplicações práticas. Na década de 60, com o surgimento dos computadores e do
Método de Elementos Finitos (MEF), problemas práticos de otimização estrutural
passaram a ser estudados principalmente nas indústrias. Um dos primeiros avanços
nos métodos de programação matemática para a otimização estrutural foi realizado
por Schmit (1960), ele introduziu a ideia de unir a análise estrutural, via métodos de
elementos finitos, a um método de programação matemática não-linear a fim de
automatizar a criação de projetos otimizados.
Na década de 1970, vários algoritmos de otimização para problemas não-
lineares de otimização foram implementados. A maior parte desses algoritmos já
havia sido desenvolvidos no século XIX, no entanto, somente com o advento dos
computadores e de linguagens de programação é que eles puderam ser implementados.
Nesta década, alguns problemas de leiaute foram resolvidos, mas para uma classe
muito restrita de estruturas, vistos como uma extensão do conceito de otimização
desenvolvido por Michell (1904). Nos anos de 1980, surgiram os primeiros softwares
comerciais dedicados à otimização estrutural e além disso, alguns softwares de CAE,
do inglês Computer Aided Engineering, passaram a incluir em seus códigos, módulos
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 31
de otimização estrutural. No final da mesma década, surge o método de otimização
topológica (MOT).
Nos anos de 1990, a otimização estrutural foi bastante utilizada em aplicações
práticas de projeto, este fato trouxe de volta o interesse em projetos ótimos de
estruturas, de modo que problemas de otimização estrutural, previamente discutidos,
foram reexaminados para gerar formas e topologias ótimas. De 1990 até os dias
atuais, o MOT já está disponível em softwares comerciais, sendo estendido para
outras áreas da engenharia, além da estrutural mecânica, como elétrica, fluidos e
biomecânica.
2.5.1 Formas Clássicas de Otimização Estrutural
Um problema de otimização pode ser definido como: minimizar ou maximizar
uma função objetivo sujeita a um conjunto de restrições. A função objetivo está
relacionada com o parâmetro a ser maximizado ou minimizado e as restrições são os
limites impostos à solução da otimização. Considerando estes conceitos, tem-se
algumas abordagens em otimização estrutural.
A otimização paramétrica ou dimensional, do inglês size optimization, Figura
2.4(a), consiste em assumir para a estrutura uma forma fixa previamente definida,
neste caso, a estrutura está discretizada com elementos de treliça, onde as
características geométricas, como, por exemplo, a área da secção transversal de cada
elemento são as variáveis de projeto do problema.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 32
A otimização de forma, shape optimization, onde os contornos externos e
internos da estrutura são parametrizados por curvas splines e os parâmetros dessas
curvas constituem as variáveis de projeto, Figura 2.4(b).
A otimização topológica ou topology optimization, Figura 2.4(c), objeto de
estudo da pesquisa, abordada com mais detalhes no item 2.5.2, consiste em se obter a
configuração ótima, buscando encontrar a melhor distribuição de material no interior
da estrutura. As variáveis de projeto podem ser, por exemplo, medidas que indicam a
distribuição de material em cada ponto do domínio.
Figura 2.4: Formas clássicas de otimização estrutural, Kiyono C. Y. (2008): a) Otimização
Dimensional. b) Otimização de Forma. C) Otimização Topológica.
Outra abordagem para o método de otimização é o de conjunto-nível, do inglês
Level Set Method. O método parte da ideia básica de relacionar fronteiras 2 de
com a curva de nível de uma função portadora de dimensão mais elevada
(frequentemente mencionada também como função level set), definida sobre um
domínio de referência “D” que contém , ver Figura 2.5. Variações de produzem
variações nas curvas de nível e, portanto, na fronteira 2 .
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 33
a) b)
Figura 2.5: Descrição Level Set de um Domínio 2D: a) Representação do Domínio. b) Modelo
Level Set. Luo et al., 2008.
A Figura 2.5 (a) mostra esquematicamente o domínio fixo D, que admite
conter todas as formas admissíveis de , ou seja, D com representando a
fronteira de . A funcão é mostrada na Figura 2.5 (b). Nesta figura, verifica-se que o
sinal da função x pode ser usado para definir o interior, exterior e fronteira de .
0 \ 2 Região com Material
0 Fronteira
0 \ Região sem MaterialD
x x
x x
x x (2.4)
Para uma descrição detalhada do método do conjunto-nível sugere-se consultar
Osher e Sethian (1988) e Sethain e Wiegmann (1999).
Outra forma possível de obter a topologia ótima é através do cálculo da
derivada topológica, a qual uma função definida no domínio fornece, em cada ponto
deste, a sensibilidade da função custo ao criar-se um pequeno furo numa dada posição
do referido domínio, ver Figura 2.6.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 34
Figura 2.6: Obtenção da Topologia via Derivada Topológica, Novotny et al (2002).
Com esta metodologia é possível calcular a derivada topológica utilizando todo
procedimento matemático já desenvolvido no contexto de análise de sensibilidade à
mudança de forma, conduzindo a uma formulação simples e construtiva.
2.5.2 Otimização Topológica
A primeira fase de um projeto estrutural consiste na definição do projeto
conceitual4, isto é, definições geométricas e materiais, de modo a atender os requisitos
de projeto. Porém, além de simplesmente atender os requisitos de projeto, a
engenharia e o mercado sempre estiveram interessados em melhorar o desempenho
das estruturas e reduzir o custo necessário para atender tais requisitos. Com o
objetivo de auxiliar o projeto e a otimização das estruturas, a Otimização Topológica,
também denominada otimização de leiaute, propõe um método capaz de auxiliar o
engenheiro na definição do projeto conceitual do leiaute ou topologia da estrutura.
Neste método, o leiaute da estrutura é definido não somente pela sua forma, ou seja,
pelo contorno externo da estrutura, mas também por sua topologia: furos internos e
conectividades.
4 Projeto conceitual define-se como a fase inicial do processo de projeto de um produto.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 35
A vantagem da otimização topológica em relação aos outros métodos
tradicionais de otimização é que ela é capaz de alterar o leiaute da estrutura original,
auxiliando no projeto conceitual.
O Método de Otimização Topológica (MOT) consiste em um método
computacional que permite, segundo um critério de projeto, determinar a topologia
ótima de uma estrutura. Essencialmente, o método distribui o material no interior de
um domínio fixo de projeto de forma a maximizar ou minimizar uma função custo
especificada. A estrutura, em cada ponto do domínio, pode variar com ou sem a
presença de material (problema binário, do tipo 0-1). Este mesmo problema,
originalmente binário de distribuição de material, quando trabalhado de forma não
linear é transformado em um problema contínuo, de modo a assumir valores
intermediários de densidade, Coutinho, Costa e Alves (2011). Entretanto, a
implementação desta abordagem para um problema de otimização 0-1, requer o uso
de algoritmos de otimização discreta, tornando a abordagem instável, Coutinho
(2006). Para contornar este problema adota-se, em geral, a abordagem de material
composto fictício como forma de relaxação, contendo uma microestrutura
caracterizada pela presença de vazios, isto é porosidade.
As dificuldades relacionadas a aplicação do MOT são relativas à instabilidade
numérica, decorrentes da modificação do problema binário. De forma geral, pode-se
dividir estes problemas em três categorias: dependência de malha, instabilidade de
tabuleiro e mínimos locais, Peterson e Sigmund (1998).
O problema de dependência de malha, mesh dependence, é caracterizado pelo
fato de se obter diferentes soluções, conforme a discretização de malha de elementos
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 36
finitos, para o mesmo problema de otimização topológica, isto é, mesmas condições de
contorno e domínio de projeto. Seria intuitivo pensar que quanto maior o número de
elementos de uma malha de elementos finitos, melhor seria o resultado final ótimo.
Porém, o que se observa é que com o aumento da discretização de um mesmo
problema, conservando o domínio e com as mesmas condições de contorno, conforme
dito, a topologia da estrutura ótima pode se alterar, aumentando o número de
membros da estrutura, caracterizando o problema de dependência de malha.
Segundo Kiyono (2008), uma das formas de evitar a dependência de malha,
por exemplo, é através da relaxação do problema, tornando-o bem-posto. Contudo,
em alguns casos, esta aplicação não é interessante, pois a topologia apresenta
elementos com materiais intermediários, o que impede a identificação da geometria.
O problema de instabilidade de tabuleiro, checkerboard problem, é
caracterizado pela formação de regiões de elementos com e sem material, disposto na
forma de tabuleiro. Este tipo de instabilidade é indesejável na solução pois não
configura uma ótima distribuição de material.
De acordo com Coutinho (2006), nos problemas de mínimos locais, a maioria
dos problemas de projeto topológico são não convexos, no que acarreta a existência de
muitos mínimos locais. A não convexidade do problema leva a possibilidade de
encontrarmos muitos mínimos locais e diferentes soluções para o mesmo problema,
discretizado quando são utilizadas diferentes estimativas iniciais para as variáveis e
diferentes parâmetros de algoritmos de otimização. Isto ocorre porque as provas de
convergência dos algoritmos funcionam para programação convexa, enquanto que
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 37
para programação não convexa apenas garante-se a convergência para pontos
estacionários, que não são necessariamente mínimos globais.
O projeto da estrutura requer a definição das dimensões e do leiaute ótimo dos
membros, necessários para suportar um determinado conjunto de cargas prescritas.
De acordo com Costa Jr (2003), um processo de otimização com adaptatividade visa
produzir leiautes com um número menor de membros estruturais e bem mais
definidos, favorecendo ao processo de fabricação. A abordagem, apresenta ser uma
ferramenta promissora, quanto à intenção de se obter leiautes estruturais ótimos.
2.5.3 Otimização em Implantes Dentários
Nos últimos anos, as análises via otimização tem se mostrado uma ferramenta
poderosa para investigar problemas relacionados com a área da biomecânica, uma vez
que tem como vantagens ajustar e moldar a estrutura, a fim de se obter o projeto
ótimo. Com o auxílio deste mecanismo, diversos projetos tem sido desenvolvidos,
trazendo constantes inovações e mudanças.
O trabalho de Tesk e Widera (1973) foi o primeiro a utilizar o método dos
elementos finitos em implantes dentários e, posteriormente, tornou-se uma ferramenta
cada vez mais útil para a previsão da distribuição de tensões na área de contato de
implantes com o osso cortical e ao redor do implante com o osso esponjoso, uma vez
que o alto nível de concentração de tensão ou de distribuição de tensão pode existir
nas regiões do osso cortical, ao redor do implante, o que geralmente leva a reabsorção
óssea, Kitamura et al. (2005). Diversos fatores, incluindo a carga aplicada, quantidade
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 38
e qualidade do osso, geometria, comprimento, diâmetro, forma e material do
implante, pode afetar os níveis de tensão na região do implante, Geng et al. (2001).
Com o objetivo de analisar o comportamento da tensão ao redor do implante,
diversos outros estudos foram realizados. Em 2005, Petrie e Williams (2005),
analisaram e compararam os efeitos da tensão da relação entre o diâmetro,
comprimento e conicidade do implante, calculadas na crista óssea. Nesta pesquisa,
foram criados modelos tridimensionais de elementos finitos da mandíbula com osso
esponjoso de baixa e alta baixa densidade. Ainda neste estudo, foram aplicada cargas
oclusais oblíquas de 200N na vertical e 40N na horizontal. O diâmetro do implante
variou de 3,5mm a 6,0mm, o comprimento de 5,75mm a 23,5mm, e conicidade de 0° a
14°, resultando em 16 tipos de implantes. O diâmetro, o comprimento e a conicidade
tiveram de ser analisados em conjunto, devido aos efeitos de interatividade de tensões
na área da crista óssea. Finalmente, os autores concluíram que implantes largos,
relativamente longos e cilíndricos, são a alternativa mais viável se o objetivo é
minimizar tensões periimplantares na crista óssea alveolar. Implantes estreitos, curtos
e com conicidade na região da crista óssea deve ser evitados, especialmente com ossos
de baixa densidade.
Ainda em 2005, Sevimay et al. (2005), construíam modelos de elementos finitos
tridimensionais a fim de investigar o efeito da distribuição de tensão em diferentes
ossos em uma coroa simples. Chang et al. (2010), analisaram e compararam a tensão
na interface osso-implante em um modelo de elementos finitos tridimensional
anisotrópico de implantes osseointegrados na maxila posterior.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 39
Desta forma, diversas tentativas foram e tem sido feita para otimizar a forma
dos implantes dentários, com o objetivo de otimizar a distribuição de tensões ao longo
da interface osso-implante. Segundo Shi et al. (2007), análises utilizando implantes
cônicos otimizados, sob cargas axiais e oblíqua, apresentavam menores valores de
tensão do que os observados em modelos de implantes dentário disponíveis no
mercado.
Alguns estudos envolvendo o MOT, podem ser verificados com mais frequência
na literatura quando relacionados a implantes lombares e ortopédicos, ver Zhong et al
(2006). Pesquisas envolvendo implantes dentários são teoricamente recentes, havendo
poucas publicações na área, Chang (2012).
Os algoritmos de otimização topológica geram a melhor distribuição de
material, sujeito a um conjunto de cargas e restrições, determinando assim, o melhor
leiaute de material. Em 2006, Zhong et al. (2006) moldou um espaçador lombar via
otimização topológica com o objetivo de minimizar o volume em cerca de 36%,
proporcionando mais estabilidade a coluna vertebral, aumentando o espaço para o
enxerto ósseo e reduzindo o custo do material. Shi et al. (2007), propôs uma
formulação através de otimização topológica para determinar a melhor forma de um
implante dentário com o objetivo de minimizar a concentração de tensão ao redor do
mesmo. Segundo o autor, os resultados obtidos pelo método utilizado reduziu a
concentração de tensão ao redor do implante. Em 2012, Kang et al. (2012), utilizaram
um esquema de otimização topológica para gerar macroestruturas de implante
ortopédicos ótimos a fim de minimizar as deformações perto da interface osso-
implante. Chen et al. (2013), desenvolveram um técnica multiobjetivo de otimização
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 40
para maximizar o contato osso-implante, denominado na literatura como
osseointegração, e minimizar a tensão de cisalhamento de Tresca na região peri-
implante.
Além de projetos macroetruturais, pesquisas apontam que o Método de
Otimização Topológica aplicado a componentes biomecânicos provou ser uma
ferramenta eficaz também para projetos microestruturais cujo o objetivo é regularizar
as propriedades mecânicas efetivas em aplicações de remodelagem óssea, ver Adachi
et al. (2006), Chen et al. (2011) e (2009) e Sturm et al. (2010).
Capítulo 3
Caracterização e Análise Experimental
Neste capítulo serão apresentados os ensaios experimentais realizados nas
superfícies de titânio após o tratamento de nitretação em cátodo oco. Como
contribuição, acrescentando e dando continuidade ao trabalho de Guerra Neto (2009),
teremos a incorporação dos seguintes ensaios: Ensaio Biomecânico de Fadiga, Ensaio
de Espectroscopia Raman, Ensaio em MEV e Ensaio de Microdureza, para análise e
caracterização dos implantes dentários nitretados a plasma.
Na seção 3.1, será realizada a descrição da metodologia experimental utilizada
na pesquisa e nas seções subsequentes, o detalhamento de cada procedimento.
3.1 Metodologia Experimental
A metodologia experimental do presente trabalho foi dividida em três partes:
Na primeira parte, foram realizados os tratamentos superficiais em plasma de
cátodo oco com discos de Ti-CP grau II, em seguida, foram realizadas caracterizações
como molhabilidade, rugosidade, caracterização de fases e microscopia eletrônica de
varredura.
Na segunda, realizou-se nitretação por descarga em Cátodo Oco em implantes
dentários. Com o objetivo de executar a terceira fase da metodologia experimental,
um ensaio biomecânico de fadiga nos implante dentários, conforme especificado em
norma ABNT NBR ISO 14801:2007.
Capítulo 3 – Caracterização e Análise Experimental 42
A fase experimental deste trabalho foi executada obedecendo as etapas
mostradas conforme fluxograma da Figura 3.1.
Figura 3.1: Fluxograma de execução da Metodologia Experimental.
Capítulo 3 – Caracterização e Análise Experimental 43
3.2 Tratamento Superficial de Nitretação em Cátodo Oco
As condições de tratamento superficial de nitretação em cátodo oco utilizadas
neste trabalho foram selecionadas com base na pesquisa de Guerra Neto, Silva e
Alves (2009). Na pesquisa referenciada, apresentou-se um estudo sistemático variando
pressão, tempo de tratamento e temperatura do sistema utilizando amostras de Ti-
CP, na mesma verificou-se a condição ótima para o tratamento, conforme mostrado
na Tabela 3.1.
Tabela 3.1: Condição de tratamento superficial de Nitretação em Cátodo Oco, Guerra Neto
(2005).
Pressão (Pa) Tempo (h) Temperatura (°C) Atmosfera
150 1 450 80% H2 e 20% N2
3.2.1 Procedimento Experimental de Nitretação em Cátodo Oco em
Discos de Ti-CP
Nesta etapa do trabalho foram utilizados 12 discos de Ti-CP (grau II), Tabela
3.2, medindo 15mm de diâmetro por 1mm de espessura. As amostras foram divididas
em dois grupos: 06 discos para tratamento com nitretação em plasma em descarga de
catodo oco e 06 discos sem tratamento (controle).
Tabela 3.2: Composição química do Titânio Grau II.
Elementos Elemento (% de Impureza)
N C H Fe O Al V Ti
grau IITi 0,03 0,10 0,015 0,03 0,25 – – Balanço
Capítulo 3 – Caracterização e Análise Experimental 44
A preparação discos para a realização do procedimento experimental foi
executada conforme sugerido por Guerra Neto, Silva e Alves (2009). Os discos foram
embutidos em resina poliéster e foram lixadas em uma sequência de lixas d’água com
granulações 220, 360, 400 e 600. Os mesmos tiveram suas superfícies polidas, no
equipamento denominado Politriz AROTEC, modelo APL-2 e série 212560, com
alumina 1μm, até que uma rugosidade média 0,2 μm fosse atingida.
Em seguida, os discos foram desembutidos e limpos em banho com éter de
petróleo e acetona por 20 minutos em ultrassom. O objetivo desse procedimento foi
remover contaminantes que poderiam interferir no processo de nitretação iônica. A
seguir, os mesmos foram colocados no sistema de nitretação em plasma, Figura 3.2.
Figura 3.2: Reator de plasma.
O aparato experimental utilizado para a nitretação por plasma, consistiu de
uma câmara hermeticamente fechada (reator de nitretação por plasma) contendo um
ânodo na parte superior e uma base catodicamente polarizada, ver esquema na Figura
3.3. A fonte de tensão era contínua, voltagem e corrente máximas de 1500V e 2A,
Capítulo 3 – Caracterização e Análise Experimental 45
respectivamente. A geometria da câmara de vácuo do reator utilizada no processo foi
cilíndrica cujas dimensões são 30cm de diâmetro e 30cm de altura, confeccionada de
aço inoxidável austenítico, Figura 3.2.
Sobre o porta amostra foi posicionada a peça a ser nitretada. Em torno dessa
peça adicionou-se a configuração em cátodo oco, consistindo de um cilindro com uma
tampa na parte superior. A configuração do cátodo Oco foi confeccionada em aço
inoxidável, e suas paredes internas revestidas com Ti, a fim de evitar contaminação
da peça. Fixou-se a distância entre a superfície da amostra, o diâmetro interno do
cilindro e a tampa superior do cátodo oco, denominada no texto em distância entre
cátodos, em 9mm, conforme sugerido em Guerra Neto, Silva e Alves (2009).
A temperatura foi medida por um termopar cromel-alumel em contato com o
porta amostra e controlada pela variação contínua da tensão e da corrente entre
eletrodos.
a) b)
Figura 3.3: a) Aparato experimental utilizado para a nitretação em plasma nos discos; b)
Detalhe da localização do disco de Ti no aparato experimental.
Capítulo 3 – Caracterização e Análise Experimental 46
Figura 3.4: Nitretação em plasma nos discos de Ti.
Após finalizado o tratamento de superfície, Figura 3.4, os discos foram
submetidos a um rígido protocolo de limpeza, em ultra-som, para remoção de
gorduras, proteínas e carboidratos, utilizando detergente enzimático DEIV 3E
(proporção de 2,5ml/500ml de água bidestilada), durante 10 minutos. Após isto, mais
uma lavagem em álcool absoluto, submetido por 10 minutos em ultra-som. Outra, em
água destilada, permanecendo 10 minutos em ultra-som.
Cada etapa foi repetida duas vezes. As amostras foram secadas com secador
por um minuto e acondicionadas em embalagens apropriadas para esterilização em
plasma de peróxido de hidrogênio.
Em seguida, os discos foram submetidos a ensaio de caracterização superficial.
3.2.2 Ensaio de Molhabilidade em Discos de Ti-CP
A molhabilidade das superfícies pode ser quantificada pelo ângulo de contato
de um líquido com o substrato sólido. Quanto maior a molhabilidade, maior é a
interação da superfície analisada com o meio biológico. Uma característica importante
que fornece informações sobre a molhabilidade é a existência da histerese do ângulo
de contato, a qual fornece correlações entre a energia, a rugosidade e a
heterogeneidade das superfícies, Coutinho (2007).
Capítulo 3 – Caracterização e Análise Experimental 47
No ensaio de molhabilidade desta pesquisa, a técnica utilizada foi à
determinação do ângulo de contato estático ou técnica da gota séssil, Figura 3.5.
As amostras foram posicionadas em uma superfície plana e utilizando uma
micropipeta digital de volume ajustável, de forma perpendicular, e muito próximo a
superfície, gotejou-se 0,25 microlitros da solução na amostra testada. A solução era
composta de: 3,57% de glicose (Euro-Collins5); 60% de glicerina, com o intuito de
tornar o líquido mais viscoso; e corante, para auxiliar na visualização.
De forma a padronizar o teste e por serem gotas muito pequenas, realizou-se o
acompanhamento da mudança do ângulo por 01 segundo, 30 segundos e 60 segundos.
Figura 3.5: Ângulo de contato estático ou técnica da gota séssil.
3.2.3 Ensaio de Rugosidade em Discos de Ti-CP
O ensaio de rugosidade superficial foi obtido a partir do equipamento
Rugosímetro da marca Taylor Robson, modelo SURTRONIC 3, com cut-off ou
comprimento de onda do filtro igual 0,25mm.
No ensaio mensurou-se o parâmetro de rugosidade média, Ra . As medidas
foram verificadas em três direções diferentes, em ângulos de aproximadamente
120 12o± , ver Figura 3.6.
5 Euro-Collins é uma solução utilizada para fluxo hipotérmico e acondicionamento de órgãos incluindo
rins, fígado e pâncreas para transporte e preservação antes do transplante. Esta solução é usada para
transplantes vivos e de cadáver.
Capítulo 3 – Caracterização e Análise Experimental 48
Figura 3.6: Ensaio de rugosidade superficial dos discos.
3.2.4 Caracterização de Fases na Superfície dos Discos de Ti-CP
O método de difração com raios-X (DRX) é utilizado para estudar a estrutura
de cristais. Ele fornece informações estruturais, tais como, parâmetro de rede,
determinação de fase, etc. sobre o material que está sendo investigado.
As intensidades obtidas em ângulos 2θ, representadas por meio dos picos nos
difratogramas, Figura 3.7, correspondem à difração do feixe incidente por um
determinado conjunto de planos do cristal. A quantificação de fases a partir da
difração de raios-X se apoia nas intensidades dos picos do difratograma, as quais,
além de guardarem uma relação característica da estrutura cristalina de cada fase
componente, refletem a proporção das fases na amostra.
Para análise das fases superficiais dos discos foi utilizado um difratômetro de
raios-X, marca SHIMADZU, modelo XRD-6000.
As amostras foram analisadas com ângulos de varredura, 2θ , entre 30o e 80o ;
ângulo de avanço de 0, 02 o e tempo de contagem 3s por passo numa velocidade de
1 / mino .
Capítulo 3 – Caracterização e Análise Experimental 49
Figura 3.7: Diagrama SHIMADZU XDR-600, SHIMADZU CORPORATION.
3.2.5 Microscopia Eletrônica de Varredura
O MEV é um microscópio eletrônico capaz de produzir imagens de alta
resolução da superfície de uma amostra. O princípio de funcionamento dele consiste
em um feixe elétrons primários que tende a “varrer” a superfície da amostra,
retirando elétrons secundários que serão capturados por um detector especial e
processa o sinal eletrônico gerando a imagem observada no sistema. Normalmente se
utiliza ampliação entre 50 a 30.000 vezes de aumento. Sua principal vantagem é a
elevada profundidade de foco, permitindo análise de superfícies de fratura.
O MEV utilizado na pesquisa foi o modelo TM3000 Hitachi.
Capítulo 3 – Caracterização e Análise Experimental 50
3.2.6 Procedimento Experimental de Nitretação em Cátodo Oco
Utilizando Implantes Dentários
O equipamento utilizado para a execução do ensaio foi um reator de nitretação
por plasma, com as mesmas especificações mencionadas na seção 3.2.1.
Nesta técnica, vinte e cinco implantes dentários, foram nitretados em cátodo
oco, onde dezesseis deles foram destinados aos ensaios biomecânicos estáticos e
dinâmicos de fadiga, ver item 6.8; e os demais implantes, aos ensaios de Raman e
MEV.
O implante hexágono externo com 13mm de comprimento por 3,75mm de
diâmetro selecionado neste trabalho é utilizado na reabilitação oral e tem por objetivo
substituir as raízes dentárias, ver Figura 3.8. A seleção deste deu-se devido ao mesmo
ser utilizado com mais frequência no mercado.
Figura 3.8: Implante dentário torque interno Swith 3,75mm x 13mm DENTOFLEX® sem
tratamento superficial.
A metodologia experimental dividiu-se em 3 etapas: Lixamento e limpeza do
porta amostra e do cilindro de titânio; limpeza dos corpos de prova e; nitretação no
reator de plasma.
Na primeira etapa, lixou-se o disco de titânio, denominado de porta amostra,
ver Figura 3.2, onde foram posicionados os corpos de prova a serem nitretados. Os
Capítulo 3 – Caracterização e Análise Experimental 51
corpos de provas descritos neste item são compostos pelo conjunto: cilindro de Ti-CP
Grau II, designado de cátodo oco e o implante dentário DENTOFLEX® sem
tratamento superficial, conforme verificado na Figura 3.9.
Figura 3.9: Corpos de prova: Cilindro de titânio e Implante dentário.
Em paralelo a esta etapa, lixou-se o cilindro de titânio, cujas dimensões são
25,4mm de diâmetro externo, 1,2mm de espessura de parede e 15mm de altura.
Após o lixamento, imergiram-se os mesmos em acetona e realizou-se a secagem
utilizando um secador de ar quente simples comercial.
A segunda etapa, relacionou-se com o procedimento de limpeza dos copos de
prova. Primeiro, depositou-se o cilindro de titânio dentro de um recipiente plástico e
adicionou-se no interior do mesmo uma solução própria para ataque de titânio
3 2 3HF HNO H O , a fim de remover a camada de óxido do cilindro. A
importância da utilização de um recipiente plástico deu-se devido a utilização do
ácido fluorídrico na solução de ataque. Realizado o procedimento de ataque, retirou-se
o cilindro de titânio da solução, secando-o e colocando-o em outro recipiente contendo
acetona, com o objetivo de retirar o excesso de óxido. Junto a este procedimento, em
um outro recipiente, depositou-se o implante dentário, imergindo-o em acetona. Os
Capítulo 3 – Caracterização e Análise Experimental 52
dois recipientes contendo o cilindro e o implante de titânio foram encaminhados a um
aparelho de ultrassom, finalizando a limpeza em 15 minutos.
Passados 15 minutos, retiraram-se os recipientes do aparelho de ultrasson e os
corpos de provas dos respectivos recipientes, ver Figura 3.10. Executando,
posteriormente, o procedimento de secagem do cilindro de titânio e do implante, com
algodão e secador de ar quente comercial.
Figura 3.10: Limpeza no aparelho de ultrasson.
A terceira etapa, realizada no reator de plasma, posicionou-se o cilindro de
titânio no centro do porta amostra, contido no interior do reator de plasma, em
seguida, adicionou-se o implante dentário, posicionando-o no centro do cilindro de
titânio, respeitando uma distância de aproximadamente 9mm entre a medida externa
do implante e o diâmetro interno do cilindro de titânio, de acordo com o sugerido em
Guerra Neto, Silva e Alves (2009), ver Figura 3.11.
Capítulo 3 – Caracterização e Análise Experimental 53
Figura 3.11: Posicionamento do implante dentário no cilindro de titânio.
A figura Figura 3.12 mostra a disposição dos corpos de prova no porta amostra
do reator a plasma.
Figura 3.12: Posicionamento dos corpos de prova no porta amostra.
Ao posicionar os corpos de prova, fechou-se a câmara do reator de plasma e foi
acionada a bomba de vácuo para remoção do ar no interior do reator, até que
atingisse um valor de pressão de aproximadamente 0,8 mbar. Ajustou-se os
multímetros (corrente e tensão) em 10A e 200V, para o controle do experimento.
Feito isto, acionou-se a chave do gerador de plasma. Aumentou-se o valor da tensão
até que a mesma atingisse um valor de tensão suficiente (aproximadamente 260V)
para que o plasma seja gerado.
Em seguida, introduziu-se o gás (H2) na quantidade de 20 sccm (standard cubic
centimeters per minute) para realizar o pré-tratamento, do inglês, presputtering, e
aguardou-se a temperatura atingir 300°C. Neste ponto, todos os parâmetros foram
Capítulo 3 – Caracterização e Análise Experimental 54
anotados (corrente, tensão, pressão e temperatura). Foi aguardado mais 30 minutos e
anotou-se novamente esse conjunto de variáveis, encerrando assim o pré-tratamento.
Finalizando a etapa do pré-tratamento, ajustou-se a quantidade de gás para a
que seja utilizada no tratamento de nitretação a plasma em cátodo oco, isto é, 24
sccm de H2 e 06 sccm de N2, ou seja, 80% de H2 e 20% de N2. Após o ajuste, anotou-se
mais uma vez os parâmetros, devido a influência da modificação dos gases e a cada 15
minutos, até atingir a temperatura do tratamento (450 °C). Neste intervalo de
tempo, regulou-se a válvula de pressão até que a mesma atingisse um valor de 1,5
mbar.
Atingida a temperatura de 450 °C e pressão de 1,5 mbar do tratamento,
anotou-se os parâmetros (início do tratamento) e registrou-se os valores a cada 30
minutos até o término do tratamento, ou seja 1 hora após ter atingido a temperatura
no início do tratamento, 450 °C.
Figura 3.13: Nitretação em plasma nos implantes dentários de Ti.
Ao completar uma hora de tratamento, diminui-se a voltagem no variador de
tensão, até a corrente no multímetro zerar. Desligou-se o gerador de plasma e os
Capítulo 3 – Caracterização e Análise Experimental 55
multímetros. Aguardou-se a temperatura atingir o valor abaixo de 60 °C retirando-se
as peças nitretadas no interior do reator de plasma.
3.2.7 Caracterização de Fases na Superfície dos Implantes Dentários
A técnica de espectroscopia Raman foi utilizada para o mapeamento químico
das superfícies modificadas por meio da identificação de nitreto de titânio depositado
na superfície do implante.
Basicamente, a técnica consiste no uso uma fonte monocromática de luz a
qual, ao atingir um objeto, é espalhada por ele, gerando luz de mesma energia ou de
energia diferente da incidente. No primeiro caso, o espalhamento é chamado de
elástico e não é de interesse, mas no segundo (espalhamento inelástico) é possível
obter muitas informações importantes sobre a composição química do objeto a partir
dessa diferença de energia.
Na prática, um feixe de radiação laser (monocromática, portanto) de baixa
potência é usado para iluminar pequenas áreas do objeto de interesse e ao incidir
sobre a área definida, é espalhado em todas as direções, sendo que uma pequena
parcela dessa radiação é espalhada inelasticamente, isto é, com frequência (ou
comprimento de onda) diferente da incidente.
Na espectroscopia Raman realizada neste experimento utilizou-se um laser de
785nm.
Capítulo 3 – Caracterização e Análise Experimental 56
3.2.8 Microdureza Vickers nos Implantes Dentários
O ensaio de dureza Vickers é realizado conforme descrito na norma ABNT
NBR NM ISO 6507-1:2008.
A dureza Vickers baseia-se na resistência que o material oferece à penetração
de uma pirâmide de diamante de base quadrada e ângulo entre faces de 136º, sob
uma determinada carga. O valor de dureza Vickers (HV) é o quociente da força
aplicada, F , pela área de impressão, sA , deixada no corpo ensaiado.
Suwanprateeb (1998), realizou uma análise geométrica do penetrador Vickers e
encontrou a fórmula da dureza Vickers em função da profundidade, ph , da penetração
no material. Conforme demonstrado na Equação (3.1).
2
2 2
1,8544 cos 74
4 cos 16p
FHV
h=
o
o (3.1)
O ensaio de microdureza foi utilizado o equipamento Microdurômetro Digital
MV 2000, fabricante Pantec. O ensaio foi realizado em um implante dentário, com
tratamento superficial em cátodo oco e em outro, sem tratamento superficial. O
objetivo foi verificar a influência do processo de nitretação a plasma em cátodo oco na
dureza do material tratado superficialmente.
Em cada amostra ensaiada, aplicaram-se seis pontos de carga, a fim de
verificação do valor da dureza local, ver Figura 3.14.
O valor de carga aplicada para o implante sem tratamento foi de 0,98N; e no
implante com tratamento, uma carga de 2,94N, ambas durante 15 segundos.
Capítulo 3 – Caracterização e Análise Experimental 57
A Figura 3.14 mostra os pontos de aplicação de carga durante o ensaio de
microdureza Vickers.
Figura 3.14: Figura esquemática dos pontos de aplicação de carga (Vista superior do
implante dentário).
A Figura 3.15 e a Figura 3.16, mostram o posicionamento do implante na
morça de fixação durante o ensaio de microdureza Vickers.
Figura 3.15: Posicionamento do implante dentário na morça de fixação para aplicação de
carga.
Capítulo 3 – Caracterização e Análise Experimental 58
Figura 3.16: Posicionamento do implante dentário no microdurômetro.
Por fim, calculou-se a média ponderada dos valores de dureza e o desvio
padrão amostral.
3.2.9 Ensaio Biomecânico de Fadiga em Flexão Utilizando Implantes
Dentários
O ensaio biomecânico de fadiga em flexão deste trabalho foi executado
conforme especificado pela norma ABNT NBR ISO 14801 e realizado por um
laboratório devidamente acreditado pela CGCRE/INMETRO de acordo com a norma
ABNT NBR ISO/IEC 17025.
Segundo norma técnica específica para o ensaio, realizou-se inicialmente um
ensaio estático e posteriormente, o ensaio dinâmico de fadiga.
Para o ensaio estático, utilizou-se a máquina SHIMADZU AG-
IS/I/IC/EZGraph 100kN. O ensaio foi realizado com uma amostra (implantes
dentários, hexagonal externo com 13mm de comprimento e 3,75mm de diâmetro, com
Capítulo 3 – Caracterização e Análise Experimental 59
tratamento superficial) sendo a mesma fixada a um bloco fabricado em poliacetal6, a
fim de identificação da carga de referência para execução de um posterior ensaio de
fadiga em flexão.
A Tabela 3.3 mostra os parâmetros utilizados durante o ensaio estático
biomecânico.
Tabela 3.3: Parâmetros utilizados no Ensaio Estático.
Velocidade de Ensaio (mm/min) 5
I 12,3mm*
Meio Temperatura Ambiente
Amostras Ensaiadas 01
Material Bloco Base Poliacetal
Equipamento de Ensaio Shimadzu AG-IS/I/IC/EZGraph 100kN
* Valor utilizado devido à altura do pilar (considerado exposição de 3mm do implante, valor
equivalente a absorção óssea, segundo ABNT NBR ISO 14801).
O ensaio dinâmico de fadiga, realizado no equipamento BRASVALVULAS
BME 5 120/AT, foi executado com 12 (doze) amostras fixadas a um bloco
confeccionado também do material poliacetal.
A intensão da realização do referido ensaio mecânico foi avaliar a eficácia do
tratamento superficial aplicado ao implante em estudo, nitretação a plasma em
cátodo oco, e promover resultados para alimentar a análise topológica estrutural, via
elementos finitos, conforme descrito no Capítulo 4. A partir deste ensaio biomecânico
6 Poliacetal (POM), também conhecido como Acetal, é um polímero proveniente do formaldeído, um
plástico resistente, descoberto em 1956.
Capítulo 3 – Caracterização e Análise Experimental 60
de fadiga foi possível analisar as propriedades mecânicas do material ensaiado, tais
como: a força de escoamento, utilizada análise de tensões do implante dentário
através de um modelo de elementos finitos, conforme descrito no Capítulo 4; a força
de ruptura do implante; apresentar a localização da falha e o momento fletor máximo
para a força máxima de resistência à ruptura.
A Figura 3.17 mostra a configuração do sistema para o ensaio do componente
protético durante o ensaio biomecânico, conforme especificado na norma ABNT NBR
ISO 14801:2007.
Figura 3.17: Configuração do sistema para ensaio de componente protético, ABNT NBR ISO
14801:2007.
Capítulo 3 – Caracterização e Análise Experimental 61
A Tabela 3.4 mostra os parâmetros utilizados no ensaio biomecânico de fadiga
dos implantes nitretados a plasma em cátodo oco.
Tabela 3.4: Parâmetros utilizados no Ensaio de Fadiga.
Força de Frequência 422,25 N
Frequência 15 Hz
Razão entre Carregamentos 0,1
Número de Ciclos 65 10 Ciclos
Material Bloco Base Poliacetal
Meio Temperatura Ambiente
Equipamento de Ensaio Brasvalvulas BME 5 120/AT
A Figura 3.18 representa a configuração utilizada no ensaio biomecânico para a
aplicação do carregamento. E na Figura 3.19, a distribuição dos corpos de prova no
bloco de poliacetal.
Figura 3.18: Configuração utilizada no ensaio para aplicação da carga.
Capítulo 3 – Caracterização e Análise Experimental 62
Figura 3.19: Configuração utilizada no ensaio de fadiga para os corpos de prova.
Para realizar o ensaio, o implante foi fixado de forma que seu eixo central
fizesse um ângulo de 30o em relação direção do carregamento do equipamento do
ensaio.
Uma força de carregamento posicionada sobre o eixo longitudinal central do
implante, Figura 3.17, de F 422,25 N foi aplicada através de um componente de
carregamento resistente à deformação com uma superfície de contato hemisférica para
a transferência de carga, colocado sobre a extremidade livre da parte da conexão. A
força de carregamento foi aplicada à superfície de carregamento hemisférica por um
dispositivo de força com uma superfície plana normal à direção de carregamento da
máquina.
A cada ensaio as superfícies de carregamento hemisférico e de carregamento do
dispositivo foram examinadas visualmente, a fim de assegurar que não ocorreu
deformação permanente.
Capítulo 3 – Caracterização e Análise Experimental 63
A parte de ancoragem óssea do corpo de prova foi fixada em um dispositivo de
fixação rígida com módulo de elasticidade 3GPa 7, conhecido no mercado como
Poliacetal, ver Tabela 3.5, conforme especificado em norma. O dispositivo foi
projetado para não deformar o corpo de prova e fixado ao corpo de prova a uma
distância de 3,0mm a partir do nível ósseo, Figura 3.17.
Tabela 3.5: Proprieades Mecânicas do Poliacetal.
Densidade 1410 kg/m3
Tensão de Escoamento a Tração 66 MPa
Tensão de Ruptura a Compressão 100 MPa
Tensão de Ruptura a Flexão 95 MPa
Módulo de Elasticidade 3000 MPa
Fonte: www.matweb.com
A dimensão do braço de alavanca é definida como:
sen30b
y I o (3.2)
Com 12,3mmI , tem-se 6,15mmb
y . O momento fletor correspondente a
2,59 Nm fora definido pela expressão:
Fb
M y (3.3)
Quanto ao ambiente do ensaio o mesmo foi realizado em ambiente fechado a
uma temperatura de 20 Co .
7 Segundo especificado em norma técnica ABNT NBR ISSO 14801, o material de embutimento deverá
apresentar um módulo de elasticidade superior a 3 GPa, valor este próximo ao módulo de elasticidade
do Osso.
Capítulo 3 – Caracterização e Análise Experimental 64
Os resultados do ensaio de flexão descrito neste item foram comparados aos
resultados do relatório de ensaio 585/11, rev. 0, da empresa DENTOFLEX Materiais
Odontológicos LTDA, parceira desta pesquisa, Tabela 3.6.
Tabela 3.6: Parâmetros utilizados no ensaio de fadiga DENTOFLEX 585/11, rev.0.
Norma Técnica ISO 14.801:2007
Ensaio Ensaio de Fadiga em Flexão
Corpo de Prova Implante Torque Interno 3,25mm x
11,5mm (Titânio)
I 11mm
Força de Frequência 602,34 N
Frequência 15 Hz
Razão entre Carregamentos 0,1
Número de Ciclos 65 10 Ciclos
Material Bloco Base Poliacetal
Meio Temperatura Ambiente
O ensaio de fadiga referenciado no relatório 585/11, rev. 0, foi realizado
utilizando como corpo de prova o implante hexágono externo com 3,5mm de diâmetro
e 11,5mm de comprimento. A utilização deste implante, deu-se devido ao mesmo
oferecer menores proporções em relação aos outros confeccionados pela empresa,
tornando-o mais crítico estruturalmente, comparado com os outros modelos. Como
resultado, obteve-se para o ensaio estático um valor de carga máxima de 602,34N.
Capítulo 3 – Caracterização e Análise Experimental 65
Para o ensaio de fadiga, um limite de resistência à fadiga de 176,6N para 65 10
ciclos, resultando em um valor crítico de momento de 0,97N.m.
Capítulo 4
Análise Linear Estática de Tensões em
Implantes Dentários
Neste capítulo será realizada uma análise de tensões para o modelo do
implante em estudo. A estrutura do implante dentário foi avaliada
computacionalmente a partir dos carregamentos adquiridos nos resultados do ensaio
biomecânico de fadiga, conforme descrito nas seções 3.2.9 e 6.9.
O objetivo dessa análise é quantificar a magnitude dos esforços e os seus efeitos
na estrutura do implante, ou seja, determinar o estado de tensão e deformação da
estrutura em estudo sob a ação de cargas externas. O critério de falha utilizado foi o
de von Mises. Como resultado, o valor da tensão de escoamento foi obtido e o mesmo
será utilizado para alimentar a análise de otimização topológica, descrita no Capítulo
5. Ademais, por si só, a análise efetuada neste capítulo é de grande importância para
se avaliar o comportamento do implante perante o esforço do ensaio.
4.1 Descrição do Modelo de Elementos Finitos
O Método dos Elementos Finitos foi desenvolvido para resolver equações
diferenciais parciais. Problemas físicos e de engenharia definidos em meios contínuos
são descritos por suas equações de estado, que normalmente são equações diferenciais
parciais. A solução destes problemas na sua forma analítica só é possível ou ainda
viável para sistemas muito simples. Assim, para os casos de sistemas mais complexos
Capítulo 4 – Análise Linear Estática de Tensões em Implantes Dentários 67
que envolvem geometrias e condições de contorno mais sofisticadas deve-se optar por
procedimentos de aproximação com precisão aceitável para a aplicação de engenharia
em questão.
A ideia básica do Método dos Elementos Finitos é aproximar o domínio real de
integração do problema por uma região resultante da soma de pequenos elementos
basilares, chamados de elementos finitos, transformando assim a região do domínio de
contínuo para discreto. Esta divisão do domínio é conhecida como malha, que nada
mais é do que o conjunto de elementos finitos resultante do modelo de aproximação.
A malha é formada de elementos compostos de faces e nós, que são pontos de
intersecção e ligação entre os elementos. A grande "sacada" do Método dos Elementos
Finitos é não buscar uma função admissível que satisfaça as condições de contorno
para todo o domínio, o que pode ser praticamente impossível em um problema
complexo, e sim buscar estas soluções em cada elemento separadamente, portanto
realizando uma segunda aproximação (além do modelo de aproximação geométrica),
agora no espaço de soluções.
O modelo de elementos finitos considerado neste estudo, a fim de viabilizar a
análise de tensões, tomou como base o ensaio biomecânico de fadiga, seção 6.9. Para
diminuir o custo computacional, analisou-se ¼ de simetria do implante dentário. O
elemento finito utilizado nessa análise foi o linear de base lagrangiana, o tetraédrico
de quatro nós.
O material utilizado na análise foi o titânio comercialmente puro, conforme
pode ser verificado na Tabela 4.1.
Capítulo 4 – Análise Linear Estática de Tensões em Implantes Dentários 68
Tabela 4.1: Propriedades Mecânicas do Ti-CP.
Titânio Comercialmente Puro (Ti-CP)
oE 116 GPa
G 43 GPa
6 34,5 10 kg mm
Fonte: www.matweb.com
As propriedades refetentes aos elementos tridimensionais estão correlacionadas
ao titânio comercialmente puro, material utilizado para fabricar o implante dentário.
Na análise, são respeitadas as condições geométricas do implante dentário,
exceto pela existência da rosca do implante originalmente estudado. A ausência da
rosca no modelo, Figura 4.1, deu-se devido à dificuldade de processamento
computacional.
O filme de camada nitretada depositada ao implante dentário, após o
tratamento superficial de Nitretação em Cátodo Oco, não foi considerado na análise
de elementos finitos, devido ao pequeno valor de espessura da mesma, correspondente
a 0,05mm, ver seção 6.10.
Figura 4.1: Discretização de ¼ de implante dentário.
Capítulo 4 – Análise Linear Estática de Tensões em Implantes Dentários 69
4.2 Cargas Aplicadas e Condições de Contorno
Conforme descrito na seção 4.1, foi considerado ¼ de simetria do implante para
a análise estrutural estática. Desta forma, de maneira similar, ¼ da força de
escoamento determinada via ensaio biomecânico, ou seja 43,28N , também foi
utilizada para o dimensionamento do mesmo.
No modelo, foram analisados dois casos de carregamentos, com o objetivo de
simular o esforço mastigatório:
Caso 1: A força escoamento aplicada, na área da região do hexágono externo
do implante, de forma que sua direção fizesse um ângulo de 30o com o eixo
central do implante, ver Figura 4.2 (a).
Caso 2: Força de escoamento aplicada, na área da região do hexágono externo
do implante, de forma compressiva em relação ao eixo central do implante, ver
Figura 4.2 (b).
As considerações para as condições de contorno da análise deu-se da seguinte
forma: A região descrita como 1 permanece livre ao longo do comprimento do
implante e fixo nas demais direções. E para a região 2 , fixo ao longo do
comprimento do implante e livre nas demais direções. Simulando o contato
osso/implante, conforme ilustrado na Figura 4.3.
Capítulo 4 – Análise Linear Estática de Tensões em Implantes Dentários 70
a) b)
Figura 4.2: Casos de carga: a) Caso 1. b) Caso 2.
a) b)
Figura 4.3: Condições de Contorno: a) Planos de Simetria. b) Deslocamentos prescritos.
Capítulo 4 – Análise Linear Estática de Tensões em Implantes Dentários 71
4.3 Análise de Tensões no Implante Dentário
Esta seção apresenta o resultado da análise estática de tensão, através do
MEF, no implante dentário. Na análise utilizou-se como critério de falha o Critério de
falha de von Mises.
4.3.1 Caso de Carga 1:
A Figura 4.4 e a Figura 4.5 mostram a distribuição da tensão de von Mises na
parte interna e externa do implante dentário para o caso de carga 1, respectivamente,
com o ponto de concentração de tensão apresentado região da conexão munhão-
implante.
Figura 4.4: Caso 1 - Tensão máxima de von Mises igual a 146,9MPa . Visualização no
interior do implante dentário.
A Figura 4.5 representa a distribuição de tensão na região externa do implante
dentário.
Capítulo 4 – Análise Linear Estática de Tensões em Implantes Dentários 72
Figura 4.5: Caso 1 - Tensão máxima de von Mises igual a 146,9MPa . Visualização na
região externa do implante dentário.
A Figura 4.6 mostra a convergência do resultado, para o caso de carga 1, com
a inalteração do resultado após refino local da malha na região de ponto crítico da
análise, isto é, local onde ocorre a concentração de tensão.
a) b)
Figura 4.6: Visualização da Convergência do Resultado: a) Malha inicial com 3.830
elementos. b) Malha refinada com 7.525 elementos.
4.3.2 Caso de Carga 2:
A Figura 4.7 e a Figura 4.8 mostram a distribuição da tensão de von Mises na
parte interna e externa do implante dentário para o caso de carga 2, respectivamente.
Capítulo 4 – Análise Linear Estática de Tensões em Implantes Dentários 73
Figura 4.7: Caso 2 - Tensão máxima de von Mises igual a 119MPa . Visualização no interior
do implante dentário.
A Figura 4.8 representa a distribuição de tensão na região externa do implante
dentário.
Figura 4.8: Caso 2 - Tensão máxima de von Mises igual a 119MPa . Visualização na região
externa do implante dentário.
A Figura 4.9 mostra a convergência do resultado, para o caso de carga 2, com
a inalteração do resultado após refino local da malha na região de ponto crítico da
análise.
Capítulo 4 – Análise Linear Estática de Tensões em Implantes Dentários 74
a) b)
Figura 4.9: Visualização da Convergência do Resultado: a) Malha inicial com 3.830
elementos. b) Malha refinada com 7.525 elementos.
Capítulo 5
Otimização Topológica 3D com Refinamento
Adaptativos
A instalação de implantes dentários é uma técnica repositora do elemento
dental. No entanto, estudos mostram que os implantes dentários falham
ocasionalmente quando não conseguem permanecer osseointegrados, resultando na
perda do osso da crista alveolar, Shi et al. (2007). A perda óssea depende de muitos
fatores, por exemplo, a biocompatibilidade do implante, a técnica cirúrgica, o
tratamento restaurador, as características geométricas e de superfície do implante e as
condições de carga em relação à qualidade e quantidade do osso circundante. O osso
circundante tem a capacidade de adaptar-se a forma do implante, por meio de
reabsorção e deposição, de acordo com os estímulos mecânicos que ele se encontra
exposto, pontos importantes para o sucesso do implante, Pinto (2011). Vários fatores
podem afetar o nível de tensão no osso circundante ao implante, estes incluem: as
cargas aplicadas, a qualidade e a quantidade de osso, o material e a forma do
implante. Uma vez que a qualidade do osso e as cargas aplicadas são fatores que não
podem ser alterados, a escolha de um implante dentário com uma forma e material
favorável tem sido o foco de muitas pesquisas a fim de reduzir o nível de
concentração de tensões no osso, Petrie e Williams (2005).
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 76
As técnicas de otimização estrutural, e principalmente a de topológica, tem
sido pouco utilizadas como ferramenta de “criação” de implantes dentários,
especialmente na fase inicial de projeto, Chang et al. (2012). O objetivo do presente
estudo foi empregar a tecnologia da otimização topológica a fim de derivar formas
alternativas para os implantes dentários.
Como contribuição, propõe-se uma tecnologia inovadora de concepção de
implantes dentários otimizados. Estes implantes possuirão novas formas, sendo
necessário para sua confecção uma quantidade menor de material estrutural, e com a
possibilidade de serem produzidos com maior controle da rigidez e da resistência aos
esforços, a depender do processo de otimização empregado. Essa inovadora tecnologia
permitirá desenvolver uma nova forma de fixação osso/implante.
É importante ressaltar que ao se projetar um implante toma-se como
parâmetro de referência, que este possua as mesmas propriedades encontradas na raiz
do dente. Ao analisar a flexibilidade, a qual depende da geometria e da propriedade
do material, verifica-se que o material utilizado como base, em nosso caso o Ti-CP
grau II, possui um módulo de elasticidade muito superior ao do osso, então, mesmo
que se utilize uma função objetivo que a princípio se distancia do que se almeja, aos
olhos da implantodontia, devido a tamanha discrepância entre as propriedades dos
dois materais citados, a flexibilidade alcançada no processo de otimização, não
produzirá qualquer prejuízo ou desvantagem, pois o implante sempre será muito mais
rígido do que raiz do dente. Entretanto, justamente devido a alta resistência
proporcionada pelo Titânio é que podemos utilizar um procedimento de minimização
da flexibilidade, prescrevendo valores fracionados do material e assim obter novos
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 77
implantes, com inovadoras geometrias. O processo de otimização se torna mais
consistente quando se utiliza o procedimento de minimização da massa sob restrição
de tensão, o qual irá realizar uma distribuição ótima de acordo com a solicitação, sem
a necessidade de prescrição de valores baseados na experiência do projetista.
Visando obter uma melhor definição da topologia final do implante, agrega-se
ao processo de otimização uma estratégia de refino h-adaptativo, que será aplicada a
ambas as formulações. Este processo utiliza um elemento finito tetraédrico de quatro
nós, denominado no texto como TETRA4, Apêndice C.
A vantagem desta proposta, em relação às técnicas de otimização topológica
existentes aplicadas ao processo de obtenção de implantes, como no trabalho de
Chang et al. (2012), está na utilização de um elemento finito tridimensional com
adaptatividade, gerando topologias mais realísticas que as proporcionadas em modelos
bidimensionais. A implementação de um esquema de refino h-adaptativo, possibilita
uma estratégia de refino seletiva, baseada em estimadores de erro das informações da
qualidade da malha e dos resultados gerados pela topologia resultante da malha
inicial; e proporciona um grande desempenho na obtenção de topologias com alta
qualidade da resolução, devido ao baixo custo computacional.
A formulação é baseada na abordagem material, proposta por Bendsoe e
Kikuchi (1988), considera uma equação constitutiva homogeneizada dependente
apenas da densidade relativa do material. A microestrutura utilizada para a descrição
das propriedades materiais é do tipo SIMP (Solid Isotropic Material with Penalty).
A implementação computacional foi feita em linguagem de programação
Fortran 95, objetivando diminuir o custo computacional, foi utilizado um
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 78
solucionador de sistema linear, utilizando o armazenamento do tipo banda variável
(classicamente conhecido na literatura como sky line ou ainda profile matrix). No
algoritmo, foi implementado um esquema de reordenamento nodal da malha de
elementos finitos, denominado Reverse Cuthill-McKee (RCM), Apêndice A.2.
A fase de otimização topológica deste trabalho foi executada obedecendo as
etapas mostradas conforme fluxograma da Figura 5.1.
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 79
Figura 5.1: Fluxograma do Processo de Otimização com Adaptatividade
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 80
5.1 Minimização da Flexibilidade em Implantes Dentários
A formulação de otimização topológica tridimensional apresentada nesta seção
foi combinada a um processo de refino h-adaptativo. A abordagem tem por objetivo
proporcionar leiautes competitivos e com definição proporcional ao tamanho médio do
elemento utilizado, de modo a minimizar a flexibilidade e atender a um pré-definido
limite de volume material.
O método de otimização de leiaute empregado é baseado na abordagem de
material proposta por Bendsoe (1995) e Bendsoe e Kikuchi (1998). Nestes trabalhos,
a equação constitutiva homogeneizada é função somente da densidade relativa do
material, denotada por ρ .
A formulação proposta utiliza o clássico elemento finito tetraédrico de quatro
nós, TETRA4, o qual interpola não só as componentes do campo de deslocamento,
assim como o campo de densidade relativa. Visando evitar a instabilidade do tipo
tabuleiro, é imposta uma restrição do tipo caixa às componentes do gradiente da
densidade relativa do material, como sugerido por Sigmund e Sigmund (1999). Esta
abordagem gera um processo de otimização de leiaute muito robusto e eficiente. A
principal desvantagem é a ocorrência de uma camada de material de densidade
intermediária, inf1ρ ρ , ao longo do contorno material. É importante observar
que a região de densidade intermediária ao longo do contorno pode ser
consideravelmente reduzida, pela utilização de um esquema de refino h-adaptativo
adequado.
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 81
5.1.1 Formulação do Problema
O problema de otimização de leiaute pode ser formulado da seguinte forma:
Determinar a distribuição de densidade relativa do material, tal que seja solução
de:
min f u
ρ (5.1)
sujeito a:
a) Restrição de Volume:
d
(5.2)
sendo o volume do espaço de projeto, a densidade relativa e fração de volume
prescrita com 0,1 .
b) Restrições Laterais:
Considera-se a densidade relativa do material, , sendo definida no intervalo
inf,1 , com
inf0 , isto é:
inf sup( ) 0 e ( ) 0 , x x x (5.3)
c) Restrições de Estabilidade:
2
20 , para , e ; .
dc d x y z
d
xx . (5.4)
As restrições de estabilidade são empregadas visando:
1. Assegurar a existência de solução para o problema de otimização de leiaute,
ver Bendsoe (1995), como também, Petersson e Sigmund (1998);
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 82
2. Evitar o problema de instabilidade de tabuleiro e;
3. Reduzir a dependência da solução do leiaute ótimo com relação à malha
inicial utilizada.
Neste ponto é importante enfatizar que, para obter um bom desempenho
computacional, é imprescindível a utilização de um elemento finito com baixa ordem
de interpolação. Porém, a utilização de elementos de ordem baixa pode ocasionar, no
caso da omissão da restrição de estabilidade, o aparecimento de instabilidade
numérica, Costa Jr. (2003).
As constantes , , e x y z
c c c , subseção 5.1.3, definem os limites laterais para as
componentes do gradiente da densidade relativa e visa a imposição adequada de
condições de contorno de simetria, quando necessárias.
Determinar u ρ em u
x , Apêndice B, tal que:
div , . u x b 0 x (5.5)
Com u
é a parte do contorno com deslocamento prescrito, é o tensor
tensão e b a força de corpo prescrita aplicada ao corpo.
O tensor tensão é definido por:
Hu D u (5.6)
e
, .t
u x n t x (5.7)
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 83
Sendo:
HD o tensor constitutivo homogeneizado do material, associada à microestrutura
utilizada; é o tensor deformação; nvetor normal, t
parte do contorno com carga
prescrita, t é a carga prescrita aplicada no contorno t
.
Multiplicando a equação de equilíbrio mecânico (5.5) pela função peso v ,
deslocamento virtual, e integrando-a sobre o domínio , tem-se:
odiv , H
v b v 0 v d d . (5.8)
ou
odiv , HT
v b v 0 v d d d (5.9)
H o é o conjunto das variações admissíveis descrito como:
21 , em
uH H v v v 0 xo | = , com deslocamento admissível
,H H u o sendo u o deslocamento prescrito. E 1H o espaço de Hilbert.
5.1.2 Definição do Modelo Material
Na definição das propriedades mecânicas do material no problema de
otimização topológica, utilizou-se uma formulação de microestruturas porosas,
caracterizado pelo modelo material do tipo SIMP, Bendsoe (1995) e Bendsoe e
Sigmund (1999), parametrizadas por sua densidade relativa.
No modelo proposto, define-se o módulo de elasticidade em termos da
densidade relativa.
E E o . (5.10)
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 84
Onde E o é o módulo de elasticidade relativo ao material completamente denso e é
o parâmetro de penalidade microestrutural do modelo. Este parâmetro penaliza
regiões com densidades intermediárias resultando em leiautes ótimos com reduzidas
regiões de densidade intermediária. Neste trabalho é considerado, como sugerido por
Bendsoe e Sigmund (1999), o seguinte parâmetro de penalidade, 4 . De acordo
Sigmund (1998), para 3 4 pode-se determinar uma microestrutura a qual
representa uma realização física de um material composto, cuja equação constitutiva
homogeneizada reproduz as propriedades do material poroso no ponto considerado.
Ou seja, para todo leiaute ótimo existe uma configuração física realizável, passível de
ser fabricada.
Esta relação da equação (5.10) permite-se escrever a equação constitutiva
homogeneizada associada ao modelo microestrutural, como:
o,H D Dηρρ (5.11)
sendo Do a matriz que contém os parâmetros de elasticidade do elemento denso.
Para contornar o efeito do travamento volumétrico, aplica-se um esquema de
integração seletiva no qual calcula-se, separadamente, os termos volumétricos e os
termos referentes a parte de distorção. Desta forma, obtém-se:
( )H H Hvol dist
D D Dρ . (5.12)
Sendo definido que
ρ
ρ11
22
( ) e
( )
H
H Hvol dist H
0 0D 0D D
0 0 0 D (5.13)
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 85
e ainda
ν νν ν
ν ν νρν ν ν ν
ν νν ν
11
11 1
11
1 1 2 1 1
11 1
H E
D (5.14)
e
ρν22
1 0 0
0 1 02 1
0 0 1
H E
D (5.15)
Separando os termos de rigidez volumétrica e de distorção, obtém-se:
vol dist K K K . (5.16)
Fazendo uso da equação constitutiva homogeneizada, define-se:
T Hvol vol d
K B D B (5.17)
e
T Hdist dist d
K B D B (5.18)
Para o esquema de integração seletiva, subintegra-se os termos volumétricos da
Equação (5.17), e integra-se de maneira completa os termos de distorção definidos na
Equação (5.18).
5.1.3 Definição das Constantes cx, cy e cz
Na definição das constantes , e x y z
c c c , considerou-se um elemento genérico
conforme mostrado na Figura 5.2, sendo , , ,i i i i
x y zx p/ 1,..., 4i as
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 86
coordenadas dos vértices e , ,m m m m
x y zx as coordenadas do baricentro do
elemento finito tetraédrico de quatro nós.
Figura 5.2: Coordenadas do baricentro do elemento finito Tetra4, Coutinho (2006).
Agora, denotando:
min
min p/ 1,...,4ii
d d i (5.19)
é definido que
min
1e e e ex y z
c c c cd
. (5.20)
Uma modificação dos limites ex
c , ey
c e ez
c , deve ser realizada se no mínimo uma
das faces do elemento coincide com algum plano de simetria. Aqui, são considerados
três casos possíveis:
Para o plano de simetria - xy , considerou-se que a face abc do elemento
coincide com o plano xy de simetria. Neste caso, de acordo com o ilustrado na
Figura 5.3, deve-se ter: 0w e / 0z . Sendo assim, a imposição da última
condição é alcançada denotando 0ez
c .
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 87
Figura 5.3: Condição de simetria no plano xy
No Plano de simetria - xz , considera-se que a face cbd do elemento
coincidente com o plano xz de simetria. Assim, de acordo com a ilustração na
Figura 5.4, deve-se ter: 0v e / 0y . A imposição da última condição é
alcançada denotando 0ey
c .
Figura 5.4: Condição de simetria no plano xz
Para o Plano de simetria - yz considerando que a face acd do elemento
coincidente com o plano yz de simetria, de acordo com a ilustração na Figura 5.5,
deve-se ter: 0u e / 0x . A imposição da última condição é alcançada
denotando 0ex
c .
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 88
Figura 5.5: Condição de simetria no plano yz
5.1.4 Formulação do Problema de Ótimo no Contínuo
a) Método Lagrangeano Aumentado
O problema de otimização a ser resolvido, já definido pelas Equações (5.1) a
(5.4), pode ser formulado utilizando o Método do Lagrangiano Aumentado que
consiste em transformar um problema com restrições em um problema equivalente de
minimização sem restrições, que é a solução de uma sequência de problemas de
mínimo com restrições laterais. A abordagem aqui será feita na forma de algoritmo
com vistas à formulação computacional, o qual segue:
1. Definir valores iniciais: 00,5
k
, 0k , 0k , k 0 , 1, 0erro , k ,
k e tol .
2. Enquanto err tol , efetuar o laço, caso contrário ir para o passo 3:
(i) Solução do problema de minimização com restrições laterais:
min , , ; , , k k k kA
£ X (5.21)
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 89
sendo rinf sup
| ; 1, ,nn
i ni n X ¡ … e
nn é o número de nós da malha.
Definindo
3
1
1 1
1, , ;
1, ,
e
k k k k k kA k
nk k
ej ej j ejkj ej
£ f h h
g
(5.22)
Sendo definido que: f ρ é a função objetivo, ( )h ρ é a restrição de volume e
( ( ), , )k kej ej j ej
g ρ são as restrições de estabilidade. Com:
2
( ) ( ) , se ( )2
( ( ), , )
, se ( )2 2
k kj ejk k
ej ej j ej ejk k
k k k kej ej j ejj ej j ej
ej
g g g
g
g
ρ ρ ρ
ρρ
(5.23)
para 1, , e 1, ..., 3e
e n j … .
Por conveniência, o índice , e d x y z é também denotado por 1,2 e 3j .
Desta forma,
3
1 1
2 1 e
n n n
nejkA
k kj en n nj
d£ df hd d
(5.24)
com
1
n n n
mr
rn n r n
udf f fd u
(5.25)
sendo m o grau de liberdade e n o número do nó do elemento.
Reescrevendo a Equação (5.25):
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 90
,n n nn n n
df ff
d
uu . (5.26)
Tem-se que:
Ku P , (5.27)
derivando a Equação (5.27) em relação a nn
:
n n nn n n
K u Pu K . (5.28)
Como a carga P não depende da densidade, denota-se que:
n
n n
nn n
u KK u R (5.29)
1
n nn n
u KK u . (5.30)
Substituindo a equação (5.30) na equação (5.26), tem-se:
1,n
n n
nn n
df ff
d
u K R (5.31)
,n
n n
Tn
n n
df ff
d
K u R (5.32)
desde que 1 T K K :
1 ,n
n n
nn n
df ff
d
K u R . (5.33)
(ii) Atualizar o ponto de projeto
1k k k d . (5.34)
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 91
(iii) Atualização dos multiplicadores de Lagrange:
1 2max 0,k k kh
x (5.35)
e
1 2max 0, p/ 1,..., ; 1,..., 3.k k k
ej ej ej ej
g e n j
x (5.36)
(iv) Atualização do parâmetro de penalidade da Função Lagrangiana
Aumentada:
1 , se , 0,1
k k crit
kcrit
, (5.37)
e
1 , se , 0,1
k k crit
k j j j j j jcritjj
, (5.38)
(v) Determinação do erro
1 1 1
1 1 2 2
13 3
max , max , max
e max
k k k k k ke e e ee e e
k ke ee
a b c
d
(5.39)
então, max , , ,erro a b c d .
3. Fim do laço.
5.1.5 Refino da Malha com Adaptatividade h
O processo de refino proposto nesta pesquisa foi sugerido inicialmente por
Costa Jr. (2003), porém o mesmo foi aplicado a problemas bidimensionais. O método
consiste na solução de uma sequência de problemas de otimização, intercalado por um
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 92
passo de refino h-adaptativo. No modelo a ser otimizado, cada nível do processo é
obtido a partir de uma malha anterior de acordo com a aplicação de um esquema de
refino. O número total de níveis de refinos h-adaptativos a serem aplicados é definido
de modo prescrito. Desta forma, a determinação da topologia ótima consiste na
solução de uma sequência de problemas, onde cada um consiste na otimização do
leiaute seguido por um esquema de refino h-adaptativo. As principais vantagens na
utilização do processo de refino estão relacionadas com a melhor definição do
contorno material, a redução do número de variáveis de projeto e a diminuição do
erro da solução da equação de estado.
a) Estratégia de Refino da Malha
O conjunto de elementos, r
J , a serem refinados no processo de otimização é
definido como sendo todos os elementos cuja sua densidade média é maior ou igual a
0, 85 .
No algoritmo de otimização, para auxiliar no processo de identificação do
conjunto de elementos a serem refinados, foi introduzido um ponteiro de vetor,
denominado no texto como Pref e , contendo o número total de elementos da malha,
1,...,e
e n . Se 1Pref e então o e-ésimo elemento deverá ser refinado, isto é,
re J . Caso contrário, se 0Pref e , então o elemento não será refinado,
re J .
Proposta de refino h-adaptativo:
1. Iniciar ponteiro 0Pref e , 1, ...,e
e n .
2. Para cada elemento, 1,...,e
e n , verificar:
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 93
Se sup0,85 ,e med
então denotar 1Pref e , assim, o elemento
pertence ao conjunto r
J . Se inf, 0,85
e , então é verificado se o
elemento tem pelo menos um nó pertencente a alguma face comum aos
elementos com densidade média apta para o refino, ou seja, sup0,85 .
Desta forma, este elemento também será refinado e pertencerá ao
conjunto r
J . Proporcionando melhor qualidade na malha refinada.
3. Determinar a medida de qualidade Q e de cada elemento, 1,...,e
e n ,
a qual é definida por:
max
2 6ine
Q e rL
. (5.40)
Onde:
in
r é o raio da esfera inscrita no tetraedro;
max
max 12,23, 34, 41,13,24eL é o comprimento da maior aresta
do tetraedro.
Se 0, 55e
Q , redefine-se o valor do ponteiro para 1Pref e . Assim,
todos os elementos distorcidos são refinados.
Agora, uma vez que todos os passos acima foram realizados, é obtida
uma primeira estimativa do conjunto r
J .
O esquema de refino do elemento descrito nos passos 1 ao 3, é ilustrado na
Figura 5.6 e Figura 5.7.
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 94
a) b)
Figura 5.6: a) Elemento Tetraedro; b) Elemento Tetraedro Refinado com 8 Elementos
Figura 5.7: Detalhe do Refino Elemento TETRA4
A Figura 5.8 ilustra a forma com que a malha é compatibilizada durante o
processo de refino h-adaptativo.
Figura 5.8: Compatibilidade das Malhas Durante o Refino
b) Processo de suavização condicional Laplaciano
Para melhorar a qualidade da malha, depois do passo de refino, emprega-se um
processo de suavização denominado por Laplaciano condicional, Figura 5.9, sendo que
vn denota o número de nós dos vértices adjacentes associado com o nó nx , ver
Equação (5.41). O processo de suavização é aplicado, em ordem crescente, a todos os
nós dos vértices que estão no interior da malha.
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 95
Os nós do contorno são mantidos fixos. O processo Laplaciano é
condicional, portanto, ele somente será aplicado se a qualidade da malha do conjunto
de elementos melhorar. A qualidade de um conjunto de elementos é definida como
sendo a qualidade do pior elemento do conjunto. A medida da qualidade do elemento
é dada pela Equação (5.40). Ao aplicar o processo de suavização Laplaciano, uma
nova posição teste do nó nx é determinada, a qual é denotada por nx , entretanto, o
nó nx só será movido para a nova posição teste se a qualidade da malha não
diminuir.
1
1 vn
n inv
n
x x (5.41)
a) b)
Figura 5.9: Processo de suavização Laplaciano: a) Malha inicial. b) Malha após suavização.
c) Estimador de erro
Nesta etapa foi feito uso do estimador de erro proposto por Zienkiewicz e Zhu
(1990 e 1991), o qual é baseado numa técnica de recuperação do gradiente por meio
da norma da energia, ver Babusvka et al. (1986), Georges e Shephard (1991), Bugeda
(1991) e Wilberg e Abdulwahab (1997). Sendo ρ uma dada densidade relativa nodal
realizável do problema. Então, o erro local do deslocamento pode ser definido como:
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 96
h e u uρ ρ ρ (5.42)
onde u ρ e hu ρ correspondem, respectivamente, à solução exata e à solução
aproximada. Então, a norma da energia do erro pode ser escrita como:
2
E
H d
e D e eρ ρ ε ρ ε ρ . (5.43)
Agora, o erro local da tensão pode ser expresso em termos do erro local do
deslocamento como segue:
H Hh h e D u u D eσ ρ σ ρ σ ρ ρ ε ρ ρ ρ ε ρ . (5.44)
Sendo assim, a norma da energia do erro pode ser reescrita da seguinte forma:
12
E
Hh h d
e Dρ σ ρ σ ρ ρ σ ρ σ ρ . (5.45)
Como a distribuição de tensão exata é desconhecida, aproxima-se σ ρ por uma
solução melhorada *σ ρ , a qual é mais refinada que hσ ρ . Daí, o indicador de erro
é aproximado por:
12 * *
E
Hh h d
e Dρ σ ρ σ ρ ρ σ ρ σ ρ . (5.46)
d) Determinação de *σ ρ
Para a determinação da solução melhorada *σ ρ , aplica-se a técnica de
projeção proposta por Zienkiewicz e Zhu (1990 e 1991), que é baseada no fato de que
a solução do campo de deslocamento aproximada pelo elemento finito 0h C u ρ
mas o campo de tensão resultante é apenas contínuo por partes. A determinação de
*σ ρ consiste na solução por mínimos quadrados do potencial ξ ρ , sendo
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 97
* *h h
d
ξ ρ σ ρ σ ρ σ ρ σ ρ . (5.47)
Aqui, *σ ρ é interpolado dentro de cada elemento como
* *
1
dn
j jj
N
σ σ , (5.48)
onde *jσ é o tensor das tensões avaliados no j -ésimo nó do elemento, e jN são as
funções clássicas de interpolação usadas na interpolação do campo de deslocamentos.
Agora, uma vez que *σ ρ é determinado, pode-se calcular o erro médio global
G , como
11 H
G h h d
Dσ ρ σ ρ ρ σ ρ σ ρ ; (5.49)
o erro médio do elemento e , como
1* *1
e
He h h e
e
d
Dσ ρ σ ρ ρ σ ρ σ ρ . (5.50)
A estratégia adotada para verificar, se um dado elemento deve ser refinado,
devido ao critério de erro medido, é dada por: se 1 , com 0e G ϕ ϕ , então
refina-se o elemento.
5.1.6 Validação do Modelo de Otimização Proposto
Nesta subseção serão mostrados alguns resultados obtidos com a aplicação do
método otimização topológica 3D sob restrição de flexibildade. As respostas são
provenientes de exemplos clássicos, já conhecidos na literatura. O objetivo é validar a
formulação proposta.
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 98
Por simplicidade, foi utilizado o mesmo módulo de Young para todos os casos,
9116 10E ut o e Coeficiente de Poisson 0,34ν . Para melhor visualização da
topologia resultante foram descartados os elementos com densidade abaixo de 0, 8 .
Na região em detalhe, conforme pode ser verificado na Figura 5.10, o contorno da
topologia é formado por um gradiente de distribuição de densidade, devido ao campo
de interpolação utilizado. Considerando a espessura do gradiente de densidade
(camada de definição do contorno), definida apenas por um elemento, tem-se a
condição ótima de nitidez do contorno da topologia. Conclui-se então que o tamanho
médio dos elementos que formam a camada define a qualidade da topologia. Agora,
analisando o elemento com maior densidade possível na camada de definição do
contorno, tem-se 0,751e
ρ considerando inf0, 005ρ , Equação (5.51) Sendo assim,
basta que o valor limite da densidade a ser desconsiderado seja lim e e ρ ρ ρ .
1 1 1 0,005
0,7514e
ρ (5.51)
Figura 5.10: Gradiente de Distribuição de Densidade
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 99
a) Viga bi-apoiada com carga aplicada na parte central superior:
O problema de otimização consiste em um bloco, conforme ilustrado na Figura
5.11, cujas dimensões são a 0,5uc , b 1, 0uc e c 0,1uc . Para diminuir o tempo
de processamento do problema, foi considerado ½ de simetria da estrutura com 231
elementos e 99 nós, Figura 5.11 (b). A estrutura foi analisada aplicando-se uma carga
distribuída uniformemente de 6146,9 10 ucdw e utilizando-se uma fração de
volume de 40%. O bloco está fixo em suas extremidades inferiores nas três direções,
ou seja, com deslocamento prescrito 0,0,0 , sendo 1 2 . O caso foi avaliado com
dois níveis de refino, conforme pode ser verificado na Figura 5.13 e na Figura 5.14.
Os elementos com densidade acima de 0, 8 estão representados pela cor
vermelha, resultado da topologia.
a) b)
Figura 5.11: a) Diagrama de Corpo Livre do Problema: b) ½ de Simetria da Estrutura
A Figura 5.12 (a) representa o resultado da estrutura utilizando uma malha
com 231 elementos; a Figura 5.12 (b), simula a mesma estrutura apresentada na
Figura 5.12 (a), com os elementos da malha duplicados e espelhados tomando-se
como referência a condição de simetria do problema.
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 100
a) b)
Figura 5.12: Resultado do Problema: a) Malha com 231 Elementos. b) Malha com 462
Elementos
A Figura 5.13 mostra o resultado do problema após o primeiro nível de refino
com adaptatividade h.
Figura 5.13: Resultado do Problema com Malha apresentando 1.510 elementos (1º nível de
refino)
A Figura 5.14 apresenta o resultado do problema após o segundo nível de
refino com adaptatividade h.
Figura 5.14: Resultado do Problema com Malha apresentando 9.934 elementos (2º nível de
refino)
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 101
A Figura 5.15 mostra o resultado final da topologia retirando-se os elementos
com densidade inferior a 0, 8 .
Figura 5.15: Resultado do Problema com Malha apresentando 9.934 elementos (2º nível de
refino), retirando os elementos com densidade inferior a 0,8.
b) Viga bi-apoiada com carga aplicada na parte central inferior:
O problema consiste em um bloco, conforme ilustrado na Figura 5.16, cujas
dimensões são a 6uc , b 6uc e c 1uc . Ao bloco, foi considerado a condição de
contorno de simetria, a fim de diminuir o tempo de processamento do problema. No
modelo simulou-se ½ estrutura contendo 1.878 elementos e 566 nós, e após o primeiro
nível de refino h-adaptativo o problema apresentou 10.194 elementos e 2.370 nós. A
estrutura foi analisada aplicando-se uma carga distribuída de 6146,9 10 ucdw e
utilizando-se uma fração de volume de 30%. O bloco está fixo nas extremidades
inferiores nas três direções, ou seja, com deslocamento prescrito 0, 0,0 .
Os elementos com densidade acima de 0, 8 estão representados pela cor
vermelha, resultado da topologia, Figura 5.19.
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 102
Figura 5.16: Problema de otimização de uma viga bi-apoiada com carga aplicada na parte
central inferior.
A Figura 5.17 (a) representa o resultado da estrutura utilizando uma malha
com 1.878 elementos; a Figura 5.17 (b), simula a mesma estrutura representada na
Figura 5.17 (a), com os elementos da malha duplicados e espelhados tomando-se
como referência a condição de simetria do problema.
a) b)
Figura 5.17: Resultado do Problema: a) Malha com 1.878 elementos. a) Malha com 3.756
elementos.
A Figura 5.18 mostra o resultado do problema após o primeiro nível de refino
com adaptatividade h.
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 103
Figura 5.18: Resultado do Problema com Malha apresentando 20.388 elementos (1º nível de
refino)
A Figura 5.19 mostra o resultado final da topologia retirando-se os elementos
com densidade inferior a 0, 8 .
Figura 5.19: Resultado do Problema com Malha apresentando 20.388 elementos (1º nível de
refino), retirando os elementos com densidade inferior a 0,8.
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 104
5.2 Minimização de Massa em Implantes Dentários
Nesta seção é proposta uma formulação de otimização topológica
tridimensional também combinada a um processo de refino h-adaptativo que tem por
objetivo proporcionar leiautes competitivos e de alta definição, de modo a minimizar
a massa e atender a um critério de tensão.
Segundo Costa Jr. (2003), é definitivo a consideração de restrições de tensão
para fins de manufatura no ponto de vista da engenharia. As considerações destas
restrições envolvem algumas dificuldades numéricas: A necessidade de se considerar
um grande número de restrições, necessárias para uma aproximação adequada do
critério paramétrico de tensão local. E o fato das restrições de tensão apresentar um
comportamento altamente não linear, com respeito às variáveis de projeto, o que
requer a utilização de algoritmos de programação matemática muito robusta.
Com o aumento da complexidade do algoritmo de otimização e da análise de
sensibilidade, o custo computacional para a aplicação do método de otimização
topológica, que já envolve um número elevado de variáveis de projeto, é acrescido
significativamente.
A transformação de um critério de tensão local para um critério de medida
global é um modo de evitar a utilização de um grande número de restrições. A
medida de tensão global é implementada como uma única restrição, reduzindo
consideravelmente o custo computacional necessário para resolver o problema de
otimização.
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 105
O problema de otimização topológica sob restrições de tensão local está sujeito
a problemas de singularidade, devido à degeneração do espaço de projeto. A região
factível do espaço de projeto contém apêndices degenerados, onde o algoritmo de
otimização tem grande dificuldade de atingir o ótimo sem violar a restrição de tensão.
Regiões de baixa densidade permanecem às vezes altamente deformadas, ou seja,
quando a densidade tende para o limite inferior nestas regiões, o estado de tensão na
microestrutura tende para um valor não nulo superior ao limite de tensão. Portanto,
o procedimento de otimização não consegue remover o material nesta região sem
violar a restrição de tensão. O paradoxo é que, se o material fosse totalmente
removido, a restrição de tensão obviamente não estaria ativa.
Para contornar o problema de singularidade, considera-se uma relaxação e na
restrição de tensão, conforme proposto por Cheng e Guo (1997). Esta técnica de
perturbação das restrições, resulta em uma relaxação dos limites de tensão em regiões
de baixa densidade.
Neste trabalho, o método faz uso de uma microestrutura intermediária
artificial do tipo SIMP (Solid Isotropic Material with Penalty), mesma metodologia
adotada no item 5.1.2, onde a equação constitutiva homogeneizada é função somente
da densidade relativa do material. Para estabilizar a solução e assim evitar problemas
de tabuleiro, impõem-se restrições de estabilidade, de modo a controlar as variações
de densidade em cada direção. As equações de estado são aproximadas pelo Método
dos Elementos Finitos de Galerkin, com a utilização de um clássico elemento finito
tetraédrico de quatro nós, designado neste trabalho por TETRA4, o qual interpola
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 106
linearmente o campo de densidades relativas, além das componentes do campo de
deslocamentos.
Na solução do problema discreto de otimização, foi aplicado o Método do
Lagrangiano Aumentado. Como consequência, o problema de otimização reduz-se à
solução de uma sequência de problemas de limites laterais do tipo caixa, o qual é
resolvido por um método de projeção de segunda ordem que utiliza um método de
quasi-Newton sem memória.
Visando a redução do custo computacional para a determinação da topologia
ótima, é considerada uma relaxação da restrição local de tensão, pela sua
transformação em um critério de medida global.
5.2.1 Formulação do Problema
O problema de otimização da massa pode ser formulado da seguinte forma:
Determinar a distribuição de densidade relativa do material, tal que seja solução
de:
min f
ρ (5.52)
Sendo f a função objetivo sujeito a:
a) Restrição de tensão:
*
1 0eq
y
, (5.53)
com *eq
a tensão equivalente e y a tensão de escoamento do material.
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 107
b) Restrições laterais:
inf sup0 e 0 , x x x (5.54)
c) Restrições de estabilidade:
2
20 , para , e ; .
dc d x y z
d
xx . (5.55)
5.2.2 Definição do Modelo Material
O modelo material utilizado foi do tipo SIMP, o mesmo considerado no
processo de minimização de flexibilidade citado no item 5.1.2.
No modelo proposto, define-se o módulo de elasticidade em termos da
densidade relativa.
E E o . (5.56)
Onde Eo é o módulo de elasticidade relativo ao material completamente denso e o
expoente é o parâmetro de penalidade microestrutural do modelo, considerado
nesta pesquisa como sendo 4 .
A equação constitutiva homogeneizada também estpa associada ao modelo
microestrutural, ver Equação (5.57):
oH D D . (5.57)
sendo o D a matriz que contém os parâmetros de elasticidade do elemento denso.
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 108
Para contornar o efeito do travamento volumétrico, também aplicou-se um
esquema de integração seletiva: calcula-se, separadamente, os termos volumétricos e
os termos referentes a parte de distorção, Equação (5.58):
( )H H Hvol dist
D D D . (5.58)
Sendo definido que
11
22
( ) e
( )
HH H
Hvol dist
0 0D 0D D
0 0 0 D (5.59)
e ainda
11
11 1
11
1 11 1 2
11 1
HE
D (5.60)
e
22
1 0 0
0 1 02 1
0 0 1
H E
D (5.61)
Separando os termos de rigidez volumétrica e de distorção, obtém-se:
vol dist K K K . (5.62)
Fazendo uso da equação constitutiva homogeneizada, define-se:
T Hvol vol
d
K B D B (5.63)
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 109
e
T Hdist dist
d
K B D B (5.64)
Para o esquema de integração seletiva, subintegra-se os termos volumétricos da
Equação (5.63), e integra-se de maneira completa os termos de distorção definidos na
Equação (5.64).
Além da consideração do modelo material, na propriedade mecânica do
material, devido ao objetivo desta seção ser minimizar a massa sujeito a um critério
de tensão, definiu-se uma medida para a tensão efetiva de acordo com os
trabalhos de Duysinx e Sigmund (1998) e Duysinx e Bendsoe (1998):
*
(5.65)
Definida a Equação (5.65), introduz-se uma restrição de tensão local, o qual
define um critério de falha do material em termos da tensão efetiva de von Mises:
* eq
eq y
(5.66)
onde y é a tensão admissível.
5.2.3 Critério de Tensão de Falha com Relaxação
A formulação da restrição de tensão estabelece que esta será imposta de acordo
com a densidade do material. Rearranjando a Equação (5.66), tem-se:
*
1 0eq
y
. (5.67)
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 110
Porém, a modificação proposta não é suficiente para evitar problemas de
singularidade devido degeneração do espeço de projeto. Uma técnica para contornar
esta dificuldade é reformular o problema como uma sequência de problemas com
características mais atraentes, cujas soluções ótimas poderão ser alcançadas com
menor esforço computacional, Coutinho (2006). A técnica denominada de perturbação
das restrições, relaxação e , proposta por Cheng e Guo (1997) foi implementada neste
trabalho e resulta em uma relaxação dos limites de tensão nas regiões de baixa
densidade.
*
sup1eq
y
e
. (5.68)
Esta relaxação atua sobre a parte degenerada do espaço de projeto,
possibilitando a criação e remoção de furos sem violar a restrição de tensão. Isto é,
para cada 0e , o problema relaxado é caracterizado por um espaço de projeto não
tanto degenerado e o fator sup em e garante que a restrição de tensão real está
imposta para sup . Desta forma, torna-se mais acessível atingir um ótimo local
com algoritmos de otimização baseados nas condições de Karush-Kuhn-Tucker, ver
Coutinho (2006).
5.2.4 Definição das Constantes cx, cy e cz
Na definição das constantes , e x y z
c c c , considerou-se um elemento genérico
conforme mostrado na Figura 5.2, sendo , , ,i i i i
x y zx p/ 1,..., 4i as
coordenadas dos vértices e , ,m m m m
x y zx as coordenadas do baricentro do
elemento finito tetraédrico de quatro nós, ver Equação (5.69).
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 111
min
min p/ 1,...,4ii
d d i (5.69)
é definido que
min
1e e e ex y z
c c c cd
. (5.70)
Uma modificação dos limites ex
c , ey
c e ez
c , deve ser realizada se no mínimo uma
das faces do elemento coincide com algum plano de simetria, ver item 5.1.3.
Para cada plano de simetria, considera-se que a face do elemento seja
coincidente ao respectivo plano de simetria. Por exemplo, para o plano de simetria
xz , deve-se ter: 0w e / 0z . Sendo assim, a imposição da última condição
é alcançada denotando 0ez
c . De forma similar, considera-se aos demais planos de
simetria.
5.2.5 Formulação do Problema com Relaxação
Definido o critério de falha com relaxação, item 5.2.3, subseção 5.2.1, o
problema tridimensional será reformulado da seguinte forma:
1min d
x . (5.71)
Sujeito a restrição de tensão com relaxação:
*
sup1eq
y
e
. (5.72)
As restrições laterais e as restrições de estabilidade, conforme definidas nas Equações
(5.54) e (5.55), respectivamente.
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 112
a) Restrição de Tensão com Relaxação Integrada
Com o propósito de reduzir o custo computacional do problema, impôs-se neste
trabalho, conforme sugerido por Costa Jr. e Alves (2003), um critério global de
tensão. O Critério é calculado de forma integral, analisando-se todo o campo de
tensão, tornando-o mais eficiente que critérios pontuais propostos na literatura.
A restrição de tensão efetiva com relaxação e , definida na Equação (5.68),
satisfeita para todo x , representa uma restrição paramétrica. Desta forma, o
método consiste na relaxação da condição pontual (critério local) através da
consideração de uma restrição integrada, isto é, da utilização de um critério global:
e
1
*1
1 1 0 .
p p
eq
y
d
(5.73)
Com ( ) max 0, ( )f fx x , representando a parte positiva de ( )f x .
A medida global definida na Equação (5.73) é denominada média-p integral.
No caso em que p , a restrição média-p aproxima, no limite, a restrição pontual
e*
max 1 1 0eq
y
x. (5.74)
Quando p o problema torna-se mal-condicionado, fazendo com que o
critério de falha integral tenda a ser influenciado por apenas um valor de pico do
campo de tensão, enquanto em outros pontos a tensão é ignorada. Isto pode ocasionar
um comportamento oscilatório do algoritmo de otimização, possibilitando a falha da
convergência do processo de otimização. Desta forma, a escolha do valor de p deve
resultar de um compromisso de resultados numéricos.
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 113
5.2.6 Formulação do Problema de Ótimo no Contínuo
a) Método Lagrangeano Aumentado
O problema de otimização a ser resolvido, já definido pelas Equações (5.71),
(5.73) e (5.55), pode ser formulado utilizando o Método do Lagrangiano Aumentado
que consiste em transformar um problema com restrições em um problema
equivalente de minimização sem restrições, que é a solução de uma sequência de
problemas de mínimo com restrições laterais. A abordagem aqui será feita na forma
de algoritmo com vistas à formulação computacional, o qual segue:
1. Definir valores iniciais: 00,5
k
, 0k , 0k , k 0 , 1, 0erro , k ,
k e tol .
2. Enquanto err tol , efetuar laço , caso contrário ir para o passo 3:
(i) Solução do problema de minimização com restrições laterais:
min , , ; , , k k k kA
£ X (5.75)
sendo rinf sup
| ; 1, ,ni n
i n X ¡ … e n
n é o número de nós da malha.
Definindo
1
31
1 1
1, , ; , ,
1, ,
e
e
nk k k k k k
A e e eke
nk k
ej ej j ejkj ej
£ f g
g
(5.76)
Sendo definido que: f ρ é a função objetivo, , ,k ke e e
g é a restrição de
tensão com relaxação integrada e ( ( ), , )k kej ej j ej
g são as restrições de estabilidade.
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 114
Com:
2
( ) ( ) , se ( )2
, ,, se ( )
2 2
k kk k e
e e e ek k
k k k ke e ee e
e
g g g
gg
ρ ρ ρ
ρ (5.77)
e
2
( ) ( ) , se ( )2
( ( ), , )
, se ( )2 2
k kj ejk k
ej ej j ej ejk k
k k k kej ej j ejj ej j ej
ej
g g g
g
g
ρ ρ ρ
ρρ
(5.78)
para 1, , e 1,...,3e
e n j … .
Por conveniência, o índice , e d x y z é também denotado por 1,2 e 3j .
Desta forma,
3
1 1
1 1 e
n n n n
nejA e
k kj en n n nj
d£ ddfd d
(5.79)
com
4
n
e
n
dfd
(5.80)
sendo n
n o número de nós.
A sensibilidade de cada nó para cada elemento é definida por:
4
n
e e
n
f
ρ. (5.81)
E para cada nó da malha será:
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 115
ρ ρ1
e
n n
ne
n ne
df fd
. (5.82)
(ii) Atualização dos multiplicadores de Lagrange:
1 2max 0,k k kh
x (5.83)
e
1 2max 0, p/ 1,..., ; 1,..., 3.k k k
ej ej ej ej
g e n j
x (5.84)
(iii) Atualização do parâmetro de penalidade da Função Lagrangiana
Aumentada:
1 , se , 0,1
k k crit
kcrit
, (5.85)
e
1 , se , 0,1
k k crit
k j j j j j jcritjj
, (5.86)
(iv) Determinação do erro
1 1 1
1 1 2 2
13 3
max , max , max
e max
k k k k k ke e e ee e e
k ke ee
a b c
d
(5.87)
então, max , , ,erro a b c d .
3. Fim do laço.
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 116
5.2.7 Refino da Malha com Adaptatividade h
Será considerado o processo de refino conforme sugerido no item 5.1.5. A
solução do problema será dada através de uma sequencia de respostas do processo de
otimização, intercalada por um passo de refino h-adaptativo. Cada nível do processo é
obtido a partir de uma malha anterior e o número total de níveis de refinos h-
adaptativos a serem aplicados é definido de modo prescrito. O processo de suavização
também foi do tipo Laplaciano condicional, conforme descrito na subseção 5.1.5 (b).
Os estimadores de erro são os mesmos definidos na subseção 5.1.5 (c) e o critério de
refino foi apresentado na subseção 5.1.5 (d).
As principais vantagens na utilização do processo de refino estão relacionadas
com a melhor definição do contorno material, a redução do número de variáveis de
projeto e a diminuição do erro da solução da equação de estado.
5.2.8 Validação do Modelo de Otimização Proposto
Nesta subseção serão mostrados alguns resultados obtidos com a aplicação do
método otimização topológica 3D sob restrição de tensão. As respostas são
provenientes de exemplos clássicos, já conhecidos na literatura. O objetivo é validar a
formulação proposta. Por simplicidade, foi utilizado o mesmo módulo de Young para
todos os casos, 9116 10E ut o e Coeficiente de Poisson 0,34ν . Para melhor
visualização da topologia resultante foram descartados os elementos com densidade
abaixo de 0, 8 , conforme descrito na subseção 5.1.6.
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 117
a) Viga bi-apoiada com carga aplicada na parte central superior
O problema consiste em um bloco, conforme ilustrado na Figura 5.20, com
dimensões: a 6uc , b 6uc e c 0,5uc . Para diminuir o tempo de processamento
do problema, foi considerado ½ de simetria de uma estrutura com 1.002 elementos e
379 nós. A estrutura foi analisada aplicando-se uma carga distribuída de
6146,9 10 ucdw . O bloco está fixo nas três direções em sua extremidade inferior,
ou seja, com deslocamento prescrito 0, 0,0 . O caso foi avaliado com um nível de
refino, conforme pode ser verificado na Figura 5.24.
Figura 5.20: Diagrama de corpo livre para viga bi-apoiada com carga aplicada na parte
central: ½ de Simetria da Estrutura
A Figura 5.21 representa o resultado da topologia antes do processo de refino
h-adaptativo com uma malha contendo condições de simetria e 1.002 elementos.
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 118
Figura 5.21: Resultado do Problema: Malha inicial contendo 1.002 elementos.
A Figura 5.22 mostra o resultado da topologia antes do processo de refino h-
adaptativo da mesma malha apresentada na Figura 5.21, porém, duplicando-se e
espelhando-se os elementos da malha e tomando-se como referência a região de
simetria do problema, a malha contém 2.004 elementos.
Figura 5.22: Resultado do problema antes do processo de refino h-adaptativo: Malha
espelhada contendo 2.004 elementos.
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 119
A Figura 5.23 reprsenta o gráfico de função de falha da estrutura com 2.004
elementos no valor máximo de 1,21.
Figura 5.23: Gráfico de função de falha da malha espenhada contendo 2.004 elementos
A Figura 5.24 apresenta o resultado do problema após o primeiro nível de
refino com adaptatividade h, os elementos da malha foram duplicados espelhados na
região e tomou-se como base para o procedimento a simetria do problema, a malha
contém 2.432 elementos.
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 120
Figura 5.24: Resultado do Problema após o 1º nível de refino, malha contendo 2.432
elementos
A
Figura 5.25 mostra o gráfico da função de falha da estrutura com 2.432
elementos no valor máximo de 1,27 .
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 121
Figura 5.25: Gráfico de função de falha da malha espenhada contendo 2.004 elementos
A Figura 5.26 mostra o resultado final da topologia retirando-se os elementos
com densidade inferior a 0, 8 .
a) b)
Figura 5.26: Resultado final do problema após o 1º nível de refino, retirando os elementos
com densidade inferior a 0,8: a) Vista no plano xy. b) Vista isométrica.
b) Viga bi-apoiada com carga aplicada na parte central inferior:
O problema consiste em um bloco cujas dimensões são a 6uc , b 6uc e
c 0,5uc , conforme ilustrado na Figura 5.27. Ao bloco, foi considerado a condição de
contorno de simetria, a fim de diminuir o tempo de processamento do problema. No
modelo simulou-se ½ estrutura contendo 1.012 elementos e 381 nós. A estrutura foi
analisada aplicando-se uma carga distribuída de 6146,9 10 ucdw . O bloco está
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 122
fixo nas extremidades inferiores nas três direções, ou seja, com deslocamento prescrito
0, 0,0 .
Figura 5.27: Problema de otimização de uma viga bi-apoiada com carga aplicada na parte
central inferior.
A Figura 5.28 representa o resultado da topologia antes do processo de refino
h-adaptativo com uma malha contendo condições de simetria e 1.012 elementos
Figura 5.28: Resultado do Problema: Malha contendo 1.012 elementos.
A Figura 5.29 mostra o resultado da topologia antes do processo de refino h-
adaptativo da mesma malha apresentada na Figura 5.28, porém, duplicando-se e
espelhando-se os elementos da malha e tomando-se como referência a região de
simetria do problema, a malha contém 2.024 elementos.
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 123
Figura 5.29: Resultado do problema antes do processo de refino h-adaptativo: Malha
espenhada contendo 2.024 elementos.
A Figura 5.30 mostra o gráfico da função de falha da estrutura com 2.024
elementos no valor máximo de 1,27 , localizada nos pontos de fixação.
Figura 5.30: Gráfico de função de falha da malha espenhada contendo 2.024 elementos.
A Figura 5.31 apresenta o resultado do problema após o primeiro nível de
refino com adaptatividade h, os elementos da malha foram duplicados espelhados na
região e tomou-se como base para o procedimento a simetria do problema, a malha
contém 11.098 elementos.
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 124
Figura 5.31: Resultado do problema após o 1º nível de refino h-adaptativo: Malha espenhada
contendo 11.098 elementos.
A Figura 5.32 representa o gráfico da função de falha da estrutura com 11.098
elementos no valor máximo de 1, 42 , localizada nos pontos de fixação.
Figura 5.32: Gráfico de função de falha da malha espenhada após o 1º nível de refino h-
adaptativo: Malha espenhada contendo 23.575 elementos.
A Figura 5.33 mostra o resultado final da topologia retirando-se os elementos
com densidade inferior a 0, 8 .
Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 125
a) b)
Figura 5.33: Resultado final do problema (1º nível de refino), retirando os elementos com
densidade inferior a 0,8: a) Vista no plano xy. b) Vista isométrica.
Capítulo 6
Resultados e Discussões
6.1 Ensaio de Nitretação a Plasma em Cátodo Oco dos Disco
de Ti-CP Grau II
O aspecto visual dos discos apresentaram uma coloração amarelada condizente
com resultados obtidos na pesquisa de referência, ver Guerra Neto, Silva e Alves
(2009).
A Figura 6.1, mostra o detalhe da coloração obtida após o processo de
nitretação, característico de um filme de nitreto de titânio estequiométrico.
Figura 6.1: Disco de Ti-CP Grau II após o Tratamento Superficial.
6.2 Ensaio de Molhabilidade dos Discos de Ti
A quantidade de líquidos sobre uma superfície metálica está diretamente
relacionada as tensões superficiais atuantes na superfície do metal. Este fenômeno é
de extrema importância para a osseointegração. O sangue tem na sua composição
90% de água, esta capacidade de adsorção de água pela superfície, conhecida como
Capítulo 6 – Resultados e Discussões 126
molhabilidade, é de fundamental importância para o sucesso na adesão celular e
consequentemente osseointegração, Zhao et al. (2011).
No presente trabalho, observou-se que as amostras nitretadas apresentaram
resultados de molhabilidade superior às amostras sem tratamento. Verificou-se que
nas amostras nitretadas, houve um rápido espalhamento da gota séssil após os
primeiros 30 segundos. Destaca-se que o mesmo não ocorreu com a molhabilidade do
disco não nitretado, a gota não se acomodou na superfície satisfatoriamente, Figura
6.2 à Figura 6.4.
a) b)
Figura 6.2: Tempo de Ensaio: 01 segundo. a) Disco de Ti sem Tratamento; b) Disco de Ti
com Tratamento.
a) b)
Figura 6.3: Tempo de Ensaio: 30 segundos. a) Disco de Ti sem Tratamento; b) Disco de Ti
com Tratamento.
Capítulo 6 – Resultados e Discussões 127
a) b)
Figura 6.4: Tempo de Ensaio: 60 segundos. a) Disco de Ti sem Tratamento; b) Disco de Ti
com Tratamento.
Medidas do ângulo de contato para as amostras com tratamento e sem
tratamento revelaram uma grande diferença de valores, conforme mostrado no gráfico
da Figura 6.5.
Figura 6.5: Molhabilidade dos discos de Ti com e sem tratamento.
De acordo com os resultados, verificou-se que após 60s, a gota séssil na
superfície não nitretada apresentava um ângulo de contato de 45°; enquanto na
superfície nitretada, um valor de 19°.
Capítulo 6 – Resultados e Discussões 128
6.3 Ensaio de Rugosidade dos Discos de Ti
A rugosidade é uma grandeza importante a ser analisada em uma superfície.
Estudos mostram que superfícies com rugosidades moderadas demonstram melhores
respostas quanto a osseointegração, Brandão et al. (2010).
Os discos de titânio nitretados apresentaram rugosidade de 0,45μm, enquanto
que os sem tratamento a rugosidade foi de 0,20μm, ver Figura 6.6.
Figura 6.6: Rugosidade superficial dos discos tratados e sem tratamento.
Comparando os resultados da molhabilidade com os da rugosidade, observou-se
uma relação direta entre essas grandezas, embora outros trabalhos produzidos em
laboratório tenham mostrado que nem sempre existe essa concordância, Alves Jr.
(2005). Verificou-se que amostras tratadas a plasma com catodo oco apresentaram
uma rugosidade mediana comparada a outros trabalhos publicados na literatura. No
entanto, em relação a molhabilidade o valor apresenta-se significativamente superior,
Guerra Neto, Silva e Alves (2009).
Capítulo 6 – Resultados e Discussões 129
6.4 Microscopia Eletrônica de Varredura dos Discos de Ti
A superfície de titânio nitretado a plasma, quando observada por MEV,
apresentou uma textura rugosa e uniforme, com precipitados (pontos brancos)
dispersos e com um caminho médio entre eles de 5 µm, Figura 6.7.
Superfícies com estas características favorecem o processo de adesão celular
osteoblástica aos biomateriais, ou seja, a adesão das células localizadas na superfície
do osso, Gebran e Wassal (2007).
(a) (b)
Figura 6.7: Fotomicrografias em MEV da Superfície, (a) Nitretada e (b) Sem Tratamento.
6.5 Caracterização de Fases na Superfície dos Discos de Ti
Na Figura 6.8 está apresentado o difratograma (Intensidade8 em a.u versus 2
em graus) do titânio nitretado e sem tratamento. Os espectros DRX tratados
apresentaram reflexões de -TiNδ bem definidos e deslocamento de picos referentes à
difração dos diferentes planos cristalográficos do Ti-CP. Este deslocamento está
8 A intensidade é medida em unidades de absorvância (u.a), e é definida como sendo a capacidade
intrínseca dos materiais em absorver radiações em frequência específica.
Capítulo 6 – Resultados e Discussões 130
associado à presença do nitrogênio em solução sólida, na rede cristalina do Titânio,
como elemento instesticial.
Segundo Alves Jr. et al. (2005), picos são mais intensos quando a temperatura
e o tempo de tratamento aumentam, mantendo constante a pressão de trabalho.
Figura 6.8: Difratogramas de raios-X das amostras de Ti Puro e Ti Nitretado
6.6 Ensaio de Nitretação a Plasma em Cátodo Oco dos
Implantes Dentários
O aspecto visual, dos corpos de prova apresentaram uma camada superficial de
cor amarelada condizente com resultados obtidos na pesquisa de referência, ver
Guerra Neto, Silva e Alves (2009).
A Figura 6.9 ilustra o posicionamento dos corpos de prova após o processo de
nitretação em cátodo oco. A Figura 6.10, mostra o detalhe da coloração obtida após o
Capítulo 6 – Resultados e Discussões 131
processo de nitretação, característico de um filme de nitreto de titânio
estequiométrico.
Figura 6.9: Corpos de prova nitretados a plasma
Figura 6.10: Implante Dentário após o Tratamento Superficial
6.7 Caracterização de Fases na Superfície dos Implantes
Dentários
A Figura 6.11 apresenta a Espectrometria Raman do implante tratado a
plasma em cátodo oco com cilindro.
No espectro, pode-se observar uma leve formação de filme de Nitreto de
Titânio sobre o implante devido a presença de uma banda de absorção localizada
entre 200 a 1350cm− e outro pico em torno de −1540cm .
Capítulo 6 – Resultados e Discussões 132
Figura 6.11: Espectro Raman no Implante Dentário após o Tratamento Superficial de Cátodo
Oco com Ciclindro
6.8 Microdureza Vickers nos Implantes Dentários
A Tabela 6.1 mostra o valor médio obtido para a dureza Vickers do ensaio de
microdureza dos implantes nitretados a plasma e dos implantes sem tratamento,
conforme norma ABNT NBR NM ISO 6507-1:2008.
Os resultados mostraram que o implante nitretado a plasma apresentou uma
dureza de aproximadamente quatro vezes maior que o implante sem tratamento.
Tabela 6.1: Média e Desvio Padrão do Ensaio de Microdureza Vickers em Implantes
Dentários.
Grupo Média Desvio Padrão
Implante Sem Tratamento 417,33 HV 9,67
Implante Com Tratamento 1738,00 HV 16,06
Capítulo 6 – Resultados e Discussões 133
6.9 Resultado do Ensaio de Fadiga em Flexão dos Implantes
Dentários
Em teste de fadiga, realizado conforme norma ABNT NBR ISO 14801:2007
que regulamenta a aprovação dos produtos na certificação FDA (U.S. Food and Drug
Administration), o sistema de implante Hexágono Externo da empresa
DENTOFLEX® Sistema de Implantes com tratamento superficial Nitretação a
Plasma em Cátodo Oco, não apresentou sinal de falha após 5 milhões de ciclos, sob
frequência de 15Hz, Carga de 84,46N e Momento Fletor Máximo de 0.52Nm.
Pesquisas mostram que os sistemas de implante podem apresentar fraturas por
fadiga e estas falhas ocorrem devido ao processo mastigatório cuja duração é de
aproximada de 20 minutos por dia ou 80 ciclos por minuto, estimando-se, desta
forma, cerca de 1600 ciclos mastigatórios por dia, ver Petterson e Johns (1992) e
Mattos, Elias e Mota (2009). Baseado nestes dados, pode-se calcular, para o implante
estudado na pesquisa, um carregamento teórico equivalente a aproximadamente 8
anos e meio de utilização submetido a um valor máximo de carga dinâmica.
A Tabela 6.2 resume os resultados obtidos no ensaio estático.
Tabela 6.2: Resultado do Ensaio Estático.
Amostra
Força de
Escoamento
(N)
Momento no
Escoamento
(Nm)
Força Máxima
(N)
Momento
Máximo (Nm)
01E 173,12 1,06 442,25 2,59
Capítulo 6 – Resultados e Discussões 134
A força e o momento obtido no escoamento foi determinada por meio do ensaio
estático, Figura 6.12, como sendo a interseção da linha paralela à porção elástica da
curva: Força versus Deslocamento, deslocada em 0,2% do deslocamento total.
A Figura 6.13 mostra o corpo de prova e modo de falha após o ensaio. A
deformação foi apresentada na conexão munhão e implante.
Figura 6.12: Curva Força versus Deslocamento da amostra 01 obtida no Ensaio Estático.
Capítulo 6 – Resultados e Discussões 135
Figura 6.13: Amostra após Ensaio Estático. Modo de Falha: Deformação na Conexão
Munhão-Implante
Capítulo 6 – Resultados e Discussões 136
A Tabela 6.3 resume os resultados obtidos no ensaio dinâmico de fadiga.
Tabela 6.3: Resultado do Ensaio Dinâmico de Fadiga em Flexão.
Amostra Força Máxima (N)* Momento Máximo (Nm) Número de Ciclos
02 -337,86 2,08 31,16 10
03 -253,39 1,56 41,52 10
04 -168,93 1,04 42,17 10
05 -84,46 0,52 65×10
06 -126,75 0,78 61,11×10
07 -84,46 0,52 65×10
08 -84,46 0,52 65×10
09 -168,93 1,04 41,55 10
10 -253,39 1,56 30,99 10
11 -337,86 2,08 30,62 10
12 -295,67 1,82 31,34 10
13 -295,67 1,82 30,65 10
* O sinal negativo indica carga de compressão.
Capítulo 6 – Resultados e Discussões 137
A Figura 6.14 apresenta a curva obtida no ensaio de fadiga, Momento Máximo
versus Número de Ciclos.
Figura 6.14: Curva Obtida no Ensaio de Fadiga. Configuração Utilizada no Ensaio de Fadiga
para os Corpos de Prova.
A Figura 6.15 apresenta o bloco fabricado de Poliacetal contendo dezessete
amostras. A amostra 01E foi utilizada para realizar o ensaio estático e as demais
direcionadas ao ensaio de fadiga. Conforme citado em norma, ABNT NBR ISO
14801:2007, preferencialmente três amostras devem ser ensaiadas com pelo menos
quatro forças diferentes, desta forma das dezesseis amostras expostas, doze foram
utilizadas para execução do ensaio de fadiga.
Capítulo 6 – Resultados e Discussões 138
Figura 6.15: Amostras após o Ensaio de Fadiga.
As Figura 6.16 e Figura 6.17 mostram as fraturas durante o ensaio de fadiga e
a Figura 6.18, detalhe no local do rompimento.
Figura 6.16: Amostras Fraturadas durante o Ensaio de Fadiga: Amostras 02, 03, 04, 06 e 09.
Figura 6.17: Amostras Fraturadas durante o Ensaio de Fadiga: Amostras 10 a 13.
Capítulo 6 – Resultados e Discussões 139
(a) (b)
Figura 6.18: Detalhe do Aspecto das Fraturas.
Estudos mostram que alguns materiais, quando submetidos a algum tipo de
tratamento tendem a elevar a sua dureza e consequentemente, diminuir a ductilidade
e a tenacidade do material, Alves (2011).
Os resultados do ensaio de fadiga, em implantes dentários tratados
superficialmente de acordo com a metodologia de nitretação a plasma, adotada nesta
pesquisa, mostraram um limite de fadiga 52,17% inferior quando comparado ao
resultado do implante sem tratamento, relatório 585/11, rev. 0.
A Nitretação a Plasma é um processo que eleva a dureza superficial, resultado
este mostrado no ensaio de microscopia e confirmado pela análise de microdureza do
material, conforme mostrado nos itens 6.10 e 6.8. O aumento da dureza diminui a
ductilidade e a capacidade do material absorver energia, tornando-o mais frágil,
diminuindo assim o limite de fadiga em relação ao limite de fadiga do material sem
tratamento.
Capítulo 6 – Resultados e Discussões 140
6.10 Microscopia Eletrônica de Varredura dos Implantes
Dentários
Uma grandeza muito importante para se avaliar o desempenho no contato
entre duas superfícies é a textura superficial.
A Figura 6.19 e a Figura 6.20 ilustram a micrografia da região inferior, frontal
dos implantes sem tratamento e com tratamento, respectivamente.
A Figura 6.19 mostra a textura da superfície do implante comercial sem
tratamento, típica de usinagem, com uma superfície heterogênea, micro fissuras e
defeitos. A Figura 6.20 mostra a superfície do implante nitretado, diferentemente do
implante sem tratamento, a análise da superfície do implante nitretado indica que a
mesma foi fortemente texturizadas pelo bombardeamento das partículas do plasma.
As linhas paralelas circunferenciais, vistas na Figura 6.19(b), não são mais visíveis. A
superfície mostra formação de microcavidades e aparenta ser mais áspera que a do
implante sem tratamento.
a) b)
Figura 6.19: Fotomicrografias em MEV do Implante sem Tratamento (a) Vista Frontal e (b)
Detalhe com aumento de 1000x.
Capítulo 6 – Resultados e Discussões 141
a) b)
Figura 6.20: Fotomicrografias em MEV do Implante com Tratamento (a) Vista Frontal e (b)
Detalhe com aumento de 1000x.
A Figura 6.21, mostra a seção transversal do implante nitretado a plasma em
cátodo oco após a fratura durante o ensaio de fadiga. O objetivo desta análise foi
verificar como se deu o início da fratura e sua característica em cada uma das fases
presentes.
As ranhuras radiais mostradas em detalhe nas Figura 6.21 (b) e Figura 6.23
(c), indicam que a trinca tendeu a se propagar da região externa para a interna do
implante. A microestrutura mostrada em detalhe Figura 6.21 (c) revela a região de
titânio puro do implante nitretado com um comportamento característico de fratura
dúctil.
As microestruturas ilustradas na Figura 6.22 e na Figura 6.23 mostram em
detalhe a quantidade de filme de nitreto de titânio depositado no implante dentário,
com a formação de um anel em sua seção transversal, de espessura aproximadamente
0,05mm, ou seja, 50 m , desconsiderando a espessura do filete da rosca igual a
0,175mm. De acordo com as figuras, os detalhes mostram uma textura típica de
fratura frágil.
Capítulo 6 – Resultados e Discussões 142
Figura 6.21: Seção Transversal do Implante após Fratura Detalhando a Região de Titânio
Puro - Fratura Dúctil.
Capítulo 6 – Resultados e Discussões 143
Figura 6.22: Seção Transversal do Implante após Fratura Detalhando a Região Externa com
deposição de Nitreto de Titânio - Fratura Frágil.
Capítulo 6 – Resultados e Discussões 144
Figura 6.23: Seção Transversal do Implante após Fratura Detalhando a Região Interna com
deposição de Nitreto de Titânio - Fratura Frágil.
Capítulo 6 – Resultados e Discussões 145
6.11 Otimização Topológica Estrutural em Implantes Dentários
De acordo com as respostas obtidas nos processos de otimização topológica, as
geometrias otimizadas do implante dentário em estudo apresentaram ausência de
material próximo ao início da formação da rosca e uma concavidade na extremidade
inferior da geometria. Fato este positivo quando relacionado à aderência e ao
crescimento do osso em relação ao implante. Desta forma, a utilização de um material
biodegradável, adicionalmente, em contato com o material do implante tenderia a
facilitar o processo de instalação, conservando a geometria original do mesmo, e
consequentemente, favorecendo a osseointegração, promovendo o crescimento e a
adesão do osso na parte onde o material tenderia a degradar-se, ocupando o espaço
com ausência de material do implante otimizado. Estudos recentes mostram a
utilização de revestimentos biodegradáveis que permitem realizar implantes. A
técnica consiste em cobrir o implante com um revestimento biodegradável que, em
contato com o osso, se dissolve e, durante este processo de degradação é capaz de
liberar compostos de silício e outras moléculas bioativas induzindo a criação de osso,
Suay (2013).
6.11.1 Minimização da Flexibilidade em Implantes Dentários
O problema ilustrado na Figura 6.24 descreve um implante hexágono externo
com 13mm de comprimento e 3,75mm de diâmetro, fabricado de titânio, cujo módulo
de Young é 9116 10 .E Pa o
Dois casos de carga foram simulados, conforme exposto na seção 4.3:
Capítulo 6 – Resultados e Discussões 146
Caso 1: Tensão de escoamento, aplicada, na área da região do hexágono
externo do implante, de forma que a direção da carga fizesse um ângulo de 30o com o
eixo central do implante, ver Figura 6.24 (b). Considerou-se as cargas conforme o
critério de falha de von Mises: 6 242,40 10 N/mL
w e 6 2127,21 10 N/mT
w .
Caso 2: Tensão de escoamento compressiva de 6 2146,9 10 N/mw aplicada
na região do hexágono externo do implante dentário, ver Figura 6.24 (c)
Para diminuir o esforço computacional, considerou-se ¼ de simetria com uma
malha inicial de 1.755 elementos.
Quanto às condições de contorno, considerou-se na parte externa lateral do
implante, identificada com o deslocamento prescrito 1 , livre ao longo do
comprimento do implante e fixo nas demais direções e para o deslocamento prescrito
2 , fixo ao longo do comprimento do implante e livre nas demais direções, simulando
o contato osso/implante.
Os elementos com densidade acima de 0, 8 estão representados pela cor
vermelha, resultado da topologia.
Duas frações de volumes foram consideradas pra os dois casos de carga do
problema, apresentando uma fração de volume de 80% e utilizando 90% de volume de
material.
Capítulo 6 – Resultados e Discussões 147
a) b) c)
Figura 6.24: Diagrama de Corpo Livre do Problema: a) Condições de contorno. b) Caso 1. C)
Caso 2.
a) Caso 1:
A Figura 6.25 representa o resultado da topologia com ½ do implante dentário,
antes do processo de refino h-adaptativo, a uma fração de volume de 80%.
a) b)
Figura 6.25: Resultado do Problema com malha apresentando 3.510 elementos, 0, 80 : a)
Região interna do implante dentário b) Região externa do implante dentário.
A Figura 6.26 representa o resultado da topologia com ½ do implante dentário
a uma fração de volume de 80%, após o primeiro nível de refino h-adaptativo.
Capítulo 6 – Resultados e Discussões 148
a) b)
Figura 6.26: Resultado do Problema com malha apresentando 25.296 elementos, 0, 80 :
a) Região interna do implante dentário b) Região externa do implante dentário.
A Figura 6.27 representa o resultado da topologia com ½ do implante dentário,
antes do processo de refino h-adaptativo, a uma fração de volume de 90%.
a) b)
Figura 6.27: Resultado do Problema com malha apresentando 3.510 elementos, 0,90 : a)
Região interna do implante dentário b) Região externa do implante dentário.
A Figura 6.28 representa o resultado da topologia com ½ do implante dentário
a uma fração de volume de 90%, após um nível de refino h-adaptativo.
Capítulo 6 – Resultados e Discussões 149
a) b)
Figura 6.28: Resultado do Problema com malha apresentando 25.728 elementos, 0,90 :
a) Região interna do implante dentário b) Região externa do implante dentário.
b) Caso 2:
A Figura 6.29 representa o resultado da topologia com ½ do implante dentário,
antes do processo de refino h-adaptativo, a uma fração de volume de 80%.
a) b)
Figura 6.29: Resultado do Problema com malha apresentando 3.510 elementos, 0, 80 : a)
Região interna do implante dentário b) Região externa do implante dentário.
A Figura 6.30 representa o resultado da topologia com ½ do implante dentário
a uma fração de volume de 80%, após o primeiro nível de refino h-adaptativo.
Capítulo 6 – Resultados e Discussões 150
a) b)
Figura 6.30: Resultado do Problema com malha apresentando 25.198 elementos, 0, 80 :
a) Região interna do implante dentário b) Região externa do implante dentário.
A Figura 6.31 representa o resultado da topologia com ½ do implante dentário,
antes do processo de refino h-adaptativo, a uma fração de volume de 90%.
a) b)
Figura 6.31: Resultado do Problema com malha apresentando 3.510 elementos, 0,90 : a)
Região interna do implante dentário b) Região externa do implante dentário.
A Figura 6.32 representa o resultado da topologia com ½ do implante dentário
a uma fração de volume de 90%, após um nível de refino h-adaptativo.
Capítulo 6 – Resultados e Discussões 151
a) b)
Figura 6.32: Resultado do Problema com malha apresentando 25.728 elementos, 0,90 :
a) Região interna do implante dentário b) Região externa do implante dentário.
6.11.2 Minimização de Massa em Implantes Dentários
Nessa subseção, serão analisados os mesmos casos de carga descritos na
subseção 6.11.1, porém para abordagem de minimização de massa em implantes
dentários.
O problema ilustrado na Figura 6.24, descreve um implante hexágono externo
com 13mm de comprimento e 3,75mm de diâmetro. O implante em estudo é fabricado
de titânio e apresenta módulo de Young igual a 9116 10 .E Pa o
Com o objetivo de diminuir o esforço computacional, foi considerado ¼ de
simetria do implante e uma malha inicial apresentando 1.755 elementos.
As condições de contorno expostas na subseção 6.11.1 também foram
mantidas.
Capítulo 6 – Resultados e Discussões 152
a) Caso 1:
A Figura 6.33 representa o resultado da topologia com ½ do implante dentário,
antes do processo de refino h-adaptativo.
a) b)
Figura 6.33: Resultado do Problema com malha apresentando 3.510 elementos: a) Região
interna do implante dentário b) Região externa do implante dentário.
A Figura 6.34 mostra o gráfico da função de falha da estrutura com 3.510
elementos no valor máximo de 1,28 .
a) b)
Figura 6.34: Gráfico de função de falha da malha antes do processo de refino h-adaptativo.
Capítulo 6 – Resultados e Discussões 153
A Figura 6.35 apresenta o resultado do problema após o primeiro nível de
refino com adaptatividade h, a malha contém 23.104 elementos.
a) b)
Figura 6.35: Resultado do problema após o 1º nível de refino h-adaptativo.
A Figura 5.32 representa o gráfico da função de falha da estrutura com 23.104
elementos no valor máximo de 1,75 .
a) b)
Figura 6.36: Gráfico de função de falha da malha após o processo de refino h-adaptativo.
Capítulo 6 – Resultados e Discussões 154
b) Caso 2:
A Figura 6.37 representa o resultado da topologia com ½ do implante dentário,
antes do processo de refino h-adaptativo.
a) b)
Figura 6.37: Resultado do Problema com malha apresentando 3.510 elementos: a) Região
interna do implante dentário b) Região externa do implante dentário.
A Figura 6.38 mostra o gráfico da função de falha da estrutura com 3.510
elementos no valor máximo de 1, 39 .
a) b)
Figura 6.38: Gráfico de função de falha da malha antes do processo de refino h-adaptativo.
Capítulo 6 – Resultados e Discussões 155
A Figura 6.39 apresenta o resultado do problema após o primeiro nível de
refino com adaptatividade h, a malha contém 11.994 elementos.
a) b)
Figura 6.39: Resultado do problema após o 1º nível de refino h-adaptativo.
A Figura 5.32 representa o gráfico da função de falha da estrutura com 11.994
elementos no valor máximo de 1, 44 .
a) b)
Figura 6.40: Gráfico de função de falha da malha após o processo de refino h-adaptativo.
Capítulo 7
Considerações Finais
7.1 Caracterização e Análise Experimental
Baseado no que foi proposto e realizado pela avaliação do desempenho das
amostras nitretadas em plasma:
1. A superfície das amostras nitretadas apresentaram melhores resultados no
que se refere a molhabilidade e rugosidade, quando compadados as
amostras sem tratamento;
2. A análise em MEV mostrou que a fratura ocorreu da face externa para a
interna do implante;
3. A análise em MEV mostrou que em regiões onde ocorreu o tratamento
superficial, ou seja, com deposição de nitreto de titânio, o comportamento
da fratura deu-se de forma fráfil, em contra partida, em regiões sem
deposição, ou seja, com presença de titânio puro, a fratura propagou-se
ductilmente;
4. O ensaio de microdureza mostrou um aumento de aproximadamente 4
vezes na microdureza do implante tratado, quando comparado aos
implantes sem tratamento;
Capítulo 7 – Considerações Finais 157
5. O processo de nitretação a plasmas adotado na pesquisa aumenta da
dureza do material e consequente, interfere na resistência a fadiga do
implante tratado;
6. No ensaio biomecânico de fadiga, o implante tratado não apresentou sinal
de falha, após 5 milhões de ciclos, a uma carga máxima de fadiga de
84,46N, valor 52,17% inferior comparado ao ensaio de fadiga dos implantes
sem tratamento, relatório 585/11, rev. 0.
7.2 Tecnologia de Desenvolvimento de Topologias em
Implantes Dentários
Em relação a nova tecnologia de desenvolvimento de topologias em implantes
dentários, conclui-se que:
1. Para possibilitar uma melhor visualização da topologia foram considerados
como elementos densos, somente elementos que apresentaram densidade
superior a 0,8, tendo em vista que tais elementos de baixa densidade não
influenciam na determinação ou até mesmo na modificação da topologia;
2. A resolução final do contorno do material é diretamente dependente do
tamanho médio do elemento finito, representando uma relação direta no custo
computacional;
3. A utilização de um sistema de refino adaptativo modifica controladamente
a topologia em relação a malha inicial de modo a aproveitar os resultados
Capítulo 7 – Considerações Finais 158
anteriores, refinando de modo inteligente apenas nas regiões de interesse e
assim proporcionando leiautes nítidos e bem caracterizados;
4. A utilização de um elemento de baixa ordem, Tetra4, em conjunto com as
restrições laterais nas componentes do gradiente da densidade relativa,
possibilitou um desenvolvimento de um algoritmo de alta performance, robusto
e estável, sem problemas de instabilidade de tabuleiro;
5. A implementação do esquema de integração seletiva, aplicado ao cálculo
da matriz de rigidez, contornou o efeito do travamento volumétrico ocasionado
pela utilização do elemento Tetra4;
6. As geometrias otimizadas do implante para as duas metodologias propostas
apresentaram concavidadee em sua extremidade inferior e na localização da
rosca, possibilitando assim uma melhor aderência e crescimento do osso.
Tornando o implante mais estável e reduzindo custos com material para o
implante. A desvantagem da geometria está relacionada ao processo de
fabricação, tornando-o mais complexo devido a nova topologia.
Capítulo 8
Trabalhos Futuros
8.1 Sugestões para Trabalhos Futuros
O presente estudo deu origem a discussões que poderão incentivar
pesquisadores a realizar um estudo biomecânico utilizando outras técnicas de
tratamento superficial que favoreçam a resistência mecânica a fadiga.
Sugerem-se os seguintes pontos temáticos para futuros trabalhos:
1. Tratar superficialmente os implantes por oxidação a Plasma em cátodo
Oco com o objetivo de melhorar a característica de resistência a fadiga do
material. Estudos mostram que técnicas de tratamento superficial
utilizando oxidação, tendem a melhorar estas propriedades, Zimmer
(2011);
2. Ensaios de nitretação em cátodo oco diminuindo a temperatura de
tratamento com o objetivo de agredir menos as propriedades relacionadas
a resistência do material e manter as propriedades relacionadas a
molhabilidade e rugosidade;
3. Aplicar a técnica utilizando a metodologia da gaiola catódica, tendo em
vista a melhor deposição do nitreto de titânio e avaliação da resistência
mecânica;
Capítulo 8 – Trabalhos Futuros 160
4. Aplicar a técnica utilizando a metodologia de nitretação iônica
convencional;
5. Otimizar o controle do processo de nitretação;
6. Considerar a modelagem do contato osso/implante;
7. Estudar um biomaterial que seja biodegradável, aderente ao titânio e que
possa preencher a ausência de material, em virtude do processo de
otimização topológica proposto para o implante dentário. O intuito é
auxiliar na instalação do implante dentário, tendo em vista uma possível
eliminação de partes da rosca na qual facilita a instalação do mesmo no
paciente. A utilização deste material biodegradável tenderia a facilitar o
processo de osseointegração, ocupando o espaço biodegradado do implante
otimizado.
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Apêndice 186
Apêndice A
A.1. Matrizes Esparsas
Matrizes esparsas são matrizes nas quais a maioria das posições é preenchida
por zeros.
A.1.1. Banda e Envelope de Matrizes
Considere a matriz n nA ¡ , simétrica positiva definida, com entradas ijA ,
com 1, , .i n …
min 0 .i ijf j AA (a.1)
Isto é, if A corresponde a primeira coluna cujo elemento na linha i é diferente de
zero.
Segundo Cuthill e McKee (1969), define-se:
, com 1 ,i i
i f i nA A (a.2)
max 1 .ì
i nA A (a.3)
Em que iA é a largura de banda da i-ésima linha de A e A é a largura de
banda da matriz A . A banda da matriz A é definida como
Band , 0 .i j i jA A (a.4)
Conforme ilustrado nas Equações (a.6) e (a.7).
Apêndice 187
O envelope da matriz A é definido como:
Env , 0 .i
i j i jA A (a.5)
Conforme ilustrado nas Equações (a.8) e (a.9)
A.1.2. Fatoração de Cholesky
Seja n nA ¡ uma matriz simétrica positiva definida, então existe uma única
matriz n nG ¡ triangular inferior com elementos positivos na diagonal tal que
TGGA . A fatoração TGGA é conhecida como fatoração de Cholesky e no
algoritmo a seguir é apresentado uma forma de obter-se G .
As Equações (a.6) e (a.7) ilustram a banda, números em vermelho e a largura
de banda, número sublinhado, para duas matrizes simétricas.
1
1 1
1 1 1
1 1 1 1
0 1 1 0 0
1 1 0 0 2
1 1 1 1 1 0 0
2 1 1 1 1 1
2 1 1 1 1
2 1 0 0
2 0 0
3 2
0 3
(a.6)
0
2 2
3 3 0
0 4 4
0 0
10 0 2 3 0 0 0
10 2 3 0 0 0
10 0 4 0 0
10 4 0 0
0 10 2 2
0 0 10 0
0 0 0 10
2
0 2 0
(a.7)
Apêndice 188
As Equações (a.8) e (a.9) ilustram o envelope, números em vermelho, para
duas matrizes simétricas.
1
1 1
1 1 1
1 1 1 1
1 1 0 0
1 1 0 0
1 1 1 1 1 0 0
2 1 1 1 1 1
2 1 1 1 1
2 1 0 0
2 0 0
0 3 2
0 32
(a.8)
10 0 2 3 0 0 0
0 10 2 3 0 0 0
10 0 4 0 0
10 4 0 0
0 0 10 2 2
0 0 0 0 10 0
0 0 0
2 2
3 3 0
4 4
2
2 00 10
(a.9)
A.2. Método Cuthill-McKee Reverso
Proposto por Cuthill e McKee (1969), o algoritmo Cuthill Mckee é um método
de reordenamento aplicado a matrizes esparsas para redução do envelope e largura de
banda. Estudos realizados posteriormente por George (1971) mostraram que a solução
do Cuthill e Mckee pode ser melhorada simplesmente invertendo a ordem de
numeração. Foi então definido o Reverse Cuthill Mckee, que passou a ser umas das
heurísticas mais utilizadas para o problema de minimização da largura de banda e do
envelope devido a boa qualidade de solução, o baixo tempo de execução e a facilidade
de implementação.
Apêndice 189
Considere a matriz A e seu fator de Cholesky G dados por:
1 1 1 1 1 1 1
1 10 0 0 0 0 0
1 0 10 0 0 0 0
1 0 0 10 0 0 0
1 0 0 0 10 0 0
1 0 0 0 0 10 0
1 0 0 0 0 0 10
A
(a.10)
1, 0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
1, 0 3,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
1, 0 0,3 2,9 0,0 0,0 0,0 0,0
1, 0 0,3 0,3 2,9 0,0 0,0 0,0
1, 0 0,3 0,3 0, 4 2,9 0,0 0,0
1, 0 0,3 0,3 0, 4 0, 4 2,8 0,0
1, 0 0,3 0,3 0, 4 0, 4 0,5 2, 8
G
(a.11)
Observa-se que vários elementos nulos na parte triangular inferior de A são
não nulos em G . A perda de elementos nulos ao realizar a fatoração de Cholesky é
denominada de preenchimento e deve ser evitada sempre que possível.
Na seção A.1.2. verificou-se que a fatoração de Cholesky preserva a banda e o
envelope da matriz. Por esse motivo, ao utilizar matrizes de banda e envelope
pequenos o preenchimento da matriz também será pequeno.
Exemplo 1: Considere a matriz A e G dada por:
Apêndice 190
1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 1 1 1 1
1 1 2 1 1 1 1
1 1 1 2 1 0 0
1 1 1 1 2 0 0
0 1 1 0 0 3 2
0 1 1 0 0 2 3
A
(a.12)
1 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0
0 1 1 0 0 1 0
0 1 1 0 0 0 1
G
(a.13)
Verifica-se que a largura da banda de A e G é 5 e o envelope é 19.
Agora, considere a matriz = =' ' 'T TA PAP G G , em que P é uma matriz de
permutação, dada por:
2 1 1 1 1 0 0
1 2 1 1 1 0 0
1 1 1 1 1 0 0
1 1 1 2 1 1 1'
1 1 1 1 2 1 1
0 0 0 1 1 3 2
0 0 0 1 1 2 3
A
(a.14)
Apêndice 191
1,4 0 0 0 0 0 0
0,70 1,2 0 0 0 0 0
0,70 0,40 0,57 0 0 0 0
0,70 0,40 0,57 1 0 0 0
0,70 0,40 0,57 0 1 0 0
0 1 1 0 0 1 0
0 1 1 0 0 0 1
G
(a.15)
Verifica-se que a largura da banda de 'A e 'G é 4 e o envelope é 15.
Verifica-se a possibilidade de pre-processar a matriz de forma a reduzir a
banda e envelope.
Na próxima subseção apresentamos algumas definições da Teoria de Grafos
que serão utilizadas no algoritmo estudado para obter uma permutação que busca
reduzir a largura de banda e envelope.
A.2.1. Grafos e Matrizes Esparsas
Um grafo é, fundamentalmente, um modo de representar uma relação binária
entre objetos. Considere um grafo ( );G V E= como um conjunto de vértices
1 2, ,V v v= … e um conjunto de arestas, que são representadas por pares não
ordenados, por exemplo, 1 2, ,e v v= … .
Assim como um grafo, uma matriz também descreve uma relação binária entre
objetos através de seus elementos não nulos. Uma matriz simétrica n n×∈A ¡ induz
um grafo ( )G A , onde os vértices do grafo correspondem as dimensões da matriz e a
Apêndice 192
aresta ,e i j= existe, se e somente se, 0ij
A ≠ . A Figura a. 1 é ilustrado o grafo em
a relação a matriz Equação (a.16).
1 1 1 1 1 0 0
1 2 1 1 1 1 1
1 1 2 1 1 1 1
1 1 1 2 1 0 0
1 1 1 1 2 0 0
0 1 1 0 0 3 2
0 1 1 0 0 2 3
(a.16)
Figura a. 1: Ilustração do Grafo
É importante destacar que permutar, simetricamente, linhas e colunas de uma
matriz corresponde a renumerar os vértices do grafo. Na Equação (a.17) é ilustrado
uma permutação da matriz presente na Figura a.2 e a renumeração dos vértices do
grafo.
1 1 1 1 1 0 0
1 2 1 1 1 0 0
1 1 1 1 1 0 0
1 1 1 2 1 1 1
1 1 1 1 2 1 1
0 0 0 1 1 3 2
0 0 0 1 1 2 3
(a.17)
Apêndice 193
Figura a. 2:Ilustração grafo correspondente a permutação simétrica de uma matriz
A.3. Método Cuthill-McKee Reverso
Cuthill e McKee (1969) propuseram uma heurística de reordenação, ver
algoritmo, cujo objetivo principal é reduzir a largura de banda de uma matriz
simétrica n n×∈A ¡ .
Algoritmo: Pseudo-Código de Cuthill-McKee
Entrada: Grafo ( )G A e um vértice inicial v .
Saída: o , novo ordenamento dos vértices de ( )G A .
1: Marca todos os vértices como não visitados.
2: vetor de zeroso←
3: 1i ←
4: fila vaziaf ←
5: Adicionar v na fila f.
6: Marca v como visitado.
7: enquanto f não for vazia faça
8: Desenfileira f em v.
9: i
o v←
10: 1i i← +
11: para todo vértice w adjacente a v, em ordem crescente de grau, faça
12: se w ainda não foi visitado então
13: Adicionar v na fila f.
14: Marca w como visitado.
15: fim
Apêndice 194
16: fim
17: fim
Para o caso de uma matriz A cujo grafo não é conexo, Cuthill e McKee
propõe aplicar a mesma heurística para cada uma das componentes conexas.
George (1971), verificou experimentalmente que ao reverter o ordenamento
obtido pelo Algoritmo Cuthill-McKee, isto é, trocando 1n io
− + para 1,2, , ,i n= … o novo
ordenamento mantém a mesma banda mas diminui o envelope da matriz. Esta versão
do algoritmo é conhecida como Método Cuthill-McKee Reverso.
Apêndice 195
Apêndice B
B.1. Formulação Forte do Problema
Determinar 0Hu tal que:
div b 0 (b.1)
Problema Mecânico:
em t
n t (b.2)
B.2. Formulação Fraca do Problema
Definições:
Conjunto dos deslocamentos admissíveis H :
.| , ;
suf reg uH u u u x u x x (b.3)
oH H u (b.4)
Conjunto das variações admissíveis oH :
o .| , 0 em
suf reg uH v v v (b.5)
Como resultado, podemos decompor o campo de deslocamento como:
o, H U u u u (b.6)
sendo u o deslocamento.
Apêndice 196
B.1.1 Problema Mecânico:
Multiplicando a equação de equilíbrio mecânico, Equação (b.1), pela função
peso v (deslocamento virtual) e integrando-a sobre o domínio Ω, obtemos:
odiv 0 , d d H
v b v v (b.7)
Sabendo que v é o tensor deformação virtual, o qual por ser simétrico pode
ser rearranjado e consequentemente utilizado no formato de vetor e representado por
, de modo que ˆ v v . Agora, pela regra do produto obtém-se:
ˆdiv div divT v v v v (b.8)
reordenado a Equação (b.8):
ˆdiv div T v v (b.9)
substituindo a Equação (b.9) na Equação (b.7), obtém-se
oˆdiv 0 , T d d d H
v b v v (b.10)
e pelo teorema da divergência de Gauss para primeira parte da equação (b.10):
div T d d
v n v (b.11)
Da equação (b.2), tem-se: em t
n t .
Então,
divt
T d d
v t v (b.12)
Apêndice 197
substituindo a Equação. (b.12) na Equação (b.10), tem-se
o
ˆ , t
d d d H
b v t v v (b.13)
Agora, sabendo que:
D u (b.14)
substituindo a Equação (b.14) na Equação (b.13), obtém-se
o
ˆ , t
d d d H
D b v t v v (b.15)
Apêndice 198
Apêndice C
C.1. Elemento Finito Tretraédrico de Quatro Nós (TETRA4)
Considere um elemento finito tetraédrico conforme mostrado na Figura C. 1,
de base lagrangiana de quatro nós, sendo , ,n i i i
x y zx , p/ 1,..., 4i as
coordenadas dos vértices e ,m m m
x yx as coordenadas do baricentro do elemento.
Figura C. 1 - Coordenadas do elemento finito TETRA4.
A descrição do campo de deslocamento pelo elemento finito faz uso de três
graus de liberdade por nó. Sendo denotado por eq o vetor de graus de liberdade do
elemento, de modo que:
1 1 1 2 2 2 3 3 3
Te v u w u v w u v w q (c.1)
C.1.1. Campo de Deslocamento
Sendo o vetor de deslocamento u de um ponto qualquer x de coordenadas
, ,x y z do domínio , definido por:
Apêndice 199
, , ; , ,
u
vx y z x y zw
u x u x (c.2)
Aproximando o campo de deslocamentos pelo Método dos Elementos Finitos,
obtém-se:
, , , , , , ; e e eu u e
x y z x y z x y z u x u u N q x (c.3)
sendo e o domínio do elemento e como cada nó do elemento possui três graus de
liberdade, o vetor de deslocamento eu
q (global) do elemento é escrito como:
1 1 1 2 2 2 3 3 3T
eu
u v w u v w u v w q (c.4)
e eu
N é a matriz de função de forma a ser aplicada no campo de deslocamentos a qual
é definida por
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
e e e e
e e e e eu
e e e e
N N N N
N N N N
N N N N
N (c.5)
C.1.2. Campo de Deformação
Sendo o vetor deformação 3D definido por:
, , , , ,xx yy zz xy yz zx
(c.6)
ou ainda:
u u
u
v
w
u (c.7)
Apêndice 200
em que o operador diferencial u é uma matriz a ser aplicada sobre o vetor de
deslocamentos, definida por:
0 0
0 0
0 0
0
0
0
u
x
y
z
y x
z x
z y
(c.8)
Aproximando o campo de deformação pelo Método dos Elementos Finitos,
obtém-se:
e e e e eu u u u u u u
u u N q B q (c.9)
denota-se por eu
B a matriz deformação-deslocamento, a qual é definida como:
1, 2, 3, 4,
1, 2, 3, 4,
1, 2, 3, 4,
1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4,
1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4,
1, 1, 2, 2,
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
e e e ex x x x
e e e ey y y y
e e e ez z z ze
e e e e e e e euy x y x y x y x
e e e e e e e ez x z x z x z x
e e e ez y z y
N N N N
N N N N
N N N N
N N N N N N N N
N N N N N N N N
N N N N
B
3, 3, 4, 4,0e e e e
z y z yN N N N
(c.10)
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