UNIVERSIDADE DE SO PAULO

HENRIQUE TOWATA SATO

Dimensionamento de regies D atravs do mtodo dos elementos finitos e do mtodo de bielas e tirantes aliado otimizao topolgica

So Paulo

2015

HENRIQUE TOWATA SATO

Dimensionamento de regies D atravs do mtodo dos elementos finitos e do mtodo de bielas e tirantes aliado otimizao topolgica

So Paulo

2015

Dissertao apresentada Escola Politcnica da Universidade de So Paulo para obteno do ttulo de Mestre em Engenharia.

HENRIQUE TOWATA SATO

Dimensionamento de regies D atravs do mtodo dos elementos finitos e do mtodo de bielas e tirantes aliado otimizao topolgica

So Paulo

2015

Dissertao apresentada Escola Politcnica da Universidade de So Paulo para obteno do ttulo de Mestre em Engenharia.

rea de concentrao: Engenharia de Estruturas

Orientador: Prof. Dr. Paulo de Mattos Pimenta

CATALOGAO-NA-PUBLICAO

Sato, Henrique Towata Dimensionamento de regies D atravs do mtodo dos

elementos finitos e do mtodo de bielas e tirantes aliado otimizao topolgica / H.T. Sato. -- verso corr. -- So Paulo, 2015.

119 p.

Dissertao (Mestrado) - Escola Politcnica da Universidade de So Paulo. Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotcnica.

1.Concreto armado 2.Mtodo dos elementos finitos 3.Mto- do de bielas e tirantes 4.Otimizao topolgica I.Universidade de So Paulo. Escola Politcnica. Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotcnica II.t.

Este exemplar foi revisado e corrigido em relao verso original, sob responsabilidade nica do autor e com a anuncia de seu orientador

So Paulo, _____ de __________________ de __________

Assinatura do autor. _____________________________

Assinatura do orientador. _____________________________

Aline

AGRADECIMENTOS

Agradeo a Deus.

minha famlia, em especial minha esposa por entender as ausncias, quando foram necessrias.

Ao meu orientador, professor Dr. Paulo de Mattos Pimenta.

Pedreira Engenharia, por permitir o desenvolvimento da dissertao em paralelo com as atividades profissionais.

Aos colegas de ps-graduao (do PPGEC e de outros programas) pela troca de ideias e experincias.

Aos meus amigos e colegas que me incentivaram na concluso deste trabalho.

Escola Politcnica e Universidade de So Paulo.

Tudo tem o seu tempo determinado, e h tempo para todo o propsito debaixo do cu. H tempo de nascer, e tempo de morrer; tempo de plantar, e tempo de arrancar o que se plantou Tempo de matar, e tempo de curar; tempo de derrubar, e tempo de edificar; Eclesiastes 3:1-3

RESUMO

O dimensionamento de Regies D (regies em que no aplicvel a Hiptese de Bernoulli), embora amplamente estudado e discutido, um tpico ainda em desenvolvimento e com normatizao relativamente escassa. Os mtodos mais comumente empregados so o Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) e o Mtodo de Bielas e Tirantes (MBT). A dissertao expe a base terica e a metodologia dos dois mtodos no dimensionamento de estruturas de concreto armado ao Estado Limite ltimo e aborda a utilizao da otimizao, em especial da otimizao topolgica, na definio dos modelos para o MBT. Metodologias para a aplicao dos dois mtodos so propostas e aplicadas a exemplos prticos de Regies D com recomendaes normativas especficas para seu dimensionamento (consolo e viga parede biapoiada) e tambm a uma viga parede de geometria complexa, os resultados atravs de diferentes tcnicas de dimensionamento so comparados e discutidos, assim como a utilizao da otimizao como meio de obteno de modelos.

Palavras-chave: Concreto armado; descontinuidades; Mtodo dos Elementos Finitos; Mtodo de Bielas e Tirantes; Otimizao Topolgica.

ABSTRACT

The design of D-Regions (Regions where the Bernoulli hypothesis is not valid), although widely studied and discussed, is a topic still under development and with relatively little standardization, especially in Brazil. The most commonly used methods are the Finite Element Method (FEM) and the Strut-And-Tie Method (STM). The theoretical basis and methodology of both methods in the design of reinforced concrete structures are presented as well as the use of optimization, especially topology optimization, in the definition of STM models. Procedures are proposed for both methods and applied to practical examples of D-Regions with specific recommendations for its design (Corbel and Deep Beam) as well as a deep beam with complex geometry, the results using the different design methods are compared and discussed as well as the use of optimization as a means of obtaining STM models.

Keywords: Reinforced Concrete; D-Regions; Finite Element Method; Strut-and-Tie Method; Topology Optimization

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Seo tpica de concreto sujeita flexo. a) Seo Transversal; b) Perfil de deformaes - ELU; c) Tenso; d) Resultantes. Adaptado de LMC-EPUSP (2002) .................................................................................................................................. 21 Figura 2 - Exemplos de Regies D. a) Mudana brusca de seo; b) Apoio de viga; c) Transversina; d) N de prtico; e) Carga concentrada em viga; f) Abertura em viga; g) Aplicao de carga concentrada; h) Consolo; i) Sapata; j) Viga parede; k) Dente Gerber. Adaptado de NBR6118 (2013) ........................................................... 23 Figura 3 - Critrios de resistncia para o concreto simples. a) Critrio da NBR6118:2013; b) Critrio de Rankine; c) Critrio de Rankine / Von Mises; d) Critrio de Rankine / Drucker-Prager ..................................................................................... 25 Figura 4 - Comparao entre o critrio de Rankine/Von-Mises e resultados experimentais ............................................................................................................ 26 Figura 5 Exemplos de aplicao do mtodo Biela-Tirante: a) N entre viga e Pilar; b) Viga de compatibilizao; c) Parede de contraventamento; d) Dente Gerber; e) Bloco de coroamento sujeito a momento; f) Apoio e ancoragem de uma viga protendida. (FIB, 2008) ............................................................................................. 32 Figura 6 - Tipos de biela segundo geometria: a) prismtica; b) formato engarrafo; c) formato em leque. (FIB, 2008) ................................................................................... 34 Figura 7 - Tipos de ns segundo o fluxo de tenses. Adaptado de (Souza, 2004) ... 36 Figura 8 - Tipos de ns de acordo com esforos incidentes. (FIB, 2008) ................. 36 Figura 9 - N CCC a) Foras atuantes; b) geometria das bielas e do n delimitado pelo tringulo ABC. Adaptado de (FIB, 2008) ........................................................... 37 Figura 10 - Viga com mesa colaborante sujeita a esforo concentrado. a) perspectiva tridimensional; b) MBT 2D na alma; c) MBT 2D na mesa. (FIB, 2008) ...................... 38 Figura 11 - Diferentes condies de bielas. a) biela prismtica sem fissurao; b) biela prismtica com fissuras paralelas; c) biela prismtica com fissuras no-paralelas; d) biela engarrafada com armadura de fendilhamento; e) biela engarrafada sem armadura de fendilhamento; f) biela confinada. (FIB, 2008) .............................. 39

Figura 12 - Diferentes mtodos para ancoragem de tirantes. a) barra reta alm da regio nodal; b) barras dobradas alm da regio nodal; c) studs faceando a regio nodal; d) chapa de ancoragem faceando a regio nodal. (FIB, 2008) ....................... 40 Figura 13 - Processo do caminho de cargas. a) Caminho de cargas; b) Modelo biela-tirante. Adaptado de (FIB, 2008) ............................................................................... 43 Figura 14 - Tenses principais e formao de fissuras. ............................................ 45 Figura 15 - MBT obtido a partir da anlise do padro de fissurao (Schlaich J. S., 1991) ......................................................................................................................... 46 Figura 16 - MBT obtido a partir de tenses principais Viga biapoiada. a) carga superior b) carga inferior (FIB, 2008) ........................................................................ 48 Figura 17 - MBT obtido a partir de tenses principais - Parede resistindo a esforos horizontais (FIB, 2008) .............................................................................................. 49 Figura 18 - ngulos limite entre bielas inclinadas e armadura longitudinal ............... 50 Figura 19 resultantes em um elemento de placa, o primeiro termo se refere ao concreto e o segundo a armadura. (FIB, 2008) ......................................................... 56 Figura 20 Crculos de Mohr (FIB, 2008) ................................................................. 57 Figura 21 Crculos de Mohr para reforo em apenas uma direo (FIB, 2008)...... 58 Figura 22 Crculo de Mohr para armadura igual em duas direes (FIB, 2008) ..... 58 Figura 23 Superfcie de ruptura para elemento de placa (FIB, 2008) ..................... 60 Figura 24 Regimes de ruptura em planta (FIB, 2008) ............................................ 60 Figura 25 Interpretao do critrio de resistncia com Crculos de Mohr (FIB, 2008) .................................................................................................................................. 61 Figura 26 - Crculos de Mohr para um elemento tracionado (FIB, 2008) .................. 63 Figura 27 - Domnio admissvel para armadura (FIB, 2008) ..................................... 64 Figura 28 - Algoritmo SIMPLEX ................................................................................ 72 Figura 29 - Equilbrio no n ....................................................................................... 73 Figura 30 - Fluxograma para o dimensionamento de regies D................................ 82 Figura 31 - Problema inicial abordado ....................................................................... 84 Figura 32 - Regio D analisada ................................................................................. 91 Figura 33 - Algumas sub-regies dentro da Regio D .............................................. 91 Figura 34 - Resultado para razo 2x1 entre comprimento e altura. a) resultado obtido diretamente da rotina; b) domnio duplicado, interpretao fsica. ............................ 94

Figura 35 - Geometria do consolo estudado ............................................................. 95 Figura 36 - Malha do Consolo ................................................................................... 96 Figura 37 - Tenses observadas no consolo - direo x ........................................... 97 Figura 38 - Tenses observadas no consolo - direo y ........................................... 98 Figura 39 - Resultado da otimizao topolgica. a) Interface com apoios mveis; b) Interface com apoios fixos. ........................................................................................ 99 Figura 40 - Viga parede biapoiada .......................................................................... 101 Figura 41 - Malha e condies de contorno da viga parede .................................... 102 Figura 42 - Tenses observadas na viga parede - direo x .................................. 103 Figura 43 - Tenses observadas na viga parede - direo y .................................. 104 Figura 44 - Resultado da otimizao topolgica para a viga parede ....................... 105 Figura 45 - Viga parede biapoiada com aberturas .................................................. 107 Figura 46 - Resultado da otimizao topolgica - viga parede com aberturas ........ 107 Figura 47 - Resultado da otimizao topolgica atravs do ANSYS ....................... 108 Figura 48 - MBT da viga parede com aberturas ...................................................... 108 Figura 49 - malha e condies de contorno da viga parede com aberturas ............ 109 Figura 50 - Tenses observadas na viga parede com aberturas - direo x ........... 110 Figura 51 - Tenses observadas na viga parede com aberturas - direo y ........... 111

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Comportamento no linear em estruturas de concreto armado. .............. 29 Tabela 2 Estudo comparativo do consolo ............................................................ 100 Tabela 3 Estudo comparativo da viga parede ...................................................... 106 Tabela 4 Estudo comparativo viga parede com aberturas ................................... 111

SUMRIO

1 Introduo ................................................................................................. 14

1.1 Objetivo ...................................................................................................... 15 1.2 Organizao do Texto ................................................................................ 16

1.3 Histrico e Reviso Bibliogrfica- Otimizao aplicada ao concreto armado ....................................................................................................... 17

2 Concreto armado 20

2.1 Regies B e Regies D .............................................................................. 22

2.2 Critrios de resistncia ............................................................................... 24

2.3 Modelagem no linear ................................................................................ 26

3 Mtodo de Bielas e Tirantes .................................................................... 31

3.1 Conceituao e Histrico ............................................................................ 31

3.2 Componentes do MBT ................................................................................ 34

3.3 MBT tridimensional ..................................................................................... 37

3.4 Capacidade resistente das bielas ............................................................... 38

3.5 Capacidade resistente de tirantes e ancoragem ........................................ 40

3.6 Metodologia para o MBT ............................................................................ 41

3.7 Definio da geometria do modelo ............................................................. 42

3.7.1 Caminho de cargas .................................................................................... 42 3.7.2 Anlise do padro de fissurao ................................................................ 44 3.7.3 Pr-processamento atravs do MEF .......................................................... 46 3.7.4 Mtodos de otimizao ............................................................................... 49 3.8 Reviso da norma NBR 6118 e suas disposies com relao ao

MBT ............................................................................................................ 50

3.8.1 Parmetros de resistncia .......................................................................... 51

4 Mtodo dos Elementos Finitos para Concreto Armado ........................ 53

4.1 Introduo................................................................................................... 53

4.2 Anlise linear x Anlise no linear .............................................................. 54

4.3 Aplicao a membranas ............................................................................. 56

4.4 Dimensionamento de elementos submetidos trao e/ou cisalhamento .............................................................................................. 62

5 Otimizao 67

5.1 Formulao Matemtica da otimizao ...................................................... 67

5.2 Classificao dos problemas de otimizao ............................................... 69

5.3 Mtodos Exatos .......................................................................................... 70

5.3.1 Programao Linear ................................................................................... 71 5.3.2 Programao no linear ............................................................................. 76 5.4 Mtodos Heursticos ................................................................................... 77

5.4.1 Autmato Celular ........................................................................................ 78 5.4.2 Recozimento simulado ............................................................................... 79 5.4.3 Algoritmos genticos .................................................................................. 81 6 Metodologia Aplicao a elementos de concreto

armado ....................................................................................................... 82

6.1 Problema inicial abordado .......................................................................... 83

6.2 Otimizao .................................................................................................. 85

6.3 Filtro ........................................................................................................... 87

6.4 Adaptao para materiais diferentes submetidos trao ou compresso (comportamento dual). ........................................................... 89

6.5 Dimensionamento atravs do MEF ............................................................ 91

7 Estudos de caso ....................................................................................... 93

7.1 Sensibilidade dos parmetros de otimizao ............................................. 93

7.2 Comparativo entre MEF, MBT e modelos padronizados. ........................... 94

7.2.1 Consolo ...................................................................................................... 95

7.2.2 Viga parede biapoiada .............................................................................. 101 7.2.3 Viga parede com aberturas ...................................................................... 107 8 Anlise de resultados e concluses ..................................................... 112

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1 Introduo

A engenharia sempre buscou formas mais econmicas de atender s demandas da sociedade. Com a criao do computador e com seu crescente barateamento e avano na capacidade de processamento, cada vez mais os engenheiros de diversas reas utilizam estes recursos, de modo que hoje impensvel haver uma empresa de projetos ou um engenheiro que no utilize recursos computacionais.

No caso especfico do projeto de estruturas civis a aplicao de mtodos computacionais em geral bastante dispendiosa. Devido ao porte destas estruturas, existe um grande nmero de variveis a serem consideradas e consequentemente de clculos e verificaes a serem realizados.

Por outro lado, as edificaes so modeladas com um grau relativamente baixo de discretizao, e ao compararmos modelos de edificaes ao de outras estruturas civis ou mecnicas, os primeiros possuem um nmero bem inferior de variveis a serem computadas ao aproxim-las por estruturas de barras, mesmo havendo um grande nmero de variveis de projeto. Esta aproximao, entretanto, no possvel em algumas regies da estrutura e em certos elementos (casos em que no vlida a Hiptese de Bernoulli).

Com o intuito de otimizar tambm o processo de desenvolvimento do projeto e no apenas o produto, tornam-se mais interessantes os processos de otimizao automatizada, em particular este estudo aborda o dimensionamento de Regies D, atravs do Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) e o Mtodo de Biela e Tirantes (MBT).

Para o dimensionamento destas regies atravs do MBT, usualmente depende-se da avaliao do engenheiro na definio do modelo a ser utilizado, o que acaba criando uma grande subjetividade no dimensionamento destas regies, entretanto sabe-se que para uma determinada configurao de condies de contorno existe uma soluo tima, de menor energia de deformao dada por Schlaich, Schfer e Jennewein (1987):

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(1.1) Onde:

a fora a que est sujeito o elemento i; o comprimento do elemento i; a deformao especfica mdia no elemento i.

Critrios semelhantes a este sero discutidos mais frente, entretanto percebe-se que, desde a concepo do MBT j houve a preocupao com as diferentes configuraes estruturais possveis e como avaliar de forma objetiva qual seria a mais adequada.

1.1 Objetivo

O objetivo desta dissertao o estudo das alternativas de dimensionamento em regies de descontinuidade em estruturas de concreto armado (Regies D), visando-se a automatizao da gerao de modelos para dimensionamento atravs do MBT e compar-los com resultados obtidos atravs da anlise linear pelo MEF.

Portanto, tm-se como objetivos gerais:

Melhor entendimento dos processos de otimizao, das diferenas entre eles e sua aplicabilidade aos exemplos propostos;

Melhor entendimento da aplicao da otimizao topolgica e do mtodo dos elementos finitos ao concreto armado.

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E como objetivos especficos:

Estudar diferentes alternativas para o dimensionamento de Regies D;

Estudar a otimizao topolgica como meio de gerao de modelos para o MBT;

Avaliar alternativas ao processo proposto e melhorias que podem ser incorporadas.

1.2 Organizao do Texto

No h captulo especfico para a reviso bibliogrfica, estando ela contida ao longo dos Captulos 2 a 5 de acordo com o tema abordado e neste captulo, o item 1.3 apresenta de forma ampla um breve histrico da otimizao voltada para o concreto armado. Por fim os captulos 6, 7 e 8 apresentam respectivamente a metodologia proposta; estudos de caso exemplificando a aplicao e a discusso dos resultados e concluses.

Abaixo a descrio dos captulos componentes deste trabalho:

O captulo 1 (Introduo) contextualiza o problema abordado, define os objetivos da dissertao e a forma como esta organizado o texto.

No captulo 2 (Concreto armado) apresentado o material Concreto armado assim como um breve histrico de sua aplicao e as caractersticas relevantes para o estudo.

O captulo 3 (Mtodo de Bielas e Tirantes) expe o Mtodo de Bielas e Tirantes (MBT) seu histrico de desenvolvimento, suas caractersticas, a metodologia tpica para a aplicao e disposies normativas.

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No captulo 4 (Mtodo dos Elementos Finitos para Concreto Armado) so discutidos tpicos referentes ao dimensionamento do concreto armado atravs do Mtodo dos Elementos Finitos (MEF).

O captulo 5 (Otimizao) apresenta a otimizao como conceito matemtico, suas diferentes classificaes e a otimizao topolgica como alternativa para a definio de modelos para o MBT.

O captulo 6 (Metodologia Aplicao a elementos de concreto armado) descreve a metodologia empregada e seus aspectos tericos, apresenta tambm como ser realizada a comparao entre os resultados obtidos.

No captulo 7 (Estudos de caso) so propostos exemplos para a aplicao da metodologia descrita no captulo 6 e apresentados os resultados obtidos.

Por fim, no captulo 8 (Anlise de resultados e concluses) so discutidos os resultados obtidos no captulo anterior, recomendaes a serem adotadas e para trabalhos futuros

1.3 Histrico e Reviso Bibliogrfica- Otimizao aplicada ao concreto armado

Existe ampla bibliografia referente otimizao de estruturas, entretanto a grande maioria dos trabalhos estuda estruturas em ao. Os estudos referentes a estruturas de concreto armado em especfico so em geral desenvolvidos por brasileiros, pode-se citar Castilho (2003) com a otimizao de peas pr-moldadas protendidas, Silva (2001) com a otimizao de pilares e prticos, Lima (2011) com a otimizao de vigas, Vianna e Debs (2005) com a otimizao de pr-dimensionamento de prticos, Soares (1997)com a otimizao de vigas em um pavimento entre outros.

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Por outro lado, a bibliografia voltada para a gerao de modelos MBT um tpico atual com um grande nmero de publicaes internacionais mas ainda pouco estudado nacionalmente

Segundo Victoria, Querin e Mart (2011) pode-se indicar o artigo de Kumar (1978) como um dos primeiros no sentido da aplicao da otimizao topolgica utilizando diferentes propriedades para elementos sujeitos trao ou compresso.

Em seu trabalho Kumar (1978) aplica a analogia entre trelia e a distribuio de tenses dentro do concreto para vigas-parede tomando um material frgil trao e resistente, idealmente plstico compresso.

Ali (1997) props uma aplicao da otimizao topolgica para a definio da topologia da trelia equivalente para o Mtodo de Bielas e Tirantes (MBT) de modo a minimizar o volume de ao

Liang, Xie e Steven (2000) por sua vez, propuseram a utilizao de otimizao estrutural evolutiva (em ingls ESO Evolutionary Structural Optmization) para estruturas bidimensionais e em (2001) a otimizao estrutural com base em performance (em ingls PBO Performance-Based Structural Optimization) para vigas protendidas de concreto. Baseados no critrio de menor energia de deformao Biondini, Bontempi e Malerba (2001) apresentaram um mtodo para a gerao automtica de modelos para o MBT.

Posteriormente diversos estudos foram desenvolvidos no sentido de propor a gerao automtica de modelos para o MBT incorporando avanos na otimizao topolgica ou na anlise da estrutura de concreto como: Leu et al (2006) com a utilizao da otimizao estrutural evolutiva refinada (em ingls RESO) aplicada a elementos tri-dimensionais; Kwak e Noh (2006) com a utilizao de elemento planar composto por barras de trelias em substituio ao elemento plano, Bruggi (2009) com a considerao de mltiplos casos de carregamento e Amir (2012) por sua vez apresenta a otimizao topolgica tambm tendo em vista o MBT mas visando a economia atravs da eliminao de material em zonas com baixas solicitaes

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Especificamente na considerao de comportamentos diferentes entre compresso e trao podem-se destacar os trabalhos de Prager (1958), que anteriormente junto com Drucker se dedicou ao estudo de critrios de resistncia para materiais granulares, e Srithongchau e Dewhurst (2003) baseados no artigo de Prager estabelecem que para uma estrutura com materiais com diferentes propriedades na tenso e compresso, o critrio de otimalidade deveria ser adaptado para que as energias de deformao por unidade de volume ou de peso fossem constantes.

Querin et al (2010) propuseram uma aplicao do critrio de Dewhurst a estruturas contnuas, introduzindo uma adaptao para considerar os diferentes comportamentos compresso e trao em uma anlise istropa. Esta abordagem ser adotada no presente estudo com modificaes em sua funo objetivo e critrio de otimizao.

Por fim Luo & Kang (2013) apresentam uma metodologia considerando o comportamento diferenciado entre elementos tracionados e comprimidos aplicando a eles o critrio de Drucker-Prager para a definio do dimensionamento timo para a solicitao, considerando todo o domnio como preenchido por concreto e alocando o reforo em ao. Para isso foram utilizadas tcnicas como o relaxamento de deformaes e a reduo de restries evitando singularidades e o congelamento da estrutura tima

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2 Concreto armado

O concreto armado combina as propriedades de resistncia compresso do concreto e a resistncia trao do ao, em forma de barras ou telas soldadas. Como material estrutural seu funcionamento se apoia na hiptese de que as deformaes de concreto e ao sejam compatveis, no havendo escorregamento entre os materiais.

As aplicaes modernas do concreto armado datam de meados do sculo XIX, segundo Carvalho (2008) o ano de 1849 pode ser considerado como o da descoberta do concreto armado pelo agricultor francs Joseph-Louis Lambot ao construir um barco de argamassa armada e test-lo com sucesso, posteriormente expondo-o na Feira Mundial de Paris.

A primeira aplicao de grande porte se daria por Joseph Monier ao construir a primeira ponte de concreto armado em 1875. De forma emprica Monier observou a deficincia do concreto aos esforos de trao e cisalhamento e posicionou barras de ao de modo a combater a fissurao esperada.

Desde ento o comportamento do concreto armado j foi amplamente estudado e discutido, embora muitos tenham sido os estudiosos nesse campo, destaca-se o engenheiro alemo Emil Mrsch que entre 1900 e 1910 aplicou a teoria da resistncia dos materiais e da elasticidade ao concreto armado, estabelecendo as bases cientficas da anlise de estruturas desse material.

A teoria do concreto armado baseia-se na compatibilidade de deformaes entre as armaduras de ao e o concreto que as envolve, admitindo-se vlidas as hipteses de pequenas deformaes e perfil linear ao longo de uma seo transversal, conhecida como Hiptese de Bernoulli.

A Figura 1 ilustra as consideraes tpicas para o dimensionamento de uma seo transversal de concreto armado flexo com armadura simples. A Hiptese de Bernoulli ilustrada na Figura 1b onde o perfil de deformaes suposto como

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linear. A Figura 1c por sua vez expe as hipteses de resistncia nula do concreto trao, a considerao da aproximao do diagrama de tenses parbola-retangulo pelo retangular e a considerao de efeitos deletrios devido ao carregamento prolongado (Efeito Rsch). Por fim a Figura 1d representa as resultantes de tenso e compresso e o momento resistente ltimo.

Figura 1 - Seo tpica de concreto sujeita flexo. a) Seo Transversal; b) Perfil de deformaes - ELU; c) Tenso; d) Resultantes. Adaptado de LMC-EPUSP (2002)

As hipteses adotadas para o dimensionamento flexo-compresso so semelhantes, entretanto devem ser levados em conta efeitos de segunda ordem devido instabilidade localizada.

Desta forma a anlise da estrutura como um todo por sua vez relativamente simples, em especial as estruturas reticuladas que, ao serem modeladas como barras, no necessitam de grande refinamento para a obteno de resultados satisfatrios j que seu comportamento se aproxima da Hiptese de Bernoulli. Alm disso, o Princpio de Saint-Vennant garante que a uma dada distncia de perturbaes a aproximao da seo com perfil de deformaes linear volta a ser vlida.

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2.1 Regies B e Regies D

De acordo com a classificao adotada por Schlaich, Schfer e Jennewein (1987), as regies onde a Hiptese de Bernoulli aplicvel d-se o nome Regies B, as demais so denominadas Regies D (regies com descontinuidades no perfil de deformao). As Regies D podem ter seu perfil de deformaes no linear por fatores geomtricos, como aberturas ou mudanas de seo, ou por fatores mecnicos, como a aplicao de cargas em uma pequena regio.

A Figura 2 apresenta exemplos de Regies D e seus limites, tais limites esto ligados maior dimenso transversal da pea, em geral sua altura, .

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Figura 2 - Exemplos de Regies D. a) Mudana brusca de seo; b) Apoio de viga; c) Transversina; d) N de prtico; e) Carga concentrada em viga; f) Abertura em viga; g) Aplicao de carga

concentrada; h) Consolo; i) Sapata; j) Viga parede; k) Dente Gerber. Adaptado de NBR6118 (2013)

Alm de Regies D bidimensionais existem tambm Regies D tridimensionais, tais como blocos de coroamento com mais de dois apoios no alinhados e lajes prximas a apoios.

Existem diversos mtodos para o dimensionamento das Regies D, no sendo aplicvel a teoria do concreto armado usual. Algumas das metodologias mais comumente utilizadas so o Mtodo de Bielas e Tirantes e o Mtodo dos Elementos Finitos.

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2.2 Critrios de resistncia

O critrio de resistncia considerado para o concreto usualmente composto de mltiplas superfcies. Para a descrio destes critrios ser convencionado que as tenses principais em um dado estado mltiplo de tenses so representadas por , considerando-se tenso de trao como positiva e de compresso como negativa. Destaca-se que ao contrrio deste texto e da conveno usual da mecnica dos slidos, na teoria do concreto armado muitas vezes o esforo de compresso adotado como positivo

A norma brasileira de concreto armado (NBR6118 , 2013) estabelece tenses limites atravs de duas inequaes no item 8.2.6, a primeira das inequaes descreve uma tenso mxima menor que a resistncia do concreto trao direta (), ou seja:

(2.1) O critrio de trao mxima tambm conhecido como Critrio de Rankine, representando a ruptura frgil do concreto trao, sendo aplicado a materiais granulares.

Em termos de invariantes pode-se expressar este critrio como:

, , = 13 + 233 cos (2.2) A segunda inequao descrita na norma :

+ 4 (2.3) Tal critrio pode ser classificado como um critrio de Drucker-Prager, j que pode ser expresso com invariantes na forma de:

, = " + # (2.4)

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Este tipo de critrio est ligado tenso de cisalhamento como limitante. Sendo que o cisalhamento limite varia conforme a intensidade da compresso mdia ou hidrosttica.

A representao dos critrios combinados no domnio das tenses apresentada abaixo conforme a NBR6118, alm deste como comparao so apresentados os critrios de Rankine, Rankine & Von-Mises e por fim Rankine & Drucker-Prager:

Figura 3 - Critrios de resistncia para o concreto simples. a) Critrio da NBR6118:2013; b) Critrio de Rankine; c) Critrio de Rankine / Von Mises; d) Critrio de Rankine / Drucker-Prager

importante salientar que o critrio mais comumente utilizado para o concreto simples o de Rankine & Von-Mises tendo sido validado por resultados experimentais como os de Kupfer e Gerstle (1973) conforme compilado por Feenstra e Borst (1993) na figura abaixo:

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Figura 4 - Comparao entre o critrio de Rankine/Von-Mises e resultados experimentais

2.3 Modelagem no linear

Embora o detalhamento de estruturas atravs de modelos lineares seja suficiente para garantir os requisitos de segurana ao Estado Limite ltimo (ELU), desde que observadas questes como a correta ancoragem de armaduras, ela no suficiente para a avaliao dos Estados Limites de Servio da estrutura, em especial para avaliar a fissurao e a deformabilidade da estrutura.

O boletim 45 da Federao Internacional do Concreto Estrutural (FIB, 2008) elenca algumas aplicaes de anlises no lineares:

Verificao da segurana do detalhamento de peas complexas;

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Verificao da segurana de estruturas existentes;

Verificao do modo de ruptura de uma estrutura;

Anlise de patologias apresentadas por estruturas existentes;

Estimativa de efeitos no lineares atravs do processo P-;

Resistncia da estrutura face eventos extremos;

Resistncia ao fogo.

As origens do comportamento no linear do concreto so diversas, influenciando tanto seu comportamento sob carregamento de servio quanto em seu Estado Limite ltimo. A Tabela 1 descreve esquematicamente alguns dos efeitos no lineares no concreto armado.

A tabela classifica os efeitos de acordo com o material em que atuam principalmente, concreto, ao ou a combinao de ambos. Para cada tipo de efeito so listados que tipos de medidas devem ser adotadas para sua modelagem:

Energia: O balano de energia deve ser levado em conta para a considerao do efeito listado;

Rigidez: Os elementos devem ter sua rigidez varivel para a considerao do efeito listado;

Bifurcao: Indica uma modificao abrupta nas condies do modelo em oposio a uma transio continua;

Def. plsticas (Deformaes plsticas): O comportamento no pode ser descrito somente por um modelo elstico, sendo necessria a considerao e diferenciao das deformaes plsticas;

Tamanho (Influenciada pelas dimenses absolutas): o comportamento no pode ser descrito apenas pelas deformaes sendo necessria

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tambm o computo de distncias absolutas, como a largura de fissuras.

Os efeitos no lineares no so relevantes em todas as situaes, cabendo ao engenheiro levantar quais aspectos devem ou no ser levados em conta, no apenas por economia de recursos computacionais, mas principalmente para a limitao dos parmetros que influenciam no resultado da modelagem.

Outra considerao importante qual nvel de discretizao ser utilizado na modelagem. Efeitos concentrados como a fissurao so altamente influenciados pelo refinamento da malha caso no sejam introduzidos tratamentos especiais para estes efeitos.

A discusso sobre a considerao de fenmenos no lineares na dissertao aprofundada no item 4.2.

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Tabela 1 - Comportamento no linear em estruturas de concreto armado.

Concreto simples Ene

rgia

Rig

ide

z

Bifu

rca

o

De

f. pl

stic

as

Tam

an

ho

Tra

o

Macrofissurao x x x Amolecimento trao x x x Resposta cclica x x Fluncia x x Fechamento de Fissuras x x x Retrao x x x

Com

pre

sso

Esmagamento x x x

No linearidade sob grandes deformaes x x

Descarregamento ps-pico x x x x

Resposta cclica x x

Fluncia x x

Taxa de carregamento x x

Confinamento bi ou tri axial x x

Coeficiente de Poisson x

Efeitos Trmicos x x

Comportamento da Armadura

Tra

o

Escoamento x x

Endurecimento por deformao x x

Efeitos Trmicos x x

Taxa de Carregamento x x

Ruptura x

Compresso Buckling x x x

Cisalhamento Efeito Pino x x x

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Tabela 1 (continuao) - Comportamento no linear em estruturas de concreto armado.

Comportamento combinado concreto e armadura Ene

rgia

Rig

ide

z

Bifu

rca

o

De

f. pl

stic

as

Tam

an

ho

Trao Ligao x x

Enrijecimento trao x x x Separao trao x x x

Compresso Amolecimento compresso x

Cisalhamento Travamento de Agregados x x

Efeitos de dano

Efeitos deletrios x x

Fadiga x

31

3 Mtodo de Bielas e Tirantes

3.1 Conceituao e Histrico

O Mtodo de Bielas e Tirantes (MBT) consiste em uma analogia do comportamento do concreto armado com o de uma trelia, proposto inicialmente por Ritter (1899) e Mrsch (1902) no final do sculo XIX/incio do sculo XX.

A aplicao inicial de Mrsch visava o dimensionamento da armadura transversal de vigas, sendo estas modeladas como trelias, no caso de uma viga biapoiada haveriam tirantes na face inferior, bielas na face superior, bielas inclinadas (no modelo inicial a 45) e tirantes verticais ligando os ns das bielas inclinadas.

Posteriormente o modelo foi aprimorado por diversos pesquisadores, Kupfer (1964), Leonhardt (1957), Lampert e Thrlimann (1971), Collins e Mitchel (1980), Mart (1980) e (1985), sendo que o ltimo em particular desenvolveu sua anlise demonstrando a estrutura tima no caso de tirantes coincidentes com as tenses de trao obtidas a partir de uma anlise elstica do elemento como um slido.

O mtodo teve suas bases consolidadas com os estudos de Schlaich, Schfer e Jennewein (1987) e Schlaich e Schfer (1991) e validado por estudos experimentais como os de Rogowsky MacGregor e Ong (1986).

De forma geral, o mtodo como exposto por Schlaich baseia-se na ideia de que os elementos de uma trelia representam os campos de tenso dentro do concreto armado, simplificando o problema original.

As barras da trelia sujeitas compresso so denominadas bielas, as barras tracionadas so denominadas tirantes e as intersees entre elementos so denominadas ns. A Figura 5 ilustra exemplos de aplicao do mtodo a cada tipo de elemento destacado.

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Figura 5 Exemplos de aplicao do mtodo Biela-Tirante: a) N entre viga e Pilar; b) Viga de compatibilizao; c) Parede de contraventamento; d) Dente Gerber; e) Bloco de coroamento sujeito a

momento; f) Apoio e ancoragem de uma viga protendida. (FIB, 2008)

Embora o MBT seja uma aproximao do comportamento da estrutura de concreto armado bastante simplificada, sua aplicao para o dimensionamento ao ELU embasada teoricamente. O Teorema do Limite Inferior da Teoria da Plasticidade (Teorema Esttico) garante que a carga de ruptura da estrutura real ser inferior ao de um modelo elstico linear se garantida duas hipteses bsicas:

O campo de tenses estaticamente admissvel

O campo de tenses plasticamente

Ambas as hipteses so atendidas pelo MBT desde que observadas as recomendaes de ancoragens e tenses admissveis.

33

Entretanto, por no atender compatibilidade de deformaes existe um infinito nmero de solues possveis para um determinado conjunto de solicitaes e reaes.

Outra ressalva importante com relao ao MBT a questo da ductilidade, o Teorema do Limite Inferior s garante a segurana da estrutura se forem verificadas tambm a linearidade geomtrica e a ductilidade infinita. Estas duas questes se traduzem nas hipteses de pequenas deformaes, rotaes e deslocamentos e na garantia do desenvolvimento completo das tenses no ao, atravs de ancoragem adequada nos ns.

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3.2 Componentes do MBT

De acordo com Schlaich e Schfer (1991), a partir da forma do campo de tenses idealizado por uma dada biela em uma estrutura plana, podemos classific-la como prismtica, em formato de leque ou em formato engarrafado (semelhante ao gargalo de uma garrafa), conforme ilustradas pela Figura 6, sendo que estes trs tipos de bielas englobam todos os casos.

Figura 6 - Tipos de biela segundo geometria: a) prismtica; b) formato engarrafo; c) formato em leque. (FIB, 2008)

As bielas do tipo prismtico e em leque representam campos de tenso com nenhuma ou pequena curvatura, de modo que as tenses ortogonais a este campo so desprezveis, em oposio, o campo engarrafado gera tenses significativas de trao devido s mudanas de direo do campo de tenses de compresso.

Como regra geral, a tenso resistente das bielas comprimidas no a mesma da resistncia caracterstica do concreto quando ensaiado atravs de corpos de prova, como forma geral pode-se exprimir a resistncia da biela por $% = &$, sendo $% a tenso resistente da biela e & o fator de eficincia da biela, sendo menor ou igual a 1. O valor de & varia de acordo com o tipo de biela e outros fatores relativos ao

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confinamento e tenses transversais. Alm disso, as referncias normativas apresentam alguma variao nos valores para as mesmas condies.

A resistncia final da biela dada por $% = '$%, onde ' a rea contribuinte da biela, dada pelo produto entre profundidade fora do plano analisado, ( e a largura da biela dentro do plano, ). Portanto $% = ()$%. A seo 3.4 detalha as consideraes para a resistncia das bielas.

Os tirantes representam o eixo de um feixe de armadura de reforo, sendo ela passiva ou protendida. Em casos especiais podem tambm caracterizar um campo de tenses de trao no concreto ou de alvio de compresso. A tenso limite nos tirantes dada simplesmente pela tenso de escoamento do ao *, no caso de armadura passiva ou *+, no caso de armadura protendida. Para a representao dos esforos introduzidos pela protenso, pode ser utilizada a substituio por um conjunto de esforos externos equivalentes. Desta forma ao computar-se a tenso resistente de uma armadura pr-tracionada deve ser considerada apenas a diferena entre a tenso resistente ltima e tenso pr-introduzida. Uma formulao geral para a resistncia do tirante dada por =*$', + -+'+,, onde -+ a tenso resistente residual anteriormente descrita. Schlaich e Schfer (1991) classificaram tambm os ns em dois tipos, utilizando a nomenclatura traduzida proposta por Souza e Bittencourt (2006): Ns contnuos, onde o campo de tenses principais apresenta pequena mudana de direo; e ns singulares, onde ocorrem mudanas abruptas na direo das tenses principais.

Os ns singulares devem ser mais profundamente estudados, pois neles a ancoragem de barras pode ser deficiente ou podem tambm apresentar problemas de ductilidade e deformao excessiva.

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Figura 7 - Tipos de ns segundo o fluxo de tenses. Adaptado de (Souza, 2004)

Uma abordagem mais direta aos tipos de ns diz respeito aos esforos incidentes sobre eles, como regra geral os ns podem ser classificados em quatro tipos: CCC, CCT, CTT e TTT onde C e T representam a incidncia de esforos de compresso ou de trao.

Figura 8 - Tipos de ns de acordo com esforos incidentes. (FIB, 2008)

Com relao s dimenses do n, a definio mais direta atravs da geometria das barras que nele se encontram por meio da projeo da interseo das diferentes barras conforme ilustrado pela Figura 9.

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Figura 9 - N CCC a) Foras atuantes; b) geometria das bielas e do n delimitado pelo tringulo ABC. Adaptado de (FIB, 2008)

3.3 MBT tridimensional

A extenso do mtodo a modelos tridimensionais direta, entretanto deve ser observado com maior cuidado os ngulos existentes e a geometria dos ns.

Em alguns casos, entretanto possvel e conveniente a decomposio de um modelo tridimensional em modelos bidimensionais mais simples.

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Figura 10 - Viga com mesa colaborante sujeita a esforo concentrado. a) perspectiva tridimensional; b) MBT 2D na alma; c) MBT 2D na mesa. (FIB, 2008)

3.4 Capacidade resistente das bielas

A considerao do concreto como um material rgido e perfeitamente plstico, embora simplifique a modelagem e esteja a favor da segurana, irreal. Por esse motivo algumas consideraes adicionais devem ser feitas na avaliao das bielas comprimidas.

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O comportamento do concreto varia significativamente com o progressivo aumento das tenses de compresso unidirecionais devido fissurao na direo perpendicular, alm disso, a capacidade de absorver deformaes limitada e sua ruptura frgil, por esse motivo se faz necessria a considerao do fator de eficincia &. Alm disso, o fator & utilizado para a considerao de perdas de resistncia causadas pela forma das bielas, e pela perturbao do campo de tenses devido presena de fissuras ou trao transversal biela. Tambm pode ser utilizado para representar ganhos de resistncia devido ao confinamento por armaduras ou por tenso de compresso transversal.

A perda de resistncia do concreto tambm pode ser resultado de fissurao devido a carregamentos cclicos ou pelo compartilhamento de uma dada regio por mais de uma estrutura resistente.

Figura 11 - Diferentes condies de bielas. a) biela prismtica sem fissurao; b) biela prismtica com fissuras paralelas; c) biela prismtica com fissuras no-paralelas; d) biela engarrafada com armadura

de fendilhamento; e) biela engarrafada sem armadura de fendilhamento; f) biela confinada. (FIB, 2008)

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3.5 Capacidade resistente de tirantes e ancoragem

A capacidade resistente dos tirantes dada, como visto na seo 3.2, por =*$', + -+'+, entretanto prximo regio dos ns existem outros aspectos a serem considerados. Os tirantes devem ter toda a capacidade resistente desenvolvida ao encontrarem-se com o n, de modo a ser compatvel com a trelia anloga.

O desenvolvimento da capacidade resistente regido pela ancoragem das barras do tirante antes da regio nodal, a Figura 12 apresenta diferentes formas de garantir esta ancoragem.

Figura 12 - Diferentes mtodos para ancoragem de tirantes. a) barra reta alm da regio nodal; b) barras dobradas alm da regio nodal; c) studs faceando a regio nodal; d) chapa de ancoragem

faceando a regio nodal. (FIB, 2008)

importante destacar que exceo da ancoragem com chapa, a largura efetiva do apoio a ser considerado deve ser reduzida em funo do comprimento necessrio para a ancoragem ou alojamento de patas e studs.

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3.6 Metodologia para o MBT

De forma resumida o MBT pode ser resumido em cinco etapas (FIB, 2008):

Definir a regio D a ser considerada e suas condies de contorno e esforos atuantes;

Definir a trelia pela qual ser modelado o comportamento da estrutura e determinar os esforos internos;

Definir a armadura de reforo necessria para os tirantes e garantir sua ancoragem;

Verificar as bielas e ns, dimensionando-os atravs da definio das larguras necessrias para as bielas e a geometria dos ns;

Garantir a ductilidade da regio D atravs da distribuio da armadura.

O mtodo, como exposto, de aplicao simples, uma vez estabelecido o modelo de trelia anloga. O modelo de trelia pode ser criado de maneira emprica ou com o auxlio de ferramentas, como o mtodo das trajetrias de cargas ou a partir do campo de tenses obtido de uma anlise por elementos finitos. Os resultados, entretanto, so dependentes do projetista uma vez que os modelos no so nicos, Liang, Xie, e Steven (2000) propuseram a utilizao da otimizao topolgica como meio de evitar esta subjetividade, a definio da geometria da trelia entretanto o fator principal na aplicao do MBT a geometrias no usuais.

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3.7 Definio da geometria do modelo

Por ser uma soluo apenas estaticamente admissvel, isto , por no atender compatibilidade de deformaes, o MBT possui infinitas solues que, embora sejam seguras do ponto de vista terico pelo Teorema do Limite Inferior, no so necessariamente aplicveis ao concreto armado.

Devido aos limites de ductilidade e redistribuio de esforos na estrutura de concreto armado alguns modelos adotados para o MBT podem considerar uma carga ultima superestimada. Tendo em vista este fato, os modelos mais adequados so aqueles que melhor representam o perfil de deformaes e tenses na estrutura analisada e consequentemente demandam menor redistribuio de cargas e menor energia de deformao.

Para a determinao do modelo existem diferentes metodologias como o mtodo do caminho de cargas, pr-processamento atravs do MEF, anlise do padro de fissurao e mtodos de otimizao.

3.7.1 Caminho de cargas

O mtodo do caminho de cargas parte da premissa que as cargas tomam o caminho mais curto dos pontos de aplicao at os apoios.

Uma vez definidas as solicitaes externas e as reaes de apoio traado o fluxo das cargas, dos pontos de aplicao at os apoios com as reaes correspondentes. O traado do fluxo de tenses no deve ser necessariamente linear, e sim buscar o menor caminho entre solicitaes e reaes, porm dois caminhos de carga no devem se cruzar.

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Curvaturas no caminhamento indicam a necessidade de mobilizao de esforos internos de modo a equilibrar esta mudana do caminho das cargas, estes esforos internos podem ser providos por bielas ou tirantes adicionais, sendo definidos a partir da anlise global da regio estudada, avaliando-se outros caminhos existentes na regio analisada.

A Figura 13 ilustra uma aplicao deste procedimento a uma viga alta biapoiada sujeita a carregamento distribudo trapezoidal. Para toda anlise pelo MBT as cargas distribudas (em vermelho na figura a) devem ser substitudas por cargas concentradas aplicadas aos ns, posteriormente traado o caminho de cargas e, nas regies de curvatura surgem esforos internos.

No exemplo as curvaturas superiores poderiam ser equilibradas por um mecanismo mais complexo (envolvendo bielas e tirantes), entretanto o princpio do menor caminho de cargas tambm se aplica para o equilbrio dos esforos internos, desta forma o equilbrio por uma biela uma melhor representao do fluxo de tenses.

Figura 13 - Processo do caminho de cargas. a) Caminho de cargas; b) Modelo biela-tirante. Adaptado de (FIB, 2008)

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A abordagem da definio do modelo pelo caminhamento de cargas requer sensibilidade do engenheiro e o entendimento do fluxo de tenses na regio estudada. Porm, com a experincia do engenheiro, possvel identificar padres estruturais comuns, levando rpida definio de modelos resistentes, em especial para anlises simples.

3.7.2 Anlise do padro de fissurao

A definio do modelo resistente atravs da anlise do padro de fissurao se baseia no fato de as tenses principais mximas e mnimas serem ortogonais entre si, desta forma pode-se inferir o fluxo das tenses de compresso partir da observao das fissuras formadas.

A Figura 14 ilustra um elemento infinitesimal sujeito s tenses mxima () e mnima (). A fissurao ocorrer inicialmente na direo da trao mxima ao passo que a tenso mnima, ou de maior compresso ser paralela s fissuras. Como regra geral conclui-se que tirantes devem ser posicionados perpendiculares s fissuras e bielas paralelas a estas, podendo inclusive estar ativas entre fissuras.

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Figura 14 - Tenses principais e formao de fissuras.

A Figura 15 por sua vez apresenta uma aplicao a partir de ensaios experimentais, deve-se notar que a determinao do modelo no necessariamente imediata em estruturas de comportamento complexo, porm a validao de um modelo proposto imediata.

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Figura 15 - MBT obtido a partir da anlise do padro de fissurao (Schlaich J. S., 1991)

O inconveniente desta abordagem a disponibilidade de resultados experimentais semelhantes ao problema analisado, entretanto o padro de fissurao esperado pode ser inferido a partir da anlise da deformada da estrutura e do conhecimento prvio do engenheiro, porm, esta ltima forma de aplicao insere maior subjetividade na definio do modelo resistente.

3.7.3 Pr-processamento atravs do MEF

A gerao de modelos de bielas e tirantes atravs da anlise de um processamento linear foi proposta inicialmente por Schlaich, Schfer e Jennewein (1987), este

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processo assemelha-se ao de caminho de cargas, entretanto, o caminho de cargas definido partir da anlise das tenses principais.

As bielas so definidas paralelas s tenses principais de compresso enquanto as possveis posies dos tirantes so definidas pelas tenses principais de trao, Schlaich, Schfer e Jennewein (1987) recomenda que os tirantes se posicionem com um desvio mximo de 15 em relao tenso principal.

A Figura 16 e a Figura 17 ilustram exemplos da aplicao desta metodologia, os pares de linhas perpendiculares representam as tenses principais obtidas em cada elemento. Note-se que embora se baseie em critrios objetivos, a definio do modelo no nica.

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Figura 16 - MBT obtido a partir de tenses principais Viga biapoiada. a) carga superior b) carga inferior (FIB, 2008)

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Figura 17 - MBT obtido a partir de tenses principais - Parede resistindo a esforos horizontais (FIB, 2008)

Sobre a utilizao de uma anlise linear em favor de uma anlise no linear, o FIB (2008) argumenta que devido ao no conhecimento prvio do arranjo de armaduras, as redistribuies de tenses devido fissurao no correspondem ao comportamento da estrutura.

3.7.4 Mtodos de otimizao

Os mtodos de otimizao podem ser aplicados definio dos modelos de bielas e tirantes de diferentes formas, o Captulo 5 exemplifica alguns destes mtodos.

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3.8 Reviso da norma NBR 6118 e suas disposies com relao ao MBT

No perodo de elaborao do presente trabalho foi disponibilizada em consulta nacional uma reviso da norma brasileira NBR 6118, nesta verso passa a ser abordado o dimensionamento de Regies D atravs do mtodo de Bielas e Tirantes, adotando-se os parmetros e procedimentos descritos nesta seo.

O projeto de reviso da norma estabelece que os modelos devam ser exclusivamente isostticos e autoequilibrados, sendo as reaes de apoios obtidas a partir de um modelo linear ou no linear externo ao das bielas e tirantes.

Assim como a teoria geral os modelos devem ser compostos somente por bielas, tirantes e ns, sendo as condies de contorno exclusivamente as foras aplicadas aos ns, ativas ou reativas.

Outra limitao imposta aplicao da teoria a restrio ao ngulo de inclinao entre bielas inclinadas e a armadura longitudinal do elemento estrutural, sendo a tangente do ngulo limitado aos valores de 0,57 e 2.

Figura 18 - ngulos limite entre bielas inclinadas e armadura longitudinal

Esta limitao do ngulo esta tambm ligada aos modelos propostos para o dimensionamento de vigas submetidas a esforos cortantes, em especial o limite inferior, sendo no projeto de reviso de 30 a 45.

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3.8.1 Parmetros de resistncia

Os parmetros de resistncia para compresso mxima de bielas e ns so dados por:

$ = 0,85 "2 $ (3.1) $ = 0,60 "2 $ (3.2) $ = 0,72 "2 $ (3.3)

Sendo:

$ a tenso resistente mxima em bielas com compresso transversal ou sem tenses de trao transversal e ns onde se encontram somente bielas;

$ a tenso resistente mxima em bielas com trao e ns onde se encontram dois ou mais tirantes;

$ a tenso resistente mxima em ns com somente um tirante; $ a resistncia de clculo compresso do concreto. E:

"2 = 1 f67 250 , com f67 em MPa. (3.4) O parmetro de resistncia do ao por sua vez dado por:

,$ = ', *$ (3.5) Sendo:

,$ a tenso resistente mxima do tirante; ', a rea de ao do tirante;

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*$ a tenso de escoamento do ao.

Um ponto no abordado pelo projeto de reviso da norma a limitao da rea das bielas comprimidas e ns. Tomando-se como base as sees referentes ao dimensionamento de elementos fora cortante se poderia adotar uma altura mxima igual altura til da pea de concreto e sua largura total.

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4 Mtodo dos Elementos Finitos para Concreto Armado

4.1 Introduo

Embora, de acordo com as normas brasileiras, a modelagem com elementos finitos seja estabelecida somente como base para uma anlise atravs de outro mtodo para a definio das armaduras e verificao do concreto, outros cdigos internacionais so mais permissivos em relao sua utilizao para o detalhamento de peas.

A modelagem de elementos de concreto armado atravs do MEF, embora j difundida, deve ser tratada com cuidados adicionais j que se trata de um material heterogneo e anistropo.

Segundo a FIB (2008) dentre as vantagens listadas para a aplicao do mtodo dos elementos finitos, em particular atravs de uma anlise linear destacam-se:

A modelagem linear em elementos finitos est bem estabelecida e sua aplicao relativamente simples;

Mltiplos casos de carregamento podem ser rapidamente acomodados com mudanas mnimas nos dados de entrada;

As armaduras de reforo so posicionadas nas regies efetivamente mais tracionadas, ou seja, aquelas em que a fissurao ocorreria inicialmente, ajudando a minimizar a propagao de fissuras.

Por outro lado, como aspectos negativos tm-se:

Nenhuma informao obtida com relao ao estado limite ltimo da estrutura. Na realidade, pelo teorema do Limite inferior sabe-se apenas que a carga ltima superior estaticamente admissvel;

54

Limites precisam ser estabelecidos para que se possa assegurar a dutilidade da pea analisada e o atendimento ao Estado Limite de Servio;

Nenhuma informao obtida com relao a fenmenos como a fissurao e a deformao obtida seria subestimada por no levar em conta efeitos inelsticos;

O detalhamento da armadura de reforo necessria no imediato.

4.2 Anlise linear x Anlise no linear

Um aspecto que deve ser analisado com ateno a considerao ou no de efeitos no lineares e de quais efeitos considerar. Conforme exposto no item 2.3, o concreto armado est sujeito a inmeras no linearidades, existindo estudos especficos sobre suas influncias nas estruturas e formas de incorpor-los na modelagem pelo MEF.

A incorporao de efeitos no lineares para a modelagem de Regies D introduz parmetros adicionais a serem calibrados e cuidados adicionais a serem tomados, em especial com relao a discretizao da malha. Entretanto, como citado existe extensa bibliografia sobre o assunto, em especial para efeitos presentes na maior parte das estruturas como a interface entre ao e concreto, estando inclusive incorporado em alguns pacotes comerciais de MEF.

Por outro lado, assim como discutido para o MBT, o Teorema do Limite Inferior garante que o resultado obtido a partir de uma anlise elstico-linear ser favorvel segurana, mesmo com a considerao do concreto armado como material istropo-homogneo sendo demasiadamente simplificadora.

55

Sendo um tpico passvel de discusso o autor adotar premissas baseadas na anlise de diferentes fontes bibliogrficas, em especial de Souza (2004) e FIB (2008):

O dimensionamento inicial (somente ao ELU) se dar atravs da anlise linear da estrutura, tomando-se um material idealmente homogneo, istropo e elstico-linear;

o O ELS deve ser verificado aps a definio das armaduras e sua disposio, atentando-se ductilidade da ruptura, conforme item abaixo;

Verificaes de estruturas ou dimensionamentos existentes devem ser realizadas atravs de anlise no linear, adotando-se ao menos a discretizao de armaduras e a fissurao;

o Outros efeitos no lineares devem ser levados em conta a depender da anlise realizada como fluncia e efeitos trmicos.

Esta abordagem justifica-se, pois se busca uma automatizao do dimensionamento das Regies D e estando definidas as condies de contorno, o resultado facilmente obtido e tomando-se a discretizao adequada ser consistente com anlises paralelas.

O dimensionamento em si se dar atravs da anlise das tenses presentes na estrutura conforme o item 4.3, estando ainda sujeito verificao das taxas necessrias de armaduras.

Os efeitos no lineares no devem ser negligenciados sendo imprescindvel a validao com sua considerao.

56

4.3 Aplicao a placas

Ao aplicar-se o MEF a estruturas de placas atravs de softwares comerciais, comum a anlise se dar sobre as tenses principais. Atravs da anlise destas tenses possvel estabelecer-se o caminho das cargas, o que pode servir de base para a determinao do modelo de bielas e tirantes.

Uma alternativa seria analisar os resultados atravs de eixos ortogonais, representando as direes preferenciais da armadura, alinhados com os eixos da estrutura ou do elemento analisado.

Embora o detalhamento da armadura baseada nas direes principais seja econmico e satisfaa as condies de equilbrio, em alguns casos no vivel construtivamente uma armadura que acompanhe tais tenses, sendo prefervel a segunda abordagem com uma malha de armadura ortogonal. Neste caso a soma dos esforos no concreto e na armadura deve ser equivalente aos esforos obtidos no elemento analisado.

Supondo-se que o concreto resista somente a esforos de compresso ( = 0), sendo a armadura responsvel por absorver todos os esforos de trao, a Figura 19 ilustra a composio de esforos no caso de tenses principais no alinhadas com os eixos de armadura.

Figura 19 resultantes em um elemento de placa, o primeiro termo se refere ao concreto e o segundo a armadura. (FIB, 2008)

57

Este tipo de abordagem do campo de tenses tambm pode ser ilustrado atravs de Crculos de Mohr representando as tenses no elemento de placa e as tenses no concreto. A diferena entre os pontos dos dois crculos representando o estado de tenso equivalente s tenses absorvidas pela malha ortogonal de armaduras.

Figura 20 Crculos de Mohr (FIB, 2008)

Ao analisar-se esta abordagem nota-se que existe um infinito nmero de solues, que respeitam o equilbrio do elemento, obtidas a partir da rotao da malha de reforo. Caso o elemento no apresente as duas tenses principais de trao possvel tambm o detalhamento da armadura de reforo em apenas uma direo

58

Figura 21 Crculos de Mohr para reforo em apenas uma direo (FIB, 2008)

Outro caso interessante o de armaduras iguais nas direes ortogonais, de onde resulta que a armadura de reforo necessria em cada uma das direes igual quela que absorve a tenso principal de trao, ou seja, 9:,: = 9*,* = , como representado na Figura 22.

Figura 22 Crculo de Mohr para armadura igual em duas direes (FIB, 2008)

59

Por fim uma formulao geral para o dimensionamento e verificao de um elemento qualquer com reforo ortogonal paralelo aos eixos X e Y pode ser obtida pelo conjunto de critrios referentes s superfcies definidas por (FIB, 2008):

;1 =

60

dadas por cada uma das equaes podem ser mais facilmente distinguidas na Figura 23 e em representao planificada na Figura 24:

Figura 23 Superfcie de ruptura para elemento de placa (FIB, 2008)

Figura 24 Regimes de ruptura em planta (FIB, 2008)

61

Outra forma de interpretar graficamente os critrios de resistncia apresentados atravs de Crculos de Mohr, mesmo com mltiplas equaes definindo o critrio de resistncia. A Figura 25 ilustra essa representao para o caso de um elemento com reforos ortogonais iguais.

Figura 25 Interpretao do critrio de resistncia com Crculos de Mohr (FIB, 2008)

62

A Figura 25a representa o regime 1 ou seja, a ruptura pelo escoamento do ao trao antes da ruptura do concreto compresso, dessa forma partir do estado de trao dupla, = = 9*$, o crculo se expande medida que reduzida a tenso principal normal inferior at que atingida a ruptura pela tenso limite de cisalhamento $/2. Neste estado de tenses a tenso principal inferior tem o valor = 9*$ $. A Figura 25b representa a reduo das duas tenses normais mantendo-se a ruptura pela tenso de cisalhamento at que so atingidas as tenses = 0 e = $, representando o limite da tenso de compresso resistente do concreto. Na Figura 25c as tenses principais normais continuam sendo reduzidas mobilizando-se a tenso resistente do ao compresso at que atingido o limite = =$ + 9*$? e finalmente na Figura 25d a tenso principal normal superior reduzida at ser atingido o estado de compresso hidrosttica limite = ==$ + 9*$?. Finalmente, a Figura 25e representa o espao de tenses admissveis quando representado por Crculos de Mohr.

4.4 Dimensionamento de elementos submetidos trao e/ou cisalhamento

Para o dimensionamento de elementos tracionados ou submetidos ao cisalhamento possvel obter-se a partir da equao 4.1 um conjunto de equaes que possibilita a definio das armaduras de forma direta:

9:*$.: : + D

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Com 90 < < 90 e 0. A interpretao fsica das equaes (4.8) e (4.9) pode ser observada na Figura 26.

Figura 26 - Crculos de Mohr para um elemento tracionado (FIB, 2008)

possvel observar-se que ao variar-se existe um infinito nmero de combinaes possveis de 9:*$.: e 9**$.* que satisfazem sem folgas o estado de tenses analisado. A Figura 27 ilustra a relao entre as armaduras admissveis nas duas direes.

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Figura 27 - Domnio admissvel para armadura (FIB, 2008)

Por fim, a partir do primeiro invariante de tenses:

+ = =: 9:*$.:? + =* 9**$.*? (4.10)

E tomando-se as hipteses de = 0 (no h tenses de trao resistidas pelo concreto) e $ , obtm-se:

$ 9:*$.: + 9**$.* : * (4.11)

A resistncia do concreto compresso adotada na verificao do esmagamento deve levar em conta tambm a presena de tenses de trao transversais, assim como no caso do MBT. Uma vez que a norma brasileira no aborda o MEF e a

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minorao da resistncia a compresso tem a mesma origem, recomenda-se a utilizao dos parmetros de resistncia indicados no item 3.8.1.

O conjunto de inequaes (4.8), (4.9) e (4.11) podem ser utilizados de forma prtica na determinao de armaduras de elementos de placa desde que estabelecido o ngulo .

O consumo total de ao em um dado elemento poderia ser estimado por:

9:*$.: + 9**$.* : + * + D

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0 < tan|| < , NO* 0 (4.14) No caso de elementos exclusivamente comprimidos, a priori a tenso no elemento corresponde tenso no concreto, j que se busca a armadura trabalhando exclusivamente trao. Entretanto caso se deseje utilizar armadura para os esforos de compresso dever ser adotado de modo a se aproximar o mximo possvel da direo principal das tenses devidas ao carregamento.

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5 Otimizao

O conceito de otimizao, de modo bastante abrangente, se refere busca do melhor elemento em um determinado espao, sob um critrio ou um conjunto de critrios.

Em termos matemticos, a busca pelo mximo ou mnimo de uma dada funo, chamada funo objetivo, alterando-se um conjunto de variveis em um dado domnio. Alm do domnio das variveis pode haver outros tipos de restries ao processo de otimizao, expressas por equaes ou inequaes.

Na engenharia civil as tcnicas de otimizao so aplicadas em diversas subreas como, por exemplo, redes de transportes, dosagem de materiais, redes hidrulicas e estruturas. Este trabalho tratar da ltima aplicao em particular s estruturas de concreto armado.

Este captulo busca conceituar a otimizao de modo geral e aborda de forma introdutria alguns dos mtodos mais comumente utilizados.

5.1 Formulao Matemtica da otimizao

A seguir exposto uma formulao genrica para o problema de otimizao.

Toma-se:

min/maxT, T, , TV (5.1)

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Sujeito a:

T, T, , TV = 0 T, T, , TV = 0

...

+T, T, , TV = 0 (5.2)

e

WT, T, , TV 0 WT, T, , TV 0

...

WXT, T, , TV 0 (5.3)

Sendo:

fT a funo que se busca otimizar (minimizar ou maximizar); T = x, x, , xY o vetor de variveis de projeto; h, h, , h[ as funes de restrio de igualdade; g, g, , g] as funes de restrio de desigualdade. Nota-se que os domnios de cada uma das variveis de projeto esto definidos entre as restries, de modo que um vetor qualquer T denominado vivel se respeita a todas as restries h(x) e g(x) e invivel caso contrrio. Ao subespao conjunto de todos os vetores x viveis d-se o nome de regio vivel ().

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5.2 Classificao dos problemas de otimizao

A otimizao apresenta um campo bastante amplo, e para melhor entendimento do assunto, existem diversos tipos de classificao dos problemas:

Classificao com relao linearidade:

o Lineares: problemas em que funo objetivo e restries (caso existam) variam linearmente com a alterao das variveis de projeto;

o No Lineares: por extenso os problemas funo objetivo ou restries variam de forma no linear em relao s variveis de projeto.

Classificao com relao ao espao de busca:

o Paramtrica: O objeto de otimizao definido por um conjunto finito de parmetros e o espao de busca da soluo se d pela unio dos domnios viveis de cada parmetro;

o Topolgica: O espao de busca da soluo definido no prprio domnio do objeto estudado, em geral uma regio do espao (bi ou tri-dimensional), discretizada por uma malha;

o De forma: O espao de busca da soluo tambm definido no prprio domnio do objeto estudado, porm no h restries quanto ao arranjo da estrutura.

Classificao com relao ao rigor da soluo:

o Mtodos Exatos (ou determinsticos): detalhados no item 5.3;

o Mtodos Heursticos (ou probabilsticos): detalhados no item 5.4.

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Classificao quanto s restries:

o No restringidos;

o Restringidos:

Com restries de igualdade;

Com restries de desigualdade;

Com restries mistas.

5.3 Mtodos Exatos

Os mtodos ditos exatos ou em algumas fontes nomeados como determinsticos baseiam-se em teoremas matemticos e por extenso na aplicao de operadores diferenciais funo objetivo e s funes de restrio, desta forma sua aplicabilidade e classificao esta intimamente ligada a:

Tipo de restrio do problema;

Tipo de funes envolvidas (continuidade e diferenciabilidade).

Cada mtodo tem suas hipteses e exigncias quanto a estes itens o que os restringe a algumas aplicaes, entretanto so altamente sistematizados e, uma vez atendidas suas hipteses de aplicao, garantem que chegaro a um timo local ao menos.

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5.3.1 Programao Linear

A programao linear caracteriza-se por focar problemas em que a funo objetivo e as restries (caso existam) so lineares em funo das variveis de projeto, conforme visto no item 5.2.

Utilizando a nomenclatura apresentada no item 5.1, podemos explicitar o problema de otimizao, na formulao padro para programao linear como:

min/max T, T, , TV = '^ T (5.4) Sujeito a:

'_/` T = Bb/c (5.5) Com:

T 0eBb/c 0 (5.6) Note que h uma simplificao para a notao padro, ela obtida atravs da introduo de variveis artificiais de modo a: limitar as variveis de projeto a valores exclusivamente positivos; inserir variveis de folga de modo a transformar as restries de desigualdade em restries de igualdade.

Deste modo possvel tratar apenar problemas na formulao padro sem perda de generalidade, de fato, os mtodos da programao linear adeream o problema na formulao padro.

Devido linearidade da funo objetivo, pode-se garantir que a soluo tima encontra-se no limite da regio vivel, o que facilita a sua busca. Baseado nesta propriedade Dantzig (1953) criou o mtodo SIMPLEX para resoluo de problemas lineares.

A princpio o problema poderia ser abordado de modo a elencar todos os elementos da regio vivel e compar-los. Entretanto em geral se lida com problemas com um

nmero grande de solues viveis, o mtodo SIMPLEX consiste em um algoritmo que busca na fronteiraalgoritmo apresentado na

Note que devido busca restringirmtodo SIMPLEX pode chegar a um timo local, dependendo da soluo inicial adotada.

Para o caso especfico do dimensionamento de regies D existem diferentepossibilidades de aplicao do mtodosimples para a aplicao da programao linear:

De modo geral as restries impostas podem ser definidas por:

Equilbrio dos ns

Armaduras mximas e mnimas nos tirantes

Esforos mximos e mnimos nas bielas

nmero grande de solues viveis, o mtodo SIMPLEX consiste em um algoritmo que busca na fronteira da regio vivel o melhor ponto existente atravs do algoritmo apresentado na Figura 29:

Figura 28 - Algoritmo SIMPLEX

busca restringir-se s solues imediatamente adjacentes, o mtodo SIMPLEX pode chegar a um timo local, dependendo da soluo inicial

aso especfico do dimensionamento de regies D existem diferentepossibilidades de aplicao do mtodo. A seguir exposto um mtodo geral e simples para a aplicao da programao linear:

e modo geral as restries impostas podem ser definidas por:

Equilbrio dos ns;

Armaduras mximas e mnimas nos tirantes;

Esforos mximos e mnimos nas bielas.

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nmero grande de solues viveis, o mtodo SIMPLEX consiste em um algoritmo da regio vivel o melhor ponto existente atravs do

se s solues imediatamente adjacentes, o mtodo SIMPLEX pode chegar a um timo local, dependendo da soluo inicial

aso especfico do dimensionamento de regies D existem diferentes . A seguir exposto um mtodo geral e

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As armaduras mximas e mnimas nos tirantes podem ser traduzidas em termos de esforos facilmente atravs da equao:

e = *$ ', (5.7) Onde N a normal atuante no tirante analisado.

O equilbrio de um n genrico pode ser formulado atravs do equilbrio de foras em duas direes no coincidentes, de modo a facilitar a anlise so adotadas as direes horizontal e vertical.

A Figura 29 ilustra um n onde convergem NB barras e submetido NF foras externas:

Figura 29 - Equilbrio no n

O equilbrio de foras pode ser formulado como:

e cos "fgh +i cos jifkih = 0 (5.8)

e sen"fgh +i senjifkih = 0 (5.9)

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Sobre as limitaes de esforos nos tirantes, deve-se impor:

e = *$ ',, *$ ',,lm: = e,lm: (5.10)

e 0 (5.11) Onde a primeira equao limita a trao mxima no tirante em funo da rea mxima de ao desejada no tirante e a segunda equao limita que os tirantes trabalhem somente trao.

Da maneira anloga, para uma biela os esforos so limitados por:

e 0 (5.12) Buscando-se generalidade na definio do problema, conveniente considerar todas as barras como possveis tirantes ou bielas, utilizando-se a formulao:

e = en, + eo, (5.13) Onde:

e o esforo na barra i; en, a parcela referente ao comportamento de tirante na barra i; eg, a parcela referente ao comportamento de biela na barra i.

Deve-se notar que en, e eg, no so diferentes de zero simultaneamente, ou seja apenas um tipo de comportamento est ativo para cada barra.

Supondo-se uma geometria fixa e como objetivo uma estrutura de menor custo, a funo objetivo definida por:

=',, fnh (5.14)

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Onde:

a funo custo, referente ao volume de ao consumido na estrutura; ep o nmero de tirantes; ',, a rea de ao do tirante i; o comprimento do tirante i.

Tomando-se a tenso de trabalho dos tirantes como igual de escoamento do ao, a funo objetivo pode ser reescrita como:

= e*$ fnh (5.15)

Desta forma todas as restries e a funo objetivo so lineares em termos de e, note-se que a funo objetivo semelhante quela proposta por Schlaich, Schfer e Jennewein (1987):

(5.16) Os resultados obtidos considerando-se estas diferentes funes objetivo so semelhantes, entretanto conceitualmente possuem diferenas importantes j que a primeira trata do peso de ao e a segunda da energia de deformao absorvida pela estrutura.

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5.3.2 Programao no linear

A programao no linear trata dos problemas no lineares (ver item 5.2), devido s prprias hipteses dos mtodos natural classific-los entre mtodos restringidos e no restringidos.

5.3.2.1 Mtodos no restringidos

Os mtodos aplicveis a problemas no restringidos possuem uma estrutura geral similar:

T q T + s t (5.17) Sendo:

T o vetor de variveis de projeto no passo k; T q o vetor de variveis de projeto no passo k+1; s o passo de clculo; t a direo de busca do ponto timo. Os mtodos se diferenciam principalmente pela forma de determinao da direo t , em geral a definio da direo de busca do ponto timo se d atravs do clculo de derivadas da funo objetivo ou atravs de aproximaes numricas.

A ordem da derivada utilizada caracteriza o mtodo como mtodos de ordem um, de ordem dois ou de ordem superior. H ainda casos que utilizam a prpria funo objetivo na definio de t , nomeados mtodos de ordem zero.

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5.3.2.2 Mtodos restringidos

Os mtodos restringidos buscam de forma geral tratar as restries de modo que o problema possa ser analisado como um problema no restringido. A forma mais direta de realizar isso se valendo de funes de penalizao, de forma geral a penalizao pode ser formulada como:

min: BT (5.18) Onde:

BT, 9, j = T +9iiT+ih +jiiTX

ih (5.19)

Onde os fatores de penalizao e so dados por:

9i 0 T q T + s t (5.20) E ji = v 0, NOWiT 0wi 0, NOWiT > 0y (5.21)

5.4 Mtodos Heursticos

Embora forneam solues sem um limite formal de qualidade, os mtodos heursticos, ou em algumas fontes nomeados como probabilsticos, so interessantes para algumas classes de problemas.

Casos em que muitas das variveis so discretas e muitas das funes envolvidas no problema no apresentam o comportamento exigido por outros mtodos

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computacionais (como linearidade, continuidade ou existncia de derivada at uma dada ordem), empecilhos estes que podem ser mais facilmente contornados pelas heursticas.

Dentro das heursticas pode-se ainda definir uma subdiviso, a computao natural, sua classificao se deve apenas analogia com fenmenos observveis na natureza, no havendo do ponto de vista matemtico diferena no rigor das solues obtidas. Entre os algoritmos de computao natural mais comumente encontrados temos o recozimento simulado, computao evolucionria (em especial algoritmos genticos) e redes neurais artificiais. Abaixo algumas dos mtodos heursticos

5.4.1 Autmato Celular

O autmato celular no foi concebido como uma heurstica de otimizao, na verdade no foi concebido como um processo e sim como um modelo para estudo de crescimento de cristais e posteriormente aplicado no estudo de problemas em diversos campos do conhecimento.

Ele consiste basicamente de uma malha de clulas em um espao n-dimensional que podem ter um nmero finito de estados, no caso mais simples sim e no, ou ligado e desligado.

A partir de uma dada clula delimita-se um conjunto chamado vizinhana, esta vizinhana pode ou no incluir a prpria clula e um nmero de clulas vizinhas. A partir de um estado inicial (t=0) com um conjunto de clulas com seus estados definidos definida a prxima etapa (t=1) para cada clula, baseada na sua vizinhana na etapa anterior.

A regra para o avano de etapa, que define o novo estado de cada clula fixa e em geral uma funo ou regra matemtica envolvendo a vizinhana.

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5.4.2 Recozimento simulado

O recozimento simulado baseia-se na analogia entre o processo cclico de aquecimento e resfriamento controlado de um metal, aplicado na metalurgia, com o problema de otimizao.

O processo metalrgico busca atravs destes ciclos progressivamente formar cristais de dimenses cada vez maiores, visando a produo de um material com menos defeitos. Durante o resfriamento controlado espera-se que os tomos do metal busquem uma condio de energia mnima, o que se traduz em cristais de dimenses maiores.

O algoritmo meta-heurstico foi proposto inicialmente por Metropolis et al (1953) e caracteriza-se pela seguinte analogia:

A funo custo do problema real equivale funo nvel de energia do sistema do problema anlogo, o algoritmo proposto admite o aumenta da temperatura entre passos subsequentes o que se traduz em uma forma de contornar timos locais.

Os parmetros do problema real so equivalentes aos tomos do metal do problema anlogo. A cada passo do algoritmo atribudo a estes tomos uma nova condio de energia aleatria (zq) e consequentemente uma variao de energia (-z), se a energia em um passo for menor do que a do passo anterior (zq < z), entende-se que o tomo passou para uma configurao de energia menor e a nova posio aceita, por outro lado se a energia de um passo for maior do que a do passo anterior (zq > z), a nova condio aceita ou no de acordo com a probabilidade:

B-o = O{|}~ n (5.22) Esta probabilidade confrontada com um nmero aleatrio no intervalo fechado entre 0 e 1, se o nmero aleatrio for menor que a probabilidade a condio aceita, caso contrrio o tomo mantm sua posio anterior.

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A temperatura T no possui equivalente no problema real, caracterizando-se como um parmetro de controle, o coeficiente de Boltzman (#g) tambm no possui equivalente no problema real, sendo um parmetro de escala. Como este ltimo faz parte do algoritmo como um multiplicador da temperatura e esta um parmetro de controle, ele usualmente admitido como unitrio.

O processo do recozimento simulado anlogo por sua vez ao algoritmo do problema real. O algoritmo eleva a temperatura do sistema e o resfria progressivamente. A cada nova temperatura, um nmero de rearranjos dos tomos gerado (ou um nmero de configuraes de variveis do problema real) at que se atinja uma condio de equilbrio.

Um algoritmo de recozimento simulado bsico se caracteriza da seguinte forma (neste exemplo supe-se que a busca pelo ponto de mnimo):

Sendo:

T o vetor de variveis correspondente soluo atual; T o vetor de variveis correspondente melhor soluo encontrada; a funo objetivo; T a temperatura inicial; T a temperatura atual; P um nmero real gerado aleatoriamente em 0,1.

Tm-se os seguintes passos:

1. Atribuir a T uma soluo inicial qualquer; 2. Tomar T = T; 3. Definir uma temperatura inicial T; 4. Verificar se alguma das condies de parada foi atingida:

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a. Se verdadeiro, interromper a rotina;

b. Se falso, prosseguir para o passo 5;

5. Tomar um ponto T vizinho a T; 6. Clcular -z = T T; 7. Verificas se -z < 0:

a. Se verdadeiro, tomar T = T e retornar ao passo 5; b. Se falso, gerar um nmero aleatrio entre 0 e 1 e verificar se

< : i. Se verdadeiro, tomar T = T e retornar ao passo 5; ii. Se falso, T se mantm, seguir para passo 8;

8. Atualizar a temperatura T e retornar ao passo 4.

5.4.3 Algoritmos genticos

Algoritmos genticos baseiam-se na analogia entre a busca pela soluo tima com o processo da seleo natural observado na biologia evolutiva. Alm disso, se valem de conceitos de gentica para simular a reproduo e evoluo de uma populao.

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6 Metodologia Aplicao a elementos de concreto armado

A metodologia proposta para a aplicao de qualquer um dos mtodos (MEF ou MBT) para o dimensionamento de estruturas de concreto armado semelhante, podendo ser resumida conforme a Figura 30.

Figura 30 - Fluxograma para o dimensionamento de regies D

Onde:

*1 se refere fissurao excessiva na regio da armadura principal, neste caso deve ser alterada a geometria da pea. No caso de deformao excessiva, de forma geral, deve ser revista a geometria de pea;

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*2 se refere fissurao excessiva devida ao cisalhamento ou ao fendilhamento por compresso, neste caso devem ser revistas as armaduras limitantes de fissurao.

Conforme exposto no Captulo 1 o presente trabalho discute os mtodos de dimensionamento, adotando portanto uma abordagem atravs da anlise linear. Sendo a utilizao da otimizao topolgica como forma de definio dos modelos MBT o ponto focal.

Os estudos realizados basearam-se em dois artigos educacionais publicados por Sigmund (2001) e Andreassen et al (2011): A 99 line topology optimization code written in Matlab e Efficient topology optimization in MATLAB using 88 lines of code, respectivamente.

Os artigos consistem na exemplificao e exposio de um cdigo para o software Matlab que realiza a otimizao topolgica de uma malha bidimensional sujeita a determinadas condies de contorno. Em linhas gerais, seguindo o artigo de Sigmund o cdigo composto pelas seguintes partes:

1. Programa principal;

2. Otimizador baseado no critrio de otimalidade;

3. Filtro (independncia de malha ou discretizao);

4. Cdigo de elementos finitos.

6.1 Problema inicial abordado

A abordagem inicial trata da resoluo do problema de otimizao de um domnio retangular sujeito a condies de contorno prescritas, em particular o cdigo original

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trata de uma viga biapoiada sujeita a uma carga concentrada no centro do vo. Valendo-se da condio de simetria o problema pode ser simplificado conforme a Figura 31

Figura 31 - Problema inicial abordado

So prescritos ao problema a discretizao deste domnio em elementos quadrados em uma malha de nelx elementos na horizontal por nely elementos na vertical. A utilizao de elementos quadrados utilizada com o intuito de simplificar a numerao de elementos e ns bem como da matriz de rigidez e sua alocao.

O material considerado istropo e o problema consiste na alocao de material a cada um dos elementos. Esta densidade localizada de cada elemento limitada por uma restrio densidade global do domnio.

A densidade alocada a cada elemento influncia sua rigidez modificando o mdulo de elasticidade atravs da relao:

zT = zlV + T+z zlV (6.1)

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Onde:

T a densidade do elemento e, variando entre 0 e 1; p uma constante de penalizao;

z o mdulo de elasticidade original do material; zlV um valor extremamente baixo para o mdulo de elasticidade porm diferente de 0 de modo a evitar singularidades no processamento.

O fator de penalizao usualmente tomado como 3 e tem a funo de direcionar as solues para preto-e-branco, isto , busca-se na estrutura otimizada elementos com os valores prximos a 0 ou a 1.

6.2 Otimizao

O processo de otimizao utilizado no algoritmo busca maximizar a rigidez da estrutura com a restrio de densidade:

min cx = =Ex

h

(6.2)

Sujeito a:

VxV = f (6.3)

= (6.4) 0 T 1 (6.5)

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Sendo:

c(x) a funo flexibilidade;

x o vetor de variveis de projeto;

U o vetor de deslocamentos global;

K a matriz de rigidez global;

F o vetor de foras global;

N o nmero de elementos em que foi discretizado o domnio (para a malha retangular igual a OT O); e o ndice do nmero do elemento;

o vetor de deslocamentos do elemento e; a matriz de rigidez para um elemento e considerando-se o mdulo de elasticidade unitrio;

V(x) o volume de material empregado;

V o volume total do domnio; f a frao do volume preenchido com material, prescrito.

O problema exposto pode ser resolvido por