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Cálculo Diferencial e Integal I

Curso de Sistema de Informação

Prof. Ma. Polyanna Possani da Costa Petry

DERIVADA

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Teoremas de Derivação

Teoremas de Derivação

Teoremas de Derivação

Teoremas de Derivação

Teoremas de Derivação

Teoremas de Derivação

Derivadas de Funções Trigonométricas

Se 𝑓 𝑥 = sen 𝑥, então 𝑓′ 𝑥 = cos 𝑥

Demonstração: Faremos em sala.

Se 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥, então 𝑓′ 𝑥 = −sen 𝑥

Demonstração: Faremos em sala.

Se 𝑓 𝑥 = tg 𝑥, então 𝑓′ 𝑥 = sec2 𝑥

Demonstração: Faremos em sala.

Derivadas de Funções Trigonométricas

Outras funções:

𝑑

𝑑𝑥sec 𝑥 = sec 𝑥 tg 𝑥

𝑑

𝑑𝑥cossec 𝑥 = −cossec 𝑥 cotg 𝑥

𝑑

𝑑𝑥cotg 𝑥 = −cossec2 𝑥

Exercícios: em sala.

Regra da Cadeia

As regras de derivação que aprendemos até o momento não nos capacitaram a calcular a deriva de funções como o exemplo abaixo:

𝐹 𝑥 = 𝑥3 + 1

Observe que 𝐹 é uma função composta.

De fato, se tomarmos 𝑦 = 𝑓 𝑢 = 𝑢 e seja 𝑢 = 𝑔 𝑥 =

𝑥3 + 1, então poderemos escrever 𝑦 = 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 ,

isto é, 𝐹 = 𝑓 ∘ 𝑔.

Regra da Cadeia

Se 𝑓 e 𝑔 possuem derivada e 𝐹 = 𝑓 ∘ 𝑔 for uma função

composta definida por 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 , então 𝐹 possui

derivada e 𝐹′ é dada pelo produto

𝐹′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥

Exemplo:

1. Seja 𝐹 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥 − 1 4 , determine a função derivada 𝐹′ 𝑥 .