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metódo de bissecção
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Cálculo Numérico Tema: Zeros Reais de Funções Reais
Professor: Nonato
Fortaleza, 02 de Setembro de 2015
Refinamento
“Método Interativo: é uma sequencia de instruções que são executadas passo a passo, sendo algumas
delas repetidas em ciclo”
Refinamento
Iteração: corresponde a execução do ciclo;
Funcionamento da Iteração: A partir das iterações executadas efetua alguns testes a fim de verificar se
foi atingido um resultado com o erro fixado.
Refinamento
Critérios de Parada
Diz-se que 𝑥 é uma raiz com precisão ε, se:
01- | 𝑥-ξ|<ε;
02- |f( 𝑥)|<ε;
Teste Para Condição 01
Reduz-se o intervalo que contém a raiz a cada iteração. Construindo o intervalo [a,b] de forma que:
𝜉 ∈ [𝑎, 𝑏]
𝑒𝑏 − 𝑎 < 𝜀
portanto para todo e qualquer 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏],
|𝑥 − 𝜉| < 𝜀. Portanto todo e qualquer 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , pode ser 𝑥
Graficamente
Método da Bissecção
Se f é uma função continua no intervalo [𝑎, 𝑏] de forma que f(a)f(b)<0
O Método
Reduz-se a amplitude do intervalo que contem a raiz de forma que (b-a) < 𝜀 , para tanto divide-se o
intervalo [a,b] ao meio sucessivamente.
O Método
𝑥0 =𝑎0 + 𝑏0
2
𝑓(𝑎0) < 0𝑓(𝑏0) > 0𝑓(𝑥0) > 0
⟹𝜉 ∈ (𝑎0, 𝑥0)𝑎1 = 𝑎0
𝑏1 = 𝑥0
𝑥1 =𝑎1 + 𝑏1
2
𝑓(𝑎1) < 0𝑓(𝑏1) > 0𝑓(𝑥1) > 0
⟹𝜉 ∈ (𝑎2, 𝑥2)
𝑎2 = 𝑥1
𝑏2 = 𝑏1
...............
Exemplo
Aplicar o método na função f(x)=xlog(x) - 1
Algoritmo
Passo 01: Dados inicias
a- intervalo inicial [a,b]
b- precisão 𝜀
Passo 02: Se (b-a)< 𝜀, escolhe-se 𝑥como sendo qualquer x ∈ (a,b). Fim
Passo 03: k=1
Passo 04:M=f(a)
Passo 05:x =𝑎+𝑏
2
Algoritmo
Passo 06: Se Mf(x)>0, a<-x. Pule para o passo 8
Passo 07: b = x
Passo 08: Se (b-a) <𝜀, 𝑥 assume qualquer x ∈[a,b]. Fim
Passo 09: k<-k+1 retorne ao passo 5
Ao fim do processo tem-se o intervalo [a,b] com a raiz, de forma que (b-a) <𝜀 e uma aproximação 𝑥 para
a raiz exata.
Exemplo
Encontre a raiz da equação 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑙𝑛𝑥 com𝜖≪ 0,01
Exercícios
Encontre pelo menos uma raiz real das equações abaixo, com 𝜀 ≤ 0,01
𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 6𝑥2 − 𝑥 + 30 = 0
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔𝑥 = 0
𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0
𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0
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