View
238
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
1
Capítulo 2
Cálculo Integral em RCálculo Integral em R
2
�SUMÁRIO
� Primitivas imediatas ou quase-imediatas
� Primitivação por partes e por substituição
Capítulo 2 - Cálculo Integral
� Primitivação de funções racionais
� Integrais (fórmula de Barrow)
� Propriedades do integral definido
� Integrais paramétricos
� Integrais de limites infinitos
3
Capítulo 2 - Cálculo Integral
• Definição de Primitiva:
Seja f uma função real de variável real definida em D ⊂R.
Diz-se que f é primitivável se e só se existe uma função F :
D→R tal que F ’ = f .
Qualquer função F que verifique esta condição éconsiderada uma primitiva de f.
4
Capítulo 2 - Cálculo Integral
Exemplo:xxf =)(
Qual a primitiva desta função? Será única?
2)(
2
1
xxF = 5
2)(
2
2 +=x
xF 1002
)(2
3 +=x
xF
RCCx
xP ∈+= ,2
)(2
Conjunto de todas as primitivas da função:
5
Capítulo 2 - Cálculo Integral
Mais exemplos:
4)( xxf = ( ) C
xxP +=
5
54
7)( =xf ( ) CxP += 77
xxf 3)( = ( ) Cx
xP +=2
33
2
6
Capítulo 2 - Cálculo Integral
xxf
1)( = Cx
xP +=
ln
1
<−
>=
0)ln(
0lnln
xx
xxx ( )
<=−
−
>
=
011
01
'ln
xxx
xx
x
7
Capítulo 2 - Cálculo Integral
xexf =)( ( ) CeeP
xx +=
2
2
1)(
−== xx
xf ( ) CxxP +−= −− 12
xxf =)( ( ) Cx
xP +=
2
3
2
3
8
Capítulo 2 - Cálculo Integral
xxf 6)( = ( ) CP
xx +=
6ln
66
xxf
52)( = ( ) CP
xx +=
2ln5
22
55
)3sin()( xxf = ( ) Cx
xP +−
=3
)3cos()3sin(
9
Capítulo 2 - Cálculo Integral
Genericamente:
mx
CaxaP +=)(
2
Ckx
kxP
Cbxmx
bmxP
+=
++=+
3)(
2)(
32
2
10
Capítulo 2 - Cálculo Integral
CxxP
CeePxx
+=
+=
ln)/1(
)(C
xxP +
+=
+
α
αα
1)(
1
Cke
keP
Ca
aaP
xx
xx
+=
+=
α
αα
)(
ln)(
Ca
axaxP
Ca
axaxP
+−=
+=
)cos())(sin(
)sin())(cos(
11
Capítulo 2 - Cálculo Integral
Como primitivar a função ?)(sin)(2
xxf =
[ ] Cx
xP +=3
)(sin)(sin
32
Erradíssimo!![ ] CxP +=3
)(sin Erradíssimo!!
Não é nada simples primitivar esta função! Estudaremos mais à frente…
12
Capítulo 2 - Cálculo Integral
Como primitivar a função ?)(sin).cos()(2
xxxf =
É muito mais simples do que a anterior…
[ ] Cx
xxP +=3
)(sin)(sin).cos(
3
2
Correcto!!
É muito mais simples do que a anterior…
13
Capítulo 2 - Cálculo Integral
Como primitivar a função ?)cos(
).sin()(x
exxf −=
[ ] CeexPxx +=− )cos()cos(
).sin([ ]
Como primitivar a função ?( )2
4.2)(x
xxf =
( )[ ] CxPx
x +=4ln
44.2
2
2
14
Capítulo 2 - Cálculo Integral
Mais algumas regras:
( ) CxfPkxfkP += ))((.)(.
( )C
xfxfxfP +
+=
+
1))(.)('(
1
α
αα
CeexfPxfxf += )()('
).)((
15
Capítulo 2 - Cálculo Integral
( ) Ca
aaxfP
xfxf +=
ln.)('
)()(
Cxfxf
P +=
)(ln)('
Cxfxf
xfP +=
)(ln
)(
)('
CxfxfxfP += )(sin))(cos).('(
CxfxfxfP +−= )(cos))(sin).('(
16
Capítulo 2 - Cálculo Integral
[ ]2
'
1
1arcsin
xx
−=
[ ] 1−
[ ]( )2
'
)(1
)(')(arcsin
xf
xfxf
−=
[ ]2
'
1
1arccos
xx
−
−=
[ ]2
'
1
1arctan
xx
+=
[ ]( )2
'
)(1
)(')(arccos
xf
xfxf
−
−=
[ ]( )2
'
)(1
)(')(arctan
xf
xfxf
+=
17
Capítulo 2 - Cálculo Integral
Fora do caso de primitivação imediata, recorre-se geralmente aos denominados métodos tradicionais de primitivação:
- Por Decomposição
- Por Partes
- Por Substituição
18
Capítulo 2 - Cálculo Integral
• Primitivação por Decomposição:
))(())(())()(( xgPxfPxgxfP +=+
( ) ( )
Cexx
Ce
Cx
Cx
ePxPxPexxP
xx
xx
++−=+++−+=
=+−=+−
22
5
322
5
3
)(5)(5
223
3
2
2
2
1
3
2222
Exemplo 1:
19
Capítulo 2 - Cálculo Integral
( )x
PxPx
xP =
+=
−+
24
2)3(
23
Exemplo 2:
( )
[ ] [ ] Cxx
CxCx
x
PxPx
xP
++=+++=
=
−
+=
−
+
2
2
2
2
1
2
224
arcsin2
3arcsin
2
3
1
)3(1
3
20
Capítulo 2 - Cálculo Integral
Exercícios:
a) ?=
xxxP
b)
c)
?6
1212
=
++
ex
x
xP
?1
52
=
+−
x
x
e
eP
21
Capítulo 2 - Cálculo Integral
Exercícios:
d) ( ) ?).sin(cos =− x
exP
e)
f)
?41
1
2=
−
−
xP
( )( ) ?.82 =xsenxP
22
Capítulo 2 - Cálculo Integral
• Primitivação por Partes:
))(')(()()())().('( xfxgPxfxgxfxgP −=
)'.(.)'.( vuPvuvuP −=
( ) Cxe
CexeePxeexP
x
xxxxx
+−=
=+−=−=
1
)1.().(
)'.(.)'.( vuPvuvuP −=
v 'u u v u 'v
23
Capítulo 2 - Cálculo Integral
xPxxxPxP =
−==1
.ln)ln.1()(ln
)'.(.)'.( vuPvuvuP −=
( ) Cxx
Cxxx
xxPxxxPxP
+−=
=+−=
=
−==
1ln
ln
.ln)ln.1()(ln
v'u
24
Capítulo 2 - Cálculo Integral
( )
( ) ( )
xxPxxxxPxP =−−−== coscossincos)sin.(sin)(sin2
)'.(.)'.( vuPvuvuP −=
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) Cxxx
xP
xPxxxxP
xPxxx
xPxxxPxx
++−
=⇔
⇔−+−=⇔
⇔−+−=
=−+−=+−=
2
sincossin
sinsincossin
sinsincos
sin1sincoscossincos
2
22
2
22
25
Capítulo 2 - Cálculo Integral
• Primitivação por Substituição:
[ ] )()('))(())(( txttfPxfP ϕϕϕ ==
( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( ) CxxCxe
CteCete
ePteetPeePxP
x
ttt
ttttt
+−=+−→
+−=+−=
=−==→
1ln1ln
1.
)(...lnln
ln
tex =
tex ='
xt ln=
26
Capítulo 2 - Cálculo Integral
[ ] )()('))(())(( txttfPxfP ϕϕϕ ==
( )
Cxx
Ctt
tPtt
tP
x
xP
++→
++=+=
+→
+
23
2
23
2222.
11
3
32
2
2tx =tx 2'=xt =
27
Capítulo 2 - Cálculo Integral
( ) ?2 =+xxP
Encontre as primitivas das seguintes funções, usando os métodos de primitivação por partes ou substituição:
Nesta primitiva
?ln
=
x
xP
( ) ?=xsenP
Nesta primitiva aplique os dois
métodos!
( ) ?)cos(. =xxP
28
Capítulo 2 - Cálculo Integral
( ) ?)( =xsenePx
?)1(
2
=
+x
x
e
eP
32
+x
( )( ) ?23ln =+xP
( ) ?)arctan( =xP?9
3
2
2
=
−
+
x
xP
( ) ?)( =xarcsenP
29
Capítulo 2 - Cálculo Integral
Primitivação de Funções Racionais:
Cxx
P ++=
+4ln2
4
2
Nada de novo!x + 4
( ) Cx
xPx
P +−==
−
−
4
14
5
5
Cxx
Px
P +=
+=
+)arctan(2
1
1
4
8
44
822
Nada de novo!
30
Capítulo 2 - Cálculo Integral
Primitivação de Funções Racionais:
Novidade!?1
2
=
+
x
xP
x
O primeiro passo é verificar se a fracção racional é própria, ou seja, se o graudo numerador é inferior ao grau do denominador. Caso isso nãoaconteça procede-se à divisão dos polinómios que resulta necessariamentenuma fracção própria e num polinómio.
31
Capítulo 2 - Cálculo Integral
Cxx
xxP
xx
xP
x
xP ++=
+=
+=
+ln
2
111222
Cxxx
xPx
P +++−=
++−=
+4ln164
164
22
Cxxx
xPx
P +++−=
+
+−=
+
4ln16424
44
2x 4+x
4−xxx 42 −−
x4−164 +x
16D/d = Q+R/d
32
Capítulo 2 - Cálculo Integral
+−−+−=
=
+−−
+−
−=
+−
−=
+−
−
1
1
2
11ln
2
1
1
1
1
12
2
1
1
22
2
1
1
1
2
2
2222
xxPxx
xxxx
xP
xx
xP
xx
xP
+− 12
1ln2
2xx
...
12
1
3
4
4
3
1
4
3
2
1
1
1
1222
=
+
−
=
+
−
=
+−x
P
x
Pxx
P
33
Capítulo 2 - Cálculo Integral
132
2
3
2
1
3
4
12
1
3
4
4
3
1...
22=
+
−
=
+
−
=
x
P
x
P
...3
1
3
2arctan
3
32
13
1
3
2
3
2
2
3
3
4
1323
1234
2=+
−=
+
−
=
+
−
+
−
Cx
x
P
xx
34
Capítulo 2 - Cálculo Integral
CxCx +
−=+
−=
3
3
3
32arctan
3
32
3
1
3
2arctan
3
32...
Pxxx
P =
−+−=
− 11
1ln11 2Assim…
Cxxx
Cxxx
xxPxx
xx
xP
+
−−+−=
=+
−−+−=
=
+−−+−=
+−
−
3
3
3
32arctan
3
31ln
2
1
3
3
3
32arctan
3
32
2
11ln
2
1
1
1
2
11ln
2
1
1
1
2
2
2
2
2Assim…
35
Capítulo 2 - Cálculo Integral
−+−−+=
=
−+−
−+
+=
−+
−=
−+
−
2
9
2
12ln
2
1
2
9
2
12
2
1
2
82
2
1
2
4
2
2
2222
xxPxx
xxxx
xP
xx
xP
xx
xP
−+
−−+=22
2ln2
2xx
Pxx
−
+
=
−+
4
9
2
1
9
2
922
x
Pxx
PO sinal negativo impede que a
primitiva seja arco tangente!!
36
Capítulo 2 - Cálculo Integral
)2()1()2)(1(
4
2
42 +
+−
=+−
−=
−+
−
x
B
x
A
xx
x
xx
x
Comecemos novamente, aplicando o Método dos Coeficientes Indeterminados…
)2()1()2)(1(2 +−+−−+ xxxxxx
++
−=
−+
−
)2()1(2
42
x
B
x
AP
xx
xP
37
Capítulo 2 - Cálculo Integral
24
)2)(1(
)1()2(
2
4
)2()1(2
422
−++=
−⇔
⇔+−
−++=
−+
−⇔
++
−=
−+
−
BABxAxx
xx
xBxA
xx
x
x
B
x
A
xx
x
2
2
2
422 −+
−++=
−+
−⇔
xx
BABxAx
xx
x
=
−=⇔
−=−
+=
2
1
24
1
B
A
BA
BA
38
Capítulo 2 - Cálculo Integral
xxP
x
B
x
AP
xx
xP =
++
−
−=
++
−=
−+
−
)2(
2
)1(
1
)2()1(2
42
( )C
x
xC
x
xCxx +
−
+=+
−
+=+++−−=
1
2ln
1
2ln2ln21ln
)2()1()2()1(2
22
39
Capítulo 2 - Cálculo Integral
−
++
xx
xxP
3
214
Aplique o Método dos Coeficientes Indeterminados para calcular a seguinte primitiva:
− xx
Dica…
11)1)(1(
14142
3
2
++
−+=
+−
++=
−
++
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
xx
xx
2,3,1 ==−= CBA
40
Capítulo 2 - Cálculo Integral
Cxx
x
xx
xxP +
+
−=
−
++ 2
3
3
2
)1()1(
ln14
Solução:
xxx
−
41
Capítulo 2 - Cálculo Integral
• Integral:
Para que serve o cálculo integral? Serve sobretudo para calcular áreas!! Mas há outras aplicações…
a b
)(xf
∫=b
a
dxxfA )(
x
y
42
Capítulo 2 - Cálculo Integral
)(xf
y
a b
[ ] )()()()( aFbFxFdxxfAb
a
b
a
−=== ∫
x
Fórmula de Barrow
43
Capítulo 2 - Cálculo Integral
23)( xxf =
Exemplos:
1. Encontre a área delimitada pela função e o eixo dos XX entre 1 e 3.
1 3 x
y)(xf ( )
[ ] 26127
3
3
1
3
3
1
2
=−==
== ∫
x
dxxA
44
Capítulo 2 - Cálculo Integral
xxf ln)( =2. Encontre a área delimitada pela função e o eixo dos XX entre 2 e .e
)(xfy
( ) [ ] 4ln2)12(ln2)1(lnln.1 2
2
−=−−=−== ∫e
e
xxdxxA
2 e x
45
Capítulo 2 - Cálculo Integral
xxf 5)( =3. Encontre a área delimitada pela função e o eixo dos XX entre -2 e -1.
)(xfy
( ) 102
5
2
550
1
2
21
2
+−=
−=−=
−
−
−
−
∫x
dxxA
x
2− 1−
45
Capítulo 2 - Cálculo Integral
xxf sin)( −=4. Encontre a área delimitada pela função e o eixo dos XX entre e .π0
)(xfy
[ ] ( ) [ ] 2)1(1cossin)sin(0 0
00
=−−=−==−−= ∫∫π
ππ
xdxxdxxA
x
)(xf
47
Capítulo 2 - Cálculo Integral
xxf cos)( =5. Encontre a área delimitada pela função e o eixo dos XX entre e .
22− ππ
2
3π−
y
2
π
[ ] [ ]
[ ] [ ] 4sinsin
coscos0
2
2
2
23
2
2
2
23
=+−=
+−=
−
−
−
−
−
−∫∫
π
π
π
π
π
π
π
π
xx
dxxdxxA
2
πx
)(xf
y
2
π
2
π−
2
3π−
48
Capítulo 2 - Cálculo Integral
2)( += xxf
6. Encontre a área delimitada pelas funções: 2
)( xxg =212
2 =∨−=⇔=+ xxxx
)(xgy
( )
( ) 5,43
22
2
)()(
2
1
322
1
2
2
1
=
−+=−+=
=−=
−−
−
∫
∫
xx
xdxxx
dxxgxfA)(xf
)(xg
x
y
21−
49
Capítulo 2 - Cálculo Integral
xxf =)(
7. Encontre a área delimitada pelas funções:
( ) ( )10
3)( xxg = 101
3 =∨=∨−=⇔= xxxxx
)(xgy
( ) ( )
2
1
4224
1
0
420
1
24
1
0
3
0
1
3
=
−+
−=
=−+−=
−
−
∫∫
xxxx
dxxxdxxxA)(xf
x
y
1
1−
50
Capítulo 2 - Cálculo Integral
• Propriedades dos Integrais Definidos:
)()()( aFbFdxxf
b
a
−=∫a
∫∫ −=a
b
b
a
dxxfdxxf )()(
0)( =∫a
a
dxxf
51
Capítulo 2 - Cálculo Integral
∫∫∫ +=bcb
dxxfdxxfdxxf )()()(
• Propriedades dos Integrais Definidos:
∫∫∫caa
[ ] ∫∫∫ +=+b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()( βαβα
52
Capítulo 2 - Cálculo Integral
[ ] )()()()( aFtFxFdxxft
a
t
⇒−==∫
• Propriedades dos Integrais Indefinidos:
[ ]
[ ] )()()()(
)()()()(
''tfaFtFdxxf
aFtFxFdxxf
tt
t
a
a
a
=−=
⇒
⇒−==
∫
∫
53
Capítulo 2 - Cálculo Integral
[ ] )()()()( tFbFxFdxxfb
t
b
⇒−==∫
• Propriedades dos Integrais Indefinidos:
[ ]
[ ] )()()()(
)()()()(
''tftFbFdxxf
tFbFxFdxxf
tt
b
t
t
t
−=−=
⇒
⇒−==
∫
∫
54
Capítulo 2 - Cálculo Integral
))(())(()(
')(
taFtbFdxxf
tb
⇒−=
∫
• Propriedades dos Integrais Indefinidos:
( ) ( ) )(')()(')()(
))(())(()(
'
)(
)(
)(
tataftbtbfdxxf
taFtbFdxxf
t
tb
ta
tta
−=
⇒
⇒−=
∫
∫
55
Capítulo 2 - Cálculo Integral
• Teorema da Média:
[ ]ba,
[ ]bah ,∈
1. Seja f (x) uma função contínua no intervalo ; existetal que:
;
y
)()()( hfabdxxf
b
a
−=∫
a b
)(hf
x
y)(xf
h
56
Capítulo 2 - Cálculo Integral
[ ]ba,2. Sendom eM o menor e o maior valor de f em tem-se:
;
y
b M
a b x
)()()( abMdxxfabm
b
a
−≤≤− ∫)(xf
M
m
57
Capítulo 2 - Cálculo Integral
• Integrais Paramétricos:
Para além da variável, a função a integrar pode ter parâmetros.
;
( ) 13
1
2 22
+=
+=+∫ββ
β xx
dxx( ) 12
3
21
1 1
+=
+=+∫
βββ x
xdxx
( ) [ ] δδδ yxydxy 4
4
0
4
0∫ ==
111
1ln11
1 1
+−
=−+=
+=
+∫ βββββ
eey
ydy
y
e e
58
Capítulo 2 - Cálculo Integral
• Integrais com Limites Infinitos:
;
[ ] ( )[ ] 11limlim0
0
0 =+−=−−−=−= ∞−−
+∞→
+∞−
+∞→
−
∫ eeeedxeb
b
bx
b
x
0
)(xf
x
y
Área 1
Integral convergente!
59
Capítulo 2 - Cálculo Integral
• Integrais com Limites Infinitos:
;
[ ] ( ) ( ) −∞=∞+−=−==
−∞→
−
−∞→
−
∞−
∫ 0ln1lnlimlnlim1 1
1
bxdxx bbb
)(xf
x
y
∞−
1−
Integral divergente!
60
Capítulo 2 - Cálculo Integral
• Integrais de funções descontínuas:
;
[ ] ==
=
−−
→
−
−→
−
∫∫ lnlim1
lim1 0
10
0
10
0
1
ε
ε
ε
εxdx
xdx
x
)(xf
x
y ( ) −∞=−−−=→
1lnlnlim0
εε
1−A função a integrar não está
definida em x=0.
Integral divergente!
61
Capítulo 2 - Cálculo Integral
• Integrais de funções descontínuas:
;
[ ] [ ]
2
1lim
2
1lim
2
14
20
2
00
4
0
=
−+
−=
−+
→
−
→ ∫∫∫ε
ε
ε
εdx
xdx
xdx
x
)(xf
x
y[ ] [ ]
( ) 0ln2ln2lnlnlim
2lnlim2lnlim
0
4
20
2
00
=−+−=
=−+−=
→
+→
−
→
εεε
εε
ε
εxx
2 4
Integral convergente!
62
Capítulo 2 - Cálculo Integral
• Integrais de funções descontínuas:
;
...)(lim)(lim)(
10
50
5
00
10
0
=+= ∫∫∫+
→
−
→ε
ε
ε
εdxxgdxxgdxxg
)(xg
x
y
500 +ε
5
A função a integrar não está definida em x=5, mas não é por isso que o integral não é
convergente.10
Recommended