Capítulo 3 Teoria da Estabilidade Linear. 3.1. Introdução A turbulência já foi caracterizada e...

Capítulo 3

Teoria da Estabilidade Linear

3.1. Introdução

•A turbulência já foi caracterizada e o processo de transição em diversos tipos de escoamentos foi estudado.

•No entanto, a transição é um assunto muito complexo e pouco compreendido. Ele permanece, ainda nos dias atuais, sem uma teoria plausível que permita descrevê-lo coerentemente.

A teoria da estabilidade linear é, no entanto, uma ferramenta interessante que tem permitido obter informações

importantes.

3.2. Teoria da Estabilidade Linear

•As referências mais clássicas neste assunto são Drazin and Reid (1981) e White (1991).

•Os escoamentos laminares são exceção. A altos números de Reynolds, via de regra, acontece a transição para a turbulência.

•Devido à complexidade dos sistemas fluidos, torna-se interessante estudar e caracterizar o processo de transição de sistemas mecânicos simples antes de estudar a transição de escoamentos.

3.2. Teoria da Estabilidade Linear

(a) (b) (c) (d)

a) Sistema incodicionalmente estável – retorna ao equilíbrio, independentemente da amplitude da perturbação.

b) Sistema instável – por menor que seja a amplitude da perturbação, ele se torna instável, sem retorno à posição inicial.

c) Sistema neutramente estável – sempre encontrará uma nova posição de equilíbrio.

d) Sistema condicionalmente estável – dependendo da amplitude da perturbação o sistema poderá ou não retornar ao equilíbrio.

3.2. Teoria da Estabilidade Linear

•Uma camada limite sobre uma placa plana, com uma fonte de perturbação, é um exemplo de um sistema condicionalmente estável

Fonte deperturbação

Camada Limite: ela poderá seTornar instável, dependendo danatureza da perturbação injetada,em relação ao regime deoperação;

3.3. Esquema básico de uma análise de estabilidade

b) Perturbar esta solução de base com uma perturbação Q´: Q0+Q’

c) Subtrair da solução em Q0+Q’ a solução em Q0 e obter uma equação para Q’;

d) Se a equação linearizada ainda permanecer complicada, simplificar a perturbação, fazendo-a unidimensional ou bidimensional.

a) Procura-se examinar a estabilidade de uma solução de base no sistema em questão. Seja Qo esta solução de base, a qual pode ser um escalar ou um vetor.

•Pode-se estabelecer a análise de estabilidade de um sistema dinâmico segundo os seguintes passos:

e) Esta equação deve ser homogênea com condições de contorno também homogêneas, o que implica em solução envolvendo autovetores e autofunções;

f) Determinados os autovetores ou as auto funções, determina-se diagramas de estabilidade, identificando-se as zonas de estabilidade e instabilidade, separadas por linhas neutras.

3.3. Esquema básico de uma análise de estabilidade

Exemplo: Flexão de uma viga sob compressão

P Py(x)

Exemplo: Flexão de uma viga sob compressão

Dados: L: comprimento da viga;E: módulo de elasticidadeI: Momento de inérciaP: Carga impostaQuestão: a viga fletirá?

a) Modelo e solução de base: teoria do momento fletor para uma viga

2d yM EI

2dx y 0 y L 0

Solução de base: y x 0

Exemplo: Flexão de uma viga sob compressão

b) Perturbar:

2d y y P

y y 02 EIdx

2d y Py 0

2 EIdx

Com

y 0 y L 0

Exemplo: Flexão de uma viga sob compressão

Exemplo: Flexão de uma viga sob compressão

c) Solução em y’

y x A sen x B cos x

onde1 / 2P

EI

e y 0 0 B 0

Por outro lado

ny L 0 sen L 0 com n int eiron L

Exemplo: Flexão de uma viga sob compressão

d) Examinar a estabilidade

Para diferentes cargas Pn, com n inteiro, tem-se diferentes níveis de flexão na forma de sonoides:

n=0 => y(x)=0n=1 => y(x)=Asen (x/L)n=2 => y(x)=Asen (3x/2L)

Estabilidade neutra.

1 / 2 2 2P n n EInFisicamente Pn 2EI L L

Exemplo: Flexão de uma viga sob compressão

3.4. Estabilidade linear em Escoamentos

•Equação de Orr-Sommerfeld

Escoamentos incompressíveis laminares. Propriedades físicas constantes. Equações:

CM : .V 0

DV 1 2CQM : p VDt

•Seguindo os passos:

.Assumir uma dada solução de base para o comportamento médio do escoamento

V U ,V ,W0p P0

.Superpor uma perturbação sobre a solução de base

ˆ ˆ ˆ ˆV v U u,V v ,W w0ˆ ˆp p P p0

Estabilidade linear em Escoamentos

.Após desprezar as potências de ordem superior, tem-se:

ui 0xiˆ ˆ ˆˆu u U u1 pi i i iˆU uj jt x x x x xj j i j j

•Para continuar, assume-se um escoamento de base U(y)bidimensional e localmente paralelo por exemplo;

. As perturbações se comportam na forma de ondas que são transportadas. Expressando-as na forma complexa, tem-se:

ˆ ˆ ˆ ˆu,v ,w , p u y ,v y ,w y , p y exp i x cos z sen ct

Estabilidade linear em Escoamentos

.onde

i 1 o: n de onda

: ângulo em relação à diração considerada

c : velocidade de propagação das ondas

forma de um trem de ondas cujas amplitudes dependem de y e movimentam-se com um ângulo

ˆ ˆ ˆu,v ,w

Todas as ondas se propagam com um número de onda e com velocidade c.

Estabilidade linear em Escoamentos

. Estas ondas são classicamente conhecidas como ondas de Tolmien-Schilichting (ondas TS)

. Substituindo-se estas perturbações nas equações precedentes, obtém-se o seguinte sistema de equações:

dvPCM i ucos i sen 0

dy

2dU i d u 2i uF v pcos u 02dy dy

21 dp d v 2i vF v 02BQM dy dy

2dW i d w 2i wF v pcos u 02dy dy

F U cos w sen c

Estabilidade linear em Escoamentos

• Tem-se um sistema de quatro equações e quatro incógnitas (u, v, w e p). Elas são de segunda ordem em (u, v e w) e de primeira ordem na pressão p. Trabalhando estas equações e eliminando variáveis tem-se a equação de Orr-Sommerfeld:

i2 2 4U c v v U v v 2 v v 0.

Estabilidade linear em Escoamentos

Para duto : v h v h 0

v 0 v 0 0Cacama lim ite :

v v 0

Camada cizalhante : v v 0

+h

-h

y

y

Estabilidade linear em Escoamentos

A equação de Orr-Sommerfeld é homogênea e linear e as condições de contorno também o são. Logo ela admite solução do tipo auto-valores e auto-funções. Para um dado perfil apenas uma seqüência de valores satisfarão a equação de Orr-Somerfeld, submetida a estas condições de contorno. O problema matemático maior que reside é a determinação destas auto-funções associadas à solução

Estabilidade linear para escoamentos invíscidos

Neste caso considera-se que Reynolds tenda a infinito. Desta forma, simplifica-se a equação de Orr-Somerfeld, obtendo-se a equação de Rayleigh (1878).

U 2v v 0U c

Estabilidade linear para escoamentos invíscidos

Com base nesta teoria, foram propostos e demonstrados os seguintes teoremas:

Teorema 1 (Rayleigh -1880) – É necessária a existência de um ponto de inflexão (escoamentos 2D) ou uma linha de inflexão (escoamentos 3D) em U(y) (perfil de base) para aparecer instabilidades no escoamento.

Estabilidade linear para escoamentos invíscidos

Teorema 2 (Fjortoff - 1950) – É também necessário que o valor numérico da vorticidade /U’/ (norma da vorticidade) assuma um máximo no ponto de inflexão ou sobre a linha de inflexão.

Teorema 3 (Fjortoff – 1950) – Se um ponto ou uma linha de inflexão existem é também necessário que U”(U-UPI)<0 em algum ponto sobre o perfil U(y), onde UPI é a velocidade sobre o ponto ou sobre a linha de inflexão.

Teorema 4 (Fjortoff - 1950) – Se um ponto ou uma linha de inflexão existe sobre U(y), ou seja, em y=yPI, então poderá existir uma linha neutra (cI=0) cuja velocidade de fase é Cr=U(PI). Isto é importante pois esta linha separa as regiões estáveis e instáveis em um diagrama de estabilidade

Estabilidade linear para escoamentos invíscidos

Teorema 5 (Rayleigh - 1880) – A velocidade de fase Cr de uma perturbação amplificada deve sempre estar no intervalo Umax e Umin.

Estabilidade linear para escoamentos invíscidos

Estável, seminflexão.

y

U(y)(a)

oyI

y

U(y)(b)

Estável, seminflexão.

y

U(y)(c)

0UUU0UU

0yUPI

PI

Estável: Imin yemU

y

U(y)(d)

Poderá ser instável,satisfaz aos trêsprimeiros teoremas

Por muito tempo, pensou-se que, pelo teorema 1, só os escoamentos cizalhantes livres poderiam transicionar. Coube a Prandtl (1921) constatar que os efeitos viscosos podem desestabilizar escoamentos do tipo camada limite. Conclui-se, desta forma, que existem duas famílias de instabilidades: aquelas de natureza cizalhante e aquelas de natureza viscosa.

Estabilidade linear para escoamentos viscosos

•Escoamentos cizalhantes livres

•Aqui é apresentada uma análise de estabilidade relativa a uma camada de mistura em desenvolvimento temporal. Betchov e Szewcyk (1963), utilizaram um perfil de base do tipo

yU y U tgh0 L

Estabilidade linear para escoamentos viscosos

•Ilustração do perfil de base utilizado

L

a

Estabilidade linear para escoamentos viscosos

Estabilidade linear para escoamentos viscosos

•Camada limite de Blasius

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Z o n a I n s t á v e l

Z o n a e s t á v e l

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ondadenúmero:

Estabilidade linear para escoamentos viscosos

O cenário do processo de transição em uma camada limite pode ser resumido como segue:

1. Formação de ondas TS: natureza física está ligada a efeitos viscosos, que neste caso são voltado para o processo de amplificação de perturbações e geração das ondas TS;

2. Surgimento de instabilidades transversais;

3. Surgimento de instabilidades do tipo “grampo de cabelo”;4. Formação dos chamados spots turbulentos;5. Degeneração em turbulência 3D.

Estabilidade linear para escoamentos viscosos

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c Re

Ondas de T-S Instabilidades em

grampo de cabelo

Spots turbulentos e turbulência desenvolvida

5.- Turbulência 3D4.- Spots Turbulentos3.- Indução não linear dos processos de bombeamento de fluido vertical e de soerguimento das cristas das instabilidades2.- Oscilações transversais sobre as ondas TS1.- Ondas de Tollmien- Schlichting