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CÁLCULO IIProf. Jerônimo Monteiro
Gabarito - Lista Semanal 01
Questão 1. a) Encontre o centro e o raio da esfera S definida por
x2 + y2 + z2 − 10x+ 6y + 2z = 14.
Solução: Manipulamos a equação dada a fim de reescrevê-la na forma de equação padrão da esfera.Temos
x2 + y2 + z2 − 10x+ 6y + 2z = 14⇔x2 − 10x+ y2 + 6y + z2 + 2z = 14⇔
x2 − 2 · 5 · x+ y2 + 2 · 3 · y + z2 + 2 · 1 · z = 14⇔x2 − 2 · 5 · x+ 52 + y2 + 2 · 3 · y + 32 + z2 + 2 · 1 · z + 12 = 14 + 25 + 9 + 1⇔
(x− 5)2 + (y + 3)2 + (z + 1)2 = 72
que é equivalente a(x− 5)2 + (y − (−3))2 + (z − (−1))2 = 72
de onde concluímos que Ca = (5,−3,−1) é o centro da esfera e Ra = 7 é a medida do raio.
b) Encontre a distância do centro de S definida em a) para a esfera
x2 + y2 + z2 = 625.
Solução: Sejam Cb = (0, 0, 0) e Rb = 25 o centro e o raio da esfera dada pela equação x2+y2+z2 =252, respectivamente. Calculamos a distância entre Ca e Cb:
d(Ca, Cb) =√
(0− 5)2 + (0− (−3))2 + (0− (−1))2 =√25 + 9 + 1 =
√35 < 6.
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Concluímos com isto que a distância entre Ca e Cb é menor que o radio Rb, de modo que o pontoCa se encontra na região interna delimitada pela esfera x2 + y2 + z2 = 252. Assim, conforme ilustraa figura, a distância do centro de S para a esfera x2 + y2 + z2 = 625 é:
d = 25−√35 ≈ 19, 0839.
c) Encontre a menor distância entre as esferas S e a esfera em b).
Solução: Ainda, conforme sugere a figura apresentada na solução do item b), a distância de S paraa esfera de b) é dada por
D = Rb − d−Ra = 25−√35− 7 ≈ 12, 0839.
Questão 2. a) Descreva a superfície x2 − (z2 + 14z) = 74 em R3.
Solução: Manipulamos a equação da maneira seguinte:
x2 − (z2 + 14z) = 74⇔x2 − (z2 + 14z + 72) = 74− 49⇔
x2 − (z − (−7))2 = 52
A equação descreve a superfície de uma hipérbole no plano xz e que se projeta infinitamente nadireção Oy.
b) Descreva a "superfície"x2 = z2 em R3.
Solução: Podemos manipular a equação x2 = z2 da maneira seguinte:
x2 = z2 ⇔x2 − z2 = 0⇔
(x− z) · (x+ z) = 0⇔x− z = 0 ou x+ z = 0.
A superfície pode ser descrita como a união de dois planos, a saber, o plano x − z = 0 e o planox+ z = 0.
c) Desenhe as superfícies de a) e b) e suas interseções.
Solução: Como afirmado no item a), a superfície descrita pela equação x2 − (z2 + 14z) = 74 é aprojeção de uma hipérbole na direção do eixo y.
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Já a equação x2 − z2 = 0 pode ser descrita pela união de dois planos.
A interseção das superfícies pode ser obtida dando solução ao sistema{x2 − (z2 + 14z) = 74x2 − z2 = 0
A solução do sistema acima consiste em duas retas:
Y1(t) =
(37
7, t,−37
7
)Y2(t) =
(−37
7, t,−37
7
)
Questão 3. Encontre a equação da esfera com centro em (3, 5, 4) e que passa pelo centro da esfera Scitada em 1a).
Solução: Tendo o centro C = (3, 5, 4) da esfera pedida e sabendo que essa esfera passa pelo pontoCa = (5,−3,−1), pode-se concluir que a medida do raio da esfera pedida é igual a distância entre C e Ca.
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Temos
R = d(C,Ca)
=√
(3− 5)2 + (5− (−3))2 + (4− (−1))2
=√
22 + 82 + 52
=√4 + 64 + 25
=√93.
A equação da esfera de centro (3, 5, 4) e de raio medindo√17 é da forma
(x− 3)2 + (y − 5)2 + (z − 4)2 = 93.
Questão 4. Verifique que se −→a e−→b são vetores não nulos que não estão na mesma direção, então
−→c = |−→a |−→b + |
−→b |−→a divide o ângulo entre −→a e
−→b em partes iguais.
Solução: Seja θa o ângulo entre −→c e −→a e seja θb o ângulo entre −→c e−→b . Verificamos que cos θa = cos θb
para concluirmos que θa = θb uma vez que θa, θb ∈ [0, π].
Temos
cos θa =−→c · −→a|−→c | · |−→a |
cos θa =
−−−−−−−−−−−→(|−→a |−→b + |
−→b |−→a ) · −→a
|−→c | · |−→a |
cos θa =(|−→a |−→b · −→a + |
−→b |−→a · −→a )
|−→c | · |−→a |
cos θa =(|−→a |−→b · −→a + |
−→b ||−→a |2)
|−→c | · |−→a |
cos θa =(−→b · −→a + |
−→b ||−→a |)
|−→c |
cos θb =−→c ·−→b
|−→c | · |−→b |
cos θb =
−−−−−−−−−−−→(|−→a |−→b + |
−→b |−→a ) ·
−→b
|−→c | · |−→b |
cos θb =(|−→a |−→b ·−→b + |
−→b |−→a ·
−→b )
|−→c | · |−→b |
cos θb =(|−→a ||
−→b |2 + |
−→b |−→a ·
−→b )
|−→c | · |−→b |
cos θb =(|−→b ||−→a |+
−→b · −→a )
|−→c |
E assim concluímos assim que cos θa = cos θb e θa = θb.
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Questão 5. Luz incide na direção do vetor −→a = (a1, a2, a3) e reflete nos três planos coordenados, demodo que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. Verifique que a luz refletida tem adireção −−→a .Sugestão: Faça a reflexão primeiro no plano xy.
Solução: A figura a seguir ilustra a reflexão de um feixe de luz sobre o plano xy. Seja −→a =−−→BA um
vetor que incide no ponto A do plano xy. Consideramos os pontos B′ e D′ que são simétricos a B eD respectivamente em relação ao eixo que passa por A e é perpendicular ao plano xy. Fica claro que−−→BA =
−−→BD +
−−→DA e
−−→AB′ =
−−→AD′ +
−−−→D′B′. Como o vetor
−−→DA =
−−→AD′ está no plano xy, a sua terceira
coordenada é 0 e o vetor se escreve da forma−−→DA = (a1, a2, 0). Já os vetores
−−→BD e
−−−→D′B′ são perpendiculares
ao plano xy, de modo que estes devem ser (0, 0, a3) e (0, 0,−a3). Isso mostra que se um feixe de luz incideno plano xy com a direção do vetor −→a = (a1, a2, a3), então o feixe de luz refletido terá a direção do vetor(a1, a2,−a3).
Supomos que o feixe de luz refletido no plano xy vai de encontro ao plano yz. Ao incidir no plano yzcom direção do vetor (a1, a2,−a3), e raciocinando analogamente ao que fizemos em relação ao plano xy,concluímos que a direção do feixe de luz refletido em yz será a direção do vetor (−a1, a2,−a3).
Por fim, quando o feixe de luz incidir no plano xz com direção (−a1, a2,−a3), este será refletido comdireção do vetor −−→a1 = (−a1,−a2,−a3).
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