CÁLCULO IIProf. Jerônimo Monteiro

Gabarito - Lista Semanal 01

Questão 1. a) Encontre o centro e o raio da esfera S definida por

x2 + y2 + z2 − 10x+ 6y + 2z = 14.

Solução: Manipulamos a equação dada a fim de reescrevê-la na forma de equação padrão da esfera.Temos

x2 + y2 + z2 − 10x+ 6y + 2z = 14⇔x2 − 10x+ y2 + 6y + z2 + 2z = 14⇔

x2 − 2 · 5 · x+ y2 + 2 · 3 · y + z2 + 2 · 1 · z = 14⇔x2 − 2 · 5 · x+ 52 + y2 + 2 · 3 · y + 32 + z2 + 2 · 1 · z + 12 = 14 + 25 + 9 + 1⇔

(x− 5)2 + (y + 3)2 + (z + 1)2 = 72

que é equivalente a(x− 5)2 + (y − (−3))2 + (z − (−1))2 = 72

de onde concluímos que Ca = (5,−3,−1) é o centro da esfera e Ra = 7 é a medida do raio.

b) Encontre a distância do centro de S definida em a) para a esfera

x2 + y2 + z2 = 625.

Solução: Sejam Cb = (0, 0, 0) e Rb = 25 o centro e o raio da esfera dada pela equação x2+y2+z2 =252, respectivamente. Calculamos a distância entre Ca e Cb:

d(Ca, Cb) =√

(0− 5)2 + (0− (−3))2 + (0− (−1))2 =√25 + 9 + 1 =

√35 < 6.

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Concluímos com isto que a distância entre Ca e Cb é menor que o radio Rb, de modo que o pontoCa se encontra na região interna delimitada pela esfera x2 + y2 + z2 = 252. Assim, conforme ilustraa figura, a distância do centro de S para a esfera x2 + y2 + z2 = 625 é:

d = 25−√35 ≈ 19, 0839.

c) Encontre a menor distância entre as esferas S e a esfera em b).

Solução: Ainda, conforme sugere a figura apresentada na solução do item b), a distância de S paraa esfera de b) é dada por

D = Rb − d−Ra = 25−√35− 7 ≈ 12, 0839.

Questão 2. a) Descreva a superfície x2 − (z2 + 14z) = 74 em R3.

Solução: Manipulamos a equação da maneira seguinte:

x2 − (z2 + 14z) = 74⇔x2 − (z2 + 14z + 72) = 74− 49⇔

x2 − (z − (−7))2 = 52

A equação descreve a superfície de uma hipérbole no plano xz e que se projeta infinitamente nadireção Oy.

b) Descreva a "superfície"x2 = z2 em R3.

Solução: Podemos manipular a equação x2 = z2 da maneira seguinte:

x2 = z2 ⇔x2 − z2 = 0⇔

(x− z) · (x+ z) = 0⇔x− z = 0 ou x+ z = 0.

A superfície pode ser descrita como a união de dois planos, a saber, o plano x − z = 0 e o planox+ z = 0.

c) Desenhe as superfícies de a) e b) e suas interseções.

Solução: Como afirmado no item a), a superfície descrita pela equação x2 − (z2 + 14z) = 74 é aprojeção de uma hipérbole na direção do eixo y.

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Já a equação x2 − z2 = 0 pode ser descrita pela união de dois planos.

A interseção das superfícies pode ser obtida dando solução ao sistema{x2 − (z2 + 14z) = 74x2 − z2 = 0

A solução do sistema acima consiste em duas retas:

Y1(t) =

(37

7, t,−37

7

)Y2(t) =

(−37

7, t,−37

7

)

Questão 3. Encontre a equação da esfera com centro em (3, 5, 4) e que passa pelo centro da esfera Scitada em 1a).

Solução: Tendo o centro C = (3, 5, 4) da esfera pedida e sabendo que essa esfera passa pelo pontoCa = (5,−3,−1), pode-se concluir que a medida do raio da esfera pedida é igual a distância entre C e Ca.

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Temos

R = d(C,Ca)

=√

(3− 5)2 + (5− (−3))2 + (4− (−1))2

=√

22 + 82 + 52

=√4 + 64 + 25

=√93.

A equação da esfera de centro (3, 5, 4) e de raio medindo√17 é da forma

(x− 3)2 + (y − 5)2 + (z − 4)2 = 93.

Questão 4. Verifique que se −→a e−→b são vetores não nulos que não estão na mesma direção, então

−→c = |−→a |−→b + |

−→b |−→a divide o ângulo entre −→a e

−→b em partes iguais.

Solução: Seja θa o ângulo entre −→c e −→a e seja θb o ângulo entre −→c e−→b . Verificamos que cos θa = cos θb

para concluirmos que θa = θb uma vez que θa, θb ∈ [0, π].

Temos

cos θa =−→c · −→a|−→c | · |−→a |

cos θa =

−−−−−−−−−−−→(|−→a |−→b + |

−→b |−→a ) · −→a

|−→c | · |−→a |

cos θa =(|−→a |−→b · −→a + |

−→b |−→a · −→a )

|−→c | · |−→a |

cos θa =(|−→a |−→b · −→a + |

−→b ||−→a |2)

|−→c | · |−→a |

cos θa =(−→b · −→a + |

−→b ||−→a |)

|−→c |

cos θb =−→c ·−→b

|−→c | · |−→b |

cos θb =

−−−−−−−−−−−→(|−→a |−→b + |

−→b |−→a ) ·

−→b

|−→c | · |−→b |

cos θb =(|−→a |−→b ·−→b + |

−→b |−→a ·

−→b )

|−→c | · |−→b |

cos θb =(|−→a ||

−→b |2 + |

−→b |−→a ·

−→b )

|−→c | · |−→b |

cos θb =(|−→b ||−→a |+

−→b · −→a )

|−→c |

E assim concluímos assim que cos θa = cos θb e θa = θb.

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Questão 5. Luz incide na direção do vetor −→a = (a1, a2, a3) e reflete nos três planos coordenados, demodo que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. Verifique que a luz refletida tem adireção −−→a .Sugestão: Faça a reflexão primeiro no plano xy.

Solução: A figura a seguir ilustra a reflexão de um feixe de luz sobre o plano xy. Seja −→a =−−→BA um

vetor que incide no ponto A do plano xy. Consideramos os pontos B′ e D′ que são simétricos a B eD respectivamente em relação ao eixo que passa por A e é perpendicular ao plano xy. Fica claro que−−→BA =

−−→BD +

−−→DA e

−−→AB′ =

−−→AD′ +

−−−→D′B′. Como o vetor

−−→DA =

−−→AD′ está no plano xy, a sua terceira

coordenada é 0 e o vetor se escreve da forma−−→DA = (a1, a2, 0). Já os vetores

−−→BD e

−−−→D′B′ são perpendiculares

ao plano xy, de modo que estes devem ser (0, 0, a3) e (0, 0,−a3). Isso mostra que se um feixe de luz incideno plano xy com a direção do vetor −→a = (a1, a2, a3), então o feixe de luz refletido terá a direção do vetor(a1, a2,−a3).

Supomos que o feixe de luz refletido no plano xy vai de encontro ao plano yz. Ao incidir no plano yzcom direção do vetor (a1, a2,−a3), e raciocinando analogamente ao que fizemos em relação ao plano xy,concluímos que a direção do feixe de luz refletido em yz será a direção do vetor (−a1, a2,−a3).

Por fim, quando o feixe de luz incidir no plano xz com direção (−a1, a2,−a3), este será refletido comdireção do vetor −−→a1 = (−a1,−a2,−a3).

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