Conceitos básicos para os cursos de engenharia usjt

Conceitos baacutesicos para os cursos de Engenharia

1ordf Parte

Prof Dulceval Andrade

Congruecircncia entre Triacircngulos

Dois triacircngulos (ou de forma geral duas figuras planas) satildeo congruentes quando tecircm a mesma forma e as mesmas dimensotildees ou seja o mesmo tamanho

Jaacute a semelhanccedila entre triacircngulos objeto do artigo aborda o conceito mais amplo onde se tem triacircngulos com a mesma forma mas natildeo necessariamente com o mesmo tamanho Em outras palavras congruecircncia eacute um caso particular de semelhanccedila entre triacircngulos no sentido de que se dois triacircngulos satildeo congruentes necessariamente eles satildeo semelhantes mas o contraacuterio natildeo eacute verdadeiro como vocecirc observaraacute daqui em diante

Definiccedilatildeo de Semelhanccedila entre Triacircngulos

Dizemos que dois triacircngulos satildeo semelhantes se e somente se possuem seus trecircs acircngulos ordenadamente congruentes e os lados homoacutelogos (homo = mesmo logos = lugar) proporcionais

Traduzindo a definiccedilatildeo em siacutembolos

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Observe que as trecircs primeiras expressotildees entre os parecircntesis indicam a congruecircncia ordenada dos acircngulos e a uacuteltima a proporcionalidade dos lados homoacutelogos

Em bom portuguecircs podemos ainda definir a semelhanccedila entre triacircngulos atraveacutes da frase dois triacircngulos satildeo semelhantes se um pode ser obtido pela expansatildeo uniforme do outro (caso deseje comprovar veja o programa em Java descrito abaixo)

Razatildeo de Semelhanccedila

Denominamos o nuacutemero real k que satisfaz as igualdades abaixo entre os lados homoacutelogos como a razatildeo de semelhanccedila dos triacircngulos

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Exerciacutecios Semelhanccedila e Triacircngulo Retacircngulo

1)Uma rampa de inclinaccedilatildeo constante como a que daacute acesso ao Palaacutecio do Planalto em Brasiacutelia tem 4 metros de altura na sua parte mais alta Uma pessoa tendo comeccedilado a subi-la nota que apoacutes caminhar 123 metros sobre a rampa estaacute a 15 metros de altura em relaccedilatildeo ao solo

a) Faccedila uma figura ilustrativa da situaccedilatildeo descrita

b) Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa

Resposta

b) 205 m

2) Um obelisco de 12 m de altura projeta num certo momento uma sombra de 48 m de extensatildeo Calcule a distacircncia maacutexima que uma pessoa de 180 m de altura poderaacute se afastar do centro da base do obelisco ao longo da sombra para em peacute continuar totalmente na sombra

Resp 408 m

3)Num terreno na forma de um triacircngulo retacircngulo com catetos com medidas 20 e 30 metros deseja-se construir uma casa retangular de dimensotildees x e y como indicado na figura adiante

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a) Exprima y em funccedilatildeo de x

b) Para que valores de x e de y a aacuterea ocupada pela casa seraacute maacutexima

Resp a) y = 23(30-x)

b) Para x = 15 metros y = 10 metros

a) A soluccedilatildeo desta atividade pode ser encontrada utilizando a semelhanccedila de triacircngulos daiacute

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b) A aacuterea da casa aacute retangular logo temos que a mesma eacute dada por A = x y Poreacutem como y eacute dado em funccedilatildeo de x segue

Como o sinal de a= - 23 eacute negativo temos que a concavidade eacute voltada para baixo Uma vez que estamos procurando o ponto cuja aacuterea eacute maacutexima precisamos encontrar as coordenadas do veacutertice Sendo as raiacutezes 0 e 30 a abscissa do veacutertice dada pelo ponto meacutedio destas raiacutezes eacute 15 e o valor da ordenada correspondente eacute 10

4)Uma gangorra eacute formada por uma haste riacutegida AB apoiada sobre uma mureta de concreto no ponto C como na figura Quando a extremidade B da haste toca o chatildeo a altura da extremidade A em relaccedilatildeo ao chatildeo eacute

a) radic3 m

5

b) 3radic3 m

c) (6radic3)5 m

d) (5radic3)6 m

e) 2radic2 m

Alternativa D

5) Certa noite uma moccedila de 150 m de altura estava a dois metros de distacircncia de um poste de luz de 4 m de altura O comprimento da sombra da moccedila no chatildeo era de

a) 075 m

b) 120 m

c) 180 m

d) 240 m

e) 320 m

Alternativa B

6) Na figura B eacute um ponto do segmento de reta AC e os acircngulos DAB DBE e BCE satildeo reto

Se o segmento AD = 6 dm o segmento AC = 11 dm e o segmento EC = 3 dm as medidas possiacuteveis de AB em dm satildeo

6

a) 45 e 65

b) 75 e 35

c) 8 e 3

d) 7 e 4

e) 9 e 2

Alternativa E

7)

Numa cidade do interior agrave noite surgiu um objeto voador natildeo identificado em forma de disco que estacionou a 50 m do solo aproximadamente Um helicoacuteptero do exeacutercito situado a aproximadamente 30 m acima do objeto iluminou-o com um holofote conforme mostra a figura anterior Sendo assim pode-se afirmar que o raio do disco-voador mede em m aproximadamente

a) 30

b) 35

c) 40

d) 45

e) 50

Alternativa A

8)Os triacircngulos ABC e AED representados na figura a seguir satildeo semelhantes sendo o acircngulo ADE congruente ao acircngulo ACB

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Se BC = 16 cm AC = 20 cm AD = 10 cm e AE = 104 cm o periacutemetro do quadrilaacutetero BCED em centiacutemetros eacute

a) 326

b) 364

c) 408

d) 426

e) 444

Alternativa E

9) A sombra de um preacutedio num terreno plano numa determinada hora do dia mede 15 m Nesse mesmo instante proacuteximo ao preacutedio a sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m

A altura do preacutedio em metros eacute

a) 25

b) 29

c) 30

d) 45

8

e) 75

Alternativa A

10) Um homem de 180 m de altura sobe uma ladeira com inclinaccedilatildeo de 30deg conforme mostra a figura No ponto A estaacute um poste vertical de 5 metros de altura com uma lacircmpada no ponto B Pede-se para

a) Calcular o comprimento da sombra do homem depois que ele subiu 4 metros ladeira acima

Resp a) 225 m

11) A aacuterea do retacircngulo DEFB eacute

a) 24

b) 160

c) 120

d) 20

e) 180

12) Um observador situado num ponto O localizado na margem de um rio precisa determinar sua distacircncia ateacute um ponto P localizado na outra margem sem atravessar o rio Para isso marca com estacas outros pontos do lado da margem em que se encontra de tal forma que P O e B estatildeo alinhados entre si e P A e C tambeacutem Aleacutem disso OA eacute paralelo a BC OA = 25 m BC = 40 m e OB = 30 m conforme figura

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A distacircncia em metros do observador em O ateacute o ponto P eacute

a) 30

b) 35

c) 40

d) 45

e) 50

Alternativa E

Relaccedilotildees trigonomeacutetricas de acircngulos

Na esmagadora maioria das aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas relacionam-se os comprimentos dos lados de um triacircngulo recorrendo a determinadas relaccedilotildees dependentes de acircngulos internos Assim apresentam-se de seguida algumas relaccedilotildees trigonomeacutetricas com esse fim

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cateto hipotenusa

y h

α

x

cateto

Seno de α

Eacute o quociente do comprimento do cateto oposto ao acircngulo α pelo comprimento da hipotenusa do triacircngulo ou seja

h

y==hipotenusa

oposto cateto)sen(α

O seno de α pode aparecer com uma das seguintes representaccedilotildees senα sinα sen(α)

sin(α)

a) Coseno de αEacute o quociente do comprimento do cateto adjacente ao acircngulo α pelo comprimento da hipotenusa do triacircngulo ou seja

h

x==hipotenusa

adjacente cateto)cos(α

Em geral o coseno de α aparece com uma das duas representaccedilotildees cosα cos(α)

b) Tangente de αEacute o quociente dos comprimentos do cateto oposto pelo cateto adjacente ou seja

x

y

x

h

h

y

hx

hy =sdot===

adjacente cateto

oposto cateto)tan(α

Eacute usual representar a tangente de a de uma das seguintes maneiras tanα tan(α) tgα tg(α)

c) Co-tangente de αEacute definida como o reciacuteproco da tangente de α

oposto cateto

adjacente cateto

)tan(

1)cotan( ===

y

x

αα

A co-tangente de a pode aparecer representada de uma das maneiras seguintes

cotan(α) cotg(α) cotanα cotgα

Pelas definiccedilotildees em c) e d) e segundo as definiccedilotildees em a) e b) podemos ver ainda que

)cos(

)sen()tan(

ααα = e

)sen(

)cos()cotg(

ααα =

d) Secante e co-secante de αDefinem-se ainda as funccedilotildees secante de α e co-secante de α como respectivamente

x

h==)cos(

1)sec(

αα e

y

h==)sen(

1)cosec(

αα

A secante pode ser representada por sec(α) secα A co-secante pode ser representada

por cosec(α) cosecα csc(α) cscα

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Foacutermula fundamental da trigonometria

A foacutermula fundamental da trigonometria surge como um caso particular do teorema de Pitaacutegoras

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2

2

2222 =+hArr=+

h

y

h

xhyx

Pela definiccedilatildeo de seno e de cosseno de um acircngulo dadas acima por a) e b) temos que

1)(cos)(sen 22 =+ αα

Vamos agora construir uma tabela com os acircngulos notaacuteveis

Exerciacutecios

Os acircngulos 30deg 45deg e 60deg satildeo chamados notaacuteveis por aparecerem frequentemente em caacutelculos Vamos determinar o seno cosseno e tangente de cada um deles Para isso vamos considerar o triacircngulo equilaacutetero ABC da figura 1

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[Figura 1]

Podemos destacar algumas relaccedilotildees

Cada lado do triacircngulo mede l

AD eacute a bissetriz de BAcircC

AD eacute a mediana de BC dividindo BC em duas partes iguais de tamanho l2 em D

A altura h pode ser escrita em funccedilatildeo dos lados l da seguinte forma

Determinaccedilatildeo do seno cosseno e tangente de 30deg e 60deg

O seno de um acircngulo eacute definido como a razatildeo do cateto oposto a este acircngulo pela hipotenusa do triacircngulo

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O cosseno de um acircngulo eacute definido pela razatildeo entre o cateto adjacente a este acircngulo pela hipotenusa do triacircngulo

A tangente de um acircngulo eacute definida pela razatildeo entre o cateto oposto pelo cateto adjacente a este acircngulo

Determinaccedilatildeo do seno cosseno e tangente de 45deg

Para calcularmos o seno cosseno e tangente de 45deg vamos considerar o quadrado mostrado na figura 2

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[Figura 2]

A diagonal d forma com os lados l um acircngulo de 45deg e podemos escrever a diagonal d em funccedilatildeo dos lados l

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