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INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2004/2005 1/Cap.10Novembro 2004
CRITÉRIO DE NYQUIST
©M
. Isa
bel R
ibei
ro, A
ntón
io P
asco
al
CONTROLO3º ano – 1º semestre – 2004/2005
Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores (LEEC)
Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores (DEEC)
Transparências de apoio às aulas teóricas
Critério de Nyquist
Maria Isabel RibeiroAntónio Pascoal
Novembro de 2001Revistas em Maio de 2002
e Novembro de 2004
Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram
elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2004/2005 2/Cap.10Novembro 2004
CRITÉRIO DE NYQUIST
©M
. Isa
bel R
ibei
ro, A
ntón
io P
asco
al
Introdução
• O que é o Critério de Critério de NyquistNyquist ?– Estudo da estabilidade (absoluta e relativa) de um
sistema de controlo em cadeia fechada por análise da f.t.c.a.
• Que tipo de análise ?– Da resposta em frequência da f.t.c.a.
Resposta em frequência da f.t.c.a.
Estabilidade do sistema em cadeia fechada
Localização dos pólos da f.t.c.f. relativa/ eixo imaginário
Critério de Nyquist
Localização dos pólos da f.t.c.a.
Localização dos pólos da f.t.c.f.
Root-Locus
Resposta transitória
Erro em regime estacionário
Analogia com Root-Locus
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2004/2005 3/Cap.10Novembro 2004
CRITÉRIO DE NYQUIST
©M
. Isa
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ro, A
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asco
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Introdução
• O que é o Critério de Critério de NyquistNyquist ?– Estudo da estabilidade (absoluta e relativa) de um
sistema de controlo em cadeia fechada por análise da f.t.c.a.
• Método gráfico
• Calcula a estabilidade do sistema em cadeia fechada sem avaliar explicitamente os pólos da f.t.c.f.
• Dá indicações sobre estabilidade relativa
¤ Margem de ganho
¤ Margem de fase
• Parte do conhecimento da f.t.c.a.
• Usa resultados da teoria das funções complexas (Teorema de Cauchy) para estudar a existência de zeros de 1+KG(s)H(s) no semi-plano complexo direito ou sobre o eixo imaginário.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2004/2005 4/Cap.10Novembro 2004
CRITÉRIO DE NYQUIST
©M
. Isa
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ro, A
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io P
asco
al
Nomenclatura
)s(KGc )s(G
)s(H
+
_
)s(R )s(C
sistema de controlo em cadeia fechada
K )s(G
)s(H
+
_
)s(R )s(C
rcompensado do ciatransferên de função)s(Gc −
situação que irá ser tratada
por redefinição de G(s) é sempre possível passar de um diagrama para outro
f.t.cadeia aberta (f.t.c.a.) = )s(H)s(KG
f.t.cadeia fechada (f.t.c.f.) =)s(H)s(KG1
)s(KG+
f.t.cadeia acção = )s(KG
f.t.cadeia retroacção = )s(H
Nomenclatura
equação característica 0)s(H)s(KG1 =+
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2004/2005 5/Cap.10Novembro 2004
CRITÉRIO DE NYQUIST
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Teorema de Cauchy
plano splano F(s)
F(s)
1s
2s
3s
)s(F 1
)s(F 2
)s(F 3
Contorno A Contorno B
vv
• F(s) - função racional, analítica numa dada região do plano s, excepto num número finito de pontos.
• A é um contorno qualquer definido no plano s, tal que F(s) é analítica sobre o contorno.
• O contorno B é a imagem do contorno A por meio de F(s).
)....ps)(ps()...zs)(zs()s(F
21
21
−−−−
=
descrito num determinado sentido
descrito no mesmo sentido ou em
sentido contrário ao contorno A
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2004/2005 6/Cap.10Novembro 2004
CRITÉRIO DE NYQUIST
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Teorema de Cauchyexemplos
clockwise
clockwise
counterclockwise
clockwise
counterclockwise
counterclockwise
1 zero
1 zero
1 pólo
1 pólo
1 pólo e 1 zero
no exterior do contorno A
no exterior do contorno A
no interior do contorno A
no interior do contorno A
no interior do contorno A
Contorno B não contém a origem
Contorno B não contém a origem
Contorno B contém a origem
Contorno B contém a origem
Contorno B não contém a origem
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2004/2005 7/Cap.10Novembro 2004
CRITÉRIO DE NYQUIST
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Teorema de Cauchyenunciado
• Contorno A descrito no sentido dos ponteiros do relógio.
• P = número de pólos de F(s) no interior do contorno A
• Z = número de zeros de F(s) no interior do contorno A
• N = número de voltas, no sentido dos ponteiros do relógio, que o contorno B dá em torno da origem.
PZN −=
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2004/2005 8/Cap.10Novembro 2004
CRITÉRIO DE NYQUIST
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Teorema de Cauchyinterpretação
)ps)(ps)(ps()zs)(zs()s(F
321
21
−−−−−
=
plano s plano F(s)
F(s)
)s(F 1Contorno A Contorno B
v
vx
x
oo x
s
Quando s dá uma volta completa sobre o contorno A, no sentido dos ponteiros do relógio
• o argumento dos vectores associados aos pólos e zeros no exterior de A têm uma variação líquida de 0º
• o argumento dos vectores associados aos zeros no interior de A têm uma variação de 360º.
• o argumento dos vectores associados aos pólos no interior de A têm uma variação de 360º.
1z 2z1p
2p
3p
)psarg()psarg()psarg( )zsarg()zsarg()s(F arg
321
21
−−−−−−−−+−=
O argF(s) tem uma variação de (1-2)*360º voltas em torno da origem nosentido dos ponteiros do relógio
s a percorrer o contorno A
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2004/2005 9/Cap.10Novembro 2004
CRITÉRIO DE NYQUIST
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Teorema de Cauchyinterpretação
)ps)...(ps)(ps()zs)...(zs)(zs()s(F
n21
m21
−−−−−−
=
Quando s dá uma volta completa sobre o contorno A,
no sentido dos ponteiros do relógio
O argF(s) tem uma variação de (Z-P)*360º em torno da
origem no sentido dos ponteiros do relógio
Z = zeros de F(s) no interior do contorno A
P = pólos de F(s) no interior do contorno A
PZN −=
N = nº de voltas de F(s) em torno da origem, no sentido dos ponteiros do relógio
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2004/2005 10/Cap.10Novembro 2004
CRITÉRIO DE NYQUIST
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Critério de Nyquist• Como aplicar o Teorema de Cauchy no estudo da
estabilidade da f.t.c.f. ?
avaliar da existência de pólos da f.t.c.f. no s.p.c.d.
avaliar da existência de raízes de 1+KG(s)H(s)=0 no s.p.c.d.
)s(H)s(KG1)s(KG
+
avaliar da existência de zeros de 1+KG(s)H(s) no s.p.c.d.
v v
v
plano s
)s(H)s(KG1)s(F +=
plano F(s)
P N
inspecçãoinspecção
N = Z - PZ = P + NTeorema de Cauchy
estabilidade em c.f.
∞j
∞− j
raio ∞
contorno de Nyquist
nº de voltas em torno da origem(contadas como positivas no sentido dos ponteiros do relógio)
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2004/2005 11/Cap.10Novembro 2004
CRITÉRIO DE NYQUIST
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Critério de Nyquist
• Contorno de Nyquist – abarca todo o s.p.c.d.)s(H)s(KG1)s(F +=
N = Z - P
nº de voltas de 1+KG(s)H(s)
em torno da origem
nº de voltas de KG(s)H(s)
em torno de -1
nº de zeros de 1+KG(s)H(s)no interior do
contorno de Nyquist
nº de pólos de Y(s)/R(s) (f.t.c.f.)
no interior do contorno de Nyquist
nº de pólos de 1+KG(s)H(s)no interior do
contorno de Nyquist
nº de pólos de KG(s)H(s)
no interior do contorno de Nyquist
= ==
v v
v
)s(H)s(KG
P N
inspecçãoinspecção
∞j
∞− j
raio ∞
contorno de Nyquist diagrama de Nyquist
-1
nº de voltas em torno de -1
Z = N + P
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2004/2005 12/Cap.10Novembro 2004
CRITÉRIO DE NYQUIST
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Critério de Nyquistenunciado
• Estabilidade em cadeia fechada– Z=0– - N = P
Enunciado do critério de Nyquist
Um sistema causal com f.t.c.a. KG(s)H(s) é estável em cadeia
fechada sse, quando o afixo de s percorre o contorno de Nyquist
num determinado sentido, o número de voltas que o afixo de
KG(s)H(s) percorre em torno do ponto –1 em sentido contrário é
igual ao número de pólos da KG(s)H(s) no interior do contorno de
Nyquist.
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2004/2005 13/Cap.10Novembro 2004
CRITÉRIO DE NYQUIST
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Diagrama de Nyquist
• Como esboçar o diagrama de Nyquist ?
v v
v
∞j
∞− j
raio ∞
contorno de Nyquist
v
)s(H)s(KG
O contorno de Nyquist deve ser tal que:
• Abarque todo o s.p.c.d.• A função KG(s)H(s) tem que ser analítica
sobre o contorno
[,0[w ,jws +∞∈=
)jw(H)jw(KG• função resposta em frequência da
f.t.c.a. com representação polar• pode obter-se por análise do diagrama
de Bode e sua representação na forma polar
]0,]w ,jws ∞−∈= )jw(H)jw(KG
[,0[w ,jws +∞∈−= )jw(H)jw(KG −−
par função |)jw(H)jw(KG|
ímpar função ))jw(H)jw(KGarg(
Simétrico, relativamente ao eixo real, da componente do diagrama de Nyquist que é imagem do eixo imaginário positivo
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2004/2005 14/Cap.10Novembro 2004
CRITÉRIO DE NYQUIST
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Diagrama de Nyquist
• Como esboçar o diagrama de Nyquist ?
v v
v
∞j
∞− j
raio ∞
contorno de Nyquist
v
)s(H)s(KG
O contorno de Nyquist deve ser tal que:
• Abarque todo o s.p.c.d.• A função KG(s)H(s) tem que ser analítica
sobre o contorno
∞→ππ−∈θ
= θ
r ]2 ,2[
res j ?)s(H)s(KG =
)ps)...(ps)(ps()zs)...(zs)(zs(K)s(H)s(KG
n21
m21
−−−−−−
=
0KG(s)H(s) mn →>•
A imagem da semi-circunferência de raio infinito é a origem
finito alorvKG(s)H(s) mn →=•
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2004/2005 15/Cap.10Novembro 2004
CRITÉRIO DE NYQUIST
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Diagrama de NyquistExemplo 1
K asa+
+
_
)s(R )s(C
asKa.a.c.t.f+
=
v v
v
∞j
∞− j
contorno de Nyquist
x
0a >
a−
P=0A f.t.c.a. não tem pólos no interior do contorno de Nyquist
K>0
K
KdB
v
v
-1
N=0
Z=N+P=0
0are
Kalim jr=
+θ∞→
O sistema em c.f. é estável para qualquer valor de K>0
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2004/2005 16/Cap.10Novembro 2004
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Diagrama de NyquistExemplo 1
K asa+
+
_
)s(R )s(C
asKa.a.c.t.f+
=
v v
v
∞j
∞− j
contorno de Nyquist
x
0a >
a−
P=0A f.t.c.a. não tem pólos no interior do contorno de Nyquist
K<0
Se K>-1 ⇒ N=0 ⇒ Z=0 ⇒ sistema em c.f. estável
Se K<-1 ⇒ N=1 ⇒ Z=P+N=1 ⇒ sistema em c.f. instável
0are
Kalim jr=
+θ∞→
v
-1K
v
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2004/2005 17/Cap.10Novembro 2004
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Diagrama de NyquistExemplo 2
x xx
)cs)(bs)(as(K)s(H)s(KG
+++=
0c ,0b ,0a >>>
0w ,jws →=
∞→w
0jeabcK)s(H)s(KG →
0|)s(H)s(KG| →
23))s(H)s(KGarg( π
−→
∞→= θ r ,res j 0)s(H)s(KG →
+= 0w
+∞=w−∞=w
−= 0wabcK
v+∞→w
zoom
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2004/2005 18/Cap.10Novembro 2004
CRITÉRIO DE NYQUIST
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Diagrama de NyquistExemplo 2
x xx
)cs)(bs)(as(K)s(H)s(KG
+++=
0c ,0b ,0a >>>
+= 0w
+∞=w−∞=w
−= 0wabcK1
P=0
abcK2
12 KK >
-1
N=0Z=P+N=0Para K=K1 sistema em c.f. é estável
N=2
Z=P+N=2
Para K=K2 o sistema em c.f. tem dois pólos no s.p.c.d. É instável
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2004/2005 19/Cap.10Novembro 2004
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Diagrama de NyquistExemplo 2
x xx
)cs)(bs)(as(K)s(H)s(KG
+++=
0c ,0b ,0a >>>
P=0
-1
• Qual o valor de K para o qual este ponto se torna igual a –1?
• Que ponto é este ?• É o ponto com fase de –180º
• Desempenha um papel fundamental no estudo da estabilidade
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2004/2005 20/Cap.10Novembro 2004
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Diagrama de NyquistExemplo 3
K 1s1−
+
_
)s(R )s(CK>0
x1
P=1
K=3
N=-1
Z=P+N=0 Sistema em cadeia fechada estável para este valor de K
-1
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2004/2005 21/Cap.10Novembro 2004
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Critério de NyquistExemplo 4
K 2)1s(s1+
+
_
)s(R )s(C
K>0
2)1s(sK)s(H)s(KG+
=O contorno de Nyquist deve ser tal que:• Abarque todo o s.p.c.d.• A função KG(s)H(s) tem que ser analítica
sobre o contorno
ε raio0→ε
semi-circunferência
Contorno de Nyquist – duas hipóteses
x0→ε
∞→r
A
B
C+= 0w
−= 0w
xx0→ε
∞→r
x
A
B
C+= 0w
−= 0w
<<
<<
P=0 P=1
sistema tipo 1sistema tipo 1
xx
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2004/2005 22/Cap.10Novembro 2004
CRITÉRIO DE NYQUIST
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Critério de NyquistExemplo 4
x0→ε
∞→r
A
B
C+= 0w
−= 0w
<<
x0→ε
∞→r
A
B
C+= 0w
−= 0w
<<
diagrama de Nyquist não desenhados à escala
contorno de Nyquist contorno de Nyquist
v v
2)1s(sK)s(H)s(KG+
=
xx xx
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Critério de NyquistExemplo 4
x0→ε
∞→r
A
B
C+= 0w
−= 0w
<<
x0→ε
∞→r
A
B
C+= 0w
−= 0w
<<
contorno de Nyquist contorno de Nyquist2)1s(s
K)s(H)s(KG+
=
xx xx
0 →ε
2 0, ,
2ππ
−→θ2
, ,2
ππ
π−→θ
A B C A B C
θ−θθθε= ε=
ε→
+εε=θ
jj2jjes
eKeK
)1e(eK)s(H)s(KG j
semi-circunferência de raio infinitesimal
Uma semi-circunferência de raio a tender para infinito
argumento -θ
2- 0, ,
2ππ
→θ−2
- , ,2
ππ
π→θ
contorno de Nyquist contorno de Nyquist
diagrama de Nyquistdiagrama de Nyquist
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2004/2005 24/Cap.10Novembro 2004
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Critério de NyquistExemplo 4
K 2)1s(s1+
+
_
)s(R )s(C
2)1s(sK)s(H)s(KG+
=
sistema tipo 1sistema tipo 1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
K=1
K=3
diagrama de Nyquist desenhados à escala
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Critério de NyquistExemplo 4 – análise de estabilidade
v v
2)1s(sK)s(H)s(KG+
=
ponto de intersecção com o eixo real ?
2)1jw(jwK)jw(H)jw(KG+
=
º180))jw(H)jw(KGarg( =
º180)1jwarg()jwarg()Karg())jw(H)jw(KGarg( 2 =+−−=
º180)w(arctg2º90 =−−
º45)w(arctg = s/rad1)º45(tgw ==
2|K|)jw(H)jw(KG
1w=
=
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Critério de NyquistExemplo 4 – análise de estabilidade
diagrama de Nyquist não desenhados à escala
v v
2)1s(sK)s(H)s(KG+
=
x
<<
xx x<
<xx
-K/2 -K/2
P=0 P=1
2K1 −<− N=0 N=-1Z=P+N=0 Z=P+N=1-1=0
sistema estável
12K
−<− N=2 Z=P+N=2 N=1 Z=P+N=1+1=2
sistema instável
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CRITÉRIO DE NYQUIST
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io P
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Critério de NyquistExemplo 5
)1s(sK)s(H)s(KG 2 +
=
x
<<
x x
P=0
qual é a imagem desta semi-circunferência ?
A
BC
θε je
0→ε
θ−θθ
ε→εε j2
2jj eK)e(H)e(KG
duas semi-circunferências com raio a tender para infinito
Dois pólos excluídos pela semi-circunferência de raio a tender para zero
ππ⇒θ−
ππ⇒θ
0 - 22
0 2
- C B A
Só esta análise não chega para desambiguar
Qual é o correcto?
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2004/2005 28/Cap.10Novembro 2004
CRITÉRIO DE NYQUIST
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io P
asco
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Critério de NyquistExemplo 5
)1s(sK)s(H)s(KG 2 +
=
x
<<
x x
P=0
qual é a imagem desta semi-circunferência ?
A
BC
θε je
0→ε
θ−θθ
ε→εε j2
2jj eK)e(H)e(KG
ππ
π⇒θ−
πππ⇒θ
0 2
- 22
0 4
- 2
- C B D A
D
<
v
v
N=2
Z=P+N=2
-1
O sistema em cadeia fechada é instável para qualquer valor de K
O sistema em cadeia fechada é instável para qualquer valor de K
Confirme com o Root-Locus
A’
D’
B’C’
A’ = imagem de A
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2004/2005 29/Cap.10Novembro 2004
CRITÉRIO DE NYQUIST
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Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Nyquist Diagrams
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5From: U(1)
To: Y
(1)
Critério de NyquistExemplo 6
K 1)1s()2s)(1s(
2 ++−−+
_
)s(R )s(C
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Real Axis
Imag
Axi
s
P=0
N=?
Diagrama de Nyquist tal como obidopelo Matlab
• Chegou a Z=1?
• Veja pelo Root-Locus que não pode ser e conclua sobre o
diagrama de Nyquist
• Trace o diagrama de Bode da f.t.c.a.
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CRITÉRIO DE NYQUIST
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Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Nyquist Diagrams
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5From: U(1)
To: Y
(1)
Critério de NyquistExemplo 6
K 1)1s()2s)(1s(
2 ++−−+
_
)s(R )s(C
P=0
N=?
Diagrama de Nyquist tal como obidopelo Matlab
Frequency (rad/sec)
Pha
se (
deg)
; M
agni
tude
(dB
)
Bode Diagrams
0
1
2
3
4From: U(1)
10-1 100 101-360
-270
-180
-90
0
To: Y
(1)
K=1
K=1
P = 0N = 2Z = 2
Use o critério de Routh-Hurwitz para mostrar que o sistema é instável para K>2/3
>
<
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2004/2005 31/Cap.10Novembro 2004
CRITÉRIO DE NYQUIST
©M
. Isa
bel R
ibei
ro, A
ntón
io P
asco
al
Critério de NyquistMargem de Ganho e Margem de Fase
K )4s)(2s)(1s(16
+++
+
_
)s(R )s(C
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Nyquist Diagrams
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5From: U(1)
To: Y
(1)
K=1
P=0, N=0, Z=0 Para K=1 o sistema em cadeia fechada é estável
Pergunta:De quanto é possível aumentar o ganho K sem que o sistema se torne instável ?
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Real Axis
Imag
Axi
s
Roo
t-loc
u s Pergunta:O sistema torna-se instável com o aumento do ganhoRespostaSim – ver Root-Locus ou Diagrama de Nyquist
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©M
. Isa
bel R
ibei
ro, A
ntón
io P
asco
al
Critério de NyquistMargem de Ganho e Margem de Fase
K )4s)(2s)(1s(16
+++
+
_
)s(R )s(C
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Nyquist Diagrams
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25From: U(1)
To: Y
(1)
K=15
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Nyquist Diagrams
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5From: U(1)
To: Y
(1)
K=1 P=0, N=0, Z=0c.f. estável
P=0, N=2, Z=2c.f. instável
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©M
. Isa
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ro, A
ntón
io P
asco
al10-2
10-1
100
101
102
-80
-60
-40
-20
0
20
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
K=1
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Nyquist Diagrams
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5From: U(1)
To: Y
(1)
K=1
Critério de NyquistMargem de Ganho e Margem de Fase
Pergunta:De quanto é possível aumentar o ganho K sem que o sistema se torne instável ?
qual é o ganho quando a frequência=180º ?
qual é a fase do ponto em que o ganho é unitário ?
-15dB 0.177
O ganho pode aumentar de
até que o sistema em c.f. se torne instável
63.5177.01
=
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ro, A
ntón
io P
asco
al
Critério de NyquistMargem de Ganho e Margem de Fase
Pergunta:De quanto é possível aumentar o ganho K sem que o sistema se torne instável ?
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Nyquist Diagrams
-4 -2 0 2 4 6 8 10 12
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
From: U(1)
To: Y
(1)
K=1
K=5.63
10-2
10-1
100
101
102
-80
-60
-40
-20
0
20
40
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
K=5.63
K=1
)jw(H)jw(KG
-1
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asco
al
Margem de Ganho Margem de Fase
• Até aqui o diagrama de Nyquist foi usado para avaliar a estabilidade absoluta
• Diagrama de Nyquist permite também avaliar estabilidade relativa• proximidade do sistema relativamente à situação de instabilidade• quão próximos do eixo imaginário estão os pólos do sistema em cadeia
fechada• Proximidade do diagrama de Nyquist do ponto -1
• Margem de ganho – (MG) - é a variação, expressa em dB, do ganho da f.t.c.a., para a fase de –180º, para que o sistema em cadeia fechada se torne instável
• Margem de fase – (ΦM) – é a variação de fase do sistema em cadeia aberta, para ganho unitário, necessária para que o sistema em cadeia fechada se torne instável.
O uso da Margem de Ganho e da Margem de Fase para o estudo da estabilidade relativa só é válido para P=0, i.e., parasistemas em cadeia aberta estáveis.
MG1
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Margem de GanhoMargem de Fase
• Margem de Ganho – é o inverso do módulo da f.t.c.a., KG(s)H(s), para a frequência w para a qual a f.t.c.a. Introduz uma rotação de 180º
• Margem de Fase – é a diferença entre a fase de G(jw)H(jw) e –180º quando |KG(jw)H(jw)|=1
π=
=ww
)jw(H)jw(KG1MG
α+=Φ º180M
( )1)jw(H)jw(KG
)jw(H)jw(KGarg=
=α
• Determinação das margens de estabilidade• Diagrama de Nyquist
• Diagrama de Bode
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. Isa
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asco
al10-2
10-1
100
101
102
-80
-60
-40
-20
0
20
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
K=1
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Nyquist Diagrams
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5From: U(1)
To: Y
(1)
K=1
Margem de GanhoMargem de Fase
K )4s)(2s)(1s(16
++++
_
)s(R )s(C
MGdB
ΦM
α
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Margem de GanhoMargem de Fase
Valores convenientes para uma boa estabilidade relativa
• 30º<FM<60º
• MG>6dB
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al
Margem de GanhoMargem de Fase
)2s)(1s(K2)s(H)s(KG++
=
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Nyquist Diagrams
-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25From: U(1)
To: Y
(1)
P=0
1/MG
<
α
1/MG
Condições de estabilidade:• Se MG>1 – sistema em c.f. estável• Se MG<1 – sistema em c.f. instável• Se MG=1 – sistema em c.f.
marginalmente estável
• Se ΦM>0º – sistema em c.f. estável• Se ΦM<0º – sistema em c.f. instável• Se ΦM=0º – sistema em c.f.
marginalmente estável
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Margem de GanhoMargem de Fase
Exemplo– Sistema com retroacção unitária.– Qual é o valor de K para o qual a margem de
fase é de 45º?
10-1
100
101
102
-60
-40
-20
0
20
40
|G(j
w)|
dB
w(rad/s)
10-1
100
101
102
-225
-180
-135
-90
arg
(G(j
w))
(g
rau
s)
w(rad/s)
• Desenhe o diagrama de Nyquist• Calcule o valor da margem de ganho para esse valor de K• Identifique o sistema em cadeia aberta
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2004/2005 41/Cap.10Novembro 2004
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Margem de GanhoMargem de Fase
• Nem sempre a estabilidade de um sistema em cadeia fechada é sinónimo de MG>1 e ΦM>0º
– É preciso tomar atenção ao diagrama de Nyquist e avaliar a estabilidade com base no envolvimento do ponto –1+j0.
• Caso1 – Para sistemas de 1ª e 2ª ordem, em que não existe cruzamento do diagrama de Nyquist com o semi-eixo real negativo, a MG é sempre infinita.
• Caso 2 – Para sistemas de ordem superior pode haver mais do que um ponto de cruzamento do diagrama de Nyquist com o semi-eixo real negativo.
• Caso 3 – Sistemas em c.a. de fase não mínima
1w π
2w π
3w π
Há 3 valores de frequência para os quais a fase da
f.t.c.a. é de 180º
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al
Margem de Ganho e Coeficiente de Amortecimento
• Para sistema de 2ª ordem, sem zeros, que valor deve ter a margem de fase
(especificação no domínio da frequência) para que o sistema em cadeia
fechada apresente uma certa sobreelevação (especificação no domínio do
tempo) na resposta ao escalão?
)w2s(sw
n
2n
ζ+
+
_
)s(R )s(CG(s)
2nn
2
2n
wsw2sw
)s(R)s(C
+ζ+=
f.t.cadeia fechada
Margem de fase
1)jw(G =
142ww 42n1 +ζ+ζ−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ζ
−−=n
11 w2
warctgº90)jw(G arg
ζ+ζ+ζ−
−=+=Φ2
142arctgº90)jw(Gargº180
42
1M
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Margem de Ganho e Coeficiente de Amortecimento
Retirado deG.Franklin, J. Powell, A. NaeiniFeedback Control of Dynamic Systems
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Sistemas com um atraso
• Em qualquer dos casos surge um atraso– Condução do carro – atraso = tempo de reacção do
condutor– Produção fibra óptica – atraso de transporte – a acção de
controlo e a operação de medida efectuam-se em pontos diferentes da fibra óptica
• Atraso τ traduzido por
Retirado deE. Morgado
Controlo – Texto de apoio
d
produção de fibra óptica Ajuste do diâmetro do orifício da fieira
τ−seDe que modo um atraso na cadeia de acção afecta a estabilidade (absoluta ou relativa) na cadeia fechada ?
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CRITÉRIO DE NYQUIST
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Sistemas com um atrasoExemplo
)s(Ge sτ−+
_
)s(R )s(C
)10s)(1s(sK5)s(G++
=
)s(Ge)s(G sτ−τ =
)jw(Ge)jw(G jwτ−τ = função resposta em frequência
)jw(G)jw(G =τ O atraso não modifica a amplitude da função resposta em frequência
))jw(Garg(w))jw(Garg( +τ−=τ O atraso introduz na fase uma componente que
varia linearmente com w
• A margem de fase diminui
• A margem ganho diminui
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2004/2005 46/Cap.10Novembro 2004
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Sistemas com um atrasoExemplo
)s(Ge sτ−+
_
)s(R )s(C
)10s)(1s(sK5)s(G++
=
K=1τ=1
• Para o mesmo valor de K, a margem de ganho é menor para o sistema com atraso
• O sistema com atraso apresenta uma menor estabilidade relativa, para o mesmo valor de K
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