Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório...

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Curso de Matemática Aplicada .

Margarete Oliveira Domingues

PGMET/INPE

Aula 1 – p.1/25

Sistema de números reais e complexos

Aula 1 – p.2/25

Conjuntos

Conjunto, classe e coleção de objetos possuindo umacaracterística específica é fundamental em matemática

Exemploum conjunto de estações climatológicas,todas as letras do alfabeto

��

��

��� � �

membros ou elementos — objetos individuais

subconjunto — qualquer parte de um conjunto

conjunto vazio — conjunto sem elementos

Aula 1 – p.3/25

Conjunto de Números Reais

Conjunto dos números inteiros

Aula 1 – p.4/25

Conjunto de Números Reais

Conjunto dos números inteirosNúmeros Naturais ou inteiros positivos Usadospara contar membros de um conjuntoInteiros Negativos e zero Permitem soluções deequações tais como � � � � � em que � e

sãoquaisquer números naturais.

Aula 1 – p.4/25

Conjunto de Números Reais

Conjunto dos números inteiros

Números racionais ou fraçõesPermitem soluções como

� � � � � � �� � ��

� �� �

a operação de divisão

� �

��

� numeradordenominador

Os números inteiros são um caso particular dosnúmeros racionais, quando

� � �

Aula 1 – p.4/25

Conjunto de Números Reais

Números racionais

Números irracionais Tais como�

e � são númerosque não são racionais, i.e., números que não podem

ser expressos como

��

Aula 1 – p.4/25

Conjunto de Números Reais

Números racionais

Números irracionais

O conjunto de números racionais e irracionais é chamadode conjunto de números reais.

Aula 1 – p.4/25

Representação decimal

Qualquer número real pode ser expresso na suarepresentação decimal, e.g.,

� �� � � ���

�� � � � ��

� �

��

� ��

� � � � � �� � �

Aula 1 – p.5/25

Representação decimal

No caso dos números racionais a expansão decimal podeterminar ou se ela não terminar um número ou um grupode números passa a se repetir

��

� ��

� � � � � �� � �

��

� ��

� � �� � � � � �� � � � � �� � �� � �

No caso dos números irracionais tais repetições nãopodem ocorrer, e.g.,

� � ���

� � � ��� � � � � ��

� � � � � � �� � �

Aula 1 – p.5/25

Representação decimal

Para indicar os decimais que serão repetidos algumasvezes coloca-se pontos sobre os dígitos que estão sendorepetidos, e.g.,

��

� ��

� � � � � � �� � � � �

� ��

� ��

� � �

Aula 1 – p.5/25

Representação decimal

É sempre possível considerar uma expansão de diversasformas, e.g.,

1.3751.375000000. . .1.374999999. . .

Aula 1 – p.5/25

Representação decimal

O sistema decimal utiliza dez dígitos��

��

�� � � � �

O sistema binário utiliza dois dígitos�

e

O sistema octal utiliza oito dígitos

��

��

�� � � � �

O sistema hexadecimal utiliza os dígitos e letras��

��

�� � � � �

��

��

��

��

��

��

Obs: O número� �

na base decimal é expresso por

� � � � � � � �

� � � � �na base binária.

Aula 1 – p.5/25

Representação Geométrica

A representação de números reais como pontos emuma reta é chamado de eixo real.

Para cada número real existe uma correspondência

��

com cada ponto dessa reta.

Aula 1 – p.6/25

Representação Geométrica

Conj. Denso — Entre quaisquer dois númerosracionais (e irracionais) na reta existe infinitosnúmeros racionais (e irracionais).

Obs.: No sistema de representação numérico dasmáquinas computacionais (ponto flutuante) não épossivel representar um conjunto denso de pontos.

Aula 1 – p.6/25

Axiomas

*Se � �� � �

, então:

Lei de fechamento � � �

e � � � �Lei comutativa da adição � � � � � � �

Lei associativa da adição � � � � ��� ��

� � � � � ���

Lei comutativa da multiplicação � � � � �

Lei associativa da multiplicação � � �� ��

� � � ��

Lei distributiva � � � ��� �� � � � ��

é chamado identidade com respeito a adição

é chamado identidade com respeito a multiplicação

Aula 1 – p.7/25

Axiomas

Para qualquer � existe � � � � � � � �. Esse número

� é chamado de inverso com respeito a adição e édenotado por � �.

Para cada � �� �

existe � � ��� � � � �

. Esse número �

é chamado de inverso com respeito a multiplicação e é

denotado por � ��

,� � � ou

�� .

Aula 1 – p.7/25

Axiomas

Com esse axiomas é possível operar de acordo comas regras usuais da álgebra.

Em geral, qualquer conjunto, como os reais, que osmembros satisfazem esses axiomas é chamado decampo.

Observação: Na aritmética de ponto flutuante a LeiAssociativa não é válida em todos os casos,i.e., � � � � � � � �

�� � � � � � � no caso geral.

Aula 1 – p.7/25

Desigualdades

Se � ��

é um número não negativo, então � � �

ou

� � �.

Se não existe a possibilidade � � �

, então � � �

ou

� � �.

� � �

, que significa que � é um número real que podeser

ou qualquer número menor que

.

Se � ��

e� são quaisquer números reais, então:ou � � �

ou � � �

ou � � �

Lei transitiva se � � �

e

� � � , então � � �

se � � �, então � ��� � � ���

Se � � �

, e� � �

, então �� � ��

Se � � �

, e� � �

, então �� � ��

Aula 1 – p.8/25

Valores absolutos

O valor absoluto de um número real �, denotado por

� � �

, édefinido por

� se � � �

;

se � � �

ou � � se � � �

.

Por exemplo,

�� � �

� � � � �� �

� ��

Propriedades

� � � �

�� � � � � �

ou� � �� �� � � � �

�� � � � � � �� � � � �� � �

� � �

� � � � � � � � � � � � �

ou

� � � � ��� � � � � � � � � �

�� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � �

Aula 1 – p.9/25

Expoentes e raízes

O produto de ��

��

��

�� � �

� de um número real � por ele

mesmo � vezes é denotado por � �

em que � é chamado

expoente e � é chamado de base.

Aula 1 – p.10/25

Expoentes e raízes

O produto de ��

��

��

�� � �

� de um número real � por elemesmo � vezes é denotado por � �

em que � é chamadoexpoente e � é chamado de base. Propriedades

� ��

� � � � � � �

� �� �

� � � � �

� � � � ��

� �

� � � � � � � �

�� �

� � � � �

� � � �

��

� �� �

Aula 1 – p.10/25

Expoentes e raízes

Se � � � �

, em que � pertence aos inteiros positivos, �

é chamado de p–ésima raiz de�

, e é escrita com

� �

.

Pode haver mais de um número que seja a p–ésimaraiz de

.

Por exemplo, desde que� �

� �

e

��

� � �

� �

existe duasraizes reais de

. É costume se denotar a raiz positivapor

� � �

e a negativa por �

� � �

.

Se � e � são inteiros positivos, define–se

� � � �

� � ��

Aula 1 – p.10/25

Logaritmos

Se � � � �

, � é chamado de logaritmo de�

na base �,escreve–se como

� � � � ���

�Se � e

são positivos e � �� �

, então existe um úniconúmero real para �.Propriedades

� � ��

� � � � ���

� � � ���

� � ��

�� � � � �� �

� � ���

� � ��

� � � � � ��

Na prática duas bases são as mais utilizadas a base

� � � �

e base natural � � � � ��

� � � ��� � � , conhecida

como base do sistema Neperiana.Aula 1 – p.11/25

Conjunto de pontos e intervalos

Um conjunto de pontos (números reais) na reta real échamado de conjunto de pontos unidimensionais.

O símbolo � representa qualquer número de umconjunto e é chamado variável.

Os números � e

são chamados constantes.

� � � � �

é chamado de intervalo fechado e édenotado por

� � �� �

.

� � � � �

é chamado de intervalo aberto e édenotado por

� � �� �

.

Os conjuntos de pontos � � � � � � � � � �

sãochamados de intervalos semi–abertos ousemi–fechados denotados por

� � �� �

e

� � �� �

.Aula 1 – p.12/25

Conjunto de pontos e intervalos

Exemplo

O conjunto de todas os � que representam

� � � � �

,i.e., �

� � � � �

é representado pelo intervalo aberto��

��

� �

.

O conjunto de � � � também pode ser representadopor � � � � �. Tal conjunto é chamado intervaloinfinito ou ilimitado. Similarmente,

� � � � � �

representa todos os valores de � na reta real.

Aula 1 – p.12/25

Enumerabilidade

Conjunto enumerável – seus elementos podem sercolocados em uma correspondência 1–1 com osnúmeros naturais.

Por exemplo, o conjunto de números pares

��

��

�� � � é

um conjunto contável pois eles possuem umacorrespondência 1–1 com os números naturais

números pares

� � � �

� � �

� � � �

� � �

números naturais

� � � �� � �

Aula 1 – p.13/25

Enumerabilidade

Um conjunto é infinito se ele tem umacorrespondência 1–1 com um sub–conjunto delemesmo. Um conjunto infinito é contavelmente infinito.

Por exemplo, o conjunto de números racionais écontavelmente infinito enquanto os racionais não.

Aula 1 – p.13/25

Enumerabilidade

O número de elementos em um conjunto é chamadode número cardinal.

Um conjunto contavelmente infinito é denotado tercardinalidade

(letra aleph–null do alfabeto Hebreu)

O conjunto de números reais (ou qualquer outroconjunto que possa ter correspondência 1–1 com esteconjunto) é dado o número de cardinalidade

,chamada cardinalidade do continuum.

Aula 1 – p.13/25

Vizinhança

Um conjunto de todos os pontos de � tais que

� � � � � � �

, em que

� � �

, é chamado de vizinhança deum ponto �.

O conjunto de todos os pontos de � tais que

� � � � � � � � �

, em que � � � é excluído, é chamadode vizinhança de um ponto � sem a fronteira.

Aula 1 – p.14/25

Pontos limites

Os pontos limites, pontos de acumulação ouagrupamento de um conjunto de números é umnúmero

tal que toda a vizinhança sem fronteira

de

contenha membros do conjunto.

Em outras palavras, para todo

� � �

, por menor queseja, é possível achar um membro � do conjunto oqual não é igual a

mas é tal que

� � �� � � �

.Considerando valores menores e menores de

épossível verificar-se que deve existir infinitos valoresde �.

Aula 1 – p.15/25

Pontos limites

Um conjunto finito não pode ter pontos limites. Umconjunto infinito pode ou não ter pontos limites.

Um conjunto que contém seus pontos limites échamado de conjunto fechado.

Exemplo

O conjunto dos racionais não é fechado. por exemplo

não pertence ao conjunto de números racionais.

O conjunto� � � � �

é fechado.

Aula 1 – p.15/25

Limitadores

limite superior —

� � de um conjunto existe umnúmero tal que � �

, o conjunto é dito limitadosuperiormente

limite inferior — se � � �, o conjunto é limitadoinferiormente.

conjunto limitado — se� �, � � � �

o .

Aula 1 – p.16/25

Limitadores

Mínimo limite superior — Se é um número tal quenenhum dos membros do conjunto é maior que ,mas existe ao menos um membro que ultrapassa

� � para todo � � �

.

Máximo limite inferior — Se nenhum membro doconjunto é menor que

� �, mas pelo menos um membroé menor que

� � � � para todo � � �

.

O Teorema de Weistrass–Bolzano estabelece quetodo o conjunto infinito limitado possui pelo menos umponto limite.

Aula 1 – p.16/25

N

��� algébricos e transcendentais

número algébrico — Um número � que é solução deuma equação polinomial

� � � � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � �

� � � � � � �

em que � �

�� �� � � � � � � � � � � � são inteiros e � é um inteiro

positivo, chamado grau da equação.

Um número que não pode ser expresso dessa forma échamado número transcendental.

Aula 1 – p.17/25

N

��� algébricos e transcendentais

Exemplo

Números algébricos

��

� � �� � �

� ��

�� � �

Números transcendentais

��

Casos ainda não definidos

� � �

� � �

Aula 1 – p.17/25

Conjunto dos n

��� complexos

Como não existe um número real � que satisfaça aequação polinomial �

� � � � �

ou equações similares,os números complexos foram introduzidos. Umnúmero complexo tem a seguinte forma

� ��

em que � e

são números reais chamados parte real eimaginária e � � �

é chamada unidade imaginaria.

Dois números complexos � ��

e� ��

são iguais see somente se � � � e

� � �

.

Aula 1 – p.18/25

Conjunto dos n

��� complexos

É possível se considerar os números reais como umsubconjunto dos números complexos, com

� � �

.

O número

� ��

corresponde ao número real

.

O valor absoluto ou módulo de � ��

é definido como

� � ��

� �

� � � � � �

.

O complexo conjugado de � ��

é definido como

� � �

.

O complexo conjugado de um número � é denotado de

��

.

Aula 1 – p.18/25

Conjunto dos n

��� complexos

No desenvolvimento de operações algébricas osnúmeros complexos podem ser operados como sefossem números reais substituindo �

� ��

.

Do ponto de vista da fundação axiomática dosnúmeros complexos, é desejável tratar um númerocomplexo como um par ordenado

� � �� �

de númerosreais sujeitos a certas regras de operação:

� � �� � � �� �

� ��

� � ��� �� � � �

� � �� � �� �

� ��

� �� �� �� � �

��� �

� � � �� �

�� � � � � � �

Aula 1 – p.18/25

Conjunto dos n

��� complexos

Tem–se que

� � �� �

� � � ��

� � � � � ��

� �

associado � ��

em que � é o símbolo para

� ��

� �

.

Desigualdades não são definidas para númeroscomplexos.

O conjunto dos números complexos obedecem osaxiomas apresentados, então esse conjunto denúmeros constitui um campo.

Aula 1 – p.18/25

Forma polar

Se escalas reais são escolhidas em dois eixosmutuamente perpendiculares

� �� �e

� � � �

(os eixos

� e �) é possível localizar qualquer ponto no planodeterminado por essas linhas pelo par ordenado

� � � � �

chamado de coordenadas retangulares do ponto.

� �� � pode ser expresso como um par ordenado

� � � � �

é possível presentear tal número em um plano

� � � � �

conhecido como plano complexo ou diagrama deArgand.

Aula 1 – p.19/25

Forma polar

� � � � �� �

, � � � � � � �

, em que o módulo

� � � � � � �

�� � �

� � ��

é chamado de amplitude ou argumento, é o ângulo que alinha

� �

faz com o eixo positivo de � � �

.

Aula 1 – p.19/25

Forma polar

� � � �� � � � � � �� � �� � � � � �

conhecida como a forma polar de um número complexo,em que � e

são as coordenadas polares.PropriedadesPara � � � � �

� � �� �� �

� � � � ��

�e � � � � �

� � �� �� �

� � � � ��

� � � � � � � � �� � �� � �

� � ��

� �� � � � � �

� � ��

� �

� �� �

� �� �

� � �� � �� �

��

� �� � � � � �

� ��

�� �

�� �

� � � � �� � � � �� � � � � � � � � �

� � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � ��� � � �

, em que �

é um número real.

Aula 1 – p.19/25

Forma polar

O Teorema de Moivre é utilizada para determinar raizes denúmeros complexos.

Se � é um inteiro positivo

��

� �

� � � � �� � �� � � � � � �

�� (0)

� ��

� � ��

� � � �

�� � � �

� � � �

� � ��

��

��

(0)

Disto tem–se que haverá � diferentes valores para ��

� .

Aula 1 – p.19/25

Obrigada a todos!margarete@lac.inpe.br

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