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Curva Normal deCurva Normal de
ProbabilidadeProbabilidade
Prof. Ivan Balducci
FOSJC / Unesp
Distribuição Normal
• “Em forma de Sino”• Unimodal• Simétrica• Média, mediana e
moda são iguais• Assintótica em relação ao Eixo X
• Amplitude Interquartil
• é 1,33 ou [Q3-Q1] =
Média,
Mediana Moda
X
f(X)
Q1 Q3
Modelo Matemático
• X: valores da variável aleatória ( )• F(X):função densidade probabilidade da variável
aleatória X
média da população
desvio padrão da população
222
1-
2
2
1
X
eXf
X
Para variáveis aleatórias contínuas, as probabilidades são representadas pelas áreas sob a curva
• Área total sob a curva é 1• A área em vermelho é
igual a P(X>1)• A área em azul é igual a
P(-1<X<0)• Áreas são obtidas em são obtidas em
tabelas ou calculadas em tabelas ou calculadas em computador.computador.
Distribuição Normal
Z1=1,02
P(z1=1,02)=34,61%
P(z1=1,02)=?
Distribuição Normal
Variando os parâmetros e , obtém-se diferentes formas de distribuições
normal
Cálculo de Probabilidades
Probabilidade é a área sob a curva!
c dX
f(X)
?P c X d
Cálculo de Probabilidades
Qual a área total abaixo da curva?
f(X)
X
Área = 1
P(- < X < + )
Qual Tabela usar?
Deveríamos ter disponíveis uma infinidade de Tabelas, uma para cada par e !
Solução: Distribuição Normal Padronizada
Z .00 .01
0.0 .5000 .5040 .5080
.5398 .5438
0.2 .5793 .5832 .5871
0.3 .6179 .6217 .6255
0,5478.02
0.1 .5478
Distribuição Normal Padronizada
Tabela (Parte)
Probabilidades
Uma única Tabela basta!
0 1Z Z
Z = 0,12
0
Qual Tabela usar?
É essa a soluçãoÉ essa a solução
Distribuição Normal Padronizada
•Valor da V. A. Normal Z Padronizada:Valor da V. A. Normal Z Padronizada:
onde:onde:
x = valor da V. A. Normal X
= desvio padrão da V. A. Normal X
= média da V. A. Normal X
z = valor padronizado de x (número de desvios padrão com relação à média)
x
z
É essa a soluçãoÉ essa a solução
Exemplo 1: padronizar 6.2
6.2 50.12
10
XZ
X: Distribuição Normal
Z: Distribuição Normal
Padronizada 10 1Z
5 6.2 X Z0Z
0.12
Exemplo 2: cálculo da área entre dois números
X: Distribuição Normal
Z: Distribuição Normal
Padronizada10 1Z
5 7.1 X Z0Z
0.21
2.9 5 7.1 5.21 .21
10 10
X XZ Z
2.9 0.21
.0832
2.9 7.1 .1664P X
.0832
Z .00 .01
0.0 .5000 .5040 .5080
.5398 .5438
0.2 .5793 .5832 .5871
0.3 .6179 .6217 .6255
0,5832.02
0.1 .5478
Distribuição Normal
Tabela (Parte) 0 1Z Z
Z = 0,21
Exemplo 3. Inverso: obter “z”, conhecido “p = 0,5832” 2.9 7.1 .1664P X
(continuação)
0
Z .00 .01
-03 .3821 .3783 .3745
.4207 .4168
-0.1.4602 .4562 .4522
0.0 .5000 .4960 .4920
0,4168.02
-02 .4129
Distribuição Normal
Tabela (Parte)
0 1Z Z
Z = -0,21
Exemplo 4. Inverso: obter “z”, conhecido “p = 0,4168” 2.9 7.1 .1664P X (continuaçã
o)
0
Exemplo 5. Cálculo da área acima de 8.
8 .3821P X
Distribuição Normal
Distribuição Normal
Padronizada10 1Z
5 8 X Z0Z
0.30
8 5.30
10
XZ
.3821
Exemplo 6. Inverso: obter “z”, conhecido “p = 0,6179”
8 .3821P X (continuação)
Z .00 .01
0.0 .5000 .5040 .5080
.5398 .5438
0.2 .5793 .5832 .5871
0.3 .6179 .6217 .6255
0,6179.02
0.1 .5478
Distribuição Normal
Tabela (Parte)
0 1Z Z
Z = 0,30
0
1 – 0.3821 = 0.6179
0,6217
Encontrando Valores de Z para Probabilidades conhecidas
Z .00 0.2
0.0 .5000 .5040 .5080
0.1 .5398 .5438 .5478
0.2 .5793 .5832 .5871
.6179 .6255
.01
0.3
Distribuição Normal
Tabela (Parte)
Qual é Z associado à Probabilidade= 0,6217 ?
.6217
0 1Z Z
.31Z 0
Recuperando Valores de X para Probabilidades Conhecidas
5 .30 10 8X Z
Distribuição Normal
Distribuição Normal
Padronizada10 1Z
5 ? X Z0Z 0.30
.3821.1179
Termos que devem ser familiares
Curva simétrica unimodal
dois parâmetros:
média e dp
Área Total = 1
probabilidade = Área sob a curva Normal
média = mediana
Padronização
x
z
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