Curva Normal deCurva Normal de

ProbabilidadeProbabilidade

Prof. Ivan Balducci

FOSJC / Unesp

Distribuição Normal

• “Em forma de Sino”• Unimodal• Simétrica• Média, mediana e

moda são iguais• Assintótica em relação ao Eixo X

• Amplitude Interquartil

• é 1,33 ou [Q3-Q1] =

Média,

Mediana Moda

X

f(X)

Q1 Q3

Modelo Matemático

• X: valores da variável aleatória ( )• F(X):função densidade probabilidade da variável

aleatória X

média da população

desvio padrão da população

222

1-

2

2

1

X

eXf

X

Para variáveis aleatórias contínuas, as probabilidades são representadas pelas áreas sob a curva

• Área total sob a curva é 1• A área em vermelho é

igual a P(X>1)• A área em azul é igual a

P(-1<X<0)• Áreas são obtidas em são obtidas em

tabelas ou calculadas em tabelas ou calculadas em computador.computador.

Distribuição Normal

Z1=1,02

P(z1=1,02)=34,61%

P(z1=1,02)=?

Distribuição Normal

Variando os parâmetros e , obtém-se diferentes formas de distribuições

normal

Cálculo de Probabilidades

Probabilidade é a área sob a curva!

c dX

f(X)

?P c X d

Cálculo de Probabilidades

Qual a área total abaixo da curva?

f(X)

X

Área = 1

P(- < X < + )

Qual Tabela usar?

Deveríamos ter disponíveis uma infinidade de Tabelas, uma para cada par e !

Solução: Distribuição Normal Padronizada

Z .00 .01

0.0 .5000 .5040 .5080

.5398 .5438

0.2 .5793 .5832 .5871

0.3 .6179 .6217 .6255

0,5478.02

0.1 .5478

Distribuição Normal Padronizada

Tabela (Parte)

Probabilidades

Uma única Tabela basta!

0 1Z Z

Z = 0,12

0

Qual Tabela usar?

É essa a soluçãoÉ essa a solução

Distribuição Normal Padronizada

•Valor da V. A. Normal Z Padronizada:Valor da V. A. Normal Z Padronizada:

onde:onde:

x = valor da V. A. Normal X

= desvio padrão da V. A. Normal X

= média da V. A. Normal X

z = valor padronizado de x (número de desvios padrão com relação à média)

x

z

É essa a soluçãoÉ essa a solução

Exemplo 1: padronizar 6.2

6.2 50.12

10

XZ

X: Distribuição Normal

Z: Distribuição Normal

Padronizada 10 1Z

5 6.2 X Z0Z

0.12

Exemplo 2: cálculo da área entre dois números

X: Distribuição Normal

Z: Distribuição Normal

Padronizada10 1Z

5 7.1 X Z0Z

0.21

2.9 5 7.1 5.21 .21

10 10

X XZ Z

2.9 0.21

.0832

2.9 7.1 .1664P X

.0832

Z .00 .01

0.0 .5000 .5040 .5080

.5398 .5438

0.2 .5793 .5832 .5871

0.3 .6179 .6217 .6255

0,5832.02

0.1 .5478

Distribuição Normal

Tabela (Parte) 0 1Z Z

Z = 0,21

Exemplo 3. Inverso: obter “z”, conhecido “p = 0,5832” 2.9 7.1 .1664P X

(continuação)

0

Z .00 .01

-03 .3821 .3783 .3745

.4207 .4168

-0.1.4602 .4562 .4522

0.0 .5000 .4960 .4920

0,4168.02

-02 .4129

Distribuição Normal

Tabela (Parte)

0 1Z Z

Z = -0,21

Exemplo 4. Inverso: obter “z”, conhecido “p = 0,4168” 2.9 7.1 .1664P X (continuaçã

o)

0

Exemplo 5. Cálculo da área acima de 8.

8 .3821P X

Distribuição Normal

Distribuição Normal

Padronizada10 1Z

5 8 X Z0Z

0.30

8 5.30

10

XZ

.3821

Exemplo 6. Inverso: obter “z”, conhecido “p = 0,6179”

8 .3821P X (continuação)

Z .00 .01

0.0 .5000 .5040 .5080

.5398 .5438

0.2 .5793 .5832 .5871

0.3 .6179 .6217 .6255

0,6179.02

0.1 .5478

Distribuição Normal

Tabela (Parte)

0 1Z Z

Z = 0,30

0

1 – 0.3821 = 0.6179

0,6217

Encontrando Valores de Z para Probabilidades conhecidas

Z .00 0.2

0.0 .5000 .5040 .5080

0.1 .5398 .5438 .5478

0.2 .5793 .5832 .5871

.6179 .6255

.01

0.3

Distribuição Normal

Tabela (Parte)

Qual é Z associado à Probabilidade= 0,6217 ?

.6217

0 1Z Z

.31Z 0

Recuperando Valores de X para Probabilidades Conhecidas

5 .30 10 8X Z

Distribuição Normal

Distribuição Normal

Padronizada10 1Z

5 ? X Z0Z 0.30

.3821.1179

Termos que devem ser familiares

Curva simétrica unimodal

dois parâmetros:

média e dp

Área Total = 1

probabilidade = Área sob a curva Normal

média = mediana

Padronização

x

z