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Planejamento

de Misturas

• Na maioria dos planejamentos os níveis dos fatores são independentes.

• As propriedades de uma mistura são determinadas pelas proporções de seus ingredientes, e não por valores absolutos.

• A soma das proporções dos diversos componentes de uma mistura é sempre 100%.

Planejamento

de Misturas

• Para especificar a composição da mistura, só precisamos fixar as proporções de n – 1 componentes.

• Diagramas binários.

Diagramas

Ternários

Diagramas

Ternários

P

x1 = 20%

x2 = 50%

x3 = 30%

Q

x1 = 50%

x2 = 10%

x3 = 40%

S

x1 = 60%

x2 = 30%

x3 = 10%

Planejamentos de Misturas

• O modelo matemático escolhido define qual é o

planejamento mais adequado.

• Os modelos mais utilizados são:

– Linear.

– Quadrático.

– Cúbico completo.

– Cúbico especial.

• Existem duas classes principais de planejamentos de

mistura:

– Planejamento simplex-lattice.

– Planejamento simplex-centroid.

Modelos de Misturas

• Modelos de mistura para p componentes:

– Linear

– Quadrático

– Cúbico completo

– Cúbico especial

Efeito Principal

Efeito de

Interação Binária

Efeito de

Interação Ternária

Interação entre os Ingredientes

• As interações entre os componentes geram

curvaturas no modelo de mistura e podem ser

de dois tipos:

– Interação de efeito sinérgico.

– Interação de efeito antagônico.

Simplex-Lattice

• {p, m} Simplex-Lattice: p componentes, com m + 1

pontos igualmente espaçados. Todas as combinações

possíveis dos pontos são utilizadas.

• {2, 1}

• Qual modelo de mistura posso usar?

X1 X2

0 1

1 0

Simplex-Lattice

• {2, 2}

• Modelo de mistura???

X1 X2

0 1

½ ½

1 0

Simplex-Lattice

• {3, 2}

• Qual modelo de mistura posso usar?

• Para usar o modelo cúbico completo seriam necessários

quantos experimentos? Como seria representado o

planejamento?

X1 X2 X3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

½ ½ 0

½ 0 ½

0 ½ ½

Simplex-Lattice

Simplex-Lattice

Simplex-Lattice

• A quantidade de pontos em um

planejamento simplex-lattice {p, m} é:

• O planejamento simplex-lattice permite a

obtenção de modelos cúbicos completos.

Simplex-Centroid

• É uma alternativa ao planejamento simplex-

lattice que permite a construção de modelos

cúbicos especiais.

• Um planejamento simplex-centroid para p

componentes possui 2p – 1 pontos.

Componentes Formulações

Simplex-lattice Simplex-centroid

3 10 7

4 20 15

Simplex-Centroid

• O planejamento é composto por:

– p permutações (1, 0, 0, ..., 0).

– permutações (½, ½, 0, ..., 0).

– permutações (1/3, 1/3, 1/3, 0, ..., 0).

– Centróide (1/p, 1/p, ..., 1/p).

2

p

3

p

!!

!

knk

n

k

n

Simplex-Centroid

Planejamentos Simplex

• Para os planejamentos do tipo simplex a maioria

dos pontos experimentais estão no contorno da

região experimental e envolvem apenas p – 1

componentes.

• É recomendável a utilização de pontos internos

(axiais) além do centróide.

Simplex-Centroid com pontos internos

Eixo do

componente 3

Meia distância entre o

componente puro e o

centróide

Mistura de dois componentes

• O modelo mais simples para uma mistura de

dois componentes é o modelo aditivo, ou linear:

• Os fatores x1 e x2 não são mais independentes

e, portanto, a matriz XtX é singular.

0 1 1 2 2y b b x b x

1 2 1x x

Dois Componentes – Modelo Linear

• A restrição de mistura pode ser utilizada para

produzir modelos mais fáceis de interpretar.

0 1 1 2 2y b b x b x

1 2 1x x

0 1 2 1 1 2 2y b x x b x b x

* *

0 1 1 0 2 2 1 1 2 2y b b x b b x b x b x

Dois Componentes – Modelo Linear

• O modelo linear de mistura para dois

componentes possui apenas dois

coeficientes, assim, são necessários

apenas dois experimentos distintos.

• Os coeficientes do modelo são as

próprias respostas para os

respectivos componentes puros.

• É possível aumentar a precisão do

modelo fazendo repetições dos

ensaios.

X1 X2

0 1

1 0

Dois Componentes – Modelo Linear

• Duas gasolinas, A e B, são misturadas. Quando puras,

elas rendem 14 e 6 km/L, respectivamente. (a) Determine

a equação do modelo aditivo para o rendimento de uma

mistura qualquer de duas gasolinas. (b) Calcule o

rendimento previsto para uma mistura em partes iguais.

(c) Faça o mesmo para uma mistura contendo 30% da

gasolina B.

– Modelo:

– 50% de A e 50% de B, rendimento = 10 km/L

– 70% de A e 30% de B, rendimento = 11,6 km/L

Dois Componentes – Modelo Quadrático

• A ampliação mais simples do modelo linear é o

modelo quadrático:

2 2

0 1 1 2 2 11 1 22 2 12 1 2y b b x b x b x b x b x x

2 2

1 2 1 1 2 2 2 11 1 1x x x x x x x x

0 1 2 1 1 2 2 11 1 2 22 2 1 12 1 2ˆ 1 1y b x x b x b x b x x b x x b x x

0 1 11 1 0 2 22 2 12 11 22 1 2y b b b x b b b x b b b x x

* * *

1 1 2 2 12 1 2y b x b x b x x

Dois Componentes – Modelo Quadrático

• O modelo quadrático de mistura para

dois componentes possui apenas três

coeficientes, assim, são necessários

apenas três experimentos distintos.

• O coeficiente da interação binária é

obtido pela substituição dos valores

no modelo quadrático.

X1 X2

0 1

1 0

½ ½

Dois Componentes – Modelo Quadrático

• Os coeficientes também ser obtidos

de forma matricial.

Dois Componentes – Modelo Quadrático

• Uma mistura 1:1 das duas gasolinas do exemplo anterior rendeu 12

km/L. (a) Determine os coeficientes do modelo quadrático para uma

mistura dessas duas gasolinas. A interação entre elas é sinérgica ou

antagônica? (b) Uma mistura formada de dois terços de gasolina A e

um terço de gasolina B apresentou um rendimento de 13 km/L. Este

resultado está em boa concordância com o valor previsto pelo modelo

quadrático?

– Modelo:

– 2/3 de A e 1/3 de B, rendimento previsto = 13,1 km/L

Dois Componentes – Modelo Quadrático

• A tabela abaixo contém medidas repetidas da viscosidade de dois

vidros fundidos puros e também de uma mistura contendo os dois em

partes iguais. Determine os coeficientes do modelo quadrático da

mistura.

– Modelo:

Viscosidade

Vidro A 1,41 1,47

Vidro B 1,73 1,68

Vidro AB (50%-50%) 1,38 1,34 1,40

Mistura de três componentes

• Modelo linear:

* * *

1 1 2 2 3 3y b x b x b x

Mistura de três componentes

• Modelo quadrático:

* * * * * *

1 1 2 2 3 3 12 1 2 13 1 3 23 2 3y b x b x b x b x x b x x b x x

Três Componentes – Modelo Quadrático

• Em um projeto realizado no Centro de Pesquisa da Pirelli, tendo

como objetivo a melhoria do revestimento de cabos elétricos, foram

obtidos os resultados médios mostrados na tabela abaixo. Determine

as equações dos modelos quadráticos para ambas as respostas.

Al2O3 Fe2O3 Co3O4

Perda de

massa Trilhamento

1 0 0 2,84 94,26

0 1 0 5,24 8,95

0 0 1 3,80 11,52

½ ½ 0 1,18 125,00

½ 0 ½ 2,18 103,00

0 ½ ½ 3,38 10,55

Mistura de três componentes

• Modelo cúbico completo (simplex lattice):

* * * * * * *

1 1 2 2 3 3 12 1 2 13 1 3 23 2 3 12 1 2 1 2

* * *

13 1 3 1 3 23 2 3 2 3 123 1 2 3

y b x b x b x b x x b x x b x x d x x x x

d x x x x d x x x x b x x x

• Modelo cúbico especial (simplex centróide):

* * * * * * *

1 1 2 2 3 3 12 1 2 13 1 3 23 2 3 123 1 2 3y b x b x b x b x x b x x b x x b x x x

Avaliação Estatística dos Modelos

• A construção de modelos de mistura é um caso particular de ajuste

por mínimos quadrados.

• A significância estatística desses modelos deve ser avaliada com

uma análise de variância.

• Um modelo com mais parâmetros explicará uma soma quadrática

maior.

• Ao acrescentar um termo um grau de liberdade do resíduo é

transferido para a regressão.

• O teste F indica se a ampliação do modelo é necessária.

Estudo de Caso 1

• Planejamento de mistura para três componentes: formulação de um achocolatado em pó com substituição de 42% dos sólidos do leite por uma mistura de proteínas (Castro, I. A.; Silva, R. S. F.; Tirapegui, J.; Borsato, D.; Bona, E. Simultaneous optimization of response variables in protein mixture formulation: constrained simplex method approach. International Journal of Food Science and Technology, v.38, p.103-110, 2003).

• Componentes da mistura: (HG) gelatina hidrolisada; (WG) proteína de trigo; (SPI) isolado protéico de soja.

• Respostas: (SENS) avaliação sensorial; (PDCAAS) avaliação nutricional; (NPR) avaliação nutricional; (CUSTO) custo proporcional da mistura.

Estudo de Caso 1

Funções de Desejabilidade

• É uma técnica de otimização simultânea desenvolvida por

Derringer & Suich (1980).

• O primeiro passo é converter cada resposta yi em uma

função de desejabilidade individual di.

• Os componentes da mistura (ou fatores de outros tipo de

planejamento) são ajustados para maximizar a

desejabilidade global.

Desejabilidades Individuais

• Para maximizar uma propriedade (unilateral).

Desejabilidades Individuais

• Para minimizar uma propriedade (unilateral).

Desejabilidades Individuais

• Para atingir um valor alvo usa-se uma função bilateral.

Estudo de Caso 2

• Planejamento de mistura para três componentes: formulação de um a

barra de cereal com propriedades prebióticas (Dutcosky, S. D.;

Grossman, M. V. E.; Silva, R. S. F.; Welsh, A. K. Combined sensory

optimization of a prebiotic cereal product using multicomponent

mixture experiments. Food Chemistry, v.98, p.630-638, 2006).

• Componentes da mistura: (I) inulina ; (OF) oligofrutose; (GA) goma acácia.

• Variáveis dependentes: descritores sensoriais.

Misturas com Restrições

• Existem casos em que certas limitações são impostas

nas proporções dos componentes.

• Quando se tem limites uma nova região do planejamento

de misturas deve ser utilizada.

• No caso de limites inferiores os planejamentos do tipo

simplex ainda podem ser utilizados.

• Para o caso de limites e superiores a região experimental

é uma forma irregular e outros tipos de planejamento

diferente do simplex devem ser utilizados.

Pseudocomponentes

• A utilização de pseudocomponentes permite a utilização

dos planejamentos do tipo simplex quando existe uma

restrição inferior para os componentes da mistura.

• Para o caso geral de p componentes:

Codificação

(Pseudocomponente)

Descodificação

(Componente Original)

Pseudocomponentes – Exemplo

• Imagine que para uma determinada mistura ternária

existam as seguintes restrições:

• Monte um planejamento simplex-lattice {3,2}.

X1’ X2’ X3’

1 0 0

0 1 0

0 0 1

½ ½ 0

½ 0 ½

0 ½ ½

Pseudocomponentes

Descodificação

X1 X2 X3

0,65 0,20 0,15

0,35 0,50 0,15

0,35 0,20 0,45

0,50 0,35 0,15

0,50 0,20 0,30

0,35 0,35 0,30

Pseudocomponentes – Exemplo

• Região experimental (componentes originais):

Pseudocomponentes – Exemplo

• Utilizando os valores abaixo tabelados determine o modelo obtido

para o planejamento proposto.

• Qual a resposta prevista para uma mistura com 60% de x1, 20% de x2

e 20% de x3?

X1’ X2’ X3’ X1 X2 X3 R

1 0 0 0,65 0,20 0,15 28,6

0 1 0 0,35 0,50 0,15 20,0

0 0 1 0,35 0,20 0,45 15,3

½ ½ 0 0,50 0,35 0,15 42,4

½ 0 ½ 0,50 0,20 0,30 32,7

0 ½ ½ 0,35 0,35 0,30 12,5

x1’ = 0,83; x2’ = 0,0; x3’ = 0,17 R = 32,41

Pseudocomponentes – Exemplo

• Pseudocomponentes ou componentes originais???

Planejamentos Gerados pelo Computador

• Para misturas onde os componentes possuem limites superiores e

inferiores os planejamentos do tipo simplex não podem ser utilizados.

• Outros tipos de restrição também podem ser impostas.

• A região experimental apresenta um formato irregular.

• Para minimizar o erro de estimativa dos coeficientes do modelo é

ideal que os pontos se distribuam uniformemente pela região

estudada.

• Os pacotes computacionais usam métodos estatísticos para

encontrar o melhor planejamento.

Planejamentos Gerados pelo Computador

• Suponha que para uma mistura ternária existam as seguintes

restrições:

Pontos

experimentais

nos vértices

Qual modelo pode

ser ajustado???

Estudo de Caso 3

• Aplicação de pseudocomponentes para avaliar o comportamento

reológico de misturas ternárias de polpas de frutas (BRANCO, I. G. &

GASPARETTO, C. A. Aplicação da metodologia de superfície de

resposta para o estudo do efeito da temperatura sobre o

comportamento reológico de misturas ternárias de polpa de manga e

sucos de laranja e cenoura. Ciência e Tecnologia de Alimentos,

v.23, suplemento, p.166-171, 2003).

• Componentes da mistura: X1 = polpa de manga ; X2 = suco de laranja; X3 = suco de cenoura.

• Restrições para os componentes: X1 60%; X2 10%; X3 10%.

Planejamento