Devido a simplicidade dos cálculos e a extensa aplicabilidade em ajustes de curvas em pontos...

Devido a simplicidade dos cálculos e a extensa aplicabilidade em ajustes de curvas em pontos (regressão numérica), o método dos mínimos quadrados é largamente utilizado na calibração estática de sistemas de medição.

Pode-se utilizar este método para vários tipos de curvas (funções), e aqui apresenta-se uma aplicação para medidor de vazão tangencial, calibrado através do método gravimétrico.

Ajuste de curvas - Método dos Mínimos Quadrados

Equacionamento: Q Qi

l/s l/s

0,09 0,09

0,20 0,20

0,31 0,30

0,39 0,40

0,48 0,50

0,57 0,60

0,65 0,70

0,74 0,80

0,84 0,91

0,93 1,00

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Qi [l/s]

Q [l/s]

Q = 0,902 . Qi + 0,0232

Qi = 1,105 . Q - 0,0246

xy

y

A

B

xx

xn2

22

xxn

yxxynA

n

xAyB

Propagação de Incertezas Propagação de Incertezas Através de MódulosAtravés de Módulos

MotivaçãoMotivação

Algumas vezes é necessário compor Algumas vezes é necessário compor sistemas de medição reunido sistemas de medição reunido módulos já existentes.módulos já existentes.

O comportamento metrológico de O comportamento metrológico de cada módulo é conhecido cada módulo é conhecido separadamente.separadamente.

Qual o comportamento metrológico Qual o comportamento metrológico do sistema resultante da combinação do sistema resultante da combinação dos vários módulos?dos vários módulos?

0.000

0.000

TransdutoresUTS

Dispositivos mostradores

0.000

0.000

0.000

6.414

Composição de sistemas de Composição de sistemas de mediçãomedição

Módulo 1

...Módulo 2

Módulo nESM SSM

sistema de medição

Modelo matemático para um Modelo matemático para um módulomódulo

Módulo 1 S(M1)E(M1)

K(M1) : sensibilidade

C(M1) : correção

u(M1) : incerteza padrão

Idealmente:

S(M1) = K(M1) . E(M1)

Em função dos erros:

S(M1) = K(M1) . E(M1) – C(M1) ± u(M1)

Modelo para dois módulosModelo para dois módulos

Módulo 1E(M1)

S(M1) = K(M1) . E(M1) - C(M1) ± u(M1)

Módulo 2S(M2)

S(M2) = K(M2) . E(M2) – C(M2) ± u(M2

)

S(M1)

E(M2)

E(M2) = S(M1)S(M2) = K(M2) . [K(M1) . E(M1) – C(M1) ± u(M1)] – C(M2) ± u(M2

)

S(M2) = K(M1) . K(M2) . E(M1) - [C(M1). K(M2) + C(M2)] ± [u(M1). K(M2) + u(M2)]

Modelo matemático para Modelo matemático para nn módulos módulos

Módulo 1

...Módulo 2

Módulo nE(SM) S(SM)

K(M1), C(M1), u(M1) K(M2), C(M2), u(M2) K(Mn), C(Mn), u(Mn)

S(SM) = K(M1) . K(M2) . ... . K(Mn) . E(SM)

K(SM) = K(M1) . K(M2) . ... . K(Mn)

sensibilidade

Sensibilidade EquivalenteSensibilidade Equivalente

Modelo matemático para Modelo matemático para nn módulos módulos

Cr(SM) = Cr(M1) + Cr(M2) + ... + Cr(Mn)

sendo:

correção

Cr = correção relativa, calculada por:

para o módulo “k”)S(M

)C(M)Cr(M

k

kk

para o sistema de mediçãoS(SM)

CS(SM)

E(SM)

CE(SM))Cr(SM

CE(SM) = correção na entrada do SM

CS(SM) = correção na saída do SM

Correção Relativa Correção Relativa EquivalenteEquivalente

Modelo matemático para Modelo matemático para nn módulos módulos

ur(SM)2 = ur(M1)2 + ur(M2 )2 + ... + ur(Mn )2

sendo:

incerteza

ur = incerteza relativa, calculada por:

para o módulo “k”)S(M

)u(M)ur(M

k

kk

para o sistema de mediçãoS(SM)

uS(SM)

E(SM)

uE(SM)ur(SM)

uE(SM) = incerteza na entrada do SM

uS(SM) = incerteza na saída do SM

Incerteza Padrão Relativa Incerteza Padrão Relativa EquivalenteEquivalente

Modelo matemático para Modelo matemático para nn módulos módulos

graus de liberdade efetivos

)(

)(...

)(

)(

)(

)(

)(

)( 4

2

42

1

41

4

n

n

M

Mur

M

Mur

M

Mur

SM

SMur

sendo:

número de graus de liberdade efetivo do sistema de medição

a incerteza padrão relativa combinada do sistema de medição

a incerteza padrão relativa do i-ésimo módulo

n de graus de liberdade da incerteza padrão relativa do i-ésimo módulo

)(SM)(SMur)( ir Mu

)( iM

Modelo matemático para Modelo matemático para nn módulos módulos

Ur(SM)2 = Ur(M1)2 + Ur(M2 )2 + ... + Ur(Mn )2

para o módulo “k”)S(M

)U(M)Ur(M

k

kk

para o sistema de mediçãoS(SM)

US(SM)

E(SM)

UE(SM)Ur(SM)

Se o número de graus de liberdade com Se o número de graus de liberdade com que cada incerteza padrão é determinada é que cada incerteza padrão é determinada é o mesmo, a equação também pode ser o mesmo, a equação também pode ser escrita em termos da incerteza expandida escrita em termos da incerteza expandida como:como:

Correção e IncertezaCorreção e Incerteza

Na entrada do SM:

SMSM

SMSM

urE

CrE

.uE

.CE

SM

SM

SMSM

SMSM

urS

CrS

.uS

.CS

SM

SM

Na saída do SM:

Correção e Incerteza em Termos Correção e Incerteza em Termos AbsolutosAbsolutos

Problema:Problema:

A indicação do voltímetro abaixo é 2,500 V. A indicação do voltímetro abaixo é 2,500 V. Determine o resultado da medição do Determine o resultado da medição do deslocamento, efetuado com o sistema de deslocamento, efetuado com o sistema de medição especificado abaixo, composto de:medição especificado abaixo, composto de:

ESM= ? 2,500 Vtransd. indutivo

amplifi-cador

voltí-metro

transd. indutivo

amplifi-cador

voltí-metroESM= ? 2,500 V

transd. indutivo de deslocamentosfaixa de medição: 0 a 20 mmsensibilidade: 5 mV/mmcorreção: - 1 mVu = 2 mVν=16

unidade de tratamento de sinaisfaixa de medição: ± 200 mV (entrada)amplificação: 100 Xcorreção: 0,000 Vu = 0,2 % (VFE)ν=20

disp. mostrador: voltímetro digitalfaixa de medição: ± 20 Vcorreção: 0,02% do valor indicadou = 5 mVν=96

transd. indutivo

amplifi-cador

voltí-metroESM= ? 2,500 V

KT = 5 mV/mmCT = - 1 mVuT = 2 mV

KUTS = 0,1 V/mVCUTS = 0,000 VuUTS = 0,2 % . 0,20 V

KDM = 1 V/VCDM = 0,02 % . 2,5VuDM = 5 mV

CrT = - 1/25 = -0,04urT = 2 /25 = 0,08

CrUTS = 0,000 urUTS = 0,0004/2,5 = 0,00016

CrDM = 0,0005/2,5 = 0,0002urDM = 0,005/2,5 = 0,002

2,500 V25,00 mV5,00 mm

KSM = KT . KUTS . KDM = 5 mV/mm . 0,1 V/mV . 1 V/V

KSM = 0,5 V/mm

CrSM = CrT + CrUTS + CrDM = -0,0400 + 0,0000 +0,0002

CrSM = -0,0398

sensibilidade

correção

na entrada:

CESM = CrSM . ESM = -0,0398 . 5,000 mm = -0,199 mm

CESM = -0,199 mm

(urSM)2 = (urT)2 + (urUTS)2 + (urDM)2

incerteza

na entrada:

uESM = urSM . ESM = 0,080025. 5,000 mm

(urSM)2 = (0,08)2 + (0,00016)2 + (0,002)2

(urSM)2 = 10-4 . [64 + 0,00026 + 0,04]

urSM = 0,080025

uESM = 0,4001 mm

graus de liberdade efetivos

n

n

SM

SM urururur

4

2

42

1

41

4

...

96

)002,0(

20

)00016,0(

16

)080,0()08005,0( 4444

SM

02,16SM

UESM = t . uESM = 2,169 * 0,4001 = 0,868 mm

Resultado da mediçãoResultado da medição

RM = I + CESM ± UESM

RM = 5,000 + (-0,199) ± 0,868

RM = (4,80 ± 0,87) mm