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Devido a simplicidade dos cálculos e a extensa aplicabilidade em ajustes de curvas em pontos (regressão numérica), o método dos mínimos quadrados é largamente utilizado na calibração estática de sistemas de medição.
Pode-se utilizar este método para vários tipos de curvas (funções), e aqui apresenta-se uma aplicação para medidor de vazão tangencial, calibrado através do método gravimétrico.
Ajuste de curvas - Método dos Mínimos Quadrados
Equacionamento: Q Qi
l/s l/s
0,09 0,09
0,20 0,20
0,31 0,30
0,39 0,40
0,48 0,50
0,57 0,60
0,65 0,70
0,74 0,80
0,84 0,91
0,93 1,00
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Qi [l/s]
Q [l/s]
Q = 0,902 . Qi + 0,0232
Qi = 1,105 . Q - 0,0246
xy
y
A
B
xx
xn2
22
xxn
yxxynA
n
xAyB
Propagação de Incertezas Propagação de Incertezas Através de MódulosAtravés de Módulos
MotivaçãoMotivação
Algumas vezes é necessário compor Algumas vezes é necessário compor sistemas de medição reunido sistemas de medição reunido módulos já existentes.módulos já existentes.
O comportamento metrológico de O comportamento metrológico de cada módulo é conhecido cada módulo é conhecido separadamente.separadamente.
Qual o comportamento metrológico Qual o comportamento metrológico do sistema resultante da combinação do sistema resultante da combinação dos vários módulos?dos vários módulos?
0.000
0.000
TransdutoresUTS
Dispositivos mostradores
0.000
0.000
0.000
6.414
Composição de sistemas de Composição de sistemas de mediçãomedição
Módulo 1
...Módulo 2
Módulo nESM SSM
sistema de medição
Modelo matemático para um Modelo matemático para um módulomódulo
Módulo 1 S(M1)E(M1)
K(M1) : sensibilidade
C(M1) : correção
u(M1) : incerteza padrão
Idealmente:
S(M1) = K(M1) . E(M1)
Em função dos erros:
S(M1) = K(M1) . E(M1) – C(M1) ± u(M1)
Modelo para dois módulosModelo para dois módulos
Módulo 1E(M1)
S(M1) = K(M1) . E(M1) - C(M1) ± u(M1)
Módulo 2S(M2)
S(M2) = K(M2) . E(M2) – C(M2) ± u(M2
)
S(M1)
E(M2)
E(M2) = S(M1)S(M2) = K(M2) . [K(M1) . E(M1) – C(M1) ± u(M1)] – C(M2) ± u(M2
)
S(M2) = K(M1) . K(M2) . E(M1) - [C(M1). K(M2) + C(M2)] ± [u(M1). K(M2) + u(M2)]
Modelo matemático para Modelo matemático para nn módulos módulos
Módulo 1
...Módulo 2
Módulo nE(SM) S(SM)
K(M1), C(M1), u(M1) K(M2), C(M2), u(M2) K(Mn), C(Mn), u(Mn)
S(SM) = K(M1) . K(M2) . ... . K(Mn) . E(SM)
K(SM) = K(M1) . K(M2) . ... . K(Mn)
sensibilidade
Sensibilidade EquivalenteSensibilidade Equivalente
Modelo matemático para Modelo matemático para nn módulos módulos
Cr(SM) = Cr(M1) + Cr(M2) + ... + Cr(Mn)
sendo:
correção
Cr = correção relativa, calculada por:
para o módulo “k”)S(M
)C(M)Cr(M
k
kk
para o sistema de mediçãoS(SM)
CS(SM)
E(SM)
CE(SM))Cr(SM
CE(SM) = correção na entrada do SM
CS(SM) = correção na saída do SM
Correção Relativa Correção Relativa EquivalenteEquivalente
Modelo matemático para Modelo matemático para nn módulos módulos
ur(SM)2 = ur(M1)2 + ur(M2 )2 + ... + ur(Mn )2
sendo:
incerteza
ur = incerteza relativa, calculada por:
para o módulo “k”)S(M
)u(M)ur(M
k
kk
para o sistema de mediçãoS(SM)
uS(SM)
E(SM)
uE(SM)ur(SM)
uE(SM) = incerteza na entrada do SM
uS(SM) = incerteza na saída do SM
Incerteza Padrão Relativa Incerteza Padrão Relativa EquivalenteEquivalente
Modelo matemático para Modelo matemático para nn módulos módulos
graus de liberdade efetivos
)(
)(...
)(
)(
)(
)(
)(
)( 4
2
42
1
41
4
n
n
M
Mur
M
Mur
M
Mur
SM
SMur
sendo:
número de graus de liberdade efetivo do sistema de medição
a incerteza padrão relativa combinada do sistema de medição
a incerteza padrão relativa do i-ésimo módulo
n de graus de liberdade da incerteza padrão relativa do i-ésimo módulo
)(SM)(SMur)( ir Mu
)( iM
Modelo matemático para Modelo matemático para nn módulos módulos
Ur(SM)2 = Ur(M1)2 + Ur(M2 )2 + ... + Ur(Mn )2
para o módulo “k”)S(M
)U(M)Ur(M
k
kk
para o sistema de mediçãoS(SM)
US(SM)
E(SM)
UE(SM)Ur(SM)
Se o número de graus de liberdade com Se o número de graus de liberdade com que cada incerteza padrão é determinada é que cada incerteza padrão é determinada é o mesmo, a equação também pode ser o mesmo, a equação também pode ser escrita em termos da incerteza expandida escrita em termos da incerteza expandida como:como:
Correção e IncertezaCorreção e Incerteza
Na entrada do SM:
SMSM
SMSM
urE
CrE
.uE
.CE
SM
SM
SMSM
SMSM
urS
CrS
.uS
.CS
SM
SM
Na saída do SM:
Correção e Incerteza em Termos Correção e Incerteza em Termos AbsolutosAbsolutos
Problema:Problema:
A indicação do voltímetro abaixo é 2,500 V. A indicação do voltímetro abaixo é 2,500 V. Determine o resultado da medição do Determine o resultado da medição do deslocamento, efetuado com o sistema de deslocamento, efetuado com o sistema de medição especificado abaixo, composto de:medição especificado abaixo, composto de:
ESM= ? 2,500 Vtransd. indutivo
amplifi-cador
voltí-metro
transd. indutivo
amplifi-cador
voltí-metroESM= ? 2,500 V
transd. indutivo de deslocamentosfaixa de medição: 0 a 20 mmsensibilidade: 5 mV/mmcorreção: - 1 mVu = 2 mVν=16
unidade de tratamento de sinaisfaixa de medição: ± 200 mV (entrada)amplificação: 100 Xcorreção: 0,000 Vu = 0,2 % (VFE)ν=20
disp. mostrador: voltímetro digitalfaixa de medição: ± 20 Vcorreção: 0,02% do valor indicadou = 5 mVν=96
transd. indutivo
amplifi-cador
voltí-metroESM= ? 2,500 V
KT = 5 mV/mmCT = - 1 mVuT = 2 mV
KUTS = 0,1 V/mVCUTS = 0,000 VuUTS = 0,2 % . 0,20 V
KDM = 1 V/VCDM = 0,02 % . 2,5VuDM = 5 mV
CrT = - 1/25 = -0,04urT = 2 /25 = 0,08
CrUTS = 0,000 urUTS = 0,0004/2,5 = 0,00016
CrDM = 0,0005/2,5 = 0,0002urDM = 0,005/2,5 = 0,002
2,500 V25,00 mV5,00 mm
KSM = KT . KUTS . KDM = 5 mV/mm . 0,1 V/mV . 1 V/V
KSM = 0,5 V/mm
CrSM = CrT + CrUTS + CrDM = -0,0400 + 0,0000 +0,0002
CrSM = -0,0398
sensibilidade
correção
na entrada:
CESM = CrSM . ESM = -0,0398 . 5,000 mm = -0,199 mm
CESM = -0,199 mm
(urSM)2 = (urT)2 + (urUTS)2 + (urDM)2
incerteza
na entrada:
uESM = urSM . ESM = 0,080025. 5,000 mm
(urSM)2 = (0,08)2 + (0,00016)2 + (0,002)2
(urSM)2 = 10-4 . [64 + 0,00026 + 0,04]
urSM = 0,080025
uESM = 0,4001 mm
graus de liberdade efetivos
n
n
SM
SM urururur
4
2
42
1
41
4
...
96
)002,0(
20
)00016,0(
16
)080,0()08005,0( 4444
SM
02,16SM
UESM = t . uESM = 2,169 * 0,4001 = 0,868 mm
Resultado da mediçãoResultado da medição
RM = I + CESM ± UESM
RM = 5,000 + (-0,199) ± 0,868
RM = (4,80 ± 0,87) mm