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Aula 3 - ÁlgebraE
Ellís CarvalhoLuiz Afonso
Nu(T) = {v ∈ V / T(v) = 0}
Im(T) = {w ∈ W / w = T(v), para algum v ∈ V}
Teorema: dim Nu(T) + dim Im(T) = dim V.
Revisando Núcleo e Imagem...
T(v) = T(u) -> v = u
Uma transformação é injetiva se e somente se Nu(T) = {0}.
T: ℛ³→ℛ² T(x, y, z) = (x + y, x + z)
Transformação Injetiva
w ∈ W -> ∃ v ∈ V / T(v) = w
Uma transformação é sobrejetiva se e somente se Im(T) = W ou dim Im(T) = dim W, onde W é o contra-domínio da transformação.
Transformação Sobrejetiva
Uma transformação é bijetiva se ela for injetiva e sobrejetiva.
A isso, damos o nome de isomorfismo.
T é bijetiva -> dim V = dim W
Transformação Bijetiva
Exercício
A partir disso, verifique injetividade e sobrejetividade para T, S, SoT e ToS.
Para uma transformação linear possuir inversa, ela deve ser bijetiva.
Logo, dim V = dim W.
Inversa de uma transformação
A matriz de uma transformação linear é uma forma de representar a transformação.
Seu uso se deve à facilidade que ela oferece, uma vez que a transformação “T(v) = u” pode ser feita pela multiplicação de matrizes:
[T]βα x [v]β = [u]α.
Onde [v]β é a representação do vetor ‘v’ na base β, [u]α o vetor ‘u’ na base α e [T]β
α a matriz da transformação T de β para α.
Matriz de uma transformação
α = { u1, u2, ... , um }
β = { v1, v2, ... vn }
u = x1.u1 + x2.u2 + ... + xm.um
v = y1.v1 + y2.v2 + ... + yn.vn
Matriz de uma transformação
mx
x
x
u...2
1
ny
y
y
v...2
1
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
T
...
............
...
...
21
22221
11211
Como achar [T]βα?
Observe que quando v = v1
E para esse v1, temos
Matriz de uma transformação
0
...
0
1
v
mx
x
x
uvT...
)( 2
1
1
Como pode ter surgido T(v1) ?
x1 = 1.a11 + 0.a12 + ... + 0.a1n
x2 = 1.a21 + 0.a22 + ... + 0.a2n
...
Matriz de uma transformação
0
...
0
1
...
............
...
...
...)(
21
22221
11211
2
1
1
mnmm
n
n
m aaa
aaa
aaa
x
x
x
uvT
Dessa forma temos: a11 = x1
a12 = x2
... a1m = xm
Analogamente podemos fazer isso com os vetores v2, v3 ... e vn
Matriz de uma transformação
E chegamos a seguinte matriz da transformação:
Matriz de uma transformação
)(
...)()( 21 nvTvTvT
T
Uma forma rápida de encontrar uma T qualquer nas bases canônicas:
α = { (1,0,...,0), (0,1,...,0) , ... , (0,0,...,1) } ou
{1,t,..,tm} ou etc...
Obs.: dim(α) pode ser diferente de dim(β)
Atenção: Nem todos os espaços podem ser escritos na forma canônica. Exemplo: Se o domínio de T fosse o plano x+y+z=0 do R3, esse método não poderia ser aplicado.
Matriz de uma transformação
10
00,
01
00,
00
10,
00
01
Lembremos de 2 propriedades das transformações lineares:
λ . T(v) = T(λ.v)
T(v) + T(u) = T(v+u)
Matriz de uma transformação
Se temos:
T(x1,y1,...,z1) = (a1,b1,...,c1) T(x2,y2,...,z2) = (a2,b2,...,c2) T(x3,y3,...,z3) = (a3,b3,...,c3)
Atenção: (x1,y1,...,z1), (x2,y2,...,z2), (x3,y3,...,z3) ... Devem formar um gerador do domínio. Senão a transformação não será definida.
Matriz de uma transformação
Podemos fazer uma combinação linear das transformações a fim de obter:
T(1,0,..,0), T(0,1,..,0),... e T(0,0,..,1) A maneira mais prática de fazer isso é
colocar os vetores v e u “emparelhados” em uma matriz e deixá-la na forma escada:
Matriz de uma transformação
............
...
...
............
0...10
0...01
............
...
...
............
...
...
222
111..
222
111
222
111
tsr
tsr
cba
cba
zyx
zyxLC
Observe que agora temos a matriz:
Então basta transpô-la e obtemos a matriz de transformação:
Matriz de uma transformação
...
)0,...1,0(
)0,...0,1(
............
0...10
0...01
T
T
)(
...)()( 21 nvTvTvT
T
Ainda de:
Que representa na verdade: T(1,0,...0) = (r1, s1, ..., t1) T(0,1,...0) = (r2, s2, ..., t2) ...
Podemos fazer: x.T(1,0,...0) = x.(r1, s1, ..., t1) y.T(0,1,...0) = y.(r2, s2, ..., t2) ...
E somar: T(x,y,...,z) = (x.r1 + y.r2 + ..., x.s1 + y.s2, ..., ... )
Matriz de uma transformação
...
)0,...1,0(
)0,...0,1(
............
0...10
0...01
T
T
E dessa forma, podemos escrever facilmente a matriz de transformação linear nas bases canônicas a parti de sua representação de costume:
Ex: T(x,y,z) = (x + y – z, y, -x+2z)
Matriz de uma transformação
201
010
111T
Matriz de uma transformação Questões:
Qual a matriz de transformação T na bases canônicas?
000
312
101
303
1000
0100
0010
0001
211
101
011
112
1110
1010
1101
1111
..LC
3
Nu(T) = v | T(v) = 0
Nu(T) = { (1,-3,0,0), (0,0,0,1) }
Matriz de uma transformação
0313
0100
0213
T
0
0313
0100
0213
w
z
y
x
T
0
0000
0100
003/11
w
z
y
x
T
u = T.v T-1.u = T-1.T.v v = T-1.u
Inverte-se T:
T-1(x,y,z) = (x-½y+ ½ z,x- ½ y- ½ z,-x+y)
Matriz de uma transformação
011
2/12/11
2/12/111T
S( a0+a1t+a2t² ) = ( a1+a2, a0+2a1+4a2 ) α e β são as bases canônicas do P2 e R².
Matriz de uma transformação
421
110S
Exemplo:
Matriz de uma TL composta
Im( SoT ) = { (3,0,1,0), (1,-1,0,1),(4,-1,1,1), (1,-4,-1,4) } = { (3,0,1,0), (0,3,1,-3) }
Im( ToS ) = { (4,2,0), (0,3,0), (-4,4,0) } = { (1,0,0), (0,1,0) }
Matriz de uma TL composta
4110
1101
4110
1413
SoT
000
432
404
ToS
Exercício
Algumas “teóricas”:Falso: contra-exemplo:T(x,y) = (x,y,0)S(x,y,z) = (y,z)
SoT(x,y) = (y,0)(claramente não-isomorfismo)
Falso: contra-exemplo:T(a,b,c,d,e,f,g) = (a,b,c,d,e,f)S(a,b,c,d,e,f) = (a,b,c,d,e,f,0)SoT(a,b,c,d,e,f,g) = (a,b,c,d,e,f,0)
Se a transformação tem uma inversa, essa inversa tem uma inversa também que é a própria transformação.
Como uma transformação tem inversa se e somente se for um isomorfismo, a inversa dessa transformação é isomorfismo.
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