View
1
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
ElektromagnetismeElektromagnetismeDoel:
– “Tour d`horizon” elektromagnetisme: Elektrische krachten, velden, (statisch) Magnetische krachten, velden, (statisch) Unificatie elektriciteit & magnetisme + Golven
⇒ Maxwell vergelijkingen ⇒ LichtVorm:
– Interactief Hoorcollege, demonstraties, werkcollege & practicum
Docenten:– “Interactief Hoorcollege”: Auke-Pieter Colijn & Marcel Vreeswijk– “Werkcollege”: Gordon Lim & Martijn Gosselink– Digitale Opgaves in BlackBoard: Wolter Kaper & Geri Losekoot– Experimenten: Paul Vlaanderen
Blackboard:– Let op: Inschrijven bij onderwijsburo verplicht.– Meer informatie op blackboard: www.science.uva.nl of webpage
www.nikhef.nl/user/h73/knem.html
4.5 EC
Electrodynamica& Licht 3.0 EC
ElektromagnetismeElektromagnetismeOpgaves:
– Papieren opgaves maken tijdens werkcollege.– Question Marks= digitale huiswerk-opgaves. Verplicht + tellen mee voor eindcijfer.
Wekelijks inleveren, zie blackboard.– Oefen-Tentamen opgaves. Deze tellen ook mee voor eindcijfer. Worden nog uitgedeeld
en inleverdata worden nog afgesproken. 2 voor Electrostatica, 2 voor Magnetostatica.– (college “Electrodynamica & Licht” heeft zelfde opzet)
Tentamens (zie rooster, denk eraan om je in te schrijven voor tentamens):– Tentamen Electromagnetisme (electrostatica+magnetostatica)– Tentamen Electrodynamica– 1 herkansing geroosterd, 2de herkansing op afspraak en alleen indien je huiswerk hebt
ingeleverd en college hebt gevolgd.
Beoordeling:– Prakticum (gewicht 20%): 1 verslag (Millikan) en mondeling tijdens experimenteren +
verkort labjournaal.– Theorie (gewicht 80%): Cijfer = 0.6 T+0.1 (Q) + 0.1 (O_elec) + 0.1 (O_mag)
“Q”: Question Mark opgaves (wekelijks)“O_elec”: Oefen-Tentamen opgave 2 x electrostatica“O_mag”: Oefen-Tentamen opgave 2 x magnetostatica“T”: Tentamen – cijfer minstens 5.00, anders sowieso onvoldoende.
Literatuur/InformatieLiteratuur/Informatie
http://www.colorado.edu/physics/2000/waves_particles/wavpart2.htmlLeuke animaties:
http://academic.mu.edu/phys/matthysd/web004/lectures.htmGoede cursussen:
Hoe dingen werken (bliksem, microwave):http://www.howstuffworks.com
http://www.sciencejoywagon.com/physicszone/lesson/07elecst/
http://www.sciencejoywagon.com/physicszone/lesson/08magnet/default.htm
College Info:http://www.nikhef.nl/user/h73
““Introduction to ElectrodynamicsIntroduction to Electrodynamics””David J. GriffithsDavid J. Griffiths
Aanbevolen boek:Syllabus (engels)
HetHet BoekBoek: :
““Introduction to ElectrodynamicsIntroduction to Electrodynamics””David J. GriffithsDavid J. Griffiths
Te gebruiken bij (“good value for money!”):• 1e jaars college “Klassieke Natuurkunde IC” (dit college)• 3e jaars college “Elektrodynamica & Relatviteitstheorie 1”• 3e jaars college “Elektrodynamica & Relatviteitstheorie 2”
Hoofdstukken uit Griffith voor deze inleidende & oriënterende cursus:# 1 Vector Analysis: vektor, gradiënt, divergentie, rotatie & integralen# 2 Electrostatics: grotendeels# 4 Electric Fields in Matter: grotendeels# 5 Magnetostatics: grotendeels m.u.v. de vektor potentiaal# 6 Magnetic Fields in Matter: grotendeels# 7 Electrodynamics: grotendeels# 9 Electromagnetic Waves: alleen het bestaan van e.m. golven
Uiteraard gaat Griffiths iets dieper in de materie dan wij van jullie verwachten in heteerste jaar. De moeilijkere voorbeelden en opgaven in Griffiths moet je gewoon overslaan.Als je de werkcollege opgaven beheerst dan zit je riant voor het tentamen.
MagnetostaticaMagnetostatica
Elektromagnetisme Elektromagnetisme ⇒⇒ LichtLicht
Elektrostatica
InhoudInhoudElektrostatica
1. Wet van Coulomb: vergelijking voor elektrische kracht2. Wet van Gauss: vergelijking voor elektrisch veld3. Veldvergelijkingen: Divergentie en Kringintegraal4. Electrische Potentiaal & Energie5. Elektrische velden in materie: Geleiders6. Elektrische velden in materie: Isolatoren
0=⋅∫ ldErr
Griffiths:
Ø Vektor: §1.1 m.u.v. §1.1.3 en §1.1.5Ø Wet van Coulomb: §2.1
ερ 0/=⋅∇ Err
Wet van CoulombWet van Coulomb
De elektrische ladingDe elektrische kracht
De elektrische veldsterkteVoorbeelden
DEMO: fenomeen elektriciteit DEMO: fenomeen elektriciteit
ElektrostaticaElektrostatica: experiment: experiment+/- lading
glas eboniet
++ +−
nieuwe kracht: Felektrisch
positief: + & negatief: -+ + & - -: afstotend
+ - & - +: aantrekkendquantisatie: qelektron
ladingsbehoud: Σ q = constantr
rqQ
F q ˆ2∝r
krachtwet
1777: C. de Coulomb
qQ Fq
rr
superpositie
Eq
rr
Qr
r
rr
Qqr
r
QqF q
r
r
≡
++=
++∝
...ˆˆ
...ˆˆ
222
212
1
1
222
212
1
1
Q1
Q3
Q2
Q4
Fq
q
r1
Wet van Coulomb Wet van Coulomb ⇒⇒ kracht & veld kracht & veld
Kracht:
rrqQ
Fq ˆ4
12
0επ=
r
q
Qr
mNC
c 2
212
270 1085.81041 −
− ∗≈∗
≡π
ε
Constanten:– eenheidslading:
– permittiviteit:
Cq 1060.1 19−∗−≈elektron
Eenheden:– Lengte [l]: meter m– Tijd [t]: seconde s– Massa [m]: kilogram kg– Lading [q]: Coulomb C
Veld:
q
FE q
rr
≡
Q
rrqQ
rrqQ
rrqQ
crrqQ
KF eqrr
30
20
227
2 41
ˆ4
1ˆ10ˆ
επεπ=≡≡≡ −
DEMO: elektrische veldlijnenDEMO: elektrische veldlijnenPuntladingPuntlading
FElektrisch ↔ FGravitatie
10-10 m
elektronm=9.1∗10-31 kgq=-1.6∗10-19 C
protonm=1.7∗10-27 kgq=+1.6∗10-19 C
N
re
F E
103.2
41
8
2
2
0
−∗≈
=επ
r
( )skg
mG
peG
N
r
mmGF
2
31110673.6
47
2
100.1
−∗=
−∗≈
=r
Waarom is in het dagelijks leven toch de zwaartekracht juist zo voelbaar?
Ladingsverdeling Ladingsverdeling ⇒⇒ EE--veld veld
Continu:
∑≡=
N
ii
i
iP r
r
qE
1 20
ˆ4
1επ
rqiri
[q]=C
P
Diskreet:
rr
dlElijn
P ˆ4
12
0
λεπ ∫≡
rP
rλ dl [λ]=C/m
rr
dvEvolume
P ˆ4
12
0
ρεπ ∫≡
rr
ρ dv
[ρ]=C/m3
P
rr
doEoppervlak
P ˆ4
12
0
σεπ
∫≡r
rσ do
[σ]=C/m2
P
WelkWelk veldlijnenpatroonveldlijnenpatroon hoorthoort bijbij tweetwee gelijkegelijkepositievepositieve ladingenladingen??
A B
C
Discussievraag 1
DEMO: elektrische veldlijnenDEMO: elektrische veldlijnenTweeTwee PuntladingenPuntladingen
V.b. EV.b. E--veld puntladingenveld puntladingen
rrQ
rE 20
ˆ4
)(επ
=rr
Q
rq
Lading Q in oorsprong Drie ladingen: Q1, Q2 en Q3
−
−+
−
−+
−
−= Q
rr
rrQ
rr
rrQ
rr
rrep
rE 33
33
22
32
11
31
041
)( rrrr
rrrr
rrrrrr
Q3
Q1
Q2
q
rr1
r2
r3
http://www.colorado.edu/physics /2000/waves_particles/wavpart2.html
V.b. EV.b. E--veld veld dipooldipool
( ) ( )
repp
repp
repqd
drdrepq
rE oP
30
30
30
220
242
44
114
)0,(
rr
r
=≡≈
+−
−≡=ϑ
Veld langs lijn ϑ=0o
Ladingen +q en -q op afstand 2d:
-q +q2d
ϑ
rr P
d
- + ϑ=0o
ϑ=90o
E
r>>d
Taylor
( )
repp
repqd
rd
d
rd
ddrep
qrE o
P
30
30
2222220
442
4)90,(
r
r
≡≈
+−−
++
+≡=ϑ
Veld langs lijn ϑ=90o
Dipoolmoment:(Ideale of Mathematische dipool heeft geen afmetingen: dà 0 en qà en p eindig)
dqprr
2=
∞
ƒ(x)
x
y= ƒ(x)
dx
dƒdxdf
axafy )()( −+=
Taylor Taylor expansieexpansie
a
ƒ(a)
a+ε
ƒ(a+ε) dxdf
eafeaf +≈+ )()(
( ) ( ) rd
rd
rrdrrd
rd
rrdr
rrf
3232232322
2
21)(
21121)(
211
:1
)(
+=−−≈−
−=+−≈+
=⇒
en
voor
DEMO: elektrische veldlijnenDEMO: elektrische veldlijnenDipoolDipool
[ ]
rr
zrr
z
zr
rzr
dz
EdElijn
rP
επλ
επλ
επλ
επλ
00
220
22220
242
|4
4
==
+=
∫+
=
∫=
∞+
∞−
∞+
∞− +
rrdq=λdz
V.b. EV.b. E--veld veld ∞ lange draadlange draadLijnlading:
– homogeen geladen draad– ladingsdichtheid dq=λdz– [λ]=C/m
Er
αcos
Berekening E-veld:
dE
dEr
α
zrr+
=22
cosα
- rekenen:
z
rO
z
yx
P
- nadenken:cilinder symmetrie: (rϕz)
( ) ( ) ( )zr
r
zr
zzrrzr
zz
zrrzr
zrdz
d22 2/322 2/3
222
22 2/32222
1
2
2111
+=
+
−+=
+×−
+=
+
EtotaalP
GetallenGetallen ↔↔ vectorenvectoren
rr
dlElijn
P ˆ4
12
0
λεπ ∫≡
rØLet op: ØIntegrand is een vector, d.w.z.ØOf: je berekent Ex, Ey en Ez (werk: 3 integralen i.p.v. 1)ØOf: je beredeneert welke component je nodig hebt en vervolgens bereken je die!
ØNooit:Øde r weglaten d.w.z. i.p.v. r zelf |r|=1 lezen!
Etotaal
DEMO: elektrische veldlijnenDEMO: elektrische veldlijnenLijnladingLijnlading
DEMO: DEMO: TweeTwee LijnladingenLijnladingen
I: Wat heb ik geleerd?I: Wat heb ik geleerd?
∫=volume
dvrr
rE 204
1 ˆ)(
rrρ
επVeld uit ρ(r)
rrQE
rrqQF
20
20 44 επεπ
ˆˆ==
rrenKracht en E-Veld
(Coulomb)
∑ =×−≈ − constanten qCqelektron 1061 19.Lading + of -
Configuraties:v puntladingenv dipoolv lijnlading
EXTRA: Vectoren in formulesEXTRA: Vectoren in formules
Definities
Voorbeeld1rr
rr
1rrrr
− 1q
gebruiken!moet jevector welke nadenken goedeerst :Dus
:Wel
ˆ:Niet
oorsprong) t.o.v. rdgedefiniee zijn als (zowel
? positie op puntlading een van gevolge ten positie op veld het isWat
1
12
1
1
21
1
11
rrrr
rr
qE
rr
qE
rr
rqrE
rrrr
rrr
rr
rrrrr
−−
−∝
∝
1) lengtemet (vector ˆ
)vector van lengte of grootte (de
richting) zy,x, in ctoreneenheidsve zijn ˆˆˆ( ˆˆˆ
++
++
++
=
++==
++=⋅==
++=
=
222
222
222
222
222
1
zyxz
zyxy
zyxx
zyx
zyxrr
r
rzyxrrrr
k,j,i kzjyixzyx
r
rr
rrrr
r
EXTRA DEMO: EXTRA DEMO: VerklaringVerklaring correct?correct?
InhoudInhoud
Griffiths:
Ø Coordinaten definitie en volume elementje BOL §1.4.1 en Cilinder §1.4.2Ø Integreren:§1.3.1 (inleiding)Ø Wet van Gauss: §2.2 m.u.v. §2.2.2 (komt pas in college # 4)
Elektrostatica1. Wet van Coulomb: vergelijking voor elektrische kracht2. Wet van Gauss: vergelijking voor elektrisch veld3. Veldvergelijkingen: Divergentie en Kringintegraal4. Electrische Potentiaal & Energie5. Elektrische velden in materie: Geleiders6. Elektrische velden in materie: Isolatoren
0=⋅∫ ldErr ερ 0/=⋅∇ E
rr
Volume integralenVolume integralen
Coördinaat systemenCilinder coördinaten
Bol coördinaten
CoCoöördinaat systemenrdinaat systemen
eϕ
zr
r
eθ
Z
eϕϕ
Z
Y
X
ez
eyex
ez
er
Z
eϕϕ
θ
er
(x,y,z) (r,ϕ,z) (r,θ,ϕ)
ez
er
eϕ
ez
eyex
er
er
cartetisch cilinder bol
Volume integraal: Volume integraal: cilinder cocilinder coöördinaten rdinaten
r
Z
dϕ
ϕ
dz
dv=(dz) (rdϕ) dr=r dzdrd ϕ
drz Integreren functie in cilindercoördinaten:
dzdomein
rdrdzrfvolume
dvzrf ϕϕϕ ∫=∫ ),,(),,(
rdϕ
VoorbeeldVoorbeeld: : cilindercilinder inhoudinhoud
y
z
x
Om de cilinder inhoud te bepalen integreer jede functie “1” over het cilinder volume:
hRdzdR
dzdr
dzdrdrdV
h
h
h
h
R
h
h
R
cilinder
22/
2/
2
0
221
2/
2/
2
0 02
21
2/
2/
2
0 0
|
1
πϕ
ϕ
ϕ
π
π
π
==
=
→∫
∫+
−∫
∫+
−∫
∫+
−∫ ∫
Integraal:
Integratie domein:
z: [−h/2,+h/2]r: [0,R]ϕ: [0,2π]
z=+h/2
z=−h/2
r=0 r=R
z
ϕ r
Volume integraal: Volume integraal: bol cobol coöördinaten rdinaten
r
Z
dϕ
ϕ
θ
dθ
Volume: dv=(rdθ) (rsinθdϕ) (dr)
=r2sin θ d θd ϕdr
rsinθ
dr
rsinθdϕ
Voorbeelden Integreren in BolcoVoorbeelden Integreren in Bolcoöördinatenrdinaten
Oppervlak r=RIntegratie domein: θ:[0,π] ϕ:[0,2π]r=R
θ
ϕ
y
z
x
Om het boloppervlak te bepalen integreerje de functie “1” over het bol oppervlak:
( )Rpp?Rp
pd?| p?R
pd?
p?dR
oppervlakdo
24022
0
20
2
0
2
0
21
=
−=
∫=
∫ ∫→∫
)cos(
sin
sin
ϕ
ϕ
Bepaal zelf bolvolume: RdVbol
3
341 π→∫
Volume integraal bolsymmetrische functie:
∫=∫∫∫∫ = drrrfddrrfdvrf 242 πϕθθϕθϕθ )()sin(),,(),,(
Wet van Wet van GaussGauss
De elektrische fluxDe wet van Gauss
Voorbeelden
Flux Flux ΦΦEE
O
OEEedo
Eod
Ooppervlakn
OoppervlakE
=∫ ⋅≡
∫ ⋅≡Φ
r
r
ˆ
ˆ
doeod nˆˆ =0)ˆ,( oodE =∠
rE
∫ =⋅≡ΦOoppervlak
E Eod 0ˆr90)ˆ,( oodE =∠
r
O E
ϑcos
ˆ
OE
EedoOoppervlak
E n
=
∫ ⋅≡Φrϑ=∠ )ˆ,( odE
r
O
ϑ
E
O]/[ sldo
Ooppervlak
waterFlux
∫:""
Verband tussen:– open/dicht van de kraan– “flux” door oppervlak O
Waterkraan:
Gevolg wet van Coulomb Gevolg wet van Coulomb
επ
επεπ
επ
0
22
02
0
20
444
4QR
RQdo
RQ
doR
QdoRE
odrodrREodrE
bol
bolbol
bolbolE
==∫=
∫=∫=
∫ ⋅=∫ ⋅≡Φ
)(
)//ˆ(ˆ)()(
r
rrrrrrFlux ΦE door (denkbeeldig) boloppervlak wordt:
De essentie: - E ∝ 1/r 2
- boloppervlak ∝ r 2
ΦE =Q/ε0 geldt voor ieder omsluitend oppervlak; niet alleen voor bol met Q in middelpunt!
Q
doEr Puntlading Q in middelpunt bol
R
rrQrE ˆ)(
204
1πε
=rr
WetWet van van GaussGauss::
ε 0
QE =Φ
0=ΦE
∑=∫ ⋅≡Φomsloten
iOoppervlak
E QodEε 0
1rr
Q
Lading Q omsloten door willekeurig oppervlak
qLading q buiten een willekeurig oppervlak
QLading Q omsloten door een
boloppervlak
Dunne ∞ draad: – ladingsverdeling: λ C/m
Lijn
λ
V.b. V.b. GaussGauss: dunne draad: dunne draad
rr
Eˆ
2 0επλ=
r
επλ
ελπ
ε
π
rEhErhQ
ErhodE
omslotenE
E
E
221
20
000
=⇔≡⇒∑=Φ
=Φ
⊥=Φ
:Gauss vanWet :cilinder wand
:want:cilinder deksels :Flux rr
– “Gauss box”: cilindertje
h
r
r
E
ϕr
E
- symmetrie: E ⊥ draad, E(r)
z
z
xy
Vlakke ∞ plaat:– ladingsverdeling: σ C/m2
σ
Plaat
εσ
εσ
ε 221
2
0
0
00
22
0
222
=⇔≡⇒∑=Φ
=+=Φ
⊥=Φ
⊥=Φ
EaEaQ
EaEaEa
odE
odE
omslotenE
E
E
E
:Gauss vanWet :zijkanten
:want:rkantboven/onde
:want:rkantvoor/achte
:Flux
rrrr
V.b. V.b. GaussGauss: vlakke plaat: vlakke plaat
ε
σ02
=Er
– “Gauss box”: kubusje
a
a
y
E
E
– symmetrie: E ⊥ vlak, E(y)
E
We We beschouwenbeschouwen eeneen massievemassieve nietniet--geleidendegeleidende bolbol met met uniformeuniforme ladingsdichtheidladingsdichtheid. . WelkeWelke grafiekgrafiek geeftgeeft hethet
elektrischelektrisch veldveld alsals functiefunctie van de van de afstandafstand tot tot hethetmiddelpuntmiddelpunt van de van de bolbol??
R
E
r R
E
r
R
E
r R
E
r
A B
C D
Discussievraag 2
AnalyseerAnalyseer via via ““schetsjeschetsje””E
E
E
EDus:Indien r<R:
E-veld groeit met afstand tot centrumIndien r>R:
E-veld neemt af met afstand tot centrum
E-veld voor:bol met straal Runiforme ladingsdichtheid
V.b. V.b. GaussGauss: bolvolume: bolvolume
=≥
=≤=
rrRERr
rERrE
20
30
3ˆ:
3:
ερ
ερ
r
rrr
=⇔≡>
=⇔≡<
⇒∑=Φ
=Φ
rRE
RErRr
rEr
ErRr
Q
Er
omslotenE
E
20
3
0
3
2
00
3
2
0
2
334
4
334
41
4
ερ
ε
ρππ
ερ
ε
ρππ
ε
π
:
:
:Gauss vanWet :Flux ρ
Bol
Bolvolume:– ladingsverdeling: ρ C/m3
R
– “Gauss box”: bolletje
r
r
E
R
E
– symmetrie: E ⊥ bol, E(r)
E
Overzicht toepassingen Overzicht toepassingen wetwet van van GaussGauss
∑=∫ ⋅≡Φomsloten
iOoppervlak
E QodEε 0
1ˆ
r
Lijn
λ
E
σ
Plaat
Eρ
BolE
Symmetrievoor E-veldde essentie!
IIII: Wat heb ik geleerd?: Wat heb ik geleerd?
∫=∫ ⋅⇒
∫=⇒
volumeoppervlak
volume
dvrodE
dvrr
rE
)(1
ˆ)(4
1
0
20
rrr
rr
ρε
ρεπ
Gauss van wet via
direkt
Veld uit ρ(r)
Volume integralen: • cartesische, cilinder & bol coördinaten
Lijn
λ
E
σ
Plaat
Eρ
BolE
EXTRA V.b.: EXTRA V.b.: hoeveelhoeveel mm33 HH22O O ongeveerongeveer op op aardeaarde??
Straal aarde: ≈ 6.400×106 mGemiddelde H2O laag: ≈ 103 m
⇒ integratie domein:
r: [Ri≡6.399×106 m, Ro≡6.400×106 m]θ: [0,π]ϕ: [0,2π]
Natuurlijk zelfde als volume van een 103 m dikke bolschil bij r= 6.400×106 m:
H2O ≈ 4π(6.400×106)2 ×103 ≈ 5.15×1017 m3
( ) ( )( ) mRiRor
drrdrdr
drddrdV
RoRi
Ro
Ri
Ro
Ri
Ro
Ribolschil
317333
02
0
20
2
0
2
0
2
1015.53
4|
34
cos2sin
sin1
||
×→−=
−==
→∫
=
∫∫ ∫
∫ ∫ ∫
ππ
θπθϕθ
θϕθ
ππ π
π π
InhoudInhoudElektrostatica
1. Wet van Coulomb: vergelijking voor elektrische kracht2. Wet van Gauss: vergelijking voor elektrisch veld3. Veldvergelijkingen: Divergentie en Kringintegraal4. Electrische Potentiaal & Energie5. Elektrische velden in materie: Geleiders6. Elektrische velden in materie: Isolatoren
0=⋅∫ ldErr ερ 0/=⋅∇ E
rr
Griffiths:
Ø Divergentie: §1.2.4Ø Stelling van Gauss: §1.3.4Ø Energie & Arbeid: §2.4
Stelling van Stelling van GaussGauss (wiskunde)(wiskunde)
De divergentie van het De divergentie van het electrischeelectrische veldveld
De link tussen natuurkunde en De link tussen natuurkunde en wiskundewiskunde
Stelling van Stelling van GaussGauss::
( )
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=
−+
+−+
+−+=∫ ⋅
zE
y
E
xE
dxdydz
(x,y,z)Edx,y,z)(xEdydz
(x,y,z)Edy,z)(x,yEdzdx
(x,y,z)Edz)(x,y,zEdxdyodE
zyx
xx
yy
zzeoppervlakj
rr
dx
dy
E(x+dx,y,z)dz
E(x,y,z)
Beschouw flux door infinitesimaalkubusje:
Compactere notatievia “divergentie”
zE
y
E
xE
E zyx
∂∂
+∂
∂+
∂∂
≡⋅∇rr ( ) ∫ ⋅∇=⋅∇=
volumetjedvEEdxdydz
rrrr
∫= ⋅∇∫ ⋅volumeoppervlak
dvEodErrrr
i
Neem de ‘som’ van willekeurig aantal volumetjes:
Geldt voor willekeurig vectorveld
Controle: stelling van Controle: stelling van GaussGauss∫ ⋅∇=∫ ⋅
volumeoppervlakdvAodA
rrrr
rzyxrzyx
r
rz
rry
rrx
r
rz
zry
yrx
xA
223
111
2223
222
3
2
3
2
3
2
=++
=++
−=
−+−+−=
=∂∂
+∂∂
+∂∂
=⋅∇rr
Bereken eerst divergentie:
Neem vectorveld:
rzyx
zyxzyxA ˆ),,(),,( ≡++
=222
r
x
y
z
A(x,y,z)
Rrdrddrdrr
dvr
dvA
RdoodrodA
Rp pR
bolbol
bolbol
rA
bol
2
00
2
0
2
0
2
42422
4
ππϕθθ
π
=∫=∫ ∫∫=∫=∫ ⋅∇
=∫=∫ ⋅=∫ ⋅=
)sin(
ˆˆ
rr
rrr r
Klopt!
De link: De link: wiskundewiskunde & & natuurkundenatuurkunde
M.b.v. Stelling van Gauss kan je “integrale” verband tussen E-velden ladingsverdeling omzetten in “differentiaal verband:
∫=∫ ⋅≡ΦvolumeOoppervlak
E dvodE ρε 0
1ˆ
r:Gauss van Wet
M.b.v. Wet van Coulomb gevonden:
Q
ερ
ρε 00
1=⋅∇⇒∫=⋅=∫ ⋅∇ ∫ EdvodEdvE
volumeoppervlakvolume
rrrrrr
Wiskunde:Gauss
Natuurkunde:Coulomb/Gauss
Q
ερ 0/=⋅∇ Err
:eIllustrati
( )ερ
ερ
ερ
ερ
00003
333==∂+∂+∂=⋅∇→⋅∇ zyx
rE zyx
rrrr
ρR
simpel bolvolume
r
E
Rε
ρ
03: rERr
rr=<
BolE
E
⇒ de term divergentie!
Voor r>R vind je ∇.E=0 (mogen jullie zelf verifiëren)
HetHet veldveld rondrond lijnladinglijnlading is is hieronderhieronder geschetstgeschetst. De . De gelijkheidgelijkheid ∇∇••E = 0 E = 0 geldtgeldt::
A overalB overal, behalve op de lijnC nergens, behalve op de lijnD nergens
bovenaanzicht
Zij-aanzicht
Discussievraag 4
De kringintegraal van De kringintegraal van het elektrische veldhet elektrische veld•Potentiële energie en arbeid
ma mg→r
Ik werk!
PotentiPotentiëële Energiele EnergieHoe bepaal je potentiële energie?
Even terug naar Newton en de Zwaartekracht!
amFrr
= Arbeid (Work): ∫ •=B
A
ldFWrr
Laten we dit principe nu eens toepassen om deelektrische potentiële energie te bestuderen!
0
hW F dl mgh•= =∫
rr
Verschil in potentiële energie ≡ Benodigde ArbeidPas op met mintekens: arbeid verricht door gravitatie-kracht heeft tegengesteld teken. Hangt ook van definitie van variabelen af. Dit college: arbeid door persoon
Hoeveel Arbeid nodig om massa m van hoogte h=0 op hoogte h=h te brengen?
objectmassa m
Tore
n ho
ogte
h
l=0
l=h
l
Kringintegraal elektrisch veldKringintegraal elektrisch veldverplaats q van A naar B
(=arbeid door persoon)
Q q
B B B
persoonA A A
W F dl F dl q E dl ≡ ⋅ = − ⋅ = − ⋅∫ ∫ ∫
r r rr r rA
B
00 r
r r
E dlB B BW q E dl q E dl q E dr
A A AE dl dr
ϕ ϕ
θ θ
= = − ⋅ = − = ⋅ = −∫ ∫ ∫ =
rr
verplaatsing van A naar A (kringintegraal): 0A
W q E dlA
= = − ⋅∫rr
∫ =⋅ 0ldEvrgeldt voor puntlading en iedere kring, dus ook
voor uitgebreide ladingsverdelingànieuwe veldvergelijking!
20
ˆˆ
4 rQ rE E r
rπε = =
rveld van Q:
20
1 14 4 0
B Q Q Bq dr qArrA πε πε
= − − = −∫
IIIIII: Wat heb ik geleerd?: Wat heb ik geleerd?
DivergentiedvAodA
zA
y
A
xA
Azyx
volumeoppervlak
zyx
rrrr
rrr
∫ ⋅∇=∫∫ ⋅
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=⋅∇⇒
∂∂
∂∂
∂∂
≡∇
:Gauss van Stelling
,,
ερ
ρε 00
1=⋅∇⇒∫=⋅=∫ ⋅∇ ∫ EdvodEdvE
volumeoppervlakvolume
rrrrrrVerband E en ρ
Wiskunde:Gauss
Natuurkunde:Coulomb/Gauss
∫ =⋅ 0ldEvrVoor iedere kring en voor iedere
ladingsverdeling:
InhoudInhoudElektrostatica
1. Wet van Coulomb: vergelijking voor elektrische kracht2. Wet van Gauss: vergelijking voor elektrisch veld3. Veldvergelijkingen: Divergentie en Kringintegraal4. Electrische Potentiaal & Energie5. Elektrische velden in materie: Geleiders6. Elektrische velden in materie: Isolatoren
0=⋅∫ ldErr ερ 0/=⋅∇ E
rr
Griffiths:
Ø Gradiënt: §1.3.2 en §1.3.3Ø Potentiaal V: §2.3 m.u.v. §2.3.3Ø Energie & Arbeid: §2.4
De elektrische potentiaalDe elektrische potentiaal
•Wiskunde: De gradiënt•Veld en Potentiaal•Voorbeelden
Wiskunde: de gradiWiskunde: de gradiëëntnt
rrrr ˆ≡=∇rr
rdrdfrf ˆ)( =∇
rBolsymmetrische functies:Bolsymmetrische functies:
een (scalaire) functieT(x,y,z) geeft Temperatuur
TT11 TT22
Vuurvraag: hoe verandert T en in welke richting?
∂∂
∂∂
∂∂
≡∇zyx
,,r
, ,T T T
Tx y z
∂ ∂ ∂ ∇ ≡ ∂ ∂ ∂
rantw: de gradiënt van T :
(is een vector!)
rrr
zyx
xzyx
xT ˆ,...
22
,...222
222 ≡=
++=
++
∂∂
=∇rr
rekenen: Logisch!
Tld ∇rr
//Wil je zo snel mogelijk opwarmen?Loop in de richting van T∇
r
rzyxzyxT =++= 222),,(expliciet voorbeeldexpliciet voorbeeld:T(x,y,z) als ‘afstandfunctie’
Elektrische PotentiaalElektrische Potentiaal
P PP
P
rF dr qE dr q E dr UW ∫
∞ ∞ ∞= − ⋅ =− ⋅ = − =∫ ∫
r r rr r
Arbeid door persoon= verschil in potentiële energie
==
rrQ
qEqF 204
ˆεπ
rrq
Pr Pr
Q
∞Beweeg testlading q in veld van bronlading Q vanuit naar punt P.
Er∞
=∫−=∞ r
qQrdr
rqQ
P
P 14
14 0
20 επεπ
Algemene definitie potentiaal:Let op: de potentiaal heeft geendirecte fysische betekenis!?
rqldEldEV
P
P
ijk
P
ijkP
14 0επ
=∫ ⋅−=∫ ⋅−≡∞∞=
rrrr
Veelgebruikte definitie potentiaal:(=energie om een ladingseenheid naar punt P te brengen, ‘stilzwijgend’ vanuit ijkpunt in ∞ ) r
QqUVP
PP1
4 0επ== /
P PpersoonPW U F dr F dr∫ ∫
∞ ∞= = ⋅ =− ⋅
r rr r
Potentiaal V en Elektrisch veld Potentiaal V en Elektrisch veld
Potentiaal verschil: ∫ ⋅−=∫ ⋅−∫ ⋅=−=∞∞ B
AABABAB
ldEldEldEVVVrrrrrr
Er
∫=−B
AAB dVVVV is een scalaire functie:
⇒Gradiënt van V, bepaalt Er VE ∇−=
rr
dzzVdy
yVdx
xVdV
∂∂+
∂∂+
∂∂=
( )∫ ⋅
∂∂
∂∂
∂∂
=
∫ ∂∂
+∂∂
+∂∂
=
B
A
B
A
dzdydxzV
yV
xV
dzzV
dyyV
dxxV
,,,,
( ) ∫ ⋅∇=∫ ⋅∇=B
A
B
AldVdzdydxVrrr
,,
rQldEV
PPP
14 0επ
=∫ ⋅≡∞ rr
Hoe bepaal je het elektrische veld?
GradiGradiëënt van de Potentiaalnt van de PotentiaalControle voor puntlading: r
QV
14 0επ
=VE ∇−=rr
Veldlijnen & equi-potentiaallijnen
Q<0
rr
QE ˆ2
0
14 επ
=r
222
11
zyxr ++∇=∇rr
2 2 2
2 2 2 3 / 2 2 2 2 3/2 2 2 2 3 / 2
2
1 ˆˆ ˆ......... .......
ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )ˆ
i j kx y zx y z
x y zi j kx y z x y z x y zrr
∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂+ +
= − − −+ + + + + +
= −
rdrdfrf ˆ)( =∇
rOf gebruik:
Grafisch: Grafisch: elektrische veldlijnenelektrische veldlijnenequipotentiaalijnenequipotentiaalijnen
Veldlijnen link .
Elektrische veldlijnen:Lijnenpatroon die richting en sterkte van het elektrisch veld weergeeft
Equipotentiaallijnen:Kollectie van krommen waarbij langs iederekromme de potentiaal een constante waarde heeft
Omdat E≡-∇V en omdat ∇V de richting aangeeft waarin V het sterkst verandert staat E ⊥ krommen met V=constant!
http://www.cco.caltech.edu/~phys1/java/phys1/EField/EField.html
Kringintegraal elektrisch veld IIKringintegraal elektrisch veld IIverplaats q van A naar B (=arbeid door persoon)
Q
q
:
: ( )
: ( ) 0
B B
B AA A
A Akring A A
A B W F dl qE dl q V V
A A W qE dl q V V→
→ ≡ − ⋅ = − ⋅ = −∫ ∫
→ ≡ − ⋅ = − = ∫
r rr r
rrÑ
∫ =⋅ 0ldEvrWisten we al:
0
B B
AAB BA AA A
AAA AA A
W E dl V dl V V
W E dl V dl V V
= − ⋅ = ∇ ⋅ = −∫ ∫
= − ⋅ = ∇ ⋅ = − =∫ ∫
r rr r
r rr rVE ∇−=rr
nogmaals m.b.v.
def. potentiaalA
B
V.b. potentiaal V.b. potentiaal dipooldipool
Bereken nu E via de potentiaal V:
( ) ( )rep
prrp,...
r
zpypxpx
rp
ep
,...r
zpypxp
xepreprp
)(r,V)(r,E
zyxx
zyxPP
0353
0
30
30
4
ˆˆ33
41
41
4rr
rrrrr
⋅+−=
++−−=
++
∂∂−
=
⋅∇−=∇−≡ ϑϑ
-q +q2d
p=2qd
ϑ
P(r,ϑ)
r
Coördinaten voor punt P: (r,ϑ):
dcosϑ
rrp
rrp
rp
rqd
rdq
drdrq
rV P
30
20
20
20
20
0
44ˆ
4cos
4cos2cos2
4
cos1
cos1
4),(
επεπεπϑ
επϑϑ
επ
ϑϑεπϑ
rrr ⋅=
⋅=≡
=≈
+−
−≈
Potentiaal is dus handig:• geen vector•( en meetbaar)
v.b. Potentiaal uniform geladen Bolv.b. Potentiaal uniform geladen Bol
r
E
R
er?ER:r03
rr=<
ρR
BolE
E
rrR
e?ER:r ˆ
2
3
03=>
r
rR
e?r
drr
Re?r
rdrr
Re?r
ldrr
Re?rVR:r
3
032
3
032
3
032
3
03 ∫∞
=−=∫∞
⋅−=∫∞
⋅−=> '
'
'ˆ'
'ˆ'
)(rr
∫ ⋅−=∞
rldErVrr
)(
∫∫∞
−−=<r
Rdr
e?rR
drr
Re?
rVR:r ''
''
)(032
3
03
e?r
e?R
e?R
e?r
e?R
e?r
RVr
R6 0
2
02
2
6 0
2
6 0
2
03
2
6 0
2
−=+−=−= ')(
E veld m.b.v. Wet van Gauss
V
VoorVoor eeneen puntladingpuntlading geldtgeldt E~1/rE~1/r2 2 en V~1/ren V~1/rVoorVoor eeneen lijnladinglijnlading geldtgeldt E~1/r E~1/r jeje verwachtverwacht voorvoor V:V:
A V = constanteB V ~ ln rC V ~ 1/rD V ~ r
Discussievraag 3
EnergieEnergie
De energie van een ladingsverdelingDe energie van het elektrische veld
Energie van een ladingsverdelingEnergie van een ladingsverdeling
04
P P
q
P
PP
W dl qE dlF
Qqq V dl qVrπε
∞ ∞
∞
= − ⋅ = − ⋅∫ ∫
= ∇ ⋅ = =∫
r rrr
rr
1 212
0 12
1 2 1 23123
0 12 0 13 0 23
1 3 2 31 2
0 12 0 13 0 23
0
4
4 4 4
4 4 4
1 1( )
2 4 2i j
i ii j iij
q qW
r
q q q qW q
r r rq q q qq q
r r rq q
Vq rr
πε
π π πε ε ε
π π πε ε ε
πε∑ ∑≠
=
= + +
= + +
= ≡ r
0
1 1 1( ) ( )42 2 2
i ji i
volumeij
q qU W V V r dvq r
ri j iρ
πε∑ ∑ ∫≡ = = →≠
rrVoor energie U:(∆Uveld=W)
q1
q2
q4
q3
r24
Voor N ladingen q1, q2, ...Energie in ladingsconfiguratie?
Integreer kracht op q van ∞ →Ρ
∞
Pr Pr
( ) ( )
( ) ∫→
∫+∫ ⋅=∫ ⋅+⋅∇=
∫ ∇⋅−⋅∇=∫ ⋅∇=∫=
volumevolumeoppervlakvolume
volumevolumevolume
dvEdvEVEoddvEEVE
VdvEVEVdvEVdvU
20200
00
222
2221
εεε
εερ
rrrrr
rrrr
Afleiding voorliefhebbers!
energie in het E energie in het E -- veldveld
Energie in termen van E-veld?
→ 0
∫=
∑=
volume
iii
dvrVrU
rVqU
)()(21
)(21
rr
r
ρ:Continu
:DiskreetEnergie ladingsverdeling:
( ) ( ) ( )
ερ
0
......
=⋅∇∇−=
∇⋅+⋅∇=+
∂∂+
∂
∂=+
∂∂=⋅∇
EVE
VEVEExVV
xE
xVEVE
xxx
rrrr
rrrrrrGebruik:
Energie geladen boloppervlakEnergie geladen boloppervlak
Rr
V-E
straal R en lading Q (dus σ=Q/4πR2)
Rσ
επεσ
π
εσ
σσ
0
2
0
22
0
84
21
21
21
RQR
R
doR
VdoUoppervlakoppervlak
==
∫→∫=
1e methode: via σ en potentiaal
επεσπε
εσεε
0
2
20
4 20
20
2 2
020
8|
24
22
RQ
rR
dvrRdvEU
R
Rrvolume
=−
=
∫
→∫=
∞
>
2emethode: via E-veld
<
>=
0
20
2
:
ˆ:)(
Rr
rrRRr
rE ε
σrrGauss:
VE ∇−=rr
∫∞
∫∞
=+=−<
=−>
=
εσ
εσ
εσ
εσ
02
0
2
0
2
20
2
0R
RVdrr
RRr
rR
drr
RRr
rVr
r
)(:
:
)(
∫ ⋅−=∞
rldErVrr
)(
−=≤
=≥=
ερ
ερ
ερ
0
2
0
2
0
3
62
3
rRrVRr
rR
rVRrrV
)(:
)(:)(
Energie geladen bolvolume Energie geladen bolvolume
ερπ
πε
ρε
ρε
ρρρ
0
5255
0
2
0
2
0
2
154
1534
46221
21 RRR
dvrR
VdvUbolvolumebolvolume
=
−=∫
−∫= =
2e methode: via ρ en de potentiaal V
ερπ
ερ
ερπε
ερ
ερπεε
0
52
20
62
20
520
022
0
62
20
42020
154
94524
9924
2R
RRRdr
rRdrrdvEU
R
Rvolume=+=
∫ ∫+∫=
=
∞
1e methode: via het E-veld
ερπ
πε
ρπε
ρπρ
0
52
0
2
0
2 22
0
222
154
43
43
)(4 RdrrrUdrrr
dqrVdUdrrdqR
=∫=⇒==⇒=
3e methode: laagsgewijs: straal r “groeit” van r=0 naar r=R
r
V-E
R
straal R en lading Q (dus ρ=3Q/4πR3)
ρ
R
<
>=
er?R:r
rer
?RR:r
)r(E
3 0
3 20
3
rrr ˆ
We hebben gezien:
IV: Wat heb ik geleerd?IV: Wat heb ik geleerd?
( )
⋅=−⋅=
==
=
rrpV
rprprE
rQV
rrQE
rrqQ
F
200
3
02
02
0
4ˆ
4ˆˆ3
44ˆ
ˆ4
επεπ
επεπ
επ rrrr
rr
en :dipool
en :puntlading
enKracht, E-Velden Potentiaal
Gradiënt VEzV
yV
xV
Vzyx
∇−=
∂∂
∂∂
∂∂
=∇⇒
∂∂
∂∂
∂∂
≡∇rrrr
,,,,,
∫=∫== ∑≠ volumevolumeji ij
ji dvEVdvr
qqU 20
022
142
1 ερ
επEnergie
ladingsverdeling
∫ ⋅−=∞
rldErVrr
)(Puntlading
EXTRA: V.b. potentiaal EXTRA: V.b. potentiaal ∞ lange draadlange draad
dq=λdz
Wat mis? Uitdrukking V geldt indien V(∞)=0!
rr
rrdrr
rdrEV P
P
r
P
r
PPP ln
2|ln
2ˆ
2)(
0
1
0
1
0
1
επλ
επλ
επλ −==⋅∫=⋅∫≡
== rrrr
Hoe wel? Kies V=0 referentie punt anders: b.v. @ r=1 i.p.v. @ r= ∞
z
rP
zrP22 +
p( ) eerd!ongedefini→++=
∫+
=∫+
=
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
|1ln4
1441
)(
2
0
20
220
xx
x
dx
zr
dzrVP
PP
επλ
επλλ
επ
Bereken VP direct:
InhoudInhoud
Griffiths:
Ø Geleiders: §2.5Ø Beeldladingen: §3.2 m.u.v. §3.2.4Ø Condensator: §2.5.4
Elektrostatica1. Wet van Coulomb: vergelijking voor elektrische kracht2. Wet van Gauss: vergelijking voor elektrisch veld3. Veldvergelijkingen: Divergentie en Kringintegraal4. Electrische Potentiaal & Energie5. Elektrische velden in materie: Geleiders6. Elektrische velden in materie: Isolatoren
0=⋅∫ ldErr ερ 0/=⋅∇ E
rr
GeleiderGeleider
De karakteristiekenDe beeldladings methode
De symmetrie (Gauss) methodeDe condensator
Voorbeelden
Geleider: (∞) veel vrije ladingsdragers!
+Q Extern veld
Eextern
Materie: de geleiderMaterie: de geleider
0=⋅∫=− ldEVVB
ABA
rr– Vgeleider=constant
V=constant
0==ρEr
– E=0 in geleider bewegen! gaat lading⇒≠0rr
EKarakteristieken:
σ
anders! waar– lading op de rand00 =⋅∇= E
rrερ– ρ=0 in geleider
E
bewegen! gaat lading⇒≠0rr
E //– E ⊥ geleideroppervlak
DEMO: DEMO: LadingstransportLadingstransport
Geleider: Hoe pak je het aan?Geleider: Hoe pak je het aan?Onbekend: oppervlakteladingsverdeling σBekend: E=0 in geleider
E ⊥ geleideroppervlakpotentiaal V (of lading Q)
I. symmetrie → richting van E?⇒ wet van Gauss geeft E
QE
II. Simuleer invloed geleider door ladingen?⇒ “beeldladings methode” geeft E
V=0
Q
d
Q-Q
( ) niet! werkt methode standaard rdrr
rrrrEvolume
P
PPP
rrr
rrrrr 3
03
0
)(4
1)( ∫
−
−=
≠ρ
ρεπ
BeeldladingsmethodeBeeldladingsmethode
( )
( )
3 / 22220 0
2
3 / 2 22 22 000
2 1ˆ ( , ,0)4
2 1 |4
p
totaalplaat
s(x,y) Q dk E x ye dyx
rQ ds(x,y)dxdy d dr Qd Qdd rr
πε
ϕσπ
∞∞⇒
−= ⋅ =+ +
− −≡ = = − = −∫∫ ∫++
r La
ding
sdic
hthe
id :
( ) kdyx
dQyxVyxE ˆ2
4)0,,()0,,(
222 2/30 ++
−=∇−≡⊥
επrr
:geleider veld-E
( ) ( )2 22 22 20
1( , , )4
Q QV x y zz d z dy yx xπε
= −+ + − + + +
Pote
ntia
al:
z
y
x
k̂V=0
QE
d
-Q QE
+d-d
In de In de onderstaandeonderstaande situatiesituatie met met tweetwee even even grotegrotemaarmaar tegengesteldetegengestelde ladingenladingen geldtgeldt::
oppervlakA E=0 op het hele oppervlak
B De component van E loodrecht op het oppervlak is overal nul
C A en B zijn beide onjuist
Discussievraag 5
b
a Q
Puntlading met geleidende bolschilPuntlading met geleidende bolschil
+−∫ =⋅+<
∫ =⋅+<<
∫ =⋅>
≡
∞
rabQ
ldEaVar
bQldEbVbra
rQldEbr
rV
a
r
b
r
r
1114
)(:
14
)(:
14
:
)(
0
0
0
επ
επ
επ
rr
rr
rr
Symmetrie: E-veld radieel ⇒ wet van Gauss
E
ra b
E-V
00
=⇒=⇒+=⇒≡>
−=⇒+=⇒=<<
=⇒=⇒<
∫
∫=
rrQrEQEr
bQdqbr
aQdqQEbra
rrQrEQErar
bgeleider
aarlading
200
22
200
200
2
ˆ4
)(44
0:
410,0:
ˆ4
)(4:
επεπ
πσ
πσ
εε
επεπ
rr
rr
rr
bol Gauss
bol Gauss
bol Gauss
CondensatorCondensator
C heet: “capaciteit”Eenheid: [C]=[Q]/[V]=Coulomb/Volt≡FaradPraktijk: µF d.w.z. 10-6 F
}VC
CQ
Cq
CqdqdUUU
CqqqqVU
UUUqqq
QQ2
2
0
2
0 21
21|
21
)(
===∫∫ =→∑∆≡⇒
∆=∆=∆∆+→
∆+→
:rcondensato van Energie
CVQ
QldEVVV QQ
≡=⇒
∝∫ ⋅=−≡−
+−+
constant
rr
-Q +Q
E
V.b. plaatcondensator V.b. plaatcondensator
-Qd
+Q
0 0 0
0 0
d dV E dl dx
A AQC
V d d
σ σε ε
σ ε εσ
−∫ ∫+
⇒ ≡ ⋅ → =
⇒ ≡ = =
rr
pote
ntia
al:
capa
cite
it:Plaatcondensator:
• lading Q• separatie d• oppervlak A
E+σ E
0 0
( )2 ( )2
AAE Eσ σσ δ σδ
εε= ⇒ = G
auss
doo
sje
enke
le p
laat
:
dddr
≡ˆ
E-σ
0 0 02 2E E Eσ σ
σ σ σε ε ε+ −= + = + =
r ?
E-ve
ld tu
ssen
pla
ten:
DEMO: DEMO: PlaatcondensatorPlaatcondensator
Cilinder• lengte L>>b• stralen a en b• lading Q
ab
+Q
E
V.b. CilinderV.b. Cilinder-- en bolcondensator en bolcondensator
( )
( ) ( )abL
abaaL
VQC
abadrr
ardEV
rr
aEE
ra
Eal
rlE
b
a
r
rr
/ln2
/ln2
/ln
ˆ
22
00
00
0
00
επσ
σεπ
εσ
εσ
εσ
εσ
επσ
π
==≡⇒
=∫→∫ ⋅≡⇒
==⇒
=⇒=
−
+
:capaciteit
:potentiaal
:veld-E
:ecylindertj Gauss
rr
rrr
Boloppervlakken• stralen a en b• lading Q
a
b+Q
E
( ) abab
baaa
VQC
baadr
r
ardEV
rr
aEE
raEa
rE
b
a
r
aa
−=
−=≡⇒
−=∫→∫ ⋅≡⇒
==⇒
=⇒=
−
+
πεσ
σεπ
εσ
εσ
εσ
εσ
επσ
π
4/1/1
4
11
ˆ
44
02
20
0
2
20
2
20
2
20
2
0
22
:capaciteit
:potentiaal
:veld-E
:bolletje Gauss
rr
rrr
VV: Wat heb ik geleerd?: Wat heb ik geleerd?Materialen:
– GeleiderE via Gauss (symmetrie)
BeeldladingsmethodeV=constant
0==ρEr σ
E
Condensator
VCUCVQ 2
21
=≡= en constant
E
-Q +Q
InhoudInhoud
Griffiths:
Ø Materie: §4 m.u.v. de moeilijke stukken!
Elektrostatica1. Wet van Coulomb: vergelijking voor elektrische kracht2. Wet van Gauss: vergelijking voor elektrisch veld3. Veldvergelijkingen: Divergentie en Kringintegraal4. Electrische Potentiaal & Energie5. Elektrische velden in materie: Geleiders6. Elektrische velden in materie: Isolatoren
0=⋅∫ ldErr ερ 0/=⋅∇ E
rr
ElectrischeElectrische velden in velden in didi--elektricaelektrica=isolatoren=isolatoren
concepten
Polarisatie neutraal atoomPolarisatie neutraal atoom
αα ≡∝≡≡Ep
EdQp rrrrr en baarheid"polariseer"
Element Z α/ε0-------------------------------
Helium 2 3x10-30 m3
Neon 10 5x10-30 m3
Argon 18 20x10-30 m3
Waterdamp 500x10-30 m3
Kern
lading
-Q
d
E
+Q
FE
Fe
0rr
≠Ebolsymmetrisch⇒dipoolmoment
0rr
=E Relektronenwolk uniforme bol (R)
+Q
-Q
Polarisatie polair molecuulPolarisatie polair molecuul
HH
HHH
H
HH
OH H
0rr
=E
pr
O
O
O
O Moleculen intrinsiek dipoolmoment pVoor E=0: oriëntatie p random
OH H
OH H
OH H
OH H
OH H
0rr
≠E
E
pr
Voor E≠0: oriëntatie p // E
Di-electricum Macroscopisch
ßLineare materialen; netto lading alleen op rand (dit college)
⋅∇−≡
⋅≡⇔
P
nPP rr
rr
ρ
σ
pol
pol
ˆ
ß Algemene uitdrukking (voor later)
Een isolator wordt door een veld, Eogepolariseerd (P ) . Dit heeft een netto ‘gebonden’ oppervlaktelading (σpol) tot gevolg en dus een ‘extra’electrisch veld, Epol
+-+-+-+-+-+-+-+-
E o
P
E pol
Etotal=Eo+Epol
- Lineaire isolator eenvoudigste relatie E (=Etotal) en P
pole EPEP σχε ⇒=⇒∝rrrr
0χ e
Electrische susceptibiliteit=polariseerbaarheid
+-+-+-+-+-+-+-+-
PolarisatiePolarisatie van van eeneen materiaalmateriaal in in EE--veldveld
+-+-+-+-+-
+-+-+-+-+-
+-+-+-+-+-
+-+-+-+-+-
+-+-+-+-+-
+-+-+-+-+-
+-+-+-+-+-
+-+-+-+-+-
Onder aan
name
van
lineair
di-elektrikum
Opgelegd veld: Eo
EPEP e
rrrrχε 0=⇒∝Eenvoudigste relatie E en P :
+σNetto
P-σ ( )
( ) 0
00
0
000
11
1
1
E?
E
E?ee
EE
Pe
EEEE
e
e
pol
rr
rrr
rrrrr
+=
⇒−=
⇒−=+=
In materiaal
E pol
Pee
E polpol
rr00
1−==
σ
Merk op: configuratie fysischequivalent aan twee geladen platen.Dus gelijke relatie E veld en lading als plaatcondensator:
VlakkeVlakke isolator met isolator met didi--electrikumelectrikum (I)(I)
d
+σvrij=Q vrij /A (gegeven)
+ + + + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
++++++++
--------
Vrije lading
Vrije lading
‘Lege’ plaatcondensator:
Gauss doosjea
dAVQC
AdQd
EdzV
E
Ea
aE
vrij
vrijvrijcond
d
vrijcond
vrijboven
vrijboven
εεε
σε
σε
σ
ε
σ
0
000
0
00
22
==
===
=
⇒=→=
∫
/
Econd =Eboven + EonderEcond =2Eboven
z
Econd
χ e- - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - -
+ + + + + + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + +
Met di-electrikumàveld in condensator veranderd
( )
( )
( )( ) vacuume
e
vrij
e
vrij
evrij
econd
CCdA
dAVQC
A
dQV
EE
vrij
χ
εεχ
εχ
ε
σχχ
+=
≡+==
+=
+=
+=
1
1
11
11
11
0
0
0
/
Gebondenlading
DEMO: Plaatcondensator met DEMO: Plaatcondensator met dielektridielektriccumum
VVI: Wat heb ik geleerd?I: Wat heb ik geleerd?Materialen:
⋅∇−≡
⋅≡⇔
P
nPP rr
rr
ρ
σ
pol
pol
ˆ– Isolator
p
EPEP e
rrrrχε 0=⇒∝- Eenvoudigste relatie E en P :
Gebonden lading
Polarisatie in materie verkleint E veld:
( )( ) vacuume
vrij
evrij
econd
CC
EE
χε
σχχ
+=+
=+
=
11
11
1
0Plaatcondensator
De elektrische verschuiving DDe elektrische verschuiving DE-veld wordt bepaald door totale ladingsverdeling. Daarom beschouwen het E-veldten gevolge van vrije lading en gebonden (of polarisatie) lading.
( )( )
dusen 0
00
00
DPDE
DE
DE
DEE
e
vrij
evrij
evrij
rrrr
rrrrrrrrrrrrr
εχεε
ερ
χεερ
χεερ
==⇒
⋅∇=⋅∇=
⋅∇=⋅∇+=
⋅∇=+⋅∇= Gevolg: het uiteindelijke E-veld ten gevolge van vrije ladingen en gepolariseerde(lineaire) materialen hangt alleen en slechts alleen af van de vrije ladingen!
En de polarisatie P dus ook.
Voor E-veld (divergentie stelling):
( ) DPE
PE
vrij
vrijpolvrijtotaal
rrrrr
rrrr
⋅∇≡+⋅∇=⇒
⋅∇−=+→=⋅∇
ερ
εε
ρ
ε
ρ
ε
ρ
ερ
0
00000
D is een ‘hulpveld’ om rekenenmakkelijker te maken! D hangtalleen van vrije lading af en bepaalje bij voorkeur met Gauss.
Voor liefhebbers!
d
a
a +σ
VlakkeVlakke isolator met isolator met didi--electrikumelectrikum (II)(II)
Nu volgt overal E uit D: ( ) ( )χεεεχε
χεεε
ee
e
EE
EEPED
+≡≡+=
+=+≡
11 00
000
metrr
rrrrr
( )χ evakuumisolator CC +=
≡
1
: CapaciteitVQC
εσ
εσ
σ
==⇒==
=
DEDD
D
condcondplaatcond
plaat
2
2:Gauss via D via E Dus
EPEP e
rrrrχε0=⇒∝Eenvoudigste relatie E en P:
σpol=P⋅n-ε0χeEcond
D
∫ −=⋅=⋅∇ enclosedvrijvrijQodDD
rrrr of Gebruik ρ
Voor liefhebbers!
EenEen didiëëlektrischelektrische plaatplaat bevindtbevindt zichzich voorvoor de de helfthelft in in eeneengeladengeladen condensatorcondensator. De . De condensatorcondensator is is gegeïïsoleerdsoleerd van van
de de omgevingomgeving. Op de . Op de plaatplaat werktwerkt::
+++++++++
- - - - - - - - -
A geen kracht
B een kracht naar links
C een kracht naar rechts
Discussievraag 6
d
aa
Isolatoren: energie en krachtIsolatoren: energie en krachtIsolator: ( ) VCUU vacuume
2121
χ+=→C
QVCUvacuum
vacuum
22
21
21
==Vacuüm:
dax
da
xC eχεε 002
)( +=
V
( )d
a
CQ
FCC
QCVC
VQV
CVUB eχε 0
2
2
2
22
22
2222: =⇒∆−=∆−∆=∆−∆=∆
Batterij doet werk!Condensator
χe
x
F
Gevraagd:- Kracht F op isolator
Aanpak:1. Via U(x) ⇒ F=-dU/dx
Opties:A. Q constantB. V constant (lastig!)
E
-Q
+Q
da
CQ
xU
Fxd
a
CQ
CC
QC
QUA ee χεχε 0
2
20
2
2
2
22
2222: =
∆∆
−≡⇒∆−=∆−=∆=∆
Condensator Voor liefhebbers!
Practicum Practicum ElectrostaticaElectrostatica
1. Millikan à quantisatie van lading. (mondeling + verslag)2. De Plaatcondensator & De Cilindercondensator. (mondeling +2 x verkort
labjournaal)3. De Spiegelladingà moeilijk. (mondeling + verkort labjournaal)Keuze: 1+2 of 1+3. Zie de college webpage voor meer documentatie
Test zelf de theorie! (of geloven jullie alles wat ik vertel?!)
Toetsing: Millikan verslag à denk aan foutenrekening!RMS
mean
Schatting fout op gemiddelde:
/RMS N
Mondeling à docent loopt rond tijdens practica en stelt steekproefsgewijs vragen over de opstelling/meting.
QuantisatieQuantisatie elektrische ladingelektrische ladinghttp://www.sciencejoywagon.com/physicszone/lesson/07elecst/millikan/millikan.htm
PRAKTICUM: PRAKTICUM: MillikanMillikan
PRAKTICUM: Cilindercondensator PRAKTICUM: Cilindercondensator V
0-10V
dr
radius a
Voorbeeld verkort labjournaal:
Theorie zegt:V~ln(r)(geef afleiding)
6+-0.54
4+-0.53
3+-0.52
0+- 0.51
V (Volt)
r (cm)
r
V Conclusie:theorie lijktniet helemaal goed uit te komen bij hoge r. Misschien was ............of statistiek.
Van de korte proefjesdien je altijd een verkort labjournaal in te leveren.Deze worden steekproefsgewijs nagekeken.
PlaatcondensatorPlaatcondensator
SpiegelladingSpiegelladingNo picture yet.
Recommended