Equações de Conservação

1

Equações de Conservação

Equação de Conservação de Massa (continuidade)

Equação de Conservação de Quantidade de Movimento

Linear (2a Lei de Newton)

Equação de Bernoulli

Equação de Energia (1a Lei da termodinâmica)

Equação de Bernoulli Modificada

Instalações hidráulicas

Perda de carga

Fator de atrito

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2

Teorema de Transporte de Reynolds

Variação total = taxa de variação + fluxo líquido saindo

com o tempo de da grandeza grandeza específica

de uma grandeza específica no VC através da SC

de um sistema

f = grandeza específica ; r = massa específica ;

d = volume infinitesimal

d m = massa infinitesimal ; d m = r d ;

d F = grandeza no volume infinitesimal ; d F = f d m = f r d

permite transformar as equações para sistema

(massa fixa) para volumes de controle (volume fixo)

dm = r d

sistema

dm = r d

SC

VC

V2

V1

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3

d m=r dA L= =r dA Vn dt

quantidade da grandeza que cruza a superfície:

f d m = f r dA L= = f r dA Vn dt = f r

fluxo líquido de massa cruzando a SC

dA

dm = r d

SC

VC

V2

V1

taxa de acumulação de uma grandeza específica

rf

f

VCVC

dt

dmt

SC

AdnV

rf

SCVCsistema

AdnVdttd

d rfrf

F

nV

V

V

Vn

Vn

Vn

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4

Equação de Conservação de Massa

Sistema:

00

td

mdd

td

d

sistema

r

dm = r d

sistema

Volume de controle:

A B

Variação com o tempo da Fluxo líquido de massa

da massa do volume de controle através da superfície de controle

SCVC

AdnVdt

0

rr

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5

Conservação de Massa SCVC

AdnVdt

0

rr

= fluxo de massa AVm nr

set

mmmVC

VC

VCdm r

Se escoamento entra (q > 90) cos q < 0

Se escoamento saí (q < 90) cos q >0

q nV

SC

nSCSC

AdVAdVAdnV rqrr cos

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es

SCn

mmAdV r

6

entrasai

Asai

Aentra

AVAVAdVAdVAdnV

saientraSC

rrrrr

Considere 1 entrada e 1 saída

Se escoamento área: entrada cos q = - 1 e saída cos q = +1

saiAentraAsaiAentraASC

AdVAdVAdnVAdnVAdnV qrqrrrr coscos

saientraVCt

AVAVm

rr

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7

Regime permanente: / t=0

Hipóteses:

O VC não se move em relação ao sistema de coordenadas

O estado da massa em cada ponto do VC não varia com o tempo

Fluxo de massa através da SC e o estado de massa que cruza a

SC não variam com o tempo

Regime permanente:

SC

AdnV 0

r

Regime permanente, com 1 entrada e 1 saída:

ctem se mm

se mm

0 t

m

tVC

VC

d

r

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8

Conservação de Massa

Incompressível (r = cte):

SCVC

0AdnVdt

Incompressível (r = cte) e

regime permanente: SC

0AdnV

r

m

Fluxo volumétrico

r r

SCVC

0AdnVdt

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9

1. Considere o escoamento em regime permanente de

água através do dispositivo mostrado na figura. As

áreas são: A1= 185 cm2; A2=462cm2; A3=A4=370cm2. A

vazão em massa saindo através da seção (3) é

m3=56,5 kg/s. A vazão em volume entrando pela seção

(4) é de 4=0,028 m3/s. Na seção (1) a velocidade é

uniforme e igual a

Se a propriedades forem consideradas uniformes

através de todas as entradas e saídas de fluxo,

determine a velocidade do escoamento na seção (2).

30

60

(3)

(4)

(2)

(1)

x

y

Exercícios

smîV /31

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10

2. Um tanque com volume de 0,05 m3 contem ar a pressão absoluta de 800kPa e

temperatura de 15oC. Em t=0, o ar escapa do tanque através de uma válvula com

uma área de escoamento de 65 mm2. O ar que passa pela válvula tem uma

velocidade de 300 m/s e massa específica de 6 kg/m3. As propriedades no resto do

tanque podem ser consideradas uniformes a cada instante de tempo. Determine a

taxa instantânea de variação da massa específica do ar no tanque, em t=0.

PUC-Rio, Angela Nieckele

11

3) Água escoa num tubo com diâmetro de 2 m. A velocidade dentro

do tubo é dada por

Determine: a) A vazão volumétrica de água entrando no tubo; b) A velocidade

média no tubo menor com diâmetro de 20 cm. Considere regime permanente.

Obs: velocidade média é definida como a vazão volumétrica dividida pela área.

smiRrV /)/( 221

r

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3. Equação de Conservação de

Quantidade de Movimento

(2ª. Lei de Newton)

Na formulação integral, vamos usar o teorema de transporte de Reynolds:

Propriedade extensiva

Propriedade intensiva

N

m

Nh

VC SCsist

dAnVdtdt

dN rhhr

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Conservação de Quantidade de Movimento Linear

V

VmN

h

VC SCsist

dAnVVdVtdt

Vmd

rr)(

Taxa de variação da quantidade de movimento

no volume de controle

Fluxo de quantidade demovimento

através da superfície de controle

Pela segunda Lei de Newton: extsist

Fdt

Vmd )(

VC SCext dAnVVdV

tF

rr

VC SCyyy

VC SCxxx

dAnVvdvt

F

dAnVvdvt

F

rr

rr

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Exemplos:

1)

PUC-Rio, Angela Nieckele

2)

PUC-Rio, Angela Nieckele

3) Uma correia transportadora recebe areia de um alimentador a uma taxa de 500 kg/s.

A velocidade da areia saindo do alimentador é de 5 m/s. A correia se move a 3 m/s.

Desprezando o atrito da correia, calcule a força necessária para mover a correia

enquanto ela está carregada. A areia sobre a correia move-se com a velocidade da

correia.

PUC-Rio, Angela Nieckele

4) Considere o escoamento simétrico ao redor de um cilindro. O volume de controle,excluindo

o cilindro é mostrado na figura. A distribuição de velocidade a jusante do cilindro é aproximada

por uma parábola, como mostrado. Determine a força de arrasto por metro do comprimento

transversar agindo sobre o cilindro. A massa específica do ar é 1,23 kg/m3

PUC-Rio, Angela Nieckele

5)

PUC-Rio, Angela Nieckele

6)

PUC-Rio, Angela Nieckele

20 PUC-Rio, Angela Nieckele

21 PUC-Rio, Angela Nieckele

22 PUC-Rio, Angela Nieckele

23

1V

2V

Linha de corrente: linha tangente ao vetor velocidade

Tubo de corrente: é a região do escoamento delimitada

por linhas de corrente.

24

Equação de Bernoulli

Eq. Continuidade:

SCVC

AdnVdt

0

rr

Considere um tudo de corrente, regime permanente,

sem perdas

cteVAmAdnVSC

rr

0

VC SCext dAnVVdV

tF

rr

Eq. Quantidade de Movimento

dVVAVVmdzAgAdp rr )( 122

2dVdzg

dp

r

25

cteV

zgp

2

2

rintegrando

Equação de Bernoulli

26

Tubo de Pitot:

Medidor de velocidade

Hghgpp

Hghgpp

m rr

rr

2

1

*

*

1

2

h p* p*

H

r

r

rrr

r

rr

r

hgppse

hgpp

mm

m

21

21

r

rr hgV m )(

2

PUC-Rio, Angela Nieckele

27

Exemplos:

1) Calcule a velocidade de dreno de um tanque através de um pequeno orifício

na parte inferior do tanque, supondo um fluido incompressível.

2) Um duto com área de 1m2 se contrai gradualmente para uma área de 0,4 m2,

conforme a figura. A queda de pressão é medida com um manômetro

com deflexão de 10 cm. O líquido utilizado no manômetro possui massa específica

de 2500 kg/m3. Calcule a vazão de água no duto (ragua = 1000 kg/m3).

cmh 10

z1 2

1

2 V2=?

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28

1a. Lei da Termodinâmica para sistemas:

WQdE

Taxa de variação de energia de sistemas =

= taxa de energia que entra – taxa de energia que sai

Potência: energia/tempo

Unidades: J/s = W (Watts) ; Btu/h, HP=0,75 kW= 2545 Btu/h

- W

convenção + Q

- Q + W

dt

W-

dt

Q

dt

dE

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29

1a. Lei da Termodinâmica para volumes de controle:

WQdt

dE

dtdt

dE

dt

W-

Q

trabalhodeciatransferêndetaxaWdt

0dt

calordeciatransferêndetaxaQdt

0dt

0dt

0dt

W

Q

lim:

lim:

r r

SCVCsistema

AdnVedetdt

dE

- W

convenção + Q

- Q + W

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30

1a. Lei para volumes de controle;

r r

SCVC

AdnVedet

WQ

gz2

Vue

2

Existem diversas formas de trabalho, logo é

conveniente reescrever esta equação, explicitando

algumas formas de trabalho

Trabalho: outroseixo WWWW superficie

PUC-Rio, Angela Nieckele

total = interna + cinética + potencial

energia

31

Trabalho: outroseixo WWWW superficie

rdFdW

Força: tangencialnormalsuperfície FdFdFd

Força

normal: nAdpnormalFd

Trabalho

sob o VC rdndApWnormal

Força

tangencial:

Trabalho

sob o VC rdW tAdtangencial

tAdtangencialFd

: tensão viscosa

p: pressão normal

compressiva

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32

Potência: outrosetn WWWWtd

WW

VdFdW

rr

SCSCn AdnV

pAdnVpW

Potência devido aos esforços normais, taxa de trabalho de fluxo

Potência devido aos esforços tangencias

SCt AdtVW

0WtVse t

rdFdW

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33

Em geral

gzV

ue 2

2

1a. Lei para volumes de controle

0 outrost WW

SCVCe

AdnVgzVp

udgzV

ut

WQ

rr

r22

22

SCVCoutroste AdnV

pede

tWWWQ

r

rr

PUC-Rio, Angela Nieckele

r

puh entalpia

Instalações hidráulicas Objetivo: Cálculo de perda de carga e potência em

instalações de bombeamento

Considerando regime permanente

uma entrada e uma saída:

34 PUC-Rio, Angela Nieckele

Conservação de Massa SCVC

AdnVdt

0

rr

2211AVAVm rr

35

Instalações hidráulicas 1a. Lei da termodinâmica

12

12

21

22

1212 1

22

Lh

e

dm

Quu

gg

V

g

Vzz

pp

gm

W

gg)(

Energia mecânica

por unidade de massa

do escoamento

Perda de energia

entre os pontos

1 e 2 Perda de carga

SCVCe

AdnVgzVp

udgzV

ut

WQ

rr

r22

22

12

21

22

1212

22 Le h

g

V

g

Vzz

pp

gm

W

)(

gg

36

Perda de carga perda da carga = perda da carga contínua + perda de carga localizada

ACcontinua LLL hhh 121212

perda da carga contínua

g

ph

L

12

L

D

12

21

22

1212

22 L

zero

zerozero

e hg

V

g

Vzz

pp

gm

W

)(

gg

D

p p

perda da carga em acidente

Geralmente a perda da carga

é determinada empiricamente.

37

s Pm dx

p At (p +p/x dx) At 0extF

4

h

m

ts

D

x

p

P

A

x

p

0

dxPAdx

x

ppAp mstt )(

Independente

do regime de

escoamento

37 37 PUC-Rio, Angela Nieckele

Perda de carga continua

Escoamento hidrodinamicamente desenvolvido, na

presença de gradiente de pressão

38

Definindo queda de pressão adimensional ou fator de atrito

38 38 PUC-Rio, Angela Nieckele

Perda de carga continua

2

2

1m

h

u

Dx

p

f

r

2

12m

h

u

Df

x

pr

Perda de carga:

g

u

D

Lf

g

pph m

continuaL 2

2

rg

L

p

x

p

39

fator de atrito

2

2

1m

h

u

Dx

p

f

r

depende do número de Reynolds

r hm DuRe

39 39 PUC-Rio, Angela Nieckele

40

dAuA

1

A

Qu

TTm

m

th

P

A4D

At é a área transversal do

escoamento e Pm é o perímetro

molhado, o fator 4 é introduzido por

conveniência.

r hm DuRe

O número de Reynolds que caracteriza a transição neste caso é

Re 2300 laminar

Re > 2300 turbulento

A dimensão característica é o diâmetro hidráulico, Dh

A velocidade característica é a velocidade média um

40 40 PUC-Rio, Angela Nieckele

41

fator de atrito

2

2

1m

h

u

Dx

p

f

r

r hm DuRe

41 41 PUC-Rio, Angela Nieckele

Para escoamento laminar, fRe=cte

Para geometria simples, o fator de atrito pode ser calculado

analiticamente

Duto circular: f Re =64

Placas paralelas: f Re = 96

Duto quadrado: f Re = 56

Duto anular: f Re depende da razão de raios rex/rin

42

fator de atrito

2

2

1m

h

u

Dx

p

f

r

r hm DuRe

42 42 PUC-Rio, Angela Nieckele

Para escoamento turbulento, o fator de atrito é

determinado empiricamente.

Além de depender o no. de Reynolds,

também depende da rugosidade relativa e /Dh

)(Re,

hD

ffe

43

A rugosidade relativa

depende do material

da tubulação e do

diâmetro da mesma

PUC-Rio, Angela Nieckele

44

O fator de atrito pode ser avaliado a partir do diagrama de Moody

45

Existem algumas correlações matemáticas como opção para o

diagrama de Moody

Blasius (Tubo liso):

Colebrook:

Estimativa inicial Miller

2

9,0Re

74,5

7,3

/log25,0

Dfo

e

5,05,0 Re

51,2

7,3

/log0,2

1

f

D

f

e

250

31640

,Re

,f

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46

g

Vkh

ACL2

2

g

V

D

Lfh

eqLAC 2

2

Perdas de carga localizadas (acidentes):

ou

47

Exercício 1: Determine o nível h do reservatório para manter a vazão

indicada:

Tubulação lisa

Q= 0,03 m3/s

D = 75 mm

Entrada do tubo: k = 0,5

Saída: patm

Viscosidade: m = 10-3 kg/(ms)

L=100m

Q

h

z D= 75 mm

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48

Exercício 2: Água com r = 1000 kg/m3 e n/r = 1 x 10-6 m2/s é bombea-

da entre dois reservatórios com a vazão Q = 5,6 x 10-3 m3/s através de

uma tubulação de L=120 m e D= 50 mm de diâmetro. A rugosidade

relativa do tubo é e / D=0,001. Calcule a potência necessária da bomba.

Dados de coeficiente de perda de carga:

•Entrada canto vivo: k=0,5

•Saída canto vivo: k=1,0

•Válvula globo aberta: k=1,0

•Joelho a 90o: k=0,9

•Válvula de gaveta ½ aberta: k=0,1

49

Exercício 3: Considere a instalação da figura ao lado. O tubo possui uma rugosidade relativa de e/D = 0,001 e possui um diâmetro D= 100 mm. Determinar a vazão máxima da instalação. Considerar as perdas localizadas somente na válvula de gaveta.

H=24m

L=180m

D=100mm

Q

PUC-Rio, Angela Nieckele