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CAPÍTULO III - DESCRIÇÃO DE UM FLUIDO EM MOVIMENTO
1. Leis Físicas Fundamentais
3 leis escoamentos independentes da natureza do fluido
Leis Básicas Equações Fundamentais
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Leis Básicas Equações Fundamentais
Lei da Conservação de Massa
Segunda Lei de Newton
Primeira Lei da Termodinâmica
Equação da Continuidade
Equação da Qte. de Movimento
Equação da Energia
1
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
CAPÍTULO II - DESCRIÇÃO DE UM FLUIDO EMMOVIMENTO
1. Leis Físicas Fundamentais
3 leis escoamentos independentes da natureza do fluido
Leis Básicas Equações Fundamentais
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Leis Básicas Equações Fundamentais
Lei da Conservação de Massa
Segunda Lei de Newton
Primeira Lei da Termodinâmica
Equação da Continuidade
Equação da Qte. de Movimento
Equação da Energia
2
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Conservação de Massa
O sistema é uma porção arbitrária de matéria de identidade
conhecida e permanentemente.
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Leis BásicasLeis Básicas
3
0dt
dM =sistema
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Segunda Lei de Newton
Para um sistema em movimento relativo a um referencial
estacionário
a soma de todas as forças externas, que atuam no sistema é igual a
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
4
a soma de todas as forças externas, que atuam no sistema é igual ataxa da variação da quantidade de movimento linear do sistemacom o tempo
sistemadtPdFrr
=
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Primeira Lei da Termodinâmica
Conservação de energia de um sistema
dE..
=+
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
5
sistemadt
dEWQ
..
=+ (termos médios)
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
2. Campo de Escoamento de um Fluido
y
x
z
uv
w
é uma linha
imaginária, tal que
para um dado
instante de tempo, a
Linha de corrente
Vr
Vr
zyx eweveuVrrrr
++=
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
zinstante de tempo, a
velocidade em
qualquer ponto é
obtida pela tangente
a esta linha em cada
ponto
Filamento de corrente
Tubo de correnteFamília de linhas de corrente
que formam uma passagem
de seção reta infinitesimal é uma superfície finita, feita de um
infinito número de linhas de corrente,
não havendo passagem de massa
através desta superfície6
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
(http://www.youtube.com/user/guiathome#p/c/BD6071B837419278/16/rbMx2NMqyuI)
Equação diferencial para uma linha de corrente em duas e trêsdimensões podem ser obtida:
dt
dxu =
dt
dyv =
dt
dzw =
Eliminando-se dt, obtêm-se:
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Eliminando-se dt, obtêm-se:
u
v
dx
dy=
v
w
dy
dz=
u
w
dx
dz=
7
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
3. Movimento do Fluido
Na dinâmica de sólidos, costumamos descrever o movimento
de partículas e de corpos rígidos através da velocidade e
aceleração do centro de massa.
Número finito de
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Número finito de
partículas, a velocidade
da i-ésima partícula
pode ser dada pelas
equações escalares:
(t)fu ii =
(t)gv ii =
(t)hw ii =
8
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Fluido contêm um no partículas cuja características podem variar continuamente
A técnica que descreve o
movimento das partículas
em relação a um conjunto
de eixos fixos
Tratamento
Lagrangiano(não é usado para fluidos)
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Ex.: pássaro com rádio transmissor (posição
A técnica que focaliza a
atenção numa região fixa no
espaço sem identificar as
partículas da região num dado
instante de tempo
Tratamento
Euleriano
9
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I Ex.: pássaro com rádio transmissor (posição
da partícula em função do tempo.
Ex.: pássaros por hora em uma
determinada região fixa.
Campo de velocidade é dado por:
Velocidades em coords. cartesianas:
t)z,y,g(x,v
t)z,y,f(x,u
=
=
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
zyx e w e veu Vrrrr
++=
Sistemas de coords. cilíndricas e esféricas, as velocs. são:
t)z,y,h(x,w
t)z,y,g(x,v
=
=
t),,(r,VV
t)z,,(r,VV
ϕφ
φrr
rr
=
=
10
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Variações infinitesimais de velocidade (derivadas parciais)
dtt
udz
z
udy
y
udx
x
udu
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
Regra da cadeia para derivada parcial, em três dimensões em um
acréscimo de tempo:
VdzVdyVdxVVd ∂+
∂+
∂+
∂=
rrrrr
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
t
V
dt
dz
z
V
dt
dy
y
V
dt
dx
x
V
dt
Vd
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
Considerando dx/dt, dy/dt, dz/dt como velocidade do fluido
11
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Sendo componentes escalares, podem ser substituídos pelosrespectivos componentes de velocidade, obtendo-se:
1o termo : derivada total, substancial ou derivada do fluido(segue a partícula que ocupa uma determinada região no espaço
num instante particular – referencial móvel)
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
t
V
z
Vw
y
Vv
x
Vu
Dt
VDa
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂==
rrrrrr
1o termo 2o termo 3o termo
num instante particular – referencial móvel)
2o termo : aceleração convectiva ou aceleração de transporte(depende da partícula e variação do meio)
3o termo : aceleração local(influência do tempo sobre o comportamento da partícula)
12
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
(ex.: barco movendo-se com o rio)
Fluidos Newtonianos e Não Newtonianos(independentes do tempo)
Plástico de Bingham
Pseudoplástico
Tens
ão ta
ngen
cial Pseudoplástico
Dilatante
Vis
cosi
dade
apa
rent
e
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
n
yxdy
duk
=τ
Taxa de deformação
Dilatante
Newtoniano
Tens
ão ta
ngen
cial
Taxa de deformação
Dilatante
Newtoniano
Vis
cosi
dade
apa
rent
e 1−
=
n
dy
dukη
13
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
k= µ=viscosidade absoluta
Newtoniano Não Newtoniano
Plást. Bingham Pseudoplástico Dilatante
Água Pastas dentifríciasSusp. em argila
Exemplos
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Água
ar
gasolina
Susp. em argilaLamas das perfurações
Susp. poliméricasSusp. ColoidaisPolpa de papel diluída em água
Susp. de amidoSusp. de areia
14
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
4. Tipos de Movimento
Mecânica de Fluidos
invíscidos viscosos
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
compressíveis incompressíveislaminar turbulento
c i c i
15
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Invíscido (µ=0) Simplifica a análise
Compressíveis (ρ variável) ex.: gases, ar
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Incompressíveis (ρ constante) ex: óleo, água
16
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Escoamento Laminar e Turbulento
1883 Osborne Reynolds diferença entre laminar e
turbulento
água laminar transição Turbulento
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
corante
Escoamento laminar
água transição
Tipos de escoamento
17
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
(http://www.youtube.com/watch?v=XOLl2KeDiOg&feature=related)(http://www.youtube.com/watch?v=SSxV0BZRBs8&feature=related)
Laminar: o fluido move-se em lâminas paralelas
Transição: o corante interrompia abruptamente, difundindo-se através do tubo
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Turbulento: caracterizado pelo movimento desordenado daspartículas
18
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Veloc. Distintas - injeção de corantes(http://www.youtube.com/user/guiathome#p/c/BD6071B837419278/5/7Ft9VDDPWb4
Aerofólio - escoamento laminar(http://www.youtube.com/user/guiathome#p/c/BD6071B837419278/0/7jTeiz_f1iY
Exemplos:
19
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I (http://www.youtube.com/user/guiathome#p/c/BD6071B837419278/0/7jTeiz_f1iY
Aerofólio - escoamento turbulento(http://www.youtube.com/user/guiathome#p/c/BD6071B837419278/26/gmSKGMSfOcs)
Velocidades críticas escoamentos retilíneos(laminares)
DVcrítica
v≈
viscosasforças
inerciais forças D VD VRe ===
µ
ρ
v
escoamento sinuosos (turbulentos)
transformação
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Tubos movimento é geralmente turbulento Re>2000
Placa Plana dimensão característica
comprimento
300 000<Re<600 000
D viscosasforçasµv
20
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Escoamento Permanente e não Permanente
Escoamento Permanente ou estacionário: a velocidade não varia
com o tempo, embora possa variar ponto a ponto no espaço
Escoamento não Permanente ou não estacionário: dependência
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Escoamento não Permanente ou não estacionário: dependência
com o tempo
* pode ser transformado em permanente através da mudança da
referência espacial
21
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Escoamento Uniforme e não Uniforme
Movimento Uniforme: a aceleração convectiva é nula
O vetor velocidade é o mesmo, em módulo e direção, para qualquer
ponto do campo de escoamento
Não permanente: velocidade deve variar identicamente em todo ponto
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Não permanente: velocidade deve variar identicamente em todo ponto
linhas de corrente retas
Movimento não uniforme: depende do espaçoex.: fluido sem atrito escoará não uniformemente no cotovelo
de um tubo
22
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Escoamento Uni- e bidimensional
Uni-dimensional: é uma simplificação onde todas as props. ecaracterísticas do escoamento expressas em função de uma sócoordenada espacial e do tempo
Hipóteses para esc. unidimensional
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
* a variação da seção transversal do recipiente não é muito grande
*a curvatura das linhas de corrente não é excessiva
*certeza de um perfil de velocidade não variável ao longo do tubo
* V, P, etc. constantes, em cada seção transversal a cada instante
Bi-dimensional: propriedades e características do escoamento sãofunções de duas coordenadas espaciais e do tempo
23
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Ex.: velocidade
* escoamento unidimensional : v= v (x,t)* escoamento unidimensional permanente : v = v (x)* escoamento bidimensional : v = v (x,y,t)* escoamento bidimensional permanente : v = v (x,y)
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Perfil unidimensional real
Perfil de velocidade
24
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Sistemas e Volume de Controle
Sistema é caracterizado por uma massa definida de matéria, distinta de todo o restante da mesma, que é chamada de meio
SistemaPosiçãoforma mesma matéria
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Sistema formacondição térmica
mesma matéria
ex.: sistema cilindro-pistão
25
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
Volume de Controle
Para cada instante, um diferente sistema ocupa uma região do tubo
analisada
Um método de análise mais conveniente é o que considera
É uma região do espaço através do qual há escoamento de um fluido
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Um método de análise mais conveniente é o que consideraa região delimitada pela linha tracejada
fluido em escoamento
26
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
ab c
Fronteira do sistema
Linha de corrente
Fronteira do sistemano instante t+∆t
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
a
Superfície decontrole
Fronteira do sistemano instante t
1. Sistema = a + b
Volume = a + b
2. Sistema = b + c
Volume = a + b 27
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
EXERCÍCIOS
1. Determinar para os campos de velocidade abaixo:
(1) se o campo de escoamento é uni- bi- ou tridimensional, e dizer porque:
(2) se o escoamento é permanente ou não permanente, e dizer porque:
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
i]eax[vbt
rr −= 2jbxziaxvrrr
+= 2
2. A lei de distribuição das velocidades para escoamento laminar entre placas
28
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I
2. A lei de distribuição das velocidades para escoamento laminar entre placasparalelas é dada por:
22
1
−=
h
y
U
U
.máx
Com origem no meio da distância h que separa estas placas. Considerando oescoamento de água a 15ºC, com Umáx. = 0,30 m/s e h=0,50 mm. Calcular atensão tangencial na placa superior e mostrar seu sentido.