3. AS FORMAS DIFERENCIAIS DAS LEIS FUNDAMENTAIS

3.1. Introdução

Solução integral solução global

Ex. – Sustentação de um aerofólio.

Resulta da integração da distribuição de pressões sobre o mesmo.

Solução diferencial solução pontual

Ex. - Determinação da pressão ponto a ponto sobre o aerofólio.

Há duas técnicas diferentes para se chegar às formas diferenciais das Leis Básicas.

• Aplicação do Teorema de Gauss:

dAdn

S

= vetor, ou

dAdn

S

= escalar.

• Identificando um elemento infinitesimal no espaço eaplicando as Leis Básicas diretamente a ele.

Conservação da massa Eq. da continuidade diferenc.

2ª Lei de Newton Eq. da q.d.m. diferencial

• Escoamento inviscito Eq. de Euler• Escoamento viscoso Eq. de Navier-Stokes.

1ª Lei da Termodinâmica Eq. da energia diferenc.

A maioria dos problemas em um curso introdutório refere-se a escoamentos isotérmicos e incompressíveis, nos quais a temperatura não exerce influência.

Para tais escoamentos as três Eq. de Navier-Stokes e a Eq. da continuidade fornecem quatro equações que relacionam os três componentes da velocidade e a pressão.

Deste modo a Eq. da energia não é necessária.

As equações diferenciais parciais requerem condições que especificam certos valores para as variáveis dependentes em valores particulares das variáveis independentes.

Se a variável independente é o tempo, as condições são chamadas condições iniciais. Se a variável independente é uma coordenada espacial, as condições são condições de contorno.

Condições de contorno

• Fluido viscoso condição de aderência; (escorregamento nulo) velocidade do fluido em relação à parede igual a zero;

• fluido não viscoso condição de impenetrabilidade; em uma parede não porosa, o componente normal da velocidade é nulo.

3.2. Equação Diferencial da ContinuidadeConsidere o volume de controle fixo infinitesimal da Fig. 5.1.

x

y

zdy

dx

dz

Figura 5.1 Volume de controle infinitesimal

Considerando a conservação da massa, tem-se:

tmmm elemento

saídaentra

t

)dzdydx(

dzdydx

t

x

y

z

(x, y, z)

v dzdx)2

dyyvv(

dzdx)2

dyyvv(

dzdy)2

dxxuu(

dzdy)2

dxxuu(

dydx)

2dz

zww(

dydx)2dz

zww(

w

u

dydx

dz

Para fazer o balanço de massa, toma-se u, v e w no centro do elemento.

Considerando essas quantidades como variáveis únicas, vem:

O fluxo líquido em cada direção será:

Em x dzdy)2

dxxuu(dzdy)

2dx

xuu(

Em y dzdydxyvdzdx)

2dy

yvv(dzdx)

2dy

yvv(

Em z dzdydxxwdydx)

2dz

zww(dydx)

2dz

zww(

dzdydxxu

Logo, em todo o volume elementar, será:

No volume dzdydx)zw

yv

xu(

Portanto, igualando com a variação da massa no volume de controle elementar,

dzdydxt

dzdydx)zw

yv

xu(

resulta:

0zw

yv

xu

t

Desenvolvendo as derivadas de produtos,

0)zw

yv

xu(

zw

yv

xu

t

cialtansubsDerivada

Então:

0)zw

yv

xu(

DtD

Introduzindo o operador vetorial de derivada,

zk

yj

xi

resulta:

0)V(DtD

Onde:

kwjviuV

vetor velocidade

zw

yv

xuV

divergente da velocidade

equação diferencial da continuidade.

Para escoamento incompressível,

0DtD

a massa específica se conserva ao longo das

trajetórias da partículas

A conservação da massa específica, não implica em constância da massa específica.

É possível a existência de um escoamento estratificado, com a massa específica constante em cada linha de corrente.

Portanto,

0Vzw

yv

xu

Eq. da continuidade para escoamento incompressível.

Ou:

0V

condição de incompressibilidade.

Introduzindo a derivada local,

)V(z

wy

vx

ut

0)V(DtD

0)V()(Vt

Considerando a propriedade de derivada de produtos,

0)V(t

equação diferencial da continuidade.

Para escoamento permanente,

0)V(

Exemplo 5.1

A componente x da velocidade é dada por u(x, y) = Ay2 em um escoamento plano incompressível. Determine v(x, y) se v(x, 0) = 0, tal como o caso de um escoamento entre placas paralelas.

Dados: u(x, y) = Ay2.

Solução:

zw

yv

xu0V

)y,x(vv)y,x(uu

Escoamento plano (bidimensional).

Condição de incompressibilidade. = 0

então:xu

yv

Logo:

)x(fv

0x

Ayxu

yv 2

integrando,

Condição de contorno: v0 = v(x, 0) = 0.

Logo f(x) = 0 e,

v = v(x, y) = 0.

Exemplo 5.2

Ar escoa em uma tubulação, sendo a velocidade em três pontos vizinhos A, B, e C, distanciados de 100 mm um do outro, de: 83,50; 86,90 e 88,70 m/s, como mostra a Fig. E5.2. A temperatura e a pressão no ponto B são de 10° C e 345 kPa, respectivamente. Faça uma aproximação de d/dx naquele ponto, supondo um escoamento permanente e uniforme.

A B C

83,50 m/s 86,90 m/s 88,70 m/s

x

Figura E5.2

Dados

x uA uB uC TB pB

100 83,50 86,90 88,70 10,00 345000mm m/s m/s m/s º C N/m2

0,100          m          

Solução:Hipóteses simplificadoras:

• Escoamento permanente

• escoamento uniforme em cada seção

Assim, u = u(x).

;0t

.0zy

Considerando a Eq. da continuidade

0)zw

yv

xu(

zw

yv

xu

t

Portanto, a Eq. da continuidade se reduz a:

= 0 = 0 = 0 = 0 = 0

0xu

xu

)x()x(uu

,Mas De modo que:

0dxdu

dxdu

A derivada da velocidade é aproximada a:

.s/m00,26100,02

50,8370,88xu

dxdu

Em que a diferença central, mais precisa, foi usada.

Tendo em vista que a constante do ar éR = 287 m2/(s2K)a massa específica é calculada

.m/kg248,4)27310(287

10345tR

p 33

A derivada da massa específica é então aproximada a:

4m/kg271,10,2690,86

248,4dxdu

udxd

A diferença à frente conduz a:

.s/m00,18100,0

90,8670,88xu

E a diferença à traz a:

.s/m00,52100,0

50,8390,86xu

Exemplo 5.3

Os valores do componente x da velocidade nos pontos A, B, C, e D, que estão a 10 mm uns dos outros, são 5,76; 6,72; 7,61 e 8,47 m/s, respectivamente, no escoamento plano, permanente, simétrico e incompressível mostrado na Fig. E5.3, no qual w = 0. Faça uma aproximação do componente x da aceleração em C e do componente y da velocidade 6 mm acima de B.

Figura E5.3

Dadosx uA uB uC uD yB

10 5,76 6,72 7,61 8,47 6mm m/s m/s m/s º C mm

0,010         0,006m         m

Solução:

Hipóteses simplificadoras:

• Escoamento permanente;

• escoamento plano (bidimensional);

• escoamento incompressível;

• escoamento simétrico.

O componente em x da aceleração é dado por:

zuw

yuv

xuu

tua x

= 0 = 0 = 0

.s/m9,66501,02

75,647,861,7xuua 2

x

Usando as diferenças centrais para aproximar a derivada, vem:

No escoamento simétrico o componente da velocidade em y (v) ao longo da linha central é nulo.

Fora desta linha é diferente de zero, sendo calculado a partir da Eq. da continuidade.

zw

yv

xu0V

= 0

então:xu

yv

.s/m555,0006,05,92y5,92v

v = 0 em B; portanto, na localização desejada,

yBcenB )v()v(v

.s/m555,0)555,0(0v)v()v( cenByB

5,9202,0

76,561,7xu

yv

Exemplo 5.4

Vp/Dtu~D

.u~

A equação da continuidade pode ser usada par mudar a forma de uma expressão. Escreva a expressão em termos da entalpia h em vez da energia interna Lembre que h = + p/ (vide Eq. 1.7.11).

u~

Solução:

?)h(fVpDt

u~D

Usando a definição de entalpia,

pu~h

phu~

Derivando,

DtDp

DtDp1

DtDh)p(

DtD

DtDh

Dtu~D

2

Substituindo na Eq. procurada,

VpDtDp

DtDp

DtDhVp

Dtu~D

Considerando a Eq. da continuidade,

DtD1V

0V

DtD

)DtD1(p

DtDp

DtDp

DtDhVp

Dtu~D

Levando na Eq. anterior, vem:

DtDp

DtDh

3.3. Equação Diferencial da Quantidade de Movimento

ÁreaForçaTensão

ktjtitAFt zyx

faceumaemtensãot

Estado de tensões em um ponto

x

y

z

Face x

tz

ty

tx

t

Tensão em uma face

x

y

z

Normal ao eixo x Face x

Face y

Face z

Positiva, se o vetor unitário normal a face e exterior, estiver no sentido + de x.

)i(

Ponto partícula de fluido cubo elementar

Particularidade faces normais aos eixos coordenados.

Tensão na face x ktjtitt xzxyxxx

Tensão na face y ktjtitt yzyyyxy

ktjtitt zzzyzxz

Tensão na face z

Para representar estas três tensões em uma única entidade matemática é utilizado o conceito de tensor.

tensõesdastensor

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

O componente da tensão será positivo se estiver em uma face positiva e orientado segundo o sentido positivo do eixo. Também será positivo, se estiver em uma face negativa, porem orientado segundo o sentido negativo do eixo.

Figura 5.3 Força agindo sobre uma partícula infinitesimal

3.3.1. Formulação geral

2ª Lei de Newton

Considerando a resultante das forças na direção x,

admFd

dydx)2dz

z(dzdx)

2dy

y(dzdy)

2dx

x( zx

zxyx

yxxx

xx

dydx)2dz

z(dzdx)

2dy

y(dzdy)

2dx

x( zx

zxyx

yxxx

xx

DtDudzdydxdzdydxgx

Dividindo pelo volume do elemento(dx dy dz), vem:

xzxyxxx gzyxDt

Du

Procedendo de modo análogo com as outras direções,

zzzyzxz gzyxDt

Dw

yzyyyxy gzyxDt

Dv

Nota: - Pressão Estática

Na estática dos fluidos as tensões tangenciais são nulas e o tensor das tensões se resume às tensões normais.

zz

yy

xx

000000

n

p nn p campo de pressões (escalar)

Por outro lado é sabido que os fluidos (quando em repouso) não resistem às tensões de tração.

zz

yy

xx

000000

p000p000p

Estática dos fluidos:

A pressão é definida para a estática dos fluidos e por isso é

chamada de pressão estática.

Para fluidos em movimento é dada por:

)(31p zzyyxx

3.3.2. Equação de Euler

Hipótese: Efeitos viscosos desprazíveis.

Neste caso, tal como na estática dos fluidos, as tensões tangenciais (viscosas) são nulas e o tensor das tensões se resume às tensões normais.

zz

yy

xx

000000

Estática ou sem tensões viscosas.

Neste caso as Eq.s da q.d.m. se resumem a:

Equações de Euler.

Em termos vetoriais, com: (vertical).kgg

kg)kzpj

ypi

xp()kwjviu(

DtD

kgpDt

VD Equação de Euler.

xgxp

DtDu

ygyp

DtDv

zgzp

DtDw

Exemplo 5.5

Um campo de velocidade é proposto como

0w;yx

x10v;yx

y10u 2222

(a) É esse um possível escoamento incompressível?

p

(b) Se é, ache o gradiente , supondo um escoamento de ar sem atrito, com o eixo z vertical. Use = 1,23 kg/m3.

Solução:a) É um possível escoamento incompressível?

Considerando a condição de incompressibilidade,

Portanto, este é um possível escoamento incompressível.

0zw

yv

xuV

= 0

(escoamento plano)

0)yx(

yx20yx20)yx(x10y2

)yx(y10x2)

yxx10(

y)

yxy10(

x 2222222222222

b) Cálculo do p.

Escoamento sem atrito ( Eq. de Euler), com z vertical.

• em x,

xp

DtDu

Com:

zuw

yuv

xuu

tu

DtDu

= 0 = 0

)yx

y10(yyx

x10)yx

y10(xyx

y10DtDu

22222222

22222 )yx(y10x2

yxy10

DtDu

222

22

22 )yx(y10y2)yx(10

yxx10

222322

2222

)yx(x100

)yx()y2yxy2(x100

DtDu

222 )yx(x100

DtDu

xp

• em y,

yp

DtDv

Com:

yvv

xvu

DtDv

)yxx10(

yyxx10)

yxx10(

xyxy10

DtDv

22222222

22222222

22

22 )yx(x10y2

yxx10

)yx(x10x2)yx(10

yxy10

DtDv

222322

2222

)yx(y100

)yx()x2x2yx(y100

DtDv

222 )yx(y100

DtDv

yp

• em z, onde w = 0.

0gzp

DtDw

De modo que:

gzp

.m/Pak07,12)jyix()yx(

123kg)jyix()yx(

100p 222222

Exemplo 5.6

Suponha um escoamento permanente, com massa específica constante, e integre a equação de Euler ao longo de uma linha decorrente em um escoamento plano.

Solução:Hipóteses simplificadoras:• Escoamento inviscito;• escoamento permanente;• escoamento incompresível e• escoamento em uma mesma linha de corrente.

A Eq. de Euler na forma vetorial é expressa por:

Em termos da linha de corrente, a velocidade é dada por:

.LCàgentetanunitáriovetors

kgpDt

VD

sVV

A derivada substancial do vetor velocidade é:

= 0 (escoamento permanente)

ssVV

tV

DtVD

Assim, na direção da LC, a Eq. de Euler passa a ser escrita como:

szg

spseng

sp

sVV

A massa específica sendo constante, permite escrever

0gzp2V

ssgz

sp

2V

s

22

kgpDt

VD

k

ds

dz

sk

Integrando ao longo da linha de corrente

.constgzp2V2

Ou, em termos de energia por unidade de massa

.constgzp2

V2

Eq. de Bernoulli.

Eq. de Bernoulli.

3.3.3. Equação de Navier-Stokes

A Lei de viscosidade de Newton foi apresentada para o escoamento unidimensional e tem a seguinte forma

dydu

Fluidos newtonianos

Stokes estendeu a Lei de Newton para o caso do escoamento tridimensional de fluidos newtonianos,

Vzw2

yw

zv

xw

zu

zv

ywV

yv2

xv

yu

zu

xw

yu

xvV

xu2

1o coeficiente de viscosidade viscosidade dinâmica

2º coeficiente de viscosidade escoamento compressível.

Em se tratando de escoamento incompressível = 0.

Hipótese de Stokes Tr() = xx + yy + zz = 0.

Considerando esta hipótese, tem-se:

0Vzw2V

yv2V

xu2

V3V20V3)zw

yv

xu(2

0V)32(

032 32:ou

O estado de tensões em um ponto é descrito pelo tensor das

tensões, o qual engloba as pressões e tensões viscosas.

T

Substituindo as relações de Stokes nas Eq.s da quantidade de

movimento em termos escalares e iniciando pela direção x, vem:

xzxyx

xxxx gzy

)(xDt

Du

Eq. da q.d.m. em x.

x

2

2

22

2

2

2

2

g)zx

wzu()

yxv

yu(

)zw

yv

xu(

x32

xu2

xp

DtDu

x

2

2

2

2

2

2

g)zw

yv

xu(

x32

)zw

yv

xu(

x)

zu

yu

xu(

xp

DtDu

x2

2

2

2

2

2

g)zw

yv

xu(

x3)

zu

yu

xu(

xp

DtDu

Com considerações análogas para as direções y e z, chega-se a:

y2

2

2

2

2

2

g)zw

yv

xu(

y3)

zv

yv

xv(

yp

DtDv

z2

2

2

2

2

2

g)zw

yv

xu(

z3)

zw

yw

xw(

zp

DtDw

Observe que:

)kz

jy

ix

()kz

jy

ix

(

Laplacianozyx 2

2

2

2

2

22

tVDk

twj

tvi

tu

pkzpj

ypi

xp

Vkwjviu 2222

zw

yv

xuV

Com estas observações, as três equações escalares podem ser

agrupadas em uma única equação vetorial.

g)V(3

VpDt

VD 2

)V(k)V(z

j)V(y

i)V(x

gVpDt

VD 2

Para escoamento incompressível vem:,0V

Exemplo 5.7

Simplifique o componente x da equação de Navier-Stokes para um escoamento permanente em um canal horizontal e retangular, supondo todas as linhas de corrente paralelas às paredes. Considere a direção x como a direção do escoamento (Fig. E5.7).

x

y

h

u = u(y, z)

x

zbu = u(y, z)

x

z

y

h

b

Escoamento

Solução:Hipóteses simplificadoras:• Escoamento permanente;• escoamento incompressível.

Linhas de corrente paralelas e na direção x.Neste caso, apenas o componente x, da velocidade, será diferente de zero.

v = w = 0

u = u(y, z).

No caso de escoamento incompressível a Eq. da continuidade é:

0zw

yv

xuV

= 0= 00

xu

Para este escoamento permanente, a aceleração será

0zuw

yuv

xuu

tu

DtDu

= 0 = 0= 0= 0

x2

2

2

2

2

2

g)zu

yu

xu(

xp

DtDu

Lembrando que o escoamento é incompressível, o componente em x da Eq. de Navier-Stokes, passa a ser escrito como:

= 0= 0

ou seja

)zu

yu(

xp

2

2

2

2

A solução desta equação pode ser encontrada aplicando condições de contorno apropriadas.

k

ds

dz

sk

dydx

dz

dzdy)2

dxx

( xxxx

dzdy)2

dxx

( xxxx