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Equações do Movimento
João Oliveira
Estabilidade de Voo, Eng. Aeroespacial
1 Ângulos de Euler
1.1 Referenciais
Referenciais: fixo na Terra e do avião
• FE (OxEyEzE) : referencial «iner-cial», fixo na Terra; (supõe-seTerra plana e ~g vertical, segundozE)
• FB (Cxyz) : referencial com ori-gem no centro de massa da aero-nave e que se move solidário comela;
DefiniçõesPodemos usar referenciais diferentes para medir/definir o vector e
para escrever as suas componentes.
~Vab• o expoente a identifica o referencial relativamente ao qual medi-
mos o vector
• o índice b identifica o referencial no qual escrevemos as compo-nentes do vector
1
Exemplos
• Velocidade relativamente à Terra: ~VE
– ~VEE = (xE, yE, zE)– ~VEB = (uE, vE,wE)
• «Airspeed»: ~VB = (u,v,w)
Note-se que, se o vento tiver velocidade ~W ,
~V E = ~V + ~W
1.2 Definição dos Ângulos de Euler
Orientação relativa dos referenciaisOrientação relativa dos dois referenciais (FE fixo na Terra e FB soli-
dário com o avião):
Ângulos de Euler
• Muitas definições possíveis.
• Em Aeronáutica:
– guinada (yaw),
– picada/cabragem (pitch),
– pranchamento ou rolamento (bank, roll).
Ângulos de Euler: ângulo de guinada ψ
2
Ângulos de Euler: ângulo de picada/cabragem θ
Ângulos de Euler: ângulo de pranchamento φ
1.3 Matrizes de rotação
Matrizes de rotação
Rotação em torno do eixo Ox:
Lx(α) =1 0 0
0 cosα sinα0 − sinα cosα
x
y
z
α
α
Rotação em torno do eixo Oy:
Ly(β) =cosβ 0 − sinβ
0 1 0sinβ 0 cosβ
β
βx
y
z
3
Rotação em torno do eixo Oz:
Lz(γ) = cosγ sinγ 0− sinγ cosγ 0
0 0 1
x
y
z
γ
γ
Rotação: referencial Terra para referencial do aviãoMatriz de rotação do referencial fixo na Terra FE para o referencial
fixo na aeronave FB :
LBE = Lx(φ) · Ly(θ) · Lz(ψ)
Transformação de vectores:
~VB = LBE ~VE
Rotação: referencial Terra para referencial do avião (2)Matriz de rotação do referencial fixo na Terra FE para o referencial
fixo na aeronave FB :
LBE = Lx(φ) · Ly(θ) · Lz(ψ) =
= cosθ cosψ cosθ sinψ − sinθ
sinφ sinθ cosψ− cosφ sinψ sinφ sinθ sinψ+ cosφ cosψ sinφ cosθcosφ sinθ cosψ+ sinφ sinψ cosφ sinθ sinψ− sinφ cosψ cosφ cosθ
Rotação: referencial Terra para referencial do avião (3) ExemploTransformação do vector peso: (m~g)E = (0,0,mg)
Para um vector qualquer: ~VB = LBE ~VE
(m~g)B = cosθ cosψ cosθ sinψ − sinθ
sinφ sinθ cosψ− cosφ sinψ sinφ sinθ sinψ+ cosφ cosψ sinφ cosθcosφ sinθ cosψ+ sinφ sinψ cosφ sinθ sinψ− sinφ cosψ cosφ cosθ
00mg
= −mg sinθmg cosθ sinφmg cosθ cosφ
Rotação: referencial do avião para referencial TerraMatriz de rotação do referencial fixo na aeronave FB para o referen-
cial fixo na Terra FE :
LEB = L−1BE = Lz(−ψ) · Ly(−θ) · Lx(−φ)
Transformação de vectores:
~VE = LEB ~VB
4
Rotação: referencial do avião para referencial TerraMatriz de rotação do referencial fixo na aeronave FB para o referen-
cial fixo na Terra FE :
LEB = L−1BE = Lz(−ψ) · Ly(−θ) =
=cosθ cosψ sinφ sinθ cosψ− cosφ sinψ cosφ sinθ cosψ+ sinφ sinψ
cosθ sinψ sinφ sinθ sinψ+ cosφ cosψ cosφ sinθ sinψ− sinφ cosψ− sinθ sinφ cosθ cosφ cosθ
1.4 Velocidades angulares
Velocidade angularNos eixos do corpo ~ω = p~iB + q~jB + r ~kBPor outro lado ~ω = ψ~k1B + θ ~j2B + φ~i3BMas, pela definição dos ângulos de Euler:
~i3B = ~iB~j2B = cosφ~jB − sinφ~kB~k1B = cosθ(sinφ~jB + cosφ~kB)− sinθ~iB
Velocidade angular (2)~ω = ψ~k1B + θ ~j2B + φ~i3B
~i3B = ~iB~j2B = cosφ~jB − sinφ~kB~k1B = cosθ(sinφ~jB + cosφ~kB)− sinθ~iB
~ω = ψ~k1B + θ ~j2B + φ~i3B= ψ[cosθ(sinφ~jB + cosφ~kB)− sinθ~iB]+θ[cosφ~jB − sinφ~kB]+ φ~iB
= (φ− ψ sinθ)~iB + (ψ cosθ sinφ+ θ cosφ)~jB++ (ψ cosθ cosφ− θ sinφ)~kB
5
Velocidade angular (3)Logo
( ~ω)B = p~iB + q~jB + r ~kB= (φ− ψ sinθ)~iB + (ψ cosθ sinφ+ θ cosφ)~jB+
+ (ψ cosθ cosφ− θ sinφ)~kB
p = φ− ψ sinθ
q = ψ cosθ sinφ+ θ cosφ
r = ψ cosθ cosφ− θ sinφ
2 Equações de Euler
2.1 Equações do movimento
Equações do movimento no referencial inercialEquação da dinâmica de translação:
~F =m[
ddt(~VE)
]FE
Equação da dinâmica de rotação:
~MC =[
ddt( ~HC)
]FE
• ~F : força resultante
• ~MC : momento resultante relativo ao CM do avião
• ~HC : momento angular relativamente ao CM do avião
Equações do movimento no referencial do aviãoO referencial do avião é um referencial em rotação com velocidade
angular ~ω.
Equação da dinâmica de translação:
(~F)B =m[
ddt(~VE)
]FE=m
[(~VE)B + ( ~ω)B × (~VE)B
]Equação da dinâmica de rotação:
( ~MC)B =[
ddt( ~HC)
]FE=[( ~HC)B + ( ~ω)B × ( ~HC)B
]
6
2.2 Forças aplicadas
Forças aplicadas a uma aeronavePrincipais forças externas aplicadas:
• força gravítica: m(~g)B
• forças aerodinâmicas: ~A
• força de propulsão: ~T
ForçasForça gravítica:
m(~g)B =mg(− sinθ~iB + cosθ sinφ~jB + cosθ cosφ~kB
)Forças aerodinâmicas e de propulsão:
( ~A)B + (~T)B = X~iB + Y ~jB + Z~kB
Notas:
• X, Y e Z dependem das variáveis dinâmicas (~V e ~ω)
• considerar também forças de controlo
2.3 Equações do movimento no referencial do avião
Equação da dinâmica de translação
(~F)B =m[
ddt(~VE)
]FE=m
[(~VE)B + ( ~ω)B × (~VE)B
]
No referencial do avião:
( ~ω)B = p ~iB + q ~jB + r ~kB(~VE)B = uE~iB + vE ~jB +wE~kB
Logo
X −mg sinθ =m(uE + qwE − rvE)
Y +mg cosθ sinφ =m(vE + ruE − pwE)Z +mg cosθ cosφ =m(wE + pvE − quE)
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Equação da dinâmica de rotaçãoEquação da dinâmica de rotação:
( ~MC)B =[
ddt( ~HC)
]FE=[( ~HC)B + ( ~ω)B × ( ~HC)B
]( ~MC)B = L~iB +M ~jB +N ~kB ; [( ~HC)B] = [IB][( ~ω)B]
Matriz de inércia: [IB] = Ixx −Ixy −Ixz−Ixy Iyy −Iyz−Ixz −Iyz Izz
em que Ixx =
∫(y2 + z2)dm, etc.
Ixy =∫xy dm, etc.
Equação da dinâmica de rotação (2)Depois de efectuadas todas as operações, obtém-se:
L = Ixxp − Iyz(q2 − r 2)− Izx(r + pq)− Ixy(q − rp)− (Iyy − Izz)qrM = Iyy q − Izx(r 2 − p2)− Ixy(p + qr)− Iyz(r − pq)− (Izz − Ixx)rpN = Izz r − Ixy(p2 − q2)− Iyz(q + rp)− Izx(p − qr)− (Ixx − Iyy)pq
Resumo das equações do movimentoX −mg sinθ =m(uE + qwE − rvE)
Y +mg cosθ sinφ =m(vE + ruE − pwE)Z +mg cosθ cosφ =m(wE + pvE − quE)
L = Ixxp − Iyz(q2 − r 2)− Izx(r + pq)− Ixy(q − rp)− (Iyy − Izz)qrM = Iyy q − Izx(r 2 − p2)− Ixy(p + qr)− Iyz(r − pq)− (Izz − Ixx)rpN = Izz r − Ixy(p2 − q2)− Iyz(q + rp)− Izx(p − qr)− (Ixx − Iyy)pq
p = φ− ψ sinθ
q = ψ cosθ sinφ+ θ cosφ
r = ψ cosθ cosφ− θ sinφ
Resumo das equações do movimento
• Sistema de equações diferenciais
– 9 equações
– 9 incógnitas (u,v,w,p, q, r ,ψ, θ,φ)
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• Sistema não linear
• Equações acopladas
• Simplificação: aeronave simétrica ⇒ Ixy = 0 = Iyz
2.4 Flight Path
Flight pathA trajectória é determinada no referencial da Terra, FE .
Mas
• ~VEE = (xE, yE, zE)
• ~VEB = (uE, vE,wE)• uE , vE e wE obtidos pelas equações do movimento
• [~VEE ] = [LEB][~VEB ]
Daqui obtém-se o sistema de equações para a trajectória.
Flight pathSistema de equações diferenciais para as coordenadas:
xE = uE cosθ cosψ+ vE(sinφ sinθ cosψ− cosφ sinψ)+wE(cosφ sinθ cosψ+ sinφ sinψ)
yE = uE cosθ sinψ+ vE(sinφ sinθ sinψ+ cosφ cosψ)+wE(cosφ sinθ sinψ− sinφ cosψ)
zE = −uE sinθ + vE sinφ cosθ +wE cosφ cosθ
3 Rotores em movimento
Efeito de rotoresMesmo desprezando os efeitos de elasticidade, um avião não é um
corpo rígido.
Exemplo de partes em movimento:
• Hélices (motores a hélice)
• Turbinas e compressores (motores a jacto)
Como introduzir o efeito dos rotores nas equações de Euler?
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Equações de Euler quando há rotoresSomamos
[( ~HC)B] = [IB][( ~ω)B]+ [~h′B]
• ~h′B : momento angular dos rotores (devido ao seu movimento derotação relativo ao avião).
• [IB][( ~ω)B]: momento angular do avião
e usamos o novo momento angular na equação para a dinâmica derotação:
( ~MC)B =[
ddt( ~HC)
]FE=[( ~HC)B + ( ~ω)B × ( ~HC)B
]
Equações de Euler quando há rotoresLogo, aparecem os seguintes termos adicionais na equação dos mo-
mentos:
Na equação segundo x: qh′z − rh′yNa equação segundo y : rh′x − ph′zNa equação segundo z: ph′y − qh′x
(Nota: admitimos que a velocidade angular dos rotores é constante)
4 Sistemas de eixos do corpo
Sistemas de eixos
• Podemos usar qualquer sistema de eixos solidários com o corpo
• Na prática:
– xz no plano de simetria do avião
– Cx apontando «para a frente»
– Cz apontando «para baixo»
– Cy formando um triedro directo
• Ficam muitas possibilidades de escolha de Cx e Cz
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Sistemas de eixos: Cx linha de sustentação nula
Sistemas de eixos principais de inércia
Vantagens: Ixy = Ixz = Iyz = 0⇒
hx = Ixphy = Iyqhz = Izr
Nota: γ: ângulo de subida (ou de rota)
Sistemas de eixos de estabilidade (xS , yS , zS)Eixo dos x segundo a direcção do vector velocidade.
Vantagens:αx = 0⇒ w = 0
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Novos momentos e produtos de inércia:
IxS = IxP cos2 ε+ IzP sin2 ε
IzS = IxP sin2 ε+ IzP cos2 ε
IxSzS =12(IzP − IxP ) sin 2ε
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