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Estastítica Inferencial - 5º semestre - Caderno Completo
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AVISO
Esse material foi criado a partir do caderno de um aluno do curso de administração.
Sendo assim, não substituirá nenhuma fonte didática como: livros, artigos científicos, etc.
Observação:
O objetivo dessa apresentação é simplesmente ajudar o estudante, nada além disso.
POPULAÇÃO
População é conjunto de elementos sobre
os quais queremos informações.
Ex.: Paulistanos, veículos, cães
abandonados, produtos para vender.
AMOSTRA
Uma parte do conjunto (sub-conjunto) da
população.
Ex.: Moradores da Paulista, raça de cães,
final de placa.
AMOSTRAGEM CONVENIÊNCIA
Os entrevistados são escolhidos por conveniência:
– Menos Confiável
– Baixo Custo
– Boa para obter idéias sobre determinação assunto
– Boa como pesquisa exploratória
EXEMPLO
Grupo de estudantes, de igrejas, membros de organização sociais, lojas de departamentos questionários destacáveis em revistas, entrevistas com “pessoas na rua”.
AMOSTRAGEM JULGAMENTO
São selecionados com base no julgamento do pesquisador, que usando sua experiência, escolhe os elementos a serem incluídos na amostra.
EXEMPLOS
Amostragem por julgamento: Testes de mercado para avaliar o potencial de um novo produto, seleção de distritos eleitorais representativos para uma pesquisa de voto.
AMOSTRAGEM QUOTAS
1º - Classificação da população em termos de propriedades;
2º - Determinação da ´proporção da população para cada característica;
3º - Fixação de quotas para cada entrevistador;
EXEMPLO
Amostragem por quota: Pesquisa sobre o "trabalho das mulheres na atualidade“. Descobrem-se as proporções (%) dessas características na população, como 47% de homens e 53% de mulheres.
Quando n = 50 pessoas, tem-se 23 homens e 27 mulheres. Então o pesquisador receberá uma "quota" para entrevistar 27 mulheres.
AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES
É o processo de
retirada dos elementos
de uma população no
qual cada unidade tem
a mesma oportunidade
de integrar a amostra.
SORTEIO NÃO VICIADO
AMOSTRA
USO DE TABELAS DE
NÚMEROS ALEATÓRIOS
EXEMPLO - AMOSTRAGEM
ALEATÓRIA SIMPLES
Empresa deseja selecionar amostra de 20 trabalhadores de horário integral a partir da população de 500 colaboradores nessa situação.
Associar um código de 3 dígitos a cada colaborador, ordenados por ordem alfabética, de 001 a 500.
Escolher, ao acaso, um dígito de partida na Tabela de Números Aleatórios
Indo da esquerda para a direita, e de cima para baixo, na tabela, selecionar 20 números com 3 dígitos entre 001 e 500, sem pular ou repetir, identificando assim a amostra.
AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA
• Decidir tamanho de amostra N
• Calcular
• Selecionar 1. Item aleatoriamente
• Selecionar os demais itens a partir desse inicial
AMOSTRAGEM ESTRAFICADA PROPORCIONAL
• A população é dividido em 2 ou mais
grupos.
• Aplica-se, em cada grupo, a amostragem
aleatória simples.
AMOSTRAGEM CONGLOMERADO (CLUSTERS)
• População é composta de vários
CLUSTERS representativos.
• Aplica-se AAS nos CLUSTERS
• Combinam-se as amostras em um única
VARIÁVEL DEFINIÇÃO
As variáveis qualitativas pode ser ordinal (possui ordem natural) ou nominal (não possui ordem natural).
As variáveis quantitativas pode ser discreta (assume valores exatos) ou contrários (assume valores aproximados).
Exemplo: População de cães abandonados.
VARIÁVEL
É a característica que queremos estudar.
As variáveis podem ser:
Qualitativa
Os valores são qualidades ou atributos.
Quantitativas
Os valores são quantidade.
EXEMPLOS
Variáveis Qualitativas:
Ordinal – Porte, size
Nominal – raça, cor
Variáveis Quantitativas:
Discreta – Nº de Dentes INTERVALOS ESPECÍFICOS
Contínua – Peso, altura
CLASSIFICAÇÃO EXERCÍCIO
Moradores de uma cidade
Camisetas à venda em uma loja
V. Quant. Discreta: Preço
V. Qual. Nominal: Marca, cor
V. Qual. Ordinal: Tamanho
Alunos desta sala
CARACTERÍSTICA DA
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
• Formato de sino
• Simétrica
• Média, Mediana e Moda iguais.
• A posição é dada pela média, μ.
• A dispersão é dada pela desvio padrão, σ.
• A área total sob a curva é igual a 1
• Do ponto de vista teórico, a distribuição possui amplitude de -∞ à +∞.
ÁREA = 1
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUAS
É a distribuição normal Z , que tem média.
O e desvio-padrão 1.
Qualquer distribuição normal x com média
μ e desvio-padrão o pode ser transformado
em Z através de mudança de variável.
EXEMPLOS
Distribuição Normal
Quanto menor o formato do “sino” maior será a aproximação dos dados
avaliados.
EXEMPLO
• Calcule a probabilidade do valor Z
correspondente à variável aleatória normal
estar entre 0,00 e 1,00, ou seja, P(0,00 < Z <
1,00).
• Esboce o gráfico.
EXERCÍCIO
• X representa o tempo (em segundos) para
fazer o download de uma imagem da
internet. Supondo que X é normal com
média 8,0 e desvio-padrão 5,0.
• Encontre P(x < 8,6)
EXERCÍCIO
• X representa o tempo levado (em
segundos) para fazer o download de uma
imagem da internet.
Supondo que X é normal com média 8,0 e
desvio-padrão 5,0.
• Encontre P(X > 8,6).
RESOLUÇÃO
P(x > 8,6) = P(Z >0,12) = 1 – P(Z < 0,12)
P(x > 8,6) = P(Z >0,12) = 1 – 0,5478 = 0,4522
0,5478
EXERCÍCIO
O tempo gasto no exame vestibular de uma
universidade tem distribuição Normal, com
média 120 min. e desvio padrão 15 min.
a) Sorteando um aluno ao acaso, qual é a
probabilidade que ele termine o exame antes de
100 min.
Considere X com o tempo gasto no exame
vestibular.
CONTINUAÇÃO
O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade tem distribuição Normal, com média 120 min. e desvio padrão 15 min.
b) Qual deve ser o tempo de prova de modo a permitir que 95% dos vestibulandos terminem no prazo estipulado?
CONTINUAÇÃO
O tempo gasto no exame vestibular de
uma universidade tem distribuição Normal,
com média 120 min. e desvio padrão 15
min.
c) Qual é o intervalo central de tempo, tal
que 90% dos estudantes gastam para
completar o exame?
ESTIMAÇÃO POR PONTOEXEMPLO
Usando os dados da EAI, calculamos a
média e o desvio padrão correspondentes
aos dados de salário anual.
ESTIMAÇÃO POR PONTOEXEMPLO
• 1500 dos 2500 gerentes concluíram o programa de treinamento. Se admitirmos que p denota a proporção da população que concluiu o programa de treinamento, temos:
• O salário médio anual da população ( =$51800), o desvio padrão ( =$4000) e a proporção da população que concluiu o treinamento (p=0,60) são parâmetros característicos da população de gerentes da EAI.
EXEMPLO II
• Suponha que as informações necessárias sobre todos os gerentes do
EAI não estivessem prontamente disponíveis no banco de dados da
empresa. Como o diretor de pessoal da empresa pode obter
estimativas dos parâmetros populacionais usando uma amostra de
gerentes em vez de todos os 2500 gerentes da população?
• Para selecionar uma AAS:
– 1º. Atribuir números de 1 a 2500 aos gerentes
– 2º. Consultar tabela de números aleatórios ou usar programa para obter
número aleatório (EXCEL, etc.)
– 3º. Repetir o cálculo da média, desvio padrão e da proporção para
amostra.
EXEMPLO II
• Resumo das estimações por ponto obtidas
de uma amostra aleatória simples de 30
gerentes da EAI
EXERCÍCIO III
Os dados a seguir são de uma amostra
aleatória simples:
5 8 10 7 10 14
• Qual é a estimação por ponto da
média da população?
EXERCÍCIO
Uma AAS dos dados de cinco meses de venda forneceu a seguinte informações:
a) Desenvolva uma estimação por ponto do número médio de unidades da população vendidas por mês.
b) Desenvolva a estimação por ponto do desvio padrão da população?
A
CALCULANDO NA HP12C
F FIN
94∑+
100∑+
85∑+
94∑+
92∑+
g 0 ( x ) = 93
CALCULANDO NA HP12C
F FIN
Nº ∑+
Nº ∑+
Nº ∑+
Nº ∑+
Nº ∑+
g 0 ( x ) = Média
B
CALCULANDO NA HP12C
F FIN
Nº ∑+
Nº ∑+
Nº ∑+
Nº ∑+
Nº ∑+
g 0 ( x ) = Média
g ∑+ ( ∑- ) = Desvio Padrão
CALCULANDO NA HP12C
F FIN
94 ∑+
100 ∑+
85 ∑+
94 ∑+
92 ∑+
g 0 ( x ) = 93
g ∑+ ( ∑- ) = 5,38
Anote o valor do DESVIO PADRÃO, pois a calculadora exibirá por alguns segundos.
EXERCÍCIO
Uma pergunta de uma pesquisa realizada com uma amostra de 150 indivíduos produziu 75 respostas “sim”, 55 respostas “não” e 20 respostas “sem opinião”.
a) Qual é a estimação por ponto da proporção da população que respondeu Sim?
b) Qual é a estimação por ponto da proporção da população que respondeu Não?
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAIS PROPRIEDADES
O valor esperado para a média das amostras é igual média das população
μx = μ
μx = Valor esperado para a média da amostra
μ = Média da População
Quando o valor esperado de um estimador por ponto for igual ao parâmetro populacional, dizemos que o estimador do ponto é sem viés
DESVIO PADRÃO DAS MÉDIAS
DAS AMOSTRAS
Use a seguinte expressão para calcular DESVIO PADRÃO das médias das amostras:
Sempre que:
– A população for infinita (não consigo “mensurar”)
– A população for finita e o tamanho da amostra for MENOR ou IGUAL a 5% do tamanho da população, ou seja, n/N = 0,05
MAIOR QUE 5%
Caso não o problema utilize premissas diferentes
destas:
– A população for infinita
– A população for tinta e o tama:nho da amostra for ou
igual a 5% do tamanho da população, ou seja, n/N = 0,05
Utilize a fórmula abaixo:
EXEMPLIFICAÇÃO
O desvio padrão dos salários anuais da
população de 2500 gerentes da EAI é 4.000. A
população é finita, com n = 2500. O tamanho da
amostra, 30, é menor que 5% do tamanho da
população, logo podemos ignorar o fator de
correção para populações finitas e usar:
EXEMPLIFICAÇÃO
Como o resultado é finito e o tamanho da amostra é MENOR que 5%.
População = 2500
Amostra = 30
A partir do resultado dos dados acima, optaremos por essa fórmula:
Dados: 30/2500 = 0,012
EXEMPLIFICAÇÃO
1500 dos 2500 gerentes concluíram o
programa de treinamento. Admitindo que
p denota a proporção da população que
concluiu o programa de treinamento. Qual
o valor esperado de P?
EXEMPLIFICAÇÃO ERRO PADRÃO DA PROPORÇÃO AMOSTRAL
A proporção da população de 2500 gerentes que
participaram do programa de treinamento gerencial é P =
0,60.
Dada uma amostra com tamanho 30, qual o erro padrão da
proporção P ?
O tamanho da amostra, 30, é menor que 5% do tamanho
da população, logo podemos ignorar o fator de correção
para populações finitas e usar.
EXERCÍCIO
Você escreve os valores da população [1, 3, 5, 7] em pedaços de papel e os coloca em uma caixa.
Você seleciona dois papéis aleatoriamente, com substituições.
a) Liste todas as amostras possíveis de tamanho n = 2 e calcule a média de cada.
b) Represente essas médias que formam a distribuição amostra de média das amostras em um histograma.
c) Encontre a média e o desvio padrão da média das amostras. Compare seus resultados com a média μ=4 e desvio padrão 2,236 da população.
EXERCÍCIO
Em certa semana o preço médio da gasolina na
Califórnia foi de US$ 1,164 por galão. Qual é a
probabilidade de que o preço médio em uma
amostra de 38 postos esteja entre US$ 1,169 e
US$ 1,179?
Admita que o desvio padrão seja de US$ 0,049.
EXEMPLO
O presidente da Doerman Distributors acredita
que 30% das encomendas feitas à firma são
provenientes de clientes que compram pela
primeira vez. Uma AAS de 100 pedidos será
usada para estimar a proporção de clientes que
compram pela primeira vez. Supondo que o
presidente esteja correto e p=30.
Qual é o erro padrão de p ?
BINOMIAL PROPRIEDADES
• O experimento consiste em uma sequência de n ensaios idênticos
• Dois resultados são possíveis em cada ensaio. Referimo-nos a um como um sucesso e ao outro como um fracasso.
• A probabilidade de um sucesso, p, não se modifica de ensaio para ensaio. A probabilidade de um fracasso (1-p), não se modifica de ensaio para ensaio.
• Os ensaios são independentes.
EXEMPLIFICAÇÃO
Um produto manufaturado pode ser
classificado em perfeito ou defeituoso; a
resposta de um questionário pode ser
verdadeira ou falsa; as chamadas
telefônicas podem ser locais ou
interurbanas.
EXEMPLIFICAÇÃO
Qual é a probabilidade de termos 3 caras
quando uma moeda honesta for lançada 4
vezes?
Distribuição de Probabilidades de Caras no
Lançamento simultâneo de 4 Moedas
honestas.
EXEMPLIFICAÇÃO DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Decida se você pode usar a distribuição normal para aproximar x, o número de pessoas que responderam sim.
a) Para 51% dos adultos nos EUA, a promessa final de ano mais importante foi a de se exercitar mais. Você seleciona aleatoriamente 65 adultos deste grupo e lhes pergunta se a promessa foi cumprida.
Neste experimento binomial, n=65, p=0,51 e q=0,49
EXERCÍCIO
Decida se você pode usar a distribuição normal para aproximar x, o número de pessoas que responderam sim.
b) 15% dos adultos nos EUA não fazem promessa de final de ano. Você seleciona aleatoriamente 15 adultos deste grupo e lhes pergunta se fizeram promessa de final de ano.
BINOMIAIS DISTRIBUIÇÃO
Suponha que o diretor da empresa EAI
queira saber qual a distribuição
AMOSTRAL de P que pode ser
aproximada da pela distribuição normal.
CORREÇÃO DE CONTINUIDADE
Para calcular probabilidades binomiais exatas, pode-se usar a fórmula binomial para cada valor de x e adicionar os resultados.
Geometricamente, isso corresponde a adicionar as áreas das barras no histograma da probabilidade.
Cada barra tem largura de uma unidade e x é o ponto médio do intervalo
CORREÇÃO DE CONTINUIDADE
Quando utilizarmos uma distribuição
normal contínua pata aproximar uma
probabilidade binomial, movemos uma
unidade 0,5 para a esquerda e direita do
centro para incluir todos os valores
possíveis de x do intervalo. Isto chama-se
CORREÇÃO PELA CONTINUIDADE.
EXEMPLIFICAÇÃO
Encontre a probabilidade de se obter entre 3 e 6 caras, inclusive, em 10 lançamentos de uma moeda honesta, usando (a) a distribuição binomial e (b) a aproximação normal para distribuição binomial.
– (a) a distribuição binomial
– X = caras que apareceram em 10 lançamentos
– n = tentativas = 10 lançamentos
– p = probabilidade de sucesso = 0,50
– Q = probabilidade de fracasso = 0,50
RESOLUÇÃO
• (b) a aproximação normal para
distribuição binomial.
Tratando os dados como contínuos, segue
que 3 a 6 caras podem ser consideradas
como 2,5 a 6,5 caras.
ESTIMATIVA INTERVALAR
A estimativa pontual obtida é igual a 12,4
e a margem de erro 2,1. Qual a estimativa
intervalar?
Represente na reta numérica. Interprete o
resultado.
NÍVEL DE CONFIANÇA
O nível de confiança c é a probabilidade
de que o intervalo estimado contenha o
parâmetro populacional.
Pelo teorema do limite central, n>30, a
distribuição de amostragem das médias
amostrais é uma distribuição normal.
EXERCÍCIO
Se c = 90% então 5% da área está à
esquerda de -zc = 1,645 e 5% está à
direita de zc= 1,645.
INTERPRETAÇÃO
Os valores críticos são valores que separam amostras estatísticas que são prováveis das que são improváveis ou incomuns.
MARGEM DE ERRO
Também chamada de erro máximo da estimativa ou tolerância é a maior distância possível entre o ponto de estimativa e o valor do parâmetro que está estimado.
Se n>30 o desvio padrão da amostra s pode ser usado no lugar de σ.
EXERCÍCIO
Pesquisadores de mercado usam o número de frases por anúncio como medida de legibilidade de anúncios de revistas. Tomando uma amostra aleatória do número de frases encontrados em 50 anúncios. Para o nível de confiança de 95%, encontre a margem de erro para a média do número de frases em todos os anúncios de revistas. Interprete o resultado.
EXERCÍCIO
Com 95% de confiança, você
pode dizer que a média
populacional do número de
frases está entre 11,0 e 13,8.
EXERCÍCIO
Considere o intervalo de confiança de 90% construído no exemplo anterior.
Se um número grande amostras for coletado e o intervalo de confiança for criado para cada amostra, ~90% desses intervalos conterão μ.
TAMANHO DA AMOSTRA
Para a mesma amostra estatística, conforme o nível de confiança aumenta, o intervalo de confiança fica mais largo. Conforme o intervalo de confiança fica mais largo, a precisão da estimativa decresce o nível de confiança é aumentar o tamanho da amostra.
Mas, qual tamanho de amostra é necessário para garantir certo nível de confiança para uma margem de erro dada?
TAMANHO DA AMOSTRA
Dado o nível de confiança c e uma margem de erro E, do tamanho mínimo da amostra n necessário para estimar a média populacional μ é:
Se for desconhecido, você estimá-lo usando s, dado que você tenha uma amostra preliminar com pelo menos 30 elementos.
EXERCÍCIO
CONSIDERE O ÚLTIMO EXERCÍCIO
REALIZADO.
Quantos anúncios de revista devem ser
incluídos na amostra se você quer estar
95% confiante de que a média amostral
esteja dentro de uma frase da média
populacional?
EXEMPLO
INTERPRETAÇÃO
Quando necessário, arredonde (para cima) para obter um
número inteiro 97 é o número mínimo de anúncios de revista
para serem incluídos na amostra.
MENCIONA NO EXERCÍCIO
DISTRIBUIÇÃO t
Nas situações reais o desvio padrão da população é desconhecido. Limitações, como tempo e custo, impedem a coleta de amostras com o tamanho 30 ou mais. Emprega-se nesta caso, a distribuição t.
DEFINIÇÃO
Se n<30 e a distribuição de uma variável aleatório x for aproximadamente normal, então a distribuição t é:
DISTRIBUIÇÃO t
• É uma família de curvas determinada pelos graus de liberdade (g.I).
As caudas na distribuição t são “mais grossas” do que aquelas na distribuição normal padrão.
• Depois de 30 g.I., a distribuição t está muito próxima à distribuição normal padrão z.
EXEMPLO DISTRIBUIÇÃO t
Encontre o valor crítico tc para uma
confiança de 95% quando o tamanho da
amostra é 15.
EXEMPLO DISTRIBUIÇÃO t
Pela tabela, tc = 2,145. No gráfico temos a
distribuição t para 14 graus de liberdade,
c = 0,95 e tc = 2,145
EXEMPLO DISTRIBUIÇÃO t
INTERPRETAÇÃO:
95% da área sob a
curva da distribuição t
com 14 graus de
liberdade está entre
t= + 2,145.
EXEMPLO DISTRIBUIÇÃO t
Encontre o valor crítico tc para uma
confiança de 90% quando o tamanho da
amostra é 22.
a) Identifique os graus de liberdade
b) Identifique o nível de confiança c
c) Use a tabela para encontra tc
DISTRIBUIÇÃO QUI-QUADRADO
Distribuição:
A estimativa pontual para σ² e s² e a estimativa
pontual σ e s.
Se a variável x tem distribuição normal, então a
distribuição de:
HIPÓTESE ESTABELECENDO
A Hipótese nula H0 contém uma
afirmação de igualdade, tal como ≤, = ou ≥.
A Hipótese alternativa Ha é o
complemento da hipótese nula. É uma
afirmação que deve ser verdadeira se H0
for falsa e contém uma afirmação de
desigualdade estrita, tal como, >, ≠ e <.
HIPÓTESE EXEMPLO
Escreva a afirmação como uma sentença
matemática. Afirme as hipóteses nula e
alternativa e identifique qual representa a
afirmação.
– Uma universidade pública alega que a
proporção de seus estudantes que se
graduaram em 4 anos é de 82%.
HIPÓTESE EXEMPLO
Escreva a afirmação como uma sentença
matemática. Afirme as hipóteses nula e
alternativa e identifique qual representa a
afirmação.
– Um fabricante de torneiras anuncia que o
índice médio de fluxo de água de certo tipo
de torneira é menor que 11 litros por minuto.
HIPÓTESE EXERCÍCIO
Escreva a afirmação como uma sentença matemática. Afirme as hipóteses nula e alternativa e identifique qual representa a afirmação.
– Uma indústria de cereais
anuncia que o peso médio dos conteúdos de suas caixas de 0,57 kg de cereal é mais do que 0,57 kg.
TIPOS DE ERRO
Erro tipo I ocorre se a hipótese nula for
rejeitada quando é verdadeira.
Erro tipo II ocorre se a hipótese nula não for
rejeitada quando é falsa.
HIPÓTESE EXEMPLO
O limite para contaminação por
salmonela por frango é 20%. Um
inspetor de carnes reporta que o frango
produzido por uma empresa excede o
limite. Você realiza um teste de
hipóteses para determinar se a
afirmação do inspetor de carne é
verdadeira. Quando irá ocorrer um erro
tipo I ou tipo II? Qual é mais sério?
HIPÓTESE RESOLUÇÃO
Erro tipo I ocorre se a proporção real de frango contaminado for ≤ 0,2, mas H0 foi rejeitada.
Erro tipo II ocorre se a proporção real de frango contaminado for > 0,2, mas H0 não foi rejeitada.
O erro do tipo II é mais sério, pois pode resultar em doenças ou mortes causadas pelos frangos contaminados que foram comprados pelo consumidor.
NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA
Em um teste de hipótese, o nível de significância é sua probabilidade máxima permissível para cometer um erro tipo I. Ele é denotado por α.
Níveis de significância comumente usados:
α = 0,10 α = 0,05 α = 0,01
Embora o controle de um erro do tipo II em testes de
hipóteses não seja comum, ele pode ser feito. A probabilidade de um erro do tipo II é denotada por β.
VALOR P
Se H0 for verdadeira, um valor P (ou valor de probabilidade) de um teste de hipótese é a probabilidade de se obter uma estatística amostral com valores tão extremos ou mais extremos do que aquela determinada a partir dos dados da amostra.
Uma maneira de se decidir se rejeitamos a H0 é determinar se a probabilidade de se obter uma estatística de teste padronizada é menor que o nível de significância.
TESTE UNICAUDAL À ESQUERDA
EXEMPLO
Se a hipótese alternativa Ha contém o
símbolo menos que (<), o teste de
hipótese será um teste unicaudal à
esquerda.
TESTE UNICAUDAL À DIREITA
EXEMPLO
Se a hipótese alternativa Ha contém o
símbolo maior que (>), o teste de
hipótese será um teste unicaudal à
direita.
TESTE BICAUDAL
Se a hipótese alternativa Ha contém o
símbolo de não igualdade (≠), o teste de
hipótese será um teste bicaudal. Cada
cauda tem uma área de ½ p.
TESTE EXERCÍCIO
Para a afirmação dada estabeleça H0 e Ha.
Determine se o teste de hipótese é unicaudal à
esquerda, à direita ou bicaudal. Descreva uma
distribuição de amostragem normal e sombreie
a área para o valor P.
Uma universidade pública que a proporção de
seus estudantes que se graduaram em 4 anos é
82%.
TESTE - VALOR P
Para usar um valor P para chegar a uma conclusão em um teste de hipótese, compare o valor P com α.
– 1. Se P ≤ α, então rejeito H0.
– 2. Se P > α, então falhe em rejeitar H0.
Falhar em rejeitar a H0 não significa que você tenha aceitado a hipótese nula como verdadeira. Diz apenas que não há evidência suficiente para rejeitar a H0.
TESTE EXERCÍCIO
O valor P para o teste de hipótese é P=0,0237. Qual sua decisão se o nível de significância é α = 0,05 e α = 0,01?
– Como 0,0237 ≤ 0,05, então rejeito H0. REJEITA H0
– Como 0,0237 > 0,01, então falho ao rejeitar H0.
FALHA EM REJEITA H0
Quanto menor o valor de P, mais evidência há a favor da rejeição de H0. O valor de P fornece a você o menor nível de significância para o qual a estatística da amostra permite que você rejeite a H0.
TESTE EXERCÍCIO
Em um anúncio, uma pizzaria afirma que
a média de seu tempo de entrega é menor
que 30 minutos. Uma seleção aleatória de
36 tempos de entrega tem média amostral
de 28,5 minutos e desvio padrão de 3,5
minutos. Há evidência suficiente para
apoiar a firmação em α = 0,01? Use um
valor P.
TESTE RESOLUÇÃO
No nível de significância de 1%, há evidência suficiente
para concluir que a média do tempo de entrega é < 30
minutos.
TESTE RESOLUÇÃO
Depois de determinar a estatística do
teste padronizada do teste de hipótese e a
área correspondente da estatística do
teste, realize um dos passos a seguir para
encontrar o valor P.
TESTE EXERCÍCIO
Em um anúncio, uma pizzaria afirma que
a média de seu tempo de entrega é menor
que 30 minutos. Uma seleção aleatória de
36 tempos de entrega tem média amostral
de 28,5 minutos e desvio padrão de 3,5
minutos. Há evidência suficiente para
apoiar a firmação em α = 0,01? Use um
valor P.
TESTE RESOLUÇÃO
No nível de significância de 1%, há evidência suficiente
para concluir que a média do tempo de entrega é < 30
minutos.
REGRA DE DECISÃO
DEFINIÇÃO
Para usar um valor P para chegar a uma
conclusão em um teste de hipótese, compare o
valor P com α.
– Se P < α, então rejeitar H0
– Se P > α, então falhe em rejeitar H0
EXEMPLO
Em um anúncio, uma pizzaria afirma que
a média de seu tempo de entrega é menor
que 30 minutos. Uma seleção aleatória de
36 tempos de entrega tem média amostral
de 28,5 minutos e desvio padrão de 3,5
minutos. Há evidência suficiente para
apoiar a firmação em α = 0,01?
Use um valor P.
RESOLUÇÃO
No nível de significância de 1%, há evidência suficiente para
concluir que a média do tempo de entrega é < 30 minutos.
EXEMPLO
Você acha que a afirmação do investimento médio da franquia mostrada no gráfico é incorreta, então você seleciona aleatoriamente 30 franquias e determina o investimento necessário para cada.
A média amostral de investimento é $135.000 com desvio padrão de $30.000. Há evidência suficiente para apoiar sua afirmação em α = 0,05. Use um valor P.
REJEIÇÃO
Uma região de rejeição (ou região
crítica) da distribuição amostral é a
amplitude de valores para a qual a
hipótese nula não é provável. Se uma
estatística de teste está nessa região, a
hipótese nula é rejeitada. Um valor crítico
z0 separa a região de rejeição de não
rejeição.
EXEMPLO
Encontre o valor crítico e a região de
rejeição para um teste unicaudal à
esquerda com α = 0,01.
EXEMPLO
Encontre o valor crítico e a região de
rejeição para um teste bicaudal à
esquerda com α = 0,05.
REGRA DE DECISÃO BASEADA
NA REGIÃO DE REJEIÇÃO
Se a estatística padronizada z do teste:
– Estiver na região de rejeição, então rejeite H0.
– Não estiver na região de rejeição, então falhe em
rejeitar H0.
EXEMPLO
Funcionários de uma grande firma de
contabilidade afirmam que a média dos
salários dos contadores é menor que a de
seu concorrente, que é $45.000. Uma
amostra aleatória de 30 dos contadores
da firma tem média de salário de $43.500
com desvio padrão de $5.200. Com α =
0,05, teste a afirmação dos funcionários.
RESOLUÇÃO
No nível de significância de 5%, não há evidência suficiente para apoiar a afirmação dos funcionários de que a média < $45.000.
ÁREA = -1,645
Z = -1,579
REGIÃO DE REJEIÇÃO
Uma região de rejeição (ou região
crítica) da distribuição amostral é a
amplitude de valores para a qual a
hipótese nula não é provável. Se uma
estatística de teste está nessa região, a
hipótese nula é rejeitada.
Um valor crítico z0 separa a região de
rejeição de não rejeição.
EXERCÍCIO
Um revendedor de carros usados diz que o
preço médio de um Honda Pilot LX 2005 é de
pelo menos $23.900. Você suspeita que essa
afirmação é incorreta e descobre que uma
amostra aleatória de 14 veículos similares tem
média de preço de $23.000 e desvio padrão de
$1.113. Há evidências suficientes para rejeitar a
afirmação do revendedor em α = 0,05?
Assuma que a população é normalmente
distribuída.
DADOS RELEVANTES
Quando a quantidade é menor que n < 30,
utiliza-se a tabela DISTRIBUIÇÃO T.
No caso desse exercício, estamos
trabalhando com uma amostra de 14
VEÍCULOS.
RESPOSTA
No nível de significância de 5%, há evidência suficiente para rejeitar a afirmação de que a média é de pelo menos $23.900.
EXERCÍCIO
Uma indústria afirma que a média do nível do pH do rio mais próximo é 6,8. Você seleciona 19 amostras de água e mede os níveis de pH de cada uma. A média amostral e o desvio padrão são de 6,7 e 0,24, respectivamente. Há evidência suficiente para rejeitar a afirmação da indústria em α = 0,05?
Assuma que a população é normalmente distribuída.
TESTE DE HIPÓTESE PROPORÇÃO
Um centro de pesquisas declara que
menos de 20% dos usuários de Internet
têm rede sem fio em suas casas. Em uma
amostra aleatória de 100 adultos, 15%
dizem que têm rede sem fio em casa.
Com α = 0,01 há evidências suficientes
para apoiar a declaração do pesquisador?
EXEMPLO
Um fabricante de tacos de golfe afirma que os golfistas podem diminuir seus placares usando os tacos de golfe recém-projetados para ele. Oito jogadores de golfe são escolhidos aleatoriamente e é pedido a cada um que forneça seu mais recente placar. Após usar os novos tacos por um mês, é pedido novamente aos jogadores que forneçam seus placares recentes. Os placares para cada um estão na tabela. Assumindo que os placares são distribuídos normalmente, existe evidência suficiente para apoiar a afirmação do fabricante para α = 0,10?
DADOS
ATENÇÃO
“diminuir placar” significa:
placar antigo > placar novo
d = (placar antigo) – (placar novo)
RESOLUÇÃO
No nível de significância
de 10%, há evidência
suficiente para apoiar a
afirmação do fabricante
de que os placares foram
menores com os novos
tacos de golfe.
EXERCÍCIO
Um legislador estadual quer determinar se seu
índice de desempenho (0-100) mudou do ano
passado para este. A tabela mostra o índice de
desempenho do legislador para 16 eleitores
selecionados aleatoriamente para o ano
passado e para este. Em α = 0,01, há evidência
suficiente para concluir que o desempenho do
legislador mudou? Assuma que os índices de
desempenho são normalmente distribuídos.
DIFERENTE
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