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7/23/2019 Eststica Descritiva Assunto
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ESTATSTICA
Unidade II
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3 MEDIDAS OU PARMETROS ESTATSTICOS
O estudo que fizemos anteriormente diz respeito aoagrupamento de dados coletados e representao grfica dealguns deles. Cumpre agora estudarmos as medidas estatsticas.Esses valores nos daro a imagem sintetizada do comportamentode uma amostra, permitindo que com relativamente poucasinformaes possamos chegar a concluses sobre esta amostraestudada.
Existem basicamente dois grandes grupos de medidasestatsticas. O primeiro grupo formado pelas medidas detendncia central, tambm chamadas de medidas de posio,que informam a magnitude da amostra estudada. Essas medidasnos do uma viso global da amostra sem se ater s caractersticasindividuais de seus elementos.
No entanto, como necessrio que tenhamos ideia dasvariaes dos elementos da amostra em torno de suas medidascentrais, iremos estudar, no mdulo 2, o segundo grupo demedidas estatsticas: as medidas de disperso, tambmchamadas de medidas de variabilidade.
Medidas de posio
Objetivos do mdulo
As medidas de posio ou medidas de tendncia central, comoo prprio nome indica, preocupam-se com definir uma posiocentral da amostra, ou seja, um valor que seja representativo doque tpico da amostra. Iremos trabalhar com as trs principaismedidas deste tipo: a mdia, a mediana e a moda.
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Unidade II
3.1 Mdia
De todas as medidas de posio, a mdia , seguramente,a mais usada. So chamadas de mdias simples quando afrequncia dos diversos valores igual a 1, ou seja, cada valor
aparece uma nica vez na amostra, ou de mdias ponderadas,quando os dados so dotados de certa frequncia.
Existem vrios mtodos diferentes para se calcular as mdias.Iremos nos preocupar com a principal delas, a mdia aritmtica.As demais (geomtrica, quadrtica e harmnica), alm de seremmuito menos utilizadas, seguem os mesmos princpios da mdiaaritmtica, apenas com a utilizao de operaes matemticasdiferentes.
A mdia aritmtica o resultado da soma dos valores detodos os elementos dividido pelo nmero total de elementos, ouseja, pela frequncia total. Em outras palavras, se tivermos umconjunto de valores S ={ x
1, x
2, x
3,x
n}, a mdia aritmtica
deste conjunto ser calculada atravs das frmulas:
X x x x x
Nn=
+ + + +1 2 3 ....
Ou
X x
Ni=
Onde: X a mdia aritmtica; x1,x2,etc. os diversos valores;e N, a quantidade total de elementos da amostra.
Exemplo 1
Calcular a mdia aritmtica dos valores abaixo relacionados:
S={2;5;7;9;10;12;16;18}. Observe que so 8 elementos dediferentes valores, portanto:
X x
NX Xi= =
+ + + + + + + =
2 5 7 9 10 12 16 18
89 9,
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ESTATSTICA
Caso os valores sejam repetidos na amostra, ou seja, se elestiverem uma frequncia diferente de 1 ( x
1 com f
1; x
2 com f
2
e assim por diante), ento a frmula para o clculo da mdiaaritmtica ser:
X x ffi i
i
=
Este ltimo conceito define a mdia ponderada, sendoque, eventualmente, as frequncias podem ser substitudas porpesos que conferem a importncia diferenciada de cada valor.
O exemplo a seguir mostra o clculo para dados noagrupados em classe.
Exemplo 2
Calcular a mdia aritmtica dos valores abaixo relacionados:
Como no exemplo anterior, o clculo da mdia aritmticaconsiste na soma de todos os valores dividida pela quantidadetotal de elementos. Note, porm, que cada um dos valoresda tabela aparece certo nmero de vezes, diferente de 1; porexemplo, o valor 25 aparece 37 vezes, portanto, precisamos
somar 25 com ele mesmo 37 vezes ou, de maneira mais direta,precisamos multiplicar 25 por 37. A coluna C mostra todos osclculos deste tipo. Quando somamos essa coluna, obtemos ovalor 9.491, que corresponde soma de todos os elementos daamostra (193 elementos). Assim, a mdia :
A B C=AxB
Valor FrequnciaSimples
Valor xFrequncia
xi fi xi.fi
25 37 925
42 28 1176
57 54 3078
62 62 3844
39 12 468
ft 193 9491
X x f
fX Xi i
i
= = =
9491
19349 2,
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Unidade II
No caso de dados agrupados em classes, o processo declculo idntico ao anterior, com a diferena de que o valor aser usado o ponto mdio de classe (lembre que j definimosesse valor no mdulo anterior):
xi=pmi
O exemplo a seguir mostra-nos, passo a passo, o clculo damdia aritmtica ponderada para dados agrupados por classes:
Exemplo 3
Dada a tabela de frequncias abaixo, calcular a mdiaaritmtica:
A B C D E=(C+D)/2 F=DxE
Classe Limites de classe Frequnciasimples
Pontomdio de
classe
Frequnciax Pontomdio
li ls fi pmi fi x pmi
1,0 3,0 |------- 414,0 14 208,5 2.919,0
2,0 414,0 |------- 825,0 19 619,5 11.770,5
3,0 825,0 |------- 1.236,0 41 1.030,5 42.250,5
4,0 1.236,0 |------- 1.647,0 53 1.441,5 76.399,5
5,0 1.647,0 |------- 2.058,0 32 1.852,5 59.280,06,0 2.058,0 |------- 2.469,0 27 2.263,5 61.114,5
7,0 2.469,0 |------- 2.880,0 20 2.674,5 53.490,0
8,0 2.880,0 |------- 3.291,0 11 3.085,5 33.940,5
9,0 3.291,0 |------| 3.702,0 8 3.496,5 27.972,0
ft = 225 = 369.136,5
A tabela acima apresenta os valores e clculos necessriospara se determinar a mdia aritmtica para uma amostra queestivermos descrevendo.
As reas sombreadas da tabela mostram os clculosnecessrios para a obteno da mdia aritmtica.
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ESTATSTICA
O uso de uma tabela para estes clculos facilita as operaes declculo, bem como so mais facilmente trabalhadas em computador.
Note que acima ns somamos os valores de todos oselementos da amostra, ficando na seguinte situao: o valor da
soma dos 225 elementos da amostra 369136,5, portanto, amdia aritmtica ser de:
X x f
f X Xi i
i
= = =
369136 5
225 1640 61
,,
importante observar as seguintes propriedades das mdiasaritmticas:
a soma algbrica dos afastamentos (ou desvios ou resduos)
de um conjunto de nmeros tomados em relao mdia nula;
se multiplicarmos ou dividirmos todas as informaes poruma constante, a mdia aritmtica ficar multiplicada oudividida por essa constante;
somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos osvalores de um conjunto de informaes, a mdia aritmticaficar somada ou subtrada dessa constante;
a soma dos quadrados dos desvios tomados em relao mdia aritmtica mnima.
3.2 Mediana
Conceitualmente, definimos mediana como o valor, dentrode um conjunto de valores ordenados, que divide exatamenteesse conjunto em duas metades, com 50% dos valores superiores mediana e 50% inferiores. Evidentemente que essa definioprecisa se adaptar ao nmero N de elementos da amostra:
caso N seja um nmero mpar, a mediana ser o valor doelemento central (chamado de elemento mediano);
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Unidade II
caso N seja um nmero par, a mediana ser a mdiaaritmtica simples dos dois elementos centrais (o elementomediano passa a ser um elemento terico intermedirio).Veja no exemplo abaixo:
Exemplo 1
Dados os dois conjuntos de notas abaixo, de alunos deestatstica, calcule a mediana:
Grupo A = {6,2; 4,2; 8,7; 6,4; 2,8; 9,1; 5,0; 3,9; 7,1}
Para calcular a mediana, necessrio ordenar os dados emordem crescente:
{2,8; 3,9; 4,2; 5,0; 6,2; 6,4; 7,1; 8,7; 9,1}
Como o nmero de elementos impar (N = 9), a medianaser o valor do elemento central (o 5 elemento), ou seja, o valorda mediana ser 6,2.
Poderamos dar uma roupagem mais matemtica ao clculoutilizando as frmulas abaixo, onde E
me o elemento mediano,
e Me, a mediana:
E N
E Eme me me= +
=> = +
=> =1
2
9 1
25
O valor do 5 elemento a mediana:
Me = 6,2
Grupo B = { 8,4; 6,3; 9,2; 4,9; 6,5; 8,0}, ordenando {4,9; 6,3;
6,5; 8,0; 8,4; 9,2}
E N
E Eme me me= +
=> = +
=> =1
2
6 1
23 5,
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ESTATSTICA
Evidentemente, no existe um elemento 3,5. A mediana sera mdia aritmtica entre o valor dos 3 e 4 elementos:
Me x x
Me Me= +
=> = +
=> =3 42
6 5 8 0
27 25
, ,,
Clculo semelhante se far quando trabalhamos comdados agrupados, seja em classes ou no. Primeiro, veremosquando os dados no forem agrupados em classe. Nessecaso, o procedimento semelhante ao feito no exemplo 1,com a diferena de que precisaremos calcular a frequnciaacumulada crescente para permitir localizarmos o elementomediano. O exemplo 2 mostra o clculo em duas situaesdiferentes.
Exemplo 2
Calcular a mediana para os dados relacionados abaixo,relativos ao nmero de filhos por famlia moradora emdeterminada cidade.
Cidade A
Nmero defilhos porfamlia
Quantidade defamlias na cidade
Frequnciaacumuladacrescente
Valor Frequncia simples
xi fi fac
0 15 15
1 18 33
2 12 45
3 8 53
4 5 58
5 3 61
6 1 62
Mais do que 6 1 63Soma 63
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Unidade II
Perceba que o nmero de elementos (N = 63) mpar; logo,o elemento mediano ser o 32:
E Eme me= +
= =63 1
232
O 32 elemento tem o valor 18, isso porque, com os valoresordenados, os 15 primeiros referem-se a famlias com 0 filhos;do 16 ao 33, os valores referem-se a famlias com 1 filho, eassim por diante. Logo, a mediana ser:
Me = 18
Portanto, podemos afirmar que 50% das famlias tm um
filho ou menos, e 50% das famlias tm um filho ou mais.Observe agora esta outra bservao de frequncias relativa
cidade B
Cidade B
Nmero defilhos porfamlia
Quantidade defamlias na cidade
Frequnciaacumuladacrescente
Valor Frequncia simples
xi
fi
fac
0 15 15
1 21 36
2 16 52
3 9 61
4 6 67
5 4 71
6 1 72
Mais do que 6 0 72
Soma 72
Perceba que o nmero de elementos (N = 72) par; logo, oelemento mediano seria o 36,5, que, evidentemente, no existe.
E Eme me= +
= =72 1
236 5,
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ESTATSTICA
O 36 elemento tem o valor 1, e o 37, o valor o valor 2,portanto, o 36,5 seria um valor mdio entre esses dois valores,ou seja, a mediana ser:
E Eme me=
+= =
1 2
2 15,
Portanto, podemos afirmar que 50% das famlias tm menosde 1,5 filho, e 50% das famlias tem mais de 1,5 filho.
O clculo da mediana, quando lidamos com dadosagrupados em classes, mais trabalhoso porque conseguimosdeterminar o elemento mediano e a classe da qual o elementofaz parte, mas no o valor exato da mediana. A maneira de
contornarmos esse inconveniente utilizando os conceitos deinterpolao.
Interpolar significa achar, dentro de uma faixa devalores, aquele valor que melhor corresponde s condiesestabelecidas. No caso do clculo da mediana, o processode interpolao gera a seguinte frmula, que sempre iremosusar:
Me li
E f
f x hMeme ac ant
Me= +
Onde:
Me = Mediana
liMe
= Limite inferior da classe que contm o elementomediano (classe mediana)
Eme= Elemento medianoF
ac ant= Frequncia acumulada crescente at a classe anterior
classe mediana
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Unidade II
fMe
= Frequncia da classe mediana
h = Amplitude da classe mediana
O exemplo 3, a seguir, demonstra o clculo da mediana para
uma distribuio de vendas em R$ agrupadas por classe.
Exemplo 3
Calcular a mediana para a tabela abaixo que apresenta adistribuio de vendas de determinada empresa.
Classesnmero
Vendas mensais em R$Quantidadede meses
FrequnciaacumuladacrescenteValor Frequncia
li ls fi fac
1 R$ 50.000,00 |---- R$ 80.000,00 12 12
2 R$ 80.000,00 |---- R$ 110.000,00 18 30
3 R$ 110.000,00 |---- R$ 140.000,00 27 57
4 R$ 140.000,00 |---- R$ 170.000,00 26 83
5 R$ 170.000,00 |---- R$ 200.000,00 21 104
6 R$ 200.000,00 |---- R$ 230.000,00 18 122
7 R$ 230.000,00 |---- R$ 260.000,00 12 134
8 R$ 260.000,00 |---| R$ 290.000,00 9 143
Total 143
O elemento mediano dado por:
E Eme me= +
=> =143 1
272
O 72 elemento est na 4 classe, que chamamos de classemediana, ou seja, a mediana um valor entre R$ 140.000,00
e R$ 170.000,00. Obteremos o resultado usando a frmula dainterpolao:
Me liE f
fx h xMe
me ac ant
Me
= +
= +
140 000
72 57
2630 000. . ==> =Me 157 307 69. ,
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ESTATSTICA
Portanto, podemos afirmar que 50% das vendas mensaisdessa empresa esto acima de R$ 157.307,69, e 50%, abaixodeste mesmo valor.
3.3 Moda
O conceito de moda mais simples entre as medidasestatsticas. simplesmente o valor que mais vezes se repetenuma distribuio de frequncias, ou seja, aquele dotado demaior frequncia.
O clculo da moda para dados isolados ou para dados noagrupados em classes imediato, decorre de simples observao,como mostra o exemplo 1; j para dados agrupados necessitados,
adotam-se algumas recomendaes feitas por estatsticosrenomados. No exemplo 2, apresentamos um clculo desteltimo tipo de distribuio.
Exemplo 1
Calcular a moda para os conjuntos de dados mostradosabaixo, referentes ao consumo de rolamentos (em unidades) emvrias linhas de produo.
Linha A: {21; 22; 24; 24; 25; 25; 25; 27; 28)
A moda, evidentemente, : Mo=25.
Linha B: {8; 8; 9; 9; 9; 9; 10; 11; 11; 11; 11; 12; 12; 12}
Neste conjunto, temos duas modas: Mo=9 e Mo=11.Chamamos de amostra multimodal.
Linha C: {15; 18; 25; 32; 43; 50; 61}No existe um valor que se repita mais de uma vez. Temos
uma amostra sem moda, ou seja, amodal.
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Unidade II
Linha D
Quantidadede rolamentosconsumidos
Nmero de vezesem que ocorreu
o consumo
xi
fi
Valor Frequncia
8 18
10 25
12 32
13 45
15 28
16 21
17 12
21 8
A moda o valor de maior frequncia, portanto, para a linhaD, teramos Mo=13.
Exemplo 2
Calcular a moda para a distribuio de rendas familiaresapresentada no quadro abaixo:
Classesnmero Rendas familiares mensais em R$
Quantidade demeses
Valor Frequncia
li
ls
fi
1 R$ 650,00 |---- R$ 1.100,00 16
2 R$ 1.100,00 |---- R$ 1.550,00 21
3 R$ 1.550,00 |---- R$ 2.000,00 28
4 R$ 2.000,00 |---- R$ 2.450,00 31
5 R$ 2.450,00 |---- R$ 2.900,00 18
6 R$ 2.900,00 |---- R$ 3.350,00 16
7 R$ 3.350,00 |---- R$ 3.800,00 12Total 142
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ESTATSTICA
Voc pode notar que os valores se repetem mais na classe4 (a frequncia a maior de todas); logo, a moda deve ser umvalor entre R$ 2.000,00 e R4 2.450,00. Mas exatamente qual o valor da moda?
Normalmente, esse clculo poder ser feito por trsrecomendaes diferentes: as frmulas de Czuber, King ePearson, que utilizaremos a seguir.
Recomendao de Czuber
Para utilizarmos a recomendao de Czuber, devemosinicialmente localizar a classe que tem maior frequncia, achamada classe modal. No nosso exemplo, essa classe a de
nmero 4, como j falamos. Em seguida, aplicamos a seguintefrmula:
Mo li f f
f f f f xMo
Mo ant
Mo ant Mo post
= +
+
( )
( ) ( )
Onde:
Mo = Moda
liMo= Limite inferior da classe modal
fMo
= Frequncia da classe modal
fant
= Frequncia da classe imediatamente anterior classemodal
fpost
= Frequncia da classe imediatamente posterior classemodal
h = Amplitude da classe modal
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Unidade II
No nosso exemplo, ficaria:
Mo x Mo R= + ( )( ) + ( )
=> =2 000
31 28
31 28 31 18450 2 103 85. $ . ,
Recomendao de King
Para utilizarmos a recomendao de King, devemosinicialmente localizar a classe que tem maior frequncia, achamada classe modal. No nosso exemplo, essa classe a denmero 4, como j falamos. Em seguida, aplicamos a seguintefrmula:
Mo li ff f
x hMopost
ant post
= ++
Onde:
Mo = Moda
liMo
= Limite inferior da classe modal
fant= Frequncia da classe imediatamente anterior classemodal
fpost
= Frequncia da classe imediatamente posterior classemodal
h = Amplitude da classe modal
No nosso exemplo, ficaria:
Mo x Mo R= ++
=> =2 000
18
28 18450 2 176 09. $ . ,
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ESTATSTICA
Recomendao de Pearson
No caso de Pearson, a recomendao parte de conceitodiferente das anteriores. Baseia-se no uso da mdia e damediana:
Mo=3 x Me 2 x X
Onde:
Mo = ModaMe = MedianaX = Mdia
No nosso exemplo, teramos:Me = R$ 2.094,36
X = R$ 2.123,59
Logo, a moda seria:
Mo=3 x 2.094,36 2 x 2.123,59 => Mo=R$ 2.035,88
Perceba que cada recomendao resultou em valordiferente. Isso ocorre porque so recomendaes que partemde consideraes diferentes. A experincia nos ensina qual amelhor recomendao a se utilizar em cada caso prtico.
O uso de cada uma das medidas de disperso depende dasituao prtica que se apresenta. Adriano Leal Bruni, em suaobra Estatstica aplicada gesto empresarial, apresenta umasrie de vantagens e desvantagens de cada uma delas, as quais
podem ser resumidas no quadro a seguir:
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Unidade II
Medida deposio
Vantagens Desvantagens
Mdia
de fcil compreenso,podendo ser calculadadiretamente usando-secalculadoras apropriadas.
afetada por valores extremosda srie, no representandocom preciso a distribuioem que esses valores ocorremcom frequncia acentuada.
Depende de todos os valoresda distribuio, usando todosos dados disponveis.
necessrio conhecer todosos valores da distribuio.
Evidencia bastanteestabilidade de amostra paraamostra.
A mdia no tem,necessariamente, existnciareal.
Possibilita a manipulao dedados, com clculo de mdiascombinadas.
Pode ser obtida uma mdia denmero fracionrio inexistente,por exemplo, 6,7 alunos.
Pode ser facilmente includaem equaes matemticas.
Mediana
Mesmo que alguns valores dasrie sejam modificados, elapode manter-se inalterada.
Se for determinada a medianados grupos separados, noser encontrada a mediana dogrupo.
Os valores extremos nointerferem no seu resultado;por isso indicada quandoexistem valores discrepantes.
Mesmo que os valores maisaltos ou mais baixos da srieno estejam definidos, elapode ser determinada.
Pode ser utilizada para dados
que tm a possibilidade de serordenados.
Moda
Caso algum valor da srieseja modificado, nonecessariamente a modaalterar.
A moda tem que ternecessariamente um valorreal, j que ela representadapor algum valor da srie.
Os valores extremos nointerferem no seu resultado
Quando utilizada paracalcular distribuies declasse aberta, no podeser determinada a modaempregando algumprocedimento aritmticoelementar.
Pode ser calculada emdistribuies que possuamclasse indeterminada.
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ESTATSTICA
4 MEDIDAS DE DISPERSO
Objetivos
As medidas de disperso completam a informao
contida nas medidas de posio, revelando o afastamentoou desvio dos elementos do valor central. Quanto menorfor a disperso de uma amostra, maior ser a qualidade dainformao contida na medida de posio, ou, em outraspalavras, menor a margem de erro que ser assumidoconsiderando a medida de posio como representante detoda a amostra.
Existem basicamente dois grandes grupos de medidas dedisperso:
medidas de disperso absolutas: levam em conta adisperso propriamente dita;
medidas de disperso relativas: levam em contasimultaneamente uma medida de posio e a medidade disperso correspondente. So teis para efetuarmoscomparaes entre amostras.
O objetivo deste captulo tomarmos contato com ambosos grupos.
4.1 Medidas de disperso absolutas
4.1.1 Amplitude total
A amplitude total (At) j nossa conhecida e a maiselementar das medidas de disperso. extremamente fcil deser calculada, mas de difcil interpretao, em especial quando
os dados extremos so muito grandes ou muito pequenos. Somais utilizadas, portanto, quando as distribuies apresentamcerta homogeneidade.
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Unidade II
Por exemplo, suponha que tenhamos as valorizaes mensaisdas aes de duas diferentes empresas A e B, com os seguintesvalores (em porcentagem):
Empresa A = {21,5; 18,0; 26,3; 32,4; 45,1; 18,6; 37,6}.
Empresa B = {15,3; 19,7; 23,9; 16,7; 25,9; 14,6; 18,9; 25,8}.
As amplitudes seriam, respectivamente, de 45,1 18,0 =27,1% para as aes da empresa A e de 25,9 14,6 = 11,3% paraa empresa B. Em outras palavras, as variaes mximas seriamde 27,1% para as aes da empresa A e de 11,3% para a empresaB. Logo, o risco de oscilao maior para a empresa A do quepara a empresa B.
4.1.2 Desvio mdio
definido como a mdia aritmtica do mdulo1dos desviosdos elementos em relao mdia dos mesmos. Entende-se pordesvio a diferena entre o valor de um elemento da amostrapara a mdia dessa mesma amostra:
di=xi X
Portanto, o desvio mdio ser dado pela frmula:
dmd
N
ii
n
= = 1
O exemplo abaixo deixar mais claro esse processo.
Exemplo 1
Calcular o desvio mdio da amostra {18; 21; 22; 27; 28; 29;32; 37}.
1Define-se mdulo ou valor de um nmero a distncia deste nmeropara zero, independentemente do sinal, ou seja, mdulo de um nmeropositivo e mdulo de um nmero negativo o seu simtrico, isto , o mesmonmero positivo. Para efeito do clculo do desvio mdio, consideramos onmero sempre positivo, seja qual for seu sinal.
5
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ESTATSTICA
O primeiro passo ser calcular a mdia aritmtica dessesvalores e, em seguida, os desvios de cada um dos valores. Depois,somaremos o mdulo desses valores dividindo-os pelo nmerototal de elementos da amostra. O quadro abaixo mostra passo apasso esses clculos:
Ordem doselementos
Valores Desvios Mdulodos desvios
di=x
i X
_|d
i=x
i X
_ |
1 18 18 - 27 = -9 9
2 21 21 - 27 = -6 6
3 22 22 - 27 = -5 5
4 27 27 - 27 = 0 0
5 28 28 - 27 = 1 1
6 29 29 - 27 = 2 2
7 33 33 - 27 = 6 6
8 38 38 - 27 = 11 11
Soma 216 0 40
Mdia ( X_ ) 216/8=27 Desvio mdio (dm) 40/8 = 5
Observe que a soma dos desvios zero, o que evidente.O prprio conceito de mdia (valor equidistante de todos oselementos da amostra) nos conduz a isso. O conceito de desviomdio s tem sentido quando utilizamos o mdulo dos desvios.
Para ficar mais claro, veja abaixo os clculos feitos, utilizando-sedas frmulas informadas:
Clculo da mdia:
X x
NX Xi= = =
216
827
Clculo do desvio mdio:
dmd
N dm dm
ii
n
= => = => == 1 40
8 5
5
10
15
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58
Unidade II
Quando trabalhamos com dados agrupados em classesou no, utilizamos exatamente o mesmo processo de clculo,evidentemente que com alteraes nas frmulas de clculos,introduzindo-se o conceito de frequncia simples, como semostra a seguir:
dmd x f
f
i ii
n
ii
n= =
=
1
1
Observar que para dados agrupados em classes o clculo dosdesvios dado por:
di= p
mi- X
Os exemplos a seguir demonstram esses clculos.
Exemplo 2
Calcular o desvio mdio da amostra de distribuio abaixo,relativa ao nmero de acidentes dirios numa estrada federal.
Distribuio de acidentes por dia - estrada X
Nmero de
acidentesdirios
Dias
pesquisados
Valor x
Frequncia
Desvios Mdulo
dosdesvios
Mdulo
dosdesvios xFrequncia
Valor Frequncia
xi
fi
xi.fi di=x
i X
_|d
i=x
i X
_ | |d
i| x f
i
0 12 0 -3,6 3,6 43,5
1 15 15 -2,6 2,6 39,4
2 28 56 -1,6 1,6 45,6
4 23 92 0,4 0,4 8,6
5 19 95 1,4 1,4 26,1
6 8 48 2,4 2,4 19,08 6 48 4,4 4,4 26,2
10 4 40 6,4 6,4 25,5
11 2 22 7,4 7,4 14,7
12 1 12 8,4 8,4 8,4
Somas 118 428 257,0
Mdia 3,6 Desvio mdio 2,2
5
10
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59
ESTATSTICA
dmd x f
fdm dm
i ii
n
ii
n= => = => ==
=
1
1
257
118 2 2,
Exemplo 3
Calcular o desvio mdio da amostra de distribuio abaixo,relativa ao tempo de mo de obra gasto com a manuteno dosavies de uma empresa area.
Distribuio das horas de manuteno - aero X
Classes Limites declasses
Pontosmdios
declasse
Manutenespesquisadas
Valor xFrequncia
Desvios Mdulo dosdesvios
Mdulo dosdesvios x
Frequncia
Valor Frequncia
li ls pmi f i
pmi.fi di=x
i X
_|d
i=x
i X
_ | |d
i| x f
i
1 0 |--- 3 1,5 26 39 -4,1 4,1 106,0
2 3 |--- 6 4,5 20 90 -1,1 1,1 21,5
3 6 |--- 9 7,5 16 120 1,9 1,9 30,8
4 9 |--- 12 10,5 10 105 4,9 4,9 49,2
5 12 |--| 15 13,5 6 81 7,9 7,9 47,5
Somas 78 435 255,1
Mdia 5,6 Desvio Mdio 3,3
dmd x f
fdm dm
i ii
n
ii
n= => = => ==
=
1
1
2551
78 3 3
,,
4.1.3 Varincia
A definio de desvio mdio leva em considerao os desvios
dos elementos tomados a 1 potncia. Matematicamente,demonstra-se que os efeitos de desvio so mais bem-representados quando tomados ao quadrado. Essa consideraonos leva definio das duas mais importantes medidas de
5
10
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60
Unidade II
variabilidade absolutas: a varincia e o desvio padro queveremos em seguida.
A varincia o somatrio dos desvios tomados ao quadrado,ou seja, basicamente a mesma definio do desvio mdio,
alterando-se apenas a potncia dos desvios:2
Sd
N
ii
n
22
1
1=
=
No caso em que estivermos trabalhando com dadosagrupados, a forma, naturalmente, dever incluir o conceito defrequncia simples, ou seja:
Sd x f
f
i ii
n
ii
n2
2
1
1 1
=
=
=
Os exemplos de 1 a 3 no prximo item mostram o clculo davarincia nos vrios casos possveis.
4.1.4 Desvio padro
O clculo ou a anlise da varincia tem um grandeinconveniente prtico: ela apresenta unidades ao quadradoem relao medida de tendncia central. Por exemplo,suponha que queremos descrever uma amostra de salriosde uma empresa. Poderamos afirmar que o salrio mdio daempresa de 1.340 reais, e a varincia, de 11.025 reais aoquadrado.
Observe a estranheza que causa a unidade: reais ao
quadrado. Sem falar do nmero extravagante que resultoudos clculos. Para contornar esse problema, define-se a maisutilizada das medidas de variabilidade: o desvio padro.
2Observe tambm uma alterao no denominador da frmula; aoinvs de N, N-1. Essa alterao importante quando tratarmos dos assuntosrelativos estimao estatstica (em Estatstica para Administradores). Arigor, utilizaremos a frmula acima para amostras e a mesma frmula comdenominador igual a N para populaes.
5
10
15
20
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61
ESTATSTICA
Conceitualmente, o desvio padro a raiz quadrada davarincia e simbolizado pela letra S maiscula. Dessa forma, calculado pelas frmulas
Sd
Nii
n
= =
2
11
para dados isolados e
Sd x f
f
i ii
n
ii
n=
=
=
2
1
1 1
para dados agrupados em classes ou no.
Nos exemplos de 1 a 3 a seguir, so calculados os valoresdo desvio padro e da varincia, de maneira semelhante aoque foi feito anteriormente para o desvio mdio. Observeque o clculo segue os seguintes passos em ambos oscasos:
1. Calcular a mdia da distribuio.
2. Calcular os desvios de cada elemento.
3. Calcular o quadrado dos desvios.
4. Somar o quadrado dos desvios (usando o conceito defrequncia caso sejam dados agrupados).
5. Dividir a soma obtida pelo nmero de elementos menos 1,
obtendo-se a varincia.6. Extrair a raiz quadrada, obtendo-se o desvio padro.
5
10
15
20
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62
Unidade II
Exemplo 1
Calcular a mdia e o desvio padro da amostra {18; 21; 22;27; 28; 29; 32; 37}.
Ordem doselementos
Valores Desvios Desvios aoquadrado
xi
di=x
i X
_d
i2
1 18 18 - 27 = -9 81
2 21 21 - 27 = -6 36
3 22 22 - 27 = -5 25
4 27 27 - 27 = 0 0
5 28 28 - 27 = 1 1
6 29 29 - 27 = 2 4
7 33 33 - 27 = 6 36
8 38 38 - 27 = 11 121
Soma 216 0 304
Mdia ( X_ ) 216/8=27
Varincia 304/7 = 43,4
Desvio padro 6,6
Clculo da mdia:
X x
N
X Xi= = = 216
8
27
Clculo da varincia:
Sd
N S S
ii
n
22
1 2 2
1
304
8 1 43 4=
=> =
=> ==
,
Clculo do desvio padro:
Sd
N S S S
iin
22
1
1
304
8 1 43 4 6 6=
=> =
=> = => == , ,
5
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63
ESTATSTICA
Exemplo 2
Calcular a varincia e o desvio padro da amostra dedistribuio abaixo, relativa ao nmero de acidentes diriosnuma estrada federal.
Distribuio de acidentes por dia - Estrada X
Nmero deacidentes
dirios
Diaspesquisados
Valor xFrequncia
Desvios Quadradodos
desvios
Quadradodos desvios
xFrequncia
Valor Frequncia
xi
fi
xi.fi di=x
i X
_d
i2 d
i2 x f
i
0 12 0 -3,6 13,2 157,9
1 15 15 -2,6 6,9 103,5
2 28 56 -1,6 2,6 74,1
4 23 92 0,4 0,1 3,25 19 95 1,4 1,9 35,8
6 8 48 2,4 5,6 45,0
8 6 48 4,4 19,1 114,7
10 4 40 6,4 40,6 162,5
11 2 22 7,4 54,4 108,7
12 1 12 8,4 70,1 70,1
Somas 118 428 875,6
Mdia 3,6 Varincia 7,5
Desvio Mdio 2,7
Clculo da varincia:
Sd x f
fS S
i ii
n
ii
n2
2
1
1
2 2
1
875 6
118 1 7 5=
=> =
= ==
=
,,
Clculo do desvio padro:
Sd x f
fS S S
i ii
n
ii
n=
=> =
=> = => ==
=
21
1 1
875 6
118 17 5 2 7
,, ,
5
7/23/2019 Eststica Descritiva Assunto
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Unidade II
Exemplo 3
Calcular o desvio padro da amostra de distribuio abaixo,relativa ao tempo de mo de obra gasto com a manuteno dosavies de uma empresa area.
Distribuio das horas de manuteno - Aero X
Classes Limites declasses
Pontosmdios de
classe
Manutenespesquisadas
Valor xFrequncia
Desvios Quadradodos desvios
Quadradodos desvios xFrequncia
Valor Frequncia
li ls pmi f i
pmi.fi di=x
i X
_d
i2 d
i2 x f
i
1 0 |--- 3 1,5 26 39 -4,1 16,6 432,2
2 3 |--- 6 4,5 20 90 -1,1 1,2 23,2
3 6 |--- 9 7,5 16 120 1,9 3,7 59,2
4 9 |--- 12 10,5 10 105 4,9 24,2 242,45 12 |--| 15 13,5 6 81 7,9 62,8 376,7
Somas 78 435 1133,5
Mdia 5,6 Varincia 14,7
Desvio Padro 3,8
Clculo da varincia:
S
d x f
f S S
i ii
n
ii
n
22
1
1
2 2
1
1133 5
78 1 14 7= => = => ==
=
,
,
Clculo do desvio padro:
Sd x f
fS S S
i ii
n
ii
n=
=> =
=> = => ==
=
21
11
11335
78 114 7 3 8
,, ,
O desvio padro a mais utilizada medida de disperso,e, quando relacionada com a mdia, informa a quantidade deelementos da amostra ou da populao que se situam em tornoda mdia.
5
10
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65
ESTATSTICA
O mais comum, na estatstica, que essa relao entremdia e desvio padro seja feita pela chamada distribuionormal, qual ns voltaremos na disciplina de Estatstica paraAdministradores. Nessa relao, vlida na maior parte dos casosprticos, seguem-se os seguintes intervalos:
1. Entre a mdia maisuma vez o desvio padro e a mdiamenosuma vez o desvio padro, esto contidos 68% doselementos da amostra ou da populao.
2. Entre a mdia maisduas vezes o desvio padro e a mdiamenosduas vezes o desvio padro, esto contidos 85%dos elementos da amostra ou da populao.
3. Entre a mdia maistrs vezes o desvio padro e a mdiamenostrs vezes o desvio padro, esto contidos 99,74%dos elementos da amostra ou da populao.
4. Entre a mdia maisquatro vezes o desvio padro e a mdiamenosquatro vezes o desvio padro, esto contidos 100%dos elementos da amostra ou da populao.
Exemplo: um estudo estatstico com 4.850 alunos deAdministrao da Produode uma universidade mostrou
que a nota final mdia deles foi de 5,3 com desvio padrode 1,2. Quantos alunos tiveram mdias finais entre 4,1 e6,5?
Observe que as notas 4,1 e 6,5 correspondem exatamente mdia menos um desvio padro (5,3 1,2 = 4,1) e mdia maisum desvio padro (5,3 + 1,2 = 6,5). Portanto, 68% dos alunosesto contidos nesse intervalo, ou seja: 68% de 4.850 so 3.280alunos.
Podemos, portanto, afirmar que 3.280 alunos tiveram notasentre 4,1 e 6,5.
5
10
15
20
25
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66
Unidade II
4.2 Medidas de disperso relativas
A maneira mais comum de se informar de maneira sinttica(resumida) dados quantitativos atravs de uma medida deposio (mdia, mediana ou moda) em conjunto com uma
medida de disperso absoluta (desvio mdio, varincia ou desviopadro). O mais comum o par de informaes: mdia - desviopadro.
Frequentemente, no entanto, interessante utilizar aschamadas medidas de disperso relativas, que analisamsimultaneamente uma medida de posio e a medida dedisperso correspondente. So especialmente interessantesessas medidas quando fazemos comparaes entre amostrasdiferentes.
A rigor, podemos obter essas medidas, costumeiramentechamadas de coeficientes de variao, dividindo uma medidade disperso por uma medida de posio; no entanto, as maiscomuns so:
1. Coeficiente de variao de Pearson: diviso do desviopadro pela mdia:
Cv SX
Cv SX
p p= = ou 100
2. Coeficiente de variao de Thorndike: diviso do desviopadro pela mediana:
Cv S
MeCv
S
Mep p= = ou 100
O exemplo a seguir mostra uma aplicao dos coeficientesde variao, num caso de ordem prtica.
5
10
15
20
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67
ESTATSTICA
Um especialista estudou, estatisticamente, dois tipos deinvestimentos, chegando s concluses do quadro abaixo. Qual o investimento que apresenta menor risco?3
Estatsticas
Aplicaes
ObservaesX Y
Retornoesperado 12% 20%
O especialista teria chegado a essasconcluses atravs de um estudo estatstico
no qual pesquisou e resumiu os retornosocorridos no passado, conforme vimos no
item 3.1
Desvio padro 9% 10% Analogamente, o especialista teria calculado odevio padro conforme vimos no item 4.1.4
Observe que se o especialista comparasse as aplicaessomente com base em seus desvios padres, ele preferiria
a aplicao X, uma vez que essa aplicao tem um desviopadro menor que Y (9% versus 10%). Essa comparaoseria baseada no fato de que, sendo mais homogneaa aplicao A, daria menos sustos. No entanto, se elecalculasse e comparasse os coeficientes de variao,chegaria a concluses diferentes:
EstatsticasAplicaes
X Y
Retorno esperado 12% 20%Desvio padro 9% 10%
Coeficiente de variaode Pearson 75% 50%
Cv Cvpa pa= =9
1275x 100=> %
Cv Cvpb pb= =1020
50x 100=> %
3 Adaptado de GITMAN, Lawrence J. Princpios de administraofinanceira. So Paulo: Harbra, 2003.
5
10
7/23/2019 Eststica Descritiva Assunto
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Unidade II
A comparao dos coeficientes de variao das aplicaesmostra que o especialista estaria cometendo um erro sriose escolhesse a aplicao X em vez de a aplicao Y, j que adisperso relativa, ou risco, das aplicaes, conforme refletidano coeficiente de variao, menor para o ativo Y do que para
o X (50% versus75%). Evidentemente, o uso do coeficiente devariao para comparar o risco da aplicao melhor porqueeste tambm considera o tamanho relativo, ou retorno esperado,das aplicaes.
4.3 Relaes grficas entre as medidasestatsticas
Nos estudos e anlises estatsticos, interessante e
importante visualizar as informaes contidas nos dadosatravs do uso dos diversos grficos, assunto esse de quetratamos no mdulo 2.
Quando utilizamos os histogramas, facilmenteperceptvel que as frequncias dos valores mais centraistendem a ser maiores que as dos valores extremos. Essecomportamento nos permitir concluses importantes nocaptulo da estatstica indutiva, porque, via de regra, ocorrede modo repetitivo.
Observaes do padro de comportamento das distribuiesmostram que grande parte delas tende a se apresentar damaneira conhecida como distribuio normal.
A figura 1 mostra o comportamento estatstico de umadistribuio de frequncias relativa aos pesos de um grupode pessoas qualquer. Observe que os pesos prximos damdia tm maior frequncia, e o longe da mdia, menor.
Observe tambm a curva que se forma pela distribuio dascolunas.
5
10
15
20
25
7/23/2019 Eststica Descritiva Assunto
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ESTATSTICA
Figura 1 - Pesos corporais
30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105
Peso em quilos
Frequnciasimples
40
35
30
25
20
15
10
5
0
No curso de Estatstica para Administradores, iremosretornar ao assunto, quando diremos, por exemplo, que poucoprovvel uma pessoa adulta ter peso acima de 100 kg ou abaixode 35 kg, e utilizaremos essa curva para determinar qual essa
probabilidade, se houver.
Por ora, iremos nos preocupar com a variao de formatosdesse tipo de curva, chamada de curva normal, ou curva deGauss ou, ainda, de curva do sino. Em teoria, espera-se que essacurva tenha comportamento mostrado nas curvas desenhadasem linha contnua nas figuras 2 e 3.
Mas na prtica ocorrem deformaes nessas curvas,demonstradas nas curvas pontilhadas das mesmas figuras. Essasdeformaes so chamadas, respectivamente, de assimetria(figura 2) e curtose (figura 3).
5
10
7/23/2019 Eststica Descritiva Assunto
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70
Unidade II
Figura 2 - Assimetria
Mdia00
Varivel
Frequnciasimples Assimtrica positiva Assimtrica negativa
Simtrica
0
Figura 3 - Curtose
Curva platicrtica
Curva mesocrtica
Curva leptocrtica
Frequnciasimples
Mdia Varivel
4.3.1 Assimetria
A assimetria mede o quanto a distribuio se afasta damdia. Esse afastamento pode ocorrer para a direita ou paraa esquerda, gerando, respectivamente, as assimetrias positiva enegativa.
O grau de assimetria dado, frequentemente, pelo chamado1 coeficiente de Pearson:4
As X MeS
=
4Existem outras medidas de assimetria, alm do 1 coeficiente dePearson.
5
7/23/2019 Eststica Descritiva Assunto
33/38
71
ESTATSTICA
Onde:
As = Coeficiente de assimetriaX = MdiaMe = Mediana
S = Desvio padro
Caso:
As = 0, a distribuio simtrica.
As > 0, a distribuio assimtrica positiva ou direita.
As < 0, a distribuio assimtrica negativa ou esquerda.
Por esse critrio, costuma-se classificar as distribuies daseguinte maneira:
Caso As 1: assimtrica positiva forte.
4.3.2 Curtose
A curtose mede o quanto a distribuio se alonga ou seachata em relao curva terica. A curva terica chamadade mesocrtica; as mais alongadas, de leptocrtica, e as mais
achatadas, de platicrticaO grau de curtose dado, frequentemente, pelo coeficiente:5
k
d x f
f
S
i i
i=
4
4 3
5Existem outros coeficientes de curtose alm do apresentado aqui.
5
10
15
20
7/23/2019 Eststica Descritiva Assunto
34/38
72
Unidade II
Onde:
K = Coeficiente de curtosed
i= Desvios
fi= Desvio Padro
Caso:
K = 0, a distribuio mesocrtica.
K > 0, a distribuio leptocrtica.
K < 0, a distribuio platicrtica.
Exemplo:
O exemplo a seguir demonstra o clculo da assimetria e dacurtose de uma distribuio referente ao consumo de energiaeltrica entre 1.245 famlias de determinada regio.
Observando os clculos da prxima pgina, notamos que adistribuio (e a curva dela decorrente) assimtrica negativafraca, ou seja, ligeiramente deslocada para a esquerda e que platicrtica, ou seja, achatada. A curva teria a aparncia
aproximada abaixo (a curva pontilhada a do exerccio; a cheia, a padro):
Figura 4 - Assimetria e curtose
Mdia Varivel
Frequn
ciasimples
5
10
15
7/23/2019 Eststica Descritiva Assunto
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73
ESTATSTICA
Classes
nmero
Consumo
mensal
porfamilia
Nmerode
famlias
Pontos
mdios
de
classe
Frequncia
acu
mulada
cre
scente
Pontos
mdiosx
Frequncias
Desvios
Desvios
ao
q
uadrado
Desvioao
quadradox
Frequncias
Desvios
aquarta
potncia
Desviosa
quartapotncia
xFrequncias
Valor
Frequncia
li
ls
fi
pmi
fac
pmixf
i
di=xiX_
di2
di2xf
i
di4
di4
xf
i
1
0
|----
50
158
25
158
3.950
-192
36.944
5.837.189
1.364.876.602
215.650.503.107
2
50
|----
100
100
75
258
7.500
-142
20.223
2.022.335
408.984.000
40.898.400.046
3
100
|----
150
112
125
370
14.000
-92
8.502
952.277
72.291.984
8.096.702.259
4
150
|----
200
164
175
534
28.700
-42
1.782
292.180
3.174.048
520.543.855
5
200
|----
250
175
225
709
39.375
8
61
10.623
3.685
644.833
6
250
|----
300
280
275
989
77.000
58
3.340
935.149
11.154.389
3.123.228.929
7
300
|----
350
84
325
1.073
27.300
108
11.619
975.991
134.999.655
11.339.970.993
8
350
|----
400
63
375
1.136
23.625
158
24.898
1.568.577
619.912.976
39.054.517.468
9
400
|----
450
56
425
1.192
23.800
208
43.177
2.417.921
1.864.267.846
104.398.999.377
10
450
|---|
500
53
475
1.245
25.175
258
66.456
3.522.183
4.416.437.760
234.071.201.262
Somatrios
1.245
270.425
18.534.426
657.154.712.129
7/23/2019 Eststica Descritiva Assunto
36/38
74
Unidade II
Clculo da mdia:
X x f
fX Xi i
i
= => = => =
270 425
1245217 2
.
.,
Clculo do desvio padro:
Sd x f
fS S S
i ii
n
ii
n=
=> =
=> = => ==
=
21
11
185344261 245 1
14 899 1. ..
. 222 1,
Clculo da mediana:
- elemento mediano:
E N E Eme me me= + => = + => =1
21 245 1
2623.
- mediana:
Me=li +E -f
f x h=200+
623-534
175 x 50=>Me=Me
me ac ant
Me
2225,4
Clculo da assimetria:
As X Me
SAs As=
=> =
=> =
217 2 225 4
12210 067
, ,
,,
Clculo da curtose:
K
d x f
f
SK K
i i
i= => = => =
4
4 43
657 154 712 129
1245
12213 0 62
. . .
( , ), 55
5
10
7/23/2019 Eststica Descritiva Assunto
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75
ESTATSTICA
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