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Este trabalho tem como objetivo comparar a valor do coeficiente de impacto vertical calculado para pontes rodoviárias de acordo com a NBR 7188:2013, com o acréscimo de esforços obtido quando se comparado com a análise dinâmica da estrutura. Esse coeficiente de impacto nada mais é do que uma majoração dos esforços causados pela carga estática do veículo tipo passando pela estrutura para simular o efeito dinâmico da carga, da massa em movimento e da suspensão dos veículos automotores, procedimento este que é largamente utilizado na pratica da Engenharia Estrutural. Para se fazer essa comparação serão analisadas pontes com diferentes comprimentos de vão em um modelo de elementos finitos para se obter os esforços desejados. A importância desse tema advém da recente atualização da antiga norma NBR 7188:1982 para a versão 2013. Foi analisada a influência que a velocidade, o amortecimento e a passagem consecutiva de veículos tem sobre o fator de amplificação dinâmico da estrutura da ponte. Conclui-se ao fim das análises que o aumento da velocidade e o aumento de veículos passantes amplificam a resposta dinâmica da ponte, por outro lado, o aumento do amortecimento o reduz. Por fim, concluiu-se que os fatores de amplificação dinâmica (FAD) introduzidos pela nova norma brasileira estão a favor da segurança para os casos estudados. Os casos de vãos maiores, nos quais a rigidez da estrutura é menor, por outro lado, não permitem a aplicação do coeficiente de impacto e, portanto, exigem uma análise dinâmica detalhada.
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CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCINCIAS UFPE
TRABALHO DE CONCLUSO DE CURSO
DE ENGENHARIA CIVIL
ESTUDO DO COEFICIENTE DE IMPACTO EM PONTES DE
CONCRETO
Bruno Sampaio Alves
Orientador Prof. Dr. Paulo Marcelo V. Ribeiro
RECIFE
2015
BRUNO SAMPAIO ALVES
ESTUDO DO COEFICIENTE DE IMPACTO EM PONTES DE
CONCRETO
Trabalho de concluso de curso de
graduao apresentado Universidade
Federal de Pernambuco, como requisito
parcial para obteno do grau de Engenheiro
Civil.
rea de concentrao: Engenharia Civil e
Engenharia Estrutural
Orientador: Prof. Dr. Paulo Ribeiro
RECIFE
2015
Catalogao na fonte
Bibliotecria Valdica Alves, CRB-4 / 1260
A474e Alves. Bruno Sampaio
Estudo do coeficiente de impacto em pontes de Concreto. / Bruno Sampaio
Alves. - Recife: O Autor, 2015.
97folhas, Ils. e Tab.
Orientador: Prof. Dr. Paulo Ribeiro.
TCC (Graduao) Universidade Federal de Pernambuco. CTG.
Programa de Graduao em Engenharia Civil, 2015.
Inclui Referncias, Apndices e Anexos.
1. Engenharia Civil. 2. Pontes. 3. Coeficiente de impacto. 4. Recalques. 5. Anlise estrutural. 6. Concreto protendido. I. Ribeiro, Paulo (Orientador). II. Ttulo.
AGRADECIMENTOS
Agradeo inicialmente a toda minha famlia, mas especialmente aos meus pais e meu
irmo por todo o apoio dado durante toda a minha vida para que alcanasse meus
objetivos e crescesse como pessoa.
A todos os amigos do curso de graduao de Engenharia Civil por sempre estarem
presentes e dispostos a ajudar e motivar uns aos outros durante todos estes anos.
A Universidade Federal de Pernambuco (UFPE) por proporcionar uma formao
profissional e humana.
Aos professores do curso de Engenharia Civil pelos ensinamentos passados durante estes
cinco anos de curso.
Ao professor zio da Rocha Arajo da UFPE e professora Eliane Maria Lopes Carvalho
da COPPE pela pacincia, apoio, material de apoio cedido e pelo conhecimento
repassado.
Agradecimento especial ao professor Paulo Marcelo Ribeiro, pela dedicao, pacincia,
convvio e incentivo como professor e orientador.
RESUMO
Este trabalho tem como objetivo comparar a valor do coeficiente de impacto vertical
calculado para pontes rodovirias de acordo com a NBR 7188:2013, com o acrscimo de
esforos obtido quando se comparado com a anlise dinmica da estrutura. Esse
coeficiente de impacto nada mais do que uma majorao dos esforos causados pela
carga esttica do veculo tipo passando pela estrutura para simular o efeito dinmico da
carga, da massa em movimento e da suspenso dos veculos automotores, procedimento
este que largamente utilizado na pratica da Engenharia Estrutural. Para se fazer essa
comparao sero analisadas pontes com diferentes comprimentos de vo em um modelo
de elementos finitos para se obter os esforos desejados. A importncia desse tema advm
da recente atualizao da antiga norma NBR 7188:1982 para a verso 2013. Foi analisada
a influncia que a velocidade, o amortecimento e a passagem consecutiva de veculos tem
sobre o fator de amplificao dinmico da estrutura da ponte. Conclui-se ao fim das
anlises que o aumento da velocidade e o aumento de veculos passantes amplificam a
resposta dinmica da ponte, por outro lado, o aumento do amortecimento o reduz. Por
fim, concluiu-se que os fatores de amplificao dinmica (FAD) introduzidos pela nova
norma brasileira esto a favor da segurana para os casos estudados. Os casos de vos
maiores, nos quais a rigidez da estrutura menor, por outro lado, no permitem a
aplicao do coeficiente de impacto e, portanto, exigem uma anlise dinmica detalhada.
Palavras-chave: Pontes. Coeficiente de impacto. Dinmica das estruturas. Anlise
estrutural. Concreto protendido.
ABSTRACT
This study aims to compare the value of the vertical impact coefficient for bridges
according to the Brazilian code of practice, with the results found when studying the
dynamic analysis of the structure. This impact coefficient is applied to the static loads of
the vehicle type to simulate the dynamic effect of the moving load, the moving mass and
suspension of motor vehicles, a procedure that is widely used in the practice of Structural
Engineering. To make this comparison, a finite element model will be used to analyze
bridges with different lengths in span. The importance of this theme came from the recent
update of the old NBR 7188: 1982 for the 2013 version. The influence that the speed,
damping and consecutive passage of vehicles have on the dynamic amplification factor
of the bridge structure were analyzed. It was concluded, at the end of the analysis, that
the increasing in speed and in the number of vehicles passing through the structure
amplify the dynamic response of the bridge, on the other hand, increased damping reduces
this response. Finally, it was concluded that the dynamic amplification factor introduced
by the new Brazilian code of practice are on the safe side for all cases studied. The case
of long spans in which the structural stiffness is lower, on the other hand, do not allow
the application of the impact coefficient, and, therefore, require a detailed dynamics
analysis.
Keywords: Bridges. Impact coefficient. Structures dynamics. Structural analysis.
Prestressed concrete.
SUMRIO
1. INTRODUO 9
1.1. APRESENTAO DO PROBLEMA 9
1.2. JUSTIFICATIVA 9
1.3. METODOLOGIA 10
1.4. LIMITAES 11
1.5. CONTRIBUIES 11
2. ESTUDO DA ARTE 12
2.1. CONTRIBUIES DE OUTROS AUTORES 12
2.2. ASPECTOS TERICOS DA DINMICA DAS ESTRUTURAS 14
2.2.1. PRINCPIO DE DALEMBERT 14
2.2.2. EQUAO DE MOVIMENTO 15
2.2.3. FREQUNCIA NATURAL 16
2.2.4. MODOS DE VIBRAO 16
2.2.5. TIPO DE EXCITAO 17
2.2.6. AMORTECIMENTO 18
2.2.7. RESPOSTA DINMICA (ANALISE TRANSIENTE) 21
2.2.8. FATOR DE AMPLIFICAO DINMICA 23
2.2.9. RESSONNCIA 23
2.2.10. CONTROLE DE VIBRAES 24
2.2.11. FORMULAO ANALTICA PARA CARGA MVEL SOBRE VIGA 26
2.3. PRESCRIES NORMATIVAS E VECULOS DE CARGA 29
2.3.1. NBR 7187:2003 PROJETO DE PONTES DE CONCRETO ARMADO E CONCRETO PROTENDIDO 29
2.3.2. NBR 7188:2013 CARGA MVEL RODOVIRIA E DE PEDESTRES EM PONTES, VIADUTOS, PASSARELAS E
OUTRAS ESTRUTURAS 29
2.4. NORMAS ESTRANGEIRAS 34
2.4.1. NORMA AMERICANA - AASHTO 34
2.4.2. BRITISH STANDARD 34
2.4.3. EUROCODE 35
2.5. COMPARAO ENTRE NORMAS NACIONAIS E ESTRANGEIRAS 36
3. MODELAGEM NUMRICA DOS EFEITOS DINMICOS EM PONTES 38
3.1. BREVE FUNDAMENTAO DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (MEF) 38
3.2. MATLAB 40
3.3. SCRIPT DO MATLAB 41
4. ESTUDO DE CASO 42
4.1. MODELOS ESTUDADOS 42
4.1.1. AS SEES TRANSVERSAIS DAS PONTES 42
4.1.2. PROPRIEDADES DO MATERIAL CONSIDERADO 44
4.1.3. VELOCIDADE DIRETRIZ 45
4.1.4. MODELO DE CARREGAMENTO 45
4.2. RESULTADOS 45
4.2.1. VALIDAO DO MODELO NUMRICO E ANLISE DA INFLUNCIA DE COMBOIOS 45
4.2.2. ANLISE DE VOS MENORES 55
4.2.3. ANLISE DE VOS MAIORES 60
4.3. DISCUSSES 66
5. CONCLUSES E RECOMENDAES 70
REFERNCIAS 72
ANEXO 1: CRITRIO DO EUROCODE 1 PARTE 2 PARA DEFINIR A NECESSIDADE OU NO DE
ANLISE DINMICA EM PONTES 76
ANEXO 2: ESPECIFICAES DA AASHTO QUANTO A SEO TRANSVERSAL 80
ANEXO 3: ESPECIFICAES DA CALTRANS QUANTO A SEO TRANSVERSAL 81
ANEXO 4: ESPECIFICAES DO LEONHARDT QUANTO A SEO TRANSVERSAL 82
ANEXO 5: ESPECIFICAES DO PFEIL QUANTO A SEO TRANSVERSAL 84
ANEXO 6: SCRIPT TRADUZIDO DO MATLAB PARA CARGA MVEL SOBRE VIGA BIAPOIADA
ELABORADO POR (HGL, 2005) 85
APNDICE A: CRONOGRAMA DE ATIVIDADES 91
APNDICE B: FORMULAO ANALTICA PARA CARGA MVEL APRESENTADA NO MATHCAD
93
9
1. INTRODUO
1.1. Apresentao do problema
De acordo com o Pfeil (1979), denomina-se ponte a obra destinada a transposio de
obstculos continuidade do leito de uma via, tais como rios, braos de mar, vales
profundos, outras vias etc. Quando a ponte tem por objetivo a transposio de vales,
outras vias ou obstculos em geral no constitudos de gua , comumente, denominada
viaduto.
Esse tipo de obra de arte est muito presente nos dias de hoje em todas as partes do mundo.
Essa estrutura, entretanto, de grande complexidade e exige um grande empenho do
engenheiro projetista na sua elaborao, pois sua concepo e seu dimensionamento
exigem muita experincia, competncia e dedicao deste profissional.
No que concerne ao dimensionamento de pontes, diversos tipos de carregamento so
considerados. Entre eles, podemos citar o efeito do vento, temperatura, retrao do
concreto, protenso, entre outros. Dentre esses carregamentos, uma das principais
parcelas responsveis pelos esforos nas pontes diz respeito circulao de veculos sobre
essas estruturas. Diferentemente de outros tipos de solicitaes como a protenso e a
variao de temperatura, esse tipo de carregamento trata-se de um esforo dinmico e
deve ser analisado de forma especfica.
As atuais normas brasileiras para dimensionamento de pontes rodovirias (NBR
7187:2003 e NBR 7188:2013) permitem o clculo dos esforos advindos deste tipo de
carregamento considerando-o de forma esttica e posteriormente majorando-se os
esforos encontrados com o chamado Coeficiente de Impacto. A razo para essa
simplificao dada visto a complexidade exigida pela anlise dinmica.
O trabalho aqui presente tem a finalidade de avaliar quo boa a aproximao feita
utilizando o coeficiente de impacto em comparao com anlise dinmica da estrutura.
Para isso, alguns modelos de pontes sero utilizados para se chegar a esta concluso.
1.2. Justificativa
O ltimo trabalho encontrado avaliando a representatividade do coeficiente de impacto
frente anlise dinmica data do ano de 2008 (FILHO, 2008). Tendo em vista que a
norma NBR 7188 utilizada na poca ainda estava na sua verso de 1982, e em 2013 a
mesma foi atualizada, ainda no h trabalhos que avaliem o novo coeficiente de impacto
nem com a norma antiga nem com o caso dinmico. A importncia deste trabalho,
portanto, advm deste fato.
10
1.3. Metodologia
Para se avaliar a significncia dos coeficientes de impacto da NBR 7188:2013 e da NBR
7187:2003 se analisar pontes biapoiadas com vos (20, 30, 40, 60, 70 e 80 metros). Essas
estruturas sero analisadas quanto a passagem de uma carga mvel equivalente a um
veculo normativo passando sobre as mesmas. Alm disso sero analisadas as influncias
da velocidade e do amortecimento sobre a deformao dessas estruturas. A figura abaixo
ilustra o modelo de estrutura analisada.
Figura 1.1 - Modelo de Ponte sobre a ao de carga mvel
Por fim, foi analisado, traduzido e comentado um cdigo computacional, de (HGL,
2005), originalmente em turco, para anlise desse tipo de estrutura de forma numrica.
Este programa usa o mtodo dos elementos finitos associado a integrao direta para
resolver problemas de dinmica das estruturas. Tal cdigo ser validado por meio de
formulao analtica, usado para o estudo de comboios trafegando sobre a estrutura e
disponibilizado para futuros trabalhos sobre anlise de carga mvel.
A tabela a seguir apresenta de forma sequencial a metodologia aplicada neste trabalho.
Tabela 1.1 - Apresentao da metodologia empregada
Etapa Descrio Objetivo
1
1. Validao do programa do autor (HGL,
2005) por meio da formulao analtica
2. Utilizao do programa para anlise da
influncia de comboios
Inferir a influncia da passagem de
cargas moveis consecutivas sobre o
Fator de Amplificao Dinmica
(FAD).
2 1. Aplicao do modelo analtico para se
calcular o FAD de pontes de pequenos vos.
Verificar a influncia da velocidade e
amortecimento sobre o FAD de
pontes de pequenos vos.
3 1. Aplicao do modelo analtico para se
calcular o FAD de pontes de maiores vos.
Verificar a influncia da velocidade e
amortecimento sobre o FAD de
pontes de pequenos vos.
11
1.4. Limitaes
Este trabalho ter as seguintes limitaes:
Se far a anlise de pontes com um nico vo biapoiado;
Restringir-se- a pontes de concreto, com duas faixas de rolamento e vos de 20,
30, 40, 60, 70 e 80 metros, como foi anteriormente dito. Evitou-se analisar pontes
de maiores vos pois, na prtica, sua execuo, mesmo que em concreto
protendido, pode se tornar antieconmica;
Considerou-se o material homogneo e isotrpico;
Considerou-se a inrcia bruta da seo, desprezando-se qualquer fissurao da
estrutura;
Restringiu-se a aplicao do veculo normativo representado apenas por uma
carga pontual;
Nossas anlises se limitaro a anlise dinmica linear da estrutura;
Sero consideradas as amplificaes produzidas apenas pelo carregamento,
desconsiderando a iterao veculo-estrutura. Deste modo, tambm no faz parte
deste trabalho analisar o efeito de irregularidades na pista;
A formulao analtica aqui apresentada se restringe ao caso de amortecimento
pequeno (valores de taxa de amortecimento muito inferiores a uma unidade);
A estrutura ser constituda apenas de vigas tipo T ou uma viga com seo
caixo a ser apresentada mais frente
Foi admitido apenas veculos com velocidades condizentes com a realidade
brasileira (no considerando assim, veculos com velocidades acima de 120km/h,
por exemplo, que no devem ocorrer em territrio nacional);
As sees transversais tambm foram definidas de acordo com as exigncias
normativas nacionais e internacionais.
1.5. Contribuies
Cdigo do MATLAB traduzido, comentado e com pequenas otimizaes e
correes;
Avaliao normativa com equaes analticas;
Avaliao normativa com solues numricas.
12
2. ESTUDO DA ARTE
2.1. Contribuies de Outros Autores
Como a introduo do coeficiente de impacto simplifica bastante os clculos de esforos
em pontes, o mesmo pode, eventualmente, no considerar certos esforos adicionais que,
para alguns casos especficos possam ser de maior importncia. Para isso, os seguintes
autores apresentam trabalhos que avaliam certos aspectos do efeito dinmico em pontes.
Filho (2008), em seu trabalho de concluso de curso, avaliou o coeficiente de impacto
utilizado no clculo de pontes isostticas de vos de 20, 30 e 40 metros rodovirias obtido
seguindo as prescries da NBR 7187:2003 com os resultados da anlise dessas pontes
via anlise dinmica de estruturas. O mesmo chegou concluso que, para aquela norma,
os resultados obtidos indicaram que, de forma geral, o clculo tradicional atravs da
adoo do coeficiente de impacto era satisfatria e produzia resultados a favor da
segurana. O mesmo afirma em seu trabalho que, exceto para os casos dos vos menores
(20, 30 e 40 metros) com velocidade do veculo de 100km/h, os Fatores de Amplificao
Dinmica (FAD) so inferiores aos coeficientes de impactos normativos. Pode-se ento
concluir que a adoo de coeficientes de impacto para baixas velocidades e vos maiores
tende a ser conservadora, uma vez que as foras inerciais envolvidas so de menor
magnitude.
Almeida (2006), em sua dissertao de mestrado, props analisar a resposta dinmica de
pontes rodovirias devido travessia de comboios de diversos tipos de veculos sobre
tabuleiros irregulares dessas obras de arte. Este autor simulou o tabuleiro das obras de
arte por uma viga modelada com base em elementos finitos de barras unidimensionais,
com massas concentradas em seus ns e flexibilidade distribuda e definiu as
irregularidades da pista por um modelo matemtico no-determinstico, com base na
densidade espectral do perfil do pavimento, obtida experimentalmente. O autor afirma
que claramente constata-se que as aes provenientes das irregularidades da pista so
substancialmente mais severas que as da mobilidade da carga, chegando, em situaes
extremas, relacionadas a pavimentos de qualidade inferior, a mais de quinze vezes os
valores admitidos de projeto. Por fim, o autor conclui seu trabalho dizendo que propor
recomendaes de projeto para atender s solicitaes dinmicas oriundas do efeito das
irregularidades superficiais seria totalmente antieconmico e fora de propsito, desse
modo, o mesmo recomenda, como soluo absolutamente inadivel para o problema, a
realizao de uma conservao permanente, preventiva e, ainda, corretiva, assegurando
superfcies de rolamento das obras de arte.
Figueiredo dos Santos (2007), na sua tese de doutorado, investigou os efeitos da interao
dinmica entre veculo, pavimento e estrutura, alm de se avaliar o desempenho de
sistemas de controle dinmico para reduo das vibraes. O autor concluiu com seus
estudos que, quando a resposta dinmica dominada por mais de um modo de vibrao,
13
a soluo adequada para reduo das amplitudes de vibrao requer, em geral, a utilizao
de mltiplos Atenuadores Dinmicos Sincronizados, com pares, ou grupos, calibrados
nas frequncias dos picos dominantes de amplitude.
Calada (2001), em sua tese de doutorado, fez uma avaliao experimental e numrica de
efeitos dinmicos de cargas de trfego em pontes rodovirias. O autor forneceu diversos
dados de experimentos e clculos envolvendo o Fator de Amplificao Dinmica para
vrias combinaes de vos, veculos e velocidades, assim como fatores adicionais
capazes de influenciar no FAD.
O relatrio final da pesquisa sobre os critrios de otimizao de projetos de pontes,
elaborado por LSE (2010), a partir de espectros de acelerao induzidas por veculos nos
tabuleiros entregue concessionria da rodovia presidente Dutra em 2010 questionou que
o coeficiente de impacto previsto na norma NBR-7187 (2003) ao concluir que os FAD
encontrados eram significantemente maiores do que o primeiro. Esse estudo tambm
indica fatores que deveriam ser includos no clculo do coeficiente de impacto, tal como
a velocidade do veculo e frequncia natural.
Lopes (2008), em sua dissertao de mestrado, analisou a influncia da velocidade, do
espaamento e do nmero de veculos sobre a resposta dinmica de pontes rodovirias de
concreto armado. O mesmo concluiu que, de modo geral, os maiores valores dos fatores
de amplificao mximos mdios, foram obtidos por meio da travessia de comboios de
poucos veculos. O mesmo tambm afirma que os valores de velocidade para os quais
esse fator maior est na faixa entre 40km/h e 70km/h, com maiores espaamentos entre
veculos. Por fim, esse autor tambm chama ateno para a ressonncia da ponte: quando
a frequncia natural do sistema veculo-viga coincidir com a frequncia das travessias.
Luchi (2006), na sua tese de doutorado, apresentou uma reavaliao do trem-tipo luz
das cargas reais nas rodovias brasileiras. Esse material foi um dos utilizados pela
comisso da ABNT ao reavaliar a antiga norma NBR 7188. Ele menciona o fato de que
pouco esforo se fez at hoje em termos de pesquisas para se ter um trem-tipo
genuinamente brasileiro, visto que o atualmente utilizado baseado na norma alem DIN
1072. O autor avaliou tanto a antiga norma brasileira, assim como a norma europeia e
americana de carga mvel e seus dados foram de fundamental importncia para a
elaborao deste trabalho.
Souza de Melo (2007) em sua dissertao de mestrado ressalta que a qualidade do
pavimento de grande influncia na resposta dinmica das estruturas, mas que a
introduo de um ressalto inicial pode conduzir a fatores de ampliao dinmicos da
ordem de 4,0. O autor tambm ressalta ao fato de que apesar de veculos mais leves
produzirem FADs maiores, os veculos maiores so os que produzem os maiores
deslocamentos dinmicos. Os resultados de seu trabalho tambm mostram que os
deslocamentos devido ao carregamento da classe 45 so maiores que os obtidos para
passagem de veculo pesado de 3 eixos. O carregamento classe 45, portanto, se apresenta
mais conservador para maiores vos.
14
2.2. Aspectos Tericos da Dinmica das Estruturas
Este trecho deste captulo tem como objetivo apresentar os aspectos bsicos da dinmica
das estruturas para que o leitor se familiarize com o seu contedo. Para tal propsito foram
utilizados os livros presentes na lista de referncias. As equaes a seguir esto
apresentadas de forma breve e objetiva, uma vez que seu desenvolvimento foge ao escopo
deste trabalho. Caso se deseje obter mais detalhes sobre a deduo de tais formulaes,
favor consultar as referncias Chopra (2012), Clough (2003), Soriano (2014), Silva
(2013), Humar (2002) e Frba (1972) as quais foram utilizadas na elaborao deste
material e constituem um excelente material para estudo da dinmica das estruturas.
2.2.1. Princpio de DAlembert
O princpio de DAlembert um dos pilares da lei fundamental de movimento. Esse
princpio a analogia dinmica ao princpio dos trabalhos virtuais para foras estticas
em um sistema. O mesmo afirma que a soma das diferenas entre as foras atuando em
um sistema de partculas de massa e a derivada no tempo dos momentos do sistema ao
longo de qualquer deslocamento virtual condizente com as restries do sistema, zero.
Deste modo, o princpio de DAlembert escrito como se segue.
( ). = 0
(2.1)
Onde:
um inteiro usado para indicar a varivel correspondente a uma determinada partcula do sistema;
a fora total aplicada (excluindo as foras dos apoios) na partcula de ndice
a massa da partcula de ndice ; a acelerao da partcula de ndice ; Esse produto representa a derivada no tempo do momento da partcula de
ndice ; Representa o deslocamento virtual da partcula de ndice , consistente com
as restries aplicadas a mesma.
15
2.2.2. Equao de movimento
Figura 2.1- Representao de um modelo de 1 nico grau de libertada (Extrado de (CLOUGH, 2003))
A equao de movimento para um sistema simples com um nico grau de liberdade,
mostrado na figura A acima, mais facilmente formulada ao se aplicar diretamente o
princpio dAlembert. Desta forma, a equao de movimento meramente uma expresso
de equilbrio entre as essas foras, como se mostra a seguir.
() + () + () = ()
(2.2)
Cada uma das foras apresentadas do lado esquerdo da equao funo do deslocamento
(()) ou uma de suas derivadas temporais.
De acordo com o princpio dAlembert, a fora inercial dada por:
() = ()
(2.3)
Admitiu-se um amortecimento do tipo viscoso, que o mais usual, a fora de
amortecimento pode ser dada pela seguinte equao:
() = ()
(2.4)
Por ltimo, a fora elstica dada em funo da rigidez da mola e seu alongamento.
() = () (2.5) Substituindo essas frmulas na equao inicial, temos:
() + () + () = () (2.6) Que nada mais do que a equao de movimento para um sistema simples.
Para se provar esta equao, basta calcular a soma do trabalho virtual exercido por estas
foras para um deslocamento infinitesimal de uma partcula ().
(() () () + ()) = 0 (2.7)
Lembrando que o sinal negativo representa que as foras se opem ao sentido do
movimento. Como o termo no igual a zero, o termo entre parnteses que deve ser.
Deste modo, encontraremos a mesma equao anteriormente apresentada.
16
2.2.3. Frequncia natural
Figura 2.2- Sistema com um grau de Liberdade sem amortecimento
Na condio de vibrao livre, a que se entende pelo fato de no haver amortecimento
(c = 0) nem fora externa atuante (P(t) = 0). Desse modo, para um sistema com um nico
grau de liberdade tem-se a equao abaixo.
() + () = 0 (2.8)
Definindo-se um deslocamento inicial ( = (0)) e velocidade inicial ( = (0)) como
condio de contorno, tem-se que a soluo da equao anteriormente apresentada dada
por:
() = () cos() +(0)
() (2.9)
Onde:
=
(2.10)
A equao soluo da equao diferencial evidencia que o sistema executa um
movimento de vibrao (ou oscilao) em torno de sua posio de equilbrio esttico.
Alm disso, essa soluo evidencia que esse movimento se repete a cada 2/ segundos,
assim sendo, o perodo desse movimento dado por 2/ e denominado por perodo
natural de vibrao. Trata-se portanto de um movimento harmnico simples.
Deste modo, evidencia que a frequncia natural do sistema, com base na equao
anteriormente descrita dada por:
=1
=
2
(2.11)
Entretanto, de acordo com Chopra (2012), o termo frequncia natural de vibrao usado
tanto para como para .
O termo natural, tambm de acordo com Chopra (2012), utilizado para enfatizar o fato
que , e so propriedades naturais do sistema quando o mesmo pode vibrar
livremente sem excitao externa. Como o sistema linear, essas propriedades so
independentes da velocidade inicial e do deslocamento inicial.
2.2.4. Modos de vibrao
Em um sistema com mltiplos graus de liberdade, a equao de movimento similar
anteriormente descrita, com a nica diferena de que se est tratando agora de vetores.
17
() + () + () = ()
(2.12)
Mais uma vez, simplificando do caso geral para o caso de vibrao livre no amortecida,
obtm-se a equao a seguir:
() + () = 0 (2.13)
O problema de anlise dinmica consiste em determinar as condies sob as quais a
equao de equilbrio anteriormente descrita satisfeita. Utilizando-se uma analogia com
o caso de um nico grau de liberdade e utilizando a regra de Cramer, como sugerido por
(CLOUGH, 2003), obtm-se a seguinte equao que nada mais representa do que a
soluo da formulao anteriormente apresentada.
2 = 0 (2.14)
A equao apresentada, nada mais do que uma equao de autovalor, a qual, quando
solucionada, fornecer valores de frequncias naturais de vibrao.
Ao se expandir este determinante se obter uma equao algbrica de grau N, onde N o
nmero de graus de liberdade das estrutura. As N razes desta equao (12, 2
2, 32, ...
n2) representa as frequncias dos N modos de vibrao possveis no sistema. Por
definio, o modo com menor frequncia tido como o primeiro modo de vibrao, o
segundo modo de menor frequncia, como o segundo modo de vibrao, e assim
sucessivamente. O vetor com esses modos organizados em ordem crescente conhecido
como vetor de frequncias.
=
{
123}
(2.15)
Quando as matrizes de massa e rigidez definida para um sistema estvel forem simtricas
e composta por valores reais positivos sempre se obter um vetor de frequncia com razes
reais e positivas. (CLOUGH, 2003)
2.2.5. Tipo de excitao
A equao de movimento uma equao diferencial de segunda ordem e, como tal,
apresenta dificuldade de resoluo analtica em caso de foras externas determinsticas
irregulares. Alm disso, essas foras costumam oferecer dificuldade para serem
representadas matematicamente, a menos que sejam especificadas em cdigo normativo
de projeto ou em catlogos de equipamentos. Para simplificar a questo, tais foras so
classificadas, e h mtodos de determinao de resposta estrutural diferentes para cada
um destes tipos.
De acordo com (SORIANO, 2014), as foras externas podem ser classificadas em
peridicas e aperidicas. Entretanto, de forma mais detalhada, essas foras so
classificadas em quatro categorias:
18
Harmnica
o So expressas por senos ou cossenos com ou sem ngulo de fase.
Peridica arbitrria
o Atuam indefinidamente e tem configuraes que se repetem em iguais
perodos de tempo.
Impulsiva
o So de grande intensidade e curta durao (frao de segundos).
Aperidica arbitrria
o Variam de forma arbitrria no tempo, sem ser de curta durao.
Figura 2.3- Tipos de Excitao (Adaptado de Chopra (2012))
2.2.6. Amortecimento
A dissipao de energia ocorre em todos os sistemas mecnicos oscilatrios, com o
consequente decaimento da vibrao livre ou atenuao dos picos de deslocamento em
vibrao forada. Essa dissipao til quando a vibrao indesejvel, e mais
relevante quando a estrutura oscila prxima ressonncia.
19
O conjunto dos mecanismos dessa dissipao e genericamente chamado de
amortecimento e suas causas so complexas e associadas s caractersticas da estrutura,
ao meio circundante e aos elementos no estruturais agregados mesma.
Para o caso particular de vibraes livres amortecidas teremos a seguinte equao:
() + () + () = 0
(2.16)
Cuja soluo se assemelha a de uma equao do segundo grau. Usando a relao 2 =
, a soluo geral de tal equao pode ser escrita na forma:
1,2 =
2(
2)2
2
(2.17)
Nesse cenrio, podemos encontrar trs possveis tipos de razes:
1. Reais e idnticas, quando o termo dentro da raiz quadrada resultar em zero;
2. Reais e distintas, quando o termo dentro da raiz resultar em um nmero real maior
que zero;
3. Complexas, quando o termo dentro da raiz quadrada resultar em um nmero real
menor que zero.
2.2.6.1. Vibraes criticamente amortecidas
O caso de vibraes criticamente amortecidas representa o caso particular da equao
apresentada anteriormente onde se tem duas razes reais distintas. Representa
basicamente o ponto de transio entre a vibrao subamortecida e vibrao
superamortecida, que sero discutidos mais frente.
Ao se igualar o termo no interior da raiz quadrada da equao apresentada na sesso
anterior, obtm-se o valor crtico de c que produz duas razes reais de mesmo valor
numrico.
= 2
(2.18)
Deste modo as duas solues obtidas so dadas por:
1 = 2 =
2
=
(2.19)
A equao de movimento para este caso particular dada, ento, por:
() = [1 + 2](
2
)
(2.20)
Tal equao fornecer uma resposta dinmica como se mostra no grfico abaixo.
20
Figura 2.4 - Caso criticamente amortecido (Extrado de Clough (2003))
2.2.6.2. Vibraes subamortecidas
Para o caso particular que o amortecimento (c) for menor que o amortecimento crtico
(cc), se ter o caso de uma raiz de um nmero negativo. Para se avaliar a resposta da
vibrao livre para este caso particular, conveniente escrever o amortecimento em
termos de taxa de amortecimento ().
=
(2.21)
Deste modo, a soluo da equao de movimento dada por:
1,2 = (2.22) Onde:
= 1 2
(2.23)
a frequncia de vibrao livre do sistema amortecido. Adotando-se a equao
exponencial como soluo do sistema e utilizando-se os dois valores de s encontrados,
encontra-se a seguinte equao para a equao de movimento desse sistema em vibrao
livre:
() = [1
+ 2]
(2.24)
Essa equao tambm pode ser expressa na forma:
() = [() + ()]
(2.25)
O movimento descrito por esta equao mostrado na figura abaixo.
21
Figura 2.5 - Caso subamortecido (Extrado de Clough (2003))
2.2.6.3. Vibraes superamortecidas
De acordo com (CLOUGH, 2003), esse tipo de vibrao o menos usual, entretanto o
mesmo ocorre em sistemas mecnicos eventualmente, o que justifica sua anlise. Deste
modo, quando se tem o valor de maior do que uma unidade, conveniente se escrever
a soluo da equao de apresentada no incio desta sesso como:
1,2 = 2 1
(2.26)
Quando se usa essas duas solues para se desenvolver a equao de movimento para o
caso de superamortecimento, obtem-se:
() = { [(2 1) ] + [(2 1) ]}
(2.27)
Onde as constantes reais A e B podem ser calculadas com base nas condies de
contorno, como as condies iniciais de velocidade e de deslocamento, por exemplo.
A resposta dinmica do caso superamortecido se assemelha ao caso criticamente
amortecido, entretanto, a funo demora mais para convergir a zero devido ao excesso de
amortecimento. Quanto mais amortecido, mais lentamente a funo retornar a zero.
2.2.7. Resposta dinmica (analise transiente)
Usando o caso de carregamento harmnico como caso base, pois o que mais se
assemelha a passagem de veculos por uma ponte, pode-se escrever a equao de
movimento do sistema com um grau de liberdade, considerando amortecimento, como:
() + () + () = 0()
(2.28)
22
Adotando-se condies iniciais de posio e velocidade, a soluo particular desta
equao diferencial dada por:
= (0) = (0)
(2.29)
() = () + ()
(2.30)
Onde:
=
0
1 ()
[1 ()
2
]2
+ [2 ()]2
(2.31)
=
0
2 ()
[1 ()
2
]2
+ [2 ()]2
(2.32)
A soluo homognea da equao diferencial anteriormente descrita dada por:
() =
{ [(1 2) ] + [(1 2) ]}
(2.33)
Deste modo a soluo completa para a equao diferencial dada pela soma da soluo
particular com a soluo complementar.
() = () + ()
(2.34)
Usando-se os valores a seguir, obtm-se o seguinte grfico.
= 0,2 = 0,05 (0) = 0,5
0
(2.35)
Figura 2.6 Resposta dinmica total de um sistema excitado em funo do tempo (Adaptado de Chopra (2012))
23
A diferena entre as duas respostas mostradas no grfico dada pelo termo up, o qual
decai exponencialmente em funo da frequncia do carregamento, da frequncia natural
na estrutura e da taxa de amortecimento, at que o ponto em que essa parcela se torna
desprezvel. Por isso essa fase inicial chamada de resposta transiente ou resposta
dinmica. Aps certo tempo apenas a resposta forada continua, por isso se chama esta
parcela estado estacionrio. Deve-se ter em mente que, quando se analisa o estado
estacionrio, as maiores deformaes provavelmente j ocorreram antes desse estado ter
sido alcanado.
2.2.8. Fator de amplificao dinmica
Chopra (2012) define que o Fator de Amplificao Dinmica o nmero adimensional o
qual descreve quantas vezes a deformao ou tenso causada pelo carregamento esttico
deve ser multiplicada para representar os valores de deformao e tenso causados
quando a carga dinmica aplicada estrutura.
Seguindo-se a formulao deste mesmo autor, tem-se que, para o estado estacionrio, a
deformao de um sistema devido a foras harmnicas pode ser descrita pela seguinte
equao:
() = 0( ) (2.36) Onde:
0 Representa a amplitude do movimento descrito pelo sistema; Representa a frequncia do movimento descrito pelo sistema; Representa o ngulo de fase do movimento descrito pelo sistema.
Calculando-se a razo entre a amplitude do deslocamento dinmico (0) e a do
deslocamento esttico, tem-se o valor de FAD.
=
0(0)
(2.37)
A formulao mais elaborada para o clculo do FAD, considerando-se a frequncia da
aplicao de carga e o amortecimento ser abordada na sesso seguinte.
2.2.9. Ressonncia
Soriano (2014) define que ressonncia a condio de um sistema em vibrao forada
em que qualquer pequena alterao na frequncia da excitao provoca diminuio
significativa nas amplitudes de deslocamento.
O autor Clough (2003), define como parmetro de avaliao varivel , que representa
a relao entre a frequncia natural da estrutura e a frequncia do carregamento aplicado.
24
=
(2.38)
A resposta dinmica de um sistema sem amortecimento para quando o valor de tende
a uma unidade apresenta uma amplitude que aumenta a cada perodo e tende a infinito
com o tempo. Esse mesmo comportamento ocorre para sistemas com baixas taxas de
amortecimento ().
A condio de um sistema descrito por Soriano (2014), portanto, dada quando o valor
de igual a uma unidade.
Para encontrar o valor mximo do fator de amplificao dinmica, Clough (2003)
desenvolve uma formulao matemtica levando em conta o amortecimento do sistema e
encontra a seguinte relao.
= 1 22
(2.39)
Onde o valor de pico representa o valor de que resultar em um maior fator de
amplificao dinmica, o qual ser calculado com a frmula que se segue.
=
1
21 2
(2.40)
Para maiores detalhes de como se chegar a essas formulaes, consultar a Clough (2003).
2.2.10. Controle de vibraes
De acordo com Soriano (2014): estruturas podem ser excitadas atravs de movimento de
suas bases ou suportes, como, por exemplo, devido a terremotos, exploses subterrneas
e trfego, assim como estruturas veiculares so excitadas ao se deslocarem em pisos
irregulares. De forma inversa, vibraes provenientes de equipamentos instalados em
estruturas podem ser transmitidas s correspondentes bases e se propagar no meio
exterior. Em ambas as circunstancias, as vibraes devem ser controladas para se evitar
danos nas estruturas e correspondentes bases, como tambm para no afetar a utilizao
das mesmas, que o caso do conforto de seus usurios e/ou do desgaste de peas e mau
funcionamento de equipamentos sensveis e vibraes. Em resumo, esse controle objetiva
reduzir a transmisso, eliminando-se efeitos indesejveis. E isso pode ser feito atravs de
modificao da fonte excitadora, de alteraes na estrutura, como tambm atravs de
isoladores de base ou com a adio de dispositivos especiais que absorvam vibraes.
Os isoladores de vibrao so usualmente molas metlicas, suportes constitudos de
elastmeros ou dispositivos metlicos com partes que se deslocam entre si. Esses
isoladores so classificados como passivos ou ativos. Os primeiros convertem energia
cintica em calor, absorvem vibraes ou transferem energia entre modos naturais de
vibrao. J os dispositivos ativos so os de atuao em tempo real, constitudos de
sensores e controle digital, que ativam equipamentos hidrulicos que movimentam
25
massas que contra balanceiam as oscilaes da estrutura. Dessa forma, o estudo do
controle de transmisso de vibrao tem diversas vertentes.
Analisaremos a seguir como prevenir danos nos
suportes de estruturas devido a foras oscilatrias
produzidas por um equipamento rotativo operando
desbalanceado produzindo uma fora vertical dada por
p0sen(t). Se a mquina estiver montada sobre uma
mola com um grau de liberdade (como mostrado na
figura ao lado), o deslocamento relativo em regime
permanente da mesma pode ser escrito da seguinte
forma:
() =
0( )
(2.41)
Onde:
= [(1 2)2 + (2)2]0,5
(2.42)
Esse resultado assume que o deslocamento do apoio induzido pela fora de reao
negligencivel em comparao com o movimento do sistema em relao ao suporte.
Usando-se a formulao apresentada em Clough (2003), pode-se obter as reaes na
mola(fs) e no sistema de amortecimento(fd) com as seguintes formulaes:
() = 0( )
(2.43)
() = 20( )
(2.44)
Como as duas foras esto defasadas de 90 graus, evidente que a amplitude total da
reao na base dada pela soma vetorial destes valores, assim sendo, tem-se:
() = 0[1 + (2)
2]0,5
(2.45)
Deste modo, a taxa entre a fora mxima atuante na base e a fora p0 aplicada no sistema,
taxa essa conhecida como transmissibilidade do sistema de suporte, tida como:
= [1 + (2)2]0,5
(2.46)
Um segundo tipo de situao quando o
controle de vibraes importante pode ser
visto quando se deseja evitar que
instrumentos sensveis vibrao sejam
afetados quando se tem o deslocamento do
suporte da estrutura. O esquema para este
caso est ilustrado ao lado.
Figura 2.7 - Esquema de um
equipamento rotativo desbalanceado com amortecimento (Extrado de
Clough (2003))
Figura 2.8 - Esquema ilustrando o caso de deslocamento do suporte da estrutura (Extrado de (CLOUGH, 2003))
26
Para tal caso, Clough (2003) descreve que o deslocamento da base (vg(t)) fora, em
regime permanente, a seguinte resposta em termos de deslocamento relativo.
() = 0( )
(2.47)
Ao se somar vetorialmente esta parcela com a parcela vg(t), a resposta total em estado
permanente para a massa m dada por:
() = 01 + (2)2( )
(2.48)
Se, neste caso, a transmissibilidade for definida como a razo entre o deslocamento
mximo total da massa m em relao correspondente amplitude do deslocamento da
base, obtm-se a mesma frmula de transmissibilidade que o caso anterior.
= [1 + (2)2]0,5
(2.49)
Ao se analisar o grfico descrito por esta equao (ver grfico abaixo), verifica-se que
todas as curvas passam pelo mesmo ponto = 2. Por este motivo, conclui-se que
aumentar o amortecimento, quando < 2, melhora a eficincia do controle de vibrao,
por outro lado, quando > 2, essa eficincia decai.
Figura 2.9 - Transmissibilidade em funo de (Extrado de Clough (2003))
2.2.11. Formulao Analtica para Carga Mvel sobre Viga
Frba (1972) apresenta toda a formulao numrica no que diz respeito vibrao de
slidos e estruturas sobre a ao de cargas mveis. Deste modo, foge ao escopo deste
trabalho apresentar a formulao e a resoluo das equaes diferenciais envolvidas para
esse problema. Ser apenas apresentado a formulao final utilizada para o caso de vigas
biapoiadas com e sem amortecimento.
27
2.2.11.1. Formulao Sem Amortecimento
Figura 2.10 - Modelo de ponte submetida ao de carga mvel
Para uma dada viga biapoiada sob a ao de uma carga pontual P deslocando-se sobre
a estrutura com uma velocidade v, Humar (2002) apresenta a seguinte formulao para
a deformada dessa estrutura em funo do tempo.
(, ) =2
1
( )
2
2
=1
{
sin () sin (
)} sin (
)
(2.50)
Essa equao vlida apenas para quando
. Quando
= , a parcela do
somatrio dada por:
(, ) =
2{sin() ()}sin (
)
(2.51)
Onde:
Representa a deformada da viga para um dado tempo t e posio x; Representa a ensima frequncia natural da viga; Representa o valor da carga mvel; Representa a massa por unidade de comprimento da viga; Representa o vo; Representa a velocidade da carga mvel.
2.2.11.2. Formulao Com Amortecimento Leve ( 1)
O autor Frba (1972) em sua obra apresenta a formulao para o deslocamento em uma
viga biapoiada com amortecimento submetida a ao de uma carga mvel se deslocando
a uma velocidade constante sobre a mesma. Para isso o mesmo define os seguintes
variveis:
=
(2.52)
() =22
2
(2.53)
28
=
(1)=
2(1)=(1)
2=
(2.54)
=
(1)
(2.55)
= 2(1)
(2.56)
0 =3
4823
4
(2.57)
Com base nessas variveis, escreve-se a equao da deformada da viga em funo destas
para o caso em que j.
(, ) 0(
)
1
2(2 2)
=1
(()
sin (()))
(2.58)
Quando se tem que = n, tem-se que:
=
(1)
(2.59)
(, ) 01
24[ sin()
2
cos() (1 )] (
)
+ 0 (
)
1
2(2 2)
=1
(()
sin (()))
(2.60)
Onde:
, , , , So os mesmos que definidos anteriormente; denominada velocidade crtica (aquela qual provocar a
ressonncia da estrutura);
Representa o valor da carga mvel; Representa a massa por unidade de comprimento da viga; Representa o vo; Representa a velocidade da carga mvel; Representa a frequncia do carregamento aplicado.
29
2.3. PRESCRIES NORMATIVAS E VECULOS DE CARGA
Esta sesso visa apresentar ao leitor o que as normas nacionais e internacionais vigentes
falam sobre pontes rodovirias, coeficiente de impacto e seus veculos de carga.
2.3.1. NBR 7187:2003 Projeto de pontes de concreto armado e concreto protendido
A NBR 7187:2003 fixa os requisitos que devem ser obedecidos no projeto, na execuo
e no controle das pontes de concreto armado e de concreto protendido, excludas aquelas
em que se empregue concreto leve ou outros concretos especiais.
Vale salientar que alm das condies desta Norma, devem ser obedecidas as de outras
normas especficas e as exigncias peculiares a cada caso, principalmente quando se tratar
de estruturas com caractersticas excepcionais, onde as verificaes de segurana
necessitam de consideraes adicionais, no previstas nesta Norma.
2.3.1.1. Coeficiente de Impacto
Esta norma afirma que o efeito dinmico das cargas mveis deve ser analisado pela teoria
da dinmica das estruturas. Porm, permitido assimilar as cargas mveis a cargas
estticas, atravs de sua multiplicao pelos coeficientes de impacto definidos a seguir:
= 1,4 0,007 1 (2.61) Onde:
o comprimento de cada vo terico do elemento carregado, qualquer que seja o sistema estrutural, em metros. No caso de vos desiguais, em que o
menor vo seja igual ou superior a 70% do maior, permite-se considerar um
vo ideal equivalente mdia aritmtica dos vos tericos.
2.3.2. NBR 7188:2013 Carga mvel rodoviria e de pedestres em pontes, viadutos,
passarelas e outras estruturas
A NBR 7188:2013 define os valores caractersticos bsicos das cargas mveis rodovirias
de veculos sobre pneus e aes de pedestres, em projeto de pontes, viadutos, galerias,
passarelas e edifcios-garagem.
2.3.2.1. Trem tipo brasileiro
No que diz respeito ao trem tipo brasileiro (definido como TB), esta norma afirma que a
carga mvel rodoviria padro TB-450 definida por um veculo de 450 kN, com seis
rodas, representadas, cada uma, por uma carga pontual P = 75 kN, trs eixos de cargas
30
afastados entre si em 1,5 m, com rea de ocupao de 18 m, circundada por uma carga
uniformemente distribuda p = 5 kN/m, conforme pode ser visto nas figuras abaixo.
Figura 2.11 - Modelo esquemtico do TB-450 (adaptado da NBR 7188:1982)
Figura 2.12 - Modelo esquemtico de carga uniformemente distribuda para um trem-tipo normativo (extrado da
NBR 7188:1982)
Essa carga mvel assume posio qualquer em toda a pista rodoviria com as rodas na
posio mais desfavorvel, inclusive acostamento e faixas de segurana. A carga
distribuda deve ser aplicada na posio mais desfavorvel, independentemente das faixas
31
rodovirias. Admite-se a distribuio espacial da carga concentrada no elemento
estrutural a partir da sua superfcie de contato em um ngulo de 45.
Para obras em estradas vicinais e municipais, a NBR 7188:2013 restringe que o trem tipo
mnimo a ser utilizado seria um TB-240. Porm, este caso foge ao escopo deste trabalho,
merecendo apenas sua citao.
2.3.2.2. Coeficientes de impacto
No que abrange as cargas mveis, esta norma define trs diferentes coeficientes de
impacto.
CIV o coeficiente de impacto vertical. Esse coeficiente amplifica a ao da carga
esttica simulando o efeito dinmico de carga em movimento e a suspenso dos
veculos automotores. O CIV no simula e/ou elimina a necessidade de anlise
dinmica nas estruturas sensveis e/ou de baixa rigidez, em especial estruturas
de ao e estaiadas.
CNF o coeficiente do nmero de faixas. Representa a possibilidade da carga mvel
ocorrer em funo do nmero de faixas.
CIA o coeficiente de impacto adicional. Consiste em um coeficiente destinado a
majorao da carga mvel caracterstica devido imperfeio e/ou
descontinuidade da pista de rolamento, no caso de juntas de dilatao e nas
extremidades das obras, estruturas de transio e acessos.
A NBR 7188:2013 aponta que as cargas mveis verticais caractersticas definidas
anteriormente devem ser majoradas para o dimensionamento de todos os elementos
estruturais pelo Coeficiente de Impacto Vertical (CIV).
= 1,35
Para estruturas com vo menor do que 10
metros.
(2.62)
= 1 + 1,06 (20
+ 50)
Para estruturas com vos entre 10 e 200
metros.
(2.63)
Onde:
Liv o vo em metros para clculo de CIV, conforme o tipo de estrutura. Sendo:
Liv Usado para estruturas de vos isostticos. Liv: mdia aritmtica dos vos nos
casos de vos contnuos.
Liv o comprimento do prprio balano para estruturas em balano.
Para estruturas com vos acima de 200,0 m, deve ser realizado o estudo especfico para
considerao da amplificao dinmica do coeficiente de impacto.
32
O Coeficiente de Nmero de Faixas (CNF), por outro lado, tem funo de ajustar as
cargas mveis caractersticas definidas anteriormente. O mesmo calculado como se
segue.
= 1 0,05 ( 2) > 0,9 (2.64) Onde:
o nmero (inteiro) de faixas de trfego rodovirio a serem carregadas sobre um tabuleiro transversalmente contnuo. Acostamentos e faixas de segurana no so
faixas de trfego da rodovia.
Este coeficiente no se aplica ao dimensionamento de elementos estruturais transversais
ao sentido do trfego (laje, transversinas, etc.).
Esta norma tambm define o Coeficiente de Impacto Adicional (CIA), que atua nas
regies das juntas estruturais a extremidades da obra. Todas as sees dos elementos a
uma distncia horizontal, normal a junta, inferior a 5,0 m para cada lado da junta ou
descontinuidade estrutural, devem ser dimensionadas com os esforos das cargas mveis
majorados pelo coeficiente de impacto adicional, definido abaixo:
= 1,25
Para obras em concreto ou mistas; (2.65)
= 1,15 Para obras em ao. (2.66)
A aplicao destes coeficientes s cargas mveis feita como se segue:
= (2.67) = (2.68)
Onde:
Refere-se a carga em cada roda do veculo tipo (ex.: Para o TB-450, = 75) Refere-se a carga distribuda ao redor do veculo tipo (ex.: Para o TB-450, =
5/)
O grfico apresentado na pgina a seguir compara os valores do antigo Coeficiente de
Impacto com o novo Coeficiente de Impacto Vertical e com este ltimo associado com o
Coeficiente de Nmero de Faixas. Como o Coeficiente de Impacto Adicional s vlido
para pontos localizados ao longo da ponte, este coeficiente no foi includo no grfico.
33
Figura 2.13- Comparao entre Coeficientes de Impactos apresentados pelas normas nacionais
0,95
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
1,40
1,45
5 20 35 50 65 80 95 110 125 140 155 170 185 200
Co
efic
ien
te d
e Im
pac
to
Vo (m)
Comparao entre Coeficientes de Impacto das Normas Brasileira
CI (NBR 7187:2003) CIV CIV*CNF (N = 1) CIV*CNF (N = 2) CIV*CNF (N = 3) CIV*CNF (N = 4)
34
Com base neste grfico, os novos valores para coeficiente de impacto (CIV*CNF)
parecem, de modo geral, quando o nmero de faixas (N) menor que 4, ser mais
conservadores para vos maiores, uma vez que estes valores nunca convergem para 1
enquanto, de acordo com a antiga norma, este valor era alcanado quando se tem um vo
de aproximadamente 57 m. Por outro lado, considerar o nmero de faixas igual a uma
unidade resulta em valores de coeficientes de impacto ainda mais conservadores do que
quando no se considerar o Coeficiente de Nmero de Faixas.
Um importante detalhe que vale ser salientado aqui, que, para pontes com quatro ou
mais faixas, pode-se encontrar, eventualmente, valores de Coeficientes de Impacto
inferiores a uma unidade, uma vez que a nova norma no restringe o valor destes
coeficientes para ser maiores ou iguais a uma unidade. Isso corresponde a dizer que a
considerao do efeito dinmico provocar esforos inferiores ao caso esttico de carga,
o que no parece ser muito lgico.
Vale ressaltar aqui que os valores encontrados para o Coeficiente de Impacto Vertical
sozinho e o mesmo multiplicado pelo Coeficiente do Nmero de Faixas, quando o nmero
de faixas igual a duas unidades, so exatamente os mesmos. O que mostra que quando
no se considera este ltimo coeficiente, para pontes com nmeros de faixas de rolamento
superior a 2, geralmente se obtm resultados mais conservadores.
2.4. Normas Estrangeiras
2.4.1. Norma Americana - AASHTO
A norma americana (AASHTO) define o Fator de Impacto, o qual dado por:
=
50
125 + 3,28084 < 30%
(2.69)
Onde:
L o vo, expresso em metros (m).
O valor encontrado por esta frmula ir ser somado a uma unidade e multiplicado pelos
esforos calculados com o trem-tipo de forma esttica.
2.4.2. British Standard
A norma britnica (BS5400-2:2006) prev as seguintes frmulas para o que eles
denominavam de fator dinmico quando se est analisando o trem tipo mais pesado
definido nesta norma.
35
Tabela 2.1 - Coeficiente de impacto para o BS5400-2
Dimenso L
(Metros)
Fator Dinmico
Para Momento Fletor Para Esforo Cortante
At 3,6 2,00 1,67
De 3,6 at 67 0,73 +
2,16
0,2 0,82 +
1,44
0,2
Acima de 67 1,00 1,00
2.4.3. Eurocode
O Fator de Impacto, definido de acordo com o Eurocode 2 Parte 1 para momento fletor
exatamente o mesmo que aparece no British Standard.
Vale a pena aqui se destacar que o Eurocode apresenta o que parece ser um critrio muito
sensato no que diz respeito necessidade da anlise dinmica de uma ponte ou no, tal
critrio leva em considerao, por exemplo:
A velocidade do veculo;
A frequncia natural da ponte;
Continuidade da estrutura;
O vo da ponte;
O nvel de complexidade da estrutura;
Por este motivo, o presente trabalho recomenda a adoo da metodologia desta norma
para a definio da obrigatoriedade ou no da anlise dinmica para uma dada estrutura.
Esses critrios podem ser vistos em mais detalhe no Anexo 1: Critrio do Eurocode 1
Parte 2 para definir a necessidade ou no de anlise dinmica em pontes, ou ainda
diretamente no prprio Eurocode 1 Parte 2.
Inicia-se a verificao avaliando-se se a velocidade permitida na pista menor ou igual a
200 km/h e a partir da compara-se alguns parmetros da estrutura com os valores limite
para estes parmetros definidos nesta norma. Por fim, esta norma alm de definir a
necessidade ou no da anlise dinmica, a mesma ainda especifica que tipo de anlise
dinmica deve ser feita. De um modo geral, o fluxograma presente no anexo
autoexplicativo.
No que diz respeito ao denominado Fator Dinmico, esta norma prope o seguinte
critrio.
1) Para pontes com boa manuteno
2 =
1,44
0,2+ 0,82
(2.70)
1,00 2 1,67
(2.71)
36
2) Para pontes com manuteno padro
2 =
2,16
0,2+ 0,73
(2.72)
1,00 2 2,00
(2.73)
2.5. Comparao entre normas nacionais e estrangeiras
A figura na pgina seguinte apresenta um grfico comparando os valores de coeficiente
de impacto para todas as normas aqui apresentadas. Neste grfico fica evidente a
semelhana do novo coeficiente de impacto inserido pena NBR 7188:2013 e aquele
definido pela AASHTO. Ressaltando-se aqui que os valores definidos pela NBR so
sempre superiores aos definidos por esta norma americana.
37
Figura 2.14 - Grfico comparando os coeficientes de impacto de diversas normas
0,90
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
Co
efic
ien
te d
e Im
pac
to
Vo (m)
Comparao entre Normas
AASHTO BS 5400-2 (Momento Fletor) BS 5400-2 (Esforo Cortante) EC1 parte 2 NBR 7187:2003 NBR 7188:2013
38
3. MODELAGEM NUMRICA DOS EFEITOS DINMICOS EM
PONTES
Este captulo tem como objetivo apresentar brevemente o cdigo computacional utilizado
neste trabalho. Se far uma breve apresentao de como este programa funciona e que
mtodo de clculo ele utiliza para analisar estruturas. Esse cdigo foi elaborado por Hgl
(2005) e foi traduzido pelo autor do presente trabalho.
Como o software em questo utiliza-se internamente do mtodo dos elementos finitos
para se encontrar os valores, tal mtodo ser apresentado inicialmente para melhor
compreenso.
O cdigo utilizado para anlise neste trabalho encontra-se exposto no Anexo 6 deste
trabalho.
3.1. Breve fundamentao do mtodo dos elementos finitos (MEF)
Antes do aparecimento do Mtodo dos
Elementos Finitos, a anlise dos problemas
de meios contnuos em geral era efetuada
por resoluo direta dos sistemas de
equaes de derivadas parciais que regem o
fenmeno, tendo em considerao as
necessrias condies de contorno. Devido
sua complexidade, estes procedimentos s
eram aplicveis a meios contnuos
homogneos e de geometria simples
(AZEVEDO, 2003).
Para tentar superar algumas destas
limitaes, frequentemente se substitua
estas derivadas por derivadas aproximadas,
atravs do Mtodo dos Elementos Finitos. Estas solues, entretanto, possuam alguns
limitadores e inconvenientes como a necessidade de se simplificar a geometria do
problema real e de resolver grandes sistemas de equaes, visto que o desenvolvimento
dos computadores ainda no era suficiente para produzir algoritmos que tivessem
condies de efetuar e acelerar o processo de clculo.
Junto com desenvolvimento tecnolgico a partir da dcada de 60, ganhou tambm cenrio
o Mtodo dos Elementos Finitos, quando, segundo Azevedo (2003), passou a ser prtica
corrente a anlise de estruturas de geometria arbitrria, constitudas por materiais variados
e sujeitas a qualquer tipo de carregamento. Este avano foi to expressivo que os outros
mtodos anteriormente referidos praticamente deixaram de ser utilizados.
Figura 3.1- A figura representativa do mtodo dos
elementos finitos aplicado a problemas estruturais
39
O ento chamado Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) consiste em um mtodo
numrico que aproxima a soluo dos problemas de clculo de esforos em estruturas
diversas, descritos por equaes diferenciais parciais, atravs da subdiviso da geometria
do problema em elementos menores, chamados elementos finitos, que so elementos de
geometria simplificada.
Sendo assim, o contnuo das placas que representam a laje e vigas, juntamente com as
barras que representam os pilares da ponte so substitudos por um conjunto de elementos
finitos interconectados pelos seus pontos nodais. Deve-se ento fazer a associao dos
deslocamentos em todos os pontos nodais destes elementos finitos, garantindo a
continuidade de deslocamentos entre eles.
Basicamente, no Mtodo dos Elementos Finitos, tem-se que a soluo das equaes
diferenciais que governam o problema podem ser determinadas por funes de
aproximao que satisfazem condies descritas por equaes integrais no domnio do
problema. Geralmente para estas funes de aproximao utilizam-se funes
polinomiais de grau elevado que satisfaam as equaes integrais em cada elemento
finito.
Vale aqui salientar que, o Mtodo dos Elementos Finitos no requer a utilizao de malhas
regulares, com intervalos entre ns adjacentes constantes. Isso permite a discretizao em
elementos com dimenses diferenciadas. Isto viabiliza a resoluo de problemas de placas
de geometria irregular, por exemplo, alm de oferecer uma melhor aproximao em
regies onde h maior concentrao de tenses.
Ao invs de utilizar uma funo em todo o domnio para aproximar cada componente do
campo de deslocamentos, uma alternativa consiste em dividir o domnio em subdomnios
e utilizar uma funo linear separada em cada um dos elementos (elementos finitos). Tem-
se, ento, que a metodologia do Mtodo dos Elementos Finitos baseia-se nesta
aproximao das equaes das funes dos campos de deslocamentos por funes que
podem ser facilmente integradas, como no caso, funes polinomiais. Os deslocamentos
correspondentes a cada um dos pontos nodais da malha de elementos so assim obtidos
por interpolao polinomial.
De um modo geral, quanto melhor o refinamento da malha, isto , quando se aumenta o
nmero de elementos de um determinado tipo ou quando se aumenta o grau de elementos,
o erro da aproximao diminui. Como consequncia natural disto, opta-se por refinar a
malha de elementos em reas onde h maior concentrao de tenses de forma a obter
resultados com melhores aproximaes nas reas crticas.
Para maiores informaes sobre toda a formulao matemtica que envolve o Mtodo dos
Elementos Finitos, como interpolao dos deslocamentos, clculo das matrizes de rigidez,
montagem dos sistemas de equaes, solues e exemplificaes, podem ser encontradas
em literaturas como Pereira (2005) e Szilard (2004).
40
Szilard (2004) afirma que podemos usar o Mtodo dos Elementos Finitos de trs
maneiras: a primeira seria uma soluo manual com a ajuda de calculadora cientfica, o
que iria demandar um enorme trabalho e iria se limitar a solues simples. A outra
utilizao atravs da gerao de algoritmos e rotinas utilizando uma linguagem de
programao. A terceira maneira seria atravs da utilizao de um programa
computacional comercial que utilize mtodo dos elementos finitos, como por exemplo, o
SAP2000. natural que seja de senso comum a utilizao de programas computacionais
para a soluo dos problemas, j que o processo de clculo fica totalmente automatizado.
Contudo, deve-se ressalvar que um bom engenheiro deve ter sempre o conhecimento dos
fundamentos tericos do mtodo de clculo utilizado para resoluo do problema, para
que assim possa realizar uma simulao correta e analisar e interpretar os resultados
corretamente. Esta ressalva no vlida somente para este caso especfico, mas para
qualquer tipo de forma de resoluo de problemas quando se tratar da utilizao de
programas computacionais automatizados.
3.2. MATLAB
MATLAB, cujo nome deriva de MATrix LABoratory, trata-se de um software interativo
de alta performance voltado para o clculo numrico. O MATLAB integra clculo com
matrizes, construo de grficos, anlise numrica e processamento de sinais uma
interface fcil de usar onde problemas e solues so expressos muito similares a como
eles so escritos matematicamente, ao contrrio do que ocorre na programao
tradicional.
O programa MATLAB um sistema interativo cujo elemento bsico de informao
uma matriz que no requer dimensionamento e que pode ter tanto nmeros reais como
complexos. Esse sistema permite a resoluo de muitos problemas numricos em apenas
uma frao do tempo que se gastaria para escrever um programa semelhante em alguma
linguagem computacional.
Embora na sua verso bsica o MATLAB j possua um vasto conjunto de funes de
carcter genrico, existem vrias bibliotecas com funes adicionais (chamadas de
toolboxes) que expandem as suas capacidades em domnios de aplicao mais
especficos.
Os comandos executados pelo programa podem ser guardados em um arquivo de texto,
tipicamente utilizando o MATLAB Editor, como um script (como o caso que do
programa apresentado mais adiante). Quando tal arquivo aberto pelo programa, o
MATLAB ir ler as linhas do arquivo e executar os comandos correspondentes, sendo,
portanto, o Script um modo muito eficiente de se criar um programa.
41
3.3. Script do MATLAB
Para a anlise numrica de alguns modelos apresentados no prximo captulo foram foi
utilizado um cdigo elaborado por Hgl (2005) na sua dissertao de mestrado.
Esse cdigo usa o mtodo dos elementos finitos integrado com o mtodo de Newmark
para integrao direta para encontrar os deslocamentos mximos de uma viga biapoiada
submetida a uma carga pontual mvel e o coeficiente de amplificao dinmica para o
caso em anlise. O cdigo, originalmente escrito e comentado em turco foi traduzido e
novos comentrios foram adicionados ao mesmo para torna-lo mais didtico, sendo esta
uma das contribuies do presente trabalho.
Esse script foi testado e validado com a formulao matemtica apresentada por Humar
(2002) e Frba (1972).
Por fim, este cdigo foi modificado para se analisar o efeito de comboios de carga sobre
a estrutura das pontes.
Para maiores detalhes sobre o procedimento utilizado pelo cdigo turco para resoluo
do problema de carga mvel sobre viga biapoiada vide o cdigo traduzido no final deste
trabalho e a prpria dissertao de mestrado que aparece nas referncias deste trabalho.
Um breve fluxograma deste script est mostrado na Figura 3.2 - Fluxograma de
funcionamento do script do MATLAB.
Este cdigo foi aqui traduzido para que futuros trabalhos possam utiliz-lo para anlise
de problemas mais complexos, alm daqueles de vigas biapoiadas.
Figura 3.2 - Fluxograma de funcionamento do script do MATLAB
Entrada de dados inicial
Propriedades mecnicas e geomtricas da estrutura;
Discretizao da estrutura;
Definio do parmetro de velocidade adimensional () (Consultar Hgl (2005));
Definio do valor da fora aplicada.
Processamento
Calculo das matrizes de massa, rigidez, amortecimento, frequncias, etc;
Utiliza-se o mtodo de integrao direta de Newmark;
Encontra-se a matriz de deslocamentos em funo do tempo.
Ps-processamento
Exibe-se as frequncias naturais da estrutura;
Exibe-se as taxas de amortecimento para cada modo de vibrao da estrutura;
Exibe-se a maior deflexo da estura durante a passagem da carga;
Calcula-se e exibe a deflexo mxima para o caso esttico;
Cacula-se o FAD;
Exibe-se o grfico do deslocamento do meio do vo da ponte em funo do tempo;
Exibe-se o tempo de processamento.
42
4. ESTUDO DE CASO
Esta seo tem como objetivo apresentar os modelos utilizados para o estudo de caso
assim como os resultados obtidos e a discusso dos mesmos.
4.1. Modelos estudados
Este trabalho focou na anlise de trs casos:
1. Validao do cdigo computacional escrito em MATLAB por meio da
formulao analtica apresentada anteriormente aplicada para pontes de vos 20,
30 e 40 metros e posterior aplicao do cdigo para anlise de comboios de cargas
mveis trafegando sobre essas estruturas e as de maiores vos;
2. Verificao do FAD e da influncia da velocidade e do amortecimento para pontes
de vos menores (20, 30 e 40 metros);
3. Verificao do FAD e da influncia da velocidade e do amortecimento para pontes
de vos maiores (60, 70 e 80 metros). Note que para estes casos a utilizao da
formulao do coeficiente de impacto da NBR 7187:2003 implicaria em valores
unitrios (ou seja, o efeito dinmico seria desprezvel).
Para todos os modelos analisados, foi adotado um fck de 35 MPa.
4.1.1. As sees transversais das pontes
Para se definir as sees transversais a serem utilizadas foram consultados AASHTO
(2012), Caltrans (2003), Pfeil (1979) (que faz referncia ao DNIT) e Leonhardt (1979).
Por fim, notou-se que o perfil definido por Pfeil (1979) atende s demais normas com
folga, porm, o mesmo no faz nenhuma referncia relao entre altura da viga e o vo
da ponte (H/L). Por esta razo, adotou-se o critrio apresentado em Leonhardt (1979) e
em AASHTO (2012) para definir a altura de pontes de concreto protendido. Adotou-se
as especificaes de pontes de concreto protendido visto que o mesmo permite sees
mais esbeltas e, portanto, susceptveis a maiores deformaes.
As sees para vos menores esto apresentadas a seguir.
a) Vo de 20 metros
Figura 4.1 - Seo transversal da ponte de 20 metros de vo
43
b) Vo de 30 metros
Figura 4.2 - Seo transversal da ponte de 30 metros de vo
c) Vo de 40 metros
Figura 4.3 - Seo transversal da ponte de 40 metros de vo
A partir de 40 metros de vo, as normas passavam a exigir alturas de viga muito altas para
sees tipo T. Entretanto, como se deseja analisar ainda os valores do FAD para os vos
que a NBR 7187:2003 afirma que o coeficiente de impacto pode ser considerado como
uma unidade, optou-se por adotar sees caixes, cuja altura mnima exigida para essas
vigas inferior s das vigas T. Para tais sees, para se atender as restries da
AASHTO foi necessrio se adicionar uma viga intermediria. Desta forma, se obteve as
sees apresentadas a seguir.
a) Vo de 60 metros
Figura 4.4 - Seo transversal da ponte de 60 metros de vo
44
b) Vo de 70 metros
Figura 4.5 - Seo transversal da ponte de 70 metros de vo
c) Vo de 80 metros
Figura 4.6 - Seo transversal da ponte de 80 metros de vo
Para tais sees transversais, tem-se as seguintes propriedades geomtricas.
Tabela 4.1 - Resumo das propriedades geomtricas das pontes analisadas
Vo
(m)
rea
(m)
Momento de Inrcia
(m4)
20 4,41 0,698
30 5,05 2,299
40 5,69 5,239
60 7,46 7,539
70 8,00 10,989
80 8,54 15,233
4.1.2. Propriedades do material considerado
Para a anlise destes modelos foi admitido um fck de 35 MPa, e, portanto, o mdulo de
elasticidade secante foi calculado de acordo com NBR 6118:2014. Como o tipo de
agregado mais utilizado na regio nordeste do Brasil o granito e a gnaisse (E = 1,0),
pode-se calcular o mdulo de elasticidade da seguinte forma.
= 1,0 5600 = 1 560035
(4.1)
45
33130
(4.2)
= 0,8 + 0,280
= 0,8 + 0,235
80= 0,8875
(4.3)
= = 0,8875 33130
(4.4)
29400
(4.5)
4.1.3. Velocidade diretriz
A norma do DNIT (1973) no seu artigo 2, define que velocidade diretriz a velocidade
bsica para a deduo das caractersticas do projeto. No seu artigo 7, esta norma fixa que
a maior velocidade diretriz a se considerar nos projetos de estradas de rodagem
100km/h. Entretanto, este trabalho extrapola um pouco este valor em algumas de suas
anlises apenas para verificar a influncia de uma velocidade ligeiramente maior sobre o
FAD.
4.1.4. Modelo de carregamento
Para o nosso modelo, o trem tipo TB-450, definido em NBR 7188:2013, ser representado
por uma carga pontual com a carga total do veculo (450 kN) atravessando a ponte com
uma velocidade constante. Isso acarretar em um pequeno acrscimo nos deslocamentos
quando comparado com o caso de trs cargas mveis defasadas passando pela estrutura.
O modelo estrutural da estrutura considerada est ilustrado perfeitamente na Figura 1.1 -
Modelo de Ponte sobre a ao de carga mvel.
4.2. Resultados
4.2.1. Validao do Modelo Numrico e Anlise da Influncia de Comboios
Para se fazer a validao do script mencionado no captulo 3, foram analisadas as pontes
com 20, 30 e 40 metros, com e sem amortecimento, no prprio MATLAB. Por fim,
comparou-se os resultados obtidos com a formulao analtica apresentada no item
2.2.11. Formulao Analtica para Carga Mvel sobre Viga, a qual foi introduzida no
MathCAD, que um software de fcil utilizao para realizar operaes de clculo. Feita
essa verificao, modificou-se o cdigo para se analisar o efeito de comboios nas pontes
mencionadas. Os resultados obtidos esto expostos a seguir.
46
4.2.1.1. Modelo analtico sem amortecimento
Para encontrar os resultados sem amortecimento foi utilizada a formulao apresentada
em (HUMAR, 2002), a qual confere perfeitamente com a apresentada por (FRBA,
1972). Os resultados obtidos com a aplicao desta formulao esto apresentados a
seguir.
Tabela 4.2- Resultados do modelo analtico sem amortecimento
Vo
(m)
esttico
(mm)
dinmico
(mm) FAD
20 3,653 4,148 1,136
30 3,746 4,042 1,079
40 3,896 4,195 1,077
4.2.1.2. Modelo Analtico com Amortecimento
Foi utilizada a formulao apresentada na seo 2.2.11.2. deste trabalho para computar a
deflexo das vigas sob a ao de uma carga mvel quando se considera o amortecimento.
Admitiu-se para este caso uma taxa de amortecimento de 5%.
Tabela 4.3 - Resultados do modelo analtico com amortecimento
Vo
(m)
esttico
(mm)
dinmico
(mm) FAD
20 0,05 3,6548 3,9497 1,081
30 0,05 3,7450 3,8694 1,033
40 0,05 3,8954 3,9743 1,020
4.2.1.3. Modelo Numrico sem Amortecimento
Para o modelo do MATLAB (Mtodo dos Elementos Finitos) as vigas foram divididas
em N trechos de igual comprimento. A discretizao adotada, tal como os
deslocamentos obtidos e o FAD calculado esto apresentados na tabela que se segue.
Tabela 4.4 - Resultados do modelo numrico sem amortecimento
Vo
(m) N
esttico
(mm)
dinmico
(mm) FAD
20 60 3,6548 4,1492 1,135
30 60 3,7450 4,0396 1,079
40 60 3,8954 4,1944 1,077
47
4.2.1.4. Modelo Numrico com Amortecimento
Para o modelo numrico com amortecimento as vigas foram discretizadas exatamente
como no caso anterior e foi adotado uma taxa de amortecimento () de 5% para o primeiro
e segundo modo de vibrao, ksi1 e ksi2, respectivamente. Para tal caso os valores obtidos
aparecem na tabela a seguir.
Tabela 4.5 - Resultados do modelo numrico com amortecimento
Vo
(m) N
esttico
(mm)
dinmico
(mm) FAD
20 60 0,05 3,6548 3,9500 1,081
30 60 0,05 3,745 3,8670 1,033
40 60 0,05 3,8954 3,9735 1,020
4.2.1.5. Resumo dos FADs
A tabela abaixo apresenta os valores dos FADs calculados usando o modelo analtico e o
modelo numrico.
Tabela 4.6- Resumo dos FADs para a validao do script
Vo
(m)
Analtico
( = 0,00)
Numrico
( = 0,00)
Analtico
( = 0,05)
Numrico
( = 0,05)
20 1,136 1,135 1,081 1,081
30 1,079 1,079 1,033 1,033
40 1,077 1,077 1,020 1,020
Os valores obtidos nesta anlise so suficientemente prximos e indicam que o script do
MATLAB confivel. O cdigo numrico ento est validado, entretanto, vale aqui
ressaltar que o usurio deve estudar o programa com cuidado antes de utiliz-lo para que
possa se ter um maior entendimento do mesmo e evitar erros grosseiros.
4.2.1.6. Estudo da Influncia de Comboios de carga
Foi estudado aqui a influncia da passagem de vrias cargas consecutivas teria sobre o
FAD das estruturas de pontes. Para isso, fixou-se o amortecimento em 5% (como foi
mencionado anteriormente), a velocidade em 100 km/h e diminuiu-se a discretizao para
no se prejudicar tanto o tempo de processamento. Os resultados obtidos esto
apresentados a seguir.
Para o caso de duas cargas consecutivas apenas, os resultados so os que se seguem.
48
Tabela 4.7 Resumo dos FAD parra passagem de duas cargas mveis consecutivas
Vo
(m) N
(%)
esttico
(mm)
dinmico
(mm) FAD
20 30
5
3,6548 4,2722 1,1689
30 40 3,7450 4,0468 1,0806
40 60 3,8954 4,0964 1,0516
60 70 9,1362 11,001 1,2041
70 80 9,9531 11,978 1,2035
80 90 10,7179 12,9216 1,2056
a) 20 metros
Figura 4.7 - Influncia da passagem de duas cargas mveis consecutivas sobre a ponte de 20 metros
49
b) 30 metros
Figura 4.8 - Influncia da passagem de duas cargas mveis consecutivas sobre a ponte de 30 metros
c) 40 metros
Figura 4.9 - Influncia da passagem de duas cargas mveis consecutivas sobre a ponte de 40 metros
50
d) 60 metros
Figura 4.10 - Influncia da passagem de duas cargas mveis consecutivas sobre a ponte de 60 metros
e) 70 metros
Figura 4.11 - Influncia da passagem de duas cargas mveis consecutivas sobre a ponte de 70 metros
51
f) 80 metros
Figura 4.12- Influncia da passagem de duas cargas mveis consecutivas sobre a ponte de 80 metros
Para o caso de trs cargas consecutivas apenas, o resumo dos resultados esto
apresentados na tabela que se segue.
Tabela 4.8 Resumo dos FAD parra passagem de trs cargas mveis consecutivas
Vo
(m) N
(%)
esttico
(mm)
dinmico
(mm) FAD
20 30
5
3,6548 4,3330 1,1856
30 40 3,7450 4,0468 1,0806
40 60 3,8954 4,0964 1,0516
60 70 9,1362 11,0224 1,2065
70 80 9,9531 12,0045 1,2061
80 90 10,7179 12,9778 1,2109
52
a) 20 metros
Figura 4.13- Influncia da passagem de trs cargas mveis consecutivas sobre a ponte de 20 metros
b) 30 metros
Figura 4.14 - Influncia da passagem de trs cargas mveis consecutivas sobre a ponte de 30 metros
53
c) 40 metros
Figura 4.15 - Influncia da passagem de trs cargas mveis consecutivas sobre a ponte de 40 metros
d) 60 metros
Figura 4.16 - Influncia da passagem de trs cargas mveis consecutivas sobre a ponte de 60 metros
54
e) 70 metros
Figura 4.17 - Influncia da passagem de trs cargas mveis consecutivas sobre a ponte de 70 metros
f) 80 metros
Figura 4.18 - Influncia da passagem de trs cargas mveis consecutivas sobre a ponte de 30 metros
55
4.2.2. Anlise de vos menores
Esta seo tem como objetivo inferir a influncia que a velocidade e o amortecimento tm
sobre o FAD quando se est analisando vos relativamente pequenos de pontes, como 20,
30 e 40 metros. Para tal anlise, foi implementada as formulaes (2.50) e (2.58) no
EXCEL devido a facilidade de modificao e gerao de grficos diversos dessa
ferramenta.
4.2.2.1. Influncia da Velocidade no FAD
Foram aqui analisadas as trs pontes j discutidas anteriormente, s que agora com quatro
velocidades distintas: 60, 80, 100 e 120 km/h. Admitiu-se, neste ponto, que o
amortecimento () fosse igual a zero pois se desejava obter os maiores valores de FAD
possveis para comparao com a norma brasileira.
Os resultados a seguir apresentam o deslocamento vertical de um ponto situado no meio
do vo das pontes em funo do tempo.
Para o vo de 20 metros, obteve-se os seguintes resultados:
Figura 4.19 - Influncia da velocidade no deslocamento de um ponto situado no meio do vo da ponte de 20 metros
Para o vo de 30 metros, obteve-se os dados a seguir.
-5,00
-4,00
-3,00
-2,00
-1,00
0,00
1,00
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00
Des
loca
men
to (
mm
)
t*v/L
Influncia da Velocidade
L = 20 m | v = 120 km/h | = 0 L = 20 m | v = 100 km/h | = 0
L = 20 m | v = 80 km/h | = 0 L = 20 m | v = 60 km/h | = 0
56
Figura 4.20 - Influncia da velocidade no deslocamento de um ponto situado no meio do vo da ponte de 30 metros
Para o vo de 40 metros, os resultados obtidos esto mostrados no grfico abaixo.
Figura 4.21 - Influncia da velocidade no deslocamento de um ponto situado no meio do vo da ponte de 40 metros
A tabela a seguir apresenta os maiores deslocamentos e os FADs calculados para as
estruturas anteriormente mencionadas. Alm disso, pode-se verificar os valores dos
-5,00
-4,00
-3,00
-2,00
-1,00
0,00
1,00
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00
Des
loca
men
to (
mm
)
t*v/L
Influncia da Velocidade
L = 30 m | v = 120 km/h | = 0 L = 30 m | v = 100 km/h | = 0
L = 30 m | v = 80 km/h | = 0 L = 30 m | v = 60 km/h | = 0
-5,00
-4,00
-3,00
-2,00
-1,00
0,00
1,00
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00
Des
loca
men
to (
mm
)
t*v/L
Influncia da Velocidade
L = 40 m | v = 120 km/h | = 0 L = 40 m | v = 100 km/h | = 0
L = 40 m | v = 80 km/h | = 0 L = 40 m | v = 60 km/h | = 0
57
coeficientes de impactos sugeridos pelas NBR 7187 e 7188. Note que o deslocamento
dinmico mximo no meio do vo est representado por umax e o deslocamento no meio
do vo para o caso esttico u0.
Tabela 4.9 - Tabela resumo da influncia da velocidade da carga mvel para pontes de pequenos vos
L
(m)
V
(km/h)
1
(%)
umax
(mm)
u0
(mm) FAD
NBR
7187:2003
NBR
7188:2013
20
120
0
4,279
3,655
1,171
1,260 1,303 100 4,144 1,134
80 3,975 1,088
60 3,859 1,056
30
120 4,323
3,745
1,154
1,190 1,265 100 4,039 1,078
80 4,111 1,098
60 4,008 1,070
40
120 4,404
3,895
1,131
1,120 1,236 100 4,194 1,077
80 4,225 1,085
60 4,150 1,065
Nota-se que os valores do FAD obtidos para todos os vos aumentam conforme se
aumenta a velocidade da carga, entretanto, de modo geral, esses valores so inferiores aos
coeficientes de impacto normativos, o que era de se esperar pois os valores de norma
devem estar sempre a favor da segurana. Contudo, vale aqui salientar que, conforme o
vo aumenta, os valores do FAD obtidos para velocidades maiores tende a se aproximar
dos valores das NBR. Por essa perspectiva, pode-se concluir que as formulaes da norma
brasileira esto a favor da segurana no que diz respeito anlise dinmica de uma carga
mvel sobre uma ponte de pequeno vo. Vale aqui, contudo, apresentar a Tabela 4.10 -
Comparao entre a massa do veculo a massa total das pontes menores.
Nesta ltima tabela, a varivel M representa a massa total da ponte e a varivel m
representa a massa total do veculo (a qual foi desprezada na anlise). Os valores do
coeficiente de impacto maiores que os FAD calculados possivelmente indicam que uma
anlise dinmica incluindo a participao da massa do veculo no sistema deveria ser
efetuada. Essa ideia corroborada pelo fato de que a massa do veculo, em comparao
com a da ponte de 20 metros, representa mais de 20% da massa da mesma, sendo,
portanto, uma parcela que no deveria ser negligenciada na anlise.
Tabela 4.10 - Comparao entre a massa do veculo a massa total das pontes menores
L (m) M (kg) m (kg) m/M
20 220500
45872
20,8%
30 378750 12,1%
40 569000 8,1%
1 Cenrio hipottico desprezando-se o amortecimento estrutural
58
4.2.2.2. Influncia do Amortecimento
Para se analisar a influncia do amortecimento sobre pontes com vos de 20, 30 e 40
metros, foi-se fixada a velocidade da carga como sendo igual a velocidade diretriz
mxima definida pelo DNIT (100 km/h) e estudou-se trs casos de amortecimento
distintos de taxa de amortecimento:
= 0%
= 5%
= 10%
Tais valores permitem verificar a influncia que essa taxa tem sobre o FAD pois esses
valores de amortecimento atendem ao critrio exigido pela formulao apresentada em
2.2.11.2. Formulao Com Amortecimento Leve ( 1).
Para o vo de 20 metros, os resultados obtidos esto apresentados no grfico abaixo.
Figura 4.22 - Influncia do amortecimento no deslocamento de um ponto situado no meio do vo da ponte de 20 metros
Para o vo de 30 metros, os valores de deslocamento para um ponto situado no meio do
vo da ponte esto apresentados a seguir.
-4,500
-4,000
-3,500
-3,000
-2,500
-2,000
-1,500
-1,000
-0,500
0,000
0,500
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Des
loca
men
to (
mm
)
t*v/L
Influncia do Amortecimento
L = 20 m | v = 100 km/h | = 0,1 L = 20 m | v = 100 km/h | = 0,05
L = 20 m | v = 100 km/h | = 0
59
Figura 4.23 - Influncia do amortecimento no deslocamento de um ponto situado no meio do vo da ponte de 30
metros
Para o vo de 40 metros, os resultados obtidos esto mostrados no grfico abaixo.
Figura 4.24 - Influncia do amortecimento no deslocamento de um ponto situado no meio do vo da ponte de 40
metros
-4,500
-4,000
-3,500
-3,000
-2,500
-2,000
-1,500
-1,000
-0,500
0,000
0,500
1,000
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Des
loca
men
to (
mm
)
t*v/L
Influncia do Amortecimento
L = 30 m | v = 100 km/h | = 0,1 L = 30 m | v = 100 km/h | = 0,05
L = 30 m | v = 100 km/h | = 0
-4,500
-4,000
-3,500
-3,000
-2,500
-2,000
-1,500
-1,000
-0,500
0,000
0,500
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Des
oca
men
to (
mm
)
t*v/L
Influncia do Amortecimento
L = 40 m | v = 100 km/h | = 0,1 L = 40 m | v = 100 km/h | = 0,05
L = 40 m | v = 100 km/h | = 0
60
A tabela a seguir apresenta o resumo dos trs grficos anteriormente apresentados,
explicitando-se o deslocamento dinmico mximo no meio do vo (u.max) e o
deslocamento no meio do vo para o caso esttico (u.0).
Tabela 4.11 - Tabela resumo da influncia do amortecimento da estrutura para pontes de pequenos vos
L
(m)
v
(km/h)
u.max
(mm)
u.0
(mm)
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