AVALIAÇÃO DA SEGURANÇA DE PONTES DE CONCRETO PROTENDIDO ... · silvia juliana sarmiento nova avaliaÇÃo da seguranÇa de pontes de concreto protendido sob solicitaÇÕes normais

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo

SILVIA JULIANA SARMIENTO NOVA

AVALIAÇÃO DA SEGURANÇA DE PONTES DE

CONCRETO PROTENDIDO SOB SOLICITAÇÕES

NORMAIS COM BASE NA TEORIA DA

CONFIABILIDADE

CAMPINAS

2017

SILVIA JULIANA SARMIENTO NOVA

AVALIAÇÃO DA SEGURANÇA DE PONTES DE

CONCRETO PROTENDIDO SOB SOLICITAÇÕES

NORMAIS COM BASE NA TEORIA DA

CONFIABILIDADE

Dissertação de Mestrado apresentada a Faculdade

de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo da

Unicamp, para obtenção do título de Mestra em

Engenharia Civil na área de Estruturas e

Geotécnica.

Orientador(a): Profa. Dra. Maria Cecília Amorim Teixeira da Silva

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO FINAL DA

DISSERTAÇÃO DEFENDIDA PELA ALUNA SILVIA JULIANA

SARMIENTO NOVA E ORIENTADA PELA PROFA. DRA. MARIA

CECÍLIA AMORIM TEIXEIRA DA SILVA.

ASSINATURA DA ORIENTADORA

______________________________________

CAMPINAS

2017

Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): CAPES, 01-P-04376-2015

ORCID: http://orcid.org/0000-0001-9493-9550

Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas Biblioteca

da Área de Engenharia e Arquitetura Luciana

Pietrosanto Milla - CRB 8/8129

Nova, Silvia Juliana Sarmiento, 1993-

N856a Avaliação da segurança de pontes em concreto protendido sob solicitações

normais com base na teoria da confiabilidade / Silvia Juliana Sarmiento Nova. –

Campinas, SP : [s.n.], 2017.

Orientador: Maria Cecilia Amorim Teixeira da Silva.

Dissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade

de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo.

1. Confiabilidade. 2. Pontes. 3. Concreto protendido. 4. Método de, Monte

Carlo. I. Silva, Maria Cecilia Amorim Teixeira da,1955-. II. Universidade

Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e

Urbanismo. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Safety assessment of prestressed concrete bridges under normal

loads based on the reliability theory

Palavras-chave em inglês:

Reliability

Bridges

Prestressed concrete

Method of, Monte Carlo

Área de concentração: Estruturas e Geotécnica

Titulação: Mestra em Engenharia Civil

Banca examinadora:

Maria Cecilia Amorim Teixeira da Silva [Orientador]

Luiz Carlos Marcos Vieira Junior

Sergio Hampshire de Carvalho Santos

Data de defesa: 21-02-2017

Programa de Pós-Graduação: Engenharia Civil

http://orcid.org/0000-0001-9493-9550

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E

URBANISMO

AVALIAÇÃO DA SEGURANÇA DE PONTES DE CONCRETO

PROTENDIDO SOB SOLICITAÇÕES NORMAIS COM BASE

NA TEORIA DA CONFIABILIDAE

Silvia Juliana Sarmiento Nova

Dissertação de Mestrado aprovada pela Banca Examinadora, constituída por:

Profa. Dra. Maria Cecilia Amorim Teixeira da Silva

Presidente e Orientadora/UNICAMP

Prof. Dr. Luiz Carlos Marcos Vieira Junior

UNICAMP

Prof. Dr. Sergio Hampshire de Carvalho Santos

UFRJ

A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se

no processo de vida acadêmica do aluno.

Campinas, 21 de Fevereiro de 2017

AGRADECIMENTOS

A Deus porque seus planos são perfeitos e porque dele vem toda minha força, fé e coragem.

Aos meus pais por ter me ensinado que se pode sonhar em grade, que existe o amor

incondicional e que sem importar a distância se pode estar presente em cada passo.

Ao meu irmão porque sempre foi o suporte no começo das novas etapas e pelo carinho que fez

eu me sentir em casa ao longo desta experiencia.

Ao meu namorado Marcos por ter sido uma grande motivação, por ter me impulsado a ser

melhor e pelo amor e carinho brindado.

Aos meus amigos Nelly, Pedro e Jerson por seu apoio, ânimo, ajúda e mais que nada pelo

carinho e amizade.

Às minhas amigas Allison, Mónica e Angélica que desde a distância sempre estiveram me

acompanhando e me motivando em cada passo.

À Professora Maria Cecilia por ter sido uma excelente orientadora, pelo tempo despendido em

favor ao meu ensinamento e pelas grandes contribuições ao longo do mestrado.

Aos professores do DES pelos diferentes conhecimentos aportados.

À entidade CAPES pelo suporte financeiro através da concessão da bolsa.

A todos os que fizeram parte deste procedimento e aportaram no meu crescimento tanto

profisional quanto pessoal.

RESUMO

O presente trabalho tem como proposta sistematizar o procedimento para avaliação da

confiabilidade estrutural de pontes de concreto protendido, com base no índice de

confiabilidade β, e a correspondente probabilidade de falha Pf. O Método de Monte Carlo é

utilizado no processo de simulação das variáveis de projeto, tomadas como sendo: as

resistências dos materiais, algumas propriedades geométricas e o carregamento aplicado à

estrutura. Como ferramenta para análise estrutural, é utilizado um programa computacional

comercial. Os valores obtidos pelo método de simulação são validados através do método

analítico FORM, e realiza-se também uma análise de sensibilidade. O procedimento é aplicado

ao caso de uma ponte de concreto protendido, da qual é conhecida a geometria da sua

superestrutura. Os resultados obtidos para o índice de confiabilidade da estrutura em questão

são comparados com valores indicados por normas internacionais e convertidos em coeficientes

de ponderação contidos nas normas brasileiras e americana. Com base nos resultados

alcançados na análise desenvolvida conclui-se que o procedimento sistematizado, o qual

implementa um método de simulação, pode ser utilizado para avaliar a confiabilidade de uma

ponte em concreto protendido de uma forma prática e efetiva.

Palavras Chave: confiabilidade, pontes, concreto protendido, probabilidade de falha.

ABSTRACT

This research is proposed to systematize the structural reliability evaluation procedure of

prestressed concrete bridges, based on the reliability index β, and the associated probability of

failure Pf. The Monte Carlo method is used in the simulation of the design variables, taken as

the resistances of the materials, some geometrical properties and the loads applied to the

structure. As a tool for the structural analysis, a commercial computer program is used. The

values obtained by simulation method are validated by the analytical method FORM, and a

sensitivity analysis is carried out. The procedure is applied to a prestressed concrete bridge case,

in wich the geometry characteristics are known. The results obtained for the reliability index

are compared with values propoused in international standards and converted to the partial

safety factors contained in Brazilian standards. Based on results obtained, it is concluded that

the procedure, which is based on a simulation method, can be used to evaluate the reliability of

a prestressed concrete bridge in a more practical and effective way.

Key words: reliability, bridges, prestressed concrete, probability of failure.

LISTA DE FIGURAS

Figura 5.1. Transformação do espaço original para o espaço padronizado na abordagem

FORM (DU, 2005). ....................................................................................................... 37

Figura 7.1. Fotos da ponte “La Parroquia” obtidas durante uma prova de carga. ....... 55

Figura 7.2. Vista em planta da ponte “La Parroquia”. .................................................. 56

Figura 7.3. Vista lateral da ponte “La Parroquia”. ....................................................... 56

Figura 7.4 a). Seção simples b). Seção composta. ....................................................... 57

Figura 7.5. Seção transversal da ponte “La Parroquia”. ............................................... 58

Figura 7.6. a). Seção transversal da viga protendida b). Detalhe A: guarda-corpo. ..... 58

Figura 7.7. Veículo de projeto HL-93. ......................................................................... 62

Figura 7.8. Tandem de projeto. ..................................................................................... 62

Figura 7.9. Linha de influência no centro da viga simplesmente apoiada, para momento

fletor. ............................................................................................................................. 63

Figura 7.10. Posição do veículo de projeto. .................................................................. 63

Figura 7.11. Posição do tandem de projeto. .................................................................. 63

Figura 7.12 Trajetória dos cabos em L/2 (unidades em metros). ................................. 75

Figura 8.1 Variáveis Aleatórias. ................................................................................... 83

Figura 8.2 Exemplo da obtenção dos valores aleatórios pelo programa MATLAB®. 87

Figura 8.3 Cálculo da Probabilidade de Falha para G1 pelo programa MATLAB®. . 87

Figura 8.4 Cálculo da Probabilidade de Falha para G2 pelo programa MATLAB®. .. 88

Figura 8.5 Histograma tridimensional da resistência e solicitação da Função G1 e seu

plano de falha obtidos pelo programa MATLAB®. ..................................................... 88

Figura 8.6 Histograma bidimensional da resistência e solicitação da Função G1 e seu


Figura 8.7 Histograma tridimensional da resistência e solicitação da Função G2 e seu


Figura 8.8 Histograma bidimensional da resistência e solicitação da Função G2 e seu


Figura 9.1 Diagrama de barras da porcentagem de mudança para os casos 1, 2 e 3 da

Função G1. .................................................................................................................. 104

Figura 9.2 Diagrama de barras da porcentagem de mudança para os casos 1, 2 e 3 da

Função G2. em programas como o MATLAB®. ....................................................... 105

Figura 9.3 Porcentagem de mudança para os casos 1, 2 e 3 da Função G1. ............... 108

Figura 9.4 Porcentagem de mudança para os casos 1, 2 e 3 da Função G2. ............... 108

Figura 9.5 Diagrama de barras do índice de importância e do coeficiente de Pearson da

Função G1. .................................................................................................................. 113

Figura 9.6 Diagrama de barras do índice de importância e do coeficiente de Pearson da

Função G2. .................................................................................................................. 114

Figura A.1. Seção da viga protendida utilizada pelo programa ABAQUS. .............. 122

Figura A.2. Modelo dos pesos próprios. ..................................................................... 123

Figura A.3. Representação da força de protensão. ..................................................... 123

Figura A.4. Ações variáveis que solicitam a viga protendida. ................................... 124

LISTA DE TABELAS

Tabela 6.1. Variáveis aleatórias ................................................................................... 47

Tabela 6.2. Distribuições de probabilidade e coeficiente de variação. ........................ 50

Tabela 7.1. Propriedades Geométricas da seção simples da viga protendida. ............ 59

Tabela 7.2. Superestruturas de seção transversal comuns, AASHTO LRFD tabela

4.6.2.2.1-1. .................................................................................................................... 60

Tabela 7.3. Cargas permanentes ................................................................................... 61

Tabela 7.4. Cargas dos eixos do veículo HL-93 e do Tandem de projeto. ................ 64

Tabela 7.5. Momentos produzidos pelo Veículo HL-93, Tandem e carga lane load .. 64

Tabela 7.6. Condições para o cálculo do DFM. .......................................................... 65

Tabela 7.7. Valores das porcentagens dos efeitos da carga dinâmica. ........................ 65

Tabela 7.8. Momentos produzidos pelas cargas variáveis de projeto. .......................... 66

Tabela 7.9. Valor da força de protensão requerida e a verificação do estado limite. . 67

Tabela 7.10. Verificação do limite da tensão à compressão no concreto. .................. 67

Tabela 7.11. Número de cordoalhas por cabo. ............................................................ 68

Tabela 7.12. Definição das perdas. ............................................................................... 69

Tabela 7.13. Perdas por encurtamento elástico ∆fpES. .............................................. 73

Tabela 7.14. Valor da perda devido à acomodação da ancoragem ∆fpA. .................. 73

Tabela 7.15. Valor da perda devido à retração do concreto da viga ∆fpSD. Tabela

7.16. Valor da perda devido à fluência ∆fpCD. .......................................................... 74

Tabela 7.17. Valor da perda devido à retração do concreto da laje ∆fpSS. .............. 74

Tabela 7.18. Valor da perda por relaxação ∆fpR adotado de acordo com AASHTO

LRDF 5.9.5.4.2c. ........................................................................................................ 74

Tabela 7.19. Força nos cabos descontadas as perdas iniciais. ..................................... 75

Tabela 7.20. Trajetória dos cabos. ............................................................................... 75

Tabela 7.21. Coeficientes usados no cálculo de perdas por atrito. ............................. 76

Tabela 7.22. Tensões no concreto devido ao peso próprio da viga. ............................ 76

Tabela 7.23. Tensões no concreto devido ao peso próprio da viga mais o peso próprio

da laje. .......................................................................................................................... 77

Tabela 7.24. Tensões no concreto devido à carga variável e cargas dos elementos não

estruturais. .................................................................................................................... 77

Tabela 7.25. Tensão à compressão limite do concreto AASHTO LRFD Tabela 5.9.4.2.1-

1. ................................................................................................................................... 78

Tabela 7.26. Tensões à compressão no concreto . ....................................................... 79

Tabela 7.27. Tensão à tração no concreto. ................................................................... 79

Tabela 7.28. Momento nominal de projeto Mn. .......................................................... 81

Tabela 8.1. Variáveis aleatória para cada Função Estado Limite. .............................. 83

Tabela 8.2. Variáveis aleatórias de G1 com as distribuições e parâmetros. ................ 84

Tabela 8.3. Variáveis aleatórias de G2 com as distribuições e parâmetros. ................. 84

Tabela 8.4. Classificação do índice de confiabilidade para um Estado Limite Último.

...................................................................................................................................... 85

Tabela 8.5. Classificação do índice de confiabilidade para um Estado Limite de Serviço.

...................................................................................................................................... 85

Tabela 8.6. Resultados da análise de confiabilidade por meio do método Monte Carlo.

...................................................................................................................................... 86

Tabela 8.7. Método FORM para a Função Estado Limite da flexão na seção crítica G1.

...................................................................................................................................... 91

Tabela 8.8. Método FORM para a Função Estado Limite da flexão na seção crítica

G1. ................................................................................................................................. 92

Tabela 8.9. Método FORM para a Função Estado Limite da tração do concreto

G2. ................................................................................................................................ 92

Tabela 8.10. Probabilidade de falha e Confiabilidade para a Função Estado Limite 1.

...................................................................................................................................... 93

Tabela 8.11. Probabilidade de falha e Confiabilidade para a Função Estado Limite 2.

...................................................................................................................................... 93

Tabela 8.12. Índice de Probabilidade de falha β e Probabilidade de Falha Pf para

G1. ............................................................................................................................... 94

Tabela 8.13. Índice de Probabilidade de falha β e Probabilidade de Falha Pf para

G2. ................................................................................................................................ 95

Tabela 8.14 Coeficientes parciais de Segurança. ......................................................... 98

Tabela 8.15 Coeficientes parciais de Segurança Segundo AASHTO LRFD. ........... 98

Tabela 8.16 Coeficientes parciais de Segurança Segundo NBR6118. ...................... 98

Tabela 9.1. Índice de confiabilidade βs para a Função Estado Limite G1. ................ 103


Tabela 9.3. Porcentagem de variação do índice de confiabilidade para a Função Estado

Limite G1. .................................................................................................................. 103


Limite G2. .................................................................................................................. 104

Tabela 9.5. Índice de confiabilidade βs para a Função Estado Limite G1. ............... 106



Limite G1. .................................................................................................................. 107


Limite G1. .................................................................................................................. 107

Tabela 9.9. Índice de confiabilidade e porcentagem de variação na análise de

sensibilidade para a Função Estado Limite G1. ........................................................ 109

Tabela 9.10. Índice de confiabilidade e porcentagem de variação na análise de

sensibilidade para a Função Estado Limite G2. ......................................................... 109

Tabela 9.11. Índice de confiabilidade e probabilidade de falha na variação do número

de variáveis aleatórias para a Função Estado Limite G1. .......................................... 110

Tabela 9.12. Índice de confiabilidade e probabilidade de falha na variação do número

de variáveis aleatórias para a Função Estado Limite G1. .......................................... 110

Tabela 9.13. Fator de sensibilidade de cada variável aleatória para as Funções Estado

Limite G1 e G2. .......................................................................................................... 111

Tabela 9.14. Índice de importância de cada variável aleatória para as Funções Estado

Limite G1 e G2. .......................................................................................................... 111

Tabela 9.15. Coeficiente de Pearson de cada variável com a função Estado Limite G1 e

G2. ............................................................................................................................ 113

LISTA DE SÍMBOLOS

𝐴𝐷 – área do concreto da seção transversal da laje.

𝐴𝐶 – área do concreto da seção transversal da viga composta.

𝐴𝐺 – área de concreto da seção transversal da viga não composta.

𝐴𝑝𝑠 – área transversal do cabo de protensão.

𝑎 – profundidade equivalente do bloco de tensão equivalente.

𝑏 – largura da viga.

𝑏𝑓𝑏 – largura inferior da viga.

𝑏𝑤 – largura da viga.

𝐶 – confiabilidade.

𝑐 – distância a partir do extremo da extremidade à compressão até o eixo neutro.

𝐷𝐹𝑀 – fator de distribuição do momento de flexão.

𝐷𝐶 – soma do peso proprio dos elementos estruturais.

𝐷𝑊 – soma do peso proprio dos elementos não estruturais.

𝐷𝐺 – peso proprio da viga.

𝐷𝐿 – peso proprio da laje.

𝑑𝑒 – distância horizontal da linha central da viga exterior até a borda interna da

barreira do tráfego.

𝑑𝑝 – distância entre a extremidade à compressão extrema até o centróide dos cabos de

protensão.

𝑑𝑠 – distância entre a base da viga até a posição da armadura de reforço.

𝐸𝐵 – modulo de elasticidade do material da viga.

𝐸𝑐𝑖 – modulo de elasticidade do concreto no momento da transferência.

𝐸𝐷 – modulo de elasticidade do material da laje.

𝐸𝑝 – modulo de elasticidade dos cabos de protensão.

𝐸[𝑃𝑓] – valor esperado da probabilidade de falha.

𝑒𝑑 – excentricidade da laje com respeito ao centróide da viga transformada.

𝑒𝑔 – distância entre os centro de gravidade da viga e a da laje.

𝑒𝑖 – excentricidade individual de cada cabo da armadura de protensão respeito ao

centroide da seção não transformada.

𝑒𝑚 – excentricidade média dos cabos de protensão no meio do vão.

𝑒𝑝𝑐 – excentricidade da força de protensão respeito ao centróide da seção

transformada.

𝐹 – força final por cordoalha.

𝐹𝑥(𝑥) – função de distribuição acumulada.

𝑓𝑏 – tensão à tração inferior devido às cargas permanentes aplicadas.

𝑓′𝑐 – resistência especifica a compressão do concreto (aos 28 dias).

𝑓𝑐𝑎𝑑𝑚 – resistência à compressão admissível do concreto.

𝑓′𝑐𝑖 – resistência nominal do concreto no momento da aplicação da força do cabo.

𝑓𝑐𝑔𝑝 – soma de tensões no concreto produzida pela força de protensão e o peso

próprio da viga.

𝑓𝐷𝐶𝑏 – tensão à flexão na base da viga devida às cargas permanentes dos elementos

estruturais.

𝑓𝐷𝑊𝑏 – tensão à flexão na base da viga devida às cargas permanentes dos elementos

não estruturais.

𝑓(𝐿𝐿+𝐼𝑀)𝑏 – tensão à flexão na extremidade inferior da viga devida às cargas variáveis

incluindo o impacto por carga veicular.(adicionar la m de IM).

𝑓𝑝𝑏 – tensão à compressão devido à força de protensão.

𝑓𝑝𝑖 – resistência inicial da protensão antes da transferência.

𝑓𝑝𝑏𝑡 – tensão no aço de protensão no momento de transferência.

𝑓𝑝𝑠 – tensão média no aço de protensão.

𝑓𝑝𝑡– tensão nos cabos de protensão descontadas as perdas iniciais.

𝑓𝑝𝑢 – resistência especifica à tração do aço de protensão.

𝑓𝑝𝑦 – resistência à fluência do aço de protensão.

𝑓𝑡𝑎𝑑𝑚 – resistência à tração admissível do concreto.

𝑓𝑡𝑟 – tensão à tração resistente.

𝑓𝑥(𝑥) – função de densidade de probabilidade.

𝑓𝑦 – resistência à compressão do aço de reforço.

𝐺(𝑢) – função estado limite em função das variáveis padronizadas.

𝐺(𝑥) – função estado limite em função das variáveis originais.

𝐺1 – função estado limite para a flexão positiva na seção crítica.

𝐺2 – função estado limite para a tensão à tração do concreto.

𝐻% – humidade relativa.

ℎ𝑓 – altura da parte da viga submetida à compressão.

𝐼𝑐 – momento de inercia da seção transversal da viga composta.

𝐼𝐺 – momento de inercia da seção transversal da viga não composta.

𝐼𝑖 – índice de importância.

𝐼𝑀 – fator do efeito dinâmico em porcentagem.

𝐾𝑑𝑓 – coeficiente da iteração dos elementos da seção transformada.

𝐾𝑔 – parâmetro de rigidez longitudinal.

𝑘 – coeficiente de atrito por oscilação.

𝑘𝑓 – fator do efeito da resistência do concreto.

𝑘ℎ𝑐 – fator de humidade por fluência.

𝑘ℎ𝑠 – fator de humidade por retração.

𝐾𝐿 – fator dependente do tipo de aço.

𝑘𝑠 – fator do efeito da relação volume-superfície do elemento.

𝑘𝑡𝑑 – fator do desenvolvimento do tempo.

𝐿 – comprimento do vão.

𝐿𝐿 – cargas variáveis.

𝐿𝑐𝑎𝑏𝑜 – comprimento do cabo de protensão.

𝑀𝐶𝑎 – momento devido à carga chamada de lane load.

𝑀𝐷𝐶 – soma dos momentos devido ao peso próprio dos componentes estruturais.

𝑀𝐷𝐺 – momento devido ao peso próprio da viga.

𝑀𝐷𝐿 – momento devido ao peso próprio da laje.

𝑀𝐷𝑊 – soma dos momentos devido ao peso próprio dos componentes não estruturais.

𝑀𝑔 – momento positivo no centro do vão devido ao peso próprio da viga.

𝑀𝐿𝐿+𝐼𝑀 – momento devido às cargas variáveis mais o impacto da carga veicular.

𝑀𝑚á𝑥 – momento máximo positivo gerado no centro da viga.

𝑀𝑛 – momento último resistente da viga.

𝑀𝑠 – momento devido ao peso próprio da laje.

𝑀𝑢 – momento último solicitante.

𝑀𝑉𝑒 – momento advindo do peso do veículo de projeto.

𝑁 – número total de simulações Monte Carlo; número de cabos de protensão

idênticos.

𝑁𝑏 – número de vigas.

𝑛 – número de vezes em que um determinado critério foi alcançado; relação modular

entre a viga e a laje.

𝑃𝑒 – probabilidade de falha esperada.

𝑃𝑓 – probabilidade de falha.

𝑃𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 – força de protensão após perdas totais.

𝑃𝑖 – carga por cada eixo do veículo.

𝑃𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 – força inicial de protensão.

𝑄 – equação de combinação de carga.

𝑅 – resistência na função estado limite.

𝑟 – coeficiente de Pearson.

𝑆 – distância entre vigas; solicitação na função estado limite.

𝑆𝐺𝑖 – módulo de seção na extremidade inferior da viga não composta.

𝑆𝐺𝑖𝐶 – módulo de seção na extremidade inferior da viga composta.

𝑆𝐺𝑠 – módulo de seção na extremidade superior da viga não composta.

𝑡 – maturidade do concreto.

𝑡𝑑 – idade do concreto no momento da colocação da laje em dias.

𝑡𝑓 – idade do concreto final em dias.

𝑡𝑖 – idade do concreto no momento quando a primeira força é aplicada em dias.

𝑡𝑠 – espessura da laje.

𝑢 – variáveis aleatórias no espaço normal reduzido; o número de desvios padrão em

função do quantil.

𝑉𝑃𝑓 – coeficiente de variação da probabilidade estimada.

𝑣/𝑠 – relação volume-superfície.

𝐶𝑎 – carga distribuída lane load.

𝑋 – variável aleatória no espaço original; comprimento do cabo de protensão desde a

ancoragem até o ponto em consideração.

𝑥 – posição da carga por eixo do veículo de projeto na viga.

𝑥𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 – posição do cabo de protensão na horizontal medida desde o apoio.

𝑥𝑖∗– ponto de projeto MPP no espaço original.

𝑦𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 – posição vertical do cabo na seção do apoio.

𝑦𝑏𝑠 – distância média da extremidade inferior da viga ao centro de gravidade dos

cabos de protensão.

𝑦𝐺𝑐 – distância do centro de gravidade da viga composta até sua base.

𝑦𝐺𝑖 – distância da extremidade inferior da viga não composta ao centro de gravidade.

𝑦𝐺𝑠 – distância da extremidade superior da viga não composta ao centro de gravidade.

𝑦𝑃𝑖 – distancia da extremidade superior da viga ao centro de gravidade de cada cabo

de protensão.

𝑦𝑥 – posição vertical do cabo na seção localizada na posicao x na horixontal.

𝑤 – abscisa do ponto em que a acomodacao da ancoragem deixa de provocar perda.

𝛽 – índice de confiabilidade.

𝛽𝑠 – índice de confiabilidade obtido na análise de sensibilidade.

𝛽1 – fator do bloco de tensão.

𝛾𝑠 – coeficiente parcial de segurança da ação.

𝛾𝑅 – coeficiente parcial de segurança da resistência.

𝛥𝑓𝑐𝑑𝑓 – mudança na tensão no concreto no centróide da armadura devido a retração da

laje.

𝛥𝑓𝑝𝐴 – perda na força de protensão devido à acomodação da ancoragem.

𝛥𝑓𝑝𝐶𝐷 – perda na força de protensão devido à fluência do concreto da viga entre o

momento da colocação da laje o o tempo final.

𝛥𝑓𝑝𝐸𝑆 – perdas progressivas na força de protensão devido ao encurtamento elástico.

𝛥𝑓𝑝𝐹 – perda na força de protensão devido ao atrito.

𝛥𝑓𝑝𝐿𝑇 – perdas progressivas na força de protensão.

𝛥𝑓𝑝𝑅 – perdas na força de protensão devido à relaxação do aço.

𝛥𝑓𝑝𝑆𝐷 – perda na força de protensão devido à retração do concreto da viga.

𝛥𝑓𝑝𝑆𝑆 – ganho de força de protensão devido à retração do concreto da laje.

𝛥𝑓𝑝𝑇 – perda total de protensão.

𝛥𝑃1 – diferencia entre a força de protensão no apoio da viga e no meio do vão.

𝛥𝑤 – deslocamento da cordoalha devido à acomodacao da ancoragem.

휀𝑏𝑑𝑓 – deformação por retração do concreto da viga entre o tempo da colocação da

laje e o tempo final.

휀𝑠ℎ – deformação por retração do concreto em um tempo determinado.

휀𝑑𝑑𝑓 – deformação por retração do concreto da laje entre o tempo da sua colocação e

o tempo final.

𝛼𝑖 – fator de sensibilidade.

𝛼𝑣 – mudança angular do cabo de protensão.

𝜇 – coeficiente de atrito.

𝜇𝑥 – média de uma variável x.

𝛿𝑃 – deflexão no centro do vão da viga devido a uma pontual carga P.

𝛿𝑞 – deflexão no centro do vão da viga devido a uma carga distribuída q.

𝜎�̅�2 – variancia.

𝛷(𝑢𝑖) – função de distribuição cumulativa da distribuição normal padrão.

𝛷𝑤 – fator de redução.

𝜙 – fator de resistencia; função de densidade de probabilidade.

𝜓𝑏(𝑡𝑓 , 𝑡𝑖) – coeficiente da fluência da viga entre os tempos 𝑡𝑓 e 𝑡𝑖.

Sumário

1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 22

2. OBJETIVOS ............................................................................................................. 24

2.1 Objetivo Geral .................................................................................................... 24

2.2 Objetivos Específicos.......................................................................................... 24

3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ................................................................................. 25

3.1 Confiabilidade de Pontes em Concreto Protendido ............................................ 25

3.2 Avaliação da Segurança em Pontes Existentes ................................................... 28

3.3 Estudo de Caso ................................................................................................... 31

4. METODOLOGIA ..................................................................................................... 32

4.1 Seleção da Estrutura-Modelo para Análise de Caso ........................................... 32

4.2 Desenvolvimento do Procedimento para Análise de Confiabilidade da Estrutura .

....................................................................................................................... 32

4.3 Modelagem Numérica da Estrutura para Obtenção dos Esforços ...................... 33

5. CONFIABILIDADE ESTRUTURAL ...................................................................... 34

5.1 Generalidades ..................................................................................................... 34

5.2 Confiabilidade em Pontes de Concreto Protendido ............................................ 34

5.3 Métodos de Avaliação da Segurança .................................................................. 35

5.3.1 Método de Confiabilidade de Primeira Ordem (FORM) ............................. 35

5.3.2 Método de simulação Monte Carlo .............................................................. 38

5.4 Análise de Sensibilidade ..................................................................................... 40

6. PROCEDIMENTO PARA AVALIAÇÃO DA SEGURANÇA DE PONTES EM

CONCRETO PROTENDIDO ...................................................................................... 42

6.1 Definição da Função Estado Limite ................................................................... 42

6.1.1 Flexão Positiva no Meio do Vão ................................................................. 42

6.1.2 Tensão à Tração do Concreto ...................................................................... 45

6.1.3 Flexão Negativa na Seção Crítica ................................................................ 46

6.2 Variáveis Aleatórias ............................................................................................ 47

6.2.1 Escolha das variáveis aleatórias ................................................................... 47

6.2.2 Distribuições e parâmetros .......................................................................... 48

6.3 Cálculo da Probabilidade de Falha ..................................................................... 51

6.3.1 Método de Simulação Monte Carlo ............................................................. 51

6.3.2 Método de Confiabilidade de Primeira Ordem FORM ............................... 52

7. DESCRIÇÃO DO ESTUDO DE CASO .................................................................. 55

7.1 Descrição e Caraterísticas Gerais da Ponte La Parroquia .................................. 55

7.2 Projeto da Armadura de Protensão ..................................................................... 59

7.2.1 Avaliação das ações que atuam sobre a estrutura ........................................ 59

7.2.2 Determinação do número de cabos .............................................................. 66

7.2.3 Cálculo das perdas totais na protensão ........................................................ 68

7.2.4 Trajetória dos cabos ..................................................................................... 75

7.2.5 Verificação do Estado Limite de Serviço do Concreto ............................... 77

7.2.6 Verificação do Estado Limite Último do Concreto ..................................... 80

8. AVALIAÇÃO DA SEGURANÇA DO ESTUDO DE CASO ................................. 82

8.1 Definição da Função Estado Limite ................................................................... 82

8.2 Variáveis Aleatórias ............................................................................................ 82

8.3 Cálculo da probabilidade de falha ...................................................................... 84

8.3.1 Método de Simulação Monte Carlo ............................................................. 85

8.3.2 Método de Confiabilidade de Primeira Ordem ............................................ 90

8.4 Modelagem da viga protendida .......................................................................... 93

8.5 Cálculo dos Coeficientes Parciais de Segurança ................................................ 95

9. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE .......................................................................... 102

10. CONCLUSÕES .................................................................................................... 116

REFÊRENCIAS ......................................................................................................... 118

ANEXO A .................................................................................................................. 122

A.1 Modelagem da viga protendida usando o programa ABAQUS....................... 122

A.1.1 Viga de concreto ....................................................................................... 122

A.1.2 Ações permanentes ................................................................................... 123

A.1.3 Ações variáveis ......................................................................................... 124

22

1. INTRODUÇÃO

As estruturas em concreto protendido vem sendo implementadas na construção civil em

uma grande quantidade de obras, destacando-se principalmente pontes e viadutos. Atualmente,

o concreto protendido é amplamente utilizado em estruturas como edificações, pistas de

aeroportos, reservatórios de água, silos, entre outras. Uma das vantagens da protensão é a

capacidade de criar uma melhor distribuição de esforços na peça de concreto, permitindo-lhe

suportar uma carga até duas vezes maior do que o suportado por uma peça equivalente em

concreto armado conseguiria, aumentando deste modo a possibilidade de se obter grandes vãos

no caso de estruturas como pontes e edifícios, e resultando em ótimas relações custo-benefício.

A avaliação da segurança de uma estrutura começa a ser indispensável no momento em

que aparecem dúvidas em relação à sua capacidade de suportar as diferentes ações que venham

a solicitá-la. Na determinação da confiabilidade gera-se uma quantidade de incertezas causadas

pela aleatoriedade de alguns parâmetros, os quais devem ser estimados para o cálculo da

probabilidade de falha de uma estrutura. Parte dessas incertezas são causadas por erros humanos

que afetam o desempenho e, portanto a segurança de uma estrutura. Segundo Beck (2006)

existem modelos empíricos que representam as incertezas decorrentes da ação humana.

Formas de implementação de métodos probabilísticos tem passado por um

desenvolvimento importante nos últimos anos: tanto a probabilidade quanto a estatística se

converteram em ferramentas essenciais para a avaliação da incerteza. Especialmente na

Engenharia Estrutural, a confiabilidade tem sido estabelecida como base no desenvolvimento

dos códigos de projeto. No caso específico da avaliação da integridade das estruturas em

concreto protendido, existem imprecisões nas variáveis envolvidas no projeto, que fazem

indispensável o uso de uma abordagem probabilística.

Trabalhos recentemente desenvolvidos nessa área apontam para um aspecto que merece

destaque: “por razões econômicas e de segurança, é imperativo assegurar que as pontes, como

elementos vitais da infra-estrutura de transporte terrestre, se mantenham em condição aceitável

e com elevado nível de confiabilidade” (Jacinto, 2011).

23

Embora haja carência de documentos normativos que regulem esse tipo de abordagem,

a fundamentação apresentada pela Teoria de Confiabilidade, juntamente com ferramentas

computacionais tanto para simulação estatística quanto para análise estrutural atualmente

disponíveis, permite que o trabalho de avaliação possa ser sistematizado.

Tendo em vista que as pontes constituem uma proporção significativa da rede viária,

juntamente com o crescente uso da protensão no Brasil e a carência de análise sobre as diversos

parâmetros relacionados com o projeto para segurança estrutural utilizados nas normas atuais,

estabelece-se como objetivo principal deste trabalho desenvolver um procedimento que permita

determinar o índice de confiabilidade estrutural e a respectiva probabilidade de falha nos

elementos estruturais que compõem pontes de concreto protendido. Os valores obtidos são

comparados aos índices de referência recomendados pela NBR-6118/2014 e pela AASHTO

LRFD. A análise é desenvolvida para uma ponte composta de viga-e-laje em concreto

protendido, levando-se em consideração unicamente os esforços normais.

Fazendo uso do método de simulação Monte Carlo e do Método de Confiabilidade de

Primeira Ordem (FORM), além de um modelo numérico para verificação da capacidade

resistente à flexão, é determinado o nível de segurança da ponte escolhida, em termos do índice

de confiabilidade (β). Uma análise de sensibilidade é efetuada com o propósito de estabelecer

quais parâmetros apresentam um contribuição importante na segurança de uma ponte de

concreto protendido.

24

2. OBJETIVOS

2.1 Objetivo Geral

O objetivo geral deste projeto de pesquisa é apresentar um procedimento de avaliação

da segurança dos elementos estruturais que compõem a superestrutura de pontes de concreto

protendido, tomando como base a Teoria da Confiabilidade. O procedimento é aplicado a um

estudo de caso de uma ponte de viga-e-laje.

2.2 Objetivos Específicos

Obter a probabilidade de falha da ponte escolhida como estudo de caso por meio

do método de simulação Monte Carlo utilizando a ferramenta computacional

MATLAB®.

Aplicar o procedimento analítico baseado na Teoria da Confiabilidade, que

permita gerar o índice de confiabilidade e a correspondente probabilidade de

falha da estrutura analisada.

Realizar uma análise de sensibilidade de cada uma das variáveis aleatórias

escolhidas nas Funções Estado Limite.

Determinar os coeficientes parciais de segurança, e os comparar com as normas

de projeto NBR-6118/2014 e AASHTO LRFD.

25

3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

3.1 Confiabilidade de Pontes em Concreto Protendido

Trabalhos relacionados com a avaliação da segurança de pontes em concreto protendido

vem sendo desenvolvidos por diversos pesquisadores ao longo do tempo, dando resposta às

diferentes questões geradas pelos problemas que a Engenharia Estrutural apresenta.

Chandrasekar e Dayaraatnam (1975) sugeriram um método explícito para a avaliação

da probabilidade de falha de vigas de concreto protendido. Foram formulados dois casos para

o estudo: no primeiro a resistência foi tratada como uma variável aleatória enquanto as cargas

foram tratadas como determinísticas, no segundo tanto a resistência dos materiais como as

cargas foram associadas a um tipo de distribuição de frequência. Os autores concluíram que a

probabilidade de falha de uma viga em concreto protendido é muito sensível à variação do aço,

e menos sensível à variação da resistência do concreto.

Tabsh e Nowak (1991) apresentaram um procedimento prático para o cálculo da

confiabilidade aplicado a pontes em viga, sendo medida em termos do índice de confiabilidade.

O estudo desenvolvido incluiu pontes em diversos materiais como aço, concreto armado e

concreto protendido. Para fazer um paralelo, duas hipóteses sobre o comportamento da estrutura

foram feitas: a primeira considera a análise de falha apenas numa viga, e a segunda considera a

ponte como um sistema estrutural integral. O índice de confiabilidade foi calculado usando um

processo iterativo, o qual está baseado na normalização das variáveis com distribuições

diferentes à normal no ponto chamado “ponto de projeto”. A confiabilidade começou a ser

avaliada com a definição da função estado limite e milhares de simulações por Monte Carlo

foram realizadas usando os parâmetros estatísticos para os materiais. Os autores concluíram

que para pontes em concreto armado e protendido, os parâmetros mais importantes na análise

de confiabilidade são a área do aço e a altura da viga.

Al-Harthy e Frangopol (1994) avaliaram os níveis de confiabilidade de vigas em

concreto protendido, projetadas segundo o código ACI (1989). Os autores estimaram os níveis

de confiabilidade de 73 vigas em concreto protendido, limitando a análise para efeitos de flexão.

O índice de confiabilidade β foi usado como medida da confiabilidade, e o estudo feito foi

direcionado às funções de comportamento não lineares. Para o cálculo das médias das

resistências, basearam-se em Mirza et al. (1979). Como resultado foram obtidos os níveis de

26

confiabilidade para diferentes estados limites, incluindo a tração admissível e as tensões de

compressão nas etapas inicial e final, a fissuração à flexão, e a capacidade última. Os resultados

finais apresentados nesse trabalho contribuíram para o melhor entendimento dos estados limites

implementados no projeto de vigas protendidas.

Nowak et al. (2001) propuseram um estudo comparativo do nível de segurança de vigas

de concreto protendido usando três códigos diferentes: Norma Espanhola IAP-98 (1998), ENV

1991-3, Eurocode (1994), e AASHTO LRFD (1998). Selecionaram cinco vigas protendidas

para realizar uma comparação da confiabilidade estrutural. Foram estabelecidas como variáveis

aleatórias as ações e a resistência. Consegue-se observar na análise que o estado limite de

serviço (tensão à tração do concreto) predomina no projeto das vigas protendidas. Para o cálculo

do índice de confiabilidade foi utilizado um procedimento iterativo. Os resultados indicaram

que o Eurocode é mais conservador do que os outros dois códigos, e AASHTO LRDF é o código

mais permissivo.

Biondini et al. (2004) fizeram uma abordagem direta e sistemática sobre a análise de

confiabilidade de estruturas de concreto armado e protendido, sujeitas a cargas estáticas. Na

análise, a distribuição acumulada dos fatores associados a cada estado limite foi determinada,

e o índice de confiabilidade foi avaliado. A efetividade do método de Monte Carlo na avaliação

da confiabilidade nessa classe de estruturas foi investigada, e o estudo foi feito numa análise

não linear. Foi dada ênfase a estruturas existentes e pontes em arco.

Fazendo uso de vigas convencionais em concreto protendido de diversos vãos, Du e Au

(2005) estabeleceram uma comparação dos índices de confiabilidade, utilizando três códigos:

o código Chinês, o código SDMHR de Hong Kong, e o código AASHTO LRFD. Foram levados

em conta tanto os estados limites de serviço quanto os estados limite últimos. Os autores

concluíram que os índices de confiabilidade obtidos para a capacidade à flexão de uma viga

protendida seguindo os requerimentos de cada código de projeto, são próximos uns dos outros,

embora as quantidades de cabos requeridas sejam diferentes.

Cheng et al. (2007) propuseram um algoritmo eficiente e preciso para prever respostas

de vigas em concreto protendido fissuradas, considerando as incertezas dos parâmetros. Um

ano depois Darmanwan e Stewart (2007) desenvolveram modelos probabilísticos de corrosão

localizada nos cabos de protensão.

27

Souza Jr. (2008) realizou o estudo dos coeficientes parciais de segurança utilizados em

normas de projeto estrutural, onde um exemplo de calibração analítico baseado no método

FOSM foi estudado. O trabalho foi fundamentado na teoria de confiabilidade estrutural,

obtendo como resultado uma estimativa quantitativa da segurança (índice de confiabilidade). A

metodologia de calibração abordada permitiu obter o conjunto de coeficientes parciais de

segurança que minimiza as variações dos índices de confiabilidade das mais diversas estruturas

projetadas segundo uma norma de projeto, em relação ao índice de confiabilidade alvo utilizado

na calibração.

Steinberg (2010) examinou três métodos para determinar a capacidade nominal à flexão

de três vigas protendidas diferentes de pontes UHPC (Ultrahigh Performance Concrete) com

seção tipo caixão. Os três métodos analíticos utilizados foram: o procedimento especificado na

AASHTO LRFD, o procedimento desenvolvido por Garcia (2007) e o método elaborado pelo

autor. Foram efetuadas simulações por Monte Carlo para considerar a variabilidade de um

conjunto de parâmetros e determinar os índices de confiabilidade. Os resultados das análises

executadas mostraram que o procedimento mais simples e familiar, AASHTO, proporciona o

nível de confiabilidade mais consistente.

Agrawak e Bhattacharya (2010) determinaram os fatores de segurança parciais para

vigas retangulares parcialmente protendidas no estado limite último de flexão submetidas a

ações permanentes e variáveis. Descreveram em detalhe uma metodologia baseada na

confiabilidade, para o desenvolvimento de um conjunto de fatores parciais de segurança ideais

para um estado limite determinado. O método FORM foi usado neste estudo, e exemplos

numéricos foram apresentados, incluindo a descrição do projeto de vigas retangulares de

concreto parcialmente protendido submetidas a flexão.

Cheng (2013) apresentou um método efetivo para análise de confiabilidade no estado

limite de serviço de pontes em concreto protendido. Segundo o autor, o método integra as

vantagens de dois outros métodos: Artificial Neural Network (ANN) e First Order Reliability

Method (FORM). O método proposto inclui uma função de estado limite explícita. Uma vez

que esta função é obtida, a probabilidade de falha pode ser estimada usando um método que

consiste num híbrido entre FORM e o método Importance Sampling Updating (ISU). Como um

exemplo prático de engenharia, o estado limite de serviço de uma ponte em concreto protendido

foi apresentada. A explícita formulação da função de estado limite aproximada foi deduzida

usando os parâmetros do modelo ANN estabelecidos.

28

Cheng (2014) introduziu uma metodologia geral para a estimar a confiabilidade de

pontes em concreto protendido, levando em consideração a variabilidade espacial das

propriedades estruturais. A metodologia utilizada foi estabelecida para prover estimativas mais

exatas da probabilidade de falha, a qual foi comparada com o método da análise de

confiabilidade sem considerar um campo aleatório. A confiabilidade é estimada por um

algoritmo de confiabilidade de primeira ordem generalizado, e o autor apresenta o

desenvolvimento do software que foi utilizado. Por meio de um exemplo de uma ponte em

concreto protendido, é apresentada a comparação dos resultados da probabilidade de falha

alcançados pela metodologia introduzida e aquela que não considera o campo aleatório.

San Martins (2014) trabalhou sobre a avaliação da confiabilidade de vigas pré-

tracionadas de concreto protendido em relação ao estado limite último, considerando a

aderência inicial. No ano seguinte Rocha et al. (2015) analisaram a confiabilidade de vigas

portuárias construídas em concreto protendido conforme aos critérios da NBR 6118/2014. Foi

verificada a confiabilidade destas estruturas em relação ao estado limite último de flexão,

utilizando o método de confiabilidade de primeira ordem FORM.

3.2 Avaliação da Segurança em Pontes Existentes

Saraf (1998) fez um aporte no estudo de pontes existentes de laje em concreto armado,

estabelecendo como objetivo principal avaliar, por meio de provas de carga não destrutivas, o

método de fator de carga proposto pela AASHTO. A análise não destrutiva foi utilizada para

calibrar o modelo de elementos finitos. Os modelos calibrados foram usados para calcular os

efeitos devidos às cargas permanentes e às cargas variáveis reais, e por conseguinte obter a

capacidade nominal real da ponte. Os resultados demostraram que o método proposto pela

AASHTO é muito conservador, concluindo que em muitas situações pode-se evitar a reparação

ou a substituição da ponte.

Tanner e Bellod (2000) contribuíram com o estudo de pontes existentes, apresentando

um caso real de uma ponte em arco que precisava sofrer uma ampliação. O objetivo era justificar

a confiabilidade da estrutura existente para as novas condições sem a necessidade de ser

reforçada. O método consistia em uma série de fases pelas quais a ponte deveria ser avaliada,

levando em consideração modelos de resistência atualizados. Os autores aplicaram uma análise

determinística e outra probabilística, obtendo como resultado a proposta de uma solução

estrutural simples para a ponte, sem necessidade de fazer um reforço.

29

Stewart (2001) expôs uma visão ampla sobre os conceitos, metodologia e aplicações da

avaliação de risco de pontes existentes em concreto armado. O estudo desenvolvido abarcou

dois aspectos: o primeiro levou em conta o efeito da idade, do volume de tráfego e da

deterioração, e o segundo levou em conta a influência das especificações de projeto sobre

durabilidade na fissuração longitudinal do concreto armado. Foi estabelecido que as abordagens

baseadas em risco mais adequadas para a implementação imediata são os custos de ciclo de

vida e a classificação do risco. O custo de ciclo de vida é usado para quantificar o custo de uma

decisão.

Akgül e Frangopol (2003) realizaram uma pesquisa sobre a segurança no tempo de vida

de vários tipos de pontes existentes localizadas dentro de uma rede, usando técnicas de

confiabilidade e equações de estado limite com base em requisitos do código AASHTO LRFD.

Para a avaliação da segurança de uma ponte existente, foram estabelecidas as equações que

definem o chamado rating factor, o qual é utilizado principalmente para ser comparado com os

índices de confiabilidade. Os termos interventory rating e operating rating foram introduzidos.

Os rating factors e os índices de confiabilidade foram igualmente calculados no tempo de vida,

de forma contínua, com base na deterioração e em modelos de cargas variáveis.

Akgül e Frangopol (2004) apresentaram uma metodologia geral para análise de pontes

em viga existentes em concreto protendido no seu tempo de vida. Unicamente as componentes

da superestrutura foram consideradas (lajes e vigas). O processo de determinação das funções

de estado limite foi mostrado para a seção de momento máximo positivo, a seção de momento

negativo no apoio do pilar e para a tensão de tração no concreto das vigas. As variáveis

aleatórias, os parâmetros determinísticos e os coeficientes constantes foram definidos.

Cruz et al. (2008) descreveram de uma forma acessível, os métodos de análise de

confiabilidade e a metodologia de verificação da segurança por etapas, os quais podem ser úteis

na avaliação da segurança de pontes existentes. No estudo estabeleceram cinco níveis de

avaliação da segurança com um nível de complexidade crescente. O procedimento proposto

consiste em recorrer a um nível mais avançado sempre que a ponte não cumpre os requisitos

estabelecidos no nível prévio. O método foi aplicado numa ponte ferroviária de concreto

armado, o que permitiu comprovar, segundo os autores, que a metodologia é uma ferramenta

simples e eficaz.

30

Dissanayake e Karunananda (2008) apresentaram uma metodologia baseada em

confiabilidade para monitoramento da saúde de pontes envelhecidas. Estabeleceram um

processo para a avaliação da segurança de pontes existentes, determinando o requisito de uma

manutenção. O processo consistiu em determinar os índices de confiabilidade (elementar e do

sistema) e desta forma obter a probabilidade de falha, comparando o índice de confiabilidade

atual com o valor alvo, avaliando a necessidade da manutenção.

Kotes e Vican (2012) propuseram uma modificação dos níveis de confiabilidade

recomendados de acordo com o Eurocode para os elementos de uma ponte submetidos a flexão,

os quais devem ser aplicados na avaliação de uma ponte existente. Os níveis modificados

dependem da idade da ponte e do tempo de vida remanescente planejado e, por outro lado, da

influência dos fatores de segurança parciais dos materiais e das ações. Os autores definiram um

intervalo de tempo, calculando para ele o índice de confiabilidade e os respetivos níveis de

confiabilidade. A análise proporcionou uma lista de índices de confiabilidade para uma ponte

existente dependendo de seu tempo de vida restante e atual.

Sýkora et al. (2013) propuseram esclarecer as aplicações do método semi-probabilístico

para pontes em concreto armado existentes. Basearam-se na seguinte premissa: apesar do

método ter sido introduzido nas normas ISO 2394 e depois adotado pela norma europeia

Eurocode EN 1990, as regras da sua aplicação não haviam sido especificadas. Exemplos

numéricos foram utilizados para mostrar como os fatores parciais foram deduzidos para

diferentes níveis de confiabilidade alvo. Como resultado da análise, os autores concluíram que

a confiabilidade de pontes existentes pode ser eficazmente verificada utilizando-se coeficientes

parciais com base na abordagem semi-probabilística.

Machín e Sima (2014) apresentaram diferentes metodologias para a avaliação de pontes

existentes que não satisfazem as especificações de uma norma de projeto atual. A metodologia

foi elaborada com base na norma ISO 13822 (2001). A ideia principal da pesquisa foi utilizar

as informações atuais de uma ponte existente que podem ser reunidas, e estudar seu

desempenho utilizando coeficientes parciais menores, sem diminuir o índice de confiabilidade

da estrutura. Por meio de um exemplo, analisando uma ponte existente, os autores

demonstraram que, sem diminuir o índice de confiabilidade, em alguns casos pode resultar

viável reforçar a estrutura ao invés de a demolir e reconstruir.

31

Li e Wang (2015) tiveram como objetivo apresentar um método que integrasse a carga

de serviço e a informação sobre a degradação da resistência na atualização da resistência e da

confiabilidade da estrutura. Foi usada uma função geral e simples de degradação no método

desenvolvido. O estudo considerou o efeito da história das cargas de serviço na resistência e na

confiabilidade de uma ponte envelhecida. Formulas explicitas foram propostas para atualizar

as estimativas da resistência da ponte, a confiabilidade nos anos seguintes, e a resistência inicial.

O método foi aplicado a uma ponte em viga de concreto armado.

3.3 Estudo de Caso

Em algumas pesquisas desenvolvidas pelos autores destacados anteriormente, foi

indispensável a implementação de exemplos e casos de estudo reais, para cumprir os objetivos

nelas estabelecidos. Muitos dos casos foram o meio pelo qual chegou-se a uma avaliação do

método de análise adotado, e à comprovação de sua efetividade. A seguir, são destacados os

casos de estudo escolhidos para cada pesquisa em particular.

Biondini et al. (2004) aproveitaram uma ponte em arco existente de um comprimento

total de 158 metros, com um vão central de 125 m e uma largura total da laje de 8,10 m. A viga

é tipo caixão e o valor da tensão nominal de protensão é de 1200 MPa.

Cruz et al. (2008) adotaram como exemplo, para efetuar a aplicação do método proposto

na avaliação da confiabilidade, a ponte ferroviária de Brunna. Essa ponte ferroviária é

localizada na Suécia, e é uma estrutura tipo pórtico contínuo construída em 1969. O artigo, além

dos valores característicos de todos os parâmetros, apresenta os valores médios, os coeficientes

de variação e os tipos de distribuição assumidos para a análise. São definidos para a estrutura

os modelos probabilísticos da resistência à flexão nas seções críticas de um tramo e os valores

característicos, os valores médios, os coeficientes de variação e as funções de distribuição de

probabilidade, para cada uma das cargas consideradas.

Cheng (2014) no seu método proposto utiliza uma ponte em viga tipo caixão em

concreto protendido de três vãos, constituída por quatro células e uma laje em balanço.

32

4. METODOLOGIA

4.1 Seleção da Estrutura-Modelo para Análise de Caso

A ponte adotada para análise de caso foi previamente selecionada. A escolha se deu

tendo em vista o Trabalho de Final de Curso (TFC) denominado “Avaliação da rigidez à flexão

em pontes de viga-e-laje em concreto protendido a partir de prova-de-carga: estudo de caso –

Ponte La Parroquia”, devido a que o estudo de caso consistiu numa ponte em concreto

protendido, a qual foi construída na Colômbia.

São utilizados os dados disponíveis através do trabalho de pesquisa mencionado acima,

alusivos à geometria da superestrutura da ponte La Parroquia para serem implementados como

exemplo de uma ponte convencional em concreto protendido e alcançar os objetivos

estabelecidos anteriormente.

4.2 Desenvolvimento do Procedimento para Análise de Confiabilidade da

Estrutura

Uma das formas mais comuns na avaliação do nível de segurança de uma estrutura é

por meio do índice de confiabilidade β o qual permite estabelecer a correspondente

probabilidade de falha Pf.

A Função Estado Limite G(x) na determinação do índice de confiabilidade, assume uma

função fundamental, pois representa o desempenho de uma estrutura em termos de um número

de variáveis aleatórias. O problema de confiabilidade básica considera não mais que um efeito

de carga S, suportada por uma resistência, R, ambas descritas por funções de densidade de

probabilidade conhecidas. No presente estudo, o índice de confiabilidade é calculado para um

elemento composto de viga e laje da estrutura previamente descrita, no Estado Limite Último e

no Estado Limite de Serviço.

A Função Estado Limite é baseada nos requisitos descritos nas especificações AASHTO

LRFD (2012), definindo os estados de falha mais comuns para a estrutura e, determinando as

respectivas variáveis aleatórias. Na análise, apenas os esforços normais são considerados.

A implementação do método de simulação Monte Carlo é feita para a determinação da

probabilidade de falha, tendo como validação o método analítico FORM (First Order Reability

Method).

33

É usado como ferramenta computacional o software MATLAB® para o

desenvolvimento do método Monte Carlo, determinando-se o tamanho da amostra a ser

implementado através do procedimento descrito por Nowak e Collins (2000).

Com o objetivo de estabelecer uma comparação entre os resultados alcançados com os

já estabelecidos nas especificações das normas americana e brasileira, são calculados os

coeficientes parciais de segurança 𝛾𝑠 e 𝛾𝑅.

Uma análise de sensibilidade é efetuada através de três métodos diferentes, com a

finalidade de determinar quais variáveis apresentam uma influência importante na segurança

de uma ponte em concreto protendido, e assim simplificar problemas futuros.

4.3 Modelagem Numérica da Estrutura para Obtenção dos Esforços

Utilizam-se dois procedimentos para realizar o cálculo dos esforços na estrutura

escolhida como estudo de caso, com o objetivo de estabelecer uma comparação entre as

respostas obtidas e o custo computacional gerado por cada uma delas.

O primeiro procedimento implementa as expressões analíticas que levam à obtenção dos

esforços produzidos na estrutura por cada uma das ações consideradas na análise, as quais são

resolvidas através do programa MATLAB®. O segundo método consiste em realizar o modelo

da estrutura utilizando o programa de cálculo estrutural ABAQUS o qual aplica o método dos

elementos finitos e consegue, através de um código de programação, incluir no modelo o uso

das variáveis aleatórias.

Uma vez calculados os esforços da estrutura, avaliam-se as Funções Estado Limite no

programa MATLAB® para obter a resposta da probabilidade de falha 𝑃𝑓 e o índice de

confiabilidade 𝛽.

34

5. CONFIABILIDADE ESTRUTURAL

5.1 Generalidades

A segurança e a durabilidade de uma estrutura tornaram-se requisitos indispensáveis nas

normas de projeto estrutural, e estabeleceu-se a análise de confiabilidade como uma ferramenta

que permite determinar se uma estrutura é viável ou não.

Uma análise de confiabilidade tem como proposito encontrar em que condições uma

estrutura deixa de cumprir satisfatoriamente as funções pelas quais foi ou será construída.

Através do cálculo da probabilidade de falha da estrutura, essas condições podem ser

determinadas, tanto para estruturas novas quanto para estruturas existentes.

Como foi afirmado por Santos e Eboli (2006), a aplicação da análise de confiabilidade

leva a atingir dois objetivos principais: verificar se durante a vida útil de uma estrutura, esta

apresentará um nível adequado de desempenho, e verificar se terá uma probabilidade de falha

menor que o valor pré-estabelecido.

Com base em que a teoria da probabilidade não indaga principalmente sobre os

fenômenos que levam à falha da estrutura, se não sobre a frequência em que eles ocorrem, pode-

se afirmar que “a confiabilidade não é uma teoria física das falhas, se não uma teoria estatística,

uma teoria de probabilidades” (Felizia 1996).

O comportamento das estruturas depende de diversos fatores, muitos dos quais não

podem ser controlados de forma absoluta pois são passíveis de uma variabilidade, produzida

por diversas fontes de incerteza. Devido a que os sistemas estruturais têm se tornado cada vez

mais complexos, as incertezas tendem a aumentar em número, conduzindo à uma solução não

determinística do problema.

5.2 Confiabilidade em Pontes de Concreto Protendido

A avaliação da segurança de uma ponte torna-se necessária quando surgem dúvidas

sobre a sua capacidade resistente (Jacinto et al., 2013).

As pontes em concreto protendido vêm sendo amplamente implementadas devido a suas

excelentes características mecânicas e as vantagens que têm na construção. Porém, existe uma

variabilidade no seu desempenho advinda das incertezas que existem nas variáveis de projeto.

35

Essas incertezas incluem a variabilidade das propriedades geométricas e dos materiais,

da força de protensão e das ações tanto as permanentes quanto as variáveis que venham a

solicitá-la. Portanto, a análise da confiabilidade de pontes em concreto protendido deve ser

estudada sob um ponto de vista probabilístico (Cheng, 2013).

Análises de confiabilidade de pontes em concreto protendido tem sido objeto de várias

pesquisas, destacando-se diversos métodos de análise, a maioria considerando cada uma das

incertezas como uma variável aleatória.

5.3 Métodos de Avaliação da Segurança

Diversos métodos de avaliação da segurança aplicadas às estruturas foram

desenvolvidos ao longo do tempo, demonstrando muitas vezes que a análise de confiabilidade

de uma estrutura apresenta soluções mais adequadas quando se utiliza um método probabilístico

ao invés de um método determinístico devido a quantidade de incertezas que são geradas nos

problemas, tanto na área estrutural quanto na engenharia em geral.

Neste capítulo são apresentados dois métodos de avaliação da segurança das estruturas,

que estão associados ao cálculo da probabilidade de falha, a qual “denota simplesmente a

ocorrência de um dano estrutural e engloba naturalmente não só estados limites últimos mas

também estados limites de utilização” (Jacinto, 2011).

5.3.1 Método de Confiabilidade de Primeira Ordem (FORM)

Têm sido desenvolvidos vários métodos que implementam soluções aproximadas na

avaliação da confiabilidade estrutural. Segundo Gomes (2008) estes podem ser agrupados em

dois tipos: os métodos de confiabilidade de primeira ordem (FORM), e os de segunda ordem

(SORM).

Dois passos nestes métodos de aproximação devem ser abordados: o primeiro consiste

na simplificação da integral da Função Densidade de Probabilidade fx(x), fazendo o seu

contorno ser mais regular e simétrico, e o segundo consiste em aproximar o contorno da

integração 𝐺(𝑿) = 0. Depois desses dois passos, uma solução analítica para a integração da

probabilidade será fácil de encontrar (DU, 2005).

36

No desenvolvimento dos métodos FORM derivam-se os chamados métodos FOSM

(também são referidos na literatura como métodos do valor médio de primeira ordem e dos

segundos momentos – MVFOSM), e AFOSM os o quais tornaram-se muito conhecidos pela

sua simplicidade.

Tanto os métodos FOSM quanto os AFOSM são métodos simplificados de primeira

ordem, os quais realizam o cálculo da probabilidade de falha implementando transformações

das variáveis envolvidas no problema, sem necessidade de realizar uma integração numérica.

O nome do Método de Confiabilidade de Primeira Ordem provem do fato que a função

de estado limite 𝐺(𝑿) é aproximada pela expansão de primeira ordem de Taylor (linearização).

A determinação da probabilidade de falha pode ser efetuada através desse método quando as

distribuições das variáveis aleatórias são conhecidas.

No presente estudo o método de confiabilidade de primeira ordem é utilizado, método

que foi inicialmente denominado método avançado de primeira ordem e segundo momento,

AFOSM (Advanced First Order Second Moment Method). Nesse método toda a informação

estatística das variáveis aleatórias do problema é utilizada, ou seja, além da média e desvio

padrão, é usada a distribuição de probabilidades bem como os coeficientes de correlação (Alves,

2014).

O princípio para o desenvolvimento deste método, baseia-se em transformar as variáveis

aleatórias de uma espaço original 𝑿 = (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛) com distribuições quaisquer de

probabilidade, correlacionadas ou não entre si, em um grupo 𝑼 = (𝑈1, 𝑈2, … , 𝑈𝑛) de variáveis

aleatórias estatisticamente independentes, normais equivalentes padronizadas (Paliga, 2008).

A função estado limite no espaço original 𝐺(𝑿) = 𝐺(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛), deve ser expressa

em função das variáveis transformadas 𝐺(𝑼) = 𝐺(𝑈1, 𝑈2, … , 𝑈𝑛), permitindo assim calcular

neste sistema a distância entre superfície de falha e a origem, distância que é definida como o

índice de confiabilidade β. A Figura 5.1 apresenta a transformação do espaço original

𝐺(𝑿) para o espaço normal padrão para as variáveis normais equivalentes 𝐺(𝑼).

37

Figura 5.1. Transformação do espaço original para o espaço padronizado na abordagem FORM (DU,

2005).

A transformação pode ser realizada fazendo uso do método chamado transformação

Rosenblatt, definido pela expressão (5.1):

𝐹𝑋𝑖(𝑋𝑖) = Φ(𝑢𝑖) ( 5.1 )

sendo Φ(𝑢𝑖) a função de distribuição cumulativa da distribuição normal padrão.

A variável normal transformada é obtida através da equação (5.2):

𝑈𝑖 = Φ−1[𝐹𝑋𝑖(𝑋𝑖)] ( 5.2 )

Uma vez que a transformação das variáveis aleatórias é realizada com o objetivo de

fazer a avaliação da probabilidade mais simples, o limite da interação 𝐺(𝑼)=0 será igualmente

aproximado. Aplicando-se a expansão de primeira ordem de Taylor, obtém-se a expressão (5.3):

𝐺(𝑼) ≈ 𝐿(𝑼) = 𝐺(𝒖∗) + ∇𝐺(𝒖∗)(𝑼 − 𝒖∗)𝑇 ( 5.3 )

com

∇𝐺(𝒖∗) = (𝜕𝐺(𝑼)

𝜕𝑈1,𝜕𝐺(𝑼)

𝜕𝑈2, … ,

𝜕𝐺(𝑼)

𝜕𝑈𝑛)

𝒖∗

( 5.4 )

onde 𝐿(𝑼) é a função padrão linearizada, 𝒖∗ = (𝑢1∗, 𝑢2

∗ , … , 𝑢𝑛∗ ) é o ponto de expansão, T indica

a transposta, e ∇𝐺(𝒖∗) é o gradiente de 𝐺(𝑼) em 𝒖∗.

38

Para fazer a expansão da função, o ponto mais adequado é aquele em que se apresenta

a maior densidade de probabilidade, ponto que é chamado de Most Probable Point (MPP). Por

último se faz a estimativa da probabilidade de falha. Na obtenção do índice de confiabilidade

β, segundo o método FORM, um processo iterativo deve ser empregado até que a convergência

do ponto de projeto e do índice de confiabilidade para o problema analisado convirja. A seguir

apresentam-se três passos que resumem o processo do método FORM (DU,2005):

1. transformar as variáveis aleatórias originais do espaço X ao espaço U mediante

a transformação de Rosenblatt;

2. buscar o MPP (Most Probable Point) no espaço U e calcular o índice de

confiabilidade β;

3. calcular a confiabilidade 𝑅 = 𝜙(𝛽).

5.3.2 Método de simulação Monte Carlo

5.3.2.1 Aspectos Gerais

Em muitos problemas de engenharia, manifesta-se a ausência de dados experimentais

que permitem realizar uma determinada análise. O método de simulação Monte Carlo aparece

dando solução a esse problema, criando a possibilidade de gerar um conjunto de resultados

numéricos sem a necessidade de fazer testes experimentais.

Sua ideia básica consiste em simular artificialmente o comportamento de um sistema

por meio de um processo repetitivo, atribuindo a cada variável definida um valor diferente em

cada repetição.

Para que o método Monte Carlo possa ser usado, deve existir uma função que represente

o comportamento da estrutura relacionada a um determinado estado limite, e devem ser

prescritas as distribuições de probabilidade das variáveis envolvidas. Para cada valor das

variáveis, verifica-se a função estado limite: se a função é atingida assume-se que o sistema

atingiu a falha.

Repete-se este processo o número de vezes indispensável para que os resultados sejam

coerentes com a precisão desejada no cálculo da probabilidade de falha. Como resultado final

obtém-se uma amostra que pode ser tratada estatisticamente, a qual é similar a uma amostra

obtida por um método experimental.

39

5.3.2.2 Cálculo do número de simulações

Na simulação de Monte Carlo, deve ser determinado o número de iterações

indispensáveis para se obter um tamanho de amostra que permita um cálculo apropriado da

probabilidade de falha.

Descreve-se a seguir o método proposto por Nowak e Collins (2000).

A probabilidade de falha é calculada usando-se a relação (5.5):

𝑃𝑓 =𝑛

𝑁

( 5.5 )

sendo 𝑁 o número total de simulações e 𝑛 o número de vezes em que um determinado critério

foi alcançado.

A probabilidade de falha obtida com a expressão acima variará dependendo da amostra.

Portanto, a própria probabilidade de falha pode ser tratada como uma variável aleatória com

sua própria média, desvio-padrão, e coeficiente de variação.

Estabelecendo-se 𝑃𝑒 como a probabilidade esperada, que está se tentando estimar por

meio do cálculo de 𝑃𝑓, o valor esperado, a variância, e o coeficiente de variação da

probabilidade estimada podem ser obtidos pelas expressões (5.6), (5.7) e (5.8),

respectivamente:

𝐸[𝑃𝑓] = 𝑃𝑒 ( 5.6 )

𝜎𝑃𝑓2 =

1

𝑁[𝑃𝑒(1 − 𝑃𝑒)] ( 5.7 )

𝑉𝑃𝑓 = √(1 − 𝑃𝑒)

𝑁(𝑃𝑒)

( 5.8 )

Rearranjando-se a equação (5.8) é possível obter, para uma dada probabilidade pré-

estimada (𝑃𝑒) o número de simulações necessário 𝑁.

É possível deduzir das expressões anteriores que a incerteza na estimativa da

probabilidade decresce à medida que o número total de simulações, 𝑁, cresce.

40

5.4 Análise de Sensibilidade

Alguns parâmetros apresentam um efeito importante no desempenho geral de uma

estrutura, enquanto outros não são significativos. Para identificar o comportamento de cada

parâmetro, pode ser feita uma análise de sensibilidade. Segundo Hamby (1994) uma análise de

sensibilidade deve ser realizada por várias razões, a saber: (1) analisar quais parâmetros

requerem um estudo adicional para diminuir a incerteza da resposta; (2) analisar quais

parâmetros são insignificantes e podem ser eliminados do modelo final; (3) analisar quais

variáveis contribuem mais na resposta de um sistema; (4) analisar quais parâmetros apresentam

uma maior correlação com a resposta; e (5) analisar quais consequências são obtidas na

mudança dos parâmetros.

Diversos autores fizeram uma distinção entre parâmetros "importantes" - aqueles cuja

incerteza contribui substancialmente para a incerteza nos resultados da avaliação, e parâmetros

“sensíveis” – aqueles que têm uma influência significativa na avaliação de resultados. Esta

distinção é feita devido a que um modelo é sensível a alguns parâmetros de duas formas

diferentes: (1) a aleatoriedade, ou incerteza, associada com a sensibilidade de um parâmetro de

entrada propaga-se através do modelo, tendo como resultado uma contribuição importante na

aleatoriedade da resposta geral; (2) os resultados do modelo podem ser altamente

correlacionados com um parâmetro de entrada, fazendo com que pequenas mudanças no

parâmetro de entrada produzam mudanças significativas na resposta. É necessário ressaltar que

um parâmetro importante é sempre um parâmetro sensível, mas um parâmetro sensível não é

sempre um parâmetro importante (Hamby ,1994).

Para poder melhorar um modelo de avaliação da segurança de um sistema, a análise de

sensibilidade é uma das opções que permitem ter uma maior noção sobre as incertezas que

influem no colapso ou no evento de falha em análise, e dessa forma ressaltar aquelas variáveis

que apresentam maior sensibilidade na resposta, diminuindo a quantidade de variáveis

aleatórias a serem consideradas com fins de obter um menor custo computacional.

Existem diversos métodos que conseguem obter uma determinada relação entre as

variáveis aleatórias e a resposta do sistema em análise. No presente estudo são mencionados e

implementados três métodos que permitem alcançar um valor da proporção da participação de

uma determinada variável.

41

O primeiro método implementado para análise de sensibilidade, o qual foi

implementado e definido em diferentes trabalhos (Halhalli, 2014; Rakoczy e Nowak, 2013),

consiste em observar como o índice de confiabilidade muda quando os valores das variáveis

aleatórias são alterados. Três casos são estabelecidos:

1. considerando-se a variável aleatória em análise como um parâmetro determinístico;

2. aumentando-se o valor da variável aleatória em análise em 5%;

3. aumentando-se o valor da variável aleatória em análise em 20%.

O segundo método de análise de sensibilidade consiste em calcular o Índice de

Importância (Ii) de cada variável, que é função do fator de sensibilidade obtido através do

FORM, sendo definido pela expressão (5.9.):

𝐼𝑖 = 𝛼𝑖2 ( 5.9 )

onde 𝛼𝑖 é o fator de sensibilidade de cada variável.

O terceiro método utilizado consiste em calcular o coeficiente de Pearson, o qual é um

coeficiente que determina a correlação entre duas variáveis. Gardner et al. (1981)

recomendaram o uso de coeficientes de correlação derivados de simulações de Monte Carlo,

como uma forma razoável de classificar as variáveis aleatórias de acordo com sua contribuição

na análise.

O coeficiente de Pearson é definido pela equação (5.10):

𝑟 =∑ (𝑥𝑖 − 𝜇𝑥)(𝑦𝑖 − 𝜇𝑦)𝑛𝑖=1

[ ∑ (𝑥𝑖 − 𝜇𝑥)2 𝑛𝑖=1 ∑ (𝑦𝑖 − 𝜇𝑦)

2 𝑛

𝑖=1 ]

( 5.10 )

sendo xi a variável de entrada (a variável aleatória) e yi a variável de saída (Função Estado

Limite), e μx e μy suas respectivas médias.

42

6. PROCEDIMENTO PARA AVALIAÇÃO DA SEGURANÇA DE

PONTES EM CONCRETO PROTENDIDO

Nesse capítulo propõe-se um procedimento baseado na teoria da confiabilidade para

avaliar a segurança de pontes em concreto protendido de viga-e-laje, levando em consideração

os casos mais prováveis de falha. O procedimento é dividido em três etapas: definição da

Função Estado Limite, escolha das variáveis aleatórias, e cálculo da probabilidade de falha

utilizando duas metodologias.

A seguir nos itens 6.1, 6.2 e 6.3 são descritas cada uma dessas etapas que levam à

obtenção da probabilidade de falha.

6.1 Definição da Função Estado Limite

Na avaliação da segurança de um sistema deve-se encontrar a expressão matemática que

defina melhor o evento a ser analisado. A Função Estado Limite 𝐺(𝑥) na Engenharia Estrutural

é essa expressão matemática que define o comportamento de uma estrutura num determinado

estado de falha, sendo possível obter a probabilidade da sua ocorrência.

A determinação da Função Estado Limite para pontes em concreto protendido de viga-

e-laje é derivada segundo os requerimentos estabelecidos na AASHTO LRFD Bridge Design

Specifications (2012).

Tomando-se como caso mais provável de falha a ruína de um dos elementos da

superestrutura da ponte, efetua-se uma avaliação da probabilidade de falha de uma das vigas

protendidas da ponte. Destacam-se os três casos básicos de falha para uma viga protendida:

flexão positiva na seção crítica, tensão à tração do concreto, e flexão negativa na seção crítica

(Akgül e Frangopol, 2004).

6.1.1 Flexão Positiva no Meio do Vão

A função estado limite 𝐺1 para uma viga submetida à flexão é definida através da

equação (6.1):

𝐺1 = 𝑀𝑢 − ( 𝑀𝐷𝐶 + 𝑀𝐷𝑊 + 𝑀𝐿𝐿+𝐼𝑀) = 0

( 6.1 )

43

sendo 𝑀𝑢 o momento último resistente, 𝐷𝐶 𝑒 𝐷𝑊, são os pesos próprios da estrutura e dos

elementos não estruturais, respectivamente, 𝑀𝐷𝐶 e 𝑀𝐷𝑊 os momentos devidos a esses pesos

próprios, 𝐿𝐿 𝑒 𝐼𝑀 são a carga variável (nesse caso veicular) e o fator do efeito dinâmico

chamado de fator de impacto, respectivamente, e 𝑀𝐿𝐿+𝐼𝑀 o momento devido a essa carga

variável acrescida do impacto da carga veicular.

A ação variável é definida para um periodo de referencias de 75 anos, segundo a

AASHTO LRFD.

O momento resistente último é calculado dependendo do comportamento que apresenta

a viga:

1. Comportamento como viga retangular

𝑀𝑢 = 𝐴𝑝𝑠𝑓𝑝𝑠 (𝑑𝑝 −𝑎

2)

( 6.2 )

𝑎 = 𝛽1𝑐 ( 6.3 )

𝑐 =𝐴𝑝𝑠𝑓𝑝𝑢

0,85𝑓𝑐′𝛽1𝑏 + 𝑘𝐴𝑝𝑠

𝑓𝑝𝑢𝑑𝑝

( 6.4 )

sendo

𝑓𝑝𝑠 = 𝑓𝑝𝑢 (1 − 𝑘𝑐

𝑑𝑝)

( 6.5 )

𝑘 = 2(1,04 −𝑓𝑝𝑦𝑓𝑝𝑢

)

( 6.6 )

onde fps é a tensão média no aço de protensão, 𝐴𝑝𝑠 é a área transversal do cabo de protensão, 𝑑𝑝

é a distância entre a extremidade à compressão extrema até o centróide dos cabos de protensão,

𝑏 é a largura da viga, 𝑎 é a profundidade equivalente do bloco de tensão, 𝑐 é a distância a partir

do extremo da extremidade à compressão até o eixo neutro, 𝛽1 é o fator do bloco de tensão, 𝑓𝑐′ é

a resistência específica a compressão do concreto (aos 28 dias), 𝑓𝑝𝑦 é a resistência à fluência do

aço de protensão e, 𝑓𝑝𝑢 é a resistência específica à tração do aço de protensão.

44

2. Comportamento como viga T

𝑀𝑢 = 𝐴𝑝𝑠𝑓𝑝𝑠 (𝑑𝑝 −𝑎

2) + 0,85𝑓𝑐

′(𝑏 − 𝑏𝑤)ℎ𝑓 (𝑎

2−ℎ𝑓2)

( 6.7 )

𝑐 =𝐴𝑝𝑠𝑓𝑝𝑢 − 0,85𝑓𝑐

′(𝑏 − 𝑏𝑤)ℎ𝑓

0,85𝑓𝑐′𝛽1𝑏𝑤 + 𝑘𝐴𝑝𝑠


( 6.8 )

onde 𝑏𝑤 é a largura da alma da viga, ℎ𝑓 é a altura da parte da viga submetida à compressão.

O momento advindo da carga variável é calculado através da expressão (6.9):

𝑀𝐿𝐿+𝐼𝑀 = (𝑀𝑣𝑒 ∗ (1 + 𝐼𝑀) +𝑀𝑐𝑎) ∗ 𝐷𝐹𝑀 ( 6.9 )

sendo 𝐷𝐹𝑀 o fator de distribuição do momento de flexão, 𝑀𝑣𝑒 e 𝑀𝑐𝑎 os momentos devido ao

peso do veículo de projeto e à carga acidental distribuída chamada de lane load,

respectivamente.

O fator 𝐷𝐹𝑀 é calculados segundo as especificações da AASHTO LRFD 4.6.2.2.2, e

sua finalidade é distribuir os momentos advindos das ações variáveis nas vigas que compõem

a estrutura. Este fator depende do tipo de estrutura que está sendo avaliada.

No cálculo dos momentos gerados no elemento devido ao veículo de projeto e à carga

distribuída, devem-se implementar as linhas de influência para os casos mais críticos.

Finalmente é obtida a expressão (6.10) que define a primeira Função Estado Limite,

considerando-se comportamento do elemento estrutural como viga T:

𝐺1 = 𝐴𝑝𝑠𝑓𝑝𝑠 (𝑑𝑝 −𝑎

2) + 0,85𝑓𝑐


2−ℎ𝑓2) − 𝑀𝐷𝐶 − 𝑀𝐷𝑊

−(𝑀𝑣𝑒𝑖𝑐𝑢𝑙𝑜 ∗ (1 + 𝐼𝑀) +𝑀𝑐𝑎) ∗ 𝐷𝐹𝑀

( 6.10 )

Para uma elemento com comportamento estrutural como viga retangular, basta

estabelecer 𝑏𝑤 = 𝑏 na expressão (6.10).

45

6.1.2 Tensão à Tração do Concreto

O estado limite de serviço de uma viga em concreto protendido pode ser avaliado com

base nas tensões limite à tração e à compressão do concreto, na tensão à tração limite no aço de

protensão, e na deformação limite à flexão.

No presente trabalho é considerada a função estado limite 𝐺2 para a tensão à tração do

concreto de uma viga composta protendida, mostrada na expressão (6.11) na qual comsederam-

se as tensões em MPa.:

𝐺2 = 𝑓𝑡𝑟 − (𝑓𝑝𝑏 + 𝑓𝐷𝐶𝑏 + 𝑓𝐷𝑊𝑏 + 𝑓(𝐿𝐿+𝐼𝑀)𝑏) ( 6.11 )

sendo

𝑓𝑡𝑟 = 0,5 √𝑓’c ( 6.12 )

onde 𝑓𝑡𝑟 é a tensão à tração resistente da estrutura, f’c é a resistência característica à compressão

do concreto (aos 28 dias); 𝑓𝑝𝑏 é a tensão à flexão na extremidade inferior da viga devido à força

de protensão; 𝑓𝐷𝐶𝑏, 𝑓𝐷𝑊𝑏 e 𝑓(𝐿𝐿+𝐼𝑀)𝑏 são as tensões à flexão na extremidade inferior da viga

devidas à carga permanente dos elementos estruturais, à carga permanente dos elementos não

estruturais, e às cargas variáveis incluindo o impacto por carga veicular, respectivamente.

A tensão devido à força de protensão 𝑓𝑝𝑏 pode ser calculada através da expressão (6.13):

𝑓𝑝𝑏 = −∑𝑃𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝐴𝐺

−∑𝑃𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒𝑖

𝑆𝐺𝑖

( 6.13 )

sendo

𝑆𝐺𝑖 =𝑦𝐺𝑖𝐼𝐺

( 6.14 )

onde 𝑃𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 é a força da protensão após as perdas totais, 𝑒𝑖 é a excentricidade individual de cada

cabo da armadura de protensão, 𝑆𝐺𝑖 é o módulo de seção em relação à extremidade inferior da

viga, e 𝑦𝐺𝑖 é a distância entre a extremidade inferior da viga e o eixo neutro.

A força final de protensão é a força aplicada nos cabos descontadas as perdas e é definida

como:

𝑃𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑃𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 − ∆𝑓𝑝𝑇𝐴𝑝𝑠 ( 6.15 )

46

sendo ∆𝑓𝑝𝑇 as perdas totais da força de protensão, que incluem perdas devidas ao atrito (∆𝑓𝑝𝐹),

à acomodação da ancoragem (∆𝑓𝑝𝐴), ao encurtamento e ao alongamento elástico (∆𝑓𝑝𝐸𝑆), e as

perdas progressivas causadas pela retração e fluência do concreto e pela relaxação do aço

(∆𝑓𝑝𝐿𝑇).

Nas expressões (6.16) mostram-se as tensões que são provocadas pelas ações

permanentes e variáveis que solicitam a estrutura. Substituindo-as na expressão (6.11) a Função

Estado Limite 𝐺2 é dada na equação (6.17):

𝑓𝐷𝐶𝑏 =𝑀𝐷𝐶

𝑆𝐺𝑖 ; 𝑓𝐷𝑊𝑏 =

𝑀𝐷𝑊

𝑆𝐺𝑖 ; 𝑓𝐿𝐿+𝐼𝑀 =

𝑀𝐿𝐿+𝐼𝑀

𝑆𝐺𝑖

( 6.16 )

𝐺2 = 𝑓𝑡𝑟 − (−∑𝑃𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝐴𝐺


𝑆𝐺𝑖+𝑀𝐷𝐶

𝑆𝐺𝑖+𝑀𝐷𝑊

𝑆𝐺𝑖+𝑀𝐿𝐿+𝐼𝑀

𝑆𝐺𝑖)

( 6.17 )

6.1.3 Flexão Negativa na Seção Crítica

A flexão negativa em pontes de viga-e-laje é apresentada quando existem vigas

continuas sendo a seção crítica aquela onde encontra-se apoiado o pilar. Devido a que está se

analisando a flexão negativa, conclui-se que o momento último resistente está sendo dado pela

capacidade da armadura passiva na extremidade superior da viga.

O momento resistente da armadura passiva está dada pela equação (6.18):

𝑀𝑢 = 𝐴𝑠𝑓𝑦 (𝑑𝑠 −𝐴𝑠𝑓𝑦

1.7𝑓′𝑐𝑏𝑓𝑏)

( 6.18 )

onde 𝐴𝑠 é a área da armadura passiva, 𝑓𝑦 é a resistência a tração da armadura passiva, 𝑑𝑠 é a

distancia medida desde a base da viga até a posição da armadura passiva, 𝑓′𝑐 é a resistência à

compressão do concreto da viga e 𝑏𝑓𝑏 é a medida da largura inferior da viga.

Os momentos solicitantes considerados são os mesmos que foram definidos no item

6.1.1, portanto obtém-se a função estado limite 𝐺3 na expressão (6.19):

𝐺3 = 𝐴𝑠𝑓𝑦 (𝑑𝑠 −𝐴𝑠𝑓𝑦

1.7𝑓′𝑐𝑏𝑓𝑏

) − 𝑀𝐷𝐶 −𝑀𝐷𝑊 − (𝑀𝑣𝑒 ∗ (1 + 𝐼𝑀) +𝑀𝑐𝑎) ∗ 𝐷𝐹𝑀

( 6.19 )

47

6.2 Variáveis Aleatórias

6.2.1 Escolha das variáveis aleatórias

Segundo o JCSS (2000), para cada função estado limite especificada devem ser

estabelecidas as variáveis que permitam caracterizar as ações, a influência do meio, as

propriedades dos materiais e as quantidades geométricas. Normalmente essas variáveis devem

ser consideradas em principio como variáveis básicas, devido a que permitem descrever o

comportamento de uma estrutura.

Com base na literatura (Al-Harthey e Frangopol, 1994; Akül e Frangopol, 2004; Nowak

e Collins, 2000; Roche et. al., 2015), foram escolhidas as variáveis que comumente são

consideradas como aleatórias no estudo da confiabilidade de vigas em concreto protendido, as

quais fazem parte das Funções Estado Limite 𝐺1, 𝐺2 e 𝐺3 desenvolvidas no item 6.1

representadas pelas equações (6.10), (6.16) e (6.18), respectivamente. Para o presente estudo

essas variáveis estão relacionadas na Tabela 6.1.

As distribuições de probabilidade definidas para algumas das variáveis aleatórias foram

obtidas na literatura corrente, a qual será devidamente referenciada a posteriori. A seguir,

considerações feitas para cada variável aleatória são mencionadas.

Tabela 6.1. Variáveis aleatórias.

Variável

[m2]

[m2]

[m]

[m]

[m]

[kN/m2]

[kN/m2]

[kN/m2]

[m]

[kN]

[kN/m]

[kN.m]

área da armadura de protensão

Definição

momento devido ao veículo de projeto

peso proprio da viga

força de protensão inicial

altura da viga

resistência à tração da armadura de protensão

resistência a compressão do concreto da viga

largura da mesa da viga

distância do centro de gravidade da viga composta até a fibra inferior

distância do centro da armadura de protensão ate o centróide da viga

área da armadura passiva

resistência à tração da armadura passiva

𝐴𝑝𝑠𝐴𝑠𝑦𝑏𝑠𝑦𝐺𝑐

𝑏𝑓′𝑐𝑓𝑝𝑢

𝑓𝑦ℎ𝑣𝑖𝑔𝑎𝑃𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

𝐷𝐶𝑀𝑣𝑒

48

6.2.2 Distribuições e parâmetros

Propriedades dos materiais

As propriedades dos materiais, como as resistências à tração e à compressão de cada

material que compõe uma estrutura, segundo o JCSS (2000) e outros estudos (Akgül e

Frangopol, 2004; Nowak e Collins, 2000), podem ser adotadas como tendo distribuição log-

normal.

Propriedades geométricas da estrutura

As propriedades geométricas da estrutura podem assumir uma distribuição de

probabilidade normal, segundo o estabelecido no JCSS (2000).

Ações que atuam sobre a estrutura

A JCSS (2000) e alguns estudos afirmam que as ações permanentes podem assumir uma

distribuição de probabilidade normal, e as ações variáveis deveriam assumir distribuições que

representem a sua frequência de ocorrência.

No presente trabalho, as ações variáveis consideradas são as cargas veiculares incluindo

o efeito dinâmico produzido por essas cargas. Tratando-se de uma ação variável assume-se uma

distribuição de Extremos tipo I (Gumbel), assim como é sugerido por AI-Harthy e Frangopol

(1994), Steinberg (2010) e Rocha et al. (2015).

Os parâmetros de cada distribuição a ser utilizada podem ser obtidos através das

expressões apresentadas a seguir.

Distribuição Normal

A partir de um valor característico ou valor de projeto 𝑥, e em função do coeficiente de

variação 𝑉𝑋, as expressões que definem a média 𝜇𝑥 e o desvio-padrão 𝜎𝑥 da variável em questão,

podem ser determinadas pelas expressões (6.20) e (6.21):

𝑥 = 𝜇𝑋 − 𝑢𝜎𝑋 ( 6.20 )

𝑉𝑋 =𝜎𝑋𝜇𝑋

( 6.21 )

49

sendo 𝑥 a variável normal, 𝜇𝑋 a média, 𝜎𝑋 o desvio-padrão, 𝑉𝑋 o coeficiente de variação, e 𝑢

é a variável normal reduzida, a qual está relacionada ao quantil pré estabelecido.

Substituindo-se a equação (6.20) em (6.21), obtêm-se as expressões (6.22) e (6.23):

𝜇𝑥 =𝑥

1 − 𝑢𝑉𝑋

( 6.22 )

𝜎𝑋 = 𝑉𝑋𝜇𝑥 ( 6.23 )

Distribuição Log-Normal

Uma variável aleatória 𝑥 é uma variável aleatória log-normal se: 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑥) é

normalmente distribuída. A partir desta suposição, tem-se a expressão (6.24):

𝑦 = 𝜇𝑌 − 𝑢𝜎𝑌 ( 6.24 )

onde

𝑦 = ln(𝑥) ( 6.25 )

𝜎𝑌 = 𝜎𝑙𝑛𝑋 = √ln(𝑉𝑋2 + 1)

( 6.26 )

𝜇𝑌 = 𝜇lnX = ln(𝜇𝑋) −1

2𝜎𝑙𝑛𝑋2

( 6.27 )

𝜎𝑋 = 𝑉𝑋𝜇𝑥 ( 6.28 )

sendo 𝑦 a variável com distribuição normal, 𝑥 a variável com distribuição log-normal, 𝜇𝑌 e 𝜎𝑌

a média e o desvio-padrão da variável normal, respectivamente, 𝜇𝑋 e 𝜎𝑙𝑛𝑋 a média e o desvio-

padrão da variável com distribuição log-normal, respectivamente, e 𝑉𝑋 o coeficiente de variação

da variável x.

Das equações (6.23) e (6.26) obtêm-se as expressões (6.29) e (6.30):

𝜇lnX = ln(𝑥) + 𝑢𝜎𝑙𝑛𝑋 ( 6.29 )

𝜇𝑥 = 𝑒𝜇lnX+12𝜎𝑙𝑛𝑋2

( 6.30 )

Substituindo-se as expressões (6.27) e (6.29) na equação (6.30), obtém-se:

50

𝜇𝑥 = 𝑒ln(𝑥)+𝑢√ln(𝑉𝑋

2+1) + 12ln(𝑉𝑋

2+1)

( 6.31 )

Os coeficientes de variação das variáveis já definidas foram extraídos da literatura

anteriormente mencionada e podem ser observados na Tabela 6.2. Com esses valores podem-

se calcular os parâmetros das distribuições de probabilidade.

Tabela 6.2. Distribuições de probabilidade e coeficientes de variação.

Para as variáveis 𝐴𝑝𝑠, 𝐴𝑠, ℎ𝑣𝑖𝑔𝑎, 𝑦𝑏𝑠 e 𝑦𝐺𝑐 pode-se adotar como valor da média 𝜇𝑥 o

valor nominal ou valor de projeto conforme sugerido por Steinberg (2010) e por Akgül e

Frangopol (1994), ou seja:

𝜇𝑥 = 𝑥𝑘 ( 6.32 )

sendo 𝑥𝑘 o valor característico ou de projeto da variável.

A média da variável 𝑏 pode ser adotada pela expressão (6.33), como estabelecido por

Steinberg (2010):

𝜇𝑥 = 𝑥𝑘 + 0,004 ( 6.33 )

Para as ações permanentes e os esfoços devido às ações variáveis que atuam na estrutura,

nesse caso o peso próprio da estrutura 𝐷𝐶 e o momento devido ao veículo de projeto 𝑀𝑉𝑒, pode-

se adotar uma média expressa em (6.34) e (6.35), respectivamente, segundo o estabelecido por

Al-Harthy e Frangopol (1994):

Variável Distribuição Vx

[m2] Normal 0,0125

[m2] Normal 0,02

[m] Normal 0,08

[m] Normal 0,009

[m] Normal 0,004

[kN/m2] Log-Normal 0,15



[m] Normal 3,2E-05

[kN] Normal 0,05

[kN/m] Normal 0,1

[kN.m] Gumbel 0,25

AI-Harthy e Frangopol (1994), Nowak e Collins (2000)

AI-Harthy e Frangopol (1994), Steinberg (2010)

Referência

AI-Harthy e Frangopol (1994)

Nowak e Collins (2000)


Akgül e Frangopol (2004)

AI-Harthy e Frangopol (1994)

Akgül e Frangopol (2004)

Nowak e Collins (2000)




𝐴𝑝𝑠𝐴𝑠𝑦𝑏𝑠𝑦𝐺𝑐

𝑏𝑓′𝑐𝑓𝑝𝑢

𝑓𝑦ℎ𝑣𝑖𝑔𝑎𝑃𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙


51

𝜇𝐷𝐶 = 𝐷𝐶𝑘 ∗ 1,05 ( 6.34 )

𝜇𝑀𝑉𝑒= 𝑀𝑉𝑒𝑘

∗ 0,89 ( 6.35 )

Para as variáveis 𝑓′𝑐, 𝑓𝑝𝑢, 𝑓𝑦, e 𝑃𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 deve ser calculada a média com as expressões

(6.22) e (6.31) descritas anteriormente, dependendo da distribuição de probabilidade. O desvio-

padrão de cada uma delas é obtido através da expressão (6.28).

6.3 Cálculo da Probabilidade de Falha

O cálculo da probabilidade de falha é realizado através do método de simulação Monte

Carlo e, como parte do procedimento desenvolvido nesse capítulo, é implementado o Método

de Confiabilidade de Primeira Ordem FORM com o objetivo de validar os dados que sejam

alcançados pela simulação. O método FORM é baseado na Teoria de Confiabilidade, e foi

descrito no Capítulo 5.

6.3.1 Método de Simulação Monte Carlo

O método de Monte Carlo é aplicado através do programa MATLAB®, utilizando-se

um pacote estatístico que permite gerar um número N de valores randômicos, seguindo uma

determinada função de distribuição de probabilidade. Com esses valores, as Funções Estado

Limite são avaliadas N vezes, de tal forma que possa ser calculada a probabilidade de falha

através da equação (6.36) já mencionada no Capítulo 5:

𝑃𝑓 =𝑛

𝑁

( 6.36 )

sendo 𝑛 o número de vezes em que 𝐺(𝑥) alcança um valor menor ou igual a zero.

O método trabalha com as variáveis aleatórias definidas no item 6.2.1, seguindo as

funções de distribuição de probabilidade estabelecidas no mesmo item com os respectivos

parâmetros.

Para o cálculo do número de valores N necessário para obter uma probabilidade 𝑷𝒆 é

utilizado o método proposto por Nowak e Collins (2000) mencionado no Capítulo 5 do presente

trabalho.

52

Inicialmente é assumida uma probabilidade de falha de 𝑷𝒆 =10-5, que no caso será a

probabilidade esperada com um coeficiente de variação 𝑉 = 0,1. Com esses valores de 𝑷𝒆 e 𝑉

obtém-se o número de simulações N aproximado por meio da expressão (6.37):

𝑁 =1 − 𝑷𝒆

𝑷𝒆 ∙ 𝑉2 ( 6.37 )

Como parte final do método de simulação, a probabilidade de falha é calculada através

da expressão (6.36) a qual permite a obtenção do seu valor numa forma aproximada. O número

n indica a quantidade de vezes em que a estrutura atingiu o estado de falha definido.

Também é possível calcular o valor do índice de confiabilidade 𝛽, através da expressão

(6.38):

𝛽 = −𝜙−1(𝑃𝑓) ( 6.38 )

6.3.2 Método de Confiabilidade de Primeira Ordem FORM

Como foi mencionado, para validar os valores do índice de confiabilidade e da

probabilidade de falha alcançados na simulação por Monte Carlo, implementa-se o Método de

Confiabilidade de Primeira Ordem FORM. Esse método aplica o procedimento de Rackwitz-

Fiessler (Haldar e Mahadevan, 2000), sendo esse um procedimento iterativo baseado na teoria

da confiabilidade, o qual precisa que a distribuição de probabilidade de cada variável envolvida

seja conhecida.

A ideia básica do procedimento começa com o cálculo dos parâmetros normais

equivalentes para aquelas variáveis que não possuem uma distribuição normal. No cálculo dos

parâmetros equivalentes é necessário que a CDF (Cumulative Distribution Function) e a PDF

(Probability Density Function) da função sejam iguais às CDF e PDF de distribuição normal

no ponto que fica no contorno da falha descrito como 𝐺(𝑥) = 0 (Nowak e Collins, 2000).

Os passos básicos do procedimento iterativo são descritos a seguir:

1. definir as funções estado limite a serem avaliadas. Identificar as variáveis aleatórias

e suas distribuições de probabilidade juntamente com os parâmetros;

53

2. para a primeira iteração, escolher um ponto de projeto inicial {𝑥𝑖∗} para as n-1

variáveis 𝑋𝑖. Geralmente é definida a média de cada variável como o primeiro ponto

de projeto. A variável 𝑋𝑛 é obtida resolvendo-se a expressão G = 0, com o objetivo

de criar a certeza de que o ponto de projeto esteja no contorno de falha;

3. para cada variável com uma distribuição de probabilidade diferente da normal,

determinar a média equivalente 𝜇𝑋𝑖𝑒 e o desvio-padrão equivalente 𝜎𝑋𝑖

𝑒 . Para uma

distribuição Log-Normal utilizam-se as expressões (6.39) e (6.40):

𝜎𝑋𝑒 = 𝑥∗𝜎ln𝑋 ( 6.39 )

𝜇𝑋𝑒 = 𝑥∗[1 − ln(𝑥∗) + 𝜇ln𝑋] ( 6.40 )

4. determinar as variáveis reduzidas {𝑢𝑖∗} correspondentes ao ponto de projeto {𝑥𝑖

∗}

usando a equação (6.41):

𝑢𝑖∗ =

𝑥𝑖∗ − 𝜇𝑋𝑖

𝑒

𝜎𝑋𝑖𝑒

( 6.41 )

5. determinar o valor de {𝐺}, que consiste num vetor que leva as derivadas parciais da

função estado limite com respeito a cada variável aleatória, avaliada no ponto

definido no item 2, e que está representado pela equação (6.42):

{𝐺} = {𝜕𝐺

𝜕𝑥𝑖∗}

( 6.42 )

onde 𝐺 é a função estado limite que está sendo analisada.

6. para calcular o índice de confiabilidade, utilizar a equação (6.43):

𝛽 ={𝐺}𝑇{𝑢∗}

√{𝐺}𝑇{𝐺}

( 6.43 )

7. calcular o vetor dos coeficientes de sensibilidade {𝛼} através da expressão (6.44):

{𝛼} ={𝐺}

√{𝐺}𝑇{𝐺}

( 6.44 )

8. para uma segunda iteração calcular o novo ponto de projeto para as variáveis

reduzidas {𝑢𝑖∗} utilizando-se a expressão (6.45):

54

𝑢𝑖∗ = 𝛼𝑖𝛽 ( 6.45 )

9. com os valores de {𝑢𝑖∗} novos, calcular o ponto de projeto no espaço original com a

equação (6.46):

𝑥𝑖∗ = 𝜇𝑋𝑖

𝑒 + 𝑢𝑖∗ ∙ 𝜎𝑋𝑖

𝑒 ( 6.46 )

10. repetir os passos anteriores até o valor do índice de confiabilidade convergir.

Uma vez que a convergência é alcançada, calcula-se a probabilidade de falha por meio

da expressão (6.47):

𝑃𝑓 = 𝜙(−𝛽) ( 6.47 )

Comparam-se esses valores com os obtidos pelo método da simulação Monte Carlo.

55

7. DESCRIÇÃO DO ESTUDO DE CASO

Como estudo de caso foi escolhida a ponte La Parroquia a qual encontra-se localizada

em Santander-Colômbia, na via La Renta – San Vicente de Chucurí, e é uma das várias pontes

que ficaram inabilitadas pela inundação da represa de Hidrosogamoso. Foi escolhida essa

estrutura devido a que é um exemplo típico de ponte de viga-e-laje em concreto protendido, da

qual são conhecidos apenas os dados geométricos da superestrutura, sendo estes aproveitados

no desenvolvimento da presente pesquisa. A Figura 7.1 apresenta duas fotos da ponte que foram

obtidas durante uma prova de carga realizada.

O presente capítulo tem como objetivo apresentar as características do estudo de caso

que será exemplo de aplicação do procedimento proposto no Capítulo 6. Desenvolve-se também

o projeto teórico da armadura de prontesão de uma viga protendida baseado nas especificações

da AASHTO LRFD (2012), com o propósito de se obter os valores nominais (ou caraterísticos)

a serem utilizados para o cálculo dos parâmetros das variáveis aleatórias. Consideram-se apenas

valores determinísticos neste capítulo.

Figura 7.1. Fotos da ponte “La Parroquia” obtidas durante uma prova de carga.

7.1 Descrição e Caraterísticas Gerais da Ponte La Parroquia

La Parroquia é uma ponte de 26 metros de vão com 4 vigas protendidas e uma laje de

aproximadamente 8 metros de largura. Seu tráfego médio diário estimado é inferior a 100

veículos. São apresentadas as informações correspondentes às propriedades geométricas da

ponte nas Figuras 7.2 e 7.3.

56

Figura 7.2. Vista em planta da ponte “La Parroquia”.

Figura 7.3. Vista lateral da ponte “La Parroquia”.

Propriedades dos materiais

Resistência do concreto das vigas

𝑓′𝑐𝑖= 31 [𝑀𝑃𝑎]

𝑓′𝑐 = 35 [𝑀𝑃𝑎]

Resistência do concreto da laje

𝑓′𝑐𝑖= 21 [𝑀𝑃𝑎]

𝑓′𝑐= 21 [𝑀𝑃𝑎]

57

Resistência do aço de protensão

𝑓𝑝𝑢 = 1890 [𝑀𝑃𝑎]

𝑓𝑝𝑦 = 1600 [𝑀𝑃𝑎]

onde f’c é a resistência à compressão do concreto, f’ci é a resistência nominal do concreto no

momento da aplicação da força do cabo, fpu é a resistência específica à tração do aço de

protensão e fpy é a resistência de escoamento do aço de protensão.

Ao longo do presente capítulo, são utilizados os termos seção da viga simples e seção

da viga composta, as quais são ilustradas nas Figuras 7.4a e 7.4b, respectivamente. Utilizam-se

estes dois tipos de seção da viga, devido a que existem etapas na construção em que a viga

trabalha sem ajuda da laje e em outras em que a viga e a laje atuam conjuntamente.

Figura 7.4 a). Seção simples b). Seção composta.

Nas Figuras 7.5 e 7.6a são apresentadas a geometria da seção transversal da

superestrutura e da viga protendida, respectivamente. O Detalhe A indicado na Figura 7.5, e

que corresponde ao guarda-corpo da ponte, é mostrado na Figura 7.6b. Na Tabela 7.1 podem-

se encontrar os valores das propriedades geométricas da seção de uma viga.

58

Figura 7.5. Seção transversal da ponte “La Parroquia”.

Figura 7.6. a). Seção transversal da viga protendida b). Detalhe A: guarda-corpo.

59

Tabela 7.1. Propriedades Geométricas da seção simples

da viga protendida.

sendo 𝐴𝐺 , 𝑦𝐺𝑠, 𝑦𝐺𝑖, e 𝐼𝐺 , a área da seção transversal da viga não composta, a distância da

extremidade superior da viga ao centro de gravidade, a distância da extremidade inferior da

viga ao centro de gravidade e o momento de inércia da seção transversal da viga simples,

respectivamente. As variáveis 𝑆𝐺𝑠 e 𝑆𝐺𝑖 são os módulos geométricos da seção obtidos através

das expressões 7.1 e 7.2:

𝑆𝐺𝑖 =𝐼

𝑦𝐺𝑖

( 7.1 )

𝑆𝐺𝑠 =𝐼

𝑦𝐺𝑠

( 7.2 )

7.2 Projeto da Armadura de Protensão

7.2.1 Avaliação das ações que atuam sobre a estrutura

As ações permanentes que atuam sobre a estrutura são as equivalentes ao peso próprio

dos elementos estruturais e não estruturais. Conforme o especificado no item AASHTO LRFD

4.6.2.2.1, as cargas permanentes podem ser distribuídas numa quantidade uniforme em todas

as vigas, se as seguintes condições forem satisfeitas:

a espessura da laje é constante satisfeita.

número de vigas, 𝑁𝑏 ≥ 4 satisfeita.

𝑑𝑒 ≤ 0,91 m (3 ft) satisfeita.

a seção transversal deve ser uma satisfeita.

das listadas na Tabela 7.2.

onde 𝑑𝑒 é a distância horizontal da linha central da viga exterior até a borda interna da barreira

do tráfego, a qual assume um valor de 0,51 metros para o caso analisado.

[m2] 0,312

[m4] 0,054

[m] 0,618

[m] 0,632

[m3] 0,087

[m3] 0,085

Seção Simples

𝐴𝐺𝐼𝐺𝑦𝐺𝑠𝑦𝐺𝑖

𝑆𝐺𝑠𝑆𝐺𝑖

60

Distribuindo-se as ações permanentes de forma uniforme, são determinadas as cargas

para cada viga. Os pesos próprios foram calculados considerando-se a geometria detalhada nas

Figuras 7.5 e 7.6 e são resumidos na Tabela 7.3, que também apresenta os momentos

correspondentes na seção central da viga.

Tabela 7.2. Superestruturas de seção transversal comuns, AASHTO LRFD tabela 4.6.2.2.1-1.

Componentes de apoio Tipo de laje Seção transversal comum

Seção pré-fabricada em duplo-T

de concreto com “Shear Keys” e

com ou sem protensão

transversal.

Concreto integral.

Seção pré-fabricada em T com

“Shear Keys” e com ou sem

protensão transversal.

Concreto integral.

Seções pré-fabricadas em I ou

em “Bulb-Tee”.

Concreto moldado in

loco.

Concreto pré-moldado.

Vigas de madeira. Concreto moldado in

loco ou painéis

colados/cravados ou

madeira reforçada.

O peso dos elementos não estruturais 𝐷𝑊 faz referência àqueles elementos da

superestrutura que tem como função atuar como barreira de tráfego (guarda-corpos).

61

Tabela 7.3. Cargas permanentes

onde 𝐷𝐿 e 𝐷𝐺 são os pesos da laje e da viga respectivamente, sendo a soma delas o peso total

dos elementos estruturais 𝐷𝐶.

O módulo de elasticidade do concreto da viga 𝐸𝐵, e da laje 𝐸𝐷 são obtidos da expressão

(7.3) extraída da AASHTO LRFD item 5.4.2.4:

𝐸 = 1510√𝑓′𝑐 ( 7.3 )

obtendo então,

𝐸𝐵 = 1510√35 = 28250[𝑀𝑝𝑎]

𝐸𝐷 = 1510√21 = 21882 [𝑀𝑝𝑎]

O módulo de elasticidade 𝐸𝑝 do aço de protensão é fixado segundo o estabelecido em

AASHTO LRFD 5.4.4.1 para um cabo de 1860 Mpa (270 ksi):

𝐸𝑝 = 197000 [𝑀𝑝𝑎]

O momento máximo apresentado em uma viga simplesmente apoiada devido às cargas

permanentes está definido através da equação (7.4):

𝑀𝑚𝑎𝑥 =(𝐷𝐶 + 𝐷𝑊) 𝐿2

8 ( 7.4 )

A seguir apresenta-se o valor calculado do momento máximo na viga:

𝑀𝑚𝑎𝑥 = 1434 [𝑘𝑁.𝑚]

[kN/m] 8,06 [kN/m] 7,49 [kN/m] 1,42

[kN.m] 681,41 [kN.m] 632,53 [kN.m] 120,06

LAJE ELEM. NÃO ESTRUTURAISVIGA

𝐷𝐿 𝐷𝐺 𝐷𝑊𝑀𝐷𝐿 𝑀𝐷𝐺 𝑀𝐷𝑊

62

De acordo com o item AAHSTO LRFD 3.6.1.2.1 a carga veicular deve consistir numa

combinação do veículo de projeto ou tandem de projeto mais o efeito dinâmico. O tandem de

projeto é outro tipo de carga móvel e consiste numa configuração de um par de eixos com um

peso de 112 kN. O veículo de projeto denominado HL-93 e o tandem de projeto são

apresentados nas Figuras 7.7 e 7.8, respectivamente.

As distâncias entre os eixos do veículo devem ser escolhidas de maneira que sejam

produzidos os efeitos de força máximos.

Figura 7.7. Veículo de projeto HL-93.

Figura 7.8. Tandem de projeto.

Segundo o item AASHTO LRFD 3.6.1.2.2 e 3.6.1.2.3, o tandem de projeto deve consistir

em um par eixos de 112 kN (25,0 kip), separados a 1,22 metro (4 pés). No item AAHSTO LRFD

3.6.1.2.4 é definida a carga lane load como uma carga uniformemente distribuída de 9 kN/m

(0,64 kip/ft) no sentido longitudinal.

Com o estabelecido anteriormente, são obtidos os momentos produzidos pela carga

veicular, fazendo uso da linha de influência ilustrada na Figura 7.9.

63

Figura 7.9. Linha de influência no centro da viga simplesmente apoiada,

para momento fletor.

Para que o efeito máximo seja produzido na viga, localiza-se o veículo HL-93 e o

tandem de projeto de acordo com as Figuras 7.10 e 7.11, respectivamente. Os valores relativos

às cargas dos eixos do veículo de projeto e do tandem são mostrados, juntamente com as suas

posições relativas ao eixo X na Tabela 7.4.

Figura 7.10. Posição do veículo de projeto.

Figura 7.11. Posição do tandem de projeto.

X

X

64

Uma vez estabelecida a posição do veículo, calculam-se os momentos produzidos pelo

veículo de projeto 𝑀𝑣𝑒. De igual forma o momento máximo no centro do vão da viga, para o

caso do tandem 𝑀𝑇𝑎 de projeto e para a carga lane load 𝑀𝐶𝑎, foram calculados e são mostrados

na Tabela 7.5.

Tabela 7.4. Cargas dos eixos do veículo HL-93

e do Tandem de projeto.

Tabela 7.5. Momentos produzidos pelo Veículo HL-93,

Tandem e carga distribuida lane load.

O fator de distribuição 𝐷𝐹𝑀 das ações variáveis aplicado aos momentos atuantes em

uma viga de seção I de concreto protendido pré-fabricada, segundo o item AASHTO LRFD

4.6.2.2.2 pode ser estabelecido para duas situações:

1. Uma faixa carregada

𝐷𝐹𝑀 = 0,06 + (𝑆

14)0,4

(𝑆

𝐿)0,3

(𝐾𝑔

12,0𝐿𝑡𝑠3)0,1

( 7.5 )

2. Duas faixas carregadas

𝐷𝐹𝑀 = 0,075 + (𝑆

9,5)0,6

(𝑆

𝐿)0,2

(𝐾𝑔

12,0𝐿𝑡𝑠3)0,1

( 7.6 )

onde 𝑆 é a distância entre vigas, 𝐾𝑔 é o parâmetro de rigidez longitudinal, e 𝑡𝑠 é a espessura da

laje.

X [m]

Eixo 1 148 8,7

Eixo 2 148 13

Eixo 3 36 17,3

X [m]

Eixo 1 112 13

Eixo 2 112 11,8

Veiculo

Tandem

CARGAS [kN]

(𝑉𝑒)

( 𝑎)

6,50

[kN.m] 1762,4

[kN.m] 1388,8

[kN.m] 760,5

𝑀𝑉𝑒

𝑀𝑇𝑎

𝑀𝐶𝑎

á

65

O parâmetro 𝐾𝑔 é definido pela expressão (7.7):

𝐾𝑔 = 𝑛(𝐼𝐺 + 𝐴𝐺𝑒𝑔2)

sendo ( 7.7 )

𝑛 =𝐸𝐵𝐸𝐷

( 7.8 )

onde 𝐸𝐵 é o modulo de elasticidade do material da viga, 𝐸𝐷 é o modulo de elasticidade do

material da laje, 𝐴𝐺 é a área de concreto da seção transversal da viga simples, 𝐼𝐺 é o momento

de inércia da seção transversal da viga simples, 𝑒𝑔 é a distância entre os centros de gravidade

da viga e a da laje, n é a relação modular entre a viga e a laje.

Escolhendo-se a situação mais crítica, o fator de distribuição 𝐷𝐹𝑀 é calculado com a

expressão (7.5) considerando-se uma faixa carregada. Para fazer uso da equação (7.5), devem-

se cumprir as condições apresentadas na Tabela 7.6.

Tabela 7.6. Condições para o cálculo do DFM.

Segundo o item AASHTO LRFD 3.6.2.1, os efeitos estáticos do veículo de projeto ou do

tandem devem ser acrescidos da porcentagem do efeito da carga dinâmica (IM).

O fator aplicado à carga estática deve ser tomado como: (1+ IM/100). Esta porcentagem

não deve ser aplicada à carga distribuída lane load. A porcentagem IM é escolhida levando-se

em consideração os valores dados na Tabela 7.7. No caso atual é escolhida uma porcentagem

de 33%.

Tabela 7.7. Valores das porcentagens dos efeitos da carga dinâmica.

1,0 ≤ S ≤ 5 S = 2,1

0,12 ≤ ≤ 0,3 tc = 0,16

6 ≤ L ≤ 73 L = 26

Nb ≥ 4 N= 4 Número

4,16e-3 ≤ Kg ≤ 2,91 Kg = 0,265

[𝑚4]

[𝑚]

[𝑚]

[𝑚]

IM

75%

15%

33%

Componente

Juntas da laje - Todos os Estados Limite

Estado Límite de Fadiga e Fratura

Os demais Estados Limite

Todos os demais componentes

66

Finalmente obtêm-se os valores dos momentos produzidos no meio do vão da viga

protendida, incluindo-se os efeitos dinâmicos e o fator de distribuição, os quais são

apresentados na Tabela 7.8.

Sabendo que 𝑀𝑉𝑒 +𝑀𝐶𝑎 > 𝑀𝑇𝑎 +𝑀𝐶𝑎, escolhe-se a situação mais crítica (momento

maior).

Tabela 7.8. Momentos produzidos pelas cargas variáveis de projeto.

7.2.2 Determinação do número de cabos

A estimativa inicial do número de cabos da armadura de protensão baseia-se na

determinação da resistência à tração admissível do concreto 𝑓𝑡𝑎𝑑𝑚, definida na equação (7.9):

𝑓𝑡𝑎𝑑𝑚 = 0,5 √𝑓′𝑐 [𝑀𝑃𝑎] ( 7.9 )

onde f’c é a resistência à compressão do concreto da viga.

Assumindo-se que o centro de gravidade dos cabos está a 0,07 m da parte inferior da

viga, no centro do vão, determina-se a excentricidade 𝑒𝑖:

𝑦𝑝𝑖 = 0,07 [𝑚]

𝑒𝑖 = (𝑦𝐺𝑖 − 𝑦𝑝𝑖) = (0,95 − 0,07) = 0,88 [𝑚]

A tensão à compressão 𝑓𝑝𝑏 devido à força 𝑃𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 é dada pela equação (7.10):

𝑓𝑝𝑏 =𝑃𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙

𝐴+𝑃𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒𝑖

𝑆𝐺𝑖 ( 7.10 )

0,33

0,67

1,29

[mm4] 2,7E+11

𝐼𝑀

𝐷𝐹𝑀𝑛

𝐾𝑔

[kN.m] 2066,47

[kN.m] 1735,72

Momentos totais

𝑀𝑉𝑒+ 𝑀𝑐𝑎

𝑀𝑇𝑎+ 𝑀𝑐𝑎

67

Da equação anterior, pode-se obter o valor de 𝑃𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙, a qual seria a força de protensão

descontadas as perdas. Supondo uma perda de 25% (Vallecilla, 2011; Miller, 2007) se obtêm

os valores da força de protensão mostrados na Tabela 7.9.

Tabela 7.9. Valor da força de protensão requerida

e a verificação do estado limite.

Verifica-se se a tensão à compressão admissível do concreto 𝑓𝑐𝑎𝑑𝑚, é ultrapassada pela

tensão à compressão produzida pela força de protensão e o peso próprio da viga. Como é

observado na Tabela 7.10, a tensão à compressão solicitante é maior do que a tensão admissível

no concreto, portanto deve-se dividir o tensionamento dos cabos em duas etapas, obtendo-se

um primeiro tensionamento antes da construção da laje, e o segundo depois da instalação da

laje.

Tabela 7.10. Verificação do limite da tensão

à compressão no concreto.

A força final por cordoalha é calculada por meio da equação (7.11):

𝐹 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑑𝑜𝑎𝑙ℎ𝑎 ∗ 𝑓𝑝𝑖 ∗ (1 − 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 %) ( 7.11 )

A resistência inicial da protensão antes da transferência fpi é definida pela expressão

(7.12), sendo a transferência a etapa em que as tensões aplicadas nos cabos de protensão são

transferidas ao concreto.

𝑓𝑝𝑖 = 0,75𝑓𝑝𝑢 ( 7.12 )

[kN/m2] 2993,33

[m] 0,88

[kN] 2812,33

Perdas (%) 0,25

[kN] 3749,78

𝑓𝑡𝑎𝑑𝑚

𝑒𝑖𝑃𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙

𝑃𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

Verficação estado limite

-29466,37 [kN/m2]

Sim

Tensão Peso Próprio da viga

+ Força de protensão.

Tensionamento deve ser dividido?

[kN/m2] -21000,00𝑓𝑐𝑎𝑑𝑚

68

𝑓𝑝𝑖 = 1417,5 [𝑀𝑝𝑎]

A força final por cordoalha resulta então, em:

𝐹 = 0,987 ∗ 1417,5 ∗ (1 − 0,25) = 140[𝑘𝑁]

O número de cordoalhas é obtido pela relação entre 𝑃𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 e 𝐹:

#𝐶𝑜𝑟𝑑𝑜𝑎𝑙ℎ𝑎𝑠 =3749

140≈ 27.

O número de cabos necessário é apresentado na Tabela 7.11.

Tabela 7.11. Número de cordoalhas por cabo.

A distância média entre o centro de gravidade dos cabos e a base da viga 𝑦𝑏𝑠, e a

excentricidade média no centro do vão dos cabos de protensão 𝑒𝑚 são obtidas das expressões

(7.13) e (7.14), respectivamente:

𝑦𝑏𝑠 =∑𝑦𝑝𝑖

𝑁° 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑏𝑜𝑠 ( 7.13 )

𝑒𝑚 = 𝑦𝐺𝑖 − 𝑦𝑏𝑠 ( 7.14 )

Aplicando-se as expressões acima, obtêm-se os valores de 𝑒𝑚 e 𝑦𝑏𝑠:

𝑦𝑏𝑠 =3 ∗ 0,07 + 1 ∗ 0,2

4= 0,1025 [𝑚]

𝑒𝑚 = 0,632 − 0,1025 = 0,53 [𝑚]

7.2.3 Cálculo das perdas totais na protensão

A perda total numa estrutura protendida ∆𝑓𝑝𝑇 está dada pela equação (7.15), e as parcelas que

a compõe são definidas na Tabela 7.12:

N° Cabos 3 N° Cabos 1

N° Cordoalhas 7 N° Cordoalhas 7

[kN] 2938,05 [kN] 979,35

Segundo tensionamentoPrimeiro tensionamento

𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

69

∆𝑓𝑝𝑇 = ∆𝑓𝑝𝐹 + ∆𝑓𝑝𝐴 + ∆𝑓𝑝𝐸𝑆 + ∆𝑓𝑝𝐿𝑇 ( 7.15 )

Tabela 7.12. Definição das perdas.

∆𝒇𝒑𝑻 Perda total.

∆𝒇𝒑𝑭 Perda devida ao atrito.

∆𝒇𝒑𝑨 Perda devida à acomodação da ancoragem.

∆𝒇𝒑𝑬𝑺 Perda devida ao encurtamento elástico.

∆𝒇𝒑𝑳𝑻 Perda devida à retração e à fluência do concreto mais

relaxação do aço.

As perdas totais podem ser divididas em perdas instantâneas ou iniciais e perdas

progressivas ou finais. Entre as perdas instantâneas estão: a perda devido ao atrito ∆𝑓𝑝𝐹, a perda

devido à acomodação da ancoragem ∆𝑓𝑝𝐴 e a perda devido ao encurtamento elástico ∆𝑓𝑝𝐸𝑆. As

perdas progressivas são aquelas que se apresentam ao longo do tempo, sendo as perdas devido à

retração e à fluência do concreto mais relaxação do aço representadas aqui como ∆𝑓𝑝𝐿𝑇.

As perdas devido ao atrito ∆𝑓𝑝𝐹 variam ao longo do elemento, e a equação (7.16) permite

calcular o seu valor:

∆𝑓𝑝𝐹 = 𝑃𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙(1 − 𝑒−(𝑘𝑋+𝜇𝛼)) ( 7.16 )

sendo 𝑘 o coeficiente de atrito por ondulação, μ o coeficiente de atrito, 𝛼 a variação angular do

aço de protensão, 𝑋 o comprimento do cabo de protensão desde a ancoragem até o ponto em

consideração.

Para realizar o cálculo da perda produzida pela acomodação da ancoragem ∆𝑓𝑝𝐴 deve-

se utilizar o valor do deslocamento da cordoalha ∆𝑤, o qual é estabelecido em AASHTO LRFD

C5.9.5.2.1 como 0,16 cm (0,0625 in). As expressões (7.17) a (7.19) levam à obtenção da perda

da força de protensão:

∆𝑓𝑝𝐴 = 2 ∆𝑃1 𝑤 ( 7.17 )

70

onde

∆𝑃1 = (𝑃𝑥=0 − 𝑃𝐿 2⁄ )/(𝐿 2⁄ ) ( 7.18 )

𝑤 = √∆𝑤 ∙ 𝐸𝑝 ∙ 𝐴𝑝𝑠

∆𝑃1

( 7.19 )

sendo ∆𝑃1 a perda da força de protensão ao longo de L/2, 𝑃𝑥=0 e 𝑃𝐿 2⁄ são as forças do cabo de

protensão no apoio da viga e no meio do vão, respectivamente, 𝑤 é a distância horizontal desde o

apoio da viga até o ponto de equilíbrio das perdas (ponto onde a acomodação da ancoragem não

produz mais perdas na protensão).

De acordo com o comentário da AASHTO LRFD C5.9.5.2.3, para elementos

protendidos, a perda devido ao encurtamento elástico ∆𝑓𝑝𝐸𝑆 é definida pela equação (7.20):

∆𝑓𝑝𝐸𝑆 =𝑁 − 1

𝑁 𝐴𝑝𝑠𝑓𝑝𝑏𝑡(𝐼𝐺 + 𝑒𝑚

2 𝐴𝐺) − 𝑒𝑚𝑀𝑔𝐴𝐺

𝐴𝑝𝑠(𝐼𝐺 + 𝑒𝑚2 𝐴𝐺) +

𝐴𝐺𝐼𝐺𝐸𝑐𝑖𝐸𝑝

( 7.20 )

sendo 𝑁 o número de cabos de protensão idênticos, 𝐴𝑝𝑠 a área do aço de protensão, 𝑀𝑔 o

momento no centro do vão devido ao peso próprio da viga, 𝐸𝑐𝑖 o módulo de elasticidade do

concreto no momento da transferência, 𝐸𝑝 o módulo de elasticidade dos cabos de protensão, 𝑒𝑚

a excentricidade média no centro do vão dos cabos de protensão, e 𝑓𝑝𝑏𝑡 é a tensão no aço de

protensão no momento de transferência.

As perdas progressivas ∆𝑓𝑝𝐿𝑇 devem ser calculadas através da expressão descrita no item

AASHTO LRFD 5.9.5.4.1-1:

∆𝑓𝑝𝐿𝑇 = (∆𝑓𝑝𝑅𝑆 + ∆𝑓𝑝𝐶𝑅 + ∆𝑓𝑝𝑅)𝑖𝑑 + (∆𝑓𝑝𝑆𝐷 + ∆𝑓𝑝𝐶𝐷 + ∆𝑓𝑝𝑅 − ∆𝑓𝑝𝑆𝑆)𝑑𝑓 ( 7.21 )

Porém o item AASHTO LRFD 5.9.5.4.5 estabelece que, para elementos protendidos,

depois dos cabos terem sido injetados, o termo (∆𝑓𝑝𝑅𝑆 + ∆𝑓𝑝𝐶𝑅 + ∆𝑓𝑝𝑅)𝑖𝑑 deve ser igual a zero,

o qual indica a soma das perdas progressivas entre a transferência e a colocação da laje.

Finalmente a obtém-se expressão (7.22), que leva em consideração somente a soma das perdas

progressivas na etapa depois da colocação da laje:

71

∆𝑓𝑝𝐿𝑇 = (∆𝑓𝑝𝑆𝐷 + ∆𝑓𝑝𝐶𝐷 + ∆𝑓𝑝𝑅 − ∆𝑓𝑝𝑆𝑆)𝑑𝑓 ( 7.22 )

sendo ∆𝑓𝑝𝑆𝐷, ∆𝑓𝑝𝐶𝐷, ∆𝑓𝑝𝑅 as perdas devido à retração do concreto da viga, à fluência do concreto

da viga, e à relaxação da armadura, respectivamente, e ∆𝑓𝑝𝑆𝑆 o ganho de força devido à retração

do concreto da laje.

A perda ∆𝑓𝑝𝑆𝐷 devida à retração do concreto mais a relaxação do aço é obtida pela

equação (7.23):

∆𝑓𝑝𝑆𝐷 = 휀𝑏𝑑𝑓𝐸𝑝𝐾𝑑𝑓 ( 7.23 )

na qual

𝐾𝑑𝑓 =1

1 +𝐸𝑝𝐸𝑐𝑖

𝐴𝑝𝑠𝐴𝑐

(1 +𝐴𝑐𝑒𝑝𝑐2

𝐼𝑐) [1 + 0,7𝜓𝑏(𝑡𝑓, 𝑡𝑖)]

( 7.24 )

onde 𝐴𝑐 é a área do concreto da seção transversal da viga composta, 𝐼𝑐 é o momento de inércia

da seção transversal da viga composta, 휀𝑏𝑑𝑓 é a deformação por retração da viga, 𝐾𝑑𝑓 é o

coeficiente da iteração dos elementos da seção transformada, 𝑒𝑝𝑐 é a excentricidade da força de

protensão com respeito ao centróide da seção transformada, 𝜓𝑏(𝑡𝑓, 𝑡𝑖) é o coeficiente da

fluência da viga, 𝑡𝑓 e 𝑡𝑖 são as idades do concreto em dias, no final e na transferência,

respectivamente.

As perdas produzidas pela fluência são dadas pela expressão (7.25):

∆𝑓𝑝𝐶𝐷 =𝐸𝑝𝐸𝑐𝑖

𝑓𝑐𝑔𝑝𝜓𝑏(𝑡𝑓, 𝑡𝑖)𝐾𝑑𝑓 ( 7.25 )

sendo 𝑓𝑐𝑔𝑝 a soma de tensões no concreto produzidas pela força de protensão e pelo peso próprio

da viga.

A relaxação da armadura ∆𝑓𝑝𝑅 está dada pela expressão (7.26):

∆𝑓𝑝𝑅 =𝑓𝑝𝑡𝐾𝐿

(𝑓𝑝𝑡𝑓𝑝𝑦

− 0.55) ( 7.26 )

72

onde fpt é a tensão nos cabos de protensão após a transferência (seu valor não pode ser menor

que 0.55 fpy), 𝐾𝐿 é o fator dependente do tipo do aço, tomado como 30 para relaxação baixa e 7

para outro tipo de aço de protensão.

A perda por relaxação pode ser assumida como 8,5 MPa (1,2 ksi) para aço de baixa

relaxação.

Por último, o ganho da força de protensão pela retração do concreto da laje ∆𝑓𝑝𝑆𝑆, é

obtido pela expressão (7.27):

∆𝑓𝑝𝑆𝑆 =𝐸𝑝𝐸𝑐Δ𝑓𝑐𝑑𝑓𝐾𝑑𝑓[1 + 0,7𝜓𝑏(𝑡𝑓, 𝑡𝑑)] ( 7.27 )

onde

Δ𝑓𝑐𝑑𝑓 =휀𝑑𝑑𝑓𝐴𝐷𝐸𝐷

[1 + 0,7𝜓𝑏(𝑡𝑓, 𝑡𝑑)](1

𝐴𝑐−𝑒𝑝𝑐𝑒𝑑𝐼𝑐

) ( 7.28 )

sendo Δ𝑓𝑐𝑑𝑓 a mudança na tensão no concreto no centróide da armadura devida à retração da

laje, 휀𝑑𝑑𝑓 a deformação por retração no concreto da laje, 𝐴𝐷 a área transversal da laje, e 𝑒𝑑 é a

excentricidade da laje com respeito ao centróide da viga transformada.

Para o cálculo do coeficientes de fluência 𝜓𝑏(𝑡, 𝑡𝑖) é usada a expressão (7.29) e para as

deformações específicas 휀𝑏𝑑𝑓 e 휀𝑑𝑑𝑓, que fazem parte das expressões (7.23) e (7.28),

respectivamente, podem ser obtidas segundo o estabelecido na AASHTO LRFD, pela expressão

de 휀𝑠ℎ definida em (7.30):

𝜓𝑏(𝑡, 𝑡𝑖) = 1,9𝑘𝑠𝑘ℎ𝑐𝑘𝑓𝑘𝑡𝑑𝑡𝑖−0,118

( 7.29 )

휀𝑠ℎ = 𝑘𝑠𝑘ℎ𝑠𝑘𝑓𝑘𝑡𝑑0,48 ∗ 10−3 ( 7.30 )

onde

𝑘𝑠 = 1,45 − 0,13 (𝑣

𝑠) ≥ 1

( 7.31 )

𝑘ℎ𝑐 = 1,56 − 0,008𝐻 ( 7.32 )

73

𝑘𝑓 =5

1 + 𝑓′𝑐𝑖

( 7.33 )

𝑘𝑡𝑑 = (𝑡

61 − 4𝑓′𝑐𝑖+ 𝑡

)

( 7.34 )

𝑘ℎ𝑠 = (2,00 − 0,014 𝐻) ( 7.35 )

sendo 𝑘𝑠 o fator do efeito da relação volume-superfície do elemento, 𝑘ℎ𝑐 o fator de umidade por

fluência, 𝑘𝑓 o fator do efeito da resistência do concreto, 𝑘𝑡𝑑 o fator do desenvolvimento do

tempo, t a maturidade do concreto, 𝑡𝑖 a idade do concreto na etapa em que as cargas são

aplicadas, v/s a relação volume-superfície, 𝑘ℎ𝑠 o fator de umidade por retração.

O valor para (v/s) recomendado pela AASHTO é de 0,15 metros (6 polegadas).

Fazendo-se uso da expressão (7.20) apresenta-se na Tabela 7.13 a perda devido ao

encurtamento elástico. Na tabela 7.14 são apresentadas as perdas obtidas pela acomodação da

ancoragem.

Tabela 7.13. Perdas por encurtamento elástico ∆𝑓𝑝𝐸𝑆.

Tabela 7.14. Valor da perda devido à acomodação

da ancoragem ∆𝑓𝑝𝐴.

Nas Tabelas 7.15 a 7.18 encontram-se os valores das perdas progressivas e dos

parâmetros envolvidos, como o descrito previamente.

[kN/m2] 55896,07

[kN/m2] 26939875,03

∆𝑓𝑝𝐸𝑆𝐸𝑐𝑖

[mm] 1,6

[kN/m] 0,4

[m] 8,6

[kN/m2] 7,2

𝑤

∆𝑤∆𝑃1

∆𝑓𝑝𝐴

74

Tabela 7.15. Valor da perda devida à retração

do concreto da viga ∆𝑓𝑝𝑆𝐷.

Tabela 7.16. Valor da perda devida à fluência ∆𝑓𝑝𝐶𝐷 .

Tabela 7.17. Valor da perda devida à retração do

concreto da laje ∆𝑓𝑝𝑆𝑆.

Tabela 7.18. Valor da perda por relaxação ∆𝑓𝑝𝑅 adotada

de acordo com AASHTO LRDF 5.9.5.4.2c.

A força por cordoalha descontadas as perdas iniciais 𝑃 é determinada através da

expressão (7.36). Os valores obtidos estão na Tabela 7.19:

𝑃 = (𝑓𝑝𝑖 − ∆𝑓𝑝𝑖)𝐴𝑝𝑠 ( 7.36 )

[kN/m2] 50024,6

1,32

0,77

0,00033

v/s [m] 0,15

[m] 0,85

∆𝑓𝑝𝑆𝐷

𝜓𝑏 𝑡𝑓 ,𝑡𝑖

𝐾𝑑𝑓휀𝑏𝑑𝑓

𝑒𝑝𝑐

[kN/m2] 12881,7

0,71

0,86

[kN/m2] 3718,66

∆𝑓𝑝𝐶𝐷

𝜓𝑏 𝑡𝑑, 𝑡𝑖

𝜓𝑏 𝑡𝑓,𝑡𝑑

𝑓𝑐𝑔𝑝

[kN/m2] 11584,68

0,00044

1,25

0,71

[kN/m2] 1348,90

∆𝑓𝑝𝑆𝑆휀𝑑𝑑𝑓

𝑘𝑓𝑘𝑡𝑑

∆𝑓𝑐𝑑𝑓

[kN/m2] 8438,82∆𝑓𝑝𝑅

75

Tabela 7.19. Força nos cabos descontadas as perdas iniciais.

7.2.4 Trajetória dos cabos

A trajetória dos cabos mostrada na Tabela 7.20 é definida para cada 0,5 metro ao longo

da viga, sendo uma trajetória parabólica simétrica em L/2, calculando-se com os dados

apresentados na Figura 7.12.

Figura 7.12 Trajetória dos cabos em L/2 (unidades em metros).

A distância 𝑥𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 da Tabela 7.20 é medida desde o apoio até o meio do vão da viga, e a altura

do cabo é medida desde a borda inferior da viga, sendo 𝑦𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 e 𝑦𝐿/2 as posições verticais do

cabo na seção do apoio e na seção do meio do vão, respectivamente, 𝑥𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 é a distância entre

a posição do apoio e a posição horizontal do cabo, e 𝐿𝑐𝑎𝑏𝑜 é o comprimento do cabo de

protensão.

Tabela 7.20. Trajetória dos cabos.

A seguir, apresentam-se as Tabelas 7.22, 7.23 e 7.24 com os valores das forças de

protensão ao longo da viga, descontando-se as perdas por atrito cujos coeficientes são

mostrados na Tabela 7.21. Cada tabela corresponde a uma condição de carregamento, que

representa uma diferente etapa de construção.

1° tensionamento P [kN] 2822,20

2° tensionamento P [kN] 940,73

[m] [m]

Cabo 1 0,15 0

Cabo 2 0,35 0

Cabo 3 0,55 0

Cabo 4 0,83 0,022

Cabo 5 1,03 0,022

0 13

0,7 12,3

0,7 12,3

[m] [m]

0 13

0 13

𝒑 𝑳/ 𝒑 𝑳

76

Na Tabela 7.22 é considerado só o peso próprio da viga e as forças de protensão do

primeiro tensionamento (etapa antes de instalar a laje), na Tabela 7.23 considera-se o peso

próprio da viga e da laje e a força de protensão do primeiro tensionamento, e a Tabela 7.24

refere-se a etapa final onde o segundo tensionamento já foi efetuado e encontram-se presentes

as cargas dos elementos não estruturais, e a carga veicular já é levada em consideração. Também

são mostradas, em cada uma das tabelas, as tensões no concreto admissíveis e solicitantes.

Tabela 7.21. Coeficientes usados no cálculo

de perdas por atrito.

Com a expressão (7.37) é possível calcular a variação angular 𝛼 para cada cabo:

𝛼 =2(𝑦𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 − 𝑦𝑥)

𝐿𝑥 ( 7.37 )

sendo 𝑦𝑥 e 𝐿𝑥 a posição e o comprimento do cabo na posição x, respectivamente.

Tabela 7.22. Tensões no concreto devido ao peso próprio da viga.

μ 0,25

K 0,00000066

X [m] 0 2 4 6 8 10 13

0,00 0,0009 0,0018 0,0027 0,0036 0,0044 0,0058

0,00 0,0021 0,0041 0,0062 0,0083 0,0104 0,0135

0,00 0,0033 0,0065 0,0098 0,0130 0,0163 0,0212

[kN] 940,73 939,90 939,06 938,23 937,39 936,56 935,31

[kN] 940,73 938,78 936,84 934,90 932,97 931,03 928,15

[kN] 940,73 937,67 934,63 931,59 928,56 925,54 921,03

[m] 0,41 0,45 0,49 0,52 0,54 0,55 0,56

[m] 0,21 0,31 0,39 0,46 0,51 0,54 0,56

[m] -0,54 -0,38 -0,25 -0,14 -0,07 -0,01 0,01

∑P 2822,20 2816,36 2810,53 2804,72 2798,92 2793,14 2784,49

∑P*e 83,92 364,65 597,43 782,64 920,62 1011,73 1061,28

[kN.m] 0,00 179,65 329,37 449,14 538,96 598,85 632,53

[kN/m2] 8079,43 6893,80 5915,97 5141,83 4567,27 4188,20 3977,29

[kN/m2] 10040,28 11216,04 12179,17 12933,90 13484,43 13834,94 13994,74

[kN/m2] 18900,00 18900,00 18900,00 18900,00 18900,00 18900,00 18900,00

[kN/m2] -2839,72 -2839,72 -2839,72 -2839,72 -2839,72 -2839,72 -2839,72

𝜇𝛼1𝜇𝛼2𝜇𝛼3

𝑃1𝑃2𝑃3𝑒1𝑒2𝑒3

𝑀𝐷𝐺𝑓𝑠𝑢𝑝𝑓𝑖𝑛𝑓𝑓𝑐𝑎𝑑𝑚𝑓𝑡𝑎𝑑𝑚

77

Tabela 7.23. Tensões no concreto devido ao peso próprio da viga mais o peso próprio da laje.

Tabela 7.24. Tensões no concreto devido à carga variável e cargas

dos elementos não estruturais.

7.2.5 Verificação do Estado Limite de Serviço do Concreto

Segundo a AASHTO LRFD 5.9.4.2.1, a compressão do concreto deve ser avaliada

usando a combinação de estado limite de serviço I, especificada na equação (7.38). Os limites

que devem ser aplicados são mostrados na Tabela 7.25:

𝑄 = 1,00(𝑓𝐷𝐶 + 𝑓𝐷𝑊) + 1,00(𝑓𝐿𝐿+𝐼𝑀) ( 7.38 )

onde 𝑓𝐷𝐶, 𝑓𝐷𝑊, e 𝑓𝐿𝐿+𝐼𝑀 são as tensões produzidas no concreto devidas ao peso próprio da

estrutura, ao peso dos elementos não estruturais e à ação variável, respectivamente.

Determinam-se, a seguir, as tensões limites para o concreto da viga e da laje.

X [m] 0 2 4 6 8 10 13

[kN] 899,44 898,64 897,85 897,05 896,25 895,45 894,26

[kN] 899,44 897,58 895,72 893,87 892,02 890,17 887,41

[kN] 899,44 896,52 893,61 890,70 887,81 884,92 880,61

[m] 0,73 0,77 0,81 0,84 0,86 0,87 0,88

[m] 0,53 0,63 0,71 0,78 0,83 0,86 0,88

[m] 0,33 0,49 0,62 0,72 0,80 0,85 0,88

∑P 2698,33 2692,75 2687,18 2681,62 2676,08 2670,55 2662,28

∑P*e 1430,12 1695,14 1914,34 2088,06 2216,64 2300,42 2342,81

[kN.m] 0,00 407,29 746,70 1018,22 1221,87 1357,63 1434,00

[kN/m2] -623,71 -102,29 336,79 692,27 962,86 1147,31 1259,72

[kN/m2] 15743,68 14636,92 13700,27 12936,37 12347,85 11937,30 11660,85

[kN/m2] 18900,00 18900,00 18900,00 18900,00 18900,00 18900,00 18900,00

[kN/m2] -2839,72 -2839,72 -2839,72 -2839,72 -2839,72 -2839,72 -2839,72

𝑃2𝑃3𝑒1𝑒2𝑒3

𝑀𝐷𝐶𝑓𝑠𝑢𝑝𝑓𝑖𝑛𝑓𝑓𝑐𝑎𝑑𝑚𝑓𝑡𝑎𝑑𝑚

𝑃1

X [m] 0 0,7 2 4 6 10 13

0,00 0,00 0,00 0,0101 0,0162 0,0283 0,0375

[kN] 0,00 899,44 895,89 890,44 885,03 874,31 866,35

[m] 0,00 -0,28 -0,07 0,20 0,42 0,69 0,75

0,00 167,40 470,49 917,03 1339,60 1942,51 2066,47

[kN/m2] -623,71 2705,43 3467,02 4656,93 5864,81 7679,95 8063,55

[kN/m2] 15743,68 13676,33 12064,99 9548,55 6995,25 3129,84 2250,69

[kN/m2] 18900,00 18900,00 18900,00 18900,00 18900,00 18900,00 18900,00

[kN/m2] -2839,72 -2839,72 -2839,72 -2839,72 -2839,72 -2839,72 -2839,72

𝜇𝛼4𝑃4𝑒4

𝑀𝐷𝐶+𝐿𝐿+𝐼𝑀

𝑓𝑠𝑢𝑝𝑓𝑖𝑛𝑓𝑓𝑐𝑎𝑑𝑚𝑓𝑡𝑎𝑑𝑚

78

Tabela 7.25. Tensão à compressão limite do concreto AASHTO LRFD Tabela 5.9.4.2.1-1.

Situação Limite da tensão

Em outras que não sejam pontes construídas por

segmentos, devido à soma da protensão efetiva e das

cargas permanentes.

Em pontes construídas por segmentos devido à soma da

protensão negativa e das cargas permanentes.

Devido à soma da protensão efetiva, cargas permanentes

e cargas variáveis tanto no transporte quanto na

manipulação.

0,45 𝑓𝑐′

0,45 𝑓𝑐′

0,60 𝜙𝑤𝑓𝑐′

Para o caso de cargas permanentes, obtém-se o valor da expressão (7.39):

0,45𝑓𝑐 𝑣𝑖𝑔𝑎′ = 15750 𝑘𝑁/𝑚2 ( 7.39 )

Para o caso de cargas variáveis em adição com um meio das cargas permanentes, obtêm-

se os valores da expressão (7.40):

0,40𝑓𝑐 𝑣𝑖𝑔𝑎′ = 14000 𝑘𝑁/𝑚2 ( 7.40 )

Para o caso de cargas variáveis em adição às cargas permanentes totais, obtêm-se os

valores da expressão (7.41):

0,60ϕ𝑤𝑓𝑐 𝑣𝑖𝑔𝑎′ = 21000 𝑘𝑁/𝑚2 ( 7.41 )

sendo ϕ𝑤 o fator de redução, o qual assume um valor igual a 1,0 para vigas de seção transversal

tipo “I”.

Para comprovar que a tensão admissível à compressão do concreto não é atingida ou

ultrapassada, calculam-se as tensões apresentadas na viga pelas solicitações em cada caso, as

quais são mostradas na Tabela 7.26.

79

Tabela 7.26. Tensões à compressão no concreto.

sendo 𝑓𝑐𝑔 a tensão à compressão na viga para cada caso.

Para a tensão à tração do concreto, é estabelecido no item AASHTO LRFD 5.9.4.2.2 o

valor limite em 𝑘𝑁/𝑚2 , descrito na equação (7.42):

16 √𝑓𝑐′ = 3000 𝑘𝑁/𝑚2 ( 7.42 )

Cabe resaltar que a expressão (7.42) pode mudar dependendo das unidades em que 𝑓𝑐′

esteja sendo trabalhada, por exemplo as expressões (6.12) e (7.9) foram estabelecidas para 𝑓𝑐′

em MPa.

Segundo a AASHTO LRFD 5.9.4.2 deve-se utilizar a combinação de serviço III definida

na equação (7.43) para a verificação da tensão à tração do concreto:

𝑄 = 1,00(𝑓𝐷𝐶 + 𝑓𝐷𝑊) + 0,80(𝑓𝐿𝐿+𝐼𝑀) ( 7.43 )

O valor da tensão à tração no concreto 𝑓𝑡𝑔 devido a todas as solicitações é mostrado na

Tabela 7.27.

Tabela 7.27. Tensão à tração no concreto.

Comparando-se os valores das tensões no concreto que são produzidas pelas solicitações

permanentes e variáveis com os valores admissíveis, consegue-se observar que nenhum dos

estados limites é atingido.

1. Cargas permanentes

f cg [kN.m] 13335,58

f cg [kN.m] 13041,65

f cg [kN.m] 19709,45

2. 1/2 Cargas permanentes +

variáveis

3.Cargas permanentes +

variáveis

f tg [kN.m] 29109,35

80

7.2.6 Verificação do Estado Limite Último do Concreto

O Estado Limite Último do Concreto para uma viga protendida é alcançado quando o

momento resistente do concreto é atingido ou ultrapassado pelo momento solicitante.

O momento resistente é calculado dependendo do comportamento que apresenta a viga.

Assumindo-se que a viga comporta-se como uma viga retangular, as expressões (7.44) e (7.46)

representam o momento resistente da viga 𝑀𝑛 e a distância a partir do extremo da extremidade

à compressão até o eixo neutro 𝑐, respectivamente:

𝑀𝑛 = 𝐴𝑝𝑠𝑓𝑝𝑠 (𝑑𝑝 −𝑎

2)

( 7.44 )

𝑎 = 𝛽1𝑐 ( 7.45 )

𝑐 =𝐴𝑝𝑠𝑓𝑝𝑢

0,85𝑓𝑐′𝛽1𝑏 + 𝑘𝐴𝑝𝑠


( 7.46 )

sendo

𝑓𝑝𝑠 = 𝑓𝑝𝑢 (1 − 𝑘𝑐

𝑑𝑝)

( 7.47 )

𝑘 = 2(1,04 −𝑓𝑝𝑦𝑓𝑝𝑢

)

( 7.48 )

onde fps é a tensão média no aço de protensão, 𝑑𝑝 é a distância entre a extremidade à compressão

extrema até o centróide dos cabos protensão, 𝑎 é a profundidade do bloco de tensão equivalente,

e 𝛽1 é o fator de tensão do bloco.

Deve-se aplicar um fator de resistência 𝜙 ao valor do momento resistente 𝑀𝑛, com o

objetivo de levar em consideração as condições de compatibilidade das deformações. O valor

estabelecido no AASHTO LRFD para elementos protendidos é de 𝜙 = 1.

A Tabela 7.28 apresenta o valor do momento nominal de projeto 𝜙𝑀𝑛 (momento

resistente). O momento solicitante 𝑀𝑢 é o momento último positivo gerado no meio do vão, e

81

é estimado através da expressão (7.49), observando-se que o momento resistente não é

ultrapassado:

𝑀𝑢 = 1,25 𝑊𝐷𝐶 + 1,5 𝑊𝐷𝑊 + 1,75 (𝐿𝐿 + 𝐼𝑀) ( 7.49 )

𝑀𝑢 = 5438,84 𝑘𝑁.𝑚

Tabela 7.28. Momento nominal de projeto 𝜙𝑀𝑛.

O projeto das forças de protensão da viga tipo da ponte “La Parroquia” é estabelecido

como satisfatório, pois cumpre com os requisitos definidos pela norma AASHTO LRFD, com

respeito aos estados limites.

Seção Rectangular:

k 0,28

c [m] 0,13

[m] 1,31

a [m] 0,10

[kN.m] 1836927,03

[kN.m] 6371,29

𝑑𝑝

𝑓𝑝𝑠𝜙𝑀𝑛

> 𝒖

82

8. AVALIAÇÃO DA SEGURANÇA DO ESTUDO DE CASO

No presente capítulo é aplicado o procedimento de avaliação da segurança proposto no

capítulo 6 ao estudo de caso da ponte La Parroquia, calculando-se seus valores da

probabilidade de falha e o índice de confiabilidade.

8.1 Definição da Função Estado Limite

Para as Funções Estado Limite na avaliação da segurança da ponte La Parroquia,

utilizam-se as expressões obtidas no capítulo 6.

Como o estudo de caso do presente trabalho consiste em uma ponte de um único vão e

as vigas encontram-se bi-apoiadas, os casos mais críticos de falha a serem considerados são

reduzidos a: flexão positiva no meio do vão e tensão à tração do concreto. Por conseguinte, as

Funções Estado Limite implementadas estão dadas nas equações (8.1) e (8.2):

𝐺1 = 𝐴𝑝𝑠𝑓𝑝𝑠 (𝑑𝑝 −𝑎

2) + 0,85𝑓𝑐


2−ℎ𝑓2) − 𝑀𝐷𝐶 − 𝑀𝐷𝑊

−(𝑀𝑣𝑒𝑖𝑐𝑢𝑙𝑜 ∗ (1 + 𝐼𝑀) +𝑀𝑐𝑎) ∗ 𝐷𝐹𝑀

( 8.1 )

𝐺2 = 𝑓𝑡𝑟 − (−∑𝑃𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝐴𝐺


𝑆𝐺𝑖+𝑀𝐷𝐶

𝑆𝐺𝑖+𝑀𝐷𝑊

𝑆𝐺𝑖+𝑀𝐿𝐿+𝐼𝑀

𝑆𝐺𝑖)

( 8.2 )

Para o cálculo dos esforços 𝑀𝐷𝐶 e 𝑀𝐷𝑊 de uma viga bi-apoiada, utilizam-se as

expressões (8.3) e (8.4):

𝑀𝐷𝐶 =𝐷𝐶𝐿2

8 ( 8.3 )

𝑀𝐷𝑊 =𝐷𝑊𝐿2

8 ( 8.4 )

8.2 Variáveis Aleatórias

As variáveis aleatórias que são consideradas em cada Função Estado Limite, encontram-

se resumidas na Tabelas 8.1 e ilustradas na Figura 8.1 as quais foram escolhidas no capitulo 6.

83

Tabela 8.1. Variáveis aleatória para cada

Função Estado Limite.

Figura 8.1 Variáveis Aleatórias.

Cada variável aleatória seguirá a distribuição de probabilidade e assumirá o coeficiente

de variação 𝑉𝑥 que foram estabelecidos no capítulo 6. Para realizar o cálculo das médias e os

desvios-padrão, escolhem-se como valores característicos 𝑥𝑘 os valores de projeto que foram

obtidos e apresentados no capítulo 7. Tem-se as variáveis aleatórias com as distribuições e

parâmetros nas Tabelas 8.2 e 8.3.

𝐴𝑝𝑠𝑦𝑏𝑠


𝑏

𝑓′𝑐𝑓𝑝𝑢ℎ𝑣𝑖𝑔𝑎𝐷𝐶𝑀𝑣𝑒

𝑦𝐺𝑐

𝑓′𝑐𝑓𝑝𝑢



𝑨𝑷 , 𝒇𝒑𝒖

𝒇´

𝒉𝒗

84

Tabela 8.2. Variáveis aleatórias de 𝐺1 com as distribuições e parâmetros.

Tabela 8.3. Variáveis aleatórias de 𝐺2 com as distribuições e parâmetros.

8.3 Cálculo da probabilidade de falha

Para criar uma ideia clara sobre o que o índice de confiabilidade 𝛽 representa,

apresentam-se nas Tabelas 8.4 e 8.5 uma classificação do índice de confiabilidade segundo a

JCSS para o Estado Limite Último e Estado Limite de Serviço, respectivamente. Essa

classificação é baseada numa análise de custo-benefício, e está apresentada para um periodo de

referência de um ano. O índice sombreado na Tabela 8.4 representa o valor mais adequado no

projeto de estruturas.

Variável Distribuição Vx Xk

[m2] Normal 0,0125 0,00276 0,00276 0,0000345

[m] Normal 0,08 0,103 0,103 0,0082

[m] Normal 0,004 1,63 1,63 0,006

[kN/m2] Log-Normal 0,15 35000 45234,14 6785,12

[kN/m2] Log-Normal 0,025 1890000 1969949,30 49248,73

[m] Normal 0,008 1,25 1,25 0,010

[kN/m2] Normal 0,1 15,55 16,33 1,63

[kN.m] Gumbel 0,25 1762,4 1575,59 393,90


𝑏𝑓′𝑐𝑓𝑝𝑢ℎ𝑣𝑖𝑔𝑎𝐷𝐶𝑀𝑣𝑒

Variável Distribuição Vx Xk

[m2] Normal 0,0125 0,00276 0,00276 0,0000345

[m] Normal 0,08 0,103 0,103 0,0082

[m] Normal 0,009 0,95 0,95 0,009

[kN/m2] Log-Normal 0,15 35000 45234,14 6785,12

[kN/m2] Log-Normal 0,025 1890000 1969949,30 49248,73

[kN] Normal 0,05 3917,40 4268,49 213,42

[kN/m2] Normal 0,1 15,55 16,33 1,63

[kN.m] Gumbel 0,25 1762,4 1575,59 393,90

𝐴𝑝𝑠𝑦𝑏𝑠𝑦𝐺𝑐


𝑃𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙𝐷𝐶𝑀𝑣𝑒

85

Tabela 8.4. Classificação do índice de confiabilidade para um Estado Limite Último.

Tabela 8.5. Classificação do índice de confiabilidade

para um Estado Limite de Serviço.

As consequências mencionadas na Tabela 8.4 são definidas como:

Consequências leves de falha: para estruturas que estão associadas a um risco de perda

de vida pequeno em caso de ocorrência de dano, e com consequências econômicas

insignificantes (exemplo: estruturas de agricultura e silos).

Consequências moderadas de falha: para estruturas associadas a um risco de perda de

vida médio em caso de ocorrência de dano, e com consequências econômicas consideráveis

(exemplo: prédios industriais, de escritórios ou residenciais).

Consequências graves de falha: para estruturas associadas a um risco de perda de vida

alto em caso de ocorrência de dano, e com consequências econômicas significantes (exemplo:

pontes principais, teatros, hospitais, pontes altas).

8.3.1 Método de Simulação Monte Carlo

Antes de gerar os valores aleatórios por meio do programa MATLAB® de cada uma

das variáveis, calcula-se o número N de simulações necessário para obter uma precisão na

resposta da probabilidade de falha de 𝑷𝒆 = 10−5 como foi mencionado no capítulo 6.

Medida Relativa do

custo da segurança

Consequências leves

de falha

Consequências

moderadas de falha

Consequências graves

de falha

Alto

Normal

Baixo

𝛽 = 3,1 (𝑃𝑓 ≈ 10−3)

𝛽 = 3,7 (𝑃𝑓 ≈ 10−4)

𝛽 = 4,2 (𝑃𝑓 ≈ 10−5)

𝛽 = 3,3 (𝑃𝑓 ≈ 5 10−4)

𝛽 = 4,2 (𝑃𝑓 ≈ 10−5)

𝛽 = 4,4 (𝑃𝑓 ≈ 510−6)

𝛽 = 3,7 (𝑃𝑓 ≈ 10−4)

𝛽 = 4,4 (𝑃𝑓 ≈ 5 10−6)

𝛽 = 4,7 (𝑃𝑓 ≈ 10−6)

Medida Relativa do

custo da segurança

Índice No Estado

Limite de Serviço

Alto

Normal

Baixo

𝛽 = 1,3 (𝑃𝑓 ≈ 10−1)

𝛽 = 1,7 (𝑃𝑓 ≈ 5 10−2)

𝛽 = 2,3 (𝑃𝑓 ≈ 10−2)

86

𝑁 =1 − 𝑷𝒆

𝑷𝒆 ∙ 𝑉2 ( 8.5 )

𝑁 ≈ 10.000.000

A Figura 8.2 ilustra como são obtidos os valores randômicos de duas três variáveis

aleatórias escolhidas para o estudo de caso, cada uma com uma distribuição d probabilidade

diferente. Nas Figuras 8.3 e 8.4 são mostradas partes do código em que as Funções Estado

Limite 𝐺1 e 𝐺2, respectivamente, são avaliadas.

O número indica a quantidade de valores distintos para cada variável aleatória e as

expressões (8.1) e (8.2), descritas no item anterior, são então avaliadas N vezes, ou seja, para

cada valor randômico gerado. A probabilidade de falha e o índice de confiabilidade β são

obtidos com as expressões (8.6) e (8.7) e os valores obtidos para o estudo de caso da ponte La

Parroquia são apresentados na Tabela 8.6:

𝑃𝑓 =𝑛

𝑁

( 8.6 )

𝛽 = −𝜙−1(𝑃𝑓) ( 8.7 )

Tabela 8.6. Resultados da análise de confiabilidade

por meio do método Monte Carlo.

β 4,40 2,21

5,41E-06 1,36E-02

Monte Carlo

𝑷𝒇

87

Figura 8.2 Exemplo da obtenção dos valores aleatórios pelo programa MATLAB®.

Figura 8.3 Cálculo da Probabilidade de Falha para 𝐺1 pelo

programa MATLAB®.

88

Figura 8.4 Cálculo da Probabilidade de Falha para 𝐺2 pelo

programa MATLAB®.

As Figuras 8.5 e 8.6 mostram as representações tridimensional e bidimensional,

respectivamente, do histograma da resistência e da solicitação, segundo os valores obtidos

através do método de Monte Carlo para a Função Estado Limite 𝐺1. O histograma da resistência

e da solicitação para a Função Estado Limite 𝐺2 está representado nas Figuras 8.7 e 8.8.

Nas figuras também é mostrado um plano, que representa o plano de falha da estrutura

𝐺(𝑥) = 0, destacando-se a zona de falha e de segurança para cada uma delas.

Figura 8.5 Histograma tridimensional da resistência e solicitação

da Função 𝐺1 e seu plano de falha obtidos pelo programa MATLAB®.

( ) = 𝟎

89

Figura 8.6 Histograma bidimensional da resistência e solicitação da

Função 𝐺1 e seu plano de falha obtidos pelo programa MATLAB®.

Figura 8.7 Histograma tridimensional da resistência e solicitação da


( ) = 𝟎

( ) = 𝟎

Zona de

Segurança

Zona de

Falha

90

Figura 8.8 Histograma bidimensional da resistência e solicitação da


É possível observar que na Função 𝐺1, o plano de falha encontra-se bastante afastado

do ponto com maior probabilidade de falha. No caso da Função 𝐺2 o plano de falha está mais

próximo ao ponto com maior probabilidade de falha, mas ainda conservando uma margem de

segurança aceitável para um Estado Limite de Serviço.

8.3.2 Método de Confiabilidade de Primeira Ordem

Para aplicar o método FORM devem-se seguir os passos descritos no item 6.3.2 do

presente trabalho. O primeiro passo a ser efetuado é a definição das Funções Estado Limite,

escolhendo-se as variáveis aleatórias e definindo-se as distribuições de probabilidade.

Como o método FORM utiliza o procedimento de Rackwitz-Fiessler, o qual é um

método iterativo. Deve-se escolher um ponto de partida para começar as iterações. Segundo

Nowak e Collins (2000), é recomendável escolher as médias de cada variável como valores

iniciais desse ponto de partida. Sabendo-se que a análise deve ser feita na superfície de falha,

faz-se a função estado limite 𝐺(𝑥) igual a zero e resolve-se a equação para uma das variáveis

aleatórias, que no presente caso é a variável 𝑀𝑣𝑒.

( ) = 𝟎 Zona de

Segurança

Zona de

Falha

91

Apresenta-se o ponto inicial {𝑥𝑖∗} da Função Estado Limite 𝐺1 na Tabela 8.7.

Tabela 8.7. Método FORM para a Função Estado Limite

da flexão na seção crítica 𝐺1.

Conforme o descrito no capítulo 6, para as variáveis 𝑓′𝑐, 𝑓𝑝𝑢 e 𝑀𝑣𝑒 devem-se calcular

os parâmetros de distribuição equivalentes, devido a que seguem uma distribuição de

probabilidade diferente da distribuição normal. A seguir apresenta-se como exemplo de cálculo

os parâmetros equivalentes da variável 𝑓′𝑐, aplicando-se as expressões (6.25), (6.26), (6.38) e

(6.39) descritas no capitulo 6 e aqui reproduzidas:

𝜎𝑙𝑛𝑓′𝑐 = √1 + 𝑉𝑥2 = 0,15 [𝑘𝑁 𝑚2⁄ ]

𝜎𝑓′𝑐𝑒 = 45234,14 ∗ 𝜎𝑙𝑛𝑓′𝑐 = 6785,121 [𝑘𝑁 𝑚2⁄ ]

𝜇𝑙𝑛𝑓′𝑐 = ln(𝜇𝑓′𝑐) −1

2𝜎𝑙𝑛𝑓′𝑐2 = 10,71 [𝑘𝑁 𝑚2⁄ ]

𝜇𝑓′𝑐𝑒 = 45234,14 ∗ [1 − ln(45234,14) + 𝜇𝑙𝑛𝑓′𝑐] = 44725,26 [𝑘𝑁 𝑚2⁄ ]

Com os parâmetros equivalentes, devem-se calcular as variáveis normais reduzidas {𝑢𝑖∗}

para assim obter o índice de confiabilidade 𝛽 através da expressão (8.8):

𝛽 ={𝐺}𝑇{𝑢∗}

√{𝐺}𝑇{𝐺} ( 8.8 )

Variável

[m2] 0,00276

[m] 0,103

[m] 1,67

[kN/m2] 45234,14

[kN/m2] 1969949,30

[m] 1,25

[kN/m2] 16,33

[kN.m] 5262,20



∗

92

sendo,

{𝐺} = {𝜕𝐺

𝜕𝑥𝑖∗} ( 8.9 )

Com os dados anteriores, consegue-se obter o valor de cada variável para a iteração

seguinte como é mostrado em (8.10) para a variável 𝑓′𝑐:

𝑓′𝑐∗ = 𝜇𝑓′𝑐𝑒 + 𝛼𝑓′𝑐 ∙ 𝛽 ∙ 𝜎𝑓′𝑐

𝑒 ( 8.10 )

Na Tabela 8.8 e 8.9 encontram-se os valores de cada iteração realizada para o estudo de

caso, e dos valores do índice de confiabilidade 𝛽.

Tabela 8.8. Método FORM para a Função Estado Limite da flexão na seção crítica 𝐺1.

Tabela 8.9. Método FORM para a Função Estado Limite da tração do concreto 𝐺2.

Variável 1 2 3 4 5

4,430 4,429 4,429 4,429 4,429

[m2] 0,0027543 0,0027542 0,0027542 0,0027542 0,0027542

[m] 0,103 0,103 0,103 0,103 0,103

[m] 1,628 1,628 1,628 1,628 1,628

[kN/m2] 44290,38 44270,89 44269,94 44269,92 44269,92

[kN/m2] 1942961,32 1942868,10 1942860,30 1942860,31 1942860,31

[m] 1,25 1,25 1,25 1,25 1,25

[kN/m2] 17,09 17,11 17,11 17,11 17,11

[kN.m] 5062,51 5059,47 5059,40 5059,40 5059,40

Numero de iteração

𝛽𝐴𝑝𝑠𝑦𝑏𝑠


Variável 1 2 3 4 5 6

2,247 2,234 2,234 2,234 2,234 2,234

[m2] 0,002764 0,002764 0,002764 0,002764 0,002764 0,002764

[m] 0,102 0,102 0,102 0,102 0,102 0,102

[m] 0,9503 0,9503 0,9503 0,9503 0,9503 0,9503

[kN/m2] 44544,01 44512,60 44509,18 44508,86 44508,83 44508,83

[kN/m2] 1970039,94 1970097,92 1970103,15 1970103,65 1970103,69 1970103,70

[kN] 4133,08 4122,39 4121,39 4121,30 4121,29 4121,29

[kN/m2] 16,97 17,02 17,03 17,03 17,03 17,03

[kN.m] 2636,20 2618,62 2616,98 2616,83 2616,81 2616,81

Numero de iteração

𝛽𝐴𝑝𝑠𝑦𝑏𝑠𝑦𝐺𝑐




93

Dos resultados alcançados pode-se observar que os valores dos índices de confiabilidade

obtidos através do método Monte Carlo e FORM são próximos, validando a simulação de

Monte Carlo. Finalmente foram calculadas a probabilidade de falha (𝑃𝑓) e a confiabilidade (𝐶)

das Funções Estado Limite 𝐺1 e 𝐺2, as quais são mostradas nas Tabelas 8.10 e 8.11,

respectivamente.

A confiabilidade (𝐶) é dada por (8.11):

𝐶 = 1 − 𝑃𝑓 ( 8.11 )

Tabela 8.10. Probabilidade de falha e

Confiabilidade para a Função Estado Limite 𝐺1.

Tabela 8.11. Probabilidade de falha e

Confiabilidade para a Função Estado Limite 𝐺2.

8.4 Modelagem da viga protendida

Como uma forma de introduzir o uso de um programa de cálculo estrutural de elementos

finitos à análise de confiabilidade e avaliar o custo computacional que ele demanda na

elaboração do modelo da estrutura em análise, utiliza-se o programa ABAQUS para realizar o

cálculo dos esforços na estrutura que, por sua vez, são utilizados na avaliação das Funções

Estado Limite 𝐺1e 𝐺2, obtendo-se o índice de confiabilidade 𝛽 e a respectiva probabilidade de

falha 𝑃𝑓. Estabelece-se uma comparação entre as respostas alcançadas aqui com as obtidas no

item 8.3.1 através do programa MATLAB®.

FORM M.CARLO

4,74E-06 5,41E-06

C 0,99999526 0,999994587

𝑷𝒇

FORM M.CARLO

1,27E-02 1,36E-02

C 0,98727 0,98645

𝑷𝒇

94

O modelo numérico foi desenvolvido através de um código que implementa a linguagem

de programação python, o qual permite ser executado no programa ABAQUS. Utilizando-se o

código elaborado em python importam-se os valores randômicos gerados no MATLAB®

através de uma arquivo “.txt”, permitindo que a estrutura em análise possa ser avaliada para

cada um desses valores. O detalhamento de como foi desenvolvido o modelo e as diferentes

considerações feitas no programa ABAQUS são apresentados no Anexo A.

Os resultados da análise da simulação numérica foram importados do MATLAB® como

um arquivo “.txt” e foram substituídos nas Funções Estado Limite com o fim de obter o índice

de confiabilidade e a probabilidade de falha. No entanto, devido ao grande número simulações

necessárias para alcançar a resposta da probabilidade de falha na Função Estado Limite 𝐺1 ( =

10.000.000), obteve-se um alto custo computacional utilizando-se o programa ABAQUS, não

sendo possível avaliar a estrutura para esse número de simulações.

Devido a esse fato, com o propósito de realizar a comparação desejada entre o uso do

MATLAB® e do ABAQUS, foi incrementado ao dobro o valor da variável 𝑀𝑣𝑒 (o qual

equivaleria à estrutura estar solicitada por dois veículos de projeto). Sob essa condição foi

calculado o índice de confiabilidade e a probabilidade de falha da estrutura obtendo-se os

valores fornecidos na Tabela 8.12. Para a Função Estado Limite 𝐺2 não foi necessário alterar

as condições da solicitação devido a que o número de simulações para chegar na condição de

falha foi menor. Os valores do índice de confiabilidade e a probabilidade de falha para 𝐺2 são

mostrados na Tabela 8.13.

Tabela 8.12. Índice de Probabilidade de falha 𝛽 e

Probabilidade de Falha 𝑃𝑓 para 𝐺1.

MATLAB ABAQUS

β 2,06 2,1

1,97E-02 1,79E-02𝑷𝒇

95

Tabela 8.13. Índice de Probabilidade de falha 𝛽 e

Probabilidade de Falha 𝑃𝑓 para 𝐺2.

Dos resultados mostrados acima pode-se concluir que para a avalição da segurança da

estrutura em consideração sob solicitações normais, não é requerido o uso de um programa de

métodos numéricos sofisticado, devido a que é gerado um custo computacional alto podendo-

se chegar à mesma resposta (ou muito aproximada) através da implementação das expressões

analíticas que descrevem o comportamento da estrutura em programas como o MATLAB®. O

uso de um programa para análise estrutural baseado em métodos numéricos é justificado para

estruturas mais complexas ou análises mais aprofundadas como seria, por exemplo, a

consideração da não linearidade física da estrutura.

8.5 Cálculo dos Coeficientes Parciais de Segurança

A primeira tentativa de traduzir as combinações probabilísticas de carga em coeficientes

parciais de segurança foi realizado por CIRIA (1977). Na atualidade a maioria das normas de

projeto estrutural implementam esses coeficientes, tendo em vista estabelecer uma margem de

segurança, tanto para as resistências quanto para a ações.

Desde que o projeto das estruturas passou a ser possível mediante cálculo matemático,

as estruturas sempre foram projetadas para resistir a cargas consideravelmente maiores que as

inicialmente apresentadas (Beeber, 1994). Historicamente há dois procedimentos básicos que

permitem levar em consideração essas cargas majoradas, os quais utilizam uma análise de

confiabilidade não sofisticada. Esses procedimentos são compostos por duas considerações:

1. incrementa-se a solicitação por um fator de segurança, e demonstra-se que a

estrutura ou o elemento estrutural considerado consegue suportar a carga

incrementada. Simbolicamente é dado pela expressão (8.12):

𝛾𝑠𝑆 ≤ 𝑅 ( 8.12 )

MATLAB ABAQUS

β 2,21 2,32

1,36E-02 1,02E-02𝑷𝒇

96

2. limita-se a tensão no material a uma fração da sua tensão de falha e demonstra-se

que, sob as condições esperadas de carga, a tensão não excederá o valor permitido.

Simbolicamente é dado pela expressão (8.13):

𝑆 ≤𝑅

𝛾𝑅 ( 8.13 )

sendo 𝑆 e 𝑅 a solicitação e a resistência, respectivamente, 𝛾𝑠 e 𝛾𝑅 os fatores de segurança para

a solicitação e a resistência, respectivamente.

Como uma forma de avaliar a margem de segurança, foi introduzido o cálculo de

coeficientes que fossem individuais (parciais) para cada tipo de material e solicitação

envolvidos no problema. Através da obtenção desses coeficientes também foi apresentado o

conceito de valor característico, como se mostra na equação (8.14):

𝛾𝑆𝑆𝑘 ≤ 𝑅𝑘 𝛾𝑅⁄ ( 8.14 )

sendo 𝑆𝑘 e 𝑅𝑘 os valores característicos da solicitação e da resistência respectivamente, os quais

são definidos pelas expressões (8.15) e (8.16):

𝑆𝑘 = 𝜇𝑆 + 𝑢𝑠𝜎𝑆 ( 8.15 )

𝑅𝑘 = 𝜇𝑅 − 𝑢𝑅𝜎𝑅 ( 8.16 )

As expressões acima são derivadas da equação (6.19) utilizada no Capitulo 6 do presente

trabalho, e aqui reproduzida pela equação (8.17):

𝑥 = 𝜇𝑋 − 𝑢𝜎𝑋 ( 8.17 )

Para a obtenção dos coeficientes parciais de segurança, é utilizado o método FORM, o

qual foi descrito no Capítulo 5 do presente trabalho. Desse método são aproveitados os valores

do índice de confiabilidade 𝛽, e das variáveis aleatórias no ponto de projeto.

O ponto de projeto é definido pela equação (8.18), e representa o ponto onde se encontra

a maior probabilidade de falha:

𝑥𝑖∗ = 𝜇𝑥 − 𝛽𝑥𝜎𝑥 ( 8.18 )

97

sendo

𝛽𝑥 = 𝛼𝑥𝛽 ( 8.19 )

onde 𝛼𝑥 é o fator de sensibilidade calculado no item 6.3.2.

Finalmente os valores dos coeficientes parciais tanto para as solicitações quanto para as

resistências, descritas nas funções estado limite 𝐺1 e 𝐺2 no Capitulo 6, podem ser calculados

com as expressões (8.20) e (8.21):

𝛾𝑆 =𝑆∗

𝑆𝑘 ( 8.20 )

𝛾𝑅 =𝑅𝑘𝑅∗

( 8.21 )

Segundo Vrouwenvelder e Siemes (1987), os coeficientes parciais da resistência ou das

solicitações, quando dependem de um conjunto de variáveis aleatórias, podem ser obtidos

calculando-se seu valor em função do ponto de projeto 𝑋𝑖∗.

Por exemplo, na Função Estado Limite 𝐺1, a resistência está dada pelas expressões

(8.22) e (8.23):

𝑀𝑛 = 𝐴𝑝𝑠𝑓𝑝𝑠 (𝑑𝑝 −𝑎

2)

( 8.22 )

𝑀𝑛∗ = 𝐴𝑝𝑠

∗ 𝑓𝑝𝑠∗ (𝑑𝑝

∗ −𝑎∗

2) ( 8.23 )

onde 𝑀𝑛 é o valor do momento resistente característico ou nominal e 𝑀𝑛∗ o valor do momento

resistente no ponto de projeto (MPP).

O coeficiente parcial de segurança para a resistência da Função Estado Limite 𝐺1 é

descrita pela equação (8.24):

𝛾𝑅 =𝑀𝑛

𝑀𝑛∗ ( 8.24 )

Com o procedimento e as expressões anteriormente descritas, foram calculados os

coeficientes parciais de segurança para a resistência e para as solicitações que foram

https://www.researchgate.net/profile/ACWM_Vrouwenvelder

98

consideradas nas Funções Estado Limite 𝐺1 e 𝐺2. Na Tabela 8.14 podem ser observados os

valores dos coeficientes.

Tabela 8.14 Coeficientes parciais de Segurança.

sendo 𝑓𝑡𝑟 a tensão à tração resistente do concreto.

Os coeficientes parciais de segurança estabelecidos na norma AASHTO LRFD e na

NBR-6118/2014 estão resumidos nas Tabelas 8.15 e 8.16, respectivamente.

Tabela 8.15 Coeficientes parciais de Segurança

Segundo AASHTO LRFD.

Tabela 8.16 Coeficientes parciais de Segurança

Segundo NBR6118.

As equações (8.25) e (8.26) expressam as combinações de carga aplicando os

coeficientes parciais de segurança para as duas Funções Estado Limite:

Nominal MPP Nominal MPP

[kN.m] 6371,29 6606,24 0,96 [kN/m2] 2993,33 3375,54 0,89

Nominal MPP Nominal MPP

[kN.m] 1313,94 1445,74 1,10 [kN/m2] 29116,02 30671,72 1,05

[kN.m] 2066,47 5040,43 2,44 [kN/m2] 10132,11 11099,87 1,10

[kN/m2] 15939,44 22021,17 0,72

Coeficientes parciais de segurança

Resistência

Ação

𝑺 𝑺

𝑀𝑛

𝑀𝐷𝐶𝑀𝐿𝐿+𝐼𝑀

𝑓𝑡𝑟

𝑓𝑝𝑏𝑓𝐷𝐶𝑏

𝑓𝐿𝐿+𝐼𝑀𝑏

1,00 1,00

1,25 1,00

1,75 1,00

0,80

𝑀𝑛


𝑺𝑓𝑝𝑏𝑓𝐷𝐶𝑏𝑓𝐿𝐿+𝐼𝑀𝑏

𝑺 𝑺

𝑀𝐷𝐶

𝑓𝑡𝑟

1,40 1,00

1,40 1,00

1,40 1,00

0,50

𝑀𝑛


𝑺𝑓𝑝𝑏𝑓𝐷𝐶𝑏

𝑓𝐿𝐿+𝐼𝑀𝑏

𝑺 𝑺

𝑀𝐷𝐶

𝑓𝑡𝑟

99

1

𝛾𝑅𝑀𝑢 ≥ 𝛾𝑆𝑀𝐷𝐶 + 𝛾𝑆 𝑀𝐷𝑊 + 𝛾𝑆𝑀𝐿𝐿+𝐼𝑀 ( 8.25 )

1

𝛾𝑅𝑓𝑡𝑟 ≥ 𝛾𝑆𝑓𝑝𝑏 + 𝛾𝑆𝑓𝐷𝐶𝑏 + 𝛾𝑆𝑓𝐷𝑊𝑏 + 𝛾𝑆𝑓𝐿𝐿+𝐼𝑀𝑏 ( 8.26 )

Substituindo-se os valores dos coeficientes, obtêm-se para a Função Estado Limite 𝐺1

as combinações com os coeficientes calculados, segundo a AASHTO LRFD, e segundo a

NBR-6118/2014 nas expressões (8.27), (8.28) e (8.29), respectivamente:

1,04 𝑀𝑢 ≥ 1,10 𝑀𝐷𝐶 + 1,50 𝑀𝐷𝑊 + 2,44 𝑀𝐿𝐿+𝐼𝑀 ( 8.27 )

𝑀𝑢 ≥ 1,25 𝑀𝐷𝐶 + 1,50 𝑀𝐷𝑊 + 1,75 𝑀𝐿𝐿+𝐼𝑀 ( 8.28 )

0,71 𝑀𝑢 ≥ 1,4 (𝑀𝐷𝐶 + 𝑀𝐷𝑊) + 1,4 𝑀𝐿𝐿+𝐼𝑀 ( 8.29 )

Substituindo-se os valores dos coeficientes, obtêm-se para a Função Estado Limite 𝐺2

as combinações com os coeficientes calculados, segundo a AASHTO LRFD, e segundo a

ABNT NBR-6118/2014 nas expressões (8.30), (8.31) e (8.32), respectivamente:

1,12 𝑓𝑡𝑟 ≥ 1,05𝑓𝑝𝑏 + 1,10 𝑓𝐷𝐶𝑏 + 𝑓𝐷𝑊𝑏 + 0,72 𝑓𝐿𝐿+𝐼𝑀𝑏 ( 8.30 )

𝑓𝑡𝑟 ≥ 𝑓𝑝𝑏 + 𝑓𝐷𝐶𝑏 + 𝑓𝐷𝑊𝑏 + 0,8 𝑓𝐿𝐿+𝐼𝑀𝑏 ( 8.31 )

𝑓𝑡𝑟 ≥ 𝑓𝑝𝑏 + 𝑓𝐷𝐶𝑏 + 𝑓𝐷𝑊𝑏 + 0,5 𝑓𝐿𝐿+𝐼𝑀𝑏 ( 8.32 )

Como a variável 𝐷𝑊 foi estabelecida como determinística na análise de confiabilidade

para uma ponte em concreto protendido, os valores dos coeficientes parciais 𝛾𝑠 para as variáveis

𝑀𝐷𝑊 e 𝑓𝐷𝑊𝑏 nas expressões (8.27) e (8.30) não poderão ser calculados, portanto assumem-se

iguais aos estabelecidos na norma AASHTO LRFD devido a que o projeto da estrutura foi

baseado nos critérios dessa norma. Os coeficientes a serem comparados são os definidos nas

Tabelas 8.14, 8.15 e 8.16.

100

Comparando-se os fatores e os coeficientes parciais atualmente estabelecidos nas

normas AASHTO LRFD (2012) e NBR 6118 (2014), observa-se que para o estudo de caso

implementado a norma americana para estruturas em concreto protendido mantém a margem

de segurança no Estado Limite Último aumentando as ações que solicitam a estrutura, enquanto

a normal brasileira além de ponderar os efeitos das ações também diminui a resistência quase

em 30%.

Com o fim de ver de uma forma mais clara a diferença entre as margens de segurança

que usa cada norma, rearranjam-se as expressões 8.27 e 8.29 da forma especificada em (8.33)

e (8.34), respectivamente:

0,962(0,97 𝑀𝑢) ≥ 0,962(1,10 𝑀𝐷𝐶 + 1,50 𝑀𝐷𝑊 + 2,44 𝑀𝐿𝐿+𝐼𝑀)

1,00 𝑀𝑢 ≥ 1,06 𝑀𝐷𝐶 + 1,44 𝑀𝐷𝑊 + 2,35 𝑀𝐿𝐿+𝐼𝑀 ( 8.33 )

1,41(0,71 𝑀𝑢) ≥ 1,41(1,4 (𝑀𝐷𝐶 + 𝑀𝐷𝑊) + 1,4 𝑀𝐿𝐿+𝐼𝑀)

1,00 𝑀𝑢 ≥ 1,97 (𝑀𝐷𝐶 + 𝑀𝐷𝑊) + 1,97 𝑀𝐿𝐿+𝐼𝑀 ( 8.34 )

Dessa forma, pode-se notar que par ao caso estudado:

1. nas três combinações (8.28), (8.33) e (8.34) o coeficiente parcial para a ação variável

é maior do que o coeficiente que pondera a ação permanente;

2. a norma NBR-6118 estabelece coeficientes parciais de segurança maiores para as

ações permanentes em comparação à AASHTO LRFD e aos obtidos através da

análise de confiabilidade realizada no presente trabalho;

3. o coeficiente parcial obtido na expressão (8.33) para a ação variável é maior do que

as estabelecidas nas normas de projeto mencionadas.

Rearranjando-se igualmente a expressão (8.30), obtém-se a combinação (8.35):

0,9(1,12 𝑓𝑡𝑟) ≥ 0,9(1,05 𝑓𝑝𝑏 + 1,12 𝑓𝐷𝐶𝑏 + 𝑓𝐷𝑊𝑏 + 0,73 𝑓𝐿𝐿+𝐼𝑀𝑏)

1,00 𝑓𝑡𝑟 ≥ 0,95 𝑓𝑝𝑏 + 𝑓𝐷𝐶𝑏 + 0,9 𝑓𝐷𝑊𝑏 + 0,66 𝑓𝐿𝐿+𝐼𝑀𝑏 ( 8.35 )

101

A expressão (8.35) mostra uma combinação de ações para um Estado Limite de Serviço

com coeficientes parciais menores que os estabelecidos na norma de projeto AASHTO LRFD,

porém próximos aos estabelecidos na norma de projeto NBR-6118. Com base nessa

comparação destaca-se que para o Estado Limite de Serviço analisado para a ponte La parrquia,

a AASHTO LRFD estabelece uma margem de segurança maior que a NBR-6118.

102

9. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE

Conforme o descrito no capítulo 5, a análise de sensibilidade pode ser feita através de

vários métodos. Os métodos que são implementados no presente trabalho utilizam os resultados

que foram alcançados e apresentados no capítulo anterior, por tanto, a análise é realizada com

o objetivo de destacar aquelas variáveis que são mais sensíveis na avaliação da segurança de

pontes em concreto protendido, permitindo a melhora de trabalhos futuros.

O primeiro método consiste em obter os valores do índice de confiabilidade da estrutura

em estudo para três situações, e compará-los com os valores anteriormente obtidos no capítulo

8. As três situações são:

1. considerando-se a variável aleatória em análise como um parâmetro

determinístico;

2. aumentando-se o valor da variável aleatória em análise em 5%;

3. aumentando-se o valor da variável aleatória em análise em 20%.

Utilizando-se o programa desenvolvido no MATLAB® para a aplicação do método

Monte Carlo, são considerados os casos de análises mencionados acima, calculando-se a

probabilidade de falha e o índice de confiabilidade para cada um deles. Para quantificar as

diferenças entre o valor do índice de confiabilidade 𝛽 calculado no capítulo 8 por Monte Carlo

e os índices de confiabilidade 𝛽 relativos às situações 1, 2 e 3, é calculada uma porcentagem de

variação conforme a expressão (9.1) :

%𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 =𝛽 − 𝛽𝑠𝛽

∗ 100% ( 9.1 )

sendo 𝛽 o índice de confiabilidade obtido na análise de Monte Carlo no Capítulo 8, e 𝛽𝑠 o

índice de confiabilidade obtido na análise de sensibilidade.

Nas Tabelas 9.1 e 9.2, apresentam-se os valores do índice de confiabilidade para as

Funções Estado Limite 𝐺1 e 𝐺2, respectivamente, e as Tabelas 9.3 e 9.4 mostram as

porcentagens de variação do índice de confiabilidade para as Funções Estado Limite 𝐺1 e 𝐺2,

respectivamente.

103

Tabela 9.1. Índice de confiabilidade βs para a Função Estado Limite 𝐺1.

Tabela 9.2. Índice de confiabilidade βs para a Função Estado Limite 𝐺2.

Tabela 9.3. Porcentagem de variação do índice de confiabilidade

para a Função Estado Limite 𝐺1.

Situação Situação Situação

4,46 4,65 5,27

4,44 4,44 4,32

4,43 4,44 4,50

4,33 4,42 4,45

4,22 4,68 5,07

4,45 4,74 5,18

4,47 4,36 4,19

Inf 4,23 3,79


𝑏



2,214 2,18 2,06

2,212 2,215 2,22

2,213 2,12 1,87

2,18 2,22 2,24

2,22 2,19 2,16

1,79 2,5 3,23

2,35 2,11 1,77

3,70 2,06 1,61

𝑦𝐺𝑐






1,36 5,68 19,77

0,91 0,91 1,82

0,68 0,91 2,27

1,59 0,45 1,14

4,09 6,36 15,23

1,14 7,73 17,73

1,59 0,91 4,77

- 3,86 13,86

% de variação

𝐴𝑝𝑠𝑦𝑏𝑠𝑏


104

Tabela 9.4. Porcentagem de variação do índice de confiabilidade

para a Função Estado Limite 𝐺2.

Nas Figuras 9.1 e 9.2 são expostos os valores equivalentes às porcentagens de variação

obtidos em cada caso da análise para as duas Funções Estado Limite, com o objetivo de ter uma

ideia mais visual da proporção em que o índice de confiabilidade alterou-se em cada caso.

Figura 9.1 Diagrama de barras da porcentagem de mudança para as situações

1, 2 e 3 da Função 𝐺1.


0,18 1,36 6,79

0,09 0,23 0,45

0,14 4,07 15,38

1,36 0,45 1,36

0,45 0,90 2,26

19,00 13,12 46,15

6,33 4,62 19,91

67,42 6,79 27,15

% de variação

𝑦𝐺𝑐





105

Figura 9.2 Diagrama de barras da porcentagem de mudança para as situações

1, 2 e 3 da Função 𝐺2.

Observando as Figuras 9.1 e 9.2 pode-se destacar que na Função Estado Limite 𝐺1, as

variáveis que geraram uma variação maior no índice de confiabilidade foram: a altura da viga

ℎ𝑣𝑖𝑔𝑎, a área da armadura de protensão 𝐴𝑝𝑠, a resistência à tração da armadura de protensão 𝑓𝑝𝑢

e a solicitação da carga veicular 𝑀𝑣𝑒 . Para a Função Estado Limite 𝐺2, as variáveis que

apresentam uma variação maior no índice de confiabilidade foram: a força inicial de protensão

𝑃𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, a solicitação da carga veicular 𝑀𝑣𝑒 e o peso próprio dos elementos estruturais 𝐷𝐶.

Existem variáveis que, quando seu valor é incrementado, a probabilidade de falha

diminui o suficiente para que seu cálculo requeira um número de simulações muito maior do

que o utilizado inicialmente, ou simplesmente a Função Estado Limite não alcança um valor

igual ou menor a zero. Devido a esse fato, o valor do índice de confiabilidade da análise de

sensibilidade para 𝑀𝑣𝑒 na situação 1, é mostrado na Tabelas 9.1 com o termo “Inf” (infinito), o

qual indica que a probabilidade de falha desse caso foi zero, ou seja, o número de vezes em que

𝐺(𝑋) ≤ 0 foi nulo, portanto não foi possível obter uma quantificação do índice de

confiabilidade.

𝐷𝐶 𝑀𝑣𝑒

𝑀𝑣𝑒

𝐴𝑝𝑠

106

Com o propósito de perceber de uma forma mais clara a influência de cada uma das

variáveis no cálculo do índice de confiabilidade 𝛽, aumenta-se o valor da solicitação 𝑀𝑣𝑒 na

Função 𝐺1, de tal forma que a falha possa ser alcançada em aqueles casos nos quais não foi

possível obter uma quantificação do índice de confiabilidade. O valor da solicitação é

incrementado ao dobro (2𝑀𝑣𝑒), como foi feito no capitulo 8 na avaliação da confiabilidade da

estrutura utilizando o programa ABAQUS.

A análise de sensibilidade é realizada novamente para as duas Funções Estado Limite,

no entanto fazendo a consideração descrita no parágrafo anterior unicamente para 𝐺1. Reduzem-

se situações 1, 2 e 3 da análise anterior em:

1. aumentar uma determinada porcentagem (5% até 25%) no valor da variável em

análise;

2. considerar a variável em análise como determinística.

Nas Tabela 9.5 e 9.6 são apresentados os valores do índice de confiabilidade para as

Funções Estado Limite 𝐺1 e 𝐺2, respectivamente, quando a variável em análise é aumentada

em 5%, 10%, 15%, 20% e 25%. Esses valores são comparados com o índice de confiabilidade

calculado no capitulo 8. Para a Função 𝐺1 é usado o índice com valor de 𝛽 = 2,06 calculado

no item 8.4 (para a condição de 2𝑀𝑣𝑒), e a porcentagem de variação que são apresentadas nas

Tabelas 9.7 e 9.8 são calculadas pela expressão (9.1) anteriormente definida.

Tabela 9.5. Índice de confiabilidade 𝛽𝑠 para a Função Estado Limite 𝐺1.

5% 10% 15% 20% 25%

2,28 2,49 2,68 2,87 3,04

2,04 2,02 1,99 1,97 1,95

2,07 2,09 2,1 2,11 2,12

2,06 2,07 2,073 2,076 2,08

2,29 2,49 2,68 2,87 3,04

2,30 2,52 2,73 2,92 3,11

2,00 1,95 1,90 1,84 1,77

1,98 1,90 1,81 1,73 1,66



107

Tabela 9.6. Índice de confiabilidade 𝛽𝑠 para a Função Estado Limite 𝐺2.

Tabela 9.7. Porcentagem de variação do índice de confiabilidade para a

Função Estado Limite 𝐺1.

Tabela 9.8. Porcentagem de variação do índice de confiabilidade para a

Função Estado Limite 𝐺2.

5% 10% 15% 20% 25%

2,18 2,14 2,10 2,06 2,02

2,215 2,217 2,22 2,22 2,22

2,12 2,03 1,95 1,87 1,80

2,22 2,22 2,23 2,24 2,24

2,19 2,18 2,17 2,16 2,14

2,50 2,76 3,00 3,23 --

2,11 2,00 1,89 1,77 1,66

2,06 1,90 1,76 1,61 1,48

𝑦𝐺𝑐





5% 10% 15% 20% 25%

10,68 20,87 30,10 39,32 47,57

0,97 1,94 3,40 4,37 5,34

0,49 1,46 1,94 2,43 2,91

0,00 0,49 0,63 0,78 0,97

11,17 20,87 30,10 39,32 47,57

11,65 22,33 32,52 41,75 50,97

2,91 5,34 7,77 10,68 14,08

3,88 7,77 12,14 16,02 19,42

% de variação



5% 10% 15% 20% 25%

1,36 3,17 4,98 6,79 8,60

0,23 0,32 0,45 0,54 0,45

4,07 8,14 11,76 15,38 18,55

0,45 0,45 0,90 1,36 1,45

0,90 1,36 1,81 2,26 3,17

13,12 24,89 35,75 46,15 --

4,62 9,50 14,48 19,91 24,89

6,79 14,03 20,36 27,15 33,03

% de variação

𝑦𝐺𝑐





108

Nas Figuras 9.3 e 9.4 mostram-se as porcentagens de variação para cada Função Estado

Limite, com o fim de representar a tendência do índice de confiabilidade 𝛽𝑠 e perceber a

diferença dos valores que ele apresenta para cada variável.

Figura 9.3 Porcentagem de mudança para o caso 1 da Função 𝐺1.

Figura 9.4 Porcentagem de mudança para o caso 1 da Função 𝐺2.

109

Nas Figuras 9.3 e 9.4 é possível identificar aquelas variáveis que geraram no índice de

confiabilidade uma maior variação: para 𝐺1 destacam-se as variáveis ℎ𝑣𝑖𝑔𝑎, 𝑓𝑝𝑢, 𝐴𝑝𝑠 e 𝑀𝑣𝑒

enquanto para 𝐺2 destacam-se as variáveis 𝑃𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝑀𝑣𝑒,𝐷𝐶, e 𝑦𝐺𝑐.

Para a situação em que a variável em análise é assumida como determinística, calculam-

se o índice de confiabilidade e a porcentagem de variação, os quais são apresentados na Tabela

9.9 e 9.10 para as Funções Estado Limite 𝐺1 e 𝐺2, respectivamente.

Tabela 9.9. Índice de confiabilidade e porcentagem de variação

na análise de sensibilidade para a Função Estado Limite 𝐺1.

Tabela 9.10. Índice de confiabilidade e porcentagem de variação

na análise de sensibilidade para a Função Estado Limite 𝐺2.

Da anterior situação de análise nota-se que as variáveis com uma maior porcentagem de

variação para 𝐺1 são: a solicitação advinda da carga do veiculo 𝑀𝑣𝑒 e a resistência à tração da

armadura de protensão 𝑓𝑝𝑢. Em 𝐺2 destacam-se: a solicitação advinda da carga do veículo 𝑀𝑣𝑒,

a força inicial de protensão 𝑃𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 e o peso próprio dos elementos estruturais 𝐷𝐶.

% de variação

2,07 0,49

2,063 0,15

2,061 0,05

2,03 1,46

1,88 8,74

2,06 0,00

2,12 2,913

4,027 95,470


𝑓′𝑐𝑓𝑝𝑢ℎ𝑣𝑖𝑔𝑎𝐷𝐶

𝑀𝑣𝑒

% de variação

2,214 0,18

2,212 0,09

2,213 0,14

2,18 1,36

2,22 0,45

1,79 19,00

2,35 6,33

3,70 67,42

𝑦𝐺𝑐





110

Comparando as porcentagens de variação obtidas para as situações 1 e 2 anteriormente

consideradas, pode-se reafirmar o mencionado por Hamby (1994) e destacado no capitulo 5:

numa determinada análise existem parâmetros importantes e sensíveis, sabendo-se que um

parâmetro importante sempre é um parâmetro sensível, mas um parâmetro sensível nem sempre

é um parâmetro importante. Isto é devido a que um parâmetro sensível pode produzir uma

alteração significativa na resposta de uma análise, mas a incerteza dele não necessariamente

tem uma contribuição importante na aleatoriedade da resposta geral.

Para se chegar numa redução de variáveis aleatórias nas Funções Estado Limite, varia-

se o número delas, considerando-se prioritariamente as que apresentaram uma porcentagem de

variação maior nas Tabelas 9.9 e 9.10. Calcula-se para cada consideração o índice de

confiabilidade 𝛽𝑠 e a probabilidade de falha 𝑃𝑓.

Nas Tabelas 9.11 e 9.12 são mostradas as variáveis aleatórias consideradas junto com o

valor do índice de confiabilidade obtido e as respectivas probabilidades de falha para as funções

𝐺1 e 𝐺2. O número de variáveis foi alterado até se chegar no valor do índice de probabilidade

obtido no capitulo 8.

Tabela 9.11. Índice de confiabilidade e probabilidade de falha na variação do número de

variáveis aleatórias para a Função Estado Limite 𝐺1.

Tabela 9.12. Índice de confiabilidade e probabilidade de falha na variação do número de

variáveis aleatórias para a Função Estado Limite 𝐺2.

1,92 2,743E-02

2,1 1,786E-02

2,09 1,831E-02

2,03 2,118E-02

2,07 1,923E-02

2,03 2,118E-02

2,06 1,970E-02

Variáveis aleatórias 𝑷𝒇𝑀𝑣𝑒

𝑀𝑣𝑒 , 𝑓𝑝𝑢𝑀𝑣𝑒 , 𝑓𝑝𝑢 , ℎ𝑣𝑖𝑔𝑎

𝑀𝑣𝑒 , 𝑓𝑝𝑢 , ℎ𝑣𝑖𝑔𝑎 , 𝐷𝐶𝑀𝑣𝑒 , 𝑓𝑝𝑢 , ℎ𝑣𝑖𝑔𝑎 , 𝐷𝐶, 𝑓′𝑐𝑀𝑣𝑒 , 𝑓𝑝𝑢 , ℎ𝑣𝑖𝑔𝑎 , 𝐷𝐶, 𝐴𝑝𝑠

𝑀𝑣𝑒 , 𝑓𝑝𝑢 , ℎ𝑣𝑖𝑔𝑎 , 𝐷𝐶, 𝐴𝑝𝑠 , 𝑓′𝑐

2,34 9,642E-03

2,20 1,390E-02

2,19 1,426E-02

2,215 1,338E-02

2,21 1,355E-02

Variáveis aleatórias 𝑷𝒇𝑀𝑣𝑒 , 𝑃𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

𝑀𝑣𝑒 , 𝑃𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 , 𝐷𝐶

𝑀𝑣𝑒 , 𝑃𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 , 𝑓𝑝𝑢𝐷𝐶,𝑀𝑣𝑒 , 𝑃𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 , 𝑓𝑝𝑢 ,𝐷𝐶, 𝑓′𝑐

𝑀𝑣𝑒 , 𝑃𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 , 𝑓𝑝𝑢 ,𝐷𝐶, 𝑓′𝑐, 𝑦𝐺𝑐

111

Com o anteriormente apresentado, conclui-se que o número de variáveis aleatórias para

a Função Estado Limite 𝐺1 pode ser reduzido a 6 (𝑀𝑣𝑒 , 𝑓𝑝𝑢, ℎ𝑣𝑖𝑔𝑎, 𝐷𝐶, 𝐴𝑝𝑠 𝑒 𝑓′𝑐), e para a

Função Estado Limite 𝐺2 pode ser reduzido a 6 (𝑀𝑣𝑒 , 𝑃𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝐷𝐶, 𝑓𝑝𝑢, 𝑓′𝑐 , 𝑦𝐺𝑐).

Implementando-se o segundo método de análise de sensibilidade, calcula-se um índice

chamado de Índice de Importância 𝐼𝑖, o qual está em função do fator de sensibilidade obtido

através do FORM no capítulo 6, sendo definido pela expressão (9.2):

𝐼𝑖 = 𝛼𝑖2 ( 9.2 )

onde 𝛼𝑖 é o fator de sensibilidade de cada variável.

Nas Tabelas 9.13 e 9.14 são apresentados os diferentes fatores de sensibilidade e os

índices de importância para cada variável aleatória, respectivamente.

Tabela 9.13. Fator de sensibilidade de cada variável aleatória para as

Funções Estado Limite 𝐺1 e 𝐺2.

Tabela 9.14. Índice de importância de cada variável aleatória para as

Funções Estado Limite 𝐺1 e 𝐺2.

6,13E-02 8,72E-03

2,15E-02 2,13E-03

1,12E-02 1,72E-02

1,58E-02 1,51E-02

1,22E-01 7,00E-03

4,19E-02 3,09E-01

1,08E-01 1,92E-01

9,83E-01 9,31E-01

𝑦𝐺𝑐



𝑏

𝑓′𝑐𝑓𝑝𝑢ℎ𝑣𝑖𝑔𝑎





3,76E-03 7,60E-05

4,60E-04 4,55E-06

1,26E-04 2,97E-04

2,49E-04 2,29E-04

1,49E-02 4,90E-05

1,75E-03 9,53E-02

1,17E-02 3,70E-02

9,67E-01 8,67E-01

𝑦𝐺𝑐



𝑏

𝑓′𝑐𝑓𝑝𝑢ℎ𝑣𝑖𝑔𝑎





112

Dos valores apresentados acima, pode-se concluir que para a Função Estado Limite 𝐺1

as variáveis aleatórias que obtiveram um índice de importância 𝐼𝑖 maior foram: o momento

advindo do veículo de projeto 𝑀𝑣𝑒, a resistência à tração da armadura de protensão 𝑓𝑝𝑢 e a soma

do peso próprio dos elementos estruturais 𝐷𝐶. No caso da Função Estado Limite 𝐺2, a variáveis

aleatórias com um índice de importância maior foram: o momento advindo do veículo de

projeto 𝑀𝑣𝑒, a força da protensão 𝑃𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 e a soma do peso proprio dos elementos estruturais

𝐷𝐶.

O terceiro método é utilizado em estudos encontrados na literatura corrente (Helton et.

al., 2006; Cheng et. al., 2007) e tem como objetivo calcular o coeficiente de Pearson, o qual

determina a correlação entre duas variáveis. Para o caso analisado calculam-se a correlação

entre as variáveis aleatórias e o índice de confiabilidade ou a probabilidade de falha, através do

programa MATLAB®.

O coeficiente de Pearson é definido pela seguinte equação (9.3):

𝑟 =∑ (𝑥𝑖 − 𝜇𝑥)(𝑦𝑖 − 𝜇𝑦)𝑛𝑖=1

[ ∑ (𝑥𝑖 − 𝜇𝑥)2 𝑛𝑖=1 ∑ (𝑦𝑖 − 𝜇𝑦)

2 𝑛

𝑖=1 ] ( 9.3 )

sendo 𝑥𝑖 a variável de entrada (a variável aleatória), 𝑦𝑖 a variável de saída (Função Estado

Limite), e 𝜇𝑥 e 𝜇𝑦 suas médias.

Os coeficientes de correlação obtidos são apresentados na Tabela 9.15. O valor negativo

do coeficiente indica que as variáveis estão inversamente correlacionadas, ou seja, neste caso a

variável gera um efeito negativo na Função Estado Limite diminuindo a confiabilidade da

estrutura. Os valores de ri estão no intervalo −1 ≤ 𝑟𝑖 ≤ 1. Se o valor do coeficiente for 1 (ou -

1) significa que as variáveis estão perfeitamente correlacionadas.

Nas Figuras 9.5 e 9.6 podem ser observados os valores dos índices de importância 𝐼𝑖 e

coeficientes de Pearson 𝑟𝑖 para cada uma das Funções Estado Limite analisadas, visualizando-

se quais variáveis influem na resposta em maior proporção.

113

Tabela 9.15. Coeficiente de Pearson de cada variável com a função

Estado Limite 𝐺1 e 𝐺2.

Figura 9.5 Diagrama de barras do índice de importância e do

coeficiente de Pearson da Função 𝐺1.

1,86E-01 -1,46E-02

-6,55E-02 3,99E-03

3,52E-02 -4,88E-03

1,01E-01 3,93E-02

3,73E-01 -1,08E-02

1,28E-01 5,10E-01

-3,25E-01 -3,17E-01

-8,30E-01 -7,99E-01



𝑏


ℎ𝑣𝑖𝑔𝑎𝐷𝐶𝑀𝑣𝑒

𝑦𝐺𝑐




114

Figura 9.6 Diagrama de barras do índice de importância e do

coeficiente de Pearson da Função 𝐺2.

Dos resultados alcançados nos diferentes métodos de análise de sensibilidade, pode-se

concluir que o momento gerado pelo veículo de projeto 𝑀𝑣𝑒 tem maior influência tanto na

Função Estado Limite 𝐺1 quando na Função Estado Limite 𝐺2. Essa variável apresenta uma

influência inversa na probabilidade de falha, ou seja, a medida que seu valor aumenta a

confiabilidade diminui.

Através dessa análise de sensibilidade conseguiu-se observar que a resposta da

confiabilidade depende principalmente da informação probabilistica que é atribuida às variáveis

aleatórias, e da forma como sejam estabelecidos os diferentes parâmetros. Variáveis como a

altura da viga ℎ𝑣𝑖𝑔𝑎 e a força de protensão 𝑃𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, as quais contribuiram fortemente na variação

do índice de confiabilidade para as funções 𝐺1 e 𝐺2, respectivamente, apresentariam variações

maiores na confiabilidade da estrutura se seus parâmetros ou distribuições fossem alterados,

podendo mudar até a proporção da influência na resposta da probabilidade de falha.

115

Dos três métodos implementados para realizar a análise de sensibilidade se obtiveram

resultados similares, nos quais foram destacadas as mesmas variáveis como aquelas que geram

uma variação mais significativa na avaliação da segurança da ponte do estudo de caso, nos dois

estados limites considerados.

O primeiro método, além de mostrar a tendência do índice de confiabilidade quando o

valor de uma determinada variável é incrementado, também destaca aquelas variáveis que, além

de serem importantes, são sensíveis na avaliação da segurança do presente estudo de caso.

116

10. CONCLUSÕES

No presente trabalho foi sistematizado um procedimento para avaliar a segurança de

pontes em concreto protendido. Estabeleceu-se como objetivo do procedimento obter a

probabilidade de falha 𝑃𝑓 e o índice de confiabilidade 𝛽 para uma ponte em concreto protendido

de viga-e-laje.

Como parte fundamental da avaliação de segurança foram definidas três Funções Estado

Limite, as quais envolviam Estados Limite Último e de Serviço. Na análise foi estabelecida a

probabilidade de falha da estrutura, como a probabilidade de uma das vigas da superestrutura

não atingir a capacidade à flexão positiva ou negativa requerida para suportar as ações que a

solicitam, ou como a probabilidade da resistência do concreto à tração ser excedida pelas

tensões advindas das solicitações.

A segurança de uma ponte de concreto protendido chamada La Parroquia foi avaliada,

a qual foi escolhida como estudo de caso para aplicar o procedimento sistematizado. O

procedimento implementa dois métodos que levam à obtenção da probabilidade de falha de

uma estrutura: o método de simulação Monte Carlo e o Método de Probabilidade de Primeira

Ordem FORM, baseado na Teoria da Confiabilidade. O propósito de implementar, além do

método de simulação Monte Carlo, o método FORM é validar as respostas calculadas.

Com os resultados obtidos na avaliação da segurança da ponte La Parroquia, foi

possível verificar que o método de simulação Monte Carlo implementado através do programa

MATLAB® conseguiu proporcionar uma resposta da probabilidade de falha muito próxima à

aquela que seria obtida através do método analítico adotado, permitindo avaliar a segurança da

estrutura de uma forma menos complexa, embora tenha resultado em um custo computacional

alto.

Através do estudo de caso obteve-se que uma ponte em concreto protendido de viga-e-

laje projetada segundo as especificações da AASHTO LRFD sob a ação do peso próprio e

veículo de projeto, apresentou uma probabilidade de falha para a Função Estado Limite 𝐺1 de

𝑃𝑓 = 5,21 ∙ 10−6 e para a Função Estado Limite 𝐺2 de 𝑃𝑓 = 1,36 ∙ 10−2.

Para a obtenção dos esforços da estrutura analisada, não seria preciso o uso de um

programa de cálculo estrutural devido a que a solução analítica é relativamente simples, e pode-

se obter através dela, além de uma resposta proxima à calcualda através do programa ABAQUS,

117

uma redução significativa do custo computacional. Para estruturas mais complexas ou análises

que envolvem cálculos mais elaborados como a consideração da não linearidade física do

material, justifica-se ou torna-se necessário o uso de um programa de análise estrutural.

Como parte da análise de confiabilidade, foram achados os coeficientes parciais de

segurança das ações e resistências em cada Função Estado Limite, utilizando-se os valores

característicos ou nominais das variáveis aleatórias e os valores do ponto de projeto calculados

obtidos no método FORM.

Cada coeficiente parcial de segurança foi comparado com os atualmente utilizados em

normas de projeto como a AASHTO LRFD e a NBR-6118. Com os resultados apresentados no

capítulo 8, pode-se afirmar que para o caso particular da ponte La Parroquia, os coeficientes

parciais de segurança podem ser calibrados de tal forma que possa se otimizar o projeto da

estrutura, ainda mantendo uma margem de segurança adequada.

No capítulo 9 uma análise de sensibilidade foi feita com o propósito de se observar quais

variáveis evidenciavam uma influência maior no cálculo da probabilidade de falha. Para isso,

três métodos foram implementados, e todos eles destacaram que: a capacidade última a flexão

de uma viga em concreto protendido é sensível à área 𝐴𝑝𝑠 e à resistência 𝑓𝑝𝑢 da armadura de

protensão assim como à sua altura ℎ𝑣𝑖𝑔𝑎, como foi também concluído em Chandrasekar e

Dayaraatnam (1975), Tabsh e Nowak (1991) e Rakoczy e Nowak (2013). Por outro lado, a

tensão à tração do concreto é sensível à força aplicada nos cabos de protensão 𝑃𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, ao

momento devido ao veículo de projeto 𝑀𝑣𝑒 e ao peso próprio dos elementos estruturais 𝐷𝐶.

Do primeiro método implementado na análise de sensibilidade, conseguiu-se

estabelecer o momento advindo do veículo de projeto 𝑀𝑣𝑒 como a variável cuja incerteza

contribui em grandes proporções no cálculo da probabilidade de falha tanto para Função Estado

Limite 𝐺1 quanto para a Função Estado Limite 𝐺2. Segundo o obtido na análise de sensibilidade,

uma diminuição do número de variáveis aleatórias é possível.

118

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http://resolver.tudelft.nl/uuid:91362679-5e65-47ed-9d37-86fa91c191d2

122

ANEXO A

A.1 Modelagem da viga protendida usando o programa ABAQUS

A seguir descreve-se quais foram as considerações feitas no modelo numérico da

estrutura do estudo de caso e as ações que foram levadas em consideração.

A.1.1 Viga de concreto

A viga é modelada como um elemento linear (barra) definido como “beam”, o qual foi

dividido em 260 elementos finitos de 0,1 metro de comprimento. As características da seção

transversal do elemento foram adotadas escolhendo-se um tipo de seção generalizada da qual

podem ser atribuídas as propriedades geométricas do elemento, como a área e as inércias. A

Figura A.1 ilustra a interface do software com o tipo de seção transversal escolhida para a viga.

Figura A.1. Seção da viga protendida utilizada pelo

programa ABAQUS.

As condições de contorno adotadas para o elemento foram as correspondentes à uma

viga bi-apoiada, colocando-se restrição de deslocamento nas duas direções (x e y) num extremo

da viga e no outro extremo uma restrição de deslocamento apenas na direção vertical (y). O

material é definido estabelecendo-se o módulo de elasticidade 𝐸 e o coeficiente de Poisson 𝜈,

cujos valores correspondem a aqueles definidos no projeto da estrutura.

123

A.1.2 Ações permanentes

As ações permanentes que atuam na estrutura são as correspondentes ao peso próprio

dos elementos estruturais e não estruturais e à força de protensão. A Figura A.2 ilustra o modelo

escolhido para o peso próprio do elementos estruturais 𝐷𝐶 e não estruturais 𝐷𝑊, os quais são

representados por uma carga uniformemente distribuída ao longo do comprimento da viga.

Figura A.2. Modelo dos pesos próprios.

A força de protensão dos cabos, com motivo de simplificar o modelo no programa, foi

representada por um carregamento externo linearmente distribuído ao longo do comprimento

da viga e duas cargas concentradas nos extremos da posição do cabo.

Inicialmente foi proposto por Lin (1955) representar a força de protensão por um

carregamento uniformemente distribuído o qual, segundo Menegatti (2004), é bastante prático

e eficiente, no entanto Franco (1994) propõe outra alternativa de representação dos cabos com

trecho parabólico, a qual consiste em utilizar um carregamento externo linearmente distribuído

para representar a variação da força de protensão ao longo do cabo. A Figura A.3 representa o

carregamento utilizado no modelo em ABAQUS para representação da força de protensão,

segundo aquela proposta por Franco (1994).

Figura A.3. Representação da força de protensão.

124

Como o a viga é representada por um elemento linear, para levar em consideração a

excentricidade da forca 𝑃 de cada cabo de protensão, transladam-se cada uma delas para o

centro de gravidade, o qual implica em aplicar um momento pontual em cada extremo da viga

com valor de −𝑃𝑒𝑖, sendo 𝑒𝑖 a excentricidade de cada cabo.

Os valores da cargas uniformemente distribuídas que representam os cabos de

protensão, podem ser obtidos através das expressões (A.1) e (A.2):

𝐹𝑡𝑐1 =2𝑓𝑖𝑃1

(𝐿𝑐𝑎𝑏𝑜 2⁄ )2 (A.1 )

𝐹𝑡𝑐2 =2𝑓𝑖𝑃2

(𝐿𝑐𝑎𝑏𝑜 2⁄ )2 (A.2 )

sendo 𝑓𝑖 a flecha do cabo parabólico, 𝑃1 e 𝑃2 as forças da protensão no início do cabo e em

𝐿𝑐𝑎𝑏𝑜 2⁄ .

A.1.3 Ações variáveis

As ações varáveis atuantes na estrutura são as correspondentes ao peso do veículo de

projeto e a um carregamento uniformemente distribuído ao longo da viga que representa a carga

lane load. A Figura A.4 ilustra as forças variáveis levadas em consideração.

Figura A.4. Ações variáveis que solicitam a viga protendida.

Como foi mencionado no capitulo 8, desenvolveu-se a modelagem da estrutura através

de um código python o qual permitiu importar os dados das variáveis aleatórias. Finalmente

como resultado o ABAQUS gera um arquivo “.txt” o qual é levado para o MATLAB® e as

Funções Estado Limite são avaliadas.

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AVALIAÇÃO DA SEGURANÇA DE PONTES DE CONCRETO PROTENDIDO ... · silvia juliana sarmiento nova avaliaÇÃo da seguranÇa de pontes de concreto protendido sob solicitaÇÕes normais