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Material de Apoio
Descontos
• Conceito: a chamada operação de desconto normalmente é realizada quando se conhece o valor futuro de um título (valor nominal, valor de face ou valor de resgate) e se quer determinar o seu valor atual.
Descontos
• Fórmula: D = FV – PV
• Onde:
• D = valor monetário do desconto
• FV = Valor Futuro (Valor de Face)
• PV = Valor Presente (Valor creditado ou pago ao seu titular)
Descontos
• O critério mais utilizado pelo mercado é o chamado desconto simples, que envolve cálculos lineares, com um detalhe: o taxa no período incide sobre o valor futuro e não sobre o valor presente (como são as demais operações)
Descontos
• Conhecido no mercado financeiro como desconto bancário ou comercial, o desconto simples é obtido multiplicando-se o valor de resgate do título pela taxa de desconto e pelo prazo a decorrer até o seu vencimento, ou seja:
Descontos
• D = FV x i x n
• Onde:
• D = Valor do Desconto ($)
• FV = Valor Futuro ou de Face
• i = taxa de desconto
• n = o prazo
Descontos
• Para se obter o chamado valor descontado (ou valor presente), basta subtrair o valor do desconto do valor futuro do título, como segue:
• PV = FV - D
Descontos
• Assim, temos as duas fórmulas básicas:
• D = FV x i x n
• PV = FV - D
Descontos
• Exemplos:
• 1- Qual o valor do desconto simples de um título de $ 2.000,00, com vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês?
• Dados:
• FV = 2.000,00
• n = 90 dias = 3 meses
• i = 2,5% ao mês
Descontos
• D = FV x i x n
• D = 2.000 x 0,025 x 3
• D = 150,00
Descontos
Cálculo do valor do desconto simples para séries de títulos de mesmo valor:
Fórmulas:
PVt = FV x N - Dt
Dt = FV x N x i x (t1 + t2)/2
Descontos
• Onde:
• Dt = valor do desconto total
• N = número de títulos
• i = taxa de juros
• t1 + t2 = prazo médio dos títulos
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Descontos
• Exemplo: Calcular o valor líquido correspondente ao desconto bancário de 12 títulos, no valor de $ 1.680,00 cada um, vencíveis de 30 a 360 dias, respectivamente, sendo a taxa de desconto cobrada pelo banco de 2,5% ao mês.
Descontos
• Dados:
• FV = 1.680,00
• N = 12
• t1 = 1
• tn = 12
• Pt = ?
• i = 2,5%
Descontos
• Solução:
• Dt = 1.680,00 x 12 x 0,025 x (1 + 12)/2
• Dt = 3.276,00
• Pt = (1.680,00 x 12) – 3.276,00
• Pt = 16.884,00
Descontos
• Taxa Efetiva de Desconto (ie)
• É aquela que, como o próprio nome diz, remunera efetivamente uma operação de desconto.
• Há uma mudança de enfoque, veja:
• A loja de eletrodomésticos, ao permitir que seus clientes paguem 30 dias após a compra, está realidade, abdicando de receber $ 900,00, hoje, para receber $ 1.000,00 daqui a um mês. Quanto ganhará com isso?
Descontos
• O rendimento será de $ 100,00 sobre os $ 900,00 de hoje. A taxa de remuneração ou taxa efetiva será:
• Ie = 100/900 x 100 = 11,11%.
Descontos
• Assim podemos dizer:
• A taxa nominal de desconto (id) incide sobre o valor nominal do título. Já a taxa efetiva de desconto (ie) é aplicada sobre o valor líquido da operação.
Descontos
• ie = id x 100
100 – id
Onde:
ie = taxa efetiva de desconto
id = taxa nominal de desconto
Juros Compostos
• No regime de juros compostos, os juros obtidos a cada novo período são incorporados ao capital, formando um montante que passará a participar da geração de juros no período seguinte, e assim sucessivamente. Dessa forma, não apenas o capital inicial rende juros, mas eles são devidos a cada período de forma cumulativa. Daí serem chamados juros capitalizados.
Juros Compostos
• PV = Capital inicial
• n = Números de períodos
• FV = Montante no regime de juros compostos
• No regime de juros compostos, a taxa de juros (i) incide sobre o montante (PV+J) do período anterior. Portanto, difere do regime de juros simples, em que a incidência é sempre sobre o capital inicial (PV).
Juros Compostos
• Exemplo 1: Para um capital de $ 100.000,00, aplicado à taxa de 10% ao mês, em juros compostos, por 3 meses, teríamos:
Juros Compostos
n PV J juros acumulados Montante (PV+J)
10%
0 100.000 0 0 100.000
1 100.000 10.000 10.000 110.000
2 110.000 11.000 21.000 121.000
3 121.000 12.100 33.100 133.100
Juros Compostos
• Observe que os juros são cobrados a cada período de capitalização que, neste caso, é mensal. No período n=0, o capital ainda não rendeu juros, pois é nesse momento que a aplicação se inicia. A remuneração (juros) de cada período é obtida pela multiplicação do montante do período anterior pela taxa de juros.
Juros Compostos
• A) Primeiro período:
• Juros: J1 = PV x i
100
J1 = 100.000 x 10/100 = 10.000
Montante: FV1 = PV + PV x i 100
FV1 = PV ( 1 + i )
100
Montante do primeiro período
Juros Compostos
• B) Segundo Período
• Juros: J2 = FV1 x i
100
J2 = 110.000 x 10/100 = 11.000
Verifique que o juro aumentou em 1.000, que corresponde à parcela incidente sobre os juros do período anterior (10.000 x 10/100). Por isso os juros compostos são chamados de juros sobre juros.
Juros Compostos
• Montante: FV2 = FV1 + J2
• FV2 = FV1 + FV1 x i 100
• FV2 = FV1 ( 1 + i ) 100
• FV2 = PV ( 1 + i ) x ( 1 + i ) 100 100
• FV2 = PV ( 1 + i )2 Montante 2.º período
100
Juros Compostos
• C) Terceiro Período:
• Juros: J3 = FV2 x i
100
J3 = 121.000 x 10/100 = 12.100
• Montante: FV3 = FV2 + J3
• FV3 = FV2 + FV2 x i 100
• FV3 = PV ( 1 + i ) 2 x ( 1 + i ) 100 100
• FV3 = PV ( 1 + i )3 Montante 3.º período
100
Juros Compostos
• Portanto, generalizando a fórmula para “n” períodos, temos:
• FVn = PV ( 1 + i )n
100
ESTA É A FÓRMULA GERAL DE JUROS COMPOSTOS.
Juros Compostos
• Observação:
• A unidade de tempo utilizada para o período (n) deve ser a mesma da taxa de juros (i), ou seja, se o período (n) é dado em:
• Dia – taxa em dia (i% a.d.);
• Mês – taxa em mês (i% a.m.);
• Ano – taxa em ano (i% a.a.)
Juros Compostos
• Outro exemplo: Uma aplicação de $ 50.000,00, pelo prazo de 3 meses, a uma taxa de 5% a.m. (0,05 a.m.), capitalizável mensalmente, quanto renderá?
• FVn = PV ( 1 + i )n
100
Juros Compostos
• FV = 50.000 ( 1,05 )3
• FV = 57.881,25
• Esse é montante, os juros (rendimentos) são:
• J = MONTANTE – CAPITAL INICIAL
• J = 57.881,25 – 50.000,00
• J = 7.881,25
• Veja o que ocorreu em cada período no quadro a seguir:
Juros Compostos
Período Capital Taxa Juros do Período Montante
n PV i J FV
1 50.000,00 5% 2.500,00 52.500,00
2 52.500,00 5% 2.625,00 55.125,00
3 55.125,00 5% 2.756,25 57.881,25
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