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F.T I

Aula 4

Tópicos

> Introdução> Descrição do movimento dos fluidos

Descrição Lagrangiana e Euleriana do movimentoVelocidade Linhas de trajetória, Linhas de Emissão e Linhas de correntesAceleração

> Classificação de EscoamentoEscoamentos Uni, Bi e Tridimensionais Escoamentos Viscoso e Não-viscososEscoamentos Laminares e TurbulentosEscoamentos Incompressíveis e Compressíveis

O que estuda a Cinemática?

• A cinemática dos fluidos estuda o movimento dos fluidos em termos dos deslocamentos, velocidades e acelerações, sem levar em conta às forças que o produzem;

Campo de velocidade• A cinemática dos fluidos estuda o

movimento dos fluidos em termos dos deslocamentos, velocidades e acelerações, sem levar em conta às forças que o produzem;

X y

z

Partícula Ano instante t Partícula A

no instante t+dt

rA(t)rA(t+dt)

Trajetória da partícula

ktzyxwjtzyxvitzyxuV

,,,,,,,,, dtrdV A

Métodos para o estudo da cinemática dos fluidos

• Método de Lagrange

• Método de Euler

Método de Lagrange• Descreve o movimento de cada partícula acompanhando-

a em sua trajetória real;• Apresenta grande dificuldade nas aplicações práticas;• Para a engenharia normalmente não interessa o

comportamento individual da partícula e sim o comportamento do conjunto de partículas no processo de escoamento.

Método de Euler

• Consiste em adotar um intervalo de tempo, escolher uma seção ou volume de controle no espaço e considerar todas as partículas que passem por este local;

• Método preferencial para estudar o movimento dos fluidos: praticidade.

Campo de velocidade: Euleriano vs. Lagrangiano

Euleriano: O movimento do fluido é descrito pela especificação completa das propriedades necessárias (pressão, densidade, velocidade) em função das coordenadas espaciais e temporais. Obtemos informações do escoamento em função do que acontece em pontos fixos do espaço.

Lagrangiano: Envolve seguir as partículas fluidas e determinar como as propriedades da partícula variam em função do tempo.

Medição da temperatura

Euleriano Lagrangiano

Se temos muitos dados, podemos obter informações Eulerianas a partir de informações Lagrangianas, ou vice-versa.

Métodos Eulerianos são muito usados em experimentos e análises — um probe colocado em um ponto do escoamento.

Métodos Lagrangianos podem ser usados se queremos “etiquetar” partículas de fluido no escoamento.

Definições Importantes

• Trajetória• Linha de Corrente (Linha de fluxo)• Tubo de corrente• Linha de emissão (filetes)

Trajetória

• Linha traçada por uma dada partícula ao longo de seu escoamento

X y

z

Partícula no instante t1

Partícula no instante t2

Partícula no instante t3

Linha de Corrente• Linha que tangencia os vetores velocidade

de diversas partículas, umas após as outras

• Duas linhas de corrente não podem se interceptar (o ponto teria duas velocidades)

X y

z

Partícula 1no instante t

Partícula 2no instante t

Partícula 3no instante t

v1

v2

v3

Analiticamente, para escoamentos 2D, a inclinação da linha de corrente deve ser igual a tangente do ângulo que o vetor velocidade faz com o eixo x, ou seja:

Experimentalmente, a visualização do escoamento com corantes pode facilmente produzir linhas de corrente para um escoamento permanente, mas para escoamentos não permanentes este tipo de experimento não necessariamente oferece informação sobre as linhas de corrente.

Linha de Corrente

Tubo de Corrente (tubo de fluxo)

• No interior de um fluido em escoamento existem infinitas linhas de corrente definidas por suas partículas fluidas

• A superfície constituída pelas linhas de corrente formada no interior do fluido é denominada de tubo de corrente ou veia líquida

Linha de Emissão (filete)

• Linha definida pela sucessão de partículas que tenham passado pelo mesmo ponto;

• A pluma que se desprende de uma chaminé permite visualizar de forma grosseira uma linha de emissão;

Ponto dePonto deReferênciaReferência

Classificação do Escoamento

• Classificação Geométrica;• Classificação quanto à variação no tempo• Classificação quanto ao movimento de rotação• Classificação quanto à trajetória (direção e variação)

Classificação Geométrica do Escoamento

• Escoamento TridimensionalEscoamento Tridimensional:As grandezas que regem o escoamento variam nas três dimensões.•Escoamento BidimensionalEscoamento Bidimensional:As grandezas do escoamento variam em duas dimensões ou são tridimensionais com alguma simetria.•Escoamento UnidimensionalEscoamento Unidimensional:São aqueles que se verificam em função das linhas de corrente (uma dimensão).

Classificação do Escoamento

• Quanto à variação no tempo:– Permanente:

As propriedades médias estatísticas das partículas fluidas, contidas em um volume de controle permanecem constantes.

– Não PermanenteQuando as propriedades do fluido mudam no decorrer do escoamento;

Escoamento: Permanente e Não Permanente

0t

Dependência com o Tempo

Não Permanente Permanente

0t

Classificação do Escoamento

• Quanto à Variação da trajetória:

– Uniforme:Uniforme: Todos os pontos de uma mesma trajetória

possuem a mesma velocidade.

– VariadoVariado: Os pontos de uma mesma trajetória não

possuem a mesma velocidade.

Classificação do Escoamento

• Quanto ao movimento de rotação (atrito):

– RotacionalRotacional: A maioria das partículas desloca-se animada de velocidade angular em torno de seu centro de massa;

– IrrotacionalIrrotacional: As partículas se movimentam sem exibir movimento de rotação (na maioria das aplicações em engenharia despreza-se a característica rotacional dos escoamentos)

Classificação do Escoamento

• Quanto à compressibilidade:

– CompressívelCompressível: as propriedades do fluido variam conforme a posição da partícula;

– ImcompressívelImcompressível: as propriedades não mudam com a posição.

Classificação do Escoamento

• Quanto à Direção da trajetória:– Escoamento LaminarEscoamento Laminar: As partículas descrevem trajetórias

paralelas. O fluido flui em camadas ou lâminas. (Re < 2000)

– Escoamento turbulentoEscoamento turbulento: As trajetórias são caóticas. Escoamento

tridimensional das partículas de fluido. As componentes da velocidade apresentam flutuações ao redor da média (Re > 4000).

Classificação do Escoamento

LaminarLaminar TurbulentoTurbulento

Conseqüências do desprendimento de vórtices:Ponte sobre o Rio Tacoma, USA

Visualização de escoamentos

Injeção de corante

Filmes:

* Laminar and Turbulent Flows* Drag and Lift

Visualização de escoamentos:

Campo de velocidades: representação gráfica dos vetores velocidade do escoamento.

Velocidades próximas à superfície do nariz de um trem de alta velocidade (TGV)

Planos de velocidades instantâneas (em instantes de tempo diferentes) - Re = 104

Visualização de escoamentos:Campo de vorticidade: representação gráfica dos vetores vorticidade do escoamento.

Plano de velocidades instantâneas, ReD = 104

CILINDRO

Campo instantâneo de vorticidade, ReD = 4300.

Detalhe com os vetores velocidade

V

Vorticidade:

Aceleração de uma partícula fluida:

zVw

yVv

xVu

tV

DtVDa

Em coordenadas cartesianas:

zww

ywv

xwu

tw

DtDwa

zvw

yvv

xvu

tv

DtDva

zu

wyu

vxu

utu

DtDu

a

z

y

x

Vazão mássica: A

dAnVm

Vazão ou descarga: A

dAnVQ

Velocidade média:AQV

aceleraçãolocal

aceleraçãoconvectiva

Vazão mássica

Vazão ou descarga

Velocidade média

Taxas de escoamentos

Taxas de escoamentos• Vazão em Volume

Vazão é a quantidade em volume de fluido que atravessa uma dada seção do escoamento por unidade de tempo.

Vazão ou descarga: A

dAnVQ

Taxas de escoamentos• Vazão em Massa

Vazão em massa é a quantidade em massa do fluido que atravessa uma dada seção do escoamento por unidade de tempo.

Vazão mássica:

AdAnVm

Taxas de escoamentos• Velocidade média

É uma velocidade hipotética, constante ao longo de toda a seção transversal do tudo de corrente, que nos permite calcular a vazão num dado instante.

Escoamento Turbulento

Escoamento laminar no fundo e turbulento na superfície

Escoamento Turbulento

Classificação de Escoamento

VLVL

idadevisdeforçasinerciadeforças

cos

Re

V - velocidade média do fluído

L - longitude característica do fluxo, o diâmetro para o fluxo no tubo

- viscosidade cinemática do fluído

ρ – massa específica

Classificação de Escoamento

TurbulentoEscoamentoTransição

arLaEscoamento

2000Re4000Re2000

min2000Re