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FICHA PARA CATÁLOGO PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA
Título:O Resgate da Discussão sobre a Geometria não-euclidiana sob Perspectiva de Lobatchwsk e Riemann.
Autor Maria do Carmo Nunes.
Escola de Atuação Colégio Estadual Rio Branco-E.F.M.N.P
Município da escola Santo Antonio da Platina
Núcleo Regional de Educação Jacarezinho
Orientador George Francisco Santiago Martin
Instituição de Ensino Superior IES- UENP Jacarezinho
Disciplina/Área (entrada no PDE) Matemática
Produção Didático-pedagógica Unidade Didática
Relação Interdisciplinar
(indicar, caso haja, as diferentes disciplinas compreendidas no trabalho)
Geografia,Física,Arte e Topologia______________________________
Público Alvo
(indicar o grupo com o qual o professor PDE desenvolveu o trabalho: professores, alunos, comunidade...)
Alunos do 3º e 4º Anos do Formação de Docentes Intgrados.
Localização
(identificar nome e endereço da escola de implementação)
Colégio Estadual Rio Branco – E.F.M.N.P
Rua 19 de Dezembro – 1001 - Centro
Apresentação:
(descrever a justificativa, objetivos e metodologia utilizada. A informação deverá conter no máximo 1300 caracteres, ou 200 palavras, fonte Arial ou Times New Roman, tamanho 12 e espaçamento simples)
Justificativa
Costuma-se utilizar os conhecimentos de geometria limitando-se aos conceitos organizados através de desenhos da Geometria Euclidiana. nessa área determinaram concepções diferentes da tradicional Geometria Euclidiana, culminando com o nascimento da Geometria não-euclidiana, provocando uma revolução sobre as “verdades matemática”. A fim de exemplificar essas concepções, pode-se citar os matemáticos como Lobatchewsk e Riemann, que promoveram surpreendentes descobertas afirmando que a Geometria Euclidiana não é a única possível.
Objetivos
O objetivo deste projeto é que o aluno compreenda que a geometria ensinada no ensino fundamental é embasada na geometria plana. Mas, a geometria não-euclidiana é necessária para que este aluno desenvolva habilidades em trabalhar os novos conceitos relacionando-os com outras disciplinas, compreedendo essa nova dimensão de espaço, promovendo novos conceitos e formas geométricas para melhor entender a revolução do mundo e suas tecnologias.
Metodologias
propõe-se para os alunos pesquisas em livros didáticos que contemplem essa “nova” geometria; “geometria da discórdia” assim classificada no início de seu estudos.
comparar-se-á a diferença entre geometria hiperbólica e elíptica através de sites indicados pelo professor e, também algumas problematizações:
a) por que precisamos de geometria não-euclidiana? b) como saber se o espaço é curvo? c) o que é curvatura? d) o que é o quinto Postulado? e) o que é modelo de Poincaré? f) qual a distância numa superfície esférica? g) a Matemática do GPS.
discussão sobre as “descobertas” e demonstrações através de materiais dia-a-dia sobre os conceitos da geometria formal euclidiana e não-euclidiana.
produção de material escrito, pelos alunos para socialização com outros alunos.
Palavras-chave ( 3 a 5 palavras) Geométrico;Geometria não-euclidiana;interdisciplinaridade.
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE DO PARANÁ CAMPUS DE JACAREZINHO
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL-PDE
MARIA DO CARMO NUNES
O RESGATE DA DISCUSSÃO SOBRE A GEOMETRIA NÃO-
EUCLIDIANA SOB A PERSPECTIVA DE LOBATCHEWSK E RIEMANN
JACAREZINHO 2010
MARIA DO CARMO NUNES
O RESGATE DA DISCUSSÃO SOBRE A GEOMETRIA NÃO-
EUCLIDIANA SOB A PERSPECTIVA DE LOBATCHEWSK E RIEMANN
Unidade Didática apresentado ao Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) da Secretaria de Estado da Educação (SEED). Orientador: Prof. George Francisco Santiago Martin.
JACAREZINHO
2010
DADOS DE IDENTIFICAÇÃO
Professor PDE: Maria do Carmo Nunes Área PDE: Tendências em Educação Matemática (4) NRE: Jacarezinho. Professor Orientador IES: George Francisco Santiago Martin IES vinculada: UENP Escola de Implementação: Colégio Estadual Rio Branco – E.F.M.N.Profissional. Público objeto de intervenção: 3º e 4º Anos de Formação de Docentes Integrados. Assunto: O Resgate da Discussão sobre a Geometria não-Euclidiana sob a Perspectiva de Lobatchewsk e Riemann.
Unidade Didática CONTEÚDO ESTRUTURANTE : Geometria CONTEÚDO ESPECÍFICO : Geometria não-eclidiana RELAÇÕES DE CONTEXTO : Geometria Hiperbólica e Elíptica
Introdução Esta Unidade Didática propõe o desenvolvimento de atividades para os alunos do
3º e 4º anos do curso de Formação de Docentes do Colégio Estadual Rio Branco
Ensino Fundamental, Médio, Normal e Profissional da cidade de Santo Antônio da
Platina, abordando conceitos prévios de geometria não-euclidiana, por meio de
situações problemas originados da interdisciplinaridade, apresentando aos mesmos
metodologias levando-os a entender essa “nova” geometria, que surgiu com a
contradição da compreensão do mundo não-euclidiano.
Oferecendo atividades diversas, capazes de gerar aprendizagens dinâmicas,
problematizadoras e efetivas com esclarecimentos científicos enfatizando a
interdisciplinaridade com as disciplinas : Geografia,Física,Arte e Topologia.
Objetivo O objetivo deste projeto é que o aluno compreenda que a geometria ensinada no
ensino fundamental é embasada na geometria plana.Mas, a geometria não-
euclidiana é necessária para que este aluno desenvolva habilidades em trabalhar os
novos conceitos relacionando-os com outras disciplinas, compreedendo essa nova
dimensão de espaço, promovendo novos conhecimentos e conceitos, novas formas
geométricas para melhor ententer a revolução do mundo e suas tecnologias.
Refletindo...
Lobatchewesk Riemann
Analisando... Compreendendo...
Poincaré
Novos Conceitos Geométricos !..
Você já ouviu alguém falar desses Matemáticos ?
Gosta das aulas de Geometria ?
Consegue relacionar a geometria aprendida nas aulas de matemática com outras disciplinas como: Geografia, Física e Arte ?
Já ouviu falar em Geodésica ?
Será que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180 º ou depende ?
Você sabe o que é geometria não-euclidiana ?
Você sabe quando esta geometria surgiu ?
Onde poderemos aplicá-la ?
Vá pensando...
Essas figuras podem nos auxiliar para tais questionamentos.
A Geometria não-euclidiana e a Geografia
1. O mapa acima nos ajuda a entender o que é Geometria e Geografia.Do ponto de
vista de você como estudante, o que é Geometria e o que é Geografia ? 2. Os Trópicos, os Pararelos a Linha do Equador e o Meridiano de Greenwich são
retas ou são curvas ? 3. Quando você observa o Globo Terrestre na aula de Geografia, como você
analisa a distância entre Brasil e Portugal, é uma reta ou uma curva ? 4. Analisando os relevos brasileiro, as superfícies encontradas na regiões, são
Geometrias euclidianas ou não-euclidianas ? Justifique.
Cartografia
Fonte : Portal dia a dia educação
Cartografia (do grego chartis = mapa e graphein = escrita) é a ciência que trata da
concepção, produção, difusão, utilização e estudo dos mapas. O vocábulo foi pela
primeira vez proposto pelo historiador português Manuel Francisco Carvalhosa,
2.ºVisconde de Santarém, numa carta datada de 8 de Dezembro de 1839, de Paris,
e endereçada ao historiador brasileiro Francisco Adolfo de Varnhagen, vindo a ser
internacionalmente consagrado pelo uso. Das muitas definições usadas na literatura,
colocamos aqui a atualmente adaptada pela Associação Cartográfica
Internacional (ACI):
Conjunto dos estudos e operações científicas, técnicas e artísticas que intervêm na
elaboração dos mapas a partir dos resultados das observações directas ou da
exploração da documentação, bem como da sua utilização
A cartografia encontra-se no curso de uma longa e profunda revolução, iniciada em
meados do século passado, e certamente a mais importante depois do seu
renascimento, que ocorreu nos séculos XV e XVI. A introdução da fotografia aérea e
da detecção remota, o avanço tecnológico nos métodos de gravação e impressão e,
mais recentemente, o aparecimento e vulgarização dos computadores, vieram
alterar profundamente a forma como os dados geográficos são adquiridos,
processados e representados, bem como o modo como os interpretamos e
exploramos.
Cartografia matemática é o ramo da cartografia que trata dos aspectos
matemáticos ligados à concepção e construção dos mapas, isto é, das
projecções cartográficas. Foi desenvolvida a partir do final século XVII, após a
invenção do cálculo matemático, sobretudo por Johann Heinrich
Lambert eJoseph Louis Lagrange. Foram especialmente relevantes, durante o
século XIX, os contributos dos matemáticos Carl Friedrich Gauss e Nicolas
Auguste Tissot.
Cartometria é o ramo da cartografia que trata das medições efetuadas sobre
mapas, designadamente a medição de ângulos e direções, distâncias, áreas,
volumes e contagem de número de objetos.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Cartografia#Os_primeiros_mapas
1. Há alguma semelhança entre os dois mapas?
2. Consulte o professor de Geografia,solicitando que ele explique a
importância da Cartografia para os dias atuais.
3. Consulte sites sobre o assunto e converse com seus colegas sobre a
empregabilidade da Geometria com a Cartografia.
A geografia é uma ciência que tem por objetivo o estudo da superfície terrestre e a
distribuição espacial de fenômenos significativos na paisagem. Também estuda a
relação recíproca entre o homem e o meio ambiente (Geografia Humana). Para
alguns a Geografia também pode ser uma prática humana de conhecer onde se vive
para compreender e planejar o espaço onde se vive. Um dos temas centrais da
geografia é a relação homem-natureza. A natureza é entendida aqui como as forças
que geraram ou contribuem para moldar o espaço geográfico, isto é, a dinâmica e
interações que existem entre a atmosfera, litosfera, hidrosfera e biosfera. O homem
é entendido como um organismo capaz de modificar consideravelmente as forças da
natureza através da tecnologia.
1. Observando a superfície do Globo Terrestre, e a imagem das crianças entorno do mesmo, ela pode ser utilizada para falar de relevos e de gravidade ? Justifique.
2. Como relacionar a Geometria não-euclidiana e as novas tecnologias já que :
“O homem é entendido como um organismo capaz de modificar consideravelmente as forças da natureza através da tecnologia.” ?
3. Façam grupos de 4 alunos e confrontem as respostas das duas questões anteriores.
A Geometria não-euclidiana e a Física
Muito estudada desde o século XIX, Einstein foi o primeiro a aplicar a geometria
não-euclidiana na descrição da Natureza: em vez do movimento rectilíneo uniforme
de Newton, perturbado por forças, Einstein colocou a hipótese que o movimento das
partículas-teste (isto é, tão pequenas que não produzem efeitos sobre si próprias)
seguem as geodésicas do espaço-tempo – só que estas geodésicas, o caminho
mais curto entre dois pontos, não é a direito porque o próprio espaço-tempo está
curvo!
Como saber se o espaço é curvo ?
O que é curvatura ?
Como Einstein define nossas noções de espaço e tempo?
Vá pensando...
O que é a teoria da relatividade ? Em sua teoria da relatividade especial de 1905, Einstein mostrou que nossas noções
de espaço e tempo como entidades rígidas e imutáveis são ilusões causadas pelo
fato de que nossos movimentos são muito lentos, se comparados à velocidades da
luz. Se nos movêssemos a velocidades comparáveis(mas menores), veríamos as
coisas encolhendo e o tempo passaria mais devagar para elas.Entre as
conseqüências, Einstein demonstra a equivalência entre energia e matéria, algo que
só é possível a altíssimas energias. Na relatividade geral, de 1916, Eistein redefine a
gravidade como sendo a curvatura do espaço. A expansão do Universo e buracos
negros são descritos por essa teoria.
Fonte: Revista Época na Escola, p.52. Agosto 2006 nº3- resposta do cientista Marcelo Gleiser questionado sobre :15 perguntas sobre o cosmo e às principais questões que nos desafiam.
1. Como você definiria espaço? 2. Qual a diferença entre energia e matéria? 3. Qual a conseqüência da Teoria da Relatividade? 4. Qual é a famosa equação da Teoria da Relatividade?
Explorando o Tema Uma revolução na Matemática
...As novas teorias geométricas - geometria não-euclidiana e dos espaços com
muitas dimensões - inflamaram os espíritos e deram asas à imaginação.
...Poincaré ignorava todas as ásperas discussões que agitavam o ambiente A”
pseudogeometria”, que Poincaré aproveitou de maneira inesperada, era na época
mais popular entre os filósofos do que entre os matemáticos...
...Poincaré estava certo ao escrever quem `a primeira vista, essa “pseudogeometria”
parecia não passar de um joguete de intelectual, questão que certamente poderia
apresentar algum interesse para os filósofos, mas sem nenhuma utilidade para o
matemático. A própria legitimidade dessa geometria, sem falar de sua coerência,
ainda era controversa.
Em resumo, um conjunto de fatos geométricos que se chocavam, não apenas com a
razão, mas com a intuição do espaço. Nesse sentido, pode-se compreender as
dificuldades ( no plano filosófico, mais ainda que no lógico ou matemático) com que
teria de se defrontar a geometria não-euclidiana.
Fonte: Scientific American Brasil p.30-32-33-Artigo :Gênios da Ciência Matemática ,
escrita por Umberto Bottazzini. professor de história da matemática da Universidade
de Palermo, Itália.
adaptado.
1. Pseudogeometria, você já conhecia essa palavra? 2. E, Pangeometria? 3. Horociclo, também não conhece? 4. Geometria Hiperbólica? 5. Geometria Elíptica? 6. Pseudoesfera, já ouviu falar? Procure no dicionário o significado das palavras questionadas nos itens acima, em
grupos formados por 3 pessoas e anote em seus cadernos.
A Geometria não-euclidiana e a Arte
Será possível aproximar dois campos aparentemente tão distintos quanto a ciência
e a arte? Na realidade, as aproximações entre esses dois campos do conhecimento
são bem maiores do que se imagina habitualmente.
As concepções artísticas e científicas são coerentes, levando a interpretações
semelhantes a res peito do funcionamento do universo. Artistas e cientistas (ou
filósofos naturais) percebem o mundo da mesma forma, apenas representam-no
com linguagens diferentes. No Renascimento, é clara a relação arte–ciência. Muitos
são os nomes que misturam os dois campos: Brunelleschi, Pisanello, Leonardo,
Dürer e até mesmo Galileu. E é importante salientar que a invenção da perspectiva
e do claro-escuro foi extremamente importante, até mesmo crucial, para tornar
possíveis as observações empíricas e os registros acurados que fundamentam
a ciência moderna.
Antes do movimento renascentista, a cosmologia medieval dividia o universo em
dois mundos diferentes: o sublunar e o supralunar.
Eles eram incomunicáveis e as leis que valiam em um mundo não valiam no outro.
A pintura dessa época também procedia da mesma forma, representando um céu
que não tinha continuidade com a Terra. Em várias pinturas o céu é dourado,
simbolizando o sagrado que não estava acessível ao mundo terrestre, mundano e
corruptível.
Já a pintura renascentista inventa a perspectiva e, com isso, a possibilidade de
pensar e representar a infinitude do espaço. Percebemos uma mu d a n ç a r a d i
c a l d a c o n c e p ç ã o e s p a c i a l . A p a r t i r d o Renascimento, o
espaço é infinito. A criação da perspectiva possibilitou representar essa infinitude,
não sendo mais possível distinguir claramente o limite entre Terra e céu, porque
esses mundos não parecem mais incomunicáveis como eram na cosmologia
medievalaristotélica.
Fonte : http://www.scielo.br/pdf/hcsm/v13s0/04 ,
JOSÉ CLAUDIO REIS, ANDREIA GUERRA E MARCO BRAGA
Que em qualquer obra de Arte existe muito conhecimento de Matemática e principalmente de geometria.
Que para fazer imagens de várias pessoas e uma obra de Arte, antes terá que fazer uma perspectiva.
Faça grupos de 3 pessoas e comente os dois itens anteriores.
Escher e a Tira de Möbius
As obras do artista holandês Maurits C. Escher (1898-
1972) são fascinantes por sua beleza, singularidade,
precisão técnica e também pelo seu conhecimento
matemático que expressão. Muitas delas guardam dentro
de si intrigantes desafios, que nos levam a observá-las
repetidas vezes, até descobrirmos efeitos visuais
supreendentes.
http://umdenosdois.blogspot.com/2008/10/semana-m-c-escher.html
1. Vocês já conhecia os trabalhos desse artista ?
2. Consegue ver as dimensões existentes em cada obra de arte ? Quais ? Justifique.
3. Você já ouviu falar das obras de arte de Pablo Picasso ?
4. Pesquise sobre o quadro Les Demoiseles D’Avignon de 1906.
A Geometria não-Euclidiana e a Topologia
(...)A topologia é a geometria cuja relação de equivalência entre os objetos é dada
pelos homeomorfismos, isto é, pelas transformações contínuas que podem ser
continuamente desfeitas. Devido a isso, os objetos na topologia podem ser
representados por objetos feitos de um material perfeitamente deformável. Logo, em
topologia não se fala em comprimentos, áreas, ângulos etc., porém se esticarmos ou
encolhermos o objeto, suas, digamos, características topológicas não se alteram. O
que se mantém é a essência da forma, um conceito difícil de explicar, mas que se
deve esclarecer abaixo.
Cria-se com a topologia um universo bastante curioso. Nele, por exemplo, um
triângulo e um círculo são iguais, quer dizer, homeomorfos; de fato qualquer
polígono é homeomorfo a um círculo. Portanto, na topologia só existem dois objetos
unidimensionais, a saber, a linha fechada, que pode ser representada pelo círculo, e
a linha aberta, representada, por exemplo, pela reta.
Os objetos bidimensionais, isto é as superfícies, são também classificados sob a
óptica topológica e se dividem em duas classes, a saber, as superfícies orientáveis e
as não-orientáveis. As orientáveis são aquelas que possuem dois lados (como no
caso do plano euclidiano). Já as não-orientáveis possuem apenas um lado (assim,
nem tudo na vida tem dois lados!).
Na construção de todas as superfícies topológicas, duas superfícies são essenciais,
a saber, o cilindro (Fig. 2(ii)) e a faixa de Moebius (Fig. 3(ii)). Ambas são
topologicamente obtidas a partir de um retângulo (portanto, um pedaço de plano
euclidiano, ou melhor, uma película de borracha perfeitamente deformável),
identificando-se um par de arestas opostas diretamente (Fig. 2(i)) ou após um giro
de 180 graus (Fig. 3(i)). Note que o cilindro tem dois círculos como borda enquanto
na faixa de Moebius a borda é uma única curva fechada (e, portanto, é
topologicamente um círculo).
Fonte : Ton Marar
Instituto de Ciências Matemáticas e de
Computação
Universidade de São Paulo, São Carlos
1.Ops!!! Analisando o texto você percebeu que existem palavras diferentes do seu cotidiano escolar?Ficou surpreso com o significado das mesmas? Relate sobre a importância de novos conceitos geométricos. 2.Façam grupos com 3 alunos e pesquisem na Internet:Imagem,Topologia Cada grupo escolherá uma imagem. (Obs: O Trabalho será realizado na sala de Informática).
3.Voltando para a sala de aula, cada grupo terá sua imagem imprimida para confeccioná-la do jeito que encontrarem mais facilidade desde da imagem original até sua última transformação, podendo ser desenho, material manipulável em papel cartão, papel dobradura, EVA,... 4. Após concluído os trabalhos, os grupos farão exposição dos mesmos no Salão Nobre do Colégio, com explicações detalhadas sobre cada figura.
Sugestões de atividades As atividades aqui sugeridas são simples mas,com materiais manipuláveis,materiais estes que fazem parte do acervo do Colégio:Mapa Mundi,Globo Terrestre, Rede de Vôlei, Bola de Vôlei, Bola de Basquete.Livros da Biblioteca,CDs sobre Astronomia. Outras atividades sugeridas serão sempre em grupos,também com materiais manipuláveis, Bexiga ou balão(normal e “compridinho”) bola de isopor,barbante ou lã, funil ou vunvunzela,pedaços de plástico na forma de um retângulo, Raio X limpo com água sanitária(cada grupo deverá trazê-lo limpo para o Colégio) e, também um rolo de elástico. Esses objetos,serão utilizados na confecção de materiais concretos para contextualização dos conteúdos trabalhados.
Sugestões de Vídeos Geometria Hiperbólica –Espaço Hiperbólico Universidade da Colômbia. Geometria Hiperbólica-Casa de Bambú-México. Geometria Elíptica-Avião com Asas Elíptica- Na Bielorússia.
Sugestões de Filmes A Pedra dos Sonhos (Abertura da TV Cultura-desenho) O Aprendiz de Feiticeiro – Trailer do Filme –legendado. O Aprendiz de Feiticeiro _ desenho Mickey
Sugestões de Livros As Aventuras de Anselmo Curioso de Jean Pierre Petit.
Referências :
http://www.mathematik.de/ger/information/landkarte/gebiete/geometrie/geometrie.html?print
=1
http://momento3d.blogspot.com/2010/06/georg-friedrich-bernhard-riemann.html
http://www.santarita.g12.br/matematicos/gm4/jules_henri_poincare.htm
http://www.seara.ufc.br/donafifi/hiperbolica/hiperbolica5.htm
http://www.searadaciencia.ufc.br/donafifi/hiperbolica/hiperbolica4.htm
http://www.searadaciencia.ufc.br/donafifi/hiperbolica/hiperbolica4.htm http://www.astro.iag.usp.br/~gastao/AstroPosicao/Curso2008.pdf http://pt.wikipedia.org/wiki/Geografia
http://monicamo.mentesvoadoras.net/blog/2001/10/mapas-so-necessrios-para-localizao-
mas.html
http://progeolucia.blogspot.com/
http://www.molwick.com/pt/gravitacao/530-leis-gravidade.html
Fonte : Revista Época na Escola,Oque é a Teoria da Relatividade, p.52. Agosto
2006 nº3- resposta do cientista Marcelo Gleiser questionado sobre :15 perguntas sobre o cosmo e às principais questões que nos desafiam.
Fonte : Scientific American Brasil,Uma Revolução na Matemática p.30-32-33-
Artigo :Gênios da Ciência Matemática , escrita por Umberto Bottazzini. professor de história da matemática da Universidade de Palermo, Itália. adaptado.
