Notas de Aula

      

Movimento em uma Dimensão

FÍSICA

2018

Professor Gomes

CAPÍTULO

                            2 Neste Capítulo

1 Introdução 2 Deslocamento, Tempo e Velocidade média 3 Velocidade instantânea 4 Aceleração instantânea e aceleração média 5 Movimento com aceleração constante 6 Queda livre de corpos 7 Velocidade e posição por integração

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 NOTA DE AULA 

PROF. JOSÉ GOMES RIBEIRO FILHO  

MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO   

1 INTRODUÇÃO Qual distância um avião deve percorrer em uma pista antes de atingir a velocidade de decolagem? Quando você 

lança uma bola  diretamente de baixo para  cima,  que  altura  ela  atinge? Quando um  copo escorrega de  sua mão,  de quanto  tempo  você  dispõe  para  segurá‐lo  antes  que  ele  atinja  o  solo?  São  estes  os  tipos  de  perguntas  que  você aprenderá  a  responder  neste  capítulo.  O  objetivo  deste  e  do  próximo  capítulo  é  o  estudo  da  cinética,  a  parte  da mecânica que trata do movimento. Mais tarde, estudaremos a dinâmica, a relação entre o movimento e suas causas. 

Neste capítulo estudaremos o tipo mais simples de movimento: uma partícula se deslocando ao longo de uma linha  reta.  Para  descrever  esse  movimento,  introduziremos  as  grandezas  físicas  de  velocidade  e  aceleração.  Essas grandezas possuem definições simples na física; contudo, essas definições são mais precisas e um pouco diferentes das usadas na linguagem cotidiana. Uma observação importante nas definições de velocidade e de aceleração dadas por um físico é que essas grandezas são vetores. Como vimos no capítulo de Vetores, elas possuem módulo, direção e sentido. Neste  capítulo  estamos  apenas  interessados  em  descrever  o  movimento  em  uma  linha  reta,  de  modo  que  não necessitamos  por  enquanto  do  tratamento  matemático  completo  dos  Vetores.  Porém,  no  próximo  capítulo, abordaremos o movimento em duas e em três dimensões, casos em que o uso de vetores é essencial. 

Desenvolveremos equações simples para descrever o movimento no caso especialmente importante em que a aceleração permanece constante. 

Um exemplo é a queda livre de um corpo. Também consideraremos casos nos quais a aceleração varia durante o movimento; para essa situação necessitamos do uso da integração para descrever o movimento.   2 DESLOCAMENTO, TEMPO E VELOCIDADE MÉDIA 

Suponha que em uma corrida de carros uma competidora dirija seu carro em um trecho retilíneo (figura 1). No estudo  do  movimento  precisamos  de  um  sistema  de  coordenadas.  Escolhemos  o  eixo  Ox  para  nosso  sistema  de coordenadas ao longo do trecho retilíneo, com a origem O situada no início da linha reta. Descreveremos a posição do carro em função da posição de seu ponto representativo, como, por exemplo, sua extremidade dianteira. Ao fazer isso, o carro todo é representado por esse ponto, razão pela qual o consideramos uma partícula.  

A posição da extremidade dianteira do  carro, ou  seja,  a posição da partícula,  é dada pela  coordenada x, que varia com o tempo à medida que o carro se move. Um modo útil para a descrição do movimento do carro consiste em dizer  como  x  varia  em  um  intervalo  de  tempo.  Suponha  que  1,0  s  depois  do  início  do  movimento  a  extremidade dianteira  do  carro  esteja  no  ponto  P1,  a  19 m da origem,  e  que  4,0  s  depois  do  início  do movimento  esse  ponto  se desloque para P2,  a 277 m da origem. O deslocamento da partícula é um vetor que aponta de P1 para P2. A  figura 1 mostra que esse vetor se posiciona ao longo do eixo Ox.  

 FIGURA 1 Posição de um carro de corrida em dois instantes de sua trajetória.  

O componente x do deslocamento é simplesmente a variação no valor de x,  (277 m ‐ 19 m) = 258 m, em um intervalo de tempo (4,0 s ‐ 1,0 s) = 3,0 s. Definimos a velocidade média do carro nesse intervalo de tempo como uma grandeza vetorial cujo componente x é a variação de x dividida por esse intervalo de tempo: (258 m)/(3,0 s) = 86 m/s. 

Em geral, a velocidade média depende do intervalo específico de tempo escolhido. Para um intervalo de tempo de 3,0 s antes do início da corrida, a velocidade média seria zero, porque o carro estaria em repouso na linha de partida e seu deslocamento seria nulo. 

 2 

Vamos generalizar o conceito de velocidade média. Em um  instante  t1, o carro se encontra no ponto P1,  cuja coordenada  é  x1,  e  no  instante  t2,  ele  se  encontra  no  ponto  P2,  cuja  coordenada  é  x2.  O  deslocamento  do  carro  no intervalo de tempo entre t1 e t2 é o vetor que liga o ponto P1 ao ponto P2. O componente x do deslocamento do carro, designado como Δx, é simplesmente a variação da coordenada x: Δx = x2 ‐ x1                                 [1] 

O carro se move somente pelo eixo Ox, logo os componentes y e z do deslocamento são iguais a zero. O componente x da velocidade média, ou velocidade média, é o componente x do deslocamento, Δx, dividido 

pelo  intervalo de  tempo Δt durante o qual o deslocamento ocorre. Representaremos essa grandeza pelo símbolo vmx (em que o ‘m’ subscrito significa valor médio e o ‘x’ subscrito indica que esse é o componente x): 

2 1mx

2 1

x x xv

t t t

                               [2] 

Para o exemplo anterior, para o carro x1 = 19 m, x2 = 277 m, t1 = 1,0 s e t2 = 4,0 s, a equação (2) fornece 

mx

277m 19m 258mv 86m/ s

4s 1s 3s

 

A velocidade média do carro de corrida é positiva.  Isso significa que durante o intervalo de tempo a coordenada x cresce e o carro se move no sentido positivo do eixo Ox (da esquerda para a direita na figura 1).  

Quando a partícula se move no sentido negativo do eixo Ox durante o intervalo de tempo, sua velocidade média para  esse  intervalo  de  tempo  é  negativa.  Por  exemplo,  suponha  que  uma  caminhonete  se  mova  da  direita  para  a esquerda ao longo da pista (figura 2). A caminhonete se encontra no ponto x1 = 277 m em um instante t1 = 16,0 s e em x2 = 19 m no instante t2 = 25,0 s. Logo, Δx = (19 m ‐ 277 m) = ‐ 258 m e Δt = (25,0 s ‐ 16,0 s) = 9,0 s. O componente x da velocidade média será vmx = Δx/Δt = (‐ 258 m) / (9,0 s) = ‐ 29 m/s. 

 FIGURA 2 Posições de uma caminhonete em dois instantes durante seu movimento. Os pontos P1 e P2 referem‐se agora ao deslocamento da caminhonete, de modo que eles são diferentes dos pontos da figura 1.  

Apresentamos algumas regras simples para a velocidade média. Quando x é positivo e crescente ou negativo e se tornar menos negativo, a partícula se move no sentido do eixo +Ox e vmx é positiva (figura 1). Quando x é positivo e decrescente ou negativo e se tornar mais negativo, a partícula se move no sentido do eixo –Ox e vmx é negativa (figura 2).  

No caso do movimento retilíneo, Δx em geral  indica simplesmente o deslocamento e vmx, a velocidade média. Contudo, lembre‐se de que essas grandezas indicam simplesmente os componentes x de grandezas vetoriais que, nesse caso particular,  possuem apenas  componentes  x. No próximo  capítulo,  o  deslocamento,  a  velocidade  e  a  aceleração serão considerados com dois ou três componentes.  

A figura 3 mostra um gráfico da posição do carro de corrida em função do tempo, ou seja, é um gráfico xt. A curva dessa figura não representa a trajetória do carro no espaço; como indicado na figura 1, essa trajetória é uma linha reta. Em vez da trajetória, o gráfico mostra as variações da posição do carro com o tempo. Os pontos designados por p1 e p2 correspondem aos pontos P1 e P2 da trajetória do carro. A linha reta p1 p2 é a hipotenusa de um triângulo retângulo, cujo lado vertical é Δx = x2 ‐ x1 e cujo lado horizontal é Δt = t2 ‐ t1. A velocidade média do carro vmx = Δx/Δt é a inclinação da linha reta p1 p2, ou seja, a razão entre o lado vertical Δx do triângulo retângulo e o lado horizontal Δt. 

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   FIGURA  3  Posição  de  um  carro  de  corrida em função do tempo.  

A velocidade média depende apenas do deslocamento Δx = x2 ‐ x1, que ocorre durante o intervalo de tempo Δt = t2 ‐ t1, e não nos detalhes ocorridos durante esse intervalo. Suponha que uma motocicleta ultrapasse o carro de corrida no ponto P1 da  figura 1 no mesmo  instante  t1  e  a  seguir diminua a  velocidade para passar pelo ponto P2 no mesmo instante  t2  do  carro.  Os  dois  veículos  possuem  o mesmo  deslocamento  no mesmo  intervalo  de  tempo  e,  portanto, apresentam a mesma velocidade média.  

Quando as distâncias são medidas em metros e os tempos em segundos, a velocidade média é dada em metros por segundo  (m/s). Outras unidades de velocidade são quilômetros por hora  (km/h), pés por segundo  (pés/s), milhas por hora (mi/h) e nós (1 nó = 1 milha náutica/h = 6080 pés/h).  3 VELOCIDADE INSTANTÂNEA 

Às  vezes,  a  velocidade  média  é  tudo  que  precisamos  para  conhecer  o  movimento  de  uma  partícula.  Por exemplo,  uma  corrida  em movimento  retilíneo  é  realmente  uma  competição  para  se  saber  de  quem é  a  velocidade média, vmx, com o maior módulo. O prêmio vai para o competidor capaz de percorrer o deslocamento Δx do início ao fim no menor intervalo de tempo Δt.  

Mas  a  velocidade  média  de  uma  partícula  durante  um  intervalo  de  tempo  não  pode  nos  informar  nem  o módulo,  nem  o  sentido  do  movimento  em  cada  instante  do  intervalo  de  tempo.  Para  isso,  é  necessário  definir  a velocidade em um instante ou em um ponto específico ao longo da trajetória. Tal velocidade denomina‐se velocidade instantânea e precisa ser definida cuidadosamente.  

Para achar a velocidade instantânea do carro no ponto P1 indicado na figura 1, imaginamos que o ponto P2 se aproxima continuamente do ponto P1 e calculamos a velocidade média vmx = Δx/Δt nos deslocamentos e nos intervalos de  tempo  cada  vez menores.  Tanto  Δx  quanto  Δt  tornam‐se muito  pequenos, mas  a  razão  entre  eles  não  se  torna necessariamente muito pequena. Em  linguagem matemática, o  limite de Δx/Δt quando Δt  tende a  zero denomina‐se derivada de x em relação a t e é escrito como dx/dt. A velocidade instantânea é o limite da velocidade média quando o intervalo de tempo tende a zero; ela é igual à taxa de variação da posição com o tempo. Usaremos o símbolo vx, sem nenhum ‘m’ subscrito, para designar a velocidade instantânea ao longo do eixo Ox: 

xt 0

x dxv lim

t dt

          [3] 

Sempre supomos que o intervalo de tempo Δt é positivo, de modo que vx possui o mesmo sinal de Δx. Quando o sentido positivo do eixo Ox é orientado da esquerda para a direita, um valor positivo de v indica que x é crescente e que o movimento ocorre da esquerda para a direita; um valor negativo de v indica que x é decrescente e que o movimento ocorre da direita para a esquerda. Um corpo pode ter valores de v e de x positivo ou negativo; x indica onde o corpo se encontra, enquanto v nos informa como ele se move. 

A velocidade instantânea, assim como a velocidade média, é uma grandeza vetorial. A equação (3) define seu componente  x. No movimento  retilíneo,  todos os demais  componentes da velocidade  instantânea  são nulos e, neste caso,  costumamos  dizer  que  v  é  simplesmente  a  velocidade  instantânea.  (No  próximo  capítulo,  abordaremos  o  caso geral  em  que  a  velocidade  instantânea  pode  ter  componentes  x,  y  e  z  não  nulos.)  Quando  empregamos  a  palavra ‘velocidade’, normalmente queremos dizer velocidade instantânea, e não velocidade média, a menos que haja alguma especificação diferente. 

Os  termos  ‘vetor  velocidade’,  ‘velocidade’  e  ‘velocidade  escalar’  são  usados  quase  como  sinônimos  na linguagem cotidiana, mas na  física  estes  termos possuem definições  completamente diferentes. Usamos a  expressão velocidade escalar para designar uma distância percorrida dividida pelo  tempo,  tanto no caso  instantâneo quanto  se considerando a média. Usamos o símbolo v sem nenhum subscrito para designar velocidade  instantânea. Enquanto a velocidade  escalar  instantânea  indica  se  o movimento  é  rápido  ou  lento,  o  vetor  velocidade  instantânea  indica  se  o movimento  é  rápido ou  lento  e  em qual  direção  e  sentido  ele  ocorre.  Por  exemplo,  suponha que  duas  partículas  se movam na mesma direção, mas em sentidos contrários, uma com velocidade instantânea vx = 25 m/s e a outra com vx = 

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‐  25 m/s. A  velocidade escalar  instantânea dessas partículas é  a mesma, ou  seja,  25 m/s. Como a  velocidade escalar instantânea é o módulo do vetor velocidade instantânea, a velocidade escalar instantânea nunca pode ser negativa. CÁLCULO DA VELOCIDADE USANDO UM GRÁFICO xt 

A  velocidade  de  uma  partícula  também  pode  ser  achada  a  partir  de  um  gráfico  da  posição  da  partícula  em função do tempo. Suponha que você deseja calcular a velocidade do carro de corrida no ponto P1 indicado na figura 1. Quando o ponto P2 dessa figura se aproxima do ponto P1, o ponto p2 nos gráficos xt  indicados nas  figuras 4a e 4b se aproxima do ponto p1 e a velocidade média é calculada em intervalos de tempo Δt cada vez menores. No limite Δt→0, indicado na figura 4c, a inclinação da linha reta p1 p2 torna‐se igual à inclinação da tangente da curva no ponto p1. Em um gráfico da posição da partícula em função do tempo no movimento retilíneo, a velocidade instantânea em qualquer ponto é igual à inclinação da tangente da curva nesse ponto.  

 FIGURA  4  Usamos  um  gráfico  xt  para  ir  de  (a)  e  (b),  velocidade  média,  para  (c),  velocidade  instantânea  vx.  Em  (c) achamos a  inclinação da tangente para a curva xt, dividindo qualquer  intervalo vertical (em unidades de distância) ao longo da tangente pelo intervalo horizontal correspondente (em unidades de tempo).  

Quando  a  tangente  é  inclinada  para  cima  e  para  a  direita,  como  no  gráfico  xt  da  figura  4c,  sua  inclinação  e velocidade  são  positivas  e  o movimento  ocorre  no  sentido  positivo  do  eixo Ox. Quando  a  tangente  é  inclinada  para baixo e para a direita, sua inclinação e velocidade são negativas e o movimento ocorre no sentido negativo do eixo Ox. Quando  a  tangente  é  horizontal,  a  inclinação  é  igual  a  zero  e  a  velocidade  é  nula.  A  figura  5  ilustra  essas  três possibilidades. Note que a figura 5 ilustra o movimento de uma partícula de dois modos. A figura 5a mostra um gráfico xt  e  a  figura  5b mostra  um  exemplo  de  diagrama  do movimento.  Um  diagrama  do movimento  indica  a  posição  da partícula em diversos instantes do seu movimento (como se fosse um filme ou vídeo do movimento da partícula), bem como apresenta flechas para indicar as velocidades da partícula em cada instante. Tanto o gráfico xt quanto o diagrama do movimento  são valiosas  ferramentas para a  compreensão do movimento. Você verificará que é  conveniente usar ambos os recursos na solução de problemas que envolvem movimentos. 

 FIGURA 5  (a) Gráfico xt do movimento de uma certa partícula. A  inclinação da tangente da curva em qualquer ponto fornece a  velocidade nesse ponto.  (b) Diagrama do movimento mostrando a posição e  a  velocidade da partícula  em cada um dos cinco instantes indicados no gráfico xt.  4 ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA E ACELERAÇÃO MÉDIA 

Assim como a velocidade indica uma taxa de variação da posição com o tempo, a aceleração descreve uma taxa de  variação  da  velocidade  com  o  tempo.  Como  a  velocidade,  a  aceleração  também  é  uma  grandeza  vetorial.  No movimento retilíneo, seu único componente diferente de zero está sobre o eixo ao longo do qual o movimento ocorre. Como  veremos,  a  aceleração  em  um  movimento  retilíneo  pode  referir‐se  tanto  ao  aumento  quanto  à  redução  da velocidade. 

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ACELERAÇÃO MÉDIA Vamos  considerar  novamente  o  movimento  de  uma  partícula  ao  longo  do  eixo  Ox.  Suponha  que  em  dado 

instante  t1  a partícula  esteja em um ponto P1 e possua um componente  x da velocidade  (instantânea)  v1x,  e que em outro instante t2 a partícula esteja em um ponto P2 e possua um componente x da velocidade v2x. Logo, a variação do componente x da velocidade é Δvx = v2x ‐ v1x em um intervalo de tempo Δt = t2 ‐ t1. 

Definimos  a  aceleração  média  amx  da  partícula  que  se  move  de  P1  a  P2  como  uma  grandeza  vetorial  cujo componente x é dado pela razão entre Δvx, a variação do componente x da velocidade e o intervalo de tempo Δt 

2x 1x xmx

2 1

v v va

t t t

          [4] 

Para o movimento retilíneo ao longo do eixo Ox chamamos amx simplesmente de aceleração média. (No próximo capítulo, encontraremos outros componentes do vetor aceleração média.) Quando a velocidade é expressa em metros por segundo e o tempo em segundos, a aceleração média é expressa em metros por segundo por segundo, ou (m/s)/s. Normalmente escrevemos isso como m/s2 e lemos ‘metro por segundo ao quadrado’. ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA 

Podemos agora definir a aceleração  instantânea seguindo o mesmo procedimento adotado quando definimos velocidade instantânea. Considere a situação: um piloto de um carro de corrida acaba de entrar na reta final do Grand Prix como ilustra a figura 6.  

 

 FIGURA  6  Um  carro  de  corrida  do  Grande Prêmio na reta final.  

Para  definir  a  aceleração  instantânea  no  ponto  P1,  imaginamos  que  o  ponto  P2  da  figura  6  se  aproxima continuamente do ponto P1, de modo que a aceleração média seja calculada em intervalos de tempo cada vez menores. A aceleração instantânea é o limite da aceleração média quando o intervalo de tempo tende a zero. Na linguagem do cálculo diferencial, a aceleração instantânea é igual à taxa de variação da velocidade com o tempo. Logo: 

x xx

t 0

v dva lim

t dt

          [5] 

Note que ax na equação (5) é de fato o componente x do vetor aceleração instantânea; no movimento retilíneo, todos os demais componentes deste vetor são  iguais a zero. A partir de agora, quando usarmos o termo ‘aceleração’ estaremos designando a aceleração instantânea, não a aceleração média. CÁLCULO DA ACELERAÇÃO USANDO UM GRÁFICO vxt OU UM GRÁFICO xt 

Já interpretamos a velocidade média e a velocidade instantânea de uma partícula em termos da inclinação em um gráfico de posição em função do tempo. 

Analogamente,  podemos  ter  melhor  noção  dos  conceitos  de  aceleração  média  e  de  aceleração  instantânea usando um gráfico com a velocidade instantânea vx no eixo vertical e o tempo t no eixo horizontal, ou seja, um gráfico vxt (figura 7).  

 

     FIGURA 7 Gráfico vx t do movimento indicado na figura 6.  

Os  pontos  nesse  gráfico  designados  por  p1  e  p2  correspondem  aos  pontos  P1  e  P2  indicados  na  figura  6.  A aceleração média amx = Δvx/Δt durante esse intervalo é a inclinação da linha p1 p2. À medida que o ponto P2 da figura 6 se aproxima do ponto P1, o ponto p2 no gráfico vxt indicado na figura 7 se aproxima do ponto p1 e a inclinação da linha reta p1 p2 torna‐se igual à inclinação da tangente da curva no ponto p1. Portanto, em um gráfico da velocidade em função do tempo, a aceleração instantânea em qualquer ponto é igual à inclinação da tangente da curva nesse ponto. Na figura 7, tangentes traçadas em diferentes pontos ao longo da curva possuem diferentes inclinações, de modo que a aceleração instantânea varia com o tempo. 

 6 

ATENÇÃO Os sinais de aceleração e velocidade. Note que o sinal algébrico da aceleração não é suficiente para informar a você se um corpo está em movimento acelerado ou retardado. Você deve comparar o sinal da velocidade com o sinal da aceleração. Quando vx e ax possuem o mesmo sinal, o movimento do corpo está sendo acelerado. Quando ambos forem positivos, o corpo estará se movendo no sentido positivo com uma velocidade crescente. Quando ambos forem negativos, o corpo estará se movendo no sentido negativo com uma velocidade que se torna cada vez mais negativa, e novamente  a  velocidade  é  crescente.  Quando  vx  e  ax  possuem  sinais  opostos,  o  movimento  do  corpo  é  retardado. Quando vx é positivo e ax é negativo, o corpo se desloca no sentido positivo com velocidade decrescente; quando vx é negativo  e  ax  é  positivo,  ele  se  desloca  no  sentido  negativo  com  uma  velocidade  que  se  torna  menos  negativa,  e novamente o movimento do corpo é retardado. A figura 8 ilustra algumas dessas possibilidades. 

 FIGURA  8  (a)  Gráfico  vx  t  do movimento  de  uma  partícula  diferente  daquela mostrada  na  figura  5.  A  inclinação  da tangente  em  qualquer  ponto  é  igual  à  aceleração  do  ponto  considerado.  (b)  Diagrama  do movimento mostrando  a posição, a velocidade e a aceleração da partícula em cada um dos instantes indicados no gráfico vx t. As posições estão de acordo com o gráfico vx t; por exemplo, de tA a tB a velocidade é negativa, de modo que em tB a partícula possui um valor de x mais negativo do que em tA.  

O  termo  ‘desaceleração’  é  algumas  vezes  usado  para  designar  diminuição  de  velocidade.  Como  isso  pode corresponder a um valor de ax positivo ou negativo, dependendo do sinal de vx, evitamos esse termo.  

Podemos também estudar a aceleração de uma partícula a partir do gráfico de sua posição versus tempo. Como ax = dvx/dt e vx = dx/dt, podemos escrever: 

2x

x 2

dv d dx d xa

dt dt dt dt

        [6] 

Ou  seja,  ax  é  a  derivada  de  segunda  ordem de  x  em  relação  a  t.  A  derivada  de  segunda  ordem de  qualquer função é relacionada com a concavidade ou curvatura do gráfico dessa função. Em um ponto no qual o gráfico xt seja côncavo para cima (encurvado para cima), a aceleração é positiva e vx é crescente. Em um ponto no qual o gráfico xt seja côncavo para baixo  (encurvado para baixo), a aceleração é negativa e vx é decrescente. Em um ponto no qual o gráfico xt não possui nenhuma curvatura, como, por exemplo, em um ponto de inflexão, a aceleração é igual a zero e a velocidade é constante. Essas três possibilidades são indicadas na figura 9. 

 

 7 

FIGURA 9 a) O mesmo gráfico xt indicado na figura 5a. A velocidade é igual à inclinação do gráfico, e a aceleração é dada pela concavidade ou curvatura do gráfico. b) Diagrama do movimento mostrando a posição, a velocidade e a aceleração da partícula em cada um dos instantes indicados no gráfico xt.  

Examinando a curvatura de um gráfico xt torna‐se fácil determinar o sinal da aceleração. Essa técnica é menos útil para a determinação do módulo da aceleração, visto que a curvatura de um gráfico é difícil de ser determinada com exatidão.  5 MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE 

O  movimento  acelerado  mais  simples  é  o  movimento  retilíneo  com  aceleração  constante.  Neste  caso,  a velocidade  varia  com  a mesma  taxa  durante  o movimento.  É  um  caso  especial,  embora  ocorra  frequentemente  na natureza.  Um  corpo  em  queda  livre  possui  uma  aceleração  constante  quando  os  efeitos  da  resistência  do  ar  são desprezados.  O  mesmo  ocorre  quando  um  corpo  escorrega  ao  longo  de  um  plano  inclinado  ou  ao  longo  de  uma superfície horizontal com atrito. Um movimento retilíneo com aceleração quase constante também ocorre em situações artificiais ou tecnológicas, como no caso do movimento de um caça a  jato sendo  lançado pela catapulta de um porta aviões.  

A figura 10 é um diagrama do movimento que mostra a posição, a velocidade e a aceleração para uma partícula que se move com aceleração constante.  

 

    FIGURA  10  Diagrama  do  movimento  para  uma  partícula que  se move  em  linha  reta  na  direção  positiva  de  x  com aceleração constante positiva a. A posição, a velocidade e a aceleração  são  indicadas  em  cinco  intervalos  de  tempo iguais.  

Nas figuras 11 e 12 mostramos esse mesmo diagrama por meio de gráficos. Como a aceleração a é constante, o gráfico at (gráfico da aceleração versus o tempo) indicado na figura 11 é uma linha horizontal. O gráfico da velocidade versus  o  tempo possui  uma  inclinação  constante,  e,  portanto,  o  gráfico  vt  é  uma  linha  reta  (figura  11). O  gráfico  da velocidade versus tempo, ou vxt,  tem  inclinação constante porque a aceleração é constante, então seu gráfico é uma linha reta (figura 12). 

 

   FIGURA 11 Gráfico da aceleração versus tempo (at) para uma partícula  que  se  move  em  linha  reta  com  aceleração constante positiva ax.  

   

 

    FIGURA  12 Gráfico  da  velocidade  versus  tempo  (vxt)  para uma partícula que se move em  linha  reta com aceleração constante  positiva  ax.  A  velocidade  inicial  v0x  também  é positiva neste caso.  

 8 

Quando a aceleração ax é constante, a aceleração média amx para qualquer intervalo de tempo é a mesma que ax. Assim é  fácil deduzir equações para a posição x e para a velocidade vx em função do  tempo. Para encontrar uma expressão para vx, primeiro substituímos amx na equação (4) por ax: 

2x 1xx

2 1

v va

t t

            [7] 

Agora  faça  t1  =  0  e  suponha  que  t2  seja  um  instante  posterior  arbitrário  t.  Usamos  o  símbolo  v0x  para  a velocidade no instante t = 0; a velocidade para qualquer instante t é vx. Então, a equação (7) torna‐se: 

x 0xx

x 0x x

v va ou

t 0v v a t

          [8] 

Podemos  interpretar  essa  equação  do  seguinte  modo:  a  aceleração  ax  é  a  taxa  constante  da  variação  da velocidade, isto é, a variação da velocidade por unidade de tempo. O termo axt é o produto da variação da velocidade por unidade de tempo, ax, multiplicada pelo tempo t. Portanto,  indica a variação total da velocidade desde o instante inicial t = 0 até um instante posterior t. A velocidade vx em qualquer instante t é igual à velocidade inicial v0x (para t = 0) mais a variação da velocidade axt (figura 12). 

Outra  interpretação  da  equação  (8)  é  que  a  variação  da  velocidade  vx  ‐  v0x  da  partícula  desde  t  =  0  até  um instante posterior t é igual à área sob a curva entre esses limites em um gráfico axt. Na figura 11, a área sob a curva no gráfico de aceleração versus o tempo é indicada pelo retângulo com altura ax e comprimento t. A área desse retângulo é igual a axt, que pela equação (8) é igual à variação da velocidade vx ‐ v0x. Vimos que mesmo no caso em que a aceleração não  seja  constante,  a  variação da  velocidade  continua  sendo dada pela  área  sob a  curva em um gráfico  axt,  embora nesse caso a equação (8) não seja válida.  

A seguir queremos deduzir uma expressão para a posição x da partícula que se move com aceleração constante. Para  isso usaremos duas diferentes expressões para a velocidade média vmx da partícula desde  t = 0 até um  instante posterior  t.  A  primeira  expressão  resulta  da  definição  de  vmx,  equação  (2),  que  permanece  válida  tanto  no  caso  de aceleração constante quanto no caso de aceleração variável. Denominamos a posição no instante t = 0 de posição inicial e a representamos por x0. Designamos simplesmente por x a posição em um instante posterior  t. Para o  intervalo de tempo Δt = t ‐ 0 e para o deslocamento correspondente Δx = x ‐ x0, a equação (2) fornece 

0mx

x xv

t

            [9] 

Podemos também deduzir uma segunda expressão para vmx válida somente no caso de aceleração constante, de modo que o gráfico vxt  seja uma  linha  reta  (como na  figura 12) e a velocidade varie com uma taxa constante. Nesse caso, a velocidade média durante qualquer intervalo de tempo é simplesmente a média aritmética desde o início até o instante final. Para o intervalo de tempo de 0 a t, 

0x xmx

v vv

2

            [10] 

(Essa equação não vale quando a aceleração varia e o gráfico vxt é uma curva, como indica a figura 8.) Sabemos também  que  no  caso  de  aceleração  constante,  a  velocidade  vx  em  qualquer  instante  t  é  dada  pela  equação  (8). Substituindo esta expressão por vx na equação (10), encontramos: 

mx 0x 0x x 0x x

1 1v (v v a t) v a t

2 2       [11] 

Finalmente, igualando a equação (9) com a equação (11) e simplificando o resultado, obtemos: 

00x x

20 0x x

x x1v a t ou

2 t1

x x v t a t2

        [12] 

Esta  equação  (12) mostra  que,  se  para  um  instante  inicial  t  =  0  a  partícula  está  em uma  posição  x0  e  possui velocidade v0x, sua nova posição em qualquer instante t é dada pela soma de três termos — a posição inicial x0, mais a distância  v0xt  que  ela  percorreria  caso  a  velocidade  permanecesse  constante,  mais  uma  distância  adicional  ½  axt

2 produzida pela variação da velocidade.  

Um  gráfico  da  equação  (12),  que  é  um  gráfico  xt  para movimento  com  aceleração  constante  (figura  13a),  é sempre uma parábola. A figura 13b mostra esse gráfico. A curva intercepta o eixo vertical (eixo Ox) em x0, na posição t = 0. A inclinação da tangente em t = 0 é igual a v0x, a velocidade inicial, e a inclinação da tangente para qualquer tempo t é igual à velocidade vx em qualquer  tempo. A  inclinação e a velocidade são continuamente crescentes, de modo que a aceleração ax é positiva; também se pode verificar isso porque o gráfico na figura 13b é côncavo para cima (encurvado para cima). Se ax é negativo, o gráfico xt é uma parábola que é côncava para baixo (encurvada para baixo).  

 9 

 FIGURA 13 a) Movimento em linha reta com aceleração constante. b) Gráfico de posição versus tempo (xt) para esse movimento (o mesmo que o mostrado nas figuras 10, 11 e 12). Para esse movimento, a posição inicial x0, a velocidade inicial v0x e a aceleração ax são todas positivas.  

Quando a aceleração é zero, o gráfico xt é uma linha reta; quando a aceleração é constante, o termo adicional ½ axt

2 na equação (12) para x em função de t encurva o gráfico para formar uma parábola (figura 14a). Podemos analisar o gráfico vxt da mesma forma. Quando a aceleração é zero, esse gráfico é uma linha horizontal (a velocidade é constante); acrescentando‐se uma aceleração constante, temos uma inclinação para o gráfico vxt (figura 14b). 

 FIGURA 14 Como uma aceleração constante afeta a) o gráfico xt e b) o gráfico vx t de um corpo.  

Do mesmo modo que a velocidade é dada pela área sob um gráfico axt, o deslocamento — isto é, a variação da posição — é igual à área sob um gráfico vxt. Ou seja, o deslocamento x ‐ x0 de uma partícula desde t = 0 até um instante posterior  t  é  igual  à  área  sob  um  gráfico  vxt  entre  esses  dois  limites  de  tempo. Na  figura  12,  a  área  sob o  gráfico  é composta pela soma da área do retângulo de lado vertical v0x e  lado horizontal t e com a área do triângulo retângulo com um lado vertical axt e um lado horizontal t. A área do retângulo é v0xt e a área do triângulo é (½ axt)(t) = ½ axt

2  de modo que a área total sob gráfico vxt é: 

20 0x x

1x x v t a t

2  

de acordo com a equação (12). O deslocamento durante um dado intervalo de tempo pode ser sempre calculado pela área sob a curva vxt. Isso 

é  verdade  mesmo  quando  a  aceleração  não  é  constante,  embora  para  esses  casos  a  equação  (12)  não  possa  ser aplicada.  

Podemos  testar  as  equações  (8)  e  (12)  para  verificar  se  elas  estão  coerentes  com  a  hipótese  da  aceleração constante derivando a equação (12). Encontramos 

x 0x x

dxv v a t

dt  

que é a equação (8). Derivando mais uma vez, encontramos simplesmente 

xx

dva

dt  

que concorda com a definição de aceleração instantânea. Em muitos problemas, é  conveniente usar uma equação que envolva a posição,  a  velocidade e a  (constante) 

aceleração  que  não  leve  em  conta  o  tempo.  Para  obtê‐la,  inicialmente  explicitamos  t  na  equação  (8);  a  seguir,  a expressão obtida deve ser substituída na equação (12) e simplificada: 

x 0x

x

v vt

a

 

 10 

2

x 0x x 0x0 0x x

x x

v v v v1x x v a

a 2 a

 

Transferindo o termo x0 para o membro esquerdo e multiplicando por 2ax: 2 2 2

x 0 0x x 0x x 0x x 0x2a (x x ) 2v v 2v v 2v v v  

Finalmente, ao simplificar obtemos 2 2x 0x x 0v v 2a (x x )           [13] 

Podemos obter uma outra equação útil igualando as duas expressões de vmx, dadas pelas equações (9) e (10), e multiplicando os dois membros por t. Ao fazer isto, encontramos 

0x x0

v vx x t

2

          [14] 

Note que a equação (14) não contém a aceleração ax. Essa equação pode ser útil quando ax possuir um valor constante, porém desconhecido. 

As  equações  (8),  (12),  (13)  e  (14)  são  as  equações  do  movimento  com  aceleração  constante.  Usando  essas equações, podemos resolver qualquer problema que envolva o movimento retilíneo com aceleração constante. 

Para o caso específico do movimento com aceleração constante esquematizado na figura 10 e cujos gráficos são apresentados nas figuras 11, 12 e 13, os valores x0, v0x e ax são todos positivos.  

Um caso especial de movimento com aceleração constante ocorre quando a aceleração é  igual a  zero. Nesse caso, a velocidade é constante e as equações do movimento tornam‐se simplesmente 

x 0x

0 x

v v constante

x x v t

 

 6 QUEDA LIVRE DE CORPOS 

O exemplo mais familiar de um movimento com aceleração (aproximadamente) constante é a queda livre de um corpo  atraído  pela  força  gravitacional  da  Terra.  Tal  movimento  despertou  a  atenção  de  filósofos  e  cientistas  desde tempos  remotos.  No  século  IV  a.C.,  Aristóteles  pensou  (erroneamente)  que  objetos  mais  pesados  caíam  mais rapidamente do que objetos leves, com velocidades proporcionais aos respectivos pesos. Dezenove séculos mais tarde, Galileu afirmou que um corpo deveria cair com aceleração constante independentemente do seu peso. 

Experiências demonstram que, quando os efeitos do ar podem ser desprezados, Galileu está correto; todos os corpos em um dado local caem com a mesma aceleração, independentemente das suas formas e dos seus respectivos pesos. Além disso, quando a distância da queda livre é pequena em comparação com o raio da Terra, e ignoramos os pequenos efeitos  exercidos pela  rotação da Terra,  a  aceleração é  constante. O movimento  ideal  resultante de  todos esses pressupostos denomina‐se queda livre, embora ele inclua também a ascensão de um corpo. (No próximo capítulo estenderemos  a  discussão  da  queda  livre  para  incluir  o  movimento  de  projéteis,  que  possuem  componentes  do movimento na horizontal e na vertical.)  

A  figura  15  é  uma  fotografia  de  múltipla  exposição  da  queda  livre  de  uma  bola  feita  com  auxílio  de  um estroboscópio luminoso que produz uma série de flashes com intervalos de tempo iguais. Para cada flash disparado, a imagem  da  bola  fica  gravada  no  filme  neste  instante.  Como  o  intervalo  entre  dois  flashes  consecutivos  é  sempre  o mesmo,  a  velocidade média  da  bola  é  proporcional  à  distância  das  imagens  da  bola  correspondentes  a  dois  flashes consecutivos. A distância crescente entre duas imagens consecutivas mostra que a velocidade está aumentando e que a bola  acelera  para  baixo.  Medidas  cuidadosas  mostram  que  a  variação  da  velocidade  é  sempre  a  mesma  entre  os intervalos, de modo que a aceleração de uma bola em queda livre é constante. 

 

     FIGURA 15 Fotografia de múltipla exposição de uma bola em queda livre.  

 11 

A  aceleração  constante  de  um  corpo  em  queda  livre  denomina‐se  aceleração  da  gravidade,  e  seu módulo  é designado por g. Sempre usaremos o valor aproximado de g na superfície terrestre ou próximo a ela:  g = 9,8 m/s2 = 980 cm/s2  

O valor exato varia de um local para outro, de modo que normalmente fornecemos o valor de g na superfície terrestre com somente dois algarismos significativos. Como g é o módulo de uma grandeza vetorial, ele é sempre um número positivo. Na superfície da Lua, como a atração gravitacional é da Lua e não da Terra, g = 1,6 m/s2. Próximo à superfície  do  Sol,  g  =  270  m/s2.  Nos  exemplos  seguintes  usaremos  as  equações  do  movimento  com  aceleração constante.   7 VELOCIDADE E POSIÇÃO POR INTEGRAÇÃO 

Esta  seção  opcional  destina‐se  a  estudantes  que  já  tenham  aprendido  um  pouco  de  cálculo  integral.  Já analisamos o caso especial do movimento retilíneo com aceleração constante. Quando ax não é constante, como ocorre frequentemente, as equações que foram deduzidas nessa seção não são mais válidas. Contudo, mesmo quando ax varia com o tempo, ainda podemos usar a relação vx = dx/dt para achar a velocidade vx em função do tempo quando a posição x da partícula for conhecida em função do tempo. E ainda podemos usar a relação ax = dvx/dt para achar a aceleração ax em função do tempo quando a velocidade vx for conhecida em função do tempo. 

Entretanto, em muitas situações, embora sabendo a aceleração em função do tempo, não conhecemos nem a posição nem a velocidade em função do tempo. Como determinar a posição e a velocidade a partir da aceleração em função do  tempo ax(t)? Esse problema pode ser  ilustrado pela viagem de uma aeronave entre os Estados Unidos e a Europa. A tripulação da aeronave deve conhecer sua posição com precisão em todos os instantes, mas, sobre o oceano, em geral uma aeronave fica fora do alcance dos radiofaróis de terra ou do radar das torres de controle de tráfego aéreo. Para determinar a posição da aeronave, os pilotos usam um instrumento conhecido pela sigla  INS (inertial navigation system ‐ sistema de navegação inercial), que mede a aceleração da aeronave. A forma como isso é feito se parece muito com o modo pelo qual você sente as mudanças de aceleração de um automóvel quando viaja nele, mesmo estando de olhos fechados. Conhecendo essa informação, juntamente com a posição inicial da aeronave (digamos, um dado portão no Aeroporto Internacional de Miami), o INS calcula e indica no mostrador para a tripulação a velocidade e a posição da aeronave em cada  instante durante o  voo.  (As aeronaves  também usam o GPS — Global  Positioning System — para navegação,  de  forma  complementar  ao  INS  e  não  em  substituição  a  ele.)  Nosso  objetivo  no  restante  desta  seção  é verificar como esses cálculos são feitos para o simples caso de um movimento retilíneo com uma aceleração que varia com o  tempo.  Inicialmente  apresentaremos um método gráfico. A  figura 16 mostra um gráfico de  aceleração  versus tempo para um corpo cuja aceleração não é constante. Podemos dividir o intervalo de tempo entre t1 e t2 em intervalos muito menores e designar por Δt cada um deles.  

 

    FIGURA  16  Um  gráfico  axt  para  um  corpo  cuja aceleração t não é constante.  

Seja amx a aceleração média durante Δt. Pela equação (4), a variação da velocidade Δvx durante t é dada por 

x mxv a t  

Graficamente, Δvx  é  a  área  sombreada do  retângulo que possui  altura  amx  e  largura Δt,  ou  seja,  a  área  sob a curva entre a extremidade esquerda e a extremidade direita de Δt. A variação total da velocidade em qualquer intervalo de tempo (digamos, de t1 a t2) é a soma das variações de Δvx de todos os pequenos intervalos. Logo, a variação total da velocidade  é  dada  graficamente  pela  área  total  sob  a  curva  axt  delimitada  entre  t1  até  t2.  (Já mostramos  que  isso  é verdade para o caso específico do movimento com aceleração constante.) 

No limite em que todos os intervalos Δt tornam‐se muito pequenos e muito numerosos, o valor de amx para o intervalo de tempo entre t e t + Δt se aproxima da aceleração ax no tempo t. Nesse limite, a área sob a curva axt é dada pela  integral de ax  (que geralmente é  função de t) de  t1 a  t2. Se v1x  for a velocidade do corpo no tempo t1 e v2x  for a velocidade no tempo t2, então 

 12 

2x 2

1x 1

v t

2x 1x x x

v t

v v dv a dt          [15] 

A variação da velocidade vx é obtida pela integral da aceleração ax em relação ao tempo. Podemos  fazer  exatamente o mesmo procedimento  com a  curva da  velocidade  versus  tempo, onde  v  é uma 

função  arbitrária  de  t.  Se  x1  for  a  posição  do  corpo  no  tempo  t1  e  x2  for  a  posição  no  tempo  t2,  pela  equação  (2)  o deslocamento Δx durante um pequeno intervalo de tempo Δt será igual a vmx Δt, onde vmx é a velocidade  média durante Δt. O deslocamento total x2 ‐ x1 durante o intervalo t2 ‐ t1 é dado por: 

2 2

1 1

x t

2 1 x

x t

x x dx v dt           [16] 

A variação da posição x — isto é, o deslocamento — é dada pela integral da velocidade vx em relação ao tempo. Graficamente, o deslocamento durante o intervalo t1 e t2 é dado pela área sob a curva vxt entre esses dois limites. [Este resultado é semelhante ao obtido anteriormente para o caso específico no qual vx era dada pela equação (8).] 

Quando  t1  =  0  e  t2  for  t  em algum  instante posterior,  e quando  x0  e  v0x  corresponderem,  respectivamente,  à posição e à velocidade, para t = 0, então podemos reescrever as equações (15) e (16) do seguinte modo: 

t

x 0x x

0

v v a dt            [17] 

t

0 x

0

x x v dt             [18] 

Aqui, x e vx são, respectivamente, a posição e a velocidade para um tempo t. Conhecendo a aceleração ax em função do tempo e a velocidade inicial v0x, podemos usar a equação (17) para achar a velocidade vx em qualquer tempo; em outras palavras, podemos achar vx em  função do  tempo. Conhecendo essa  função e  sabendo a posição  inicial  x0, podemos usar a equação (18) para achar a posição x em qualquer tempo.  EXERCÍCIOS RESOLVIDOS  01 Cada uma das seguintes viagens de automóvel leva uma hora. A direção x é do oeste para leste.  i) O automóvel A segue a 50 km para leste.  ii) O automóvel B segue a 50 km para oeste.  iii) O automóvel C segue a 60 km para leste, dá meia‐volta e segue a 10 km para oeste.  iv) O automóvel D segue a 70 km para leste.  v) O automóvel E segue a 20 km para oeste, dá meia‐volta e segue a 20 km para leste.  a) Classifique as cinco viagens por ordem de velocidade média, da mais positiva para a mais negativa.  b) Há viagens com a mesma velocidade média?  c) Há alguma viagem com velocidade média igual a zero? SOLUÇÃO a): iv), i) e iii) (empate), v), ii);  b): i) e iii);  c): v) Em a) a velocidade média é vmx = Δx/Δt. Para todas as cinco viagens, Δt = 1h. Para cada uma das viagens, temos i) Δx = +50 km, vmx = +50 km/h; ii) Δx = ‐ 50 km, vmx = ‐ 50 km/h; iii) Δx = 60 km ‐ 10 km = +50 km, vmx = +50 km/h; iv) Δx = +70 km, vmx= +70 km/h; v) Δx = ‐20 km + 20 km = 0, vmx = 0. Em b) ambos possuem vmx = +50 km/h.  02 Dois irmãos saem ao mesmo tempo de casa com velocidades de 4 m/s e 5 m/s, em direção à universidade. Um chega um quarto de hora antes do outro. Encontre a distância entre a casa e a universidade. SOLUÇÃO Seja x a distância entre a casa e a universidade. Com t = x/v. Como a diferença de tempo para chegar a universidade é 15 min, teremos: x/v1 ‐ x/v2 = 15 x/4 ‐ x/5 = 15 x 60, resolvendo temos: x = 18000 m ou 18 km  03  Um móvel  que  vai  a  15  km/h  chega  ao  seu  destino  no  tempo  "t".  Se  vai  a  10  km/h,  leva  2  horas  a mais.  A  que velocidade tem que ir para chegar no tempo (t + 1)? SOLUÇÃO A distância percorrida é a mesma nos 3 casos. 

 13 

x = 15t = 10(t + 2) ⇒t = 4 h Então a distância percorrida será: x = 60 km. No terceiro caso v = x/(t + 1) = 60/5 = 12 km/h  04  Dois  móveis  A  e  B  se  movimentam  em  sentidos  opostos  ao  longo  de  linhas  paralelas  L1  e  L2  afastados  de  uma 

distância de 3 m. Se depois de 1,5 s do instante mostrando na figura a distância de separação entre os móveis é de  3 2m, o Professor Gomes pede que se determine depois de que intervalo de tempo a distância de separação é de 5 m. Os móveis se movem com a mesma velocidade. 

 SOLUÇÃO Da figura teremos: 

 2vt = 3, com t = 1,5 s ⇒ v = 1 m/s. A distância de separação será 5 m quando a soma dos seus espaços for igual a 4 m. Então: 2v.t1 = 4 com v = 1m/s ⇒ t1 = 2 s.  05 Um móvel A que se move com velocidade de 30 m/s se encontra atrás de um móvel B, a uma distância de 50 m. Se a velocidade de B é de 20 m/s, depois de quanto tempo A estará 50 m a frente de B? SOLUÇÃO Observe a figura: 

 Da figura dA = 50 + dB + 50 Más d  = vt 30t = 100 + 20t t = 10 s  06 Uma pessoa dispõe de 5 h para um passeio. Por qual distância pode ir dirigindo um carro a 54 km/h, sabendo que ela deve retornar caminhando a uma velocidade de 6 km/h? SOLUÇÃO Seja x a máxima distância. t1 = tempo de ida ⇒ t1 = x/v1 t2 = tempo de volta ⇒ t2 = x/v2 Pela condição do problema: ttotal = 5 h 

 14 

t1 + t2  = 5 x/v1 + x/v2 = 5 x/54 + x/6 = 5 x = 27 km  07 Um trem e um automóvel caminham paralelamente e no mesmo sentido, num trecho retilíneo. Os seus movimentos são uniformes e a velocidade do automóvel é o dobro da velocidade do trem. Supondo desprezível o comprimento do automóvel e sabendo que o comprimento do trem é de 100 m, qual é a distância percorrida pelo automóvel desde o instante em que alcança o trem até o término da ultrapassagem? SOLUÇÃO 

 

A0

T

e e

e

A e

x 2vtx x vt

x 100 vt

2vt 100 vt

100t

v100

x 2vt 2v 200mv

 

 08 A figura abaixo é um gráfico xt do movimento de uma partícula.  

 a) Classifique os valores da velocidade vx da partícula nos pontos P, Q, R e S, do mais positivo para o mais negativo.  b) Em quais pontos vx é positiva? c) Em quais pontos vx é negativa?  d) Em quais pontos vx é nula?  e) Classifique os valores da velocidade escalar da partícula nos pontos P, Q, R e S, do mais rápido para o mais lento. SOLUÇÃO a)  P,  Q  e  S  (empatadas),  R;  a  velocidade  é  b)  positiva,  quando  a  inclinação  do  gráfico  xt  é  positiva  (P);  c)  negativa, quando  a  inclinação  é  negativa  (R);  e  d)  zero,  quando  a  inclinação  é  zero  (Q)  e  (S);  e)  R,  P,  Q  e  S  (empatadas).  A velocidade é maior quando a inclinação do gráfico xt é a máxima (seja positiva ou negativa) e zero, quando a inclinação é zero.  09 A posição de um ponto material em função do tempo está representada graficamente a seguir: 

 Trace o gráfico da velocidade escalar em função do tempo, de t0 = 0 até t = 10 s. SOLUÇÃO 

x x

x x x

x x

2 6De 0 a 4s : v v 1m / s (constante)

4 0x 2 2

v De 4s a 8s : v v 0 (constante)t 8 4

6 2De 8s a 10s : v v 2m / s (constante)

10 8

 

O que dá: 

 

 15 

10 Dois tratores, I e II, percorrem a mesma rodovia e suas posições variam com o tempo, conforme o gráfico a seguir: 

 Determine o instante do encontro desses veículos. SOLUÇÃO 

0

I

x x

0

II

x x

x 0

Trator I x 20t60 0v v 20km /h

3 0

x 300km

Trator II x 300 10t270 300v v 10km /h

3 0

                       

I IIx x

20t 300 10t

t 10h

 

 11 Suponha que a velocidade vx do carro na figura 6 em qualquer instante t seja dada pela equação vx = 60 m/s + (0,50 m/s3) t2 a) Ache a variação da velocidade média do carro no intervalo de tempo entre t1 = 1,0 s e t2 = 3,0 s.  b) Ache a aceleração média do carro nesse intervalo de tempo.  c) Ache a aceleração instantânea do carro para t1 = 1,0 s, considerando Δt = 0,1 s, Δt = 0,01 s e Δt = 0,001 s.  d) Deduza uma expressão geral para a aceleração instantânea em função do tempo e, a partir dela, calcule a aceleração para t = 1,0 s e t = 3,0 s. SOLUÇÃO Usaremos a equação (4) para aceleração média e a equação (5) para aceleração instantânea. a) inicialmente achamos a velocidade em cada instante substituindo cada valor de t na equação. Para t1 = 1,0 s,  v1x = 60 m/s + (0,50 m/s3) (1,0 s)2 = 60,5 m/s Para t2 = 3,0 s, v2x = 60 m/s + (0,50 m/s3) (3,0 s)2 = 64,5 m/s A variação da velocidade Δvx é dada por Δvx = v2x ‐ v1x = 64,5 m/s ‐ 60,5 m/s = 4,0 m/s O intervalo de tempo é de Δt = 3,0 s ‐ 1,0 s = 2,0 s. b) A aceleração média durante esse intervalo de tempo é 

2x 1xmx

2 1

v v 4m/ sa 2m/ s

t t 2s

 

Durante o intervalo de tempo de t1 = 1,0 s a t2 = 3,0 s, a velocidade e a aceleração média possuem o mesmo sinal (nesse caso, positivo) e o carro acelera.  c) Quando Δt = 0,1 s, t2 = 1,1 s e nós encontramos: v2x = 60 m/s + (0,50 m/s3)( 1,1 s)2 = 60,605 m/s Δvx = 0,105 m/s 

2xmx

v 0,105m / sa 1,05m / s

t 0,1s

 

Convidamos  você a  seguir  o mesmo  raciocínio  e  refazer os  cálculos para os  intervalos Δt  =  0,01  s  e Δt  =  0,001  s;  os resultados  são amx = 1,005 m/s2 e amx  = 1,0005 m/s2,  respectivamente. À medida que Δt  se  torna  cada vez menor,  a aceleração média fica cada vez mais próxima do valor 1,0 m/s2. Logo, concluímos que a aceleração instantânea para t = 1,0 s é igual a 1,0 m/s2. d) A aceleração instantânea é ax = dvx/dt, a derivada de uma constante é  igual a zero e a derivada de t2 é 2t. Usando estes valores, obtemos: 

3 2 3 3xx

dv da [60m / s (0,50m / s )t ] (0,50m / s )(2t) (1m / s )t

dt dt  

Para t = 1,0 s, ax = (1,0 m/s3)(1,0 s) = 1,0 m/s2 Para t = 3,0 s, ax = (1,0 m/s3) (3,0 s) = 3,0 m/s2 

 16 

Note  que  nenhuma  dessas  acelerações  possui  valor  igual  ao  da  aceleração média  obtida  no  item  b).  Isso  porque  a aceleração instantânea desse carro varia com o tempo.   12 É dada a seguinte função horária da velocidade escalar de uma partícula em movimento uniformemente variado: v = 15 + 20t (SI) Determine: a) a velocidade escalar inicial e a aceleração escalar da partícula; b) a velocidade escalar no instante 4 s; c) o instante em que a velocidade escalar vale 215 m/s. SOLUÇÃO 

x 0x x 20x x

x

v v a ta) v 15m / s e a 20m / s

v 15 20t

b) v 15 20.4 95m / s

c) 215 15 20t t 10s

 

 13 Um motociclista se dirige para o  leste ao  longo de uma estrada e acelera a moto depois de passar pela placa que indica os limites da cidade (ver figura abaixo). Sua aceleração é constante e igual a 4,0 m/s2. No instante t = 0 ele está a 5,0 m a leste do sinal, movendo‐se para leste a 15 m/s.  

 a) Determine sua posição e velocidade para t = 2,0 s.  b) Onde está o motociclista quando sua velocidade é de 25 m/s? SOLUÇÃO a) podemos determinar a posição x em t = 2,0 s usando a equação (12), que fornece a posição x em função do tempo t: 

20 0x x

2

1x x v t a t

21

x 5 15.2 4.22

x 43m

 

Podemos achar a velocidade vx no mesmo  instante, usando a equação (8), que fornece a velocidade vx em função do tempo t: 

x 0x x

x

v v a t

v 15 4.2 23m/ s

 

b) Queremos encontrar o valor de x para vx = 25 m/s, mas não sabemos quando a motocicleta possui essa velocidade. Então usamos a equação (13), que envolve x, vx e ax, mas não envolve t: 

2 2x 0x x 0v v 2a (x x )  

Explicitando x e substituindo os valores numéricos conhecidos, obtemos 2 2 2 2x 0x

0

x

v v 25 15x x x 5

2a 2.4

x 55m

 

Como alternativa, podemos usar a equação (8) para achar o tempo quando vx = 25 m/s: 

x 0x x

x 0x

x

v v a t então

v v 25 15t 2,5s

a 4

 

Tendo obtido o tempo t, podemos encontrar x usando a equação (12): 

20 0x x

2

1x x v t a t

21

x 5 15.2,5 4.(2,5)2

x 55m

 

 17 

 14 Um motorista dirige a uma velocidade constante de 15 m/s quando passa em frente a uma escola, onde a placa de limite de velocidade indica 10 m/s. Um policial que estava parado no local da placa acelera sua motocicleta e persegue o motorista com uma aceleração constante de 3,0 m/s2 (ver figura abaixo).  

 a) Qual o intervalo de tempo desde o início da perseguição até o momento em que o policial alcança o motorista?  b) Qual é a velocidade do policial nesse instante?  c) Que distância cada veículo percorreu até esse momento? SOLUÇÃO a) Para calcular o tempo t no momento em que o motorista e o policial estão na mesma posição, aplicamos a equação (12), x = x0 + v0x + ½axt

2 para cada veículo: 

2m m0x m0x

2 2p px px

1x 0 v t 0.t v t

21 1

x 0 0.t a .t a .t2 2

 

Como xM = xP no instante t, igualamos as duas expressões anteriores e obtemos a seguinte solução para t: 

2m0x px

m0x

px

1v t a .t

22v 2.15

t 0 ou t 10sa 3

 

Existem dois instantes nos quais os dois veículos possuem o mesmo valor de x. O primeiro, t = 0, corresponde ao ponto em que o motorista passa pela placa onde o policial estava. O segundo, t = 10 s, corresponde ao momento em que o policial alcança o motorista. b) Queremos o módulo da velocidade do policial vPx no instante t encontrado na parte a). Sua velocidade em qualquer instante é dada pela equação (8): 

px p0x pxv v a t 0 3t  

Logo, quando t = 10 s, achamos vPx = 30 m/s. No momento em que o policial alcança o motorista, sua velocidade é o dobro da do motorista. c) Em 10 s, a distância percorrida pelo motorista é 

m m0xx x t 15.10 150m  

e a distância percorrida pelo policial é 

2 2p px

1 1x a t 3.(10) 150m

2 2  

Isso confirma que, no momento em que o policial alcança o motorista, eles percorreram distâncias iguais.  15  Um móvel  parte  do  repouso  e  se  desloca  com  uma  aceleração  constante  percorrendo  18  m  nos  três  primeiros segundos. Calcular a distância que percorrerá durante os 7 s seguintes. SOLUÇÃO Considere o esquema: 

 Trecho AB:      Trecho AC 

20

2

2

1S v at

21

18 a(3)2

a 4m / s

     

20

2

1S v at

21

18 S 4(10)2

S 182m

 

 18 

 16 Um carro tem uma aceleração máxima a, constante para velocidades mais altas, e uma desaceleração máxima 2a. Você deve percorrer uma distância curta L, começando e terminando a viagem em repouso em tempo mínimo T. Em que posição deve começar a desacelerar, e em que fração do tempo total deve manter a desaceleração? SOLUÇÃO Como começa e finaliza o movimento em repouso: at1 = 2at2  ⇒t1 = 2t2 A distância L será percorrida acelerando e desacelerando: L = ½ at1

2 + ½ 2at22  

Das expressões anteriores deduzimos que: L = ¾ at1

2 Começará a desacelerar quando deixa de acelerar, e tendo percorrido uma distância d: d = ½ at1

2  dividindo membro a membro, temos: d = 2/3 L Se o tempo total é T = t1 + t2  com t1  = 2t2 teremos então: T = 3/2 t1 ⇒t1 = 2/3 T  17 Dois pontos A e B estão em repouso, separados por uma distância s entre si. Na linha que os une há outro ponto C, também em repouso, que dista de A o dobro do que dista de B. Os pontos A e B são postos em movimento sobre sua reta suporte com acelerações de 4 e 1 m/s2 respectivamente. O Professor Gomes Pede que se determine a aceleração do ponto C para que ele sempre se mantenha a uma distância de A duas vezes maior que de B. SOLUÇÃO Observe a ilustração: 

 Do enunciado, temos: 

AC A'C'2

BC B'C'  

Más  A’C’ = AC + x – s1 B’C’ = BC + s2 – x  Então 

1

2

AC x s2

BC s x

 

Sabendo que AC = 2 BC, calculamos x: 

1 2s 2sx

3

 

Substituindo x = ½ at2, s1 = ½ a1t2 e s2 = ½ a2t

2 e simplificando, obtemos: 

21 2a 2a 4 2.1a 2m/ s

3 3

 

 18 Um móvel parte do repouso e acelera uniformemente, de tal  forma que nos primeiros 2 segundos de movimento percorre 6 m. Que distância percorre nos 4 segundos seguintes? SOLUÇÃO Observe a figura: 

 Trecho AB: v0 = 0, x = 6 m e t = 2 s. Logo da relação x = v0.t + ½ at

2 ⇒  6 = 0.2 + ½ a(2)2 

 19 

a = 3 m/s2 

Trecho AC: v0 = 0, a = 3 m/s2, x = 6 + L e t = 6 s. Logo da relação x = v0.t + ½ at

2 ⇒  6 + L = 0.6 + ½ 3.(6)2 L = 48 m Podemos  resolver  esse  problema  usando  os  que  chamamos  números  de  Galileo  para  o  MRUV.  Dizemos  que  no movimento analisado, o móvel percorre espaços proporcionais aos números 1, 3, 5, 7, etc durante intervalos de tempos iguais, isso também se deve ao fato do móvel partir do repouso. Na figura abaixo temos a proporcionalidade indicada: 

 Assim 1k = 6 m ⇒ x = 8k = 8.(6 m ) = 48 m  19 A figura abaixo é um gráfico xt do movimento de uma partícula.  

 a) Em quais dos pontos P, Q, R e S a aceleração ax é positiva?  b) Em quais dos pontos a aceleração é negativa?  c) Em quais pontos a aceleração parece ser zero?  d) Em cada ponto afirme se a velocidade está aumentando, diminuindo ou constante. SOLUÇÃO a) S, onde o gráfico xt tem curvatura para cima;  b) Q, onde o gráfico xt tem curvatura para baixo;  c) P e R, onde o gráfico xt não é encurvado nem para cima nem para baixo;  d) em P, vx > 0 e ax = 0 (velocidade não varia); em Q, vx > 0 e ax < 0 (velocidade está diminuindo); em R, vx < 0 e ax = 0 (velocidade não varia); em S, vx < 0 e ax > 0 (velocidade está diminuindo).  20 A velocidade escalar de um corpo é dada em função do tempo pelo gráfico a seguir: 

 a) Calcule a aceleração escalar do corpo em cada trecho (I, II e III). b) Calcule a distância percorrida nos 15 segundos. SOLUÇÃO a)  

I

2II

2III

a 0 (movimento uniforme)

20 10a 2m / s

10 50 20

a 4m / s15 10

 

b) d = Δx = “área” (20 10).5 5.20

d 5.10 175m2 2

 

 20 

 21  Em certo  instante passam pela origem de uma trajetória  retilínea os móveis A, em movimento uniforme, e B, em movimento uniformemente variado. A partir desse instante, constrói‐se o diagrama abaixo. Em que instante o móvel B está 32 m à frente de A? 

 SOLUÇÃO 

 

2xx

v 10 6a 2m / s

t 2 0

 

Seja t’ o instante procurado. Nesse instante: vB = 6 + 2t’ 

B Ax x 32

[(6 2t') 6]t'10t 32

2t' 8s

 

 22 Na figura abaixo se tem o gráfico aceleração x tempo de um móvel que se desloca sobre uma reta. Se para t = 0 a velocidade é v, e para t = 4 s a velocidade é 3v, determine sua velocidade para t = 6 s. 

 SOLUÇÃO De 0 s a 4 s: Área = Δv ½ (8 + 12).4 = v(4) – v(0) 40 = 3v – v ⇒ v = 20 m/s Então a velocidade em v(4) = 3v = 60 m/s De 4 s a 6 s: Área = Δv 12.2 = v(6) – v(4) 24 = v(6) – 60 ⇒ v(6) = 84 m/s  23 O Gráfico V versus T mostrado abaixo representa o movimento de dois móveis A e B. Se os móveis se encontram no instante t = 6 s, qual distância os separam inicialmente? 

   

 21 

SOLUÇÃO A distância de separação inicial é igual a diferença de espaços percorridos: 

 d = ½ bh = ½ (4)(8) = 16 m  24 Uma moeda de 1 euro é largada da Torre de Pisa. Ela parte do repouso e se move em queda livre. Calcule sua posição e sua velocidade nos instantes 1,0 s, 2,0 s e 3,0 s. SOLUÇÃO Em um instante t após a moeda ser largada, sua posição e velocidade são: 

2 2 20 0y y

y 0y y

1 1y y v t a .t 0 0 ( g)t ( 4,9)t

2 2v v a t 0 ( g)t ( 9,8)t

 

Quando t = 1,0 s, y = (‐ 4,9 m/s2)(1,0 s)2 = ‐ 4,9 m e vy = (‐ 9,8 m/s2) (1,0 s) = ‐ 9,8 m/s; depois de 1 s, a moeda está a 4,9 m abaixo da origem (y é negativo) e possui uma velocidade orientada para baixo (vy é negativa) com módulo igual a 9,8 m/s. A posição e a velocidade nos instantes 2,0 s e 3,0 s são encontradas da mesma forma. Você poderia demonstrar que y = ‐ 19,6 m e vy = ‐ 19,6 m/s em t = 2,0 s, e que y = ‐ 44,1 m e vy = ‐29,4 m/s em t = 3,0 s?  25 Você arremessa uma bola de baixo para cima do topo de um edifício alto. Abola deixa sua mão com velocidade de 15 m/s em um ponto que coincide com a extremidade superior do parapeito do edifício; a seguir ela passa a se mover em queda  livre. Quando a bola volta, ela passa raspando pelo parapeito e continua a queda. No  local do edifício, g = 9,8 m/s2. Calcule  a) a posição e a velocidade da bola 1,0 s e 4,0 s depois que ela deixa sua mão;  b) a velocidade quando a bola está a 5,0 m acima do parapeito;  c) a altura máxima atingida e o tempo que ela leva para atingir essa altura; e  d) a aceleração da bola quando ela se encontra na altura máxima. SOLUÇÃO a) A posição y e a velocidade vy em qualquer instante t depois de a bola deixar sua mão são dadas pelas equações (8) e (12), substituindo‐se x por y, portanto: 

2 2 20 0y y 0 0y

y 0y y 0y

1 1 1y y v t a .t y v t ( g)t 0 15t ( 9,8)t

2 2 2v v a t v ( g)t 15 ( 9,8)t

 

Quando t = 1,0 s, essas equações fornecem y = +10,1 m vy = +5,2 m/s. A bola está a 10,1 m acima da origem (y é positivo) e se move de baixo para cima (vy é positiva) com um módulo igual a 5,2 m/s. Esse valor é menor do que a velocidade inicial, já que a bola perde velocidade conforme ascende. Quando t = 4,0 s, as equações para y e vy em função de t fornecem y = ‐18,4m e vy = ‐24,2m/s. A bola já passou pela altura máxima e está 18,4 m abaixo da origem (y é negativo). Ela possui uma velocidade orientada de cima para baixo  (vy é negativa),  cujo módulo é  igual a 24,2 m/s. A bola perde velocidade enquanto sobe e depois ganha velocidade enquanto desce; ela se move na velocidade inicial de 15,0 m/s enquanto se move de cima para baixo, passando pelo ponto de lançamento (a origem), e continua a ganhar velocidade enquanto desce abaixo desse ponto. b) A velocidade vy em qualquer posição y é dada pela equação (13), substituindo‐se x por y, portanto: 

0y

2 2 2 2y 0y y 0v v 2a (y y ) v 2( g)(y 0) 15 2( 9,8)y  

Quando a bola está 5,0 m acima da origem, y = +5,0 m, logo 2 2 2 2y

y

v 15 2( 9,8)(5) 127m / s

v 11,3m / s

 

 22 

Obtivemos dois valores de vy, um positivo e outro negativo porque a bola passa duas vezes pelo ponto y = +5,0 m (figura abaixo), uma vez durante a ascensão, quando vy é positivo, e a outra durante a queda, quando vy é negativo. 

 c) No exato instante em que ela atinge seu ponto mais elevado, vy = 0. A altura máxima y1 pode então ser calculada de dois modos. O primeiro modo consiste em usar a equação (13) e substituir os valores vy = 0, y0 = 0 e ay = g: 

0y

20y 1

2 2

1

0 v 2( g)(y 0)

v 15y 11,5m

2g 2(9,8)

 

O segundo modo consiste em achar o tempo para o qual vy = 0 usando a equação (8), vy = v0y + ayt e, a seguir, substituir esse valor de t na equação (12) para obter a posição nesse instante. Pela equação (8), o tempo t1 para a bola atingir seu ponto mais elevado é dado por: 

0y

y 0y 1

1

v 0 v ( g)t

v 15t 1,53s

g 9,8

 

Substituindo esse valor de t na equação (12), encontramos 

2 20 0y y

1 1y y v t a .t 0 (15)(1,53) ( 9,8)(1,53) 11,5m

2 2  

Note que pelo primeiro método da determinação da altura máxima não é necessário calcular o tempo antes.  26 Um homem lança uma bola verticalmente para cima. Dois segundos depois lança uma segunda bola com a mesma velocidade inicial da primeira e observa que as bolas colidem 0,4 s após a segunda bola ser lançada. O Professor Gomes pede que se determine a velocidade inicial de lançamento das bolas. SOLUÇÃO Pelo enunciado percebe‐se que o primeiro corpo demorou 2,4 s para o choque e o segundo corpo demorou apenas 0,4 s.  

   Logo, utilizando a relação h = v0t ‐ ½ gt

2, teremos: Corpo 1: h = v0(2,4) ‐ ½ 5.(2,4)

2 Corpo 2: h = v0(0,4) ‐ ½ 5.(0,4)

2 Igualando: v0(2,4) ‐ ½ 5.(2,4)

2 = v0(0,4) ‐ ½ 5.(0,4)2 

 23 

v0 = 14 m/s  27 Um objeto é lançado na vertical para cima a partir do topo de um edifício de 240 m de altura. Se depois de 5 s sua velocidade quadruplica, determine a velocidade com que o objeto impacta sobre a base do edifício? (g = 10 m/s2). SOLUÇÃO Da figura abaixo, teremos: 

 tAB = 5s Equação vetorial de A → B 

B A ABv v g(t )

( 4v) ( v) 10(5)

v 10m/ s

 

No trecho A’P (equação escalar) 2 2f A' A 'P2 2f

f

v v 2g(d )

v 10 2(10)(240)

v 70m / s

 

 28 O Professor Gomes está dirigindo um carro em um trecho retilíneo de uma estrada. No tempo t = 0, quando está se movendo a 10 m/s no sentido positivo do eixo Ox, ele passa por um poste de sinalização a uma distância x = 50 m. Sua aceleração em função do tempo é dada por: 

2 3xa 2m/ s (0,10m/ s ).t  

a) Deduza uma expressão para a posição e a velocidade em função do tempo.  b) Qual é o instante em que sua velocidade atinge o valor máximo?  c) Qual é a velocidade máxima?  d) Onde está o carro quando a velocidade atinge seu valor máximo? SOLUÇÃO  a) No tempo t = 0, a posição do Professor Gomes é x0 = 50 m e sua velocidade é v0x = 10 m/s. Como é dada a aceleração ax  em  função  do  tempo,  inicialmente  usamos  a  equação  (17)  para  achar  a  velocidade  vx  em  função  do  tempo  t.  A 

integral de tn é  n n 11t dt t

n 1

 considerando n   ‐1 de modo que 

t

2x

0

1v 10 [2 0,10t]dt 10 2t (0,10)t

2  

A seguir, usamos a equação (18) para achar x em função do tempo t: t

2 2 3

0

1 1 1x 50 [10 (2)t (0,10)t ]dt 50 10t (2)t (0,10)t

2 2 6  

A  figura  abaixo mostra  gráficos  de  ax,  vx  e  x  em  função  do  tempo. Note  que  para  qualquer  tempo  t  a  inclinação  do gráfico vxt fornece o valor de ax e a inclinação do gráfico xt fornece o valor de vx. 

 24 

 b) O valor máximo de vx ocorre quando v para de crescer e começa a decrescer. Para esse instante, dvx/dt = ax = 0. Igualando a zero a expressão de ax, obtemos 0 2 0,10t

t 20s

 

c) Para achar a velocidade máxima, substituímos t = 20 s (quando a velocidade é máxima) na equação para vx da parte a): 

máx x

1v 10 (2)(20) (0,10)(20) 30m / s

2  

d)  O  valor  máximo  de  vx  ocorre  para  t  =  20  s.  Obtemos  a  posição  do  carro  (isto  é,  o  valor  de  x)  nesse  instante substituindo t = 20 s na equação geral de x da parte a): 

2 31 1x 50 (10)(20) (2)(20) (0,10)(20) 517m

2 6  

 EXERCÍCIOS PARA RESOLVER  01  Uma  pessoa  tem  6  horas  para  dar  um  passeio.  Determine  a  distância  que  ela  pode  dirigir  um  carro  a  12  km/h, sabendo que tem que voltar a pé a 4 km/h?  02 A vela da figura abaixo é consumida uniformemente com a velocidade de 0,8 cm/s. Com que velocidade se desloca o extremo  da  sombra  projetada  na  parede  vertical  devido  ao  obstáculo  B?  (No  início  a  vela  e  o  obstáculo  B  tem  as mesmas dimensões). 

   03 Um automóvel, em movimento uniforme por uma rodovia, passou pelo km AB às 4 horas, pelo BA às 5 horas e pelo km A0B às 6 horas. Determine a velocidade escalar do automóvel. (A e B são algarismos desconhecidos e 0 é o zero.)  04 Uma lebre e uma tartaruga começam uma corrida de 10 km no instante t = 0. A lebre corre a 4 m/s e rapidamente se distancia da tartaruga que vai a 1m/s (?!). Depois de cinco minutos a lebre para e resolve dormir um pouco. A soneca dura  135 minutos.  Ela  acorda  e  retoma  a  corrida  a  4m/s, mas  perde  para  tartaruga. Qual  a  distância  entre  as  duas, quando a tartaruga cruza a linha de chegada? Quanto tempo poderia a lebre dormir e ainda vencer a corrida?     05  Três  móveis  A,  B  e  C,  partem  simultaneamente  em  movimento  uniforme  e  retilíneo,  dos  pontos  a,  b  e  c,  com velocidade constante e de mesmo sentido respectivamente iguais a: VA = 15m/s VB = 4,5m/s VC = 7,5m/s Pede‐se o triplo do instante em que o móvel “A” estará entre os móveis B e C, e a igual distância de ambos. 

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  06 Quatro automóveis A, B, C, e D movem‐se em uma estrada, todos com velocidade constante. A ultrapassa B às 8:00h, ultrapassa C às 9:00h e cruza com D às 10:00h. D cruza com B às 12:00h e com C às 14:00h. Determine a que horas B ultrapassa C.  07 Dois vagões viajam a 10 km/h e se aproximam um do outro. No instante em que distam 20 km, uma mosca sai de um deles e voa na direção do outro com velocidade de 25 km/h. Quando toca o outro vagão, ela imediatamente dá a volta e se dirige para o vagão anterior, com a mesma velocidade de antes. A partir daí, ela repete esses movimentos até que os vagões  se  chocam e ela  vai direto para o  céu das moscas. Quantos quilômetros ela  voou durante  todas essas  idas e vindas até ser tragicamente esmagada?  08  Dois  carros  saíram  ao mesmo  tempo:  Um  de  A  em  direção  a  B,  e  outro  de  B  em  direção  a  A.  Quando  eles  se encontraram, o primeiro tinha viajado 36 km a mais do que o segundo. A partir deste ponto (onde eles se encontraram), o primeiro levou uma hora para chegar em B, e o segundo 4 horas para chegar em A. O Professor Gomes pede que se determine a distância entre os pontos A e B.  09 Gabriel vence Caio por 10 m numa corrida de 100 m. Gabriel dizendo que vai dar a ele a mesma chance, concorda disputar uma segunda corrida, mas parte 10 m antes da linha de largada. Isto realmente dá a Caio a chance de vitória? Justifique.  10 Dois pontos A e B situados em uma linha reta estão separados por 120 km. Do ponto A parte um móvel M1 que se move em direção a B a 5 km/h. Duas horas depois, de B sai outro móvel M2 que vai ao encontro do móvel M1 a 8 km/h. Depois de quanto tempo da partida de M2 os móveis se encontrarão a 20 km um do outro?  11  Um  trem de  60 m de  comprimento  se  desloca  em  linha  reta  a  uma  velocidade  constante  de  40 m/s  e  demora  t segundos para  cruzar uma ponte.  Se  tivesse o dobro de  sua  velocidade,  ele  teria  gasto dois  segundos  a menos para atravessá‐la. Determinar o comprimento da ponte.  12 Um homem viajando em MRU, deve chegar ao seu destino as 7:00 p.m. Se viajar a 40 km/h chegará 1 h mais tarde, e se viajar a 60 km/h chegará 1 h antes. Que velocidade deve ter para chegar ao seu destino na hora marcada?  13 Pilotos de caça exercitam‐se atirando em avião tele‐guiado.   O avião de caça F  (fonte) percorre com velocidade    f uma reta horizontal   r.   A metralhadora dispara projéteis com velocidade p (sendo  p > f ) em instantes regularmente intervalados pelo período T. O alvo A percorre a mesma reta r com velocidade a.  Os projéteis percorrem sensivelmente a mesma reta r. As velocidades são dadas em relação à Terra, e são supostas invariáveis. O Professor Gomes pede que se determine o intervalo de tempo T’ entre os impactos consecutivos dos projéteis no alvo. 

   14 A figura abaixo representa quarteirões de 100 m de comprimento de uma certa cidade e os veículos A e B, que se movem  com  velocidades  de  43,2  km/h  e  57,6  km/h,  respectivamente,  a  partir  dos  pontos  ali  representados,  no momento inicial. 

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  Calcule o instante em que a distância entre os dois carros será mínima e de quanto ela será?  15 De Fortaleza a  Juazeiro do Norte com um  intervalo  t = 10 min saíram dois  trens elétricos com velocidades v = 30 km/h. Com que velocidade u movia‐se um trem em direção a Fortaleza, uma vez que encontrou os trens elétricos a um intervalo T = 4 min, um depois do outro?  16 Um móvel parte de um certo ponto com um movimento que obedece à lei horária S = 4t2,válida no SI. S é a abscissa do móvel e t é o tempo. Um segundo depois parte outro móvel do mesmo ponto do primeiro, com movimento uniforme e  seguindo  a mesma  trajetória. Qual  a menor  velocidade  que  deverá  ter  esse  segundo móvel,  a  fim  de  encontrar  o primeiro?  17 Um ônibus move‐se numa estrada com velocidade v1 = 16 m/s. Um homem encontra‐se a uma distância a = 60 m da estrada  e  b  =  400  m  do  ônibus.  Em  que  direção  deve  correr  o  homem  para  chegar  a  algum  ponto  da  estrada simultaneamente com o ônibus ou antes dele? O homem pode correr com uma velocidade v2 = 4 m/s. 

  18 Qual é a mínima velocidade que deve ter o homem (ver o problema anterior) para alcançar o ônibus? Em que direção deve correr o homem nesse caso?  19  Considere  dois  carros  que  estejam  participando  de  uma  corrida.  O  carro  A  consegue  realizar  cada  volta  em  80s enquanto o carro B é 5,0% mais lento. O carro A é forçado a uma parada nos boxes ao completar a volta de número 6. Incluindo  aceleração,  desaceleração  e  reparos,  o  carro  A  perde  135s.  Qual  deve  ser  o  número  mínimo  de  voltas completas da corrida para que o carro A possa vencer?  20  Alguns  atletas  disputaram  uma  prova  de  velocidade  na  qual  correram  por  150  minutos.  Verificou‐se  que  as velocidades  escalares médias  dos  três  primeiros  colocados  formavam  uma  progressão  aritmética  e  que  a  soma  das velocidades escalares médias do 1° e do 3° colocado era 24 km/h. Calcule, para o 2° colocado, a distância percorrida durante os 150 min. 

  21  Um  carro  de  corrida  participa  de  uma  prova  eliminatória  de  duas  voltas  e  percorre  a  primeira  com  a  velocidade média  de  145  km/h.  O  piloto  pretende  manter  na  segunda  volta  uma  velocidade  muito  maior,  de  modo  que  a velocidade média nas duas voltas seja de 290 km/h. Demonstre que isso é impossível.  22  Um  corpo  parte  do  repouso  com  aceleração  constante.  Após  se  mover  durante  um  tempo  ∆t,  nota‐se  que  ele percorre 10 cm em 1 s e, 20 cm no segundo seguinte. O Professor Gomes pede para você determinar: a) o intervalo de tempo ∆t inicial em segundos; 

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b) a distância percorrida pelo móvel no intervalo de tempo ∆t inicial.  23 No arranjo mostrado a seguir, do ponto A largamos com velocidade nula duas pequenas bolas que se moverão sob a influência da gravidade em um plano vertical, sem rolamento ou atrito, uma pelo trecho ABC e outra pelo trecho ADC. As  partes  AD  e  BC  dos  trechos  são  paralelas  e  as  partes  AB  e  DC  também.  Os  vértices  B  de  ABC  e  D  de  ADC  são suavemente arredondados para que cada bola não sofra uma brusca mudança na sua trajetória. 

 Por qual trecho ABC ou ADC a bola chega ao ponto C primeiro? Justifique.  24 Um carro para em um semáforo. A seguir ele percorre um trecho retilíneo de modo que sua distância ao sinal é dada por x(t) = bt2 ‐ ct3, onde b = 2,40 m/s2 e c = 0,120 m/s3.  a) Calcule a velocidade média do carro para o intervalo de tempo t = 0 até t = 10,0 s.  b) Calcule a velocidade instantânea do carro para i) t = 0; ii) t = 5,0 s; iii) t = 10,0 s.  c) Quanto tempo após partir do repouso o carro retorna novamente ao repouso?  25 O Professor Gomes sai de sua casa e se dirige a pé para o campus. Depois de 5 min começa a chover e ela retorna para casa. Sua distância da casa em função do tempo é indicada pelo gráfico da figura a seguir: 

   Em qual dos pontos indicados sua velocidade é:  a) zero?  b) constante e positiva?  c) constante e negativa?  d) crescente em módulo?  e) decrescente em módulo?  26 Em um teste de um novo modelo de automóvel da empresa Motores Incríveis, o velocímetro é calibrado para ler m/s em vez de km/h. A série de medidas a  seguir  foi  registrada durante o  teste ao  longo de uma estrada  retilínea muito longa: 

Tempo (s)  0  2  4  6  8  10  12  14  16 

Velocidade (m/s)  0  0  2  6  10  16  19  22  22 

a)  Calcule  a  aceleração média  durante  cada  intervalo  de  2,0  s. A  aceleração  é  constante?  Ela  é  constante  em algum trecho do teste?  b) Faça um gráfico vxt dos dados tabelados usando escalas de 1 cm = 1 s no eixo horizontal e de 1 cm = 2 m/s no eixo vertical.  Desenhe  uma  curva  entre  os  pontos  plotados.  Medindo  a  inclinação  dessa  curva,  calcule  a  aceleração instantânea para os tempos t = 9 s, t = 13 s e t = 15 s.  27 Um móvel parte do  repouso  com MRUV e avança 54 m nos 6 primeiros  segundos. Quantos metros avança nos 4 segundos seguintes?  28 Um móvel parte do repouso em MRUV e durante o décimo terceiro segundo percorre 10 m. Determine a distância percorrida no oitavo segundo.  

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29 Uma locomotiva parte de uma estação A e para numa estação B, distante de 1.200 m de A. O máximo módulo da aceleração que ela consegue manter é de 3m/s2, tanto na fase de aceleração como na de retardamento. Sabendo que é proibido trafegar nessa região com velocidade superior a 30 m/s, calcule o mínimo intervalo de tempo possível para ir de A a B, sem problemas com a fiscalização.  30 Resolva novamente a questão anterior, supondo que não houvesse limitação para a velocidade.  31 Três pontos A, B e C, no momento inicial estão situados na mesma reta horizontal, a igual distância um do outro. O ponto A começa a mover‐se verticalmente para cima com velocidade constante v, e o ponto C, sem velocidade inicial, verticalmente para baixo com aceleração constante a. Como deve‐se mover o ponto B na direção vertical, para que os três pontos se encontrem o tempo todo numa mesma reta? Os pontos começam a mover‐se simultaneamente.  32 Um pedestre corre com velocidade constante v = 5,0 m/s para alcançar um ônibus estacionado. No instante em que a distância do pedestre ao ônibus é d = 20 m, o ônibus parte com aceleração constante a = 1,0 m/s2 no mesmo sentido da corrida do pedestre; este continua correndo com a velocidade v. Demonstrar que o pedestre não alcança o ônibus, e determinar a menor distância x entre ambos.  

  33  Numa  corrida  de  100 m,  entre  dois  atletas,  um  deles,  Gabriel,  chega  aos  70 m  com  velocidade  de  11 m/s, mas começa a perder velocidade à taxa de 1 m/s2. Quando Gabriel está na marca dos 70 m, o outro corredor, Caio, está 10 m atrás dele, com velocidade de 10 m/s, e continua assim até o final da corrida. Quem ganhou a corrida?  34 Um móvel que se desloca com movimento retilíneo uniformemente desacelerado percorre 35 m em t segundos de movimento, e nos seguintes t segundos 25 m. Se todo o movimento dura 4t segundos, determine o espaço percorrido nos últimos t segundos antes de parar?   35 Uma lagarta de comprimento L se move com velocidade v sobre uma superfície horizontal em linha reta e num dado instante muda a direção de seu movimento em 90°. Determinar a partir desse momento o tempo que decorre até que a distância entre suas extremidades seja mínima e determine esta distância.  36 Um carro move‐se em linha reta com uma velocidade constante avançando uma distância d para logo adquirir uma aceleração constante de módulo a, diminuindo sua velocidade até ser parado. Determinar o tempo de movimento do carro, sabendo que é mínimo.  37 Um móvel A partiu do repouso, em MRUV, animado de aceleração a = 8 m/s2. Um segundo depois, parte do mesmo ponto outro móvel B, em MRU, com velocidade v. Qual o menor valor de v de forma que B ainda consiga alcançar A?  38 Uma carreta, usada em demonstrações, movia‐se ao longo de uma régua com aceleração constante. No momento em que o cronometro mostrava t1 = 7 s, a carreta encontrava‐se no ponto x1 = 70 cm; no momento t2 = 9 s no ponto x2 = 80 cm e no momento t3 = 15 s no ponto x3 = 230 cm. Qual é a aceleração da carreta?  39 Na figura estão representados os diagramas de velocidade de dois móveis em função do tempo. Esses móveis partem de  um  mesmo  ponto,  a  partir  do  repouso,  e  percorrem  a  mesma  trajetória  retilínea.  Em  que  instante(s)  eles  se encontram? 

    

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40 O gráfico espaço x tempo a seguir está contido em um quarto de circunferência. Determine o  instante t em que a velocidade v do móvel em questão é igual a 1 m/s. 

   41 O gráfico da figura abaixo mostra como varia a posição em função do tempo para uma partícula que se movimenta em linha reta com aceleração constante a = 8 cm/s2. Qual é a velocidade em um instante t em que a área sombreada seja de 64 cm.s? 

    42 Um móvel parte do repouso com uma aceleração constante de 10 m/s2. Após passar certo tempo, o móvel começa a desacelerar  a  uma  taxa  de  5  m/s2  até  parar.  Se  o  tempo  total  em  movimento  é  de  30  s,  calcule  a  distância  total percorrida pelo móvel.  43 A figura abaixo mostra os gráficos v ‐ versus ‐ t dos movimentos retilíneos de dois moveis A e B. Com que velocidade inicial  partiu  B,  se  quando  as  suas  velocidades  se  igualaram  pela  segunda  vez  os  seus  deslocamentos  também  se igualaram? Considere π = 22/7. 

  44 A aceleração de um ônibus é dada por ax(t) = αt, onde α = 1,2 m/s3.  a) Se a velocidade do ônibus para t = 1,0 s é igual a 5,0 m/s, qual é sua velocidade para t = 2,0 s?  b) Se a posição do ônibus para t = 1,0 s é igual a 6,0 m, qual sua posição para t = 2,0 s?  c) Faça gráficos at, vt e xt para esse movimento.  45 A aceleração de uma motocicleta é dada por ax(t) = At ‐ Bt

2, onde A = 1,5 m/s3 e B = 0,120 m/s4. A motocicleta está em repouso na origem no instante t = 0.  a) Calcule sua velocidade e posição em função do tempo.  b) Calcule a velocidade máxima que ela pode atingir.  46 Uma corrente leve de comprimento L = 250 cm pende verticalmente de um ponto fixo e tem a extremidade inferior encostada ao piso. A essa corrente prendem‐se N = 10 esferas maciças de chumbo,  intervaladas segundo certa  lei. A gravidade local tem intensidade g = 1000 cm/s2. Desprezar efeitos do ar. Abandonando o sistema em repouso, constata‐se de ouvido que as esferas batem no piso em cadência regular. Determinar os intervalos entre esferas consecutivas.  

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47  É  dado  um  elevador  vertical  de  altura  L  (distância  entre  o  teto  e  o  piso).  Durante  o  fenômeno  em  causa  neste problema,  ele  é  animado  de  aceleração  a  vertical,  ascendente  e  constante,  porém  incógnita.  A  aceleração  local  da gravidade é g. Uma partícula que se desprende do teto do elevador cai ao piso em tempo t. Desprezam‐se os efeitos do ar ambiente, determine a aceleração do elevador.  48  Do  teto  de  um  elevador  de  3,50 m  de  altura,  subindo  com  uma  aceleração  de  retardamento  de  2 m/s2,  cai  um parafuso no momento em que sua velocidade é de 3 m/s. Determine depois de quanto tempo o parafuso toca o chão do elevador.  49 Uma partícula é abandonada de uma certa altura a partir do repouso, passando a cair em queda livre. Sabe‐se que a partícula percorre a metade de seu percurso total até atingir o solo durante o último segundo de sua queda. a) Calcule o tempo total de queda. b) No  item a)  duas  soluções matematicamente  corretas  podem  ser  encontradas. Ambas  as  soluções  são  fisicamente aceitáveis? Justifique sua resposta.  50 Uma bolinha de aço, abandonada a 1 m de altura de um piso muito duro, realiza um movimento periódico de subida e descida, por tempo indeterminado se desconsiderarmos as perdas de energia na resistência do ar e nas colisões com o solo. De que altura deve‐se abandonar, simultaneamente com a primeira, uma segunda bolinha para que a sua terceira colisão com o solo coincida com a quinta colisão da primeira bolinha?  51 Um chuveiro, situado a uma altura de 1,8 m do solo, indevidamente fechado, deixa cair pingos de água a uma razão constante de 4 pingos/segundo. No instante em que um dado pingo toca o solo, determine o número de pingos, atrás dele, que já estão a caminho. (valor da aceleração da gravidade: g = 10 m/s2)  52 Duas esferas são lançadas simultaneamente como mostrado na figura abaixo. Depois de quanto tempo a partir do lançamento, as esferas estarão  separadas de 5m pela  segunda vez?  (Despreze a  resistência do ar e  considere g = 10 m/s2) 

    53  Uma  esfera  foi  solta  de  uma  certa  altura  e  no  sétimo  segundo  de  sua  queda  percorre  1/13  do  percurso  total. Determine a velocidade da esfera no instante em que ela bate no chão? (g = 10 m/s2)  54  Num  determinado  planeta  se  lança  verticalmente  para  cima  uma  pedra  de  modo  que  no  terceiro  e  no  quarto segundo de movimento a pedra percorre 21 m e 15 m, respectivamente. Determine a velocidade com que a pedra foi lançada.  55 Uma partícula é abandonada a partir do repouso de um ponto situado a 270m acima do solo. O Professor Gomes pede para você divida essa altura em três partes tais que sejam percorridas em intervalos de tempo iguais.  56 Uma bola cai  livremente de uma altura H sobre um suporte elástico horizontal. Construir o gráfico da variação da coordenada e da velocidade da bola em função do tempo, considerando, que o tempo de choque pode ser desprezado. O choque é absolutamente elástico. 

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 57  Um  elevador  parte  do  repouso  e  sobe  com  aceleração  constante  a  =  2  m/s2  em  relação  a  um  observador  fixo. Quando sua velocidade atinge o valor v = 6 m/s em relação a este observador fixo fora do elevador, uma pessoa que esta dentro do elevador larga um pacote de uma altura h = 2,16 m em relação ao piso do elevador.  a)  Qual  é  o  tempo  que  o  pacote  leva  para  atingir  o  piso  do  elevador, medido  por  uma  pessoa  que  está  dentro  do elevador?  b) Qual é o tempo de queda medido por um observador fixo que está fora do elevador?  c)  Qual  é  o  espaço  percorrido  pelo  pacote  em  relação  a  um  observador  situado  fora  do  elevador? Qual  é  o  espaço percorrido em relação a um observador dentro do elevador?  d) O pacote entra em movimento descendente?  58 Um filme mostra um objeto caindo verticalmente sob a ação da gravidade. Portanto, mostra o objeto acelerando de cima para baixo. Se esse filme for projetado de trás para frente, mostrará o objeto acelerando para cima ou o objeto acelerando para baixo? Justifique sua resposta.  59 Um balão está subindo a 12,4 m/s à altura de 81,3 m acima do solo quando larga um pacote.  a) Qual a velocidade do pacote ao atingir o solo?  b) Quanto tempo ele leva para chegar ao solo?  60 Um cachorro avista um pote de flores passar subindo e a seguir descendo por uma janela com 1,1 m de altura. O tempo total durante o qual o pote é visto é de 0,74 s. Determine a altura alcançada pelo pote acima do topo da janela.  61 Se você arremessa uma bola de baixo para cima com certa velocidade inicial, ela cai livremente e atinge uma altura máxima h em um instante t, após deixar sua mão.  a) Se você jogar a bola para cima com o dobro da velocidade inicial, que nova altura máxima a bola atingirá? b) Se você jogar a bola para cima com o dobro da velocidade inicial, quanto tempo levará para ela atingir a sua nova altura máxima?  62 Se um objeto percorre metade de seu percurso total no último segundo de sua queda a partir do repouso, determine o tempo e a altura da queda.  63  Qual  é  o  tempo  necessário  a  um  corpo,  que  cai  livremente,  sem  velocidade  inicial,  para  percorrer  o  enésimo centímetro do seu trajeto?  64 Uma pedra  cai  de  uma altura  h  e  os  últímos  196 m  são percorridos  em 4,0  s. Desprezando  a  resistência  do  ar  e fazendo g = 10 m/s2, calcule h.   65 Uma bolinha de chumbo é lançada verticalmente para cima, realizando uma ascensão praticamente livre, de duração pouco maior que 2s. Considerando g = 9,8 m/s2, responda:  a) qual é a distância percorrida pela bolinha durante o último segundo da subida? b) A resposta do item a depende do módulo da velocidade de lançamento? c)  A  distância  percorrida  no  último  segundo  de  queda,  no  retorno  ao  ponto  de  partida,  depende  do  módulo  da velocidade de lançamento?  66 A lâmpada do teto do elevador se desprende quando este sobe com aceleração constante de 2,5 m/s². Sabendo que a lâmpada atinge o piso do elevador em 0,6 s, o Professor Gomes pede que se determine a distância entre o teto e o piso do elevador. Dado: aceleração gravitacional g = 10 m/s²  67 Uma pedra cai de um balão, que sobe com velocidade constante de 10 m/s. Se a pedra demora 10 s para atingir o solo, a que altura estava o balão no instante em que se iniciou a queda da pedra? (g = 10 m/s2).  68 Um bloco de chumbo cai do topo de uma torre. Considerando desprezível a influência do ar e sendo g a intensidade do campo gravitadonal, calcule a distância percorrida pelo bloco durante o enésimo segundo de queda livre.  

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69 De um telhado caem gotas de chuva separadas por intervalos de tempo iguais entre si. No instante em que a quinta gota se desprendia a primeira toca solo. Qual a distância que separa as duas últimas gotas consecutivas, neste instante, se a altura do telhado é de 16 m? Não considere a resistência do ar e adote g = 10 m/s2.  70 No instante t0 = 0, duas bolinhas de chumbo, A e B, são lançadas verticalmente de um mesmo local situado a uma certa altura do solo, com velocidades iniciais de mesmo módulo v0. A é lançada para cima e B, para baixo. Desprezando a influência do ar e sendo g a intensidade do campo gravitacional, determine a distância d entre as bolinhas em função do tempo t, antes que alguma delas toque o solo. 

    

Respostas 01 18 km     02 1,2 cm/s     03 45 km/h 04 a) a tartaruga vence a corrida b) t = 20 min c) A lebre está ≈ 2, 4 km atrás da tartaruga, depois de 10 km de pista. d) Se a lebre tirar uma soneca de 125 minutos ela chega junto com a tartaruga. Portanto, o tempo máximo da soneca deve ser um pouco menor que 125 minutos. 05 10 s       06 10h 40min     07 25 km     08 108 km     09 Não 10 10 h      11 100 m     12 48 km/h     

13  P C

P A

v vT' T.

v v

 

14 24 s e 140 m  15 45 km/h     16 16 m/s     17 36°45’ ≤ α ≤ 143°15’ 18 2,4 m/s na direção perpendicular a direção do ônibus     19 36 voltas     20 30 km 21 Demonstração     22 a) 0,5 s b) 5/4m = 1,25 m     23 ΔtABC > ΔtADC 24 a) 12 m/s    b) i) 0 ii) 15 m/s iii) 12 m/s     c) 13,3 s 25 a) A velocidade é zero, quando o gráfico está na horizontal; Ponto IV. b) A velocidade é constante e positiva quando o gráfico é uma linha reta com uma inclinação positiva; Ponto I. c) A velocidade é constante e negativa quando o gráfico é uma linha reta com uma inclinação negativa; ponto V. d) A inclinação é positiva e aumentando no ponto II. e) A inclinação é positiva e diminuindo no ponto III. 26 a) 0 s a 2 s: aav,x = 0;  2 s a 4 s:  aav,x = 1,0 m/s2 

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4 s a 6 s:  aav,x = 1,5 m/s2 6 s a 8 s: aav,x = 2,5 m/s2 8 s a 10 s:  aav,x = 2,5 m/s2 10 s a 12 s:  aav,x = 2,5 m/s2 12 s a 14 s: aav,x = 1,0 m/s2 14 s a 16 s: aav,x = 0  A aceleração não é constante ao longo de todo o intervalo de tempo dos 16 s. A aceleração é constante entre 6 s e 12 s. b) Observe o gráfico: 

 Em t = 9 s ax = 2,5 m/s2 Em t = 13 s ax = 1,0 m/s2 Em t = 15 s ax = 0 27 96 m     28 6 m       29 50 s       30 40 s 

31 2vt at

BB'2 4

 

32 Demonstração x = 7,5 m       33 Gabriel     34 5 m 

35  mín

2d L

2  e t = 

L

2v 

36  mín

dt 2

a  

37 16 m/s     38 5 cm/s2     39 6 s        40 3 s       41 32 cm/s 42 1500 m     43 18 m/s 44 a) t = 2,0 s , vx = 6.8 m/s. b) t = 1,0 s 0 x = 1,4 m. t = 2,0 s , x = 11,8 m. c) x(t) = 1,4 m + (4,4 m/s)t + (0,20 m/s3 )t3, vx (t) = 4,4 m/s + (0,60 m/s3)t2 e ax (t) = (1,20m/s3)t   45 a) x(t) = (0,25 m/s3)t3 ‐ (0,010 m/s4)t4, vx (t) = (0,75 m/s3)t2 ‐ (0,040 m/s4)t3   b) 39,1 m/s 

 34 

46 As distâncias entre as esferas consecutivas variam em progressão aritmética de termo inicial ‐2,5 e razão 5. 

47 2

2La g

t  

48 0,94 s 

49 a)  2 2    b) Não. O tempo total de queda tem que ser maior que 1. 50 3,24 m     51 Dois pingos       52 0,8 s      53 130 m/s 54 36 m/s       55 30 m, 90 m e 150 m     56 Graficamente 57 a) e b) 0,6s em relação a ambos os referenciais. c) Observador fixo: 1,8 m. Observador no elevador: 2,16 m. d) Observador fixo: nunca, pois quando v = 0 (iria começar a descer) encontra o piso. Observador no elevador: desde o início o movimento é descendente. 58 Se o filme for exibido de trás para diante, o objeto aparecerá subindo, mas, sua aceleração será ainda para baixo. A velocidade do objeto estará diminuindo enquanto ele sobe, logo a aceleração é contrária ao movimento. Na verdade, se o filme passar para frente ou para trás, a aceleração do objeto será sempre a aceleração da gravidade, que é vertical para baixo. 59 a) – 41,8 m/s    b) 5,53 s 60 6,8 cm 61 a) 4h     b) 2t 

62 t  =  2 2     h = 58,2 m  

63 t = n

490 

64 238 m 65 a) 4,9 m    b) Não    c) Sim 66 2,25 m 67 400 m 

68 g(2n 1)

d2

 

69 1 m 70 2v0t